METODE NUMERIK D

BAHAN AJAR METODE NUMERIK D646 Disusu Oleh: Zaeal Abidi, S.Si., M.Cs. JURUSAN ILMU KOMPUTER FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

BAB PENGANTAR METODE NUMERIK Metode Numerik Secara Umum Model matematika isika, kimia, ekoomi, tekik, dsb Serigkali model matematika tidak ideal / rumit Model matematika rumit tidak dapat diselesaika dega Metode Aalitik utuk medapatka solusi eksak. Metode aalitik metode peyelesaia model matematika dega rumus-rumus aljabar yag sudah baku lazim. Cotoh ilustrasi :. Tetuka akar-akar persamaa poliom: 2. Tetuka harga yag memuhi persamaa: Soal tidak terdapat rumus aljabar utuk meghitug akar poliom. Solusi utuk memaipulasi poliom, misalya memaktorka atau meguraika poliom mejadi perkalia beberapa suku. Kedala: semaki tiggi derajat poliom, semaki sukar memaktorkaya. Soal 2 masih sejeis dega soal yaitu meetuka ilai yag memeuhi kedua persamaa. Metode Aalitik VS Metode Numerik Metode aalitik memberi solusi eksak, yaitu solusi yag memiliki galat error sama dega ol. Metode aalitik haya dapat diguaka pada kasus-kasus tertetu. Nilai praktis peyelesaia metode aalitik, terbatas. Metode Numerik tekik yag diguaka utuk memormulasika persoala matematik sehigga dapat dipecahka dega operasi perhituga/aritmatika biasa. Secara hariah, metode umerik cara berhitug dega megguaka agka-agka. 2

Perbedaa atara metode umerik da metode aalitik adalah : Metode Numerik Solusi selalu berbetuk agka Solusi berupa hampira atau pedekata Terdapat galat error Metode Aalitik Solusi dalam betuk ugsi matematika Solusi eksak Tidak ada galat galat= Metode Numerik dalam Bidag Rekayasa Dalam bidag rekayasa, kebutuha meemuka solusi persoala secara praktis adalah jelas. Masih bayak cara peyelesaia persoala matematis yag dirasa terlalu sulit atau dalam betuk kurag kogkrit. Peyelesaia aalitik, kurag bergua bagi rekayasawa. Bayak persoala matematika dalam bidag rekayasa yag haya dapat dipecahka secara hampira. Cotoh kasus : Sebuah bola logam dipaaska sampai pada suhu oc. Kemudia, pada saat t =, bola dimasukka ke dalam air yag bersuhu 3oC. Setelah 3 meit, suhu bola berkurag mejadi 7 o C. Tetuka suhu bola setelah 22,78 meit. Diketahui tetapa pedigi bola logam itu adalah,865. Jawab: Dega megguaka Hukum Pedigi Newto k = tetapa pediga bola logam =,865 Utuk meetuka suhu bola pada t = 22,78 meit, persamaa dieresial harus diselesaika agar suhu T sebagai ugsi dari waktu t ditemuka. Persamaa dieresial metode kalkulus dieresial cari sediri???. Solusi umumya adalah: Tt=ce -kt + 3 Nilai awal yag diberika T = 3

Tt=7e -,865t +3 Dega memasukka t=22,78 ke dalam persamaa T, diperoleh T= 3 o C. Bagi rekayasawa, solusi persamaa dieresial yag berbetuk ugsi kotiu, tidak terlalu petig. Dalam praktik di lapaga, rekayasawa haya igi megetahui berapa suhu bola logam setelah t tertetu. Rekayasawa cukup memodelka sistem ke dalam persamaa dieresial, lalu solusi utuk t dicari secara umerik. Apakah Metode Numerik Haya utuk Persoala Matematika Rumit Saja? Metode umerik berlaku umum, yaki dapat diterapka utuk meyelesaika persoala matematika sederhaa yag juga dapat diselesaika dega metode aalitik, maupu persoala matematika yag rumit. Peraa Komputer dalam Metode Numerik Perhituga dega metode umerik adalah berupa operasi aritmatika. Dalam operasiya, terkadag butuh suatu pegulaga, sehigga perhituga maual terkesa mejemuka. Komputer berpera mempercepat proses perhituga tapa membuat kesalaha. Pegguaa komputer dalam metode umerik atara lai utuk membuat program. Lagkah-lagkah metode umerik diormulasika mejadi program komputer yag dapat membatu mecari alterati solusi, akibat perubaha beberapa parameter serta dapat meigkatka tigkat ketelitia dega megubah-ubah ilai parameter. Jelas bahwa kecepata tiggi, kehadala, da lesibikitas komputer memberika akses utuk meyelesaika masalah-masalah di duia yata. Cotoh: solusi sistem persamaa liier yag besar mejadi lebih mudah da cepat diselesaika dega komputer. Alasa Mempelajari Metode Numerik Sebagai alat batu pemecaha masalah matematika yag sagat ampuh, seperti mampu meagai sistem persamaa liear, ketidaklieara da geometri yag rumit, yag dalam masalah rekayasa tidak mugki dipecahka secara aalitis. Megetahui secara sigkat da jelas teori matematika yag medasari paket program. Mampu meracag program sediri sesuai persalaha yag dihadapi pada masalah rekayasa. 4

