SOAL DAN PEMBAHASAN POSTEST PEMBINAAN GURU OLIMPIADE MADRASAH ALIYAH (MA) NARASUMBER: DODDY FERYANTO 31 Juli-1 Agustus 2016 KAMPUS PUSDIKLAT TENAGA TEKNIS PENDIDIKAN DAN KEAGAMAAN
POSTTEST PEMBINAAN GURU OLIMPIADE MADRASAH ALIYAH 1. Bilangan dua angka dari 19 sapai 92 ditulis secara ditulis berurutan untuk ebentuk bilangan N = 19202122... 909192 Tentukan bilangan terbesar k sehingga 3 k habis ebagi N. 2. Tentukan seua bilangan positif sehingga 3+25 2 5 3. Berapa sisa dari 2 1000 jika dibagi 13? 4. Untuk setiap bilangan bulat n > 1, didefinisikan a n = 1 n log 2002 Misal b = a 2 + a 3 + a 4 + a 5 dan c = a 10 + a 11 + a 12 + a 13 + a 14. Berapa nilai b c? 5. Tentukan seua bilangan bulat a sehingga a a = 6. Berapa banyak cara enaruh 5 bola ke dala 3 wadah jika tidak boleh ada wadah yang kosong? 7. Dari sepuluh orang siswa akan dibentuk 5 kelopok, asing-asing beranggotakan 2 orang. Berapa banyak cara ebentuk kelia kelopok ini? 8. Dala suatu perkupulan terdapat 7 pria dan 3 wanita. Dala berapa cara ereka tersusun dala suatu barisan sehingga (a) Tidak ada pria diantara ketiga wanita tersebut. (b) Posisi paling ujung ditepati pria dan tidak ada wanita yang duduk bersebelahan. 9. Dengan engkobinasikan ketiga warna dasar: erah, kuning, dan biru dapat diperoleh warnawarna lain. Misal ada 5 kaleng cat warna erah, 5 kaleng cat warna kuning, dan 5 kaleng cat warna biru. Budi boleh eilih kaleng anapun untuk encapurkan warna dan seua cat dala sebuah kaleng harus dipakai seua. Ada berapa pilihan warna yang dihasilkan? 10. Berapakah banyaknya cara eilih tiga bilangan berbeda sehingga tidak ada dua bilangan yang berurutan, jika bilangan-bilangan itu dipilih dari hipunan {1, 2, 3,..., 10}? Selaat Bekerja
PEMBAHASAN 1. Sebuah bilangan habis dibagi 3 dan 9 jika julah angka-angka penyusunnya secara berturut-turut habis dibagi 3 dan 9. Perhatikan bahwa: 1 + 2 + 3 +... + 8 = 36 dan 1 + 2 + 3 +... + 9 = 45 sehingga S = 1 + 9 + 2 + 0 + 2 + 1 +... + 9 + 1 + 9 + 2 = 10 + 2.10 + (1 + 2 +... + 9) + 3.10 + (1 + 2 +... + 9) +... + 8.10 + (1 + 2 +... + 9) + 3.9 + 1 + 2 = 10.(1 + 2 +... + 8) + 7.(1 + 2 +... + 9) + 3.9 + 3 = 10.36 + 7.45 + 3.9 + 3 = (40 + 35 + 3).9 + 3 = 78.9 + 3 Jadi S habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 9, aka k = 1 2. Misal 3+25 2 5 = a, dengan engalikan kedua ruas dengan 2, diperoleh 6 + 50 = 40a 10a 50 = 40a 10a 6 50 = (2a 3)(2 5) 15 65 = (2a 3)(2 5) { 2a 3 = 1 a = 2 { 2 5 = 65 = 35 2a 3 = 65 a = 34 2 5 = 1 = 3 hanyalah 3 dan 5. { 2a 3 = 5 a = 4 { 2 5 = 13 = 9 2a 3 = 13 a = 8 2 5 = 5 = 5 Yang ebuat a enjadi bilangan bulat 3. Perhatikan bahwa 2 6 1 (od 13), sehingga 2 1000 = (2 6 ) 166.16 (od 13) = ( 1) 166.16 (od 13) = 16 (od 13) = 3 (od 13) Jadi 2 1000 jika dibagi 13 bersisa 3.
4. Untuk a n = 1 n log 2002 =2002 log n aka b c = a 2 + a 3 + a 4 + a 5 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 = 2002 log 2 + 2002 log 3 + 2002 log 4 + 2002 log 5 2002 log 10 2002 log 11 2002 log 12 2002 log 13 2002 log 14 = 2002 2.3.4.5 log 10.11.12.13.14 = 2002 1 log 11.13.14 = 2002 1 log 2002 = 1 Jadi b c = 1. 5. Perhatikan bahwa = aka =. Berdasarkan sifat fungsi tangga, aka Nilai yang eenuhi hanya 2006. 1 < 1 < ( ) ( ) < ( ) < 2004 2 0 2 < 2004 2 < 2 2004 < 2006 6. Masukkan asing-asing wadah dengan satu bola. Jadi tersisa (5 3) = 2 bola. Keudian kita bebas enaruh kedua bola tersebut ke wadah anapun. Berdasarkan kesipulan sebelunya, banyaknya cara enaruh kedua bola kedala tiga wadah adalah C3 1 2+3 1 = C2 4 cara. 7. Perhatikan proses berpikir berikut: Misal hanya ada 2 orang akan dibentuk kelopok yang anggotanya 2, aka banyaknya cara hanya ada 1 cara. Misal ada 4 orang (isal A,B,C,D) yang akan dibentuk 2 kelopok yang anggotanya asingasing 2. Cara easangkan A dengan satu orang ada 3 cara dan sisanya langsung ebentuk kelopok yang lain. Jadi ada 3 1 = 3 cara. Misal ada 6 orang (isal A,B,C,D,E,F) yang akan dibentuk 3 kelopok yang anggotanya asingasing 2. Cara easangkan A dengan satu orang ada 5 cara. Sisanya 4 orang dapat dibentuk dengan 3 1 cara. Jadi banyak cara untuk 5 orang adalah 5 (3 1) Dari proses berpikir seperti di atas, aka dapat disipulkan bahwa untuk ebentuk 5 kelopok dari 10 orang yang asing-asing kelopoknya ada 2 orang ada sebanyak 9 7 5 3 1 = 945 cara. 8. Ada 7 pria dan 3 wanita.
