MODUL KULIAH REKAYASA GEMPA Minggu ke 3 : GETARAN BEBAS SDOF Oleh Resmi Bestari Muin PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL dan PERENCANAAN UNIVERSITAS MERCU BUANA 010
DAFTAR ISI DAFTAR ISI i III GERAK BEBAS 1 III.1 Pendahuluan................................ 1 III. Getaran Bebas Tanpa Redaman...................... 1 III..1 Perioda Getar T, Frekuensi Sudut (ω) dan Frekuensi Natural (f) 3 III.3 Getaran Bebas Dengan Redaman..................... 3 III.3.1 Redaman Kritis........................... 4 III.3. Redaman Lemah.......................... 5 III.3.3 Redaman Kuat........................... 7 III.4 Rangkuman Gerak Bebas.......................... 8 III.4.1 Rangkuman Gerak Bebas Tanpa Redaman............ 8 III.4. Rangkuman Gerak Bebas Dengan Redaman........... 9 i
BAB III GERAK BEBAS III.1 Pendahuluan Jika tidak ada beban luar yang bekerja pada sistim, maka sistim akan bergerak bebas menurut persamaan mÿ + cẏ + ky = 0 (III.1) yakni dengan memberikan nilai 0 pada ruas kanan persamaan (4) pada Modul-6. Secara matematis pers. III.1 disebut sebagai pers. pers. differensial linier homogen dengan konstanta m (massa), c (redaman) dan k (kekakuan) yang sudah diketahui terlebih dahulu. Ada dua kemungkinan kondisi getaran bebas 1. Getaran Bebas Tanpa Redaman (tidak ada redaman), dimana nilai c = 0.. Getaran Bebas Dengan Redaman (ada redaman), dimana nilai c 0 III. Getaran Bebas Tanpa Redaman Untuk kondisi getaran bebas tanpa redaman, dimana nilai c = 0, maka pers. (III.1) menjadi mÿ + ky = 0 (III.) Secara matematis, solusi persamaan III. adalah y(t) = A cos (ωt) + B sin (ωt) (III.3) dimana : 1 ω = k m ω disebut sebagai circular/angular frequency system (frekuensi sudut sistem) dengan satuan rad/det. 1 untuk lebih jelas, lihat lampiran penjelasan 1
Konstanta A dan B diperoleh dari kondisi awal getaran sistem. Jika pada saat awal getaran t = 0, 1. Sudah ada simpangan sistem, yakni sebesar y(0), dan. Ada kecepatan awal sistem, yakni = ẏ(0). maka diperoleh : A = y(0) dan B = ẏ(0) ω Sehingga diperoleh solusi persamaan getaran bebas sistem sbb, y(t) = y(0) cos (ωt) + ẏ(0) ω sin (ωt) (III.4) y(t) merupakan simpangan sistem pada saat t, atau simpangan sistem merupakan fungsi dari variabel waktu t. Pers. (III.4) dapat juga ditulis dalam bentuk y(t) = C sin (ωt + α) (III.5) C merupakan amplitudo getaran bebas tanpa redaman, dimana : Gambar III.1. Amplitudo C, pada Getaran Bebas Tak Diredam (ẏ(0) C = y(0 + (III.6) ω
dan α = arctan ( ) y(0)ω ẏ(0) (III.7) Gambar III.1 memperlihatkan hubungan antara amplitudo C dengan y(0) dengan ẏ(0) ω. III..1 Perioda Getar T, Frekuensi Sudut (ω) dan Frekuensi Natural (f) Perioda getar, atau waktu yang dibutuh sistem untuk melakukan 1 siklus gerakan adalah T = π ω dimana ω = frekuensi sudut sistem. (III.8) Sedangkan frekuensi natural sistem (natural frequency) adalah f = 1 T (III.9) Terlihat bahwa Perioda Getar T, Frekuensi Sudut (ω) dan Frekuensi Natural (f) ini mempunyai nilai yang tetap untuk suatu sistem. Sehigga ketiga konstanta ini dapat tergolong juga sebagai nilai karakteristik sistem. III.3 Getaran Bebas Dengan Redaman Sebagaimana telah tertulis pada pers. (III.1), bentuk persamaan gerak dengan redaman adalah mÿ + cẏ + ky = 0 Misalkan solusi pers. (III.1) adalah berupa persamaan ekponensial : y = z e st dimana t = waktu (III.10) Substitusi bentuk turunan pertama dan kedua fungsi y(t) ini ke dalam persamaan (III.1), diperoleh ( s + c m s + k ) z e st = 0 m (III.11) 3
