- PDF Download Gratis

ÅË¹ ½ ¼ Ä Ò Ö Ð Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ 3.5 Ã Ø Ø Ü µ Ü µ Ü µ 3 Ü µ.5 Ø Ü µ 3 Ü µ.5 Ø «.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Ü Ü ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ ÐÝ ÒÒ ØØÝ Ú Ö Ó ÑÑ Ø Å Ø Ô ÖÙ ÙÖ Ä Ò Ú Ø Ú Ø Ó Ø º ËÝ Ý ¾¼½

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ë ÐØ Å Ö ÒØ ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ½º½º Ñ Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ½º¾º È ÖÙ ØØ Ø ¾º Ä Ò Ö Ø Ý Ø Ñ Ø ¾º½º È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ¾º¾º Ä Ò Ö Ò Ò Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý ØÐ ¾º º Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ½ ¾º º Ä Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÙÙ ¾ º Ê Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ý ØØ ÝÝ ¾ º½º Ñ Ö ¾ º¾º È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø Ó ¾ º º Â Ø ÙÚ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ð Ù Ó Ø ½ º º Ê Ø Ù ÙÚ Ù Ú ÖØ Ù ¾ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ º½º Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ º¾º Ö ÒØØ Ý Ø Ñ Ø ¼ º º È Ö Ó Ø Ö Ø ÙØ ½ º ÆÙÑ Ö Ø Å Ò Ø ÐÑØ º½º ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ º¾º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÑ Ò Ø ÐÑØ º º ÔÐ ØØ Ø ÊÙÒ ÃÙØØ Ñ Ò Ø ÐÑØ º º Ã Ò Ø Ø ØÚØ ÑÔÐ ØØ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ¼ º º ÅÓÒ ÐÑ Ò Ø ÐÑØ Î ØØ Ø

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ Å Ö ÒØ ÆÓÖÑ Ø Î ØÓÖ Ò x,y C n ØÙÐÓ Ñ Ö ØÒ x,y = y x = n j= x jy j. ÌØ Ú Ø Ú ÒÓÖÑ Ñ Ö ØÒ x = x,x = ( n j= x j ). Å ØÖ Ò A C n n ÒÓÖÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ A = max Ax. x = ÌÐÐ ÔØ Ax A x. AB A B, A k A k. A i,j a ij. ÌÓÔÓÐÓ a R n ¹ Ø ρ ¹ Ø Ø ÚÓ ÒØ ÙÐ ØØÙ Ô ÐÐÓ Ñ Ö ØÒ B ρ (a) = { x R n x a < ρ }, B ρ (a) = { x R n x a ρ }. ÂÓÙ ÓÒ Ω R n ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ Ω c = R n \Ω = { x R n } x Ω. Ω ÓÒ ÓÒÚ Ó ÔØ x, y Ω ( t)x+ty Ω t [,]. Ω ÓÒ ÚÓ Ò Ó x Ω ρ > Ø Ò ØØ B ρ (x) Ω. Ω ÓÒ x Ò ÝÑÔÖ Ø Ó Ω ÓÒ ÚÓ Ò x Ω. Ω ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ó Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ ÚÓ Òº Ω ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ R Ø Ò ØØ Ω B R (). Ω ÓÒ ÓÑÔ Ø Ó ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ö Ó Ø ØØÙº Ω ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ó ÓÐ ÓÐ Ñ ÚÓ Ñ ÓÙ Ó U U Ø Ò ØØ U Ω, U Ω, U U = Ω U U. Å ØÖ Ø ÇÑ Ò ÖÚÓØ Å ØÖ Ò A C n n ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ Λ(A) = { λ C det(λi A) = }. ÂÓ A ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò A = A, Ò Ò Λ(A) R minλ(a) x Ax maxλ(a), ÐÐ x. x x ÐÐ Ò λ A ÐÐ λ Λ(A). ÄÙ Ù ρ(a) = max λ Λ(A) λ ÙØ ÙØ Ò A Ò Ô ØÖ Ð Ø º

¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Λ(p(A)) = { p(λ) λ Λ(A) } Ó ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ p Λ(A ) = { /λ λ Λ(A) }, Λ(e ta ) = { e tλ λ Λ(A) }. ÈØ A = max { µ µ Λ(A A) }. Ê ÓÐÚ ÒØØ ÇÐ ÓÓÒ A C n n. ÃÓÑÔÐ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓØ λ (λi A) ÙØ ÙØ Ò A Ò Ö ÓÐÚ ÒØ º Ê ÓÐÚ ÒØØ ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÓÙ Ó (C { })\Λ(A) º ÃÙÒ λ > ρ(a) ÔØ (λi A) = λ j= λ j Aj. ÇÐ ÓÓÒ Ω C ÐÙ Ø Ò ØØ Λ(A) Ω f : Ω C Ò ÐÝÝØØ Ò Òº ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ f(a) = f(z)(zi A) dz C n n, πi γ Ñ γ Ω ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÂÓÖ Ò¹ ÝÖ Ø Ò ØØ Ó Ó Λ(A) Ò ÔÙÓÐ ÐÐ º Af(A) = f(a)aº ÂÓ A B ÓÚ Ø Ñ Ð Ö Ø B = SAS Ò Ò f(b) = Sf(A)S ÂÓ f ÐÐ ÓÒ Ω ÙÔÔ Ò Ú ÔÓØ Ò Ö f(z) = j= c jz j Ò Ò ÔØ f(a) = j= c ja j º ÃÙÚ Ù Ø º ÇÐ ÓÓÒ f ÙÚ Ù R n R m. f Ò Ó ØØ Ö Ú ØØÓ Ñ Ö ØÒ f/ x i, Ø ÐÝ Ý Ø i f. ÂÓ f ÓÒ Ø ÙÚ ÓÙ Ó Ω, Ò Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ f C(Ω). Î Ø Ú ¹ Ø Ó f Ò Ó ØØ Ö Ú Ø Ø ÖØ ÐÙ ÙÙÒ k Ø ÓÚ Ø Ø ÙÚ Ò Ò Ñ Ö ØÒ f C k (Ω). ÇÐ ÓÓÒ f C (Ω). ÌÐÐ Ò Df(x) = f x (x) R m n Ð f Ò Ö Ú ØØ Ô Ø x ÓÒ f (x) f x... (x) x n Df(x) = º ººº º. f m(x) x... f m(x) x n Ì Ö ÑÑ Ò ÒÓØØÙÒ ØÑÒ Ñ ØÖ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ð Ò Ö ÙÚ Ù R n R m. ÌØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Â Ó Ò Ñ ØÖ º ÂÓ f C, Ò Ò f(x) f(x ) = d f(x dθ +θ(x x ))dθ = Df(x +θ(x x ))dθ(x x ),

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ó Ø ÐÐ Ò f(x) = f(x )+Df(x )(x x )+o( x x ). ÂÓ f : R R n ÓÒ Ø ÙÚ Ò Ò b f(t)dt b a f(t) dt. Ë ÑÓ Ò Ñ ØÖ Ö¹ a ÚÓ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ º

ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ½º ÂÓ ÒØÓ ½º½º Ñ Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Øº ÌÑ ÑÓÒ Ø ØØ Ð Ø Ú ÐÐ Ø Ò ¹ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ý Ø Ñ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÑ Ò ÙÙ º Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÐÙ ÑÙÙØ Ñ Ñ Ö Ó Ò Ô Ð ÑÑ ÑÝ ÑÑ Ò Òº Ñ Ö ½º½ Ê Ä¹Ô Ö µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÚ Ò ÑÙ Ø Ú ÖØ Ô Ö Ñ e(t) ÓÒ Ò¹ Ò ØØÙ Ý ØØ ÒÒ Ø º Î ØÙ Ò Ò Ù Ø Ò Ò Ô Ø Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò ÑÙ Ò u R (t) = Ri(t), u L (t) = Li (t), Cu C (t) = i(t). Ã Ö Ó Ò ÒÒ Ø Ð ÒÓÓ u R (t)+u L (t)+u C (t) = e(t). Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ u R u L ÑÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ý Ø Ñ Ò { u C ½º½µ (t) = i(t) C i (t) = u L C(t) R i(t)+ e(t) L L u R R i(t) e(t) L u L C u C ÌÑ ÓÒ ÑÙ Ú Ö Ó ØØ Ú ØÓÖ ÑÙÓ Ó º [ u C (t) i = C (t) L R L uc (t) Ø Ø Ò x(t) =, A = i(t) ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÝ Ý Ø Ñ Ö ½º¾º ][ uc (t) i(t) /C /L R/L x (t) = Ax(t)+b(t). ] [ + e(t) L ] b(t) =. e(t), ÓÐÐÓ Ò ½º½µ L ÃÙÚ Ò ÐÙÖ ÐÐ Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ð Ò ÑÙ Ò mv (t) = mgsin(θ(t)) ÓÑ ØÖ Ø v(t) = Lθ (t) ÌØ Ò ÐÙÖ ØÓØ ÙØØ { θ (t) = ½º¾µ v(t) L v (t) = gsin(θ(t)). θ L mg v(t) mg sin θ

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ [ θ(t) Å Ö ØÒ x(t) = f(x(t)) = x ] L (t). Æ Ò Ý Ø Ñ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ v(t) gsin(x (t)) ÐÝ Ý Ø x (t) = f(x(t)). Ñ Ö ½º È ØÓ Ð Ñ ÐÐ µº ½ ÇÐ ÓÓÒ s(t) ÓÐÐ Ò ÐÙ ÐÐ ÐÚÒ Ð Ð Ò ÑÙ Ùµ ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÐÙ ÙÑÖµ Ø ÐÐ t p(t) Ú Ø Ú Ø Ô ØÓÐ Ò Ù µ ÔÓ¹ ÔÙÐ Ø Óº ÇÐ Ø ÑÑ ØØ ÑÙ Ø ÑÙ ÙÒ Ý ÓÐ º ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ ÑÙ Ù ÐÐ ÓÒ ÖÙÓ Ò Ö ØØÚ Ø ÓØ Ò Ó Ò Ø Ý Ø Ò Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ð ÒØÝ ÚÙ¹ Ð Ò s (t) = as(t) ÑÙ Ø Ð Ð ÒØÝÑ ÒÓÔ Ù ÓÒ ÙÓÖ Ò Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔÓÔÙÐ ¹ Ø ÓÓÒº À Ù Ù Ø Ò Ò ÓÒ Ù Ò ÑÙ ÙÒ Ó Ø Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò s(t)p(t) Òº ÌÑ ÑÙÙØØ ÑÙ ÙÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ý ØÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ s (t) = as(t) bs(t)p(t) Î Ø Ú Ø Ó ÑÙ Ù ÓÐ Ù ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ú Ò Ð Ò p (t) = cp(t) ÑÙ Ø ÑÙØØ ÑÙ ÙØ Ô ØÚØ Ù Ø Ò ÑÑ Ý Ø Ñ Ò ½º µ s (t) = as(t) bs(t)p(t) p (t) = cp(t)+ds(t)p(t), Ñ a,b,c d ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ú Ó Ø º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ØÑ Ú ØÓÖ ÑÙÓØÓÓÒ ØØ Ñ ÐÐ x(t) = (s(t),p(t)), ÓÐÐÓ Ò ½º µ x ax (t) bx (t) = (t)x (t) f (x = (t),x (t)) = f(x(t)). cx (t)+dx (t)x (t) f (x (t),x (t)) ½º¾º È ÖÙ ØØ Øº ½º½µ ½º¾µ ½º µ ÓÚ Ø Ñ Ö Ò ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒµ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ý Ø Ñ Ø Ð ÐÝ Ý Ø Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Øº ÇÐ ÓÓÒ f Ø ÙÚ Ù¹ Ú Ù R R n R n. ÌÐÐ Ò Ý ØÐ ½º µ x (t) = f(t,x(t)), x(t) R n ÙØ ÙØ Ò n Ñ Ò Ó Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ý Ø Ñ º ÃÓÑÔÓÒ ÒØØ ÑÙÓ Ó Ö Ó ¹ Ø ØØÙÒ ØÑ ÓÒ x (t) = f (t,x (t),x (t),...,x n (t)) ½º µ x (t) = f (t,x (t),x (t),...,x n (t)) º x n (t) = f n(t,x (t),x (t),...,x n (t)). ÂÓ f ÔÐ ØØ Ø Ö ÔÙ t Ø ÙØ Ò Ñ Ö ½º¾ ½º Ð Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ x (t) = f(x(t)), Ò Ò Ý ØÐ ÙØ ÙØ Ò ÙØÓÒÓÑ º Ñ Ö ½º½ ÓÐ ÙØÓÒÓÑ Ò Ò Ñ Ð e(t) ÓÐ Ú Óµº Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ (α,β) R ÑÖ Ø ÐØÝ Ø¹ ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ú ØÓÖ ÖÚÓ Ø ÙÒ Ø ÓØ x : R R n, Ó ØÓØ ÙØØ ½º µ Ò ¹ ÐÐ t (α,β). Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò Ô Ð ÓÒ Ö Ø Ù Ñ Ö Ý ØÐ ÐÐ ½ ÎÓÐØ ÖÖ ØØ ØÑÒ Ñ ÐÐ Ò ½ ¾¼ ÐÙÚÙÐÐ Ö ÒÑ Ö Ò ÐÓ Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ò ÓÐÐ Ò ÝØØÝØÝ¹ Ñ Ò Ð ØØÑ º

ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ x = x ÓÒ Ö Ø ÙØ x(t) = ce t, Ú ÓÒ c C ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ º ÂÓØØ Ø Ò Ý ¹ ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò ÒØ Ð ØÓ ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø Ú Ò Ø ØÝÐÐ Ú ÓÒ ÖÚÓÐÐ º ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ Ñ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ ½º µ Ð ÓÐÐ x(t ) = x, Ð ÒÒ Ø ØÒ Ö Ø ÙÒ Ð Ø Ô Ø º Â Ø Ó ØÙÐÐ Ò Ò ÑÒ ØØ ÓÔ Ú Ò ÓÐ ØÙ Ò ØÑ ÝÐ Ò ÑÖ Ö Ø ÙÒ Ý ØØ Ø º ÃÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò Ô Ð ÙØØ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ñ ÙÖ Ú Ò Ø Ô Òº ØÐ ÐÐ Ø Ø Ò ÓÐÐÓ Ò Ò y (t) = g(t,y(t),y (t),y (t)) x (t) = y(t), x (t) = y (t), x 3 (t) = y (t), x (t) = x (t) x (t) = x 3(t) x 3(t) = g(t,x (t),x (t),x 3 (t)) ( ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ó f(t,x(t)) = x (t),x 3 (t),g ( t,x (t),x (t),x 3 (t) )), ÓÐÐÓ Ò Ð¹ ÙÔ Ö Ò Ò º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý ØÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ ÑÙÓ Ó ½º µº ÆÙÑ Ö Ø Ò Ö Ø ÙÓ ÐÑ ØÓ Ò ÝØØ ÐÐÝØØ Ù Ò ØØ Ý Ø Ñ ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÑÙÓ¹ Ó ½º µº

