Pengenalan Copula. Sapto Wahyu Indratno

Transkripsi

1 Pengenalan Copula Sapto Wahyu Indratno STATISTICS DISIVISION, FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCI- ENCES, INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG address:

2

3 Daftar Isi Bagian 1. Copula 1 Bab 1. Copula dan aplikasinya 3 1. Pendahuluan 3 2. Fungsi-fungsi distribusi 3 3. Konsep dasar dari Kebergantungan 9 4. Jenis-jenis Copula Proses Estimasi Copula Korelasi Linear 12 iii

4

5 Bagian 1 Copula

6

7 BAB 1 Copula dan aplikasinya 1. Pendahuluan Sebuah Copula adalah suatu fungsi multivariat yang terlahir dari sebuah distribusi gabungan. Copula merupakan alat yang dapat digunakan untuk menganalisa kebergantungan variabel-variabel acak dalam struktur yang digambarkan oleh fungsi gabungan terebut. Di sini struktur kebergantungan variabel-variabel acak dalam distribusi gabungan dapat dilihat dari kebergantungan fungsi-fungsi marginalnya dalam fungsi Copula. Sehingga Copula dari sebuah distribusi multivariat dapat dipandang sebagai gambaran struktur kebergantungan dari distribusi multivariat tersebut berdasarkan prilaku dari masing-masing fungsi marginalnya. Salah satu sifat Copula yang penting adalah invarian terhadap transformasitransformasi yang menaik kuat pada marginal-marginalnya. Copula dapat menyelesaikan suatu masalah yang sulit, seperti mencari sebuah distribusi multivariat, dengan melakukan dua langkah sederhana berikut: langkah pertama adalah memodelkan semua distribusi marginalnya. Langkah kedua adalah mengestimasi Copula yang menggambarkan kebergantungan dari marginal-marginalnya. Dalam industri keuangan dan asuransi struktur ketergantungan antara aset merupakan hal yang sangat penting untuk dipelajari. Kebergantungan ini dianalisa untuk beberapa tujuan: pricing dan hedging dari intrumen kredit yang sensitif, basket derivatives dan structured produts, pengaturan portfolio kredit, pengukuran resiko kredit dan resiko pasar. 2. Fungsi-fungsi distribusi Sebuah variabel acak X didefinisikan sebagai sebuah fungsi yang mengaitkan sebuah bilangan real X(ξ) dengan setiap hasil eksperimen ξ dalam ruang sampel Ω 2.1. Univariat. Fungsi distribusi (kumulatif) F dari suatu variabel acak X didefinisikan sebagai F X (x) = P (X x), (2.1) dimana F X () = 0 dan F X ( ) = 1 sehingga 0 F X (x) 1 x, dan F X adalah fungsi yang kontinu kanan. Jika F X kontinu juga dari kiri maka X adalah variabel acak kontinu. AKIBAT 1. Melalui sifat 0 F (X) 1 diperoleh 1. {x F (x) < y} =, y 0, dan 2. {x F (x) < y} = X, y 1. Sehingga P (F (X) y) = 0, y 0, dan P (F (X) y) = 1, y 1. 3

8 4 1. COPULA DAN APLIKASINYA Pada umumnya fungsi distribusi F X tidak murni monoton naik, sebagai contoh fungsi distribusi untuk variabel acak diskret, sehingga definisi fungsi F 1 yang klasik tidak dapat digunakan. Untuk mengatasi masalah ini fungsi inversi F X yang diperumum diperkenalkan sebagai berikut: DEFINISI 1 (Inversi yang diperumum). Misalkan X adalah sebuah variabel acak (kontinu atau diskret). Fungsi inversi yang diperumum dari F X didefinisikan sebagai berikut: F 1 X (u) = inf{x F (x) > u}. (2.2) Perhatikan bahwa Definisi 1 dan kekontinuan kanan dari F mengakibatkan F 1 (F (x)) = inf{w F (w) F (x)} = x, x X. (2.3) LEMA 1. Misalkan F X adalah sebuah fungsi distribusi yang monoton naik murni, F X (x) < F X (y) x < y, dari suatu variabel acak kontinu. Maka adalah fungsi yang monoton naik murni. F 1 X BUKTI. (2.3) memberikan df (F 1 (x)) = 1. dx Aplikasikan aturan rantai pada ruas kiri persamaan di atas, kita peroleh w = F 1 (x), atau df (F 1 (x)) dx (F 1 ) (x) = = F (w) df 1 (x) dx = 1, (2.4) 1 F (F 1 > 0. (2.5) (x)) TEOREMA 1 (Teorema CDF). Misalkan X adalah sebuah variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi F (.). Misalkan X ditransfromasikan melalui fungsi kumulatifnya yaitu Y = F (X). Maka distribusi dari Y adalah seragam pada interval [0, 1], Y U[0, 1]. GAMBAR 1. F (X) U[0, 1]

