BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan Gambar 5.1. Kemiringan garis l 1 adalah m 1. Jika 0, maka : m 1 m lim 0. d f( + ) f() l l 1 f() = d 0 + Gambar 5.1 Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis ang meninggung titik (,) pada f() adalah : m f'() (5.1) d Jika garis tersebut meninggung titik P( 1, 1 ) maka kemiringanna adalah : m f'(1) d 1 (5.) Contoh 5.1 Tentukan persamaan garis ang meninggung kurva = + - di titik P(,) Penelesaian : 11

= + - 1 d Kemiringan garis singgung ang meninggung titik P(,) adalah : m () 1 5 d Persamaan garis : = m + n. Karena meninggung titik P(,) maka : = 5() + n n = -7. Jadi garis singgung ang meninggung titik P(,) adalah : = 5 7 5. Persamaan garis normal Garis normal adalah garis ang tegak lurus terhadap garis singgung. Dari pembahasan terdahulu kita telah mengetahui bahwa dua garis dikatakan saling tegak lurus jika perkalian kemiringan garisna sama dengan -1; atau dalam bentuk rumus dapat ditulis menjadi : m 1.m = -1 atau m 1 ( 5. ) m1 dimana m 1 adalah kemiringan garis singgung dan m adalah kemiringan garis normalna. Contoh 5. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,6) pada kurva : = + 5 Penelesaian : 1 1 6 ; m 1 = 6(1) 4 ; m = d d 1 m1 4 Jadi : - Persamaan garis singgung : 1 = m 1 1 + n 1 1 = 4 1 + - Persamaan garis normal : = m + n = 1 4 + 5 4 Contoh 5. t Jika diketahui persamaan parameter dan = t, tentukan persamaan 1 t garis singgung, garis normal dan titik singgung pada t =. Penelesaian : Titik singgung untuk t = adalah (-,1) d 1 (1 t) ; 6 t ; 6t(1 t) d m1 6()(1 ) 1 d t ; 1 m m1 1 1 1

Jadi persamaan : garis singgung : = 1 + 6 1 71 garis normal : = 1 6 Soal-soal 1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva : 1 a) 1 1 di titik ( 1, ) b) + = 1 di titik P(,). Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung dari fungsi parameter : ì t ï t 1 í di titik t 1 ï t 1 ï î t 1 5. Kelengkungan (Curvature) Besarna kelengkungan suatu kurva di titik tertentu dipengaruhi seberapa cepatna perubahan arah dari kurva di titik tersebut. Jika perubahan arah suatu kurva di titik tertentu terjadi secara berangsur-angsur maka harga kelengkunganna besar. Sebalikna jika perubahan arah kurva terjadi secara mendadak maka kelengkunganna kecil. 5..1 Jari-jari kelengkungan C R R Q s P 0 + Gambar 5. Pada Gambar 5. dapat dilihat bahwa garis normal CP dan CQ berpotongan di titik C. Panjang busur PQ = s. Jika jarak titik P dan titik Q sangat kecil, maka CP = CQ = R dan panjang busur s 0. Telah 1

diketahui bahwa panjang busur suatu lingkaran ang dibatasi oleh sudut adalah R. Sehingga panjang busur : 1 1 PQ = s = R. atau =. Sehingga : lim = lim R s s 0 R s 0 s Jadi : 1 d ( 5.4 ) R ds s Gambar 5. Perhatikan Gambar 5. d Jika s 0 maka tan dan cos d ds d d tan. (tan ) d ds d ds d d d d d d d. (tan ) (cos ) (tan ) d ds d d ds d d ds d d d (cos ) sec d d sec (sec ) d ds d ds ds d d (1 tan ) é ù d ê ì ü é 1 ú ù í ý ê ì ü 1 1 í ý ú d ds ê d ú ds ë î þ ê d ú R û ë î þ û Jadi jari-jari kelengkungan di titik (,) adalah : é ù ê ì ü 1 í ý ú ê d ú ë î þ û R ( 5.5 ) d d Sedangkan jari-jari kelengkungan di titik ( 1, 1 ) adalah : é ù ê ì ü ú ê ï ï 1 í ý ú ê ïd 1 ï ú ê 1 ú ë î þ û R ( 5.6 ) d d 1 1 14

