Pelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic pada Digraf Matahari

Transkripsi

1 Pelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic pada Digraf Matahari Yuni Listiana, Darmaji Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 0 yuni.listiana@gmail.com Abstrak-Digraf D(V, A) adalah graf yang setiap sisinya memiliki arah dengan memperhatikan urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sebuah sisi berarah tersebut. Sisi berarah pada digraf disebut sebagai busur. Pada digraf D, himpunan simpul dinotasikan sebagai V dan himpunan busur dinotasikan sebagai A. Banyak simpul di D dinyatakan dengan V dan banyak busur di D dengan A. Andaikan V = s dan A = r, maka pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pada digraf D dapat didefinisikan sebagai sebuah fungsi bijektif λ : V A {,,,..., s + r} sedemikian hingga bobot total simpul untuk seluruh simpul di D membentuk sebuah barisan aritmatika a, a + d, a + d,..., a + (s )d, dengan bobot total adalah W t(v) = Σ u A+ (v)λ( uv) + λ(v) Σ z A (v)λ( vz), untuk uv, uv A, d 0, dan a,d adalah bilangan bulat. Dalam penelitian ini, dilakukan konstruksi pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pada digraf matahari. Digraf matahari, dinotasikan dengan M n, n, didefinisikan sebagai digraf siklus, C n, dengan penambahan sebuah bandul berarah pada setiap simpulnya. Arah busur digraf matahari ditetapkan searah dengan arah perputaran jarum jam. Dari hasil penelitian didapatkan hasil konstruksi digraf matahari pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pada M n untuk nilai d = 0,,,, dan n. Kata Kunci: digraf matahari, pelabelan digraf, pelabelan total (a, d)-simpul antimagic, pelabelan total super (a, d)-simpul antimagic. Pendahuluan Misalkan G(V, E) adalah sebuah graf dengan V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul pada G dan E adalah himpunan sisi pada G, dengan V = p dan E = q. Pelabelan dari suatu graf adalah pemetaan yang memasangkan unsur-unsur graf ke suatu himpunan bilangan bulat yang disebut label. Jika domain pemetaan berupa himpunan simpul atau himpunan sisi maka pelabelan tersebut disebut sebagai pelabelan simpul atau pelabelan busur, sedangkan jika domainnya merupakan gabungan dari simpul dan busur maka disebut sebagai pelabelan total []. Berbagai macam pelabelan graf dikaji dan berkembang, baik konsep itu muncul untuk keperluan aplikasi maupun teoritis []. Dalam penelitian ini, kami fokus pada jenis pelabelan total (a, d)-simpul antimagic. Konsep pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pertama kali diperkenalkan oleh Bača, dkk. dalam []. Dalam paper tersebut, pelabelan total (a, d)- simpul antimagic dari graf G didefinisikan sebagai fungsi bijektif λ : V E {,,,..., p + q} sedemikian hingga bobot total simpul membentuk W = {W t(x) x V } = {a, a + d, a + d,..., a + (p )d} untuk a dan d bilangan bulat. Bobot total simpul merupakan hasil penjumlahan label simpul ditambah jumlah label sisi yang bersisian pada simpul tersebut. Hingga kini telah dikembangkan berbagai jenis pelabelan graf, namun pelabelan graf dengan jenis pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pada graf berarah (digraf) masih belum banyak dikerjakan. Graf berarah atau digraf adalah graf yang setiap sisinya memiliki orientasi arah dan urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sebuah sisi diperhatikan. Pada tahun 00, Hefetz, Müze, dan Schwartz menginvestigasi pelabelan antimagic