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾º Ä Ò Ö Ø Ý Ø Ñ Ø ¾º½º È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Øº ÇÐ ÓÓØ A : R R n n b : R R n Ø ÙÚ ØÓ Ò ÒÓ Ò ÙÐÐ Ò t R, A(t) ÓÒ n n Ñ ØÖ b(t) n Ú ØÓÖ Ø Ò ØØ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø a i,j (t) b i (t) ÓÚ Ø Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø i,j =,...,n. Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ¾º½µ x (t) = A(t)x(t)+b(t) ÙØ ÙØ Ò Ð Ò Ö Ô ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ý Ø Ñ ¾º¾µ x (t) = A(t)x(t) Ð Ò Ö ÓÑÓ Ò Ý ØÐ º ÂÓ A Ö ÔÙ Ø ÓÒ Ý Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý ØÐ º ÂÓ Ý Ø Ñ ÚÓ ØØ ÑÙÓ Ó ¾º½µ Ò Ò Ø ÙØ ÙØ Ò ÔÐ Ò Ö º Ñ Ö Ò ½º½ Ý Ø Ñ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ô ÓÑÓ Ò Ò Òº Ñ Ö Ø ½º¾ ½º Ø ÓÚ Ø ÔÐ Ò Ö º ÃÙØ Ò ÐÐ ÐÙÚÙ Ñ Ò ØØ Ò ÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ñ Òº ÌÐÐ Ò Ó Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ý ØÐ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ò ÑÝ Ú Ø Ú ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Òº Ñ Ö Ý ØÐ ÐÐ y (t)+a (t)y (t)+a (t)y (t)+a (t)y(t) = g(t) Ø Ø Ò x(t) = (y(t),y (t),y (t)) ÓÐÐÓ Ò Ò Ý Ø Ñ x (t) = y (t) y (t) = x(t)+, y (t) a (t) a (t) a (t) g(t) Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ ¾º½µº Ä Ò Ö ÐÐ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ ÔØ Ä Ù ¾º½º µ ÂÓ x y ÓÚ Ø Ý ØÐ Ò ¾º¾µ Ö Ø Ù α,β R, Ò Ò αx + βy ÓÒ ÑÝ ¾º¾µ Ò Ö Ø Ùº µ ÇÐ ÓÓÒ x p Ó Ò ¾º½µ Ò Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ò x p +y ÓÒ ¾º½µ Ò Ö Ø Ù Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ y ÓÒ ¾º¾µ Ò Ö Ø Ùº ÌÓ ØÙ º µ ÇÐ ÓÓØ x y Ý ØÐ Ò ¾º¾µ Ö Ø Ù α,β R. ÌÐÐ Ò d dt (αx(t)+βy(t)) = αx (t)+βy (t) = = αa(t)x(t)+βa(t)y(t) = A(t)[αx(t)+βy(t)]. µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº Ñ Ö ¾º½º ÇÐ ÓÓÒ Ý ØÐ ½º½µ R = 4, C = /6, L = /4 e(t) = e 4t. Æ ÐÐ Ò Ý Ø Ñ 6 x (t) = x(t)+ 4 6 4e 4t.

ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ x p = ( 4e 4t, e 4t) ÓÒ Ò Ö Ö Ø Ù e x 8t = e 8t x = (8t+)e 8t 4te 8t ÓÚ Ø ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ö Ø Ù ÙØ Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð¹ ÔÓ Ø ØÓ Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ Ø ØØÚ Ð Ù ÓÒ x() = (, ) ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ø Ùº ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙÓØÓ x = x p + c x + c x ÓÐ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ½º½µ Ò Ö Ø Ù º Ð Ù ØÓ ØÓØ ÙØÙÙ ÙÒ Ú ÑÑ [ 4 ]+c [ ]+c [ ] = [ ], Ó Ø c =, c = x(t) = ( 4e 4t +(8t 3)e 8t, e 4t (4t )e 8t). ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÐÐ Ò Ò Ð Ù Ó Ú Ò Ð Ò Ö Ý Ø Ñ º ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ñ ØÒ Ú Ø Ú ÓÐ ÚÓ Ñ º ¾º¾º Ä Ò Ö Ò Ò Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý ØÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò ÓÑÓ Ò Ø Ú Ó ÖØÓ Ñ Ø Ý ØÐ ¾º µ x (t) = Ax(t), Ñ A R n n º ÇÐ ÓÓÒ λ A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ v Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø º Av = λv µº Ø ØÒ ¾º µ Ò Ö Ø Ù ÑÙÓ Ó x(t) = η(t)v, Ñ η ÓÒ Ð Ö ÙÒ ¹ Ø Óº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò ÑÑ η (t)v = A ( η(t)v ) = η(t)av = λη(t)v. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý ØÐ ØÓØ ÙØÙÙ Ó η ÓÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò η (t) = λη(t) Ö Ø Ùº ÌÑÒ Ñ ØÙÒÒ ÑÑ η(t) = ce λt, Ñ c ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ú Óº Ë Ø Ò Av = λv = ce λt v ÓÒ ¾º µ Ò Ö Ø Ùº ÇÐ ÓÓÒ A ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ,λ,...,λ k ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v,v,...,v k. ÌÐÐ Ò ÙÒ ¹ Ø ÓØ c e λ t v,...,c k e λ kt v k ÓÚ Ø ¾º µ Ò Ö Ø Ù ÓØ Ò Ð Ù Ò ¾º½ ÑÙ Ò ÑÝ ¾º µ x(t) = c e λ t v +c e λ t v + +c k e λ kt v k ÓÒ ¾º µ Ò Ö Ø Ùº ÂÓ ÒÝØ k = n Ó Ú ØÓÖ Ø v,v,...,v n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Ø Ò Ò Ð Ù Ó Ø x() = x Ò Ý ØÐ c v + +c n v n = x Ð c = V x, Ñ c = (c,...,c n ), V = [ v v... v n]. Æ Ò Ò ¾º µ x(t) = V [ e λ ] t... e λnt V x. ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓØ Ò Ö e z = z k k= ÙÔÔ Ò ÐÐ z C. ÌØ Ò ÚÓ ÑÑ k! ÑÖ Ø ÐÐ e A = e z (zi A) dz, k= k! Ak = πi Ñ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÂÓÖ Ò¹ ÝÖ γ ÖØ Λ(A) Òº ÌÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ØÖ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø γ

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ä Ù ¾º¾º ÇÐ ÓÓØ A, B V n n ¹Ñ ØÖ V Ð ÒÒ ÐÐ Ò Òº µ ÂÓ C = V AV, Ò Ò e C = V e A V. µ ÂÓ AB = BA, Ò Ò e A+B = e A e B. µ e A = (e A ). µ e (A ) = (e A ). ÌÓ ØÙ º µ Ó ÒØÝÝ ÔÓØ Ò Ë Ø Ò e V AV = k= k! (V AV ) k, (V AV ) k = V AV V AV V AV = V A k V. lim m m k= k! (V AV ) k = lim V m m k! Ak V = V e A V. µ¹ Ó ÚÓ Ò ÝØØ ÒÓÑ Ú ÔÓØ Ò Ò (A+B) k Ð Ñ Ó A B ÓÑÑÙØÓ Ú Ø k (A+B) k k! = j!(k j)! Aj B k j. ÌØ Ò e A+B = = j= k! (A+B)k = k= ( )( A j j! j= k= B k k! k= ( k k= ) j= A j j! = e A e B. ) B k j (k j)! Î Ñ ÐÐ Ö Ú ÐÐ ÖÖÝØØ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÙÑÑ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÐÐ ØÙÐÓ Ø Ù ÝÒ ØÙÐÓµ Ó ÚÓ Ò ØÓ Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ º Ë ÔØ Ø ÑÝ Ñ ØÖ Ö Ó ÐÐ Ó A B ÓÑÑÙØÓ Ú Øº µ¹ Ó Ø ÙÖ µ Ø I = e = e A A = e A e A. µ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Å ØÖ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÒ ÙÔÔ Ò Ú ÑÙØØ ÒÝØØ Ò Ð ÐØ Ð e A ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Øº ÄÚ Ø Ñ ØÖ Ò D = (d,d,...,d n ) ÔÓØ Ò Ø ÓÚ Ø D k = (d k,d k,...,d k n), ÓØ Ò ÐÐ Ò e D = k= k! Dk = k= d k k! ºº º d k n k= k! = e d ºº º e dn ÌØ Ò Ý ØÐ Ø ¾º µ Ò x(t) = V e tλ V x ÐÐ Ò Ó ta = V tλv Ò e ta = V e tλ V Ý ØÐ Ò ¾º µ Ö Ø Ù x(t) = e ta x º Ì ÝØ ØØ Ò ÝÚ A Ò ÓÒ Ð Ó ØÙÚÙÙØØ º ÄÓÔÔÙØÙÐÓ ÔØ Ù Ø Ò Ò ÝÐ Ø.

½¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ä Ù ¾º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ x(t) = e ta x. x (t) = Ax(t), x() = x ÌÓ ØÙ º ËÙÔÔ Ò Ú ÔÓØ Ò Ö Ó Ö ÚÓ Ø ÖÑ ØØ Ò ÓØ Ò d dt eta = d t (I +ta+ dt! A + t3 3! A3 +...) = = +A+tA + t! A3 + t3 3! A4 + = = A(I +ta+ t! A + t3 3! A3 +...) = Ae ta. Ë Ô ( d dt e ta x ) = ( Ae ta) x = A ( e ta x ). ÌÓ Ò ÒÓ Ò x(t) = e ta x ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ùº ÇÐ ÓÓÒ x Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ó Ò Ö Ø Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ y(t) = e ta x(t). Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ò y (t) = Ae ta x(t)+e ta x (t) = Ae ta x(t)+e ta Ax(t) =. Ë y ÓÒ Ú Ó Ð Ù ØÓ ÒØ y(t) = y() = x. Ã ÖØÓÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ØÓ Ø Ò ØØ x(t) = e ta x, ÓØ Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÓÒ Ð Ó ØÙÚ Ò Ñ ØÖ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÓÒ ÐÔÔÓ Ð Ñ Ö ¾º¾º Å ØÖ Ò A = [ ] ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø λ = λ =. Æ Ø Ú Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = [ ] v = [ ]. Ë Ø Ò A = V ΛV Ñ Λ = [ ], V = [ [ e e ta = V e tλ V t = = e t +e t e t e t e t e t e t +e t = ] ][ e t [ cosht sinht sinht cosht Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ø Ò e ta Ò ÚÓ ÝÐ Ø Ð º Å ØÖ N ÒÓØ Ò Ò ÐÔÓØ ÒØ Ó N l = ÓÐÐ Ò l. Ë ÐÚ Ø ØÐÐ Ò ÑÝ ÓÖ ÑÑ Ø ÔÓØ Ò Ø ÓÚ Ø ÒÓÐÐ º Ë Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ e tn Ö Ø ÓØ Ò e tn = l k= Ñ Ö ¾º º Å ØÖ ÓÒ Ò ÐÔÓØ ÒØØ ÐÐ N = t k k! Nk = I +tn + t N + + tl (l )! Nl. N = N 3 =. Ë Ø Ò e tn = I +tn + t N = [ t t t ]. ] ].

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½½ ÂÓ A ÓÐ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ Ò Ò ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ñ Ð Ö ÑÙÙÒØ ÂÓÖ Ò Ò ÑÙÓ¹ ØÓÓÒ J A. ÆÝØ e tj A ÓÒ ÐÓ ÓÐÚ Ø Ñ ØÖ ÓÒ ÐÓ ÓØ ÓÓ ØÙÚ Ø ÑÙÓØÓ e tj(λ,r) ÓÐ Ú Ø Ñ ØÖ Ø º ÆÑ ÚÓ Ò Ð ÙÖ Ú Ø ÂÓÖ Ò¹ÐÓ Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÚ Ø Ñ ØÖ Ò Ò ÐÔÓØ ÒØ Ò Ñ ØÖ Ò ÙÑÑ Ò ] λ λ. J(λ,r) = λi +N =....... = +........ λ [ λ λ... λ Ñ N r = º ÃÓ λi N ÓÑÑÙØÓ Ú Ø Ò r e tj(λ,r) = e tλi+tn = e tλ j= t j j! Nj. Ñ Ö ¾º º Å ØÖ ÐÐ [ 5 4 3 ] A = 3 Ò Ñ Ð Ö ÑÙÙÒÒÓ ÂÓÖ Ò¹ÑÙÓØÓÓÒ º Ð Ò Ö Ð Ö Ò ÑÓÒ Ø µ Æ Ò ÓÐÐ Ò V AV = J A = [ 4 4 ], Ñ V = [ e ta = V e tj A e V t = V e tj(4,) V [ ][ e t ] = e 4t [ t] = e4t (+t) e 4t (+t) e t e 4t e t te 4t e 4t ( t)+e e 4t +e t. te 4t e 4t (t )+e t e 4t +e t ]. À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ ½º Ç Ó Ø ØØ det(e ta ) = e t ØÖ(A). ¾º ÇÐ ÓÓÒ V C n n Ú ÒÓ ÖÑ ØØ Ò Ò V = V. ÆÝØ ØØ e tv ÓÒ ÙÒ Ø Ö Ò Ò ÐÐ t º Î Ø Ú Ø ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ö Ð Ø Ú ÒÓ ÝÑÑ ØÖ Ø Ñ ØÖ ¹ Ø ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Òº Ê Ð ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ A ØØ ÓÐÐ ÓÑÔÐ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓØ ÒØÝÚØ Ð ØØÓÐÙ¹ ÙÔ Ö Ò α±iβ. ÂÓ w = u+iv ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓ λ = α+iβ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Aw = λw, ÓØ Ò w = u iv Ú Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ λ = α iβ. Ì ØÚÒ x = Ax Ö Ö Ø Ù ÓÒ x(t) = c e λt w +c e λt w. Ð Ò ÐÙØ Ò Ö Ð Ò Ò Ö Ø Ùº ØÐ Ò A(u + iv) = (α + iβ)(u + iv) Ö Ð Ñ Ò Ö Ó Ø Ò Au = αu βv α β ¾º µ Ð A[u v] = [u v]. Av = βu+αv β α

½¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌØ Ò Ô Ò Ò Ð ÙÒ Ð Ò ÑÑ Ö Ø ÙÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ cos(βt) sin(βt) x(t) = e αt [u v] c. sin(βt) cos(βt) Ã ÙÐÓØØ Ñ Ö º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÝÝÔÔ Ø Ô Ù Ý ØÐ Ø x = Ax. Æ Ñ A x(t) Λ(A) ÃÙÚ Ä e t x() {,} Æ ÐÙ e t x() {, } Ë ØÙÐ e t e t x() {,} Ò Öº Ð e t te t e t x() {,} Ã Ù cos(t) sin(t) x() sin(t) cos(t) { i,i} Ô Ø º Ó Ù cos(t) sin(t) e t x() sin(t) cos(t) {±i} ËØ Ð Ó Ù cos(t) sin(t) e t x() { ±i} sin(t) cos(t) Ì Ö Ø ØØ ÒÒ ØÙØ x(t) Ø ÓÚ Ø Ö Ø Ù º

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ ÃÚ Ð Ø Ø Ú Ø Ö Ø Ù Ò ÐÙÓÒÒ ÑÖÝØÝÝ A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø º Ö ØÝ Ø Ê Ð Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÇÚ Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø Ú Ø Ú Ö Ñ Ö Ø ÇÒ Ó ¹ØÖ Ú Ð ÂÓÖ Ò ÐÓ Ó ÃÓÑÔÐ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÇÒ Ó Ö Ð Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ò Ø Ú Ò Ò Ú ÒÓÐÐ Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ø Ô Ù Ø ÒØÝÚØ Ñ Ò ÚÒÒ ØØÝ Ò Ñ Ö ¾º Ä µº Å ØÖ ÐÐ A = ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ =, λ = ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = (, ), v = (, ). ÎÓ ÑÑ Ö Ó ØØ A = V ΛV, Ñ Λ =, V = [ v,v ] =, ÓÐÐÓ Ò e e ta = V e Λt V t e t e = e t = t e t e t. Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ x = Ax, x() = x Ö Ø Ù ÓÒ Ø Ò e t e x(t) = t e t a e e t = t (a a )+e t a a e t a Ë ÙÖ Ú ¾º ÙÚ ÓÒ ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù ÝÖ Ö Ð Ù ÖÚÓ ÐÐ º ÌÐÐ Ý Ø Ñ Ð¹ Ð Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø ÓÖ Ó Ø ÔÓ Ô Òº A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Øº ÌØ ÙØ ÙØ Ò Ð Ø º. x x.5.5 - -.5.5 - -.5.5 x x -.5 -.5 - ¾º Ä ¾º Æ ÐÙ Ñ Ö ¾º Æ ÐÙµº Å ØÖ ÐÐ A = ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ = 3 λ = ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = (, ), v = (, ). ÃÙØ Ò ÐÐ Ñ Ö ÑÑ e e ta 3t / / e = e t = / / t +e 3t e t +e 3t e t +e 3t e t +e 3t -

½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x = Ax, x() = x Ö Ø ÙÒ x(t) = e t (a a )+e 3t (a +a ) e t (a a )+e 3t (a +a ) ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ò Ø Ú Ø ÓØ Ò Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø ÓÖ ÓÓÒ Ô Ò º ¾º ÙÚ ÝÐÐµº ÌØ ÙØ ÙØ Ò Ò ÐÙ º. ÃÝ ÝÑÝ Å ÙÚ ¾º ÓÒ ÝÑÑ ØÖ ÑÔ Ù Ò ÙÚ ¾º Î Ø Ù ÃÓ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Øº Ñ Ö ¾º Ë ØÙÐ µº Å ØÖ ÐÐ A = 4 ÓÒ Ö Ñ Ö Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ = λ = 3 ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = (,4 ) ( ), v =,. ÃÙØ Ò ÐÐ ÑÑ e e ta = t +4e 3t e t e 3t 5 4e t 4e 3t 4e t +e 3t Ð Ù ØÓ x() = x ÒØ Ö Ø ÙÒ e x(t) = t (a +a )+e 3t (4a a ) 5 e t (4a +4a )+e 3t. ( 4a +a ) x.5 - -.5.5 x ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø ÓÖ ÓÓÒ Ô Ò v - Ò ÙÙÒØ Ø ÙÓÖ Ô Ø Ò ØÒØÝ¹ ¾º Ë ØÙÐ ÚØ ÝÑÔØÓÓØØ Ø v Ò ÙÙÒØ Òº 9 8 Ñ Ö ¾º Ô Ø Ð Ó Ù µº Å ØÖ ÐÐ A = ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÓÑ ¹ 6 7 [ Ò ÖÚÓÔ Ö λ, = ± 8i. Î ØÓÖ Ø u = v = ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ø ¾º µ ] ÓØ Ò x(t) = e t (c c )cos(8t)+(c +c )sin(8t). c cos(8t)+c sin(8t) Ð Ù ÖÚÓÒ x() = a ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ø Ù Ò x(t) = e t a cos(8t)+(a a )sin(8t) a cos(8t)+(a a )sin(8t). -.5 ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ö Ð Ñ Ø ÓÖ Ó Ø ÔÓ Ô Òº ËÝ Ø Ñ ÙØ Ù¹ Ø Ò Ô Ø Ð Ó Ù º A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö Ð Ó Ø ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Øº Ë ÙÖ Ú Ò ¾º ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ø Ö Ð Ù ÖÚÓ Ø Ð Ø ÚØ Ö Ø Ù ÝÖØº

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ x x.5.5 - -.5.5 - -.5.5 x x -.5 -.5 - ¾º Ô Ø Ð Ó Ù ¾º ËØ Ð Ó Ù [ [ 3 Ñ Ö ¾º ËØ Ð Ó Ù µº Å ØÖ A = Ú ØÓÖ Ø u = v = ] ] ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ø ¾º µ ÓÑÔÐ ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÔ Ö ÐÐ λ, = ±i. ÃÙØ Ò ÐÐ Ö Ø Ù x(t) = e t a cost+( a +a )sint a cost+( a +a )sint ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÓÒ x() = a. ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ö Ð Ñ Ø ÓÖ ¹ ÓÓÒ Ô Òº ËÝ Ø Ñ ÙØ ÙØ Ò Ø Ð Ó Ù º A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö Ð Ó Ø ÓÚ Ø Ò Ø Ú Øº ÐÐ ÓÐ Ú Ò ¾º ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ½½ Ö Ð Ù ÖÚÓ Ø Ð Ø ÚØ Ö Ø Ù Ý¹ ÖØº ÀÙÓÑ ØØ ØÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Imλ / Reλ = / ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ð¹ Ð Ñ Ö Ñ Ú Ø Ú Ù ÓÐ 8. Ì Ø Ó ØÙÙ ØØ Ö Ø ÙØ ÖØÚØ Ú ÑÑÒº - Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÝÐ Ø Ñ ØÖ A. ÌÑÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ò Ý ØÐ Ø Ñ λ (a +a )λ+a a a a = Ð λ ØÖ(A)λ+det(A) =, ØÖ(A) = a +a ÓÒ A Ò Ð ØÖ µ = A Ò ÐÚ Ø Ð Ó Ò ÙÑÑ = A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÙÑÑ det(a) = a a a a ÓÒ A Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ = A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ØÙÐÓº ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø λ, = ØÖ(A)± 4 ØÖ(A) det(a). ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÓÑÔÐ Ø ÙÒ Ö Ñ Ò ÒØØ D = 4 ØÖ(A) det(a) ÓÒ Ò Ø ¹ Ú Ò Ò ÑÙÙØ Ò Ö Ð Øº ÇÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ò ÖØ Ò Ò ÙÒ D =. Ë ÙÖ Ú ÙÚ ÔÝÖ Ð ØØÑÒ Ò Ò Ý Ø Ý º ËØ Ð Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ö Ø ÙØ ÚØ Ô Ò ÓÖ Ó Ø º Ì Ò Ô Ð ÑÑ ÑÝ ÑÑ Òº

½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ det(a) D= stabiili fokus epastabiili fokus D< nielu stabiili epastabiili lahde tr(a) D> Ñ Ö ¾º½¼ ËÔ Ö Ð R 3 µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÓÔÙ ÙÐÓØØ Ø Ñ Ö satula 4 6 4 A = 8 5. 96 84 8 ÌÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓÔ ¹ Ö λ, = 6 ± 8i, Ú Ø Ú Ø Ú Ò ¾º µ ÑÙ Ø Ú ØÓÖ Ø u = (,,) v = (,,), Ý Ö Ð Ò Ò ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓ λ 3 = 3 Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ w = (,,4). ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ V = [u v w] =, 4 ÓÐÐÓ Ò A = V BV, Ñ B = 6 8 8 6. 3 x w x 3 v x u ÂÓ y ÓÒ Ý Ø Ñ Ò y (t) = By(t) Ö Ø Ù Ò Ò x = V y ÓÒ Ý ØÐ Ò x (t) = Ax(t) Ö Ø Ùº Ò ÑÑ Ò Ö Ø ÙØ Ð Ù ÖÚÓÐÐ y() = a ÓÚ Ø y(t) = e6t (a cos(8t)+a sin(8t)) e 6t (a cos(8t) a sin(8t)), a 3 e 3t

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ ÓØ Ò Ð ÑÑ ÐÐ Ò a e 6t ( cos(8t) sin(8t))+a e 6t (cos(8t) sin(8t)) x(t) = a e 6t (cos(8t) sin(8t))+a e 6t (cos(8t)+sin(8t)) a 3 e 3t. e 6t (a cos(8t)+a sin(8t))+4a 3 e 3t Ì ØÚ ¾º½º ÌÙØ ÙÖ Ú Ø Ò ÖÓ ØÙÒ Ø Ø Ô Ù Ø Ð e ta µ A = µ A = µ A = 4 µ A =. ÌÑ ÓÐ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ º Î Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ λ, 3 ÓÑ Ò Ú ØÓÖ u Ú ØÓÖ v Ø Ò ØØ Av = λv +u, ÓÐÐÓ Ò A J(λ,). ¾º º Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ º Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÝÐ Ø Ð Ò Ö Ø Ð¹ Ù ÖÚÓØ ØÚ ¾º µ x (t) = A(t)x(t)+b(t), x(t ) = x. Ì Ö Ø ÐØ Ú Ò ÐÑ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ò ÙÓÖ Ò ØÐÐ Ø ÑÙÓØÓ Ø Ò Ô ÝØÒ Ø Ö¹ Ø Ð Ñ ÐÐ ÝÐ Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø ÓÒ ÙÒ Ô Ø Ò Ð Ø º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A b ÓÚ Ø Ø ÙÚ Ñ ØÖ»Ú ØÓÖ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó Ø º Ì Ö Ó ØÙ ÓÒ Ø ÐÐ Ø Ò Ø ØÚÒ Ð ØØÝÚ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ÓÒ ÚÙÐÐ Ö Ø Ù ÚÓ Ò ØØº Ä Ù ¾º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ ¾º µ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº ÑÑ ØÓ Ø ØØ Ø ÐÐ Ð Ù ¾º ÙÖ ÑÝ ÑÑ Ò ØÓ Ø ØØ Ú Ø ÝÐ ÑÑ Ø Ð Ù Ø º½º Ì Ö Ø Ð ÑÑ Ò Ò Ñ Ø Ö ØÝ Ø Ý ØÐ Ò Ð Ò Ö ÙÙ ÒØ Ö Ø ¹ Ù Ò ØÝ Òº ÐÓ Ø Ø Ò ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ø ¾º µ x (t) = A(t)x(t). Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ v,v,...,v k R n Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÙÐÐ Ò j =,...,k ÓÐ ÓÓÒ x j Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ (x j ) (t) = A(t)x j (t), x j (t ) = v j Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ø x (s),x (s),...,x k (s) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó ¹ ÐÐ s R. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ s R Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÐ ÓÓØ c,...,c k R Ø Ò ØØ ¾º µ c x (s)+c x (s)+ +c k x k (s) =. Ø Ø Ò y(t) = c x (t)+ +c k x k (t). ÌÐÐ Ò y(s) = Ó ÐÐ t : y (t) = c (x ) (t)+ +c k (x k ) (t) = c A(t)x (t)+ +c k A(t)x k (t) = = A(t)[c x (t)+ +c k x k (t)] = A(t)y(t). ÆÝØ Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ y(t) = ÐÐ t, Ö ØÝ Ø = y(t ) = c v + +c k v k.

½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Î ØÓÖ Ø v,v,...,v k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÓØ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú c = c = = c k =. Ë Ô x (s),...,x k (s) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ì Ø Ð Ù Ø Ò ÙÖ Ú ÓÑÓ Ò Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ n Ñ Ò Ó Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ Ð Ò Ú ØÓÖ ÖÚÓ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó º ÌØ Ú ÖØ Ò Ø Ö¹ Ø ÐÐ Ò Ð Ù ØØ Ø Ô Ù k = n v j = e j, j =,...,n e j i = δ i,j µº ÇÐ ÓÓÒ t R ÒÒ Ø ØØÝ ÙÐÐ Ò j ÓÐ ÓÓÒ x j Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ (x j ) (t) = A(t)x j (t), x j (t ) = e j Ö Ø Ùº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ý Ø Ñ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Φ(t,t ) = [ x (t) x (t)... x n (t) ], ÓÐÐÓ Ò ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Φ(t,t ) ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÐÐ t. ÅÖ Ø ÐÑ Ø Ò Φ(t,t ) = I Φ(t,t ) t = [ (x ) (t)... (x n ) (t) ] = [ A(t)x (t)... A(t)x n (t) ] = = A(t) [ x (t)... x n (t) ] = A(t)Φ(t,t ). ÌØ Ò Φ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÓ ÑÝ ØØ ÑÙÓ Ó Ñ ØÖ Ò A ÑÖÑ ÙÒ Ñ Ò¹ Ø Ð Ñ ØÖ Φ ÓÒ Ò Ö Ð ÑÙÙØØÙ Ò Ñ ØÖ ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ò ÑÑ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ù Ø Ò ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Φ(t,t ) ¾º½¼µ = A(t)Φ(t,t ), Φ(t,t ) = I. t ÌÑÒ ÚÙÐÐ ÑÑ Ø Ä Ù ¾º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ù Ò x(t) = Φ(t,t )x. x (t) = A(t)x(t), x(t ) = x, ÂÓ A ÓÒ Ú ÓÑ ØÖ Ò Φ(t,s) = e (t s)a. ÂÓ ÐÐ t,τ ÔØ A(t)A(τ) = A(τ)A(t) ØÓ Ò ÒÓ Ò ØØ A Ò ÖÚÓØ Ö Ô Ø ÓÑÑÙØÓ Ú Ø Ò Ò ØÐÐ Ò ÔØ Φ(t,s) = e t s A(τ)dτ. ÌÑ ÓÒ ÑÙ Ú ØÓ Ø ÒÙÑ Ö ¹ Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØØ Ò ÑÝ ÑÑ Òµº ÃÙ Ø Ò Ò ØÐÐ Ò Ò Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ú Ö Ò ÖÚ Ò Ò Ò ÓØ Ò ØÐÐ ØÙÐÓ ÐÐ ÓÐ ÝØÒÒ Ò Ñ Ö ØÝ Øº ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Øº ÂÓ s R, Ò Ò ÃÓ x ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú x(t) = Φ(t,s)x(s) = Φ(t,s)Φ(s,t )x Φ(t,s)Φ(s,t ) = Φ(t,t ) ÐÐ t,s,t R. Ö ØÝ Ø Φ(t,s) = Φ(t,t )Φ(s,t ), ÙÒ t = t, Ò Φ(s,t) = Φ(t,s). Ì ØÚ ¾º¾º ÆÝØ Φ(t,s) s = Φ(t,s)A(s).

