BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL A. Pertidaksamaan Rasional Pada sistem bilangan, terdapat dua jenis bilangan yaitu bilangan real dan imajiner. Jika bilangan real dan imajiner digabung menjadi satu (baik terdiri dari masing-masing atau gabungan keduanya), maka disebut bilangan kompleks. Bilangan Rasional adalah suatu bilangan yang bisa diubah dalam bentuk pecahan ab dengan a dan b merupakan bilangan bulat. Penekanannya adalah a dan b harus bilangan bulat, jika salah satu saja bukan bilangan bulat maka bukan termasuk bilangan rasional. Ciri-ciri bilangan rasional: 1) Dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa. Contoh: 2, -1, ½, dst 2) Dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal terbatas, seperti: 0,2; 0,25; 0,625, dst 3) Dapat dinyatakan sebagai pecahan decimal tak terbatas dan berulang, seperti: 1 = 0,333. = 0, 3 3 1 = 0,0909. = 0, 09 11 4) Dapat berupa bilangan yang terletak dibawah tanda akar seperti 1, 4, dst Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan rasional: 1) Biatlah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol. 2) Buatlah ruas kiri pertidaksamaan rasional menjadi bentuk pecahan (rasional). 3) Tentukan nilai-nilai yang membuat pembilang bernilai nol dan penyebut bernilai nol. 4) Tentukan nilai-nilai yang membuat ruas kiri terdefinisi, yaitu penyebut tidak sama dengan nol. 5) Letakkan nilai-nilai pembuat nol pembilang dan penyebut pada garis bilangan, kemudian menentukan tanda setiap interval. 6) Menentukan penyelesaian pertidaksamaan. Oleh: M. HUSNUL AQIB, S.Pd Page 1
B. Pertidaksamaan Irasional (bentuk akar) Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional adalah bilangan π, dan bilangan e. Bilangan Irrasional adalah suatu bilangan yang tidak bisa diubah dalam bentuk pecahan ab dengan a dan b merupakan bilangan bulat. Bisa juga diartikan sebagai salah satu atau keduanya dari a dan b bukan meruakan bilangan bulat, sehingga bukan termasuk bilangan rasional. Akan tetapi, bukan berarti semua bilangan yang bukan rasional adalah merupakan bilangan irrasional, karena bisa saja sebagai bilangan imajiner. Langkah langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan irasional: 1) Mengubah pertidaksamaan irasional ke bentuk umum (ruas kiri berupa bentuk akar) 2) Menentukan nilai ruas kanan. a) Jika ruas kanan nol atau positif (>=0), lakukan langkah-langkah berikut. (1) Menentukan penyelesaian akibat kedua ruas dikuadratkan (2) Menentukan penyelesaian nilai-nilai yang memenuhi syarat bilangan di bawah tanda akar. (3) Menentukan irisan ketiga penyelesaian di atas sebagai penyelesaian pertidaksamaan irasional. b) Jika ruas kanan bernilai negative (< 0), lakukan langkah-langkah berikut: (1) Menentukan penyelesaian pertidaksamaan untuk nilai ruas kanan < 0. (2) Menentukan penyelesaian nilai-nilai yang memenuhi syarat bilangan dibawah tanda akar. (3) Menentukan irisan kedua penyelesaian di atas sebagai penyelesaian pertidaksamaan irasional. c) Jika ruas kanan belum pasti bernilai lebih besar atau sama dengan nol, lakukan langkah-langkah berikut: (1) Uraikan nilai ruas kanan menjadi dua kemungkinan yaitu < 0 atau >= 0. (2) Untuk ruas kanan >= 0, lakukan langkah-langkah pada 2a sehingga diperoleh penyelesaian 2a. (3) Untuk ruas kanan < 0, lakukan langkah-langkah pada 2b sehingga diperoleh penyelesaian 2b. (4) Menentukan gabungan penyelesaian 2a dan 2b di atas sebagai penyelesaian pertidaksamaan irasional. Oleh: M. HUSNUL AQIB, S.Pd Page 2
Contoh 1 Tentukan nilai x agar bentuk akar di bawah ini terdefinisi. Jawaban: Ingat : syarat nilai di dalam akar nonnegatif (>= 0) (>= dibaca lebih dari atau sama dengan). Soal soal di atas dapat diselesaikan dengan langkah berikut. 1. 2x 4 >= 0 2x >= 4 x >= 2 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x >= 2. 2. 3x + 21 >= 0 3x >= 21 x >= 7 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x >= 7. 3. x 2 3x 10 >= 0 (x 5)(x + 2) >= 0 x <= 2 atau x >= 5 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x <= 2 atau x >= 5. Selanjutnya mari membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan irasional atau yang mengandung bentuk akar. Perhatikan sifat-sifat dan rumus-rumus bentuk akar di bawah ini. Oleh: M. HUSNUL AQIB, S.Pd Page 3
Lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Contoh 3. Jawaban: Untuk penyelesaiannya sebagai berikut. Untuk nilai x = -1, tidak memenuhi syarat batasan x. Coba perhatikan penyelesaian nomor 2. Oleh: M. HUSNUL AQIB, S.Pd Page 4
Dengan kondisi di atas, maka kuadratkan lagi kedua ruas tersebut. Perhatikan langkah berikutnya. Ingat,tujuan terakhir adalah menentukan nilai x. Syarat X+3 >= 0 dan 30 - x >=0. Atau digabungkan menjadi syarat: -3 <= x <= 30. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {6}. Oleh: M. HUSNUL AQIB, S.Pd Page 5
LATIHAN SOAL (Materi Pertidaksamaan Rasional dan Irasional) 1. 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan < 5! 2x+3 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x 2 x 2x + 1! 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x 2 + 4x 12 = 3! 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x 7 < 7x 3! 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 10 x 2! 6. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x 1 x 4 3! 7. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 > 5! x 3 x+6 8. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x 2 + 4x 5 = 4! 9. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 + 6x + 8 < x + 2! 10. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 1 > x 3! Oleh: M. HUSNUL AQIB, S.Pd Page 6
1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari SOAL PENGAYAAN 3 < 5 x 2 3x+2 x 2 4x+3 2. Tentukan Himpunan penyelesaian dari 2 < x2 2x 11 2 x+5 3. Perusahaan asuransi melakukan perhitungan premi yang akan dibayarkan kepada pemegang polis dalam kurun waktu tertentu. Besar premi yang akan dibayarkan memenuhi persamaan berikut: p y 2 + 4y + 4. Tentukan batas kurun waktu y (dalam bulan) yang diperlukan oleh pemegang polis agar mendapat premi paling banyak 6 unit! 4. Pak Hasrul, guru bimbingan konseling sedang membuat laporan berupa grafik tingkat ketidak hadiran siswa selama satu bulan. Pak Hasrul dihadapkan dengan dua kurva yang akan digambarkan pada kertas millimeter. Kurva pertama adalah y 1 = x + 6 dan kurva kedua adalah y 2 = x. Tentukan batas-batas nilai x yang dibutuhkan Pak Hasrul dalam menyelesaian perhitungan jika disyaratkan bahwa kurva y 1 harus selalu berada dibawah kurva y 2! 5. Sebuah sepeda melaju dijalan raya selama t detik dengan panjang lintasan (dalam meter) ditentukan oleh persamaan s t = t 2 10t + 40. Jika panjang lintasan sepeda sekurangkurangnya adalah 4 meter, tentukan nilai t yang memenuhi! Oleh: M. HUSNUL AQIB, S.Pd Page 7