dari graf berarah. Mereka menjelaskan bahwa pelabelan antimagic dari graf berarah D dengan n simpul dan m sisi berarah merupakan sebuah fungsi bijektif dari himpunan sisi berarah dari D terhadap himpunan bilangan bulat {,,,..., m} sedemikian hingga bobot tiap-tiap simpul pada D berbeda, dengan bobot simpul merupakan jumlah dari label sisi berarah yang masuk ke simpul tersebut dikurangi dengan jumlah label sisi berarah yang keluar dari simpul tersebut []. Berdasarkan investigasi tersebut, Meganingtyas dalam [] menemukan bahwa digraf cycle C n dan digraf circulant C (n,{,}) memiliki pelabelan total super (a, d)-simpul antimagic untuk d =,. Sehingga dengan berdasarkan pada beberapa fenomena diatas, maka dalam penelitian ini akan diteliti bagaimana bentuk fungsi bijektif pelabelan total (a, d)- simpul antimagic pada digraf Matahari M n, dan interval nilai d yang mungkin pada kasus ini. Selanjutnya, untuk memperingkas pelabelan total (a, d)-simpul antimagic akan disingkat menjadi (a, d)-ptsa. Tinjauan Pustaka. Digraf Digraf D terdiri dari himpunan tak kosong elemenelemen yang disebut simpul (vertex) dan himpunan

2 pasangan terurut dari elemen-elemen yang disebut sisi berarah atau busur (arc) [0]. Himpunan simpul dan busur pada digraf D masing-masing dinotasikan dengan V dan A, dengan V = s dan A = t. Pada graf berarah, v j v k dan v k v j menyatakan dua buah busur yang berbeda, dengan kata lain v j v k v k v j. Untuk busur v j v k simpul v j dinamakan simpul asal (initial vertex) dan simpul v k dinamakan simpul tujuan (terminal vertex). Dalam sebuah digraf D, derajatkedalam dari simpul v adalah banyaknya semua busur yang berarah masuk ke simpul tersebut, dinotasikan dengan deg + (v), sedangkan derajat-keluar dari simpul v adalah banyaknya semua busur yang berarah keluar dari simpul tersebut, deg (v). Himpunan dari semua busur yang berarah keluar dari simpul v dinotasikan dengan N (v) dan himpunan semua busur yang berarah masuk ke simpul v dinotasikan dengan N + (v) [].. Digraf Matahari Digraf Matahari, M n, adalah digraf yang diperoleh dengan penambahan sebuah pendant berarah pada setiap simpul dari digraf Siklus C n. Jika n adalah banyaknya simpul pada digraf siklus C n, maka banyaknya simpul s dan banyaknya busur t pada digraf matahari masingmasing adalah n. Himpunan simpul dan busur pada digraf Matahari M n, dapat dinyatakan sebagai berikut: dan V = {x i i n} {y i i n} A = { x i x i+ i n } { x n x } { x i y i i n} dengan x i (simpul dalam) adalah simpul yang berasal dari C n dan y i (simpul luar) adalah simpul dari pendant yang menempel pada setiap simpul dari C n,n. Orientasi arah busur dari digraf Matahari dalam penelian ini yaitu searah dengan arah perputaran jarum jam. Gambar merupakan contoh digraf Matahari M n. y n y y i y x n x x i x Gambar : Digraf Matahari. Pelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic Pelabelan Total (a, d)-simpul antimagic merupakan pelabelan total sedemikian hingga bobot total simpul membentuk barisan aritmatika dengan nilai awal a dan beda d. Hefetz, dkk. mengungkapkan bahwa bobot simpul dari pelabelan antimagic pada graf berarah merupakan hasil penjumlahan label busur yang masuk ke simpul tersebut dikurangi dengan jumlah label busur yang keluar dari simpul tersebut. Pada penelitian ini, sifat-sifat pelabelan yang digunakan mengacu pada sifat-sifat untuk pelabelan total (a, d)-simpul antimagic yang telah diperkenalkan oleh Bača, dkk dalam []. Namun