9 2. FUNGSI-FUNGSI DISTRIBUSI 5 BUKTI. Untuk membuktikan teorema ini kita gunakan definisi berikut: DEFINISI 2. X U[0, 1] jika dan hanya jika 0, x 0 P (X x) = x, 0 < x 1 1, x > 1. (2.6) Dari Akibat 1 kita cukup menunjukkan P (Y < y) = y, y [0, 1]. Dengan menggunakan {x X F (x) y} = {x X F 1 (F (x)) F 1 (y)}, kita peroleh P (Y y) = P (F (X) y) = P (F 1 (F (X)) F 1 (y)) = P (X F 1 (y)) = F (F 1 (y)) = y y [0, 1]. (2.7) Fungsi distribusi empirik. Misalkan X 1, X 2,..., X n menyatakan sampel acak yang berukuran n. Bagaimana cara mendapatkan distribusi dari sampel acak tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita perhatikan informasi yang dapat kita peroleh dari sampel acak tersebut. Deskriptif Statistik dapat digunakan terlebih dahulu untuk mendapatkan sari numerik dari sampel acak tersebut. Di sini akan difokuskan pada informasi sampel acak yang didapatkan dari distribusi empirik. Fungsi distribusi empirik ini didefinisikan sebagai berikut: DEFINISI 3. Misalkan X 1, X 2,..., X n suatu sampel acak dari suatu distribusi X. Distribusi empirik dari sampel acak tersebut adalah n 1 {Xi x} F (x) =. (2.8) n i=1 GAMBAR 2. (a) n = 5, (b) n = 50, (c) n = 500 Distribusi empirik ini adalah distribusi yang berdasarkan pada data. Gambar 2 mengilustrasikan bentuk dari distribusi empirik untuk beberapa ukuran sample acak yang diambil dari distribusi Gamma(3,1). Terlihat dalam Gambar 2 (a) sampel acak berukuran 5 menyebar pada interval [0, 5]

10 6 1. COPULA DAN APLIKASINYA yang menghasilkan distribusi empirik yang jauh dari distribusi populasinya. Dalam Gambar 2 (b) dan (c) sampel acak mulai menyebar merata sehingga distribusi empiriknya semakin mendekati distribusi populasinya. Dari contoh ini terlihat bahwa kedekatan distribusi empirik dengan distribusi populasinya sangat bergantung pada banyaknya data dan penyebaran data Pengkontinuan variabel acak diskret. Misalkan X adalah variabel acak disktrit dan U adalah suatu variabel acak dengan support [0, 1]. Definisikan X = X + (U 1). Maka P (X + U 1 s) = P (X + U [s] (s [s])) = P (U s + 1 x)p (X = x) = x=0 (2.9) 2.3. Univariat Normal. Fungsi densitas dan distribusi (kumulatif) dari distribusi Normal standar didefinisikan masing-masing sebagai berikut: dan φ(x) = 1 exp( x2 ), < x < (2.10) 2π 2 Φ(x) = x φ(t)dt. (2.11) Bila X N(µ, σ 2 ), maka kita dapat menstandarkan variabel acak tersebut melalui transformasi Y = X µ σ N(0, 1). Sehingga Y memiliki fungsi kepadatan sebagai berikut: dimana y = x µ σ. f(x) = 1 φ(y), < x <, (2.12) σ 2.4. Bivariat. Suatu fungsi yang kontinu kanan F : R 2 [0, 1] kita sebut fungsi distribusi bivariat bila memenuhi sifat-sifat berikut: lim xj F (x 1, x 2 ) = 0, j = 1, 2, lim xj, j F (x 1, x 2 ) = 1 untuk semua (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) dengan x 1 < x 2,y 1 < y 2 berlaku F (x 2, y 2 ) F (x 1, y 2 ) F (x 2, y 1 ) + F (x 1, y 1 ) 0. (2.13) ( ) X1 Misalkan X = adalah sebuah vektor acak yang berdistribusi X 2 ( ) µ1 Bivariat Normal(µ, Σ), dimana µ = adalah vektor mean, dan µ 2 ( ) σ 2 Σ = 1 ρσ 1 σ 2 ρσ 1 σ 2 σ2 2 (2.14) adalah matriks kovariansi. Di sini ρ menyatakan korelasi antara X 1 dan X 2. Fungsi kepadatan peluang untuk bivariat normal ini adalah f(x 1, x 2 ) = 1 2π Σ exp { (X µ) Σ 1 (X µ) 2 }. (2.15)