Metode umerik cocok utuk meggambarka ketagguha da keterbatasa komputer dalam meagai masalah rekayasa yag tidak dapat ditagai secara aalitis. Meagai galat suatu ilai hampiradari masalah rekayasa yag merupaka bagia dari paket program yag berskala besar. Meyediaka saraa memperkuat pegetahua matematika, karea salah satu keguaaya adalah meyederhaaka matematika yag lebih tiggi mejadi operasioperasi matematika yag medasar. Tahap Pemecaha Secara Numeris Pemodela Peyederhaa Model Formulasi Numerik o meetuka metode umerik yag aka dipakai, bersama dega aalisis error awal. o Pertimbaga pemiliha metode Apakah metode tersebut teliti? Apakah metode mudah diprogram, da waktu pelaksaaaya cepat? Apakah metode tersebut peka terhadap ukura data. o Meyusu algoritma dari metode umerik yag dipilih. Pemrograma traslate algoritma program komputer Operasioal pegujia program dega data uji Evaluasi itepretasi output, peaksira kualitas solusi umerik, pegambila keputusa utuk mejalaka program gua memperoleh hasil yag lebih baik. Pera Ahli Iormatika dalam Metode Numerik Tahap, da 2 melibatka para pakar di bidag persoala yag bersagkuta. Dimaa pera orag iormatika? Iromataikawa berpera dalam tahap 3, 4, da 5. Agar lebih memahami da meghayati persoala, sebaikya orag iormatika juga ikut dilibatka dalam memodelka. Tahap 6 memerluka kerjasama iormatikawa dega para pakar di bidag yag bersagkuta. Bersama-sama pakar, iormatikawa mediskusika hasil umerik yag diperoleh. 5

Turua y y m m m y y y ' y a a ' a p a ' a a p a ' a a e ' e Log atural logaritmicl Misal: e, a P a ' a a e e a Selesaika!. d² = 2 a e a e 2. d+²-2³ = 2 6² 3. d = d = 2 = d d. d d = 2 = 2 4. d + d = d+ 2 d = d+ 2 d+ = 2 + 2 =. d+ d 2 + = 2 + 2 6

5. d +2 5 d = d +2 5 d = d +25 d+2 5. d+25 d = + 2 5 9 4 6. d 2+5 = d d 2+5 d = d d.2+5 d2+5. d 2+5 2 = 2+5 2 2+5 2 7. d 2 2 3 4 d = = d 2 2 3 4 = u'v + v'u d = d2 d 2-3 4 + d2 34 d 2 = 22-3 4 + 2 3 2 =4 6 5 + 2 5 +2 3 = 8 5 + 2 3 + 4 8. d cos 2 d = d cos 2 d = d cos 2 d 2 d 2 d = si 2 2 = 2 si 2 9. d l d =. d l d = d l d d. d = =. d 3 2 3 2 d = d 2 3 2 3 d 2 3. d 2 3 d = 2 3 2 3 3 2 3 7

2. d 2 + d = d 2 + = d = d 2 2 d + d+ 2 d + 2 = 2 2 2 2 + 2 + 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 + 2 = 22 2 2 2 + 2 2 = 22 2 2 2 2 2 + 2 = 22 2 2+2 2 = 2 2 2 2 +² 2 ²+² = 2+ = 2 + 2 ² + ² 3. d si 3 2 d = = d si3 2 dsi 2 d 2 dsi 2 d 2 d = 3si 2 2 cos 2 2 = -6 si 2 2 cos 2 8

BAB 2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT Poliomial Taylor Umumya ugsi yag ada di matematika tidak dapat dikerjaka secara eksak dega cara yag sederhaa.sebagai cotoh utuk meetuka ilai = cos, e atau tapa megguaka alat batu adalah hal yag sagat susah.salah satu cara yag diguaka utuk mecari ilai adalah dega megguaka ugsi pedekata yaitu poliomial. Diatara poliomial-poliomial yag bayak diguaka adalah poliomial taylor. Rumus umum dari poliomial taylor adalah sbb: P = a + a a + a2 2! a+... + a! = j = a a j j! dega a = a j a Cotoh : Misalka = e da a = maka j = e, j =, j P = + + 2 a + + 2! = +. + 2 2! = + + 2. + +! 2! + +!!. Kasus khusus bila ugsi poliomial taylor diperluas disekitar a= maka diamaka deret Maclauri. Cotoh 2 : Diketahui = si da a = Carilah deret Maclauri dari ugsi tersebut! Peyelesaia : = cos = cos = cos = si 4 = si 9

P = + + + 5 5! 2 2! 5 + + 3 3! + 4 4 4! = +. + 2 2!. + 3 3! + 4 4! = 3 3! + 5 5! 7 + 9 7! 9! + + 5 5! Latiha Soal Carilah deret Maclauri dari. = cos 2. = l + 3. = 4. = + Peyelesaia. = si = si 5 = si = cos 4 = cos P = + + 2 + 3 2! 3! + 4 4! 2. = + = + + 2 2! 4 + 5 5 + = 2 2! + 4 4! = + 2 = = 2 + 3 = 5! + 3! + 2 2 3 + 3. + 4 4!. + 5 5!. P = + + 2 + 3 2! 3! = +. + 2 2! + 3 3! 2 +