untuk pelabelan pada digraf nilai a tidak hanya dibatasi untuk bilangan bulat positif saja tetapi juga dimungkinkan untuk bilangan bulat negatif ataupun bilangan nol, sehingga nilai a dan d dibatasi untuk bilangan bulat, dengan d 0. Jadi secara formal, pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pada digraf dapat didefinisikan sebagai berikut: Definisi.. Sebuah fungsi bijektif λ : V A {,,,..., s + r} dikatakan sebagai pelabelan total (a, d)- simpul antimagic pada digraf D(V, A) jika bobot total simpul untuk seluruh simpul di D membentuk sebuah barisan aritmatika a, a + d, a + d,..., a + (s )d, dengan bobot total adalah W t(v) = Σ u A+ (v)λ( uv) + λ(v) Σ z A (v)λ( vz), untuk uv, uv A, dan a, d adalah bilangan bulat, d 0. Analisis Dan Pembahasan Pada bagian ini akan berikan hasil konstruksi pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pada digraf matahari M n beserta teorema yang terbentuk.. Interval Nilai d dari (a, d)-ptsa pada Digraf Matahari Interval nilai d yang mungkin dari pelabelan total (a, d)- simpul antimagic pada M n dapat ditentukan dengan melihat bobot total simpul minimum dan maksimum. Jika W t (v) adalah bobot total simpul v maka: W t (v) = λ( uv) + λ(v) λ( vz) () u A + (v) z A (v) dengan A + (v) adalah himpunan busur yang berarah masuk ke simpul v, λ(v) adalah label simpul v, dan A (v) adalah himpunan busur berarah keluar dari simpul v. Digraf matahari M n terdiri dari n simpul dalam (x i ) dan n simpul luar (y i ). Sehingga, dengan menggunakan Persamaan bobot total minimum simpul pada M n dilihat dari dua kasus, yaitu: a. Kasus : Bobot total minimum pada simpul y i, i n Pada kasus kedua ini, bobot total simpul minimum dicapai ketika label sebarang simpul y merupakan bilangan terkecil, yaitu, dan label busur yang menuju simpul tersebut merupakan bilangan terkecil kedua, yakni, dengan 0 busur keluar dari simpul tersebut. W t λ = + 0 = ()

3 b. Kasus : Bobot total minimum pada simpul x i, i n Pada kasus ini, bobot total simpul minimum dicapai saat label simpul tersebut merupakan bilangan terkecil ketiga, yaitu. Label busur yang menuju simpul tersebut juga merupakan bilangan terkecil yang tersisa, yakni. Sedangkan, label dua busur yang keluar dari simpul tersebut masing-masing adalah dua bilangan terbesar, yakni n dan n. W t λ = + (n + (n )) = n () Dengan menggunakan cara yang sama, bobot total simpul maksimum juga dibedakan menjadi dua kasus, yaitu: a. Kasus : Bobot total maksimum pada simpul y i, i n Pada kasus kedua ini, bobot total simpul maksimum dicapai ketika label sembarang simpul y merupakan bilangan terbesar yang tersisa, yaitu n, dan label busur yang menuju simpul tersebut adalah bilangan terbesar yang mungkin, yakni n, dengan 0 busur keluar dari simpul tersebut. W t λ = (n) + (n ) 0 = n () b. Kasus : Bobot total maksimum pada simpul x i, i n Pada kasus ini, bobot total simpul maksimum dicapai saat label pada sembarang simpul x merupakan bilangan terbesar yang mungkin, yaitu n. Label busur yang menuju simpul juga merupakan bilangan terbesar yang tersisa, yakni n. Sedangkan label dua busur yang keluar dari simpul tersebut masingmasing adalah dua bilangan terkecil yang mungkin, yakni dan. W t λ = (n ) + (n ) ( + ) = n 0 () Berdasarkan Persamaan dan, bobot total simpul minimum dari sebarang simpul pada M n adalah n, sedangkan bobot total simpul maksimum dari Persamaan dan adalah n. Akibatnya a n dan a + (n )d n, sehingga: a + (n )d n d n a n n ( n) n n 0) n