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÝÐ Ø Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ¾º µº ÌÑÒ Ö Ø Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Φ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ Φ Ñ ØÖ Ò A ÑÖÑ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò ¾º½½µ x(t) = Φ(t,t )x + ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ ¾º µ Ö Ø Ùº t t Φ(t,s)b(s) ds ÌÓ ØÙ º Ë ÐÚ Ø x ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÓÒº Ë ØØ Ò ÙÓÖ ÐÐ Ð ÙÐÐ x (t) = t Φ(t,t )x +Φ(t,t)b(t)+ t t t t Φ(t,s)b(s) ds = = A(t)Φ(t,t )x +b(t)+ A(t)Φ(t,s)b(s) ds = t ( t ) = A(t) Φ(t,t )x + Φ(t,s)b(s) ds +b(t) = A(t)x(t)+b(t). t ÃÙÒ A ÓÒ Ú ÓÑ ØÖ Ò Ò Φ(t,s) = e (t s)a, ÓÐÐÓ Ò ¾º½½µ ÑÙÓ ÓÒ ¾º½¾µ x(t) = e (t t )A x + t t e (t s)a b(s) ds. Ñ Ö ¾º½½º ÇÐ ÓÓÒ Ö Ø Ø Ú Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ 4 65cost x (t) = Ax(t)+b(t) = x(t)+ 3 ÇÑ Ò ÖÚÓ Ò Ú ØÓÖ Ò ÚÙÐÐ Ò A = V ΛV = 5 3, x() =, 5 ÓØ Ò Ú t eas cos(s) ds = (e at (sint+acost) a), ÒØ +a 5 t 65 x(t) = V 3 etλ + V e 5 (t s)λ coss ds = 3 3 [ 5e = V t 65 ] 3 5e 5t + V +4 (sint+cost e t ) 3 3 = +5 (sint+5cost 5e 5t ) 3sint+6cost e = V t 6sint+7cost = 7e 3 5sint+5cost t +. 7sint+9cost. ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ º Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý Ø Ñ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ñ Ò x (t) = A(t)x(t) Ð ØØÝÚ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Φ º ¾º½¼µµº Ä Ù ¾º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A C n n ØÓØ ÙØØ Re A(t)x,x µ x, ÐÐ x C n, t t. ÌÐÐ Ò Φ(t,t ) e (t t )µ, ÙÒ t t.

¾¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ x(t) = Φ(t,t )x u(t) = x(t) = x(t),x(t). ÌÐÐ Ò u (t) = A(t)x(t),x(t) + x(t),a(t)x(t) = Re A(t)x(t),x(t) µ x(t) = µu(t), ÓØ Ò d dt log(u(t)) = u (t) u(t) µ. ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò log(u(t)) log(u(t )) (t t )µ Ð u(t) u(t )e (t t )µ, ÓØ Ò Φ(t,t )x e (t t )µ x. Æ Ò Φ(t,t ) e (t t )µ. Ë ÙÖ Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ A µ ÙØ Ò ÝÐÐº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ ÌÐÐ Ò x (t) = A(t)x(t)+b(t), x(t ) = x. x(t) e (t t )µ x + t t e (t s)µ b(s) ds, t t. Ö ØÝ Ø Ó µ < b(t) M, t t, Ò Ò x(t) x + M µ, t t. ÌÓ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Ð Ù ¾º µº Î Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý Ø Ñ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò A C n n ÑÖÑ Ý Ø Ñ x (t) = Ax(t). Å ØÖ Ò e ta ÒÓÖÑ Ò Ð Ñ Ò Ò ÓÒ Ñ Ð Ó Ò Ð º Ì ØÚ ¾º º Ä e ta, ÙÒ A = [ a ]. ÅÖ Ø ÐÐÒ Ø Ú ÐÙ Ù ¾º½ µ ¾º½ µ α(a) = max λ Λ(A) Reλ, µ(a) = max x = Re Ax,x. ÄÙ Ù α(a) ÙØ ÙØ Ò A Ò Ô ØÖ ¹ Ð µ(a) ÓÒ A Ò ÐÓ Ö Ø¹ Ñ Ò Ò ÒÓÖÑ º Î Ö Ò Ò ÙÚ ÓÒ Ñ Ø¹ Ö ÐÐ A = i 4 i i 4 i 3 i. Ï µ λ λ λ 3 α( ) A Ü Ü Ü ½ λ 4 µ( A) ÂÓÙ Ó W(A) = { Ax,x x C n, x = } ÓÒ Ñ ØÖ Ò A ÖÚÓ ÒØØ Ð Ó Ú ÐÙ µº Ë ÐÚ Ø Λ(A) W(A), ÓØ Ò α(a) µ(a). Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ W(A) ÓÒ Ò ÓÒÚ ØÓ ØÙ Ú µº

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾½ Æ Ò ÑÝ Re Ax,x = ( Ax,x + x,ax ) = Sx,x, Ñ S = (A+A ). ÌØ ÙØ ÙØ Ò A Ò À ÖÑ ØØ Ó º ÃÓ S ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ö Ð Øº Ä Ò Ö Ð Ö Ò Ó ÙÙ Ø ÑÙ Ø ÑÑ ØØ ÖÑ ØØ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÔØ min λ Sx,x max λ ÐÐ x, λ Λ(S) x,x λ Λ(S) Ð ¹ ÝÐÖ Ø ÚÙØ Ø Ò Ú Ø Ú ÐÐ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ ÐÐ º ÌØ Ò µ(a) ÓÒ S Ò ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº Ì ØÚ ¾º º ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ µ ÓÐ Ú Ö Ò Ò Ò ÒÓÖÑ ÚÓ Ñ Ö ÓÐÐ Ò Ø ¹ Ú Ò Òµº ÆÝØ ØØ Ù Ø Ò Ò ØÓØ ÙØØ µ(ca) = cµ(a), ÙÒ c, µ(a+b) µ(a)+µ(b). ËÔ ØÖ Ð ÐÓ Ö ØÑ Ò Ò ÒÓÖÑ ÓÚ Ø Ø Ú ÖÚ Ó Ø Ö Ø Ù Ò ÚÙ Ä Ù ¾º½¼º Ã ÐÐ t ÔØ e tα(a) e ta e tµ(a). ÌÓ º ÃÓ Λ(e ta ) = { e tλ λ Λ(A) }, Ò Ò e ta e tλ = e treλ ÐÐ λ Λ(A) ÓØ Ò e ta e tα(a). e ta e tµ(a) ÙÖ ÙÓÖ Ò Ð Ù Ø ¾º º Ä ÑÑ ¾º½½º ÂÓ α(a) <, Ò Ò lim e ta =. t ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ A Ò ÂÓÖ Ò¹ÑÙÓØÓ ÌÐÐ Ò J A = V AV = e ta = V e tj A V = V [ J(λ,r )... J(λ q,r q) ]. [ e tj(λ,r ] )... e tj(λq,rq) V, ÓØ Ò Ö ØØ ÒÝØØ ØØ lim t e tj(λ,r) =, ÙÒ Reλ <. Å ØÖ Ò e tj(λ,r) ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ø Ð ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ tj j! eλt. ÆÑ Ð ØÝÚØ ÒÓÐÐ ÐÐ lim t t j e δt = ÐÐ j R, ÙÒ δ >. Ä ÑÑ ¾º½¾º Ã ÐÐ β > α(a) ÓÒ ÓÐ Ñ K β Ø Ò ØØ e ta K β e tβ, t. ÌÓ º ÃÙÒ β > α(a), Ò Ò α(a βi) = α(a) β <, ÓØ Ò Ð ÑÑ Ò ¾º½½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ lim t e t(a βi) =. Ë ÓÒ ÓÐ Ñ K β = max t e t(a βi). ÆÝØ e t(a βi) = e tβ e ta, ÓØ Ò e ta K β e tβ, t.

¾¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ 3 Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ ÒÓÓ ØØ Ô Ò ÐÐ t Ð Ù Ò ¾º½¼ ÝÐÖ ÓÒ Ó ÑÔ ÙÒ Ø ÙÙÖ ÐÐ t Ð Ö ÓÒ Ø Ö ÑÔ º Î Ö Ò Ò ÙÚ ÓÒ Ñ ØÖ ÐÐ A =, ÓÐÐ α = µ = 4 ( 7 3). Ì β =.3..5.5.5 Ã Ø Ø Ø «Ø Ä ÑÑ ¾º½ º.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 lim t t log eta = µ(a) lim t t log eta = α(a). Ì Ø Ó ØÙ Ò µ ÐÐ ÓÒ Ò Ñ ÐÓ Ö ØÑ Ò Ò ÒÓÖÑ º ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ µ = µ(a) x =, Ñ Sx = µx x(t) = e ta x = x +tax +O(t ). ÌÐÐ Ò Æ ÒÔ x(t) = +t x,ax +t Ax,x +O(t ) = +tµ+o(t ). log e ta log x(t) = log(+tµ+o(t )) = tµ+o(t ) liminf t + t log eta µ. ÌÓ ÐØ Ð Ù Ò ¾º½¼ Ô ÖÙ Ø ÐÐ t log eta µ, ÓØ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ø ÓÒ ÒÝØ ØØÝº Ä Ù ¾º½¼ ÒÓÓ α(a) t log eta, ÓØ Ò Ö ØØ ÒÝØØ ØØ Ö ¹ ÖÚÓÐÐ ÙÒ t, ØÑ ÓÒ ÑÝ ÝÐÖ º Ä ÑÑ Ò ¾º½¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒÒ ØÙÐÐ β > α(a) Ð ÝØÝÝ K Ø Ò ØØ e ta Ke tβ, t. ÌÐÐ Ò lim sup t t log eta (logk +tβ) = β. t ÃÓ ØÑ ÔØ ÐÐ β > α(a), Ò Ú Ø º Ä ÑÑ ÒÓÓ Ô Ò ÐÐ t : ÙÙÖ ÐÐ t : e ta e tµ(a) e ta e tα(a) ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½º ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ Ø Ö ÔÔÙÚ Ò Ð Ò Ö Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØÝ¹ Ñ Ò Ò ÚÓ ÔÓ Ø Ð Ù Ò ¾º½¼ Ø Ð ÒØ Ø Ñ Ð Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ A C n n Ø R n n µ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Òº ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò Ñ ØÖ Ã(t) ÓÐÐ ÔØ µ µ Ã(t) A ÐÐ t, ÓÐÐÓ Ò Λ(Ã(t)) = Λ(A) α(ã(t)) = α(a). µ(ã(t)) µ = µ(a) ÐÐ t.

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ µ Ã Ø Ú Ø Ú ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ØÓØ ÙØØ Φ(t,t ) = e (t t )µ. ÌØ Ò ÒÓÖÑ ÔÝ ÝÝ ÝÐÖ ÐÐ Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø Ñ α(ã(t)) ÓÒº ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò Ã ÙÖ Ú Ø º Ã Ö Ó Ø Ø Ò A = X + iy, Ñ X = (A + A ) Y = i (A A ). ÌÐÐ Ò X Y ÓÚ Ø ÖÑ ØØ º Å ØÖ e ity ÓÒ ÙÒ Ø Ö Ò Ò ÐÐ ( e ity ) e ity = e ity e ity = e ity +ity = I. Ø Ø Ò Ã(t) = eity Ae ity. ÌÑ ÓÒ A Ò ÙÒ Ø Ö Ò Ò Ñ Ð Ö ÑÙÙÒÒÓ ÓØ Ò ØÓ µ ÓÒ ÚÓ Ñ º ÐÐ Ò Re Ã(t)x,x = Re e ity Ae ity x, x = Re Ae ity x, e ity x µ e ity x = µ x, ÓØ Ò µ ÔØ º ÇÐ ÓÓÒ x X Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ µ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ x(t) = e tµ e ity x. ÌÐÐ Ò x (t) = e tµ e ity µx +e tµ e ity iy x = e ity (Xe tµ x +iy e tµ x ) = e ity (X +iy )e ity e tµ e ity x = Ã(t)x(t). Ë x(t) = Φ(t,)x Ó x(t) = e tµ x, Ò Ø Ø Ð Ù Ò ¾º Ò Φ(t,) = e tµ, t. ÐÐ Ò ÙÒ t > s, e tµ Φ(t,) = Φ(t,s) Φ(s,) Φ(t,s) Φ(s,) = e sµ Φ(t,s), Ó Ø Ð Ù Ò ¾º Ò µ Φ(t,s) = e (t s)µ. ÇÔ ØÙ Ø Ö ÔÔÙÚ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÐÐ α Ø Ô Ø ØØ Ò Ò Ô ØÖ µ ÖÖÓ ÚÙ¹ ÒÓÔ ÙØØ º ¾º º Ä Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÙÙ º ËÝ Ø Ñ Ò Ø Ð ÙÙ ÓÒ ÓÚ ÐÐÙ Ù Ò ÔÚ Ø ÑÙ º Ì Ó Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÑÝ Ñ¹ Ñ Ò ÔÐ Ò Ö º È Ø p R n ÓÒ Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(x(t)) Ø Ô ÒÓØ Ð Ó f(p) = º ÌÐÐ Ò Ú Ó x(t) = p t ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ x() = p Ö Ø Ùº Ä Ò Ö ÐÐ ÓÑÓ Ò ÐÐ Ý ¹ Ø Ñ ÐÐ x (t) = A(t)x(t) ÓÖ Ó ÓÒ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð x() = = x(t) = ÐÐ t. Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØÖ Ø Ö Ø ÐÐ Ñ Ø Ò ÑÙÙØ Ö Ø ÙØ ÝØØÝØÝÚØº È Ò Ú Ø Ó Ò ÔÓ ÓÖ Ó Ø ÔÝ ÝÚØ Ö Ó Ø ØÙÐÐ Ø ÝÝ ÐÐ Ú Ð ØÝÚØ ÓÖ Ó ÅÖ Ø ÐÐÒ ÇÖ Ó ÓÒ Ø Ð Ø Ô ÒÓØ Ð Ó ÐÐ Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ sup x(t) <. t ÇÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ó ÐÐ Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ lim x(t) =. t Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ¾º ¾º½¼º Æ ÐÙÒ ¾º µ Ø Ð Ò Ó Ù Ò ¾º µ Ø Ô Ù ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð ÑÙ Ô Ø Ð º

¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ð ÐÐ ÓÑÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ x (t) = A(t)x(t) Ð Ù ¾º ÒÓÓ ØØ Ó µ, Ò Ò ÓÖ Ó ÓÒ Ø Ð Ó µ <, Ò Ò ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÆÑ ÓÚ Ø Ù Ø Ò Ò Ú Ò Ö ØØÚ ØÓ º Ñ Ö ¾º½¾ Ã Ù µº ËÝ Ø Ñ Ò 5 x (t) = x(t) Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø [ cos3t x(t) = sin3t sin3t ] 3 3 5 sin3t cos3t+ sin3t x(). 3 3 - -.5.5 x -.5 ÌÐÐ ÓÖ Ó ÓÒ Ø Ð ÑÙØØ ÝÑÔØÓÓØØ ¹ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓØ Ð º ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ S = (A+A ) = 3/ 3/, ÓÒ ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ µ = 3. ÌØ Ò Ø Ð ÙÙØØ Ð Ù Ø ¾º º Î Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý Ø Ñ º Ë ÙÖ Ú Ò Ø Ò Ð Ù Ò ÓÒ ÓÓØØÙ Ö Ð ÐÐ Ø ÚÓ ÐÐ ÓÖÑÙÐÓ ÙØ ÚÐØØÑØØ ÑØ Ö ØØÚØ ÓØ ÙØÓÒÓÑ Ò Ð Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò Ø Ð ÙÙ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ M Ò Ò Ñ ØÖ Ò A ÓÙ Ó Ó ÐÐ ÔØ ½µ α(a) ¾µ Ó λ Λ(A) Reλ =, Ò Ò λ Ú Ø Ú Ø ÂÓÖ Ò¹ÐÓ ÓØ ÓÚ Ø ØÖ Ú Ð Ð m g (λ) = m a (λ) µº Ä Ù ¾º½ º µ ÇÖ Ó ÓÒ Ý Ø Ñ Ò x (t) = Ax(t) Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ A M. µ ÇÒ ÓÐ Ñ K Ø Ò ØØ e ta K, t. Úµ ÇÒ ÓÐ Ñ C Ø Ò ØØ (si A) C, ÙÒ σ = Res >. σ Å ØÖ R(s,A) = (si A) ÙØ ÙØ Ò A Ò Ö ÓÐÚ ÒØ º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ÑÝ ØØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ t e ta Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ º ÌÓ ØÙ Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÙÖ Ú [ M ]. Ì ØÚ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ M =.. Mq. ÌÐÐ Ò M = max j q M j. x.5 ÌÓ º Ä Ù ¾º½ µº µ = µ ÂÓ (λ,u) ÓÒ A Ò ÓÑ Ò Ô Ö Ø Ò ØØ Reλ >, Ò Ò x(t) = e tλ u ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö ØØÓÑ Ø Ú Ú Ö Ø Ùº ÂÓ Reλ = ÐÐ Ò Av λv = u Ò Ò Ð ÝØÝÝ Ó λ Ú Ø ¹ØÖ Ú Ð ÂÓÖ Ò¹ÐÓ Óµ Ò Ò x() = v ÒØ Ö Ó ØØ Ñ ØØÓÑ Ò Ö Ø ÙÒ x(t) = e tλ v +te tλ u. Ë Ó ÓÖ Ó ÓÒ Ø Ð Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú A M.

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ µ = µ ÇÐ ÓÓÒ A M J A = V AV ÙØ Ò Ð ÑÑ Ò ¾º½½ ØÓ ØÙ º Ì ØÚÒ ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò e ta V V max j q etj(λ j,r j ). ÂÓ Reλ j =, Ò Ò r j = e tj(λ j,) = e tλ j = e t Reλ j =. ÂÓ Reλ j <, Ò Ò Ð ÑÑ Ò ¾º½½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ e tj(λ j,r j ) t, ÓØ Ò ØÑ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÐÐ t. Ë Ð ÝØÝÝ K Ø Ò ØØ e ta K. µ = µ Ë ÐÚ Ó x(t) = e ta x(). ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ ØÓ Úµ ÓÒ Ò Ò Ò Ú Ú Ð ÒØØ º µ = Úµ ÇÐ ÓÓÒ e ta K, t σ = Res >. ÌÐÐ Ò Ó (si A) ÓÒ e ta Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ (si A) = e st e ta dt e st e ta dt K e st dt = K e σt dt = K. σ Úµ = µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Úµ ÔØ º ÌÐÐ Ò ÐÚ Ø Ò α(a). ÂÓ ÓÐ λ = iη Λ(A), ÓÐÐ ÓÐ ¹ØÖ Ú Ð ÂÓÖ Ò¹ÐÓ Ó Ò Ò Ð ÝØÝ u,v Ø Ò ØØ Au = λu Av = λv +u. ÌÐÐ Ò ÙÒ s = σ +iη, Ò ÓØ Ò (si A) u = s λ u v = s λ( u+(si A)v ), (si A) v = (s λ) u+ s λ v = σ u+ σ v, ÓÐÐÓ Ò Úµ ÓÐ ÚÓ Ñ º Ë Ô A M. Ä Ù ¾º½ º µ ÇÖ Ó ÓÒ x (t) = Ax(t) Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ α(a) <. µ ÇÒ ÓÐ Ñ β < K Ø Ò ØØ e ta Ke tβ, t. Úµ ÇÒ ÓÐ Ñ C Ø Ò ØØ (si A) C, ÙÒ σ = Res. ÌÓ º µ = µ ÂÓ α(a), Ò Ò ÓÐ ÓÓÒ λ Λ(A) Ø Ò ØØ Reλ x Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º ÌÐÐ Ò x(t) = e tλ x ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ö Ø Ù x(t) = e t Reλ x, ÙÒ t. Ë Ó ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú α(a) <. µ = µ Ë ÙÖ Ø Ð ÑÑ Ø ¾º½¾º µ = µ Ë ÐÚº ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ Úµ ÓÒ Ò Ò Ò Ú Ú Ð ÒØØ º µ = Úµ ÇÐ ÓÓÒ α(a) < β (α(a),). ÌÐÐ Ò α(a βi) = α(a) β <, ÓØ Ò A βi M Ð Ù Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ( si (A βi) ) C σ,

¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÙÒ σ = Re s >. Ë Ô (si A) = ( (s β)i (A βi) ) Î Ð Ø Ò C = C β. Úµ = µ Ë ÐÚº C Re(s β) C β.

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ º Ê Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ý ØØ ÝÝ º½º Ñ Ö º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÔÐ ØØ Ø Ú Ò Ó Ø Ð Ò Ý Ò ÖØ ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ º Ð Ò ÓÙ ÙØ Ò ØÙÖÚ ÙØÙÑ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø ¹ Ú Ò Ñ Ö ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö ÑÙÓØÓ Ò Ö Ø Ù Òº ÒÒ Ò Ù Ò ØÐÐ Ò ÚÓ ÝØØ ÓÒ ÝÝØ Ú ÖÑ ØÙ ØØ Ö Ø Ù Ð Ó ÓØ ÓØ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ ÝÐ ÔØÒ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÝÐ Ø Ý Ø Ñ º½µ x (t) = f(t,x(t)), x(t) R n Ð Ù ÓÐÐ x(t ) = x, Ñ f ÓÒ ÙÚ Ù R R n R n. ÂÓ f ÓÐ Ø ÙÚ Ò Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÓÐ Ñ Ö Ø Ù º {, ÙÒ x <, Ñ Ö º½º ÇÐ ÓÓÒ f(x) =, ÙÒ x. ÌÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x = f(x), x() =, ÓÐ Ö Ø Ù Ñ ÐÐÒ ÚÐ ÐÐ [,T], T >. ÂÓ f ÓÒ Ø ÙÚ Ò Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ ÓÒ Ò ÓÐ Ñ Ö Ø Ùº ÌØ È ÒÓÒ ÓÐ ¹ Ñ ÓÐÓÐ Ù ØØ ÑÑ Ø Ù Ø Ò Ò ØÓ Ø º Ñº À ÖØÑ Ò µ ÐÐ f Ò Ø¹ ÙÚÙÙ Ø Ú Ð ÙÖ ØØ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ù ÓÐ Ý ØØ Ò Òº Ñ Ö º¾º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = 3 x(t) /3, x() = R ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ö Ø ¹ Ù º ÇÐ ÓÓÒ a b Ñ Ð Ú ÐØ Øº ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó (t a) 3 ÙÒ t < a, x a,b (t) = ÙÒ a t b, (t b) 3 ÙÒ b < t ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ù ÙØ Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò Òº f 3.5.5.5 - -.5.5 a=-.75.5.5-3 - - 3 -.5 a=- a= x(t) -.5 -.75 - b= b= b= t ÎÓ ÑÑ Ø Ø Ö Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝ Ò Ñ Ò ØÝØÝÝ Ú Ø f ÐØ Ò ÑÑÒ Ù Ò Ø ÙÚÙÙ º ËÓÔ Ú Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ò º Ä Ô ØÞ ØÓ Ë ÒÓØ Ò ØØ ÙÚ Ù f : R R n R n ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ ÓÙ Ó Ω R n ÚÐ ÐÐ [t,t ], Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ó L > Ø Ò ØØ º¾µ ÐÐ t [t,t ], x,y Ω. f(t,x) f(t,y) L x y

¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÂÓ f ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ ÒÓØ Ò ÑÝ ØØ f ÓÒ Ä Ô ØÞ Ø ÙÚ º ÂÓ ¹ Ñ Ö f C (Ω), Ñ Ω ÓÒ ÓÑÔ Ø ÓÒÚ Ò Ò f ÓÒ Ä Ô ØÞ Ø ÙÚ Ú ÓÐÐ L = max Df(t,x). t [t,t ],x Ω ÌÑ Ò Ò ÙÖ Ú Ø f(t,x) f(t,y) = d f(t,y +θ(x y))dθ dθ = Df(t,y +θ(x y))dθ(x y) max x Ω Df(t,y +θ(x y) dθ x y Df(t,x) x y. Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ó Ó ØØ ØØ Ó f ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ Ò Ò Ý ØÐ ÐÐ º½µ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº º¾º È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø Óº ÃÙÒ f ÓÒ Ø ÙÚ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ º µ x (t) = f(t,x(t)), x(t ) = x Ö Ø Ù Ñ Ð ÓÐ Ñ µ ØÓØ ÙØØ ÑÝ ÒØ Ö Ð Ý ØÐ Ò º µ x(t) = x + t t f(s,x(s)) ds Ô ÒÚ ØÓ Òº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý ØÐ Ø º µ º µ ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØ Øº ÇÐ ÓÓÒ x Ó Ò Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ö Ø ÙÒ Ð Ù ÔÔÖÓ Ñ Ø Óµ ÚÐ ÐÐ I = [t,t ], Ñ t t t. ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø Ø ÙÙ ÙÒ Ø Ó x t x (t) = x + f(s,x (s)) ds t I t ØÓ ÚÓØ Ò ØØ ØÑ ÓÐ Ô Ö ÑÔ ÔÔÖÓ Ñ Ø Óº Ò Ò ØÑ ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÓÒº Â Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ú Ø ÙÒ Ø Ó Ø x k ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú º µ x k+ (t) = x + t t f(s,x k (s)) ds. Ë Ò ÓÒÓ { x k} Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø º ÂÓ ÙÔÔ Ò Ø Ø ¾ Ó Ø ÙÒ Ø ÓØ k x, Ò Ò x ÓÒ Ø ÙÚ Ð Ñ Ò ÚÓ Ú ÒØ Ö Ð Ò Ò ÓÐÐÓ Ò f Ò Ø ÙÚÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ x ÓÒ ÒØ Ö Ð Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø Ù x(t) = lim x k+ (t) = x + lim k =x + t k t t f(s,x k (s))ds t lim k f(s,x k (s))ds = x + ¾ Ì Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ò Ð ØØÝÚØ Ð Ù Ø º Ð Ø º t t f(s, x(s))ds.