= 2 2! + 23 + 3! = 2 2 + 2 2 + 3 3 4 4 + 5 5 + 3. = 2 = 2 = 2 3 = 2 3 = 6 4 = 6 4 P = + + 2 + 2 2! 3! = + + 2 2! 2 + 3 = + 2 3 + 4. = 2 + 2 = = 4 + 3 2 = = 3 8 + 5 2 = 3! 6 2 + 2 4 + 3 2 3 8 + 3 2 P = + + 2 + 3 2! 3! = +. 2 + 2 2! 4 + 3 3!. 3 8 = + 2 + 3 2 + 2 8! 6! Galat Pada Poliomial Taylor Diasumsika bahwa mempuyai + turua kotiu pada iterval α a β, misalka titik a berada pada iterval tersebut maka R disebut remaider atau galat atau sisa/residu. Dirumuska : R = P Dega P adalah Poliomial Taylor R = a + +! + C, α β Dega C adalah sebuah titik yag berada diatara a da. Suku-suku deret Taylor biasaya di tuliska tidak berhigga bayakya, maka utuk alasa praktis, deret Taylor dipotog sampai suku orde tertetu.

Deret Taylor yag dipotog sampai orde ke- disebut deret taylor terpotog. Deret Taylor yag dipotog sampai suku ke- bisa dituliska : = P + R Cotoh : Misalka = si, hampirilah deret taylor orde 4 disekitar a=. Diketahui : P = a + a a + a2 2! = si, hampirilah deret taylor orde 4 di a=. Peyelesaia : P = si + cos + 2 R 5 = 5 cos C 5! = P + R dega = si + cos + 2 5 5! cos C R 5 = 5 cos C, C 5! 2! 2! "a + + si + 3 3! si + 3 3! a4 4! Deret taylor terpotog di daerah a = disebut deret Maclauri terpotog. Cotoh : e = + + 2 2! + +! + + +! ec 4 a cos + 4 4! si cos + 4 si + 4! Galat Didalam metode umerik selalu diguaka ilai hampira utuk mecari ilai atau solusi umerik. Nilai hampira iilah yag memuculka galat atau error. Error atau galat terjadi karea beberapa sebab :. dari pegamata 2. dari pegabaia sesuatu 3. dari alat yag diguaka 4. dari metode umeris yag diguaka Galat dideiisika sebagai : ε = a â 2

Keteraga: ε : dibaca epsilo : galat/error a : ilai sejatitrue value : ilai hampira approimatio value Galat Relati yaitu ukura galat terhadap ilai sejatiya. ε R = ε a atau ε R = ε a % Keteraga : ε R : galat relati ε : galat a : ilai sejati Cotoh : Dipuyai ilai π = 3,459265... Nilai hampira = 22/7 = 3,42857... Sehigga galatya adalah : ε = 3,459265-3,42857 = -,26 ε = ε a =,26 3,459265 = -,42 Galat relati hampira yaitu : ukura galat terhadap ilai hampiraya. ε RA = ε ᾂ Macam-macam galat dalam peghituga umerik :. Galat Pemotoga Trucatio Error Galat ii megacu pada galat yag ditimbulka akibat pegguaa hampira sebagai peggati solusi eksak. Galat pemotoga bergatug pada metode komputasi yag diguaka, sehigga galat ii juga disebut galat metode. 3

cotoh : cos = - 2 + 4-6 + 8-2! 4! 6! 8!! Nilai hampira 2. Galat Pembulata pemotoga galat pemotoga Galat yag ditimbulka dari keterbatasa komputer dalam meyajika bilaga real. cotoh : 6 =,666... Komputer tidak dapat meyataka secara tepat jumlah dari digit 6. Komputer haya mampu mempresetasika sejumlah digit atau bit byte = 8 bit 3. Galat total Atau galat akhir pada solusi umerik. Merupaka jumlah galat pemotoga da galat pembulata. Cotoh : cos,5 -,52 2! +,54 4!,87764... galat pemotoga galat pembulata cotoh :. Hituglah error, relative error, da digit yag sigiika dibawah ii dega perkiraa X A = XT a X t = 28,254, X A = 28,27 ε R = ε a = 7 28,254 = -,668477 Jawab : ε = a-â = 28,354-28,27 = -7 b X t =,28254, X A =,2827 ε R = ε a =,7,28254 = -,66847 Jawab : ε = a-â =,28254 -,2827 4

= -,7 c X t = e, X A = 9 7 Jawab : ε = a-â = 2,7828828 2,74285742857 =,39963743 ε R = ε a =,3996374 3 2,7828828 =,478883 d X t = 2, X A =,44 ε R = ε a =,23562373,4423562373 =,5422 Jawab : ε = a-â =,4423562373,44 =,23562373 Bilaga Titik Kambag Format bilaga real di komputer berbeda-beda bergatug pada peragkat keras da peerjemah bahasa pemrograma. Bilaga real di dalam komputer umumya disajika dalam ormat bilaga titik kambag a = ±m Bᴾ Keteraga: m = matis rill B = basis sistem bilaga yag di pakai 2, 8,, dst P = pagkat berupa bilaga bulat Cotoh: Bilaga rill 245,7654 diyataka sebagai,2457654 3 atau bisa juga ditulis,2457654e3 Bilaga Titik Kambag Terormalisasi Represesitati bilaga titik kambag bisa beragam sebagai cotoh kita dapat meuliska sebagai a = ± m Bᴾ ¹ 5