n Karena n, maka 0 < n, sedemikian hingga interval nilai d untuk (a, d)-ptsa pada M n adalah 0 d. Dalam tesis ini, hasil konstruksi (a, d)-ptsa pada digraf matahari M n didapatkkan untuk nilai d = 0,,,,. (). (a, d)-ptsa pada Digraf Matahari dengan d = 0 Berikut ini diberikan konstruksi pelabelan total (a, d)- simpul antimagic pada M n untuk nilai d = 0 melalui Teorema.. Contoh pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pada M n untuk beberapa nilai n yang mendasari terbentuknya teorema dapat dilihat pada. 0 0 (a) M 0 (c) M 0 (b) M 0 (d) M 0 Gambar : (a, 0)-PTSA pada Digraf Matahari untuk Beberapa Nilai n Teorema.. Digraf matahari M n memiliki pelabelan total (n+, 0)-simpul antimagic untuk setiap n bilangan bulat dan n. Bukti. Didefinisikan pelabelan total α : V A (,,,..., s + t) dengan s + t = n dan n, sehingga label simpul dan busur dari M n untuk pelabelan total (a, 0)-simpul antimagic dirumuskan sebagai berikut: α (x i ) = { n + i, jika i n n, jika i = n () α (y i ) = n + i, jika i n () α ( x i x i+ ) = n i, jika i n α ( x n x ) = n α ( x i y i ) = i, jika i n () Didapat label simpul dan busur yaitu, α (V ) = {n +, n +,..., n, n} dan α (A) = {,,..., n, n, n +,..., n } yang masing-masing saling melengkapi. Jadi α adalah fungsi bijektif dari pelabelan V A kepada {,,,..., n}. 0

4 Jika W t α didefinisikan sebagai bobot total simpul dari simpul x i dan y i pada M n, maka: wt λ (x i ) = λ ( x i x i ) + λ (x i ) λ ( x i x i+ ) λ ( x i y i ) (0) dan wt λ (y i ) = λ ( x i y i ) + λ (y i ) () Bobot total simpul untuk simpul x i, i n, dapat ditentukan sebagai berikut: a. untuk i n : W t λ (x i ) = λ ( x i x i ) + λ (x i ) λ ( x i x i+ ) λ ( x i ygambar i ) : (, )-PTSA pada Digraf Matahari n = = n i + n + i n + i + i = n n + n n + n = n + () Dengan cara yang sama, untuk W t λ (y i ), i n didapat sebagai berikut: W t λ (y i ) = λ ( x i y i ) + λ (y i ) = i + (n + i) = n + () Karena W t α (x i ) = W t α (y i ) = n +, maka disimpulkan bahwa digraf matahari M n, n, memiliki pelabelan total (a, d)-simpul antimagic dengan a = n+ dan d = 0. Jadi terbukti bahwa digraf matahari memiliki pelabelan total (n +, 0)-simpul antimagic untuk n bilangan bulat dan n. Dari penjabaran di atas, digraf Matahari M n memiliki pelabelan total (a, d)-simpul antimagic untuk nilai d = 0, sehingga pelabelan α juga merupakan pelabelan total simpul magic dengan konstanta magic k = n +. Pelabelan total simpul magic pada digraf D(V, A) didefinisikan sebagai suatu pelabelan total λ : V A (,,,..., s + t) dengan suatu konstanta magic k sedemikian hingga bobot total setiap simpul v berlaku W t λ (v) = Σ u A+ (v) λ( uv) + λ(v) Σ z A (v) λ( vz) = k, dengan A + (v) adalah himpunan busur yang berarah masuk ke simpul v, λ(v) adalah label simpul v, dan A (v) adalah himpunan busur yang berarah keluar dari simpul v (Listiana, dkk. 0).. (a, d)-ptsa pada Digraf matahari dengan d = Pada paper ini, (a, d)-ptsa dengan nilai d = pada M n, n, dibagi menjadi kasus, yaitu ketika n bernilai gasal dan ketika n bernilai genap. Teorema.. Digraf matahari M n memiliki pelabelan total (n +, )-simpul antimagic untuk setiap n bilangan bulat dan n. 0 = n + () Bukti. Didefinisikan pelabelan total α : V A (,,,..., s + t) dengan s + t = n dan n, sehingga b. untuk i = n: label simpul dan busur dari M n, n, untuk (a, )- W t λ (x n ) = λ ( x n x n ) + λ (x n ) λ ( x n x ) λ ( x PTSA dirumuskan sebagai berikut: n y n ) Kasus : n gasal α (x i ) = α (y i ) = M n+i+ 