Contoh 5.4 Tentukan jari-jari kelengkungan dari hiperbola = 9 di titik (,) Penelesaian : = 9 0 1 d d d R d d d d d é ù ê ì ü ú ê ï ï 1 í ý ú ê ïd 1 ï ú ê 1 ú ë î þ û d d 1 1 = 1 ( 1) 5.. Pusat kelengkungan ( Center of Curvature ) C k R L P(,) 1 0 h 1 Gambar 5.4 Dari Gambar 5.4 didapat : LC = R cos LP = R sin h = 1 LP 15

k = 1 + LC Sehingga : h = 1 R sin k = 1 + R cos ( 5. 7 ) Contoh 5.5 Tentukan pusat kelengkungan dari kurva pada contoh 5.4 Penelesaian : 1 = ; 1 = ; R = ; d ( didapat dari contoh 5.4 ) tan = 1 = radian ; sin ( ) 1/ ; d 4 4 cos ( ) 1/ 4 h = ( )(-1/ ) = + = 6; k = + ( )(1/ ) = + = 6 Jadi pusat kelengkungan adalah : C(6, 6) Soal-soal 1. Tentukan jari-jari kelengkungan dan pusat kelengkungan untuk kurva : a) = + 4 di titik (1,-) b) 1 di titik (1,4) 5 16 c) = - +4 di titik (1,). Tentukan jari-jari dan pusat kelengkungan dari fungsi parametrik : ì sec í pada î tan 4 5.4 Nilai ekstrim Misal terdapat suatu hasil pengukuran seperti ang ditunjukkan pada Gambar 5.5. Pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran temperatur, tekanan atau pertumbuhan suatu jenis bakteri terhadap waktu atau pengukuran lainna. Jika 16

0 0 = a 1 4 5 6 7 Gambar 5.5 kita perhatikan Gambar 5.5, harga pengukuran meningkat pada [ 0, 1 ], menurun pada [ 1, ] dan seterusna hingga konstan pada selang [ 6, 7 ]. Definisi 5.4.1 Misal suatu fungsi terdefinisi pada selang I. Jika 1 dan adalah dua buah bilangan ang terletak pada selang I, maka : i) fungsi f naik pada selang I, jika 1 < menghasilkan f( 1 ) < f( ) ii) fungsi f turun pada selang I, jika 1 < menghasilkan f( 1 ) > f( ) iii) fungsi f konstan selang I jika f( 1 ) = f( ) untuk setiap harga 1 dan Teorema 5.4. Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidak-tidakna mempunai satu nilai maksimum dan minimum [a,b]. Contoh 5.6 Jika diketahui f() = + 5 + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk selang-selang berikut : a) [-,0] b) (-, 1) c) [-,-) d) (-1,1] Penelesaian : 17

- 0-0 1 (a) (b) Pada selang [-,0] Maksimum =f(0)=6 Minimum = f(-) = 0 - - 0-1 1 (d) ( c ) Gambar 5.6 a) Pada selang (-,1) Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada =-) Minimum tidak ada (f tak kontinu pada = 1) c) Pada selang [-,-) Maksimum =f(-)=0 Minimum tidak ada (f tak kontinu pada = -) d) Pada selang (-1,1] Minimum tidak ada (f tak kontinu pada = -1) Maksimum = f(1) = 1 5.4.1 Nilai Ekstrim Lokal Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat suatu selang terbuka ang mengandung bilangan c sedemikian rupa sehingga f mempunai nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap harga f ang mempunai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal. 18

Definisi 5.4. Jika c adlah bilangan ang terletak dalam daerah definisi (domain) fungsi, maka : i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) ang mengandung c sedemikian rupa sehingga f() f(c) untuk setiap pada (a,b). ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) ang mengandung c sedemikian rupa sehingga f() ³ f(c) untuk setiap pada (a,b). Maksimum lokal Minimum lokal 0 a b 1 c Gambar 5.7 Teorema 5.4.4 Misal c adalah bilangan ang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f dikatakan mempunai ekstrim lokal pada titik c jika f (c) = 0. Teorema 5.4.5 Misal c adalah bilangan ang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f dikatakan tidak mempunai ekstrim lokal pada titik c jika f (c) ada dan tidak sama dengan 0. Teorema 5.4.6 Misal c adalah bilangan ang terletak pada selang tertutup [a,b]. Suatu fungsi f dikatakan mempunai ekstrim lokal pada titik c jika f (c) = 0. Teorema 5.4.7 Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan kritis f, maka f (c) = 0. 5.4. Nilai Ekstrim Mutlak Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka kita dapat menimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik tertinggi pada garafik f. Sebalikna f(c) adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f. Teorema 5.4.8 Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril S. Jika c terletak pada S, maka : 19