Misalya 245,7654 dapat dituliska sebagai,2457654 3 atau 2,457654 2 atau,2457654 4 dst. Agar bilaga titik kambag dapat disajika seragam, maka digit pertama matis tidak boleh. Bilaga titik kambag yag di ormalisasi ditulis sebagai: a = ±m Bᴾ = ± d, d2, d3 d Bᴾ Dimaa d, d2,d3... d adalah digit matriks terhadap syarat d b-, da d k b- utuk k> Pada syarat desimal: d 9 da d 9 Pada sistem bier: d = da d Cotoh:.,563-3 diormalisasi mejadi,563-4 2.,2327 6 diormalisasika mejadi,2327 3 6

BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER Dalam matematika terapa kita serig mecari peyelesaia persamaa utuk =, yaki bilaga-bilaga = sedemikia higga = sehigga r=; adalah ugsi tak liier da r yag memeuhi disebut akar persamaa atau titik ugsi tersebut.. Persamaa Aljabar Cotoh: Persamaa Poliom Berordo > 2 a ⁿ + a ⁿ + + a₂ 2 + a₁ + a₀ = Dega a, > 2 Persamaa Rasioal P = RT v A v v + Dega P, R, T, A, v kostata 2. Persamaa Trasede, adalah persamaa yag megadug ugsi-ugsi trigoometri algoritma atau ekspoe. Cotoh: e - + si = 2 h 2 = 3. Persamaa Campura, megadug baik persamaa poliom maupu persamaa trasede. Cotoh: 2 si + 3 = 2 3 + l = Dari cotoh di atas tetuka bahwa rumus-rumus yag memberika ilai eksak dari peyelesaia secara eksplisit haya aka ada utuk kasus-kasus yag sederhaa. Dalam bayak hal kita harus megguaka metode-metode hampira khususya metode-metode iterasi. Metode iterasi umeris adalah metode dimaa kita memilih sesuatu sebagai tebaka awal da secara berutu meghitug barisa ilai hampira ilai da seterusya secara reprosi dari relasi berbetuk + =g ; =,,3 dega g dideiisika dalam selag yag 7

memuat da reta g terletak dalam selag tersebut,jadi secara ebrutu kita meghitug. Dari rutua di atas diigika bahwa hampira tersebut membetuk suatu barisa yag koverge. Metode iterasi secara khas cocok utuk komputer karea metode ii melibatka suatu proses. Ada 4 metode dasar utuk memecahka persamaa o liier yag dikelompoka atas metode terbukaselalu koverge da metode-metode terututuptidak selalu koverge. Keempat metode ii adalah: Metode Bagi Dua Bisectio Method 2 Metode Posisis Palsu Regula Falsi 3 Metode Newto-rhapso 4 Metode secat. Metode Biseksi Metode Bagi Dua Pecaria lokasi akar i Graik Tuggal ii Graik Gada y y akar 2 akar a[ ]b iii Tabulasi F= l,5 -,34 -,5 -,39 2,38 2,5,29 8

Utuk mecari akar persamaa liier dega megguaka metode bagi dua yaitu harus dilakuka pertama kali adalah memperkiraka sebuah selag yag didalamya megadug solusi akar. Lagkah Algoritma Misalya: kotiu pada iterval a, b Algoritma:. Deiisika c = a+b 2 2. Jika b c Ɛ, maka c akar persamaa selesai 3. Jika b c maka a = c laiya b = c Cotoh: Carilah akar persamaa dari = e dega Ɛ =, Peyelesaia: = e - Ambil sembarag selag -, - = e + = 3,78 = e - =,632 = 6 = diambil selag, 2 = 6 = - 2 = 2 6 2 = 6 a b c b - c c - 2,5,5,65 3,5,75,25 -,2776 4,5,75,75,75 -,897 Utuk meetuka jumlah literasi utuk mecari akar-akar = 6 = l b a Ɛ l 2 9

Ɛ =, pada selag, 2, bayak iterasi yag diperluka utuk mecari akar adalah l b a, l r 9,97 iterasi. 2. Metode Regula-Falsi Metode Posisi Palsu Meskipu metode dibagi 2 Bisectio selalu berhasil dalam meemuka akar tetapi kecepata kovergesiya sagat lambat. Kecepata kovergesiya dapat di tigkatka bila ilai a da b juga diperhitu gka. Metode yag memaaatka ilai a da b disebut metode Regulasi-Falsi. Atau metode posisi palsu False Positio Method. Dega metode Regulasi-Falsi dibuat garis lurus yag meghubugka titik a, a da b, b. Perpotoga garis tersebut dega sumbu merupaka taksira akar yag diperbaiki. Garis lurus tersebut seolah-olah berlaku meggatika kurva da memberika posisi palsu dari akar. y b, b Gradie AB = Gradie BC b a b a = b c = b b c b b a b a c, b c = b b b a b a A a c a, a Algoritma Misalka dipuyai sebuah iteral [a, b] yag memeuhi a b < da sebuah tolerasi galat ε maka Regulasi-Falsi dapat dicari dega lagkah-lagkah sebagai berikut :. Deiisika c = b b b a b a 2. Jika b c ε maka c adalah akar da proses selesai. 3. Jika b. a maka a adalah a=c. Utuk kodisi yag lai jika kodisi itu tidak terpeuhi b adalah akar b=c. 2