11 2. FUNGSI-FUNGSI DISTRIBUSI 7 Kebebasan bivariat Normal. Kebebasan antar variabel acak distribusi bivariat Normal ini menyebabkan ( ) ( σ 2 1 ) Σ = σ2 2 dan Σ 1 σ = 1 2. (2.16) 0 1 σ 2 2 Visualisasi kebebasan bivariat normal. Untuk memperoleh gambaran GAMBAR 3. Kurva ketinggian fungsi bivariat normal baku dengan ρ = 0, dan data yang dibangkitkan dari distribusi bivariate baku dengan ρ = 0 struktur kebergantungan X 1 dan X 2 kami sajikan Gambar bivariat Normal dengan µ = (0, 0) dan σ 1 = σ 2 = 1 dengan ρ = 0. Gambar 3 merepresentasikan struktur kebergantungan X 1 dan X 2 ketika mereka saling bebas. Terlihat data yang dibangkitkan dari distribusi bivariat normal baku dengan ρ = 0 mengikuti bentuk kurva ketinggian dari fungsi kepadatan peluang distribusi bivariat normal baku dengan ρ = 0. Untuk kasus X 1 dan X 2 yang saling bebas kita memiliki P (X 1 0, X 2 0) 0, 5P (X 1 0), seperti yang diperlihatkan pada Gambar 3. Terlihat bahwa data acak yang dibangkitkan berkumpul membentuk bola dua dimensi yang berpusat di titik (0, 0). Bila kita naikkan nilai ρ nya struktur kebergantungan X 1 dan X 2 akan berubah. Pada Gambar 4 terlihat bentuk penyebaran data acaknya berbentuk elips. Di sini kita memiliki P (X 1 0, X 2 0) 0, 75P (X 1 0). Dapat kita lihat untuk ρ 1 data atau kurva ketinggiannya mendekati bentuk garis seperti yang diperlihatkan pada Gambar 5, dan lim P (X 1 0, X 2 0) = P (X 1 0). ρ 1 Hal ini menunjukkan parameter ρ sangat erat kaitannya dengan kebergantungan antara dua variabel acak tersebut. LEMA 2. P (A B) min{p (A), P (B)}. (2.17) BUKTI. Bukti diperoleh melalui hubungan P (A B) P (A) dan P (A B) P (B).

12 8 1. COPULA DAN APLIKASINYA GAMBAR 4. Kurva ketinggian fungsi bivariat normal dengan ρ = 0, 8, dan data yang dibangkitkan dari distribusi bivariate baku dengan ρ = 0, 8 GAMBAR 5. Kurva ketinggian fungsi bivariat normal dengan ρ = 0, 99, dan data yang dibangkitkan dari distribusi bivariate baku dengan ρ = 0, 99 Maka 2.5. Covariance. Misalkan y t = αy t 1 + µ + ɛ t. (2.18) E[y ( t h)y t ] = E[(αy t h 1 + µ + ɛ t h )(αy t 1 + µ + ɛ t )] (2.19) Peluang bersyarat. Misalkan X dan Y adalah variabel acak yang berdistribusi masing-masing F X dan F Y, dan H adalah distribusi gabungan X dan Y. DEFINISI 4 (CDF bersyarat). P (X x Y y) = Terlihat dari Definisi 4 bahwa Jika H C 1 maka P (X x, Y y) P (Y y) = H(x, y) F Y (y). P (X x Y y) H(x, y). (2.20) P (X x Y = y) = lim δ 0 P (X x, y δ Y y + δ) lim δ 0 P (y δ Y y + δ) = y H(x, y). (2.21) f Y (y)