0 n+i+ n +, jika i = n { n i+ α ( { n+i+ x i x i+ ) = Kasus : n genap α (x i ) = α (y i ) = α ( x i x i+ ) = n i+ n+i+ α ( x n x ) = n+ α ( x i y i ) = i n +, jika i = n i+ n i+ { n+i+ n+i { n +, jika i = n i +, jika i n () () () () () (0) () α ( x n x ) = n + () { i+ n+i () α ( x i y i ) = Misal w α didefinisikan sebagai bobot simpul dari pelabelan α pada busur yang diperoleh dengan menjumlahkan label busur yang masuk ke simpul tersebut kemudian dikurangi jumlah label busur yang keluar dari simpul tersebut, maka bentuk fungsi bijektif bobot simpul w α adalah sebagai berikut: Kasus : n gasal w α (x i ) = { n i n i () w α (y i ) = α ( x i y i ) ()

5 Kasus : n genap w α (x i ) = i n, jika i = n i+ () w α (y i ) = α ( x i y i ) () Jika W t α didefinisikan sebagai bobot total dari pelabelan total α, maka dengan menggunakan Persamaan 0 dan Persamaan didapatkan himpunan bobot total W masing-masing untuk kasus n gasal dan n genap sebagai berikut: Kasus : n gasal, misal n = k + dengan k N. W = k +, k +,..., k + Kasus : n genap, misal n = k dengan k N dan k. W = k +, k +,..., k Dari kedua kasus tersebut, terlihat bahwa bobot total W t α dari seluruh simpul di M n membentuk barisan aritmatika dengan nilai awal a pada kasus n ganjil adalah a = k+ = n+ dan kasus n genap adalah a = k+ = n+ dengan beda d =, sehingga himpunan bobot total untuk seluruh simpul di M n, baik untuk n gasal maupun n genap, adalah: W = n +, n +, n +,..., n Jadi pelabelan total α adalah pelabelan total (n +, )-simpul antimagic pada digraf matahari M n untuk setiap n bilangan bulat dan n. Dengan demikian, maka Teorema. terbukti.. (a, d)-ptsa pada Digraf matahari dengan d = Untuk pelabelan total (a, d)-simpul antimagic dengan nilai d = pada digraf matahari M n, n, konstruksi pelabelan dilakukan untuk n gasal. M 0 0 Bukti. Didefinisikan pelabelan total sebagai α : V A (,,,..., s + t) dengan s + t = n dan n. Sehingga label simpul dan busur dari digraf matahari M n, n gasal, untuk (a, )-PTSA diformulasikan sebagai berikut: { n, jika i = α (x i ) = () n + i, jika i n { i α (y i ) = n + i α ( n +, jika i = x i x i+ ) = n i + n i + () (0) α ( x n x ) = n + () α ( { n + i x i y i ) = () i Misal w α didefinisikan sebagai bobot simpul dari pelabelan α pada busur, maka bentuk fungsi bijektif w α adalah sebagai berikut: 0, jika i = (n + ), jika i = w α (x i ) = () n i + n i + w α (y i ) = α ( x i y i ) () Didefinisikan W t α sebagai bobot total, dengan menggunakan Persamaan 0 dan Persamaan didapat himpunan bobot total W dari pelabelan α, yaitu: W =,,,..., n Dengan demikian disimpulkan bahwa M n, n, memiliki (a, d)-ptsa dengan a = dan d =. Jadi terbukti bahwa pelabelan digraf matahari memiliki pelabelan total (, )-simpul antimagic untuk n gasal dan n.. (a, d)-ptsa pada Digraf matahari dengan d = Kontruksi (a, d)-ptsa dengan nilai d = pada digraf matahari M n, n, dilakukan untuk n genap. Teorema.. Digraf matahari M n memiliki pelabelan total ( n, )-simpul antimagic untuk setiap n bilangan genap dan n. Bukti. Didefinisikan pelabelan total α : V A (,,,..., s + t) dengan s + t = n dan n. Sehingga label busur dan simpul dari M n, n genap, untuk (a, )- PTSA dirumuskan sebagai berikut: Gambar : (, )-PTSA pada Digraf Matahari n = Teorema.. Digraf matahari M n memiliki pelabelan total (, )-simpul antimagic untuk setiap n bilangan gasal dan n. { n + i + α (x i ) = n i + n +, jika i = α (y i ) = n i + n + i + () ()