Nilai eksponensial e 0, untuk berapapun nilai s dan t, sedangkan z juga 0, karena merupakan amplitudo simpangan. Sehingga yang mungkin sama dengan nol dari pers. (III.11) adalah : ( s + c m s + k ) = 0 (III.1) m Akar-akar dari pers. (III.1) adalah dimana s 1, = c ( c ± ω (III.13) ω = k m (III.14) Sehingga solusi pers. (III.1) menjadi : y = z 1 e s 1t + z e s t (III.15) Ada 3 kemungkinan kondisi nilai ( c ω (suku di bawah tanda akar) pada pers. (III.13). Jika ( c ω = 0, maka redaman yang ada pada sistem disebut redaman kritis. Jika ( c ω < 0, maka redaman yang ada pada sistem disebut redaman lemah/under Damped. Jika ( c ω > 0. maka redaman yang ada pada sistem disebut redaman kuat/over Damped. III.3.1 Redaman Kritis Redaman kritis ditandai dengan nilai suku di bawah tanda akar pada pers. (III.13) = 0. Pada kondisi ini redaman struktur : c = c cr, sehingga ( ccr ω = 0 atau ( ccr ω = 0 4
sehingga c cr = 4m ω atau c cr = ω (III.16) karena ω = k m, maka nilai c cr dapat juga ditulis dalam bentuk k km c cr = m = m c cr = km (III.17) Solusi persamaan gerak bebas mÿ + cẏ + ky = 0 untuk sistem yang mempunyai redaman kritis ini adalah, y(t) = y 0 e st + {y (0) s ẏ (0)} t e st (III.18) dimana s = c cr (III.19) y(t) merupakan simpangan sistem pada saat t, atau simpangan sistem merupakan fungsi dari variabel waktu t y(0) : simpangan awal sistem (pada saat t = 0. ẏ(0) : kecepatan awal sistem (pada saat t = 0. III.3. Redaman Lemah Redaman lemah, jika atau ( c ω < 0 atau c < ω ( c ω < 0 (III.0) (III.1) Untuk lebih jelasnya lihat Lampiran Penjelasan 5
Karena suku di bawah tanda akar pada persamaan (III.0) < 0, berarti suku tersebut merupakan bilangan imajiner, maka persamaan (III.13) dapat ditulis dalam bentuk s 1, = c ( c ± i ω } {{ } ω d s 1, = c ± iω d (III.) dimana atau ( c ) ( c ) ω d = ω = ω ω = ω 1 ω ω d = ω 1 ξ ( c ω (III.3) dan ξ = c ω = c = damping ratio (%) (III.4) c cr Solusi persamaan gerak bebas mÿ + cẏ + ky = 0 untuk sistem yang mempunyai redaman lemah ini adalah, 3 [ ] y(t) = e ξωt ẏ(0) + y(0)ξω y(0) cos (ω d t) + sin (ω d t) ω d (III.5) Seperti pada sistim tanpa redaman, jika ( ) C = ẏ(0)ξω y(0) + ω d yang diilustrasikan pada Gambar III. maka persamaan simpangan gerak bebas sistim dengan redaman lemah dapat juga ditulis dalam bentuk y(t) = Ce ξωt [sin (ω d t + α)] (III.6) 3 Untuk lebih jelasnya lihat Lampiran Penjelasan 6
Gambar III.. Ilustrasi C pada Getaran Bebas dg Redaman dimana tan α = ω d y(0) ẏ(0) + y(0)ξω atau y(t) = Ce ξωt [cos (ω d t β)] (III.7) dimana tan β = ẏ(0) + y(0)ξω ω d y(0) Jika T merupakan perioda getar struktur tanpa redaman, dimana T = π ω maka perioda getar struktur dengan redaman T D = π ω D = T D = π ω 1 ξ T 1 ξ (III.8) III.3.3 Redaman Kuat Kondisi redaman kuat kebalikan dari redaman lemah, yakni : c > ω, atau c > ω (III.9) 7
Sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya mempunyai nilai positif, yakni Solusi persamaan gerak bebas s 1, = c ( c ± ω (III.30) mÿ + cẏ + ky = 0 untuk sistem yang mempunyai redaman kuat ini adalah, 4 { } { } y(t) = e s y(0)s ẏ(0) 1t + e s y(0)s1 ẏ(0) t s s 1 s 1 s (III.31) dimana s 1 = c ( c + ω dan s = c ( c ω III.4 III.4.1 Rangkuman Gerak Bebas Rangkuman Gerak Bebas Tanpa Redaman y(t) = y(0) cos (ωt) + ẏ(0) ω sin (ωt) (III.3) atau y(t) = C sin (ωt + α) (III.33) C merupakan amplitudo getaran bebas tanpa redaman, dimana : dan C = y(0 + ẏ(0) ω α = arctan( y(0)ω ẏ(0) (III.34) (III.35) 4 Untuk lebih jelasnya lihat Lampiran Penjelasan 8
dimana : III.4. ω = k m Rangkuman Gerak Bebas Dengan Redaman Persamaan simpangan sistim, dengan Redaman Kritis : y(t) = y 0 e st + {y (0) s ẏ (0)} t e st Redaman Lemah : y(t) = Ce ξωt [sin (ω d t + α)] atau y(t) = Ce ξωt [cos (ω d t β)] dimana tan α = ω d y(0) ẏ(0) + y(0)ξω dan tan β = ẏ(0) + y(0)ξω ω d y(0) Redaman Kuat : { } { } y(t) = e s y(0)s ẏ(0) 1t + e s y(0)s1 ẏ(0) t s s 1 s 1 s s 1 = c ( c + ω dan s = c ( c ω 9
Gambar III.3. Getaran Bebas Sistem Redaman Lemah, Redaman Kritis dan Redaman Kuat 10