Cotoh Diketahui : = 6 = dega ε =, pada selag,2 Iterasi a B c a b c b-c 2,2-6,89,98 2,2 2,4 -,94 6 -,77,96 3,4 2,6 -,77 6 -,64,94 4,6 2,7 -,64 6 -,56,93 5,7 2,8 -,56 6 -,49,92 6,8 2,9 -,49 6,9 7,9 2 dst e 2 2 2,98387967,62932 Metode Terbuka Metode Terbuka dibagi mejadi 3 yaitu:. Metode Iterasi Titik Tetap 2. Metode Newto Rhapso 3. Metode Secat. Metode Iterasi Titik Tetap Metode iterasi titik tetap disebut juga metode iterasi sederhaa, metode lagsug, atau metode substitusi berutu. Jika dipuyai persamaa secara aljabar dapat dibetuk mejadi. Maka prosedur iterasi yag berpadaa adalah. 2

Selajutya membuat ilai awal, kemudia meghitug ilai sedemikia higga koverge ke akar sejati agar memeuhi da. Iterasi aka berheti jika : < ℇ atau < δ dega ℇ da δ telah ditetapka sebelumya Cotoh : Carilah akar persamaa guaka metode iteresi titik tetap dega ℇ=, Peyelesaia : Diket : Ditaya : akar persamaa? i. prosedur iterasi yag bersesuaia Utuk mecari = 22

=3,3662479 : =,68337 r 4-3,36625,683375 2 3.3748,22877 3 3.34385,69362 4 3,44,22945 5 3,,38,7629 6 3, 27,254 7 3, 423,847 8 3, 4,282 9 3, 47,94 3,6,3 3,5, 2 3,2,3 3 3,, 4 3,, ii. Hampira akar = 3 koverge mooto prosedur iterasi yag bersesuaia 23

Tebaka awal r 4. -.5 2,5 2-6. 7,5 3 -,375 5,625 4 -,26358,88858 5 -,99355,34383 6 -,27624,8269 7 -,99876,36748 8 -,35,275 9 -,998984,466 -,339,355 -,999887,452 2 -,38,5 3 -,999987,5 4 -,4,7 5 -,999999,6 6 -,,2 7 -,, iii. Hampira akar = -, koverge berosilasi prosedur iterasi yag bersesuaia r 4, - 6.5 2.5 24

2 9.625 3.25 3 9.733 7.44532 4 8252.43259 86.36847..dst.. Notasi diverge ilai semaki membesar Teorema Kekovergea Misalka adalah solusi dari da adaika mempuyai turua kotiue dalam selag Maka jika yag memuat dalam selag tersebut, proses iterasi yag dideiisika aka koverge ke Sebalikya jika dalam selag tersebut, maka iterasi aka diverge dari Jika terdapat selag dega sebagai titik tetap, maka berlaku : i. Iterasi koverge mooto. ii. iii. iv. Iterasi koverge berosilasi. Iterasi diverge mooto. Iterasi diverge berosilasi. Cotoh : a. = 25

Karea maka iterasi koverge mooto b. Tetuka selag agar koverge? Peyelesaia : Syarat koverge Utuk tidak mugki Utuk Jadi iterasi aka koverge 26

2. Metode Newto-Rhapso Y X X Y= X, X X Perhatika graik y di atas! Akar terjadi ketika graik memotog sumbu,estimasi utuk diguaka garis siggug yag meyiggug garik y di. Gradie garis siggug dapat dicari dega turua pertama ugsi. Dari gambar tersebut gradie garis siggugya adalah: Gradie garis siggug, da, m y 2 m ' 2 y o o ' '..* ' Secara umum,betuk rumus * bisa digeeralisasi mejadi: ;,,2,3,4..., '... ** ' Formula atau rumus ** diguaka utuk prosedur iterasi metode Newto-Rhapso. Iterasi Newto-Rhapso aka berheti pada kodisi: dega da adalah tolerasi galat yag diigika. Catata:. Jika ', ulagi kembali hituga iterasi dega yag lai. 2. Jika persamaa memiliki lebih dari satu akar pemiliha yag berbedabeda dapat meemuka akar yag lai. 27