6 0 0 0 M 0 0 Gambar : (, )-PTSA pada Digraf Matahari n = 0 α ( { n i + x i x i+ ) = n i + α ( x i y i ) = () α ( x n x ) = n + (), jika i = n i+ () i+ Misal w α didefinisikan sebagai bobot simpul dari pelabelan α, maka bentuk fungsi bijektif w α adalah sebagai berikut: w α (x i ) = { n+i n i (0) w α (y i ) = α ( x i y i ) () Didefinisikan W t α sebagai bobot total, maka dengan menggunakan Persamaan 0 dan Persamaan didapat himpunan bobot total W sebagai berikut: W = n, 0 n,..., n Dengan demikian disimpulkan bahwa digraf matahari M n, untuk n genap dan n, memiliki pelabelan total (a, d)-simpul antimagic dengan a = n dan d =. Jadi terbukti bahwa pelabelan digraf matahari memiliki pelabelan total ( n, )-simpul antimagic untuk n genap dan n.. (a, d)-ptsa Pada Digraf matahari dengan d = Pada penelitian ini konstruksi untuk (a, d)-ptsa dengan nilai d = pada M n, n, juga dibagi dalam dua kasus, yaitu pada saat n gasal dan n genap. Teorema.. Digraf matahari M n memiliki pelabelan total ( n +, )-simpul antimagic untuk setiap n bilangan bulat dan n. Bukti. Didefinisikan pelabelan total sebagai α : V A (,,,..., s + t) dengan s + t = n dan n, sehingga label simpul dan busur dari M n, untuk (a, )- PTSA dirumuskan sebagai berikut: 0 M Gambar : (, )-PTSA pada Digraf Matahari n = Kasus : n gasal { n + i α (x i ) = i + n +, jika i = n i + α (y i ) = n i +, jika i = n α ( { n i x i x i+ ) = n i + α ( x i y i ) = 0 () () () α ( x n x ) = (), jika i = n i + n i + n +, jika i = n Kasus : n genap { n + i + α (x i ) = i n +, jika i = α (y i ) = n i + n i + α ( { n i x i x i+ ) = n i + α ( x i y i ) = () () () () α ( x n x ) = (0), jika i = n i + n i + () Misalkan w α didefinisikan sebagai bobot simpul, maka bentuk fungsi bijektif bobot simpul w α adalah sebagai berikut: Kasus : n gasal { n + i w α (x i ) = n + i () w α (y i ) = α ( x i y i ) ()

7 Kasus : n genap n + i w α (x i ) = n + i 0, jika i = n () w α (y i ) = α ( x i y i ) () Jika W t α didefinisikan sebagai bobot total dari pelabelan total α, maka dengan menggunakan Persamaan 0 dan Persamaan didapatkan himpunan bobot total W masing-masing untuk kasus n gasal dan n genap sebagai berikut: Kasus : n gasal, misal n = k + dengan k N. W = k +, k +,..., k + Kasus : n genap, misal n = k dengan k N dan k. W = k +, k +,..., k Dari kedua kasus tersebut, bobot total W t α dari seluruh simpul di M n membentuk barisan aritmatika dengan nilai awal a pada kasus n ganjil adalah a = k + = n + dan kasus n genap adalah a = k+ = n+ dengan beda d =, sehingga himpunan bobot total untuk seluruh simpul di M n, baik untuk n gasal maupun n genap, adalah: W = n +, n +,..., n Jadi pelabelan total α adalah pelabelan total ( n +, )-simpul antimagic pada digraf matahari M n untuk setiap n bilangan bulat dan n. Dengan demikian, maka Teorema. terbukti. Kesimpulan [] Bača, M., Bertault, F., MacDougall, J.A, Miller, M., Simanjuntak, R., dan Slamin, (00), Vertex Antimagic Total labelings of Graphs, Discussiones Mathematicae Graph Theory, Vol., hal. -. [] Dafik, (00), Pemodelan Matematika, Buku Diktat: Mata Kuliah Pemodelan Matematika, FKIP Universitas jember, Jember. [] Gallian, J.A., (0), A Dynamic Survey of Graph Labelling, The Electronic Journal of Combinatorics, Edisi. [] Hartsfield, N. dan Ringel, G., (), Pearls in Graph Theory, Academic Press, Australia. [] Hefetz, D., Müze, T. dan Schwartz, J., (00), On Antimagic Directed Graphs, Journal of Graph Theory, Vol., No., hal. -. [] Meganingtyas, D.E.W., (0), Pelabelan Total Super (