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ ÁÒØ Ö Ð ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ ÝÐÖ Ò Ù Ø Ò ÓØ Ò x ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ Ø Ò ÑÝ Ð Ù Ö¹ ÚÓØ ØÚÒ º µ Ö Ø Ùº Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ ÙÒ f ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ Ò Ò º µ Ò ÑÖÑ È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø Ó ÙÔÔ Ò Ø Ø º Ä Ù º½ È Ö Ä Ò Ð µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ØÓØ ÙØØ x Ò Ù Ø Ò Ä Ô ØÞ ÓÒ R n ÚÐ ÐÐ I = [t,t ] t I. ÌÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = f(t,x(t)), x(t ) = x ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÚÐ ÐÐ t I. ÌÓ º ÇÐ Ñ ÓÐÓ Î Ð Ø Ò Ö Ø ÙÒ Ð Ù ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó x (t) = x ÐÐ t I Ø ÖÓ Ò t x k+ (t) = x + f(s,x k (s)) ds. t ÆÝØ ØÒ ØØ Ò Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ ÙÔÔ Ò Ø Ø ÓÐÐÓ Ò ÐÐ Ø ØÝÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö ÙÒ Ø Ó x ÓÒ Ø ØÚÒ Ö Ø Ùº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÖÓØÙ x k+ x k. ÇÐ ÓÓÒ K = max t I f(t,x ). ÐÙ Ò º µ x (t) x (t) t = f(s,x ) ds K t t. t ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ ØØ º µ x k+ (t) x k (t) K L k t t k+ (k +)! Ñ L ÓÒ f Ò Ä Ô ØÞ Ú Óº Ã Ú º µ ÒØ º µ Ò ÙÒ k =. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ º µ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ k Ò ÖÚÓ ÐÐ,...,m. ÌÐÐ Ò ÙÒ t t, x m+ (t) x m+ (t) t = [f(s,x m+ (s)) f(s,x m (s))] ds t t t L x m+ (s) x m (s) ds t LK Lm s t t (m+)! m+, ( ) º µ ÔØ ÙÒ k=m ds = K Lm+ t t m+ (m+)! Î Ø Ú Ø ÙÒ t < t. Ë Ø Ò ØØ º µ ÔØ ÑÝ ÙÒ k = m+. ÌØ Ò º µ ÔØ ÐÐ k =,,,.... Ø Ø Ò T = max(t t,t t ), ÓÐÐÓ Ò. µ x m (t) = x + m k= [xk+ (t) x k (t)], µ ÐÐ k, t I ÔØ x k+ (t) x k (t) K L k T k+ (k+)! µ k= K Lk T k+ (k+)! ÙÔÔ Ò ÙÑÑ = K L (elt ) µº

¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌØ Ò Ï Ö ØÖ Ò Ñ ÓÖ ÒØØ Ô Ö ØØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö x + k= [xk+ (t) x k (t)] ÙÔÔ Ò Ø Ø º Ë Ò ÙÑÑ x(t) = lim k x k (t) ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò º µº ØØ ÝÝ ÇÐ ÓÓØ x y Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø Ù º ÌÐÐ Ò ÙÒ t t, Ò x(t) y(t) = t [f(s,x(s)) f(s,y(s))] ds L x(s) y(s) ds, t t t Ó Ø ÙÖ Ú ØÓ Ø ØØ Ú Ò ÖÓÒÛ ÐÐ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ x(t) y(t). Ë ÑÓ Ò ÙÒ t < t. Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ø ÖÚ ØØ Ò Ó ÝÐÐ Ø Ó ÐÐ Ð ÝØÝÝ Ð ÝØØ º Ä ÑÑ º¾ ÖÓÒÛ ÐÐ Ò ÔÝ ØÐ µº ÇÐ ÓÓØ C, K ÓÐ ÓÓÒ u : [,T] R Ø ÙÚ Ò Ø Ú Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÔØ º µ u(t) C + t Ku(s) ds ÐÐ t [,T]. ÌÐÐ Ò u(t) Ce Kt ÐÐ t [,T]. ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ C >. Ø Ø Ò v(t) = C + Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ò v (t) = Ku(t), ÓØ Ò t d dt ln(v(t)) = v (t) v(t) = Ku(t) v(t) K. ÁÒØ ÖÓ Ò ØÑ ln(v(t)) ln(v())+kt, Ó Ø u(t) v(t) v()e Kt = Ce Kt. Ku(s) ds, ÓÐÐÓ Ò u(t) v(t). ÂÓ C =, Ò Ò u ØÓØ ÙØØ º µ Ò ÙÒ C Ò Ô ÐÐ ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ò d >. Ë ÐÐ Ò ÒÓ ÐÐ u(t) de Kt ÐÐ d >, ÓØ Ò u(t) =. ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º Ä Ù Ò º½ ØÓ ØÙ Ø ÑÝ È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ú Ö¹ Ö Ò x k (t) x(t) = [x j+ (t) x j (t)] K j=k j=k L j T j+ (j +)! K (LT)k+ elt L (k +)!. Ñ Ö º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = t t x(t), x() =, Ò x (t) =, x (t) = t + t3 3, x (t) = t + t3 3 + t4 8 t5 5,...

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ x(t) 4 3.5 3.5 x x 3 x 5 x 7 x.5.5 x x 4 x 6 x 3 4 Æ Ò ØØ k Ò Ú Ø Ö Ø Ø x k ÙÐ Ú Ø Ð ÐÐ Ö Ø Ù Ý Ô Ø ÑÔÒº t Î È Ö ¹Ä Ò Ð Ø Ö Ø Ó Ò ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ò Ò Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ô¹ ÔÖÓ ÑÓ Ö Ø Ù ÙØ Ò ÐÐ Ñ Ö Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ö ØÝ Ò ÝÚ Ú Ö Ò Ò ÒÙÑ Ö Ò Ð ÒØ Òº Ì Ó ÑÔ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÐÐÒ Ú Ñ ÐÙ¹ ÚÙ º º º Â Ø ÙÚ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ð Ù Ó Ø º ÃÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÓØ Ò Ñº Ý Ð Ø Ý Ø Ñ Ò Ò ÝÐ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ø ØÚÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº ÃÙ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ñ Ö Ø Ð Ò Ø Ð ÒØ Ò Ð Ó ÒØ ÓØ Ò Ó ÓØ Ò Ý Ø Ñ ÙÚ Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÝÝØ Ò ÐÝ Ó Ñ ÐÐ Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÓØØ ÚÓ Ò Ú ÖÑ ¹ ØÙ ÓÒ Ó ÐÐ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ó Ø ÐÐ Ý Ð Ò ÒØÙ Ø ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ô Ø ÓÐÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ñ º µ x (t) = f(t,x(t)). Ì Ö Ø ÐØ Ö Ø ÙÒ Ö ÔÔÙÚÙÙØØ Ð Ù Ó Ø ÙÖ Ú Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ø Ú º ÇÐ ¹ Ø Ø Ò ØØ f ØÓØ ÙØØ ØÓ ÔÙÓÐ Ò ÓÒ º½¼µ f(t,x) f(t,y), x y µ x y, ÐÐ x,y Ω, t. ÂÓ L ÓÒ f Ò Ä Ô ØÞ¹Ú Ó Ò Ò µ = L ÐÔ ÑÙØØ Ù Ò Ð ÝØÝÝ Ô Ö ÑÔ Òº Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f Ä Ô ØÞ¹ Ø ÙÚ ÓÐ ÓÓØ x y Ø ØÚÒ º µ Ö Ø Ù Ð Ù ¹ Ó ÐÐ x() = x y() = y. ÂÓ f ØÓØ ÙØØ ÔÝ ØÐ Ò º½¼µ Ò Ò Ò Ò Ù Ò ÙÒ x(t),y(t) Ω. x(t) y(t) x y e µt, t >, ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ u(t) = x(t) y(t) = x(t) y(t),x(t) y(t). Ê Ø Ù Ò Ý ØØ ¹ ÝÝ Ø ÙÖ ØØ Ó x y, Ò Ò u(t) > ÐÐ t. ÔÝ ØÐ Ø º½¼µ Ò u (t) = f(t,x(t)) f(t,y(t)), x(t) y(t) µ x(t) y(t) = µu(t),

¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÓØ Ò d dt log(u(t)) = u (t) u(t) Ñ Ø Ú Ø ÙÖ º µ. ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò log(u(t)) log(u()) µt Ð u(t) u()e µt, ÂÓ Ý Ø Ñ ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ¹ ÓÒ Ò x(t) y(t) x y e L t, t. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý Ø Ñ Ò Ö Ø ÙØ Ö ÔÔÙÚ Ø Ø ÙÚ Ø Ð Ù Ó Ø º Ì ØÚ º½º ÌÓ Ø ØÑ ÓÚ ÐØ Ò Ð Ù ØØ º Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(t,x(t)) x (t) = f( t,x(t)). ÌÓ ÐØ Ð Ù ØØ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ö Ø Ù Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ø Ö Ø ¹ ÐÙÙÒ ÙØ Ò ÙÖ Ú º Ñ Ö º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø ØÚ x (t) = sin(x(t)), x(). Ø Ø Ò f(x) = sin(x), ÓÐÐÓ Ò ÚÐ ÖÚÓÐ Ù ÐÐ f(x) f(y) = f (ξ)(x y) = cos(ξ)(x y). ÂÓ x,y [, ], Ò Ò ξ [, ], ÓÐÐÓ Ò Ø ÓÙ Ó º½¼µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ú ÓÐÐ µ = cos( ) <. Î ÖÖ Ø Ò Ö Ø Ù x ØÖ Ú Ð Ö Ø ÙÙÒ y. Ä Ù º ÒÓÓ ÒÝØ ØØ x(t) e µt. Ì Ø ØÙÐ ÑÑ ÒÓÑ Ò ØØ Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø t Ø Ð º º º Ê Ø Ù ÙÚ Ù Ú ÖØ Ù º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x (t) = f(t,x(t)) ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø ¹ Ù ÙÚ Ù ψ ÙÖ Ú Ø Ó x ÓÒ ØÑÒ Ý Ø Ñ Ò Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ð Ù ÓÐÐ x(τ) = u, Ò Ò Ø Ø Ò ψ(t,τ,u) = x(t). ÌÓ Ò ÒÓ Ò ψ(t,τ,u) ÓÒ R n Ò Ô Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÙØ Ò ÙÒ Ø ÐÐ τ Ð ØÒ Ô Ø Ø u ÙÖ Ø Ò Ø Ø Ð Ø Ú Ö Ø Ù Ø Ò t Ø º Ë ÐÚ Ø ψ ØÓØ ÙØØ ψ(t,τ,u) = f(t,ψ(t,τ,u)), ψ(τ,τ,u) = u. t Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓÒ f(t,x) = Ax, Ñ A ÓÒ Ú ÓÑ ØÖ º ÂÓ x ÓÒ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ò Ò x(t) = e At x(), ÓØ Ò x() = e Aτ x(τ) x(t) = e A(t τ) x(τ). Ë Ô Ø Ø Ô Ù ψ(t,τ,u) = e A(t τ) u. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ÓÒ ÐÓ Ð Ø Ä Ô ØÞ Ò Ò Ø º Ð ÝØÝÝ L Ø Ò ØØ º¾µ ÔØ ÐÐ t R, x,y R n. ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ò Ô Ø Ò u R n ÙØØ ÙÐ Ø ÐÐ τ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ t R. ÌÓ Ò ÒÓ Ò ψ(t,τ,u) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ t,τ R, u R n. ÇÐ ÓÓØ s,τ R, u R n Ñ Ð Ú ÐØ v = ψ(s,τ,u). Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ø Ø v Ø ÐÐ s Ð Ø Ú Ö Ø Ù Ð ψ(t,s,v) Ø º ÅÝ ψ(t,τ,u) ÓÒ Ø ÐÐ t = s Ô Ø

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ v. Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ Ò Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø Ý ØØ Ø ÓØ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú ψ(t,s,v) = ψ(t,τ,u) Ð Ö Ø Ù ÙÚ Ù ØÓØ ÙØØ º½½µ ψ(t,s,ψ(s,τ,u)) = ψ(t,τ,u) ÐÐ t,s,τ R, u R n. ÃÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ ÙØÓÒÓÑ Ò Ò Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ Ú Ø Ú f ÓÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒµ Ú ØÓÖ ÒØØº ÌÐÐ Ò Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ x (t) = f(x(t)). Ñ Ö º ÓÒ ÙØÓÒÓÑ Ò Òºµ ÂÓ ÒÝØ x ÓÒ ØÑÒ Ö Ø Ù Ð Ù ÓÐÐ x() = u Ð x(t) = ψ(t,,u) Ó ÑÖ ØØ Ð ÑÑ y(t) = x(t s), Ò Ò y (t) = x (t s) = f(x(t s)) = f(y(t)) Ð y ÓÒ Ö Ö Ø Ùº ÌÓ ÐØ y(s) = x() = u, ÓØ Ò y(t) = ψ(t,s,u). Æ Ò ÑÑ ÙØÓÒÓÑ Ò Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù ÙÚ Ù ÐÐ ÔØ º½¾µ ψ(t,s,u) = ψ(t s,,u) ÐÐ t,s R, u R n. ÃÓ Ò Ò ÓÐÐ Ò ½º º Ö ÙÑ ÒØØ ÑÖÚØ Ó Ó ψ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ò ÙØÓÒÓÑ ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ú ÖØ Ù Ò º½ µ ϕ t (u) = ψ(t,,u) Ð ϕ t (u) = x(t), Ó x ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù Ð Ù ÓÐÐ x() = u. Ì ØÚ º¾º ËÓÚ ÐØ Ò Ú º½½µ ÙØÓÒÓÑ Ò Ø Ð ÒØ Ò ÒÝØ ØØ Ú ÖØ Ù ØÓ¹ Ø ÙØØ º½ µ ϕ t (ϕ s (u)) = ϕ t+s (u), ϕ (u) = u. Ö ØÝ Ø ϕ t ( ) ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒØ ÙÚ Ù ϕ t ( ). ÆÑ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÒÓÚ Ø ØØ ÙÚ Ù Ø ϕ t ( ) ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò º Ý Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÝ ÑÒº

ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ü µ Ü µ Ü µ 3 Ü µ Ü µ 3 Ü µ ÐÐ Ý Ø Ñ Ò x = [ ] Ð Ø ÚØ Ö Ø ÙØº [.6x +x x.4x +x ] Ü Ü Ú ØÓÖ ÒØØ Ô Ø Ø x = [ ] x = Ä Ù Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ψ ÓÒ Ø ÙÚ ÙÒ f ÓÒ Ä Ô ØÞ Ø ÙÚ º ÁØ ψ ÓÒ Ý Ø Ð Ù Ò f Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f k ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ð f C k º ÌÐÐ Ò ÑÝ Ø Ú Ø Ú ÐÐ Ö Ø Ù ÙÚ Ù ÐÐ ÔØ ψ C k. Ë ÑÓ Ò ÙØÓÒÓÑ Ò Ý Ø Ñ Ò Ú ÖØ Ù Ð¹ Ð ϕ. ÂØ ØÒ Ø ÚÐ Òº Ä ÝØÝÝ ÔÖÙ ÙÒ Ð ÑÑ Ø Ú Ö Ó Ø º Ñ Ö ÙÒ u ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø f(u) =, Ò Ò ϕ t (u) = u ÐÐ t. ÌÐÐ Ò Ó x() ÓÒ Ð ÐÐ u Ø Ò Ò x(t) u+e tdf(u) [x() u].