13 3. KONSEP DASAR DARI KEBERGANTUNGAN Multivariat. Suatu fungsi yang kontinu kanan F : R m [0, 1] kita sebut fungsi distribusi bivariat bila memenuhi sifat-sifat berikut: lim xj F (x 1,..., x m ) = 0, j = 1, 2,..., m, lim xj, j F (x 1,..., m) = 1 untuk semua (x 1, x 2,..., x m ), (y 1, y 2,..., y m ) dengan x i < y i, i = 1, 2,..., m, berlaku i 1=1 i 2=1 2 ( 1) i1+i2+...+im F (x 1, x 2,..., x m ) 0, (2.22) i m=1 dimana x i1 = x i dan 3. Konsep dasar dari Kebergantungan Konsep-konsep yang akan ditampilkan adalah: Konsep dari kebergantungan pada kuadran yang positif dan pengurutan concordance. Konsep dari kebergantungan dari kenaikan positif yang stokastik Konsep dari total positivity of order 2 (T P 2 ) dan max-infinite divisibility Konsep dari kebergantungan ekor yang digunakan untuk mengkontruksi dan menganalisa distribusi nilai ekstrim multivariat dan copulas. Konsep dari kebergantungan dari Kendall s tau dan Spearman s rho Kebergantungan Kuadran positif dan Orthan. Misalkan X = (X 1, X 2 ) adalah sebuah vektor bivariat dengan cdf F. Di sini X atau F dikatakan bergantung pada kuadran positif (PQD) jika P (X 1 > a 1 X 2 > a 2 ) P (X 1 > a 1 ) a 1, a 2 R. (3.1) Dengan menggunakan hubungan P (X 1 > a 1, X 2 > a 2 ) = 1 P (X 1 a 1 ) P (X 2 a 2 ) + P (X 1 a 1, X 2 a 2 ), (3.2) kita dapat tuliskan hubungan (3.1) sebagai berikut P (X 1 a 1 X 2 a 2 ) P (X 1 a 1 ) a 1, a 2 R. (3.3) Hubungan (3.1) menyatakan bahwa peluang X 1 > a 1 akan lebih besar, untuk setiap a 1, bila informasi X 2 > a 2, untuk setiap a 2, diketahui dibanding tanpa informasi X 2. Contoh: Distribusi F (x, y) = F X (x)f Y (y)[1+θ(1 F X (x))(1 F Y (y))], 0 θ 1. Untuk melihat hubungan X dan Y secara visual misalkan X N(0, 1) dan Y N(2, 4). Kita bangkitkan data (x i, y i ), i = 1, 2,..., 700, dari distribusi gabungan F (x, y). Distribusi gabungan di atas dapat dituliskan sebagai C(u, v) = uv[1 + θ(1 u)(1 v)], dimana u = F X (x) dan v = F Y (y). Kita peroleh u C(u, v) = θ(1 2u)v2 + v[1 + θ(1 2u)].