3. Dapat terjadi iterasi koverge keakar yag berbeda dari yag diharapka. Cotoh: 6 Carilah akar dari dega megguaka metode Newto-Rhapso. Utuk meyelesaika soal diatas maka terlebih dahulu mecari selag yag megadug akar. Batas atas da batas bawah selag sebaikya meghasilka ilai dega perubaha tada ketika dimasukka kedalam ugsi tersebut. Selajutya,pilih satu ilai didalam selag tersebut. ' 6 ' 6 ; 5 6 5 6,5 Jadi akar dari persamaa diatas adalah,34724 Tetuka hampira akar utuk persamaa berikut: 3. 3 Dega tebaka awal, 4 3 2. 2 34 Dega tebaka awal 3 Peyelesaia:. 3 3 ' 3 ' - -. -.569 4.63.222894.5696 5.4864.22894 2.23472.325 5.4754 -.942 3.2342.3E-8 5.474-6E-5 4.2342 5.474-2.4E-9 5.2342 5.474 6.2342 5.474 Jadi akar persamaaya adalah=,2342 2. 4 ' 4 3 3 3 2 34 2 2 28

' - - 3 4 79 2.822785.353 64.6474 -.7722 2 2.8666.745 62.468 -.22 3 2.8386 3.2E-6 62.3957 -.28 4 2.8386 9.24E-4 62.3956-4.8E-8 5 2.8386 62.3956 6 2.8386 62.3956 Jadi akar persamaaya adalah=2,8386 Kriteria Koverge Newto Raphso. Utuk memperoleh iterasi koverge maka harus memeuhi harga mutlak g < Karea metode Newto Raphso adalah metode terbuka maka dapat dirumuska g maka turua pertama gadalah : g =- = g = karea syarat kovergesi g < maka < Dega syarat 3. Metode Secat 29

Prosedur iterasi Newto Rhapso memerluka perhituga turua ugsi,sayagya,tidak semua ugsi mudah dicari turuaya terutama ugsi yag betukya rumit.turua ugsi dapat dihilagka dega cara meggatiya dega betuk lai yag ekivale.modiikasi metode Newto Rhapso diamaka metode secat. Diamsumsika terdapat 2 ilai tebaka awal yaitu da. 2 titik, da, pada kurva y = dibuat garis lurus,yag disebut garis secat.ormmula utuk metode secat dapat dicari dega megguaka metode Newto Rapsho dega meyamaka gradiet yag ditetuka oleh : {, ;, } da {,, 2,} FX - = - X - 2 - X 2 - =- X 2 = - - - * secara umum ormula * dapat digeeralisasi mejadi: + = - - - - - 3

akar persamaa = 6 - dega =2, = X - - 2 6 - - 2,629 -,9537,629 3,9578,657466,74449 4,7656 -,6849 -,729 5,32532 -,2244,4876 3

BAB 4 SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINIER a. Metode Iterasi Jacobi Tijau kembali sistem persamaa liier Dega syarat a kk, k =, 2,...,. a + a 2 2 + a 3 3 + + a = b a 2 + a 22 2 + a 23 3 + + a 2 = b 2... a + a 2 2 + a 3 3 + + a = b Misalka diberika tebaka awalya, 2, 3,,. Maka lelalara pertamaya adalah : Lelara kedua = b a 2 2 a 3 3 a a 2 = b 2 a 2 a 23 3 a 2 a 2 = b a a 2 2 a a 2 = b a 2 2 a 3 3 a a 2 2 = b 2 a 2 a 23 3 a 2 a 22 2 = b a a 2 2 a a 32

Secara umum : i k+ = b i j =,j i a ii k a ij j dega k =,,2 b. Metode Iterasi Gauss-Seidel Lelara pertama : = b a 2 2 a 3 3 a 2 = b 2 a 2 a 23 3 a 22 3 = b a 3 a 32 2 a Jadi hasil yag telah diperoleh lagsug diguaka pada perhituga berikutya. C. Latiha Tetuka solusi SPL 4 - y + z = 7 4-8y + z = -2-2 + y + 5z = 5 dega ilai awal P =, y, z =, 2, 2 33

BAB 5 INTERPOLASI a. Pecocoka Kurva Pecocoka Kurva adalah sebuah metode yag mecocokka titik data dega sebuah kurva curve ittig ugsi. Pecocoka kurva dibedaka mejadi dua metode:. Regresi Data memuat galat yag cukup berarti Kurva cocoka mewakili kecederuga titik data tidak perlu melalui semua titik sehigga selisih atara titik data da titik hampira sekecil mugki 2. Iterpolasi Data dega ketelitia tiggi Kurva cocoka melalui setiap titik data 34

Iterpolasi Tujua: Mecari ilai di atara beberapa titik data yag telah diketahui ilaiya Fugsi cocoka berupa poliom: Iterpolasi Poliom Poliom berbetuk: P a a a a b. Iterpolasi dega Poliom Liear da Kuadrat Iterpolasi dega Poliom Liear Diketahui data:,y,,y Poliom yag megiterpolasi: Iterpolasi dega Poliom Kuadrat Diketahui data:,y,,y, 2,y 2 Poliom yag megiterpolasi: P 2 =a + a + a 2 2 * a da a telah diketahui dari poliom liear Meetuka a 2 : Substitusi i,y i ke * 35

a + a + a 2 2 = y a + a + a 2 2 = y 2 a + a 2 + a 2 2 2 = y 3 Dega cara elimiasi diperoleh: c. Iterpolasi dega poliom Newto a =y,a =[, ], a 2 =[ 2,, ], a =[, -,,, ] Cotoh: Nilai Viskositas air dapat ditetuka dega megguaka tabel berikut ii: TºC -3 Ns/m 2,792,38 3,8 5,549 7,46 9,37,284 Perkiraka harga viskositas air pada temperatur tertetu 36