i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f() f(c) untuk setiap nilai ang terletak dalam S. ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f() f(c) untuk setiap nilai ang terletak dalam S. Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f ang kontinu pada selang tertutup [a,b] : 1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b). Tentukan titik ujung a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik ujungna adalah a dan b. b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b) maka f tidak mempunai titik ujung. c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b] maka titik ujungna adalah b. d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b) maka titik ujungna adalah a.. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c ang didapat dari nomor 1 diatas. 4. Hitung harga f pada setiap titik ujung. 5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil ang dihitung pada nomor dan 4 diatas. Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f ang kontinu pada selang terbuka (a,b) : 1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil ang dihitung pada nomor diatas. Tuntunan untuk mendapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f ang kontinu pada selang setengah terbuka [a,b) : 1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.. Hitung nilai f(a) 4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil ang dihitung pada nomor dan diatas. Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f ang kontinu pada selang setengah terbuka (a,b] : 1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.. Hitung nilai f(b) 4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil ang dihitung pada nomor dan diatas. Contoh 5.7 Jika diketahui f() = - 1 + 10, tentukan nilai maksimum dan minimum f pada selang tertutup [-4,] Penelesaian : Menentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7) f() = - 1 + 10 f () = 6 6 1 = 0 10

6 6 1 = 0 6( ) = 0 6(-)(+1) = 0 1 = ; = -1 f( 1 ) = f() = 16 1 4 + 10 = -10 f( ) = f(-1) = - + 1 + 10 = 17 Titik ujung : -4 dan f(-4) = -64 48 + 48 + 10 = -54 f() = 54 7-6 + 10 = 1 Jadi : f() adalah minimum lokal f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak f(-4) adalah minimum mutlak 17-4 - - -1 1 0 Gambar 5.8 Soal-soal 1. Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi berikut ini serta gambarkan grafikna! a) f() = 1 ; [,5] c) f() = 10 7 ; [-1,) b) f() = 5 6 ; (-,1] d) f() = 4 5 4 ; (-,). Tentukan nilai-nilai kritis dari fungsi-fungsi berikut ini! a) f() = 4 c) f() = 0 4 b) f() = + 5 d) f() = 4 5 4 7 5.5 Kecekungan dan kecembungan Jika terdapat sebuah persamaan lingkaran + tersebut dapat ditulis menjadi : atau : f(1) ± f() ± r r atau f() r = r, maka persamaan 11

r -r r -r 0 r r (a) (b) Gambar 5.9 Jika kita perhatikan Gambar 5.7 (a) maka akan terlihat bahwa garis singgung ang meninggung kurva pada sembarang titik selalu berada pada bagian atas kurva pada selang terbuka (-r,r). Sedangkan pada Gambar 5.7 (b) garis singgung ang meninggung kurva selalu berada bagian bawah kurva pada selang terbuka (-r,r). Bentuk Gambar 5.7 (a) biasana disebut cembung keatas atau cekung kebawah dan Gambar 5.7 (b) biasana disebut cembung kebawah atau cekung keatas. Definisi 5.5.1 Kurva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas) pada selang (a,b) jika garis singgung ang meninggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian bawah kurva f. Sebalikna kurva f dikatakan cembung keatas (cekung kebawah) jika garis singgung ang meninggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian atas kurva f. Kurva f pada Gambar 5.8 cembung keatas pada selang (a,b) dan cembung kebawah pada selang (b,c). 1