14 10 1. COPULA DAN APLIKASINYA GAMBAR 6. Struktur kebergantungan 4. Jenis-jenis Copula Apakah ada hubungan frequency domain used in Fourier analysis dengan Distribution cumulative domain used in Copula? It seems to be similar to me based on the following : The "frequency domain" is simply a different way to look at the data that you have in the time domain. When you listen to a symphony, the time domain description tells you what sound you hear in every given instant, while the frequency domain description tells you, roughly, what instruments are involved and the ways they are played Keluarga Bivariat dengan satu parameter. Dalam bagian ini akan ditampilkan Copula bivariat dengan satu parameter yang memiliki sifat-sifat: kontinu secara absolut supportnya berada di seluruh [0, 1] 2 hasil interpolasi antara batas bawah dan batas atas Frechet. 5. Proses Estimasi Copula Asumsikan Copula yang sebenarnya berasal dari sebuah keluarga Copula parametrik C = {C θ, θ Θ}. Kita ingin mengestimasi Copula ini berdasarkan data yang diasumsikan saling bebas dan memiliki distribusi yang identik. Untuk mengestimasi Copula ini dapat dilakukan dengan menggunakan parametrik marginal atau non-parametrik marginal. Terlebih dahulu kita perkenalkan beberapa sifat-sifat fungsi distribusi (kumulatif): LEMA 3. Misalkan X memiliki distribusi F. Maka X dan F 1 (U) dimana U berdistribusi seragam (0, 1) memiliki distribusi yang sama. BUKTI. P (F 1 (U) x) = P (U F (x)) = F (x) = P (X x). Dengan menggunakan Lema 3 kita dapatkan hubungan F (x 1, x 2,..., x n ) = P (X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ) = P (F 1 1 (U 1 ) x 1,..., F 1 n (U n ) x n ) = P (U 1 F 1 (x 1 ),..., U n F n (x n )) = P (U 1 u 1,..., U n u n ) = C(u 1, u 2,..., u n ), dimana U i, i = 1, 2,..., n, berdistribusi seragam (0, 1). (5.1)

15 5. PROSES ESTIMASI COPULA 11 Untuk n = 2 kita dapatkan, menggunakan u = F (x) dan v = G(y), kita peroleh f(x, y) = 2 F (x, y) x y = 2 x y C(F (x), G(y)) = df (x) dx dg(x) dy 2 C(F (x), G(y)). u v (5.2) LEMA 4. Misalkan α(x) adalah fungsi yang monoton naik. Maka P (α(x) x) = P (X α 1 (x)) = F (α 1 (x)). (5.3) 5.1. Copula dengan 2 peubah. DEFINISI 5. Misalkan S 1, S 2 R, dan Λ : S 1 S 2 R. Maka Λ- volume dari B := [u 1,1, u 1,2 ] [u 2,1, u 2,2 ] S 1 S 2, dimana u 1,1 < u 1,2 dan u 2,1 < u 2,2, didefinisikan sebagai V Λ (B) = Λ(u 1,1, u 2,1 ) Λ(u 1,1, u 2,2 ) Λ(u 1,2, u 2,1 ) + Λ(u 1,2, u 2,2 ) 2 2 = ( 1) i1+i2 Λ(u 1,i1, u 2,i2 ). i 1=1 i 2=1 (5.4) DEFINISI 6. Λ : S 1 S 2 R dikatakan memenuhi sifat 2-increasing jika V Λ (B) 0 untuk setiap B S 1 S 2. Apakah fungsi H(x, y) yang tidak turun terhadap x dan y adalah fungsi yang 2-increasing? Jawabannya adalah negatif. Pandang contoh berikut: H(x, y) = max(x, y). Maka untuk y yang ditetapkan H(x 1, y) H(x 2, y) jika x 1 x 2. Demikian juga bila xyang ditetapkan kita peroleh H(x, y 1 ) H(x, y 2 ) untuk setiap y 1 y 2. Tetapi V H (I I) = H(0, 0) H(0, 1) H(1, 0) + H(1, 1) = = 1 < 0. Apakah fungsi H(x, y) yang 2-increasing mengakibatkan H(x, y) fungsi yang tidak turun terhadap x dan y? Pandang contoh H(x, y) = (2x 1)(2y 1). Kita memiliki V H (B) = H(u 1,1, u 2,1 ) H(u 1,1, u 2,2 ) H(u 1,2, u 2,1 ) + H(u 1,2, u 2,2 ) = (2u 1,1 1)(2u 2,1 1) (2u 1,1 1)(2u 2,2 1) (2u 1,2 1)(2u 2,1 1) + (2u 1,2 1)(2u 2,2 1) = 2(2u 1,1 1)(u 2,1 u 2,2 ) 2(2u 1,2 1)(u 2,1 u 2,2 ) = 2(u 2,1 u 2,2 )(2u 1,1 2u 1,2 ) 0. (5.5) Jadi H(x, y) fungsi yang 2-increasing. Tetapi untuk y ditetapkan (2x 1 1)(2y 1) (2x 2 1)(2y 1) untuk setiap x 1 x 2 bila y 1 2. DEFINISI 7. Misalkan terdapat M 1 dan M 2 yang memenuhi M 1 = max S 1 dan M 2 = max S 2. Maka fungsi-fungsi marginal F dan G dari Λ masingmasing didefinisikan sebagai F : S 1 R, F (x) = Λ(x, M 2 ) (5.6) dan G : S 2 R, G(y) = Λ(M 1, y). (5.7) DEFINISI 8. Misalkan terdapat m 1 dan m 2 yang memenuhi m 1 = min S 1 dan m 2 = min S 2. Maka Λ : S 1 S 2 R dikatakan memiliki sifat grounded jika Λ(m 1, y) = Λ(x, m 2 ) = 0 untuk setiap (x, y) S 1 S 2.