37 Jawab: Nilai utuk T=4 Jika diguaka titik [3,5,7]: P 2 4=.66375 Jika diguaka titik [,3,5]:.64325 Jika diguaka titik [,,3,5]: P 3 4=.67 Jika diguaka titik [,3,5,7]: P 3 4=.65225 Poliom Lagrage Poliom liear: Dapat disusu kembali mejadi: Poliom kuadrat dapat pula disusu mejadi: Atau: Dega memakai ugsi Lagrage Dimaa syarat iterpolasi harus dipeuhi.................. i i i i i i i i i j j j i j i L i i i L y L y L y L y P y P y P y P,...,,

d. Iterpolasi Dega Poliom Newto Gregory Poliom Newto Gregory Maju Diketahui titik-titik berjarak sama:, = +h, 2 = +2h, Dideiisika: Sehigga Misal ilai yag aka diiterpolasi: = +sh. Poliom Newto Gregory Maju: 2. Poliom Newto Gregory Mudur Diketahui titik-titik berjarak sama:, - = -h, -2 = -2h, Dideiisika: 38

Poliom Newto dapat ditulis: Misal ilai yag aka diiterpolasi: = +sh Diperoleh Poliom Newto Gregory Mudur: C. Latiha. Sejumlah uag didepositoka dega tigkat buga tertetu. Tabel berikut meguraika perkiraaa uag deposito pada masa yag aka datag, berupa ilai uag pada 2 tahu medatag dibadigka dega ilai sekarag. Tigkat suku buga F/P = 2 tahu 5 6,366 2 38,337 25 86,736 3 9,5 Jika Rp...,- didepositoka sekarag dega suku buga 23,6%, berapa ilai uag tersebut pada 2 tahu yag aka datag. Guaka iterpolasi Newto Lagrage da Newto maju, Kemudia badigka hasil perhituga ketiga metode tersebut. 2. Misal diberika sekumpula titik data. Bila di dalam tabel selisih maju ditemuka berilai hampir kosta maka poliom yag tepat megiterpolasi titik-titik itu adalah poliom derajat k. Berikut ii diberika pasaga ilai da 39 k

..3.5.7.9..3.3.67.48.248.37.58.697 a. Berapa derajat poliom yag terbaik utuk megiterpolasi ketujuh titik data di atas? b. Dega derajat terbaik dari jawaba a tetuka ilaiu ugsi di =.58 dega poliom iterpolasi Newto Gregory maju 5h 3. You are give some data:,, h,h, 2h,2h ad 3h,3h. Fid P with Lagrage polyomial 4. Jika sejumlah uag didepositoka dega suatu kurs buga tertetu maka tabel di bawah ii dapat diguaka utuk meetuka jumlah uag yag terakumulasi setelah 2 tahu 3 2 Kurs buga % 5 2 25 3 35 F/P 2,4 2,4445 2,7777 2,222 2,8884 F/P adalah perbadiga dari keutuga ati terhadap ilai sekarag. Misalya jika p =.. didepositoka, maka setelah 2 tahu dega buga 32% jumlah uagya mejadi: F = F/P.P = 2,4445.. = 2.444.5. a. Tetuka derajat poliom yag terbaik utuk megiterpolasi ke-eam titik di atas b. Dega derajat terbaik pada jawaba a, tetuka jumlah uag setelah 2 tahu dari Rp.3.. yag didepositoka dega buga 32%. Guaka poliom iterpolasi Newto Gregory maju 5. Sebuah daerah dijagkiti oleh epidemi demam berdarah. Misal t meyataka bayakya orag yag terjagkiti demam berdarah setelah t miggu. Seorag petugas mecatat data sebagai berikut t miggu 2 4 5 7 t 3 8 5 25 4 a. Tetuka ugsi yag meghampiri data di atas dega poliom Lagrage b. Guaka hasil pada a utuk meaksir bayak orag yag terjagkiti demam berdarah setelah 6 miggu c. Tetuka t jika bayakya orag yag terjagkiti demam berdarah mecapai 2 orag 4

4 6. Buktika bahwa: [ 4, 3, 2,, ] 4 4!. h 4

BAB 6 INTEGRASI NUMERIK Itegral: Jika >, tasira geometrik: luas daerah Jika ugsi primiti F yaitu df d diketahui, maka I b a d F b F a Jika tidak diketahui maka diselesaika dega Pegitegrala Numerik a. Metode Newto-Cotes Ide: Peggatia ugi yag rumit atau data yag ditabulasika ke ugsi aproksimasi yag mudah diitegrasika Jika ugsi aproksimasi adalah poliomial berorde, maka metode ii disebut metode itegrasi Newto-Cotes b b I d d I a a Kaidah Segiempat Disii aproksimasi dega suatu ugsi tagga ugsi 42

43 kosta sepotog-potog Kaidah Trapesium Disii aproksimasi dega suatu ugsi liier sepotog-potog a. Satu pias ] [ h I I ] [ 2 h I I 2 I I 3 2 E t

