PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA KASUS: INITIAL VALUE PROBLEM (IVP) by: st dyar kholsoh Mater Kulah: Pengantar; Metode Euler; Perbakan Metode Euler; Metode Runge-Kutta; Penyelesaan Sstem Persamaan Dferensal Basa secara Smultan Analss Numerk/ Gasal 008-009/ Jurusan Teknk Kma/ FTI/ UPN Veteran Yogyakarta CONTOH SOAL #: Gunakan metode Euler untuk menghtung nla y pada x = jka: dy = x y dengan nla awal: y = pada x = 0 Penyelesaan:. Secara analtk: Coba Anda cek lebh dahulu, berapa hasl yang dperoleh melalu penyelesaan secara analtk!. Secara grafk: hasl 3. Secara numerk (dengan metode Euler): y + = y + Δx dy x, y dy = x y y + = y + Δx ( x y ) x = 0 x = Nla y dketahu Nla y dtanyakan? Plh nla x! Msal: x = 0,5
x 0 y Dketahu d dalam soal, sebaga nla awal (ntal value) Perhtungan pada Beberapa Nla x: 0,5?? Akan dhtung, pada langkah ntegras pertama?? Akan dhtung, pada langkah ntegras kedua Perhatkan bahwa: langkah batas atas batas bawah ntegras = x Slakan Anda coba selesakan sendr! Representas Grafk: METODE RUNGE-KUTTA Merupakan metode yang palng banyak dterapkan untuk ntegras numerk persamaan dferensal basa dengan ntal value problem, karena menghaslkan pendekatan yang cukup bak. Metode Euler merupakan salah satu jens metode Runge-Kutta yang berorde satu (atau n = ). Metode Runge-Kutta yang palng umum dgunakan adalah metode Runge-Kutta berorde 4. Jad, apakah kesmpulan Anda?
Metode Runge-Kutta Orde 4 Penyelesaan persamaan dferensal basa: dy = f ( x,y ) dengan syarat awal: y(x0 ) = y 0 mempunya bentuk: y + = y + ( k + k + k3 + k4 ) h 6 dengan: k = f ( x, y ) k = f ( x + h, y + k h ) k3 = f ( x + h, y + k h ) = f ( x + h, y k h ) k4 + 3 Catatan: Jka dy/ atau f hanya merupakan fungs x saja, maka metode R-K 4 n sama dengan ntegras numerk dgn metode Smpson /3. Langkah Perhtungan: dy = f ( x,y ) x, y Menuju langkah ntegras berkutnya x +, y + Plh step sze Htung k, Htung k, Htung k 3, Htung k 4, Htung y + Sama dengan Contoh Soal Sebelumnya Perbandngan hasl antara metode Euler dgn RK-4: Apakah kesmpulan Anda? Penyelesaan Sstem PDB Smultan Lhat Soal Lathan Nomor 5! Selesakan sstem PD smultan berkut: dy t = y + 5 z e dt dz y z = dt dengan nla awal: y(0) = dan z(0) = 4 Lakukan perhtungan dar t = 0 hngga t = 0,4, dengan step sze h = 0,, menggunakan: (a) metode Euler (b) metode Runge-Kutta orde 4 Plotkan hasl perhtungan Anda dlm bentuk grafk. 3
Plot Sstem Persamaan Smultan yang Dperoleh (dgn Polymath): -hasl perhtungan yang dtabelkan: Penyelesaan PDB Berorde Tngg (n) Secara umum: PDB berorde n dapat dubah menjad n buah PDB berorde, yang selanjutnya dapat dselesakan secara smultan. Bandngkan hasl yang Anda peroleh dengan hasl/ penyelesaan secara analtk! Strateg Penyelesaan: Lakukan beberapa substtus (slakan Anda pelajar sendr dalam handout kulah) 4
CONTOH SOAL #: Lhat Soal Lathan Nomor 6! Representas Persamaan dalam Bentuk Grafk: Persamaan van der Pol yang mrp salah satu model rangkaan lstrk vacuum tubes dnyatakan sbg: d y dy ( y ) + y = 0 dengan konds awal: y(0) = y (0) =. Selesakan persamaan n dar x = 0 hngga x = 0 menggunakan metode Euler, dengan step sze sebesar: (a) 0,, dan (b) 0,. Plotkan hasl perhtungan yang Anda peroleh dlm sebuah grafk. (dengan Polymath): PR (Soal UAS Genap 0607, Nomor 4) Knerja sebuah reaktor batch nonsotermal dapat dgambarkan melalu persamaan berkut: dca 0 = exp CA dt T + 73 dt 0 = 000 exp CA 0 ( T 0) dt T + 73 dengan C A menyatakan konsentras reaktan (dalam gmol/l) dan T menyatakan suhu d dalam reaktor (dalam o C) pada setap saat t (dalam jam). Konds awal sstem reaks n (pada t = 0): C A0 = gmol/lter dan T 0 = 5 o C. Berapakah C A dan T pada t = 0,5 jam? Gunakan dan bandngkan penggunaan metode: (a) Euler, dan (b) Runge-Kutta orde 4 5
Representas Persamaan dalam Bentuk Grafk: (dengan Matlab): secara analtk: C A = 0,650 gmol/l dan T = 85,5778 o C 6