(a) Jika ketiga wanita selalu berdapingan, kita anggap sebagai satu kesatuan, sehingga banyaknya cara enepatkan kesepuluh orang itu seperti enepatkan 8 orang dala 8 wadah saja, banyaknya cara adalah 8!. Karena ketiga wanita juga dapat bertukar tepat sebanyak 3 2 1, aka banyaknya cara enjadi 8! 6 cara. (b) Karena tidak ada wanita yang bersebelahan dan di kedua ujung haruslah pria, aka kita dapat bentuk posisi seperti ini: P P P P P P P jadi ada 6 tepat yang ungkin dapat ditepati oleh ketiga wanita, dengan banyak cara = C 6 3. Sedangkan cara enepatkan ketujuh pria itu adalah 7! cara. Jadi total cara adalah 7! C 6 3 cara. 9. Ada 3 warna dasar: erah, kuning, biru. Masing-asing ada 5 kaleng. Perbandingan (0 : 0 : 1), (0 : 0 : 2),..., (0 : 0 : 5) enghasilkan 1 warna. Karena ada 3 warna aka perbandingan di atas hanya enghasilkan 3 warna. Perbandingan (0 : 1 : 1), karena ada 3 warna dasar (,k,b) aka perbandingan itu enghasilkan 3.2.1 2.1 = 3 Perbandingan (0 : 1 : 2), (0 : 1 : 3), (0 : 1 : 4), (0 : 1 : 5), (0 : 2 : 3), (0 : 2 : 5), (0 : 3 : 4), (0 : 3 : 5), (0 : 4 : 5) enghasilkan 9 (3.2.1) = 54 warna. (3.2.1 berdasarkan posisi warna) Perbandingan (1 : 1 : 1) hanya ada 3.2.1 3.2.1 = 1 warna. Perbandingan (1 : 1 : 2), (1 : 1 : 3), (1 : 1 : 4), (1 : 1 : 5), (1 : 2 : 2), (1 : 3 : 3), (1 : 4 : 4), (1 : 5 : 5) enghasilkan 8 3.2.1 2.1 = 24 warna. Perbandingan (1 : 2 : 3), (1 : 2 : 4), (1 : 2 : 5), (1 : 3 : 4), (1 : 3 : 5), (1 : 4 : 5) enghasilkan 6 (3.2.1) = 36 warna. Perbandingan (2 : 2 : 3), (2 : 2 : 4), (2 : 2 : 5), (2 : 5 : 5) akan enghasilkan 4 3.2.1 2.1 = 12 warna. Perbandingan (2 : 3 : 4), (2 : 3 : 5), (2 : 4 : 5) akan enghasilkan 3 (3.2.1) = 18 warna. (perhatikan bahwa (2 : 2 : 2) = (1 : 1 : 1) (2 : 2 : 4) = (1 : 1 : 2), (2 : 4 : 4) = (1 : 2 : 2)) Perbandingan (3 : 3 : 4), (3 : 3 : 5), (3 : 4 : 4), (3 : 5 : 5) akan enghasilkan 4 3.2.1 2.1 Perbandingan (3 : 4 : 5) akan enghasilkan 1 (3.2.1) = 6 warna. Perbandingan (4 : 4 : 5), (4 : 5 : 5) enghasilkan 2 3.2.1 2.1 = 6 warna. Total warna = 3 + 3 + 54 + 1 + 24 + 36 + 12 + 18 + 12 + 6 + 6 = 185 warna. = 12 warna. 10. Banyaknya cara eilih 3 bilangan dari 10 adalah C 10 3 = 120. Agar tidak ada 2 bilangan yang berurutan aka yang dipilih juga tidak boleh ada 3 bilangan berurutan. 3 bilangan berurutan: (1, 2, 3), (2, 3, 4),..., (8, 9, 10) ada 8 buah. 2 bilangan berurutan: (1, 2), (2, 3), (3, 4),..., (9, 10). Untuk (1, 2, a) aka a ada 7 keungkinan (karena untuk a = 3 sudah asuk kategori di atas). Begitu juga untuk (a, 9, 10) ada 7 keungkinan. Jadi ada 14 cara. Untuk (2, 3, a) aka a ada 6 keungkinan (karena 1 dan 4 sudah asuk kategori sebelunya), begitu juga untuk (3, 4), (4, 5),..., (8, 9). Jadi ada 7 6 = 42 cara. Total cara untuk eilih = 120 8 14 42 = 54 cara.
1. Modul Kupulan Soal OSN tahun 2002-2009 DAFTAR PUSTAKA 2. J.Douglas Faires, First Step For Math Olypians, MAA Proble Books