cembung ke bawah cembung keatas 0 a b c Definisi 5.5. Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril o dan harga turunan kedua f pada = o atau f ( o ) < 0 maka kurva f pada selang tersebut cekung kebawah atau cembung keatas. Jika pada selang (a,b) harga f ( o ) > 0, maka kurva f pada selang tersebut cekung keatas atau cembung kebawah. Definisi 5.5. Misal kurva f mempunai persamaan = f() dan kontinu di titik = o. Jika f ( o ) = 0 dan disekitar = o berlaku f ()>0 untuk < o dan f () < 0 untuk > o atau berlaku f ()<0 untuk < o dan f () > 0 untuk > o, maka titik ( o,f( o )) merupakan titik belok dari kurva tersebut. Contoh 5.8 Tentukan daerah cembung keatas dan cembung kebawah jika diketahui : f() = 6 5 +. Penelesaian : f() = 6 5 + ; f () = -5 + ; f () = Karena f () > 0 untuk sembarang bilangan ril o, maka kurva f cembung kebawah. Contoh 5.9 Jika diketahui persamaan f() = ++ -, tentukan daerah pada kurva f ang merupakan daerah cembung kebawah, daerah cembung keatas dan titik belok dari kurva ang dimaksud! Penelesaian : f() = ++ - f () = 1 + 6 f () = 6 6 Daerah cembung keatas : f () = 6 6 < 0 >1 Daerah cembung kebawah : f () = 6 6 > 0 <1 Titik belok : f () = 6 6 = 0 =1 Soal-soal Gambar 5.8 1

Tentukan daerah cembung kebawah, cembung keatas dan titik belok kurva dari fungsi berikut jika ada! 1. f() = + 6. f() = +(+1) /5. g() = 5 + 7 7. g() = (6-). h() = (-a), a = bilangan konstan 8. h() = 1/( +1) 4. f() = e - 5 9. f() = 5-1 e 6 8 5. g() = 10. g() = 1 5.6 Kecepatan dan percepatan sesaat 5.6.1 Kecepatan Sebelum kita membahas kecepatan dan percepatan sesaat, kirana kita perlu mengetahui apa ang dimaksud dengan kecepatan dan percepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata ( v ) pada bidang datar didefinisikan sebagai s s1 s v ( 5.8 ) t t1 t dimana s dan s 1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap titik acuan. Sedangkan t dan t 1 adalah waktu ang dibutuhkan untuk mencapai posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu (t) ang cukup besar, maka persamaan 5.8 hana dapat digunakan untuk menentukan kecepatan rata-rata saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung kecepatan untuk suatu saat tertentu. Sebetulna persamaan 5.8 dapat digunakan untuk menentukan kecepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam bentuk rumus : s lim v lim t 0 t 0 t v ds ( 5.9 ) dimana v adalah kecepatan sesaat dan ds/ adalah turunan pertama dari lintasan. Lintasan (s) adalah fungsi waktu atau dapat ditulis dalam bentuk s = s(t). 5.6. Percepatan Percepatan rata-rata ( a ) pada bidang datar didefinisikan sebagai v v 1 v a ( 5.10 ) t t 1 t dimana v dan v 1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap titik acuan. Sedangkan t dan t 1 adalah waktu ang dibutuhkan untuk mencapai posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu (t) ang cukup besar, maka persamaan 5.8 hana dapat digunakan untuk menentukan percepatan rata-rata saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung percepatan untuk suatu saat tertentu. Sebetulna persamaan 5.10 dapat digunakan untuk menentukan percepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam bentuk rumus : 14

v lim a lim t 0 t 0 t a dv d s ( 5.11 ) dimana a adalah kecepatan sesaat dan dv/ adalah turunan pertama dari kecepatan. Contoh 5.10 Lintasan sebuah partikel ditunjukkan oleh persamaan s = t 5t +, dimana t dalam detik dan s dalam satuan meter. Tentukan panjang lintasan, kecepatan dan percepatan pada saat t = 15 detik. Penelesaian : s = t(t 5) ds v 6t 5 d s dv a 6 Untuk t = 15 detik : Didapat : s = 15(45-5) = 600 meter v = 90 5 = 85 m/detik a = 6 m/detik Soal Berikut adalah lintasan partikel ang bergerak dengan percepatan konstan. Tentukan panjang lintasan dan kecepatan partikel pada waktu t = 50 detik! s (meter) 40 110 0 10 15 t (detik) 15