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ Ò Ø ÐÙÖ Ñ Ò ÔÓ ÙØ ¹ Ø Ò Ò Ò Ò ÑÑ Ø Ô Ù ÐÙÖ Ø ÐÙÑ Ø Ò Ô Ò ÐÐ ÑÔÐ ØÙ ÐÐ ÙÒ Ø Ð ÑÑ ÐÙÖ Ð Ø Ð ÙØØ Ð ÔÝ ØÝÝÒ Ò Ò Ø Òº Ë ÒÓÑÑ ØØ Ð ÒØÓ ÓÒ Ø Ð ÙÒ Ø ÝÐ ÒØÓ ÓÒ Ô Ø Ð º Ì Ô ÒÓÔ Ø Øº È Ø ØØ p R n ÙØ ÙØ Ò Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(x(t)) Ø Ô ÒÓÔ Ø Ó f(p) =. ÌÐÐ Ò ÐÚ Ø ϕ t (p) = p ÐÐ t R, Ð p Ø Ð Ú Ö Ø Ù ÔÝ ÝÝ Ò Ù Ø º Ì Ô ÒÓÔ Ø ØØ p ÙØ ÙØ Ò Ø Ð Ó Ó¹ ÐÐ ε > ÓÒ ÓÐ Ñ δ > Ø Ò ØØ u B δ (p) = ϕ t (u) B ε (p) ÐÐ t >. Ê Ø ÙØ ÔÝ ÝÚØ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ð ÐÐ Ø ¹ Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÙÒ Ò Ð ÙÔ Ø ÓÒ Ø Ö ØØÚÒ Ð ÐÐº Ì Ô ÒÓÔ Ø p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ó ÐÐ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ñ p Ò ÝÑÔÖ Ø B d (p) Ø Ò ØØ v B d (p) = lim t ϕ t (v) = p, Ð ÙÒ Ö ØØÚÒ Ð ÐØ Ð Ø ÚØ Ö Ø ÙØ Ð ØÝ¹ ÚØ Ô Ø ØØ p. u p δ δ d u v p Ì ØÚ º½º ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ð Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ø Ð ÙÙ Ò ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ò Ø Ð ÙÙ Ò Ñ Ò Ö Ø Ú ÐÐ º ÆÝØ ØØ Ð Ò Ö Ø Ô Ù µ Ò Ò¹ Ø Ú Ø ÝÐÐ ÓÐ Ú Ò Ò Ý ØÔ ØÚØ ÑÖ Ø ÐÑØº Ä ÑÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ A R n n Ø Ò ØØ α(a) <. ÌÐÐ Ò ÒØ Ö Ð W = e tat e ta dt ÙÔÔ Ò W ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò ØØ Ñ ØÖ Ó ØÓØ ÙØØ º½µ v,w Av W v,wv, v Rn. ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ β (α(a),). ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ K Ø Ò ØØ e ta Ke tβ, ÓØ Ò ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò º Ë ÐÚ Ø W ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÈØ v T Wv = e ta v dt. Ë Ô Ó v T Wv =, Ò Ò e ta v = t, ÓÐÐÓ Ò v =, Ð W ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º ε ε

ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÃÝØØ Ò Ú d dt y(t) = y(t),y (t) Ò ÐÐ Ò v,wav = = d dt e ta v,e ta Av dt = e ta v dt = Ñ Ø º½µ ÙÖ Ó v,wv W v. / e ta v,ae ta v dt = e ta v = v, Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÒØ ÒÝØ Ö ØØÚÒ ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ ÐÐ Ø Ð ÙÙ ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ó Ú Ø Ú Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ð Ò Ö Ó ØÙ Ý Ø Ñ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ f Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ p Ø Ô ÒÓÔ Ø A = Df(p). ÂÓ α(a) <, Ò Ò p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÓ º ÎÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ p =. ÇÐ ÓÓÒ W ÙØ Ò Ð ÑÑ º½ σ = W º Ø Ø Ò ØÙÐÓ x,y W = x,wy Ú Ø Ú ÒÓÖÑ x W = x,x W. ÇÐ ÓÓØ m M W Ò Ô Ò Ò ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ò ÒÝØ lim x f(x) Ax W x W m x x W M x, x R n. M m lim f(x) f() Df()x = x x Ó ÐÐ x,y R n ÔØ x,y W x W y W Ù Ý Ë Û ÖÞµ Ò x,f(x) Ax lim W x x W ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ c (,σ) δ > Ø Ò ØØ ÓÐÐÓ Ò =. x W < δ = x,f(x) Ax W (σ c) x W, x,f(x) W x,ax W +(σ c) x W c x W. ÂÓ ÒÝØ x (t) = f(x(t)) t > x() W < δ, Ò Ò d dt x(t) W = x(t),f(x(t)) W c x(t) W, ÓØ Ò x(t) W x() W e ct, Ð x(t) W < δ t > lim t x(t) =. Ì ØÚ º¾º Î Óºµ ÆÝØ Ó f(p) = Ó Df(p) ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓ λ, ÓÐÐ Reλ >, Ò Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø p ÓÐ Ø Ð º ÂÓ Ò Ò ÓÐ ÚÓ ÑÑ Ø Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÒÚ ÓÒ y = x p.

Ñ Ö º½º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x x +x = x x +x ÓÒ ÓÖ ÓÒ p = (,) Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø q = (,). ÆÝØ Df(x) = x º ÇÖ Ó ¹ Df(p) = [ ] ØÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò Ô Ö Ø (,[ 3 ]) (,[ ]) º ÌØ Ò Ö Ø ÙØ Ð ØÝ¹ ÚØ ÓÖ Ó Ð Ô Ø Ò ÙÙÒÒ Ø ±[ 3 ] ÔÓ ¹ ØÙÚ Ø Ð Ô Ø Ò x Ð Ô Ø Òº È Ø ¹ q = (,) Ò Ð Ò Ö Ó ÒØ Ñ ØÖ ¹ ÐÐ Df(q) = [ 4 ] ÓÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ±i 7 º ÌØ Ò q ÓÒ ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ø Ø Ð Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ Ø ÔÝ Ö Òº Ç Ò ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ú ØÓ¹ Ö ÒØØ f ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù ÝÖ º Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º ÂÓ Df(p) Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø Ø ØÒ Ú Ò ØØ Ò Ò Ö Ð Ó Ø ÚØ ÓÐ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ØÐÐ Ò ÑÑ ÚÓ Ú ØØ Ø Ð ÙÙ Ø Ú Ð Ñ ØÒ Ö ÔÔÙÙ ÐÐÓ Ò ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Øº p q Ì Ô ÒÓÔ Ø ØØ p ÒÓØ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó Df(p) ÐÐ ÓÐ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ö Ð Ó ÓÐ ÒÓÐÐ º Ñ Ö Ø ¾º ¾º½¼ ÓÚ Ø ÝÔ Ö ÓÐ º Ä Ù Ò º¾ Ø ØÚÒ º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ë ÙÖ Ù º º ÀÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÒ Ó Ó Ô Ø Ð Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º º½º Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØº Ä Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ ÓÐ ÐÐ Ø ÒÝØ ØØ Ò ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ V(x) = x p W ÖÚÓØ Ô Ò Ò ÚØ ÙÒ ØÒ Ô Ø Ò Ö Ø ÙØÖ ØÓÖ º Ä ÔÙ¹ ÒÓÚ Ò ÓÐ Ø Ö Ø ÐÐ ÝÐ ÑÔ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ Ú Ò ÚØ Ô Ø Ò ÒÒ ØÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù º ÇÐ ÓÓÒ V : R n R Ö ÒØ Ó ØÙÚ º ÂÓ gradv(x), f(x) <, Ò Ò Ô Ø Ò x Ð ÐÐ ÙÐ Ú Ö Ø Ù Ô Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ V ÖÚÓØ Ú Ò ÚØ ÐÐ d dt V(ϕt (x)) t= = gradv(x), f(x) <. Ú Ø Ö Ò È Ø Ö ½ ¾

ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ó Ø ÙÖ Ú Ò Ä Ù º Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð ÙÙ Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ f C, p Ý Ø Ñ Ò x = f(x) Ø Ô ¹ ÒÓÔ Ø U Ò Ó Ò ÝÑÔÖ Ø º ÇÐ ÓÓÒ V : U R Ø ÙÚ Ø Ö ÒØ Ó ØÙÚ Ø Ò ØØ µ x p = V(x) > V(p), µ gradv(x), f(x) ÐÐ x U. Ö Î Üµ Ü Ø Ùµ V= vakio ÌÐÐ Ò p ÓÒ Ø Ð º ÂÓ Ð µ gradv(x), f(x) < ÐÐ x U \{p}, Üµ Ò Ò p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÓ Ø ÑÑ ØÑÒ Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Òº ÙÒ Ø ÓØ Ó ØÓØ ÙØØ ÓØ µ µ ÙØ Ù¹ Ø Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó º ÂÓ ÑÝ µ ÔØ Ò Ò Ø ÒÓØ Ò Ø Ö Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó º Ñ Ö º¾º ÃÙÒ Ñ ØÖ ÐÐ A = Df(p) ÓÒ Ö Ð Ó ÐØ Ò Ò Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ö¹ ÚÓØ W ÓÒ ÙØ Ò Ð ÑÑ º½ Ò Ò V(x) = x p W ØÓØ ÙØØ Ø Ö Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓØ ÐÙ U = { x R n x p,wf(x) < } {p}, Ó ÓÒ Ö p Ò ÝÑÔÖ Ø º Ð Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ µº Ð Ø Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÝØÑ Ò Ò ÒÒ ØÙÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ò Ð º Å ØÒ ÝÐ ÔØ Ú Ö ÔØ ÓÐ º Ý Ð Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ö Ø ÐÙØ ØÙÓØØ Ú Ø Ù Ò ØÙÐÓ Òº Í Ò ÒÒ ØØ ÝÖ ØØ ÓÔ Ú ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú V Øº x Ñ Ö º º ÇÖ Ó ÓÒ Ý Ø Ñ Ò x +3x x = x 3 x Ø Ô ÒÓÔ Ø º Ä ¹ x x3 Ò Ö Ó ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ ØÖ [ ] ÒÒ Ñ Ò ÔØ ÐÐ Ñ ØÒ Ø Ð ÙÙ Ø º Ö Ø ØÒ Ý Ø Ñ ÐÐ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó V(x) = a x + a x, a,a >. ÌÐÐ Ò Ò Ò ØÓ µ ØÓØ ÙØÙÙº ÆÝØ gradv(x), f(x) = a x x +a x x = a x ( x +3x x 3 )+a x ( x x x3 ) = 4a x +(6a 4a )x x3 a x 4, Ó Ø Ú Ð Ø Ñ ÐÐ a =, a = 3 Ò gradv(x),f(x) = 8x 6x 4, Ð V(x) = x +3x ÓÒ Ø Ö Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð ÙÙ Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Òº ÌÓ º ÂÓ u U, Ò Ò d dt V(ϕt (u) = gradv(ϕ t (u)), f(ϕ t (u)), V(ϕ t (u)) V(u) Ò Ò Ù Ò ÙÒ ϕ t (u) U. ÓØ Ò

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÇÐ ÓÓÒ ε > Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ø Ò ØØ B ε (p) U. Ø Ø Ò c = min x p =ε V(x), ÓÐÐÓ Ò c > V(p). Å Ò Ñ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó V ÓÒ Ø ÙÚ Ô ÐÐÓÒ B ε (p) Ô ÒØ ÓÒ ÓÑÔ Ø ºµ ÇÐ ÓÓÒ U c = { x B ε (p) V(x) < c } º Uc ÓÒ ÚÓ Ò Ó V ÓÒ Ø ÙÚ º ÇÐ ÓÓÒ δ > Ø Ò ØØ B δ (p) U c º ÌÐÐ Ò ÔØ Ó u B δ (p), Ò Ò V(ϕ t (u)) V(u) < c ÐÐ t, ÓØ Ò ϕ t (u) B ε (p) ÐÐ t. Ë p ÓÒ Ø Ð º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ ØÓ µ ÓÒ ÑÝ ÚÓ Ñ ÓÐ ÓÓØ ε >,δ >, c > V(p) ÙØ Ò ÐÐº ÇÐ ÓÓÒÂÓ u B δ (p), Ò Ò V(ϕ t (u)) ÓÒ Ú Ò Ú V(p), ÓØ Ò V = lim t V(ϕ t (u)) ÓÒ ÓÐ Ñ º ÆÝØ ØÒ ØØ V = V(p). Ì Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ V > V(p). ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó D = { x U c V(x) V } ÓÒ ÓÑÔ Ø Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ η(x) = gradv(x), f(x) ÓÒ ÐÐ Ñ Ñ = k < ÓÒ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ µº Î Ø ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ϕ t (u) D ÐÐ t, ÓØ Ò d dt V(ϕt (u)) k ÐÐ t, Ó Ø V(ϕ t (u)) V(u) kt, Ó ÓÒ Ö Ø Ö Ø º Ë Ô lim t V(ϕ t (u)) = V(p). ÌÓ ÐØ V(p) ÓÒ V Ò ÓÐÙÙØØ Ò Ò Ñ Ò Ñ ÓÑÔ Ø ÓÙ Ó B ε (p), ÓØ Ò ÚÐØØÑØØ lim t ϕ t (u) = p p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ì ØÚ º º Ø ÙÖ Ú ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ x a) x x = x x x x x 3 b) 3x 3 = x +x x x 5 x 3 x x. Î Ñ ÒØ Ñ ØÓÒ ÐÙÖ ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù ÙÖ Ú Ø º Ñ Ö º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ m Ð ÙÙ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÚÓ Ñ ÒØ F(x) = gradφ(x), Ñ φ ÓÒ Ð Ö ÔÓØ ÒØ Ð º ÌÐÐ Ò ÙÒ x ÓÒ Ñ Ò Ô v Ò ÒÓÔ Ù Ò x = v, v = m gradφ(x). ÇÐ ÓÓÒ (x,v ) R 6 Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø º ÌÐÐ Ò v = gradφ(x ) =. Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ò Ö E(x,v) = m v +φ(x). Ë ÐÚ Ø d E(x,v) = m v, gradφ(x) + gradφ(x),v =, dt m Ð Ò Ö ÐÝÝº Æ Ò ÓÐÐ Ò E ÓÒ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ó Ò (x,) Ò ÝÑÔÖ Ø (x,v) (x,) = E(x,v) > E(x,) Ð ÙÒ x ÓÒ φ Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ º ÌÑ ÓÒ Ä Ö Ò Ò Ð Ù ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ ÒØÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø (x,) ÓÒ Ø Ð Ó x ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ º

¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ º¾º Ö ÒØØ Ý Ø Ñ Øº ÅÓÒ Ø Ý Ø Ñ Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ x = f(x) = gradv(x), x U, Ñ V ÓÒ Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò C ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ ÙØ ÙØ Ò Ö ÒØØ Ý Ø Ñ º Æ ÐÐ V Ø ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ØØ º Ä Ù º º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x = gradv(x) ÔØ µ V Ò ÖÚÓØ Ú Ò ÚØ Ô Ø Ò Ö Ø Ù Ô Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ ÂÓ p ÓÒ V Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø ¹ Ô ÒÓÔ Ø º µ ËÝ Ø Ñ Ò Ö Ø Ù ÝÖØ Ð Ú Ø V Ò Ø ÖÚÓÔ ÒÒ Ø Ó Ø ÙÓÖ Ø º µ ÂÓ V ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ò Ò Ò Ò Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ x (τ) dτ V(x()). ÌÓ º µ ÆÝØ gradv(x),f(x) = gradv(x),gradv(x) = gradv(x). µ ÃÙÒ p ÓÒ V Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ò Ò Ð Ù Ò º ÓØ µ¹µ ØÓØ ÙØÙÚ Øº µ ÂÓ x U ÓÐ Ø Ô ÒÓÔ Ø v ÓÒ Ô ÒÒ Ò { y U V(y) = V(x) } Ø Ò ÒØØ Ô Ø x, Ò Ò d dh V(x+hv) h= = Ð gradv(x),v =. µ ÌÓ ØÙ Ò µ Ó Ò ÑÙ Ò t t d V(x()) V(x(t)) = V(x(τ))dτ = x (τ) dτ, dτ Ó Ø Ú Ø ÙÖ Ó V(x(t)). Ñ Ö º º ÇÐ Ó Ý Ø Ñ x = f(x) = [ f (x,x ) cos(x )[x = sin(x )] sin(x ] ) f (x,x ) +sin(x ) x Ö ÒØØ Ý Ø Ñ ÂÓØØ f ÓÐ ÓÒ ÙÒ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒØØ ÓÒ ÓÐØ Ú f x. Æ Ò Ò ÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø = cos(x ). ÃÓ f = V x, Ò f x = V(x,x ) = x (+sin(x ) ξ) dξ +g(x ) = x (+sin(x ))+ x +g(x ). ÌÓ ÐØ V x = f, Ó Ø g ÐÐ Ð x cos(x ) g (x ) = x cos(x ) (+sin(x ))cos(x ) sin(x ) g(x ) = x [(+sin(ξ))cos(ξ)+ sin(ξ)] dξ = (+sin(x )) cos(x ), V(x,x ) = (x sin(x )) cos(x ).

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ x ÌÐÐ ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø (x,x ) = (kπ,). È Ö ÐÐ Ø k Ø Ú Ø Ú Ø V Ò Ñ Ò Ñ ¹ Ô Ö ØØÓÑ Ø ØÙÐ Ô Ø Øº Î Ö ÙÚ ÓÒ Ó Ø ¹ Ò V Ò Ø ÖÚÓ ÝÖ ÑÙÙØ Ñ ØÖ ØÓÖ º 3-4 6 8 x ÀÙÓÑ ØØ Ú ØÖ ØÓÖ Ò Ð ÙÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò Ð ÐÐ ØÓ Ò Ò ÔØÝÚØ Ö Ø Ô ÒÓÔ Ø Òº ÇÒ Ó ØÑ Ö Ø Ö Ò Ò ØØ Ö Ø Ù Ö ÔÔÙÙ Ø ÙÚ Ø Ð ÙÔ Ø Ø Î Ø Ù ÓÐ º Å µ ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º Ê Ø Ù Ö Ø Ù ÝÖ ÓÚ Ø Ö Ó Ø º Ê Ø Ù ÓÒ t Ò ÙÒ Ø Ó Ö Ø Ù ÝÖ ÓÒ R n Ò ÝÐÐ xy Ø ÓÒµ Ó ÓÙ Óº Ñ Ö º º ËÝ Ø Ñ Ò { x = x+xy y = x x y Ö Ø Ù ÝÖØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò dy dx = x x y x+xy = x y +, Ð y +y = x +C. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ø Ò (, ) ÝÑÔÝ¹ Ö Øº Ì ØÚ Ô ÖÖ ÓÙ ÓØ X +, X, Y +, Y Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ø ÙØ Ò Ø ÝÑÔÝÖ Ø Ô Ø Ò ÙÐ Ú Øº ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Øµº Ì ØÚ º º ÆÝØ ØØ Ô ØÓ Ð Ñ Ö ÐÐ ½º ÓÒ ÐÙ p >, s > Ý Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÓÒ Ø Ð º Î ÒÝØ Ý ØÐ dp ds = dp/dt ds/dt = cp+dsp as bsp = ds c s p a bp ÓÒ Ô ÖÓ ØÙÚ sp Ø Ó Ò Ö Ø Ù ÝÖØ alnp bp = clns+ds+c, ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ ÙÐ Ú ÙÐ ØØÙ ÝÖ º Ì ØÚ º º Å Ø ÝÖ Ô Ø Ò Ý Ø Ñ Ò µ x = αx, y = βy, µ x = x y, y = 4x y, Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø º º È Ö Ó Ø Ö Ø ÙØº Ì Ø Ö Ø Ð ÑÑ ÐÙ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ô Ö Ó Ö Ø Ù ØÓ Ò ÒÓ Ò ÐÐ ÓØ Ô Ð Ú Ø Ð ÙÔ Ø Ò º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö¹ Ú Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÐÙÖ Ý Ø Ñ Ò Ð ÐÐ Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÔÝ Ö ÚØ Ö Ø¹ ÙØº

¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÂÓ Ý Ø Ñ Ò x = f(x) Ô Ø Ø x Ð Ø Ú Ö Ø Ù ØÙÐ ÙÙ Ø Ò x Ò Ò τ ÙÐÙØØÙ Ð Ó φ τ (x ) = x, Ò Ò ØÖ ØÓÖ Γ = { φ t (x ) t [,τ] } ÑÙÓ Ó Ø ÙÐ ØÙÒ ÝÖÒ R n º ÌÐÐ Ò φ τ (x) = x ÐÐ x Γ, ÐÐ Ó x = φ t (x ), Ò Ò φ τ (x) = φ τ (φ t (x )) = φ t (φ τ (x )) = φ t (x ) = x. ÌÓ Ò ÒÓ Ò φ t+τ (x) = φ t (x) ÐÐ t R, x Γ. ÌÐÐ Ø Ö Ø Ù ÙØ ÙØ Ò τ Ô Ö Ó º ÃÙØ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÑÝ Ô Ö Ó Ø Ö Ø ÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ø Ð Ô Ø Ð Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ò ÑÙ Ò Ñ Ø Ò Ú Ø Ú Ò ØÖ ØÓÖ Ò Γ Ð ÐØ Ð Ú Ø Ö Ø ÙØ ÝØØÝØÝÚØ ÔÝ ÝÚØ Ò Ð ÐÐ ÓÙØÙÚ Ø Ó Ò Ù Ø Ð ØÝÚØ Ò Γ º ÑÑ ÖÝ Ý Ò Ø Ø Ø Ö ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÒ Ú Ò ÐÙÓØ ÑÑ ÒØÙ Ø ÓÓÒ Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ñ Ö º Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓÒ Ý Ø Ñ x = f(x) ÒÝØ x = ( x x )x +4x x = 4x +( x x )x. 4 ÌÐÐ ÓÖ Ó ÓÒ Ô Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø f x () =, ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ 4, = ±4i. Ö Ø ØÒ ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ù Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ Ó Ø ÖÖÓØ Ò ÐÙÚÙ µº ÃÙÚ Ø Ò Ò ØØ ÓÖ ÓÒ Ð ÐÐ x Ú Ù Ò Ô Ò Ò º Ä Ø Ò Ó x (t) = f(x(t)), Ò Ò d dt x(t) = x x +x x = = [( x x )x +4x x 4x x +( x x )x ] = = x(t) ( x(t) ). ÌÓ Ò ÒÓ Ò g(t) = x(t) ØÓØ ÙØØ g (t) = g(t)( g(t)). x.5 - -.5.5.5 x Ì Ø Ò Ò Ø ØØ g = ÓÒ ØÑÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ÐÐ d (g( g)) dg g= = < µº Ð ÙÔ Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ñ Ö Ø ØØ Ó x() =, Ò Ò x(t) = ÐÐ t Ó x(), Ò Ò x(t), ÙÒ t. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ò ØØ [ cos4t sin4t ] ÓÒ Ö Ö Ø Ù ÓØ Ú Ø Ú ØÖ ØÓÖ ÓÒ Ý ÝÑÔÝÖº ÌÑ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð ÐÐ Ð ÐØ Ð Ú Ø Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ Øº -.5 - ÌÖ ØÓÖ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ø Ù ÝÖÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ô Ø ÓÙ Ó R n º

Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º ÆÙÑ Ö Ø Å Ò Ø ÐÑØ º½º ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ º Í Ò ÙÒ Ø Ó Ø ØÙÒÒ Ø Ò Ø ÒÒ ØØ Ð ÖÚÓ Ú Ò ÖÚ Ô Ø ÓÙ Ó º ÃÙ Ø Ò Ò Ñ Ö Ö ÚÓ ÒØ Ø ÒØ ÖÓ ÒØ Ú ÖØ Ò ÐÙØ Ò ÔÔÖÓ ¹ ÑÓ ØØ ÙÒ Ø ÓØ Ð ÑÑ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÒ Ø Úº Ò ÖØ Ò Ø Ô ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ º ÇÐ ÓÓÒ ÒÒ ØØÙ Ö ÐÐ Ø Ô Ø Ø x,x,...,x n R Ø C µ ÙÒ Ø Ó f º Ø Ø Ò Ø ¹ ØÚ Ø n Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ò ØØ p n (x i ) = f(x i ), i =,...,nº p n (x) = a +a x+ +a n x n +a n x n Ä Ù º½º ÌÐÐ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ ØÚÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº ÌÓ º ÃÙÚ Ù V : (a,a,...,a n ) ( p n (x ),p n (x ),...,p n (x n ) ) ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò R n+ [ R n+ a ] f(x ) º ÇÒ Ö Ø Ø Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ Va = f Ñ a =. f =. º a n f(x n) ØØ Ò Ö Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓÐÐ Ö ØØ ÒÝØØ ØØ V ÓÒ Ò Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ a Ø Ò ØØ Va = p n (x) = n i= a ix i º ÌÐÐ Ò p n ÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø x,x,...,x n ÑÙØØ p n ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò n Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓØ Ò ÐÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò n ÒÓÐÐ Ó Ø ÐÐ Ú ÐÐ º Ë Ô p n = a = ÓØ Ò V ÓÒ Ò Ø Ó Ø Ò ÑÝ ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ º ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÙÚ Ù Ò V ÚÐ ØØ Ò Î Ò ÖÑÓÒ Ò Ñ ØÖ x x... x n x x... x n V = x x... x n º º º º. x n x n... x n n Ë ÓÒ ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ ÙÒ x i x j, i j º Ì ØÚ º½º ÆÝØ ØØ det(v ) = i<j n (x j x i ) º ÃÙÒ ÙÒ Ø ÓØ ÔÔÖÓ ÑÓ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÓÒ ØÖ ÖÚ Ó Ù Ò ÙÙÖ Ú Ö ØÐ¹ Ð Ò Ø Òº ÌÐÐ Ò Ö ÙÖ Ú ÐÐ Ð Ù ÐÐ º Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ f C n+ ÓÐ ÓÓØ Ô Ø Ø x i Ú Ú Ö ØÝ ÚÐ ÐÐ [x,x n ] R º ÌÐÐ Ò ÐÐ x [x,x n ] ÔØ f(x) p n (x) = f(n+) (ξ) n (x x i ), Ñ ξ [x,x n ] º (n+)! i=

ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌÓ º ÂÓ x = x j ÓÐÐ Ò j Ò Ò f(x) = p n (x) Ý ØÐ ÓÒ ØÖ Ú Ð Ø ÚÓ Ñ º ÇÐ ÓÓÒ x {x,...,x n } º Ø Ø Ò w(s) = n i= (s x i) g(s) = f(s) p n (s) f(x) p n(x) w(x) w(s), ÓÐÐÓ Ò g C n+ º ÆÝØ g ÐÐ ÓÒ n + ÒÓÐÐ Ó Ø s {x,x,x,...,x n } º ÊÓÐÐ Ò Ð Ù ÒÓÓ ØØ g Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ò g Ò ÒÓÐÐ Ó Ø º ÌØ Ò g ÐÐ ÓÒ Ò Òµ n + Ö ÙÙÖØ ÒÓÐÐ Ó Ø º Ë ÑÓ Ò g ÐÐ ÓÒ n ÒÓÐÐ Ó Ø º Æ Ò Ø Ò Ò g (n+) ÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ξ [x,x n ] º ÃÓ p n ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò n Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ w (n+) = (n+)! Ò Ð f(x) p n (x) = w(x) (n+)! f(n+) (ξ). g (n+) (ξ) = f (n+) (ξ) f(x) p n(x) w(x) (n+)! = ÐÐ ÓÐ Ú ÙÚ ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐÓ ØÙ ÙÒ Ø ÓØ f(x) = e 4x ÚÐ ÐÐ [,] Ø ÚÐ Ô Ø Ø ½ ¹ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ º Æ Ò ØØ p 4 ÔÔÖÓ ÑÓ f Ó Ð Ú Ú ÒÔ ÙÙ Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ º..8.6.4....4.6.8. Ñ Ö º½º ÙÒ Ø Ó Ø f(x) = sin(x) Ø ÑÑ ØØ Ô Ø {,π/6,π/4,π/3,π/} ÖÚÓØ {,,, 3,} º Ö Ø ØÒ Ò Ò ÚÙÐÐ ÖÚ Ó ÐÙ Ù sin() º Ë ÑÑ Ð ¹ ÑÖ Ò Ñ ØÖ Ò V Ú ØÓÖ Ø f a = V f.........536.74.435.75 V =..7854.669.4845.385..47.966.484.6, f =.5.77.866, a =.9956.4.43...578.4674 3.8758 6.88..88 Æ Ø ÑÑ p 4 () = [ ]a.84456 ÙÒ Ó sin() =.84479... º ÆÝØÑÑ Ò Ø Ú Ò Ò Ð Ñ Ð Ð ÙØ Ø Ö ÑÑ Ò Ñ ØÐ ÐÐ º