44 Kesalaha: b. Bayak pias Kesalaha: Kaidah Simpso /3 Disii aproksimasi dega suatu ugsi kuadratik sepotog-potog a Satu pias Kesalaha: 2 2 i i m I I i t E 3 2 dimaa, 2 6 4 2 2 I I i 288 4 5 E t

b Bayak Pias: 2 I I m p 4 i 2 i 3 i,3,5 i2,4,6 2 Kesalaha: E t 8 5 4 4 b. Metode kuadratur Gauss Rumusa yag palig akurat utuk itegrasi umerik Tijaua Gauss dalam perhituga itegral F d berdasarka ilai dalam sub iterval yag tidak berjarak sama, melaika I = simetris terhadap titik tegah iterval b a d = a-b [R U + R2 u2 + + R U] U,U2,,U adalah titik dalam iterval [-/2,/2] U = = [b-au + a b ] 2 a b X = b-au + 2 Tersedia tabel ilai umerik parameter U da R Latiha Tetka luas daerah di bawah kurva = 2, atara = sampai = 4, dega kaidah segiempat da trapesium da simpso /3 Peyelesaia 45

a. Dega kaidah segiempat Iterval, 4 dibagi mejadi 4 bagia sama pajag, = 4 h = 4 - /4 = Luas persegi pajag P = * = * = P 2 = * 2 = * 4 = 4 P 3 = * 3 = * 9 = 9 P 4 = * 4 = * 6 = 6 Luas Total = 3 Peyimpagaya = 3 2.33 = 8.66 Jika iterval, 4 dibagi mejadi 8 sub-iterval, = 8 h = 4 - /8 =.5 Luas persegi pajag P = *.5 = * =.25 P 2 = *. = * 4 = P 3 = *.5 = * 9 =.25 P 4 = * 2. = * 6 = 2 P 5 = * 2.5 = * 4 = 3.25 P 6 = * 3. = * 9 = 4.5 P 7 = * 3.5 = * 6 = 6.25 P 8 = * 4. = * 6 = 8 Luas Total = 26 Peyimpagaya = 26 2.33 = 4.67 Jika bayakya sub-iterval diperbayak lagi, misal = 4, diperoleh L = 22.4, da utuk = diperoleh L = 2.6544 Jika diambil tiggi adalah ilai ugsi pada ujug kiri sub-iterval Luas P =.5 *. =.5 * = P 2 =.5 *.5 =.5 *.25 =.25 P 3 =.5 *. =.5 * = P 4 =.5 *.5 =.5 * 2.25 =.25 P 5 =.5 * 2. =.5 * 4 = 2 P 6 =.5 * 2.5 =.5 * 6.25 = 3.25 P 7 =.5 * 3. =.5 * 9 = 4.5 P 8 =.5 * 3.5 =.5 * 2.25 = 6.25 Luas Total = 8 Jika tiggi sama dega titik tegah iterval, diperoleh: 46

Luas P =.5 *.25 =.325 P 2 =.5 *.75 =.2825 P 3 =.5 *.25 =.7825 P 4 =.5 *.75 =.5325 P 5 =.5 * 2.25 = 2.5325 P 6 =.5 * 2.75 = 3.7825 P 7 =.5 * 3.25 = 5.2325 P 8 =.5 * 3.75 = 7.325 Luas Total = 2.2 Perhatika bahwa hasil terakhir ii adalah yag terbaik. b. Dega kaidah trapesium Iterval, 4 dibagi mejadi 4 sub-iterval, = 4 h = 4 - /4 = k 2 3 4 k 4 9 6 Luas total D. Lembar kegiata: h 2 2 3 k k 4 2 2 4 9 6 22 Soal tes ormati dikerjaka oleh tiap mahasiswa utuk tugas rumah da dikumpulaka pada pertemua berikutya E. Tes Formati. Volume suatu daerah yag dibatasi oleh graik, a b yag diputar terhadap 2 sumbu dapat ditetuka dega rumus v d. Hampiri volume daerah yag dibatasi oleh graik l, yag diputar terhadap sumbu dega metode Kuadratur Gauss 2 titik b a 47

2 3 cos si, 3 2. The regio D is bouded by curve,. 2 2 The volume o the solid geerated by revolvig about X-ais the regio D is give by b 2 3 3 V d, a, b. Fid the volume V with 2 poit-gauss a 2 2 Legedre method 2.5 2 2 3. Hituglah cos dt dega atura Gauss Legedre 3 titik.5 4. Tetuka sehigga si d jika diselesaika dega metode Simpso /3 galatya kurag dari - -4 48

DAFTAR PUSTAKA Chapra, S. C. ad Caale, R. P. 99. Metode Numerik utuk Tekik. Peerbit Uiversitas Idoesia, Jakarta. Cote, S. D. ad de Boor, C. 993. Dasar-Dasar Aalisis Numerik, Peerbit Erlagga, Jakarta. Haselma, D. ad Littleield, B. 997. Matlab Bahasa Komputasi Tekis. Peerbit Adi, Yogyakarta. Atkiso, K.E, 989. A Itroductio to Numerical Aalysis, 2d Editio. Wiley. New York. Muir, R. 23. Metode Numerik. Peerbit Iormatika: Badug. Scheid, F. 983. Numerical Aalysis, McGraw-Hill Iteratioal Editios, Sigapore. 49