16 12 1. COPULA DAN APLIKASINYA 5.2. Sifat-sifat dari fungsi 2-increasing dan grounded. Misalkan Λ memiliki sifat 2-increasing. Maka Λ memenuhi ketaksamaan-ketaksamaan berikut: dan Λ(u 1,2, u 2,2 ) Λ(u 1,2, u 2,1 ) Λ(u 1,1, u 2,2 ) Λ(u 1,1, u 2,1 ) (5.8) Λ(u 1,2, u 2,2 ) Λ(u 1,1, u 2,2 ) Λ(u 1,2, u 2,1 ) Λ(u 1,1, u 2,1 ). (5.9) Misalkan kita gunakan u 2,1 = m 2 dalam ketaksamaan (5.8) dan u 1,1 = m 1 dalam ketaksamaan (5.9), dan Λ juga memiliki sifat grounded maka kita peroleh Λ(u 1,2, v) Λ(u 1,1, v) (5.10) dan Λ(w, u 2,2 ) Λ(w, u 2,1 ) (5.11) untuk sembarang w S 1 dan v S 2. Sehingga perpaduan antara sifat 2-increasing dan grounded akan menciptakan sifat baru yang kami sajikan dalam lema berikut: LEMA 5. Setiap fungsi Λ : S 1 S 2 R yang memiliki sifat 2-increasing dan grounded adalah fungsi tidak turun di kedua argumennya. Dengan menggunakan Lema 5 kita peroleh G(u 2,2 ) G(u 2,1 ) = Λ(M 1, u 2,2 ) Λ(M 1, u 2,1 ) Λ(u 1,1, u 2,2 ) Λ(u 1,1, u 2,1 ) 0 (5.12) dan F (u 1,2 ) F (u 1,1 ) = Λ(u 1,2, M 2 ) Λ(u 1,1, M 2 ) Λ(u 1,2, u 2,1 ) Λ(u 1,1, u 2,1 ) 0. (5.13) Sehingga didapat F (u 1,2 ) F (u 1,1 ) + G(u 2,2 ) G(u 2,1 ) Λ(u 1,1, u 2,2 )+Λ(u 1,2, u 2,1 ) 2Λ(u 1,1, u 2,1 ) (5.14) DEFINISI 9. N-Copula adalah sebuah fungsi dengan N peubah yang menghubungkan distribusi-distribusi marginal dengan distribusi gabungannya. 6. Korelasi Linear Korelasi adalah suatu ukuran kebergantungan antar dua variabel acak yang didefinisikan sebagai berikut: ρ XY = Cov(X, Y ) σ X σ Y. (6.1) Misalkan X N(0, 1) dan Y = X 2. Kita ketahui bahwa m.g.f. dari N(0, 1) adalah M X (t) = e t2 2. Maka E(X) = M X (0) = 0, E(X2 ) = M X (0) = e t2 2 +t 2 e t2 2 t=0 = 1 dan E(X 3 ) = M X t 2 (0) = te 2 +2te t2 2 +t 3 e t2 2 t=0 = 0. Sehingga Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = E(X 3 ) E(X)E(X 2 ) = 0, (6.2) yang mengakibatkan ρ XY = 0. Hal ini menunjukan secara umum nilai korelasi yang nol tidak mengakibatkan kebebasan antara X dan Y. Syarat agar X dan Y saling bebas adalah jika Cov(φ 1 (X), φ 2 (Y )) = 0 untuk setiap fungsi φ 1 dan φ 2. Hal ini merupakan salah satu kelemahan pengukuran kebebasan melalui korelasi ρ.

17 6. KORELASI LINEAR 13 LEMA 6 (Hoeffding). Jika F menyatakan distribusi gabungan dari X dan Y dengan F X dan F Y adalah masing-masing distribusi marginalnya, maka Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = dengan anggapan E(XY ), E(X) dan E(Y ) terdefinisi. [F (x, y) F X (x)f Y (y)]dxdy (6.3) BUKTI. Misalkan Z 1 = (X 1, Y 1 ) dan Z 2 = (X 2, Y 2 ) saling bebas yang berasal dari distribusi F. Maka Cov(Z 1, Z 2 ) = 0 yang memberikan hubunganhubungan E[X 1 Y 2 ] = E[X 1 ]E[Y 2 ] dan E[Y 1 X 2 ] = E[Y 1 ]E[X 2 ]. (6.4) Dengan menggunakan (6.4) dan E[X] = E[X 1 ] = E[X 2 ], kita peroleh E[(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 )] = E[X 1 Y 1 X 1 Y 2 X 2 Y 1 + X 2 Y 2 ] Definisikan = E[X 1 Y 1 ] E[X 1 Y 2 ] E[X 2 Y 1 ] + E[X 2 Y 2 ] = E[X 1 Y 1 ] E[X 1 ]E[Y 2 ] + E[X 2 Y 2 ] E[X 2 ]E[Y 1 ] = E[X 1 Y 1 ] E[X 1 ]E[Y 1 ] + E[X 2 Y 2 ] E[X 2 ]E[Y 2 ] = 2(E[X 1 Y 1 ] E[X 1 ]E[Y 1 ]). I(u, x) = { 1, jika u x 0, lainnnya. (6.5) (6.6) Misalkan X 1 < X 2. Maka (I(u, X 1) I(u, X 2 ))du = X 1 X 2 < 0. Untuk X 1 > X 2 kita dapatkan (I(u, X 1) I(u, X 2 ))du = X 2 X 1 < 0. Kedua hasil integral tersebut merupakan selisih antara X 1 dan X 2 yang bernilai sama, sehingga urutan dapat diabaikan. Sehingga kita dapat menuliskan (I(u, X 1 ) I(u, X 2 ))du = X 1 X 2. (6.7) Dengan menggabungkan hasil-hasil di atas, kita dapatkan 2(E[X 1 Y 1 ] E[X 1 ]E[Y 1 ]) = E[(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 )] = E[ (I(u, X 1 ) I(u, X 2 ))(I(v, Y 1 ) I(v, Y 2 ))dudv] = E[(I(u, X 1 ) I(u, X 2 ))(I(v, Y 1 ) I(v, Y 2 ))]dudv. (6.8) Misalkan H(u, v) = E[(I(u, X 1 ) I(u, X 2 ))(I(v, Y 1 ) I(v, Y 2 ))]. Maka kita peroleh H(u, v) = (I(u, x 1 ) I(u, x 2 ))(I(v, y 1 ) I(v, y 2 ))f(x 1, y 1 )dx 1 dy 1 f(x 2, y 2 )dx 2 y 2. (6.9) Marilah kita hitung integral di atas bagian perbagian. Kita dapat menuliskan integral di atas sebagai: H(u, v) = 2J 1 2J 2, (6.10) dimana J 1 = I(u, x 1 )I(v, y 1 )f(x 1, y 1 )f(x 2, y 2 )dx 1 dy 1 dx 2 dy 2 (6.11)

18 14 1. COPULA DAN APLIKASINYA dan J 2 = I(u, x 1 )I(v, y 2 )f(x 1, y 1 )f(x 2, y 2 )dx 1 dy 2 dx 2 dy 1 (6.12) Marilah kita hitung J 1 terlebih dahulu. Kita memiliki x1 I(u, x 1 )I(v, y 1 )f(x 1, y 1 )f(x 2, y 2 )dx 1 dy 1 = f(x 2, y 2 ) f(s, y 1 )dsdy 1 = f(x 2, y 2 ) y1 x1 f(s, t)dsdt = f(x 2, y 2 )F (x 1, y 1 ). (6.13) Hal di atas menghasilkan J 1 = f(x 2, y 2 )F (x 1, y 1 )dx 2 dy 2 = F (x 1, y 1 ). (6.14) Untuk menghitung J 2 perhatikan integral berikut I(u, x 1 )I(v, y 2 )f(x 1, y 1 )f(x 2, y 2 )dx 1 dy 2 = I(u, x 1 )f(x 1, y 1 )dx 1 I(v, y 2 )f(x 2, y 2 )dy 2 Sehingga = x1 y2 f(s, y 1 )ds f(x 2, t)dt. (6.15) x1 y2 J 2 = f(s, y 1 )dsdy 1 f(x 2, t)dtdx 2 = F X (x 1 )F Y (y 2 ). (6.16) Dari hasil-hasil di atas dapat disimpulkan 2(E[XY ] E[X]E[Y ]) = 2 (F (x, y) F X (x)f Y (y))dxdy. (6.17) 6.1. Keluarga Copula. DEFINISI 10. Distribusi normal multivariabel untuk sebuah vektor berdimensi k yaitu x = (X 1,..., X k ) T, N (µ, Σ), didefiniskan sebagai berikut Φ ρ (x 1,..., x k ) = x1... xk 1 2π k/2 Σ 1/2 exp( 1 2 (x µ)t Σ 1 (x µ)), (6.18) dimana Σ i,j = Cov(X i, X j ) dan Σ adalah determinan dari Σ. Sebagai contoh untuk k = 2, dengan menggunakan persamaan Cov(X, Y ) = ρσ X σ Y, kita peroleh [ ] [ ] σ1 Σ = 2 ρσ X1 σ X2 µx1 ρσ X1 σ X2 σx 2, µ =, (6.19) 2 dan µ X2 Σ = σ 2 X 1 σ 2 X 2 σ 2 X 1 σ 2 X 2 ρ 2 = σ 2 X 1 σ 2 X 2 (1 ρ 2 ). (6.20) LEMA 7. Misalkan (X 1, X 2 ) N (µ, Σ). Maka distribusi bersyarat X i X j = a N (µ, Σ), dimana µ = µ i + ρ σi σ j (a µ j ) dan Σ = σ 2 i (1 ρ2 ), i j.

19 6. KORELASI LINEAR 15 DEFINISI 11 (Copula Gaussian multivariabel-mvn). Misalkan ρ adalah sebuah matrik simetrik, definit positif dengan diag(ρ) = 1 dan Φ ρ yaitu distribusi normal multivariabel standar dengan korelasi ρ. Copula Gaussian multivariabel didefinisikan sebagai berikut: C(u 1,..., C N ; ρ) = Φ ρ (Φ 1 (u 1 ),..., Φ 1 ρ (u N )) (6.21) dengan fungsi densitas c(u 1,..., u N ) = 1 ( exp 1 ) ρ 1/2 2 ξt (ρ 1 I)ξ, (6.22) dimana ξ n = Φ 1 (u n ). DEFINISI 12. Copula bersyarat dari (x, y) F t 1, dimana x F t 1 F dan y F t 1 G Simulasi Copula Estimasi Non-parametric. Misalkan TABEL 1. Time series data t X X TABEL 2. Statistik terurut dari Time series data t X (1) X (2) Distribusi empirik Copulanya dapat dituliskan sebagai berikut: ( t1 Ĉ 10, t ) 2 = x t 1 x (t 1 ) 1, x t 2 x(t 2, (6.23) ) 2 t=1 dimana 1 t 1, t Simulasi random variabel generator. 0 Data (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ), dimana X i F (x, α) dan Y i G(y, β). U i = F (X i ) dan V i = G(Y i ), i = 1, 2,..., n. 1 Fungsi log-likelihood Copula n n n log l(θ, α, β) = log c(u j, v j, θ) + log f(f 1 (u j ), α) + log g(g 1 (v j ), β) j=1 j=1 2 ˆα = argmax α n j=1 log f(f 1 (u j ), α) 3 ˆβ = argmax β n j=1 log g(g 1 (v j ), β) j=1 (6.24) 4 ˆθ = argmax θ log l(θ, ˆα, ˆβ) 5 Gunakan ˆθ untuk menghitung ρ s, ρ τ dan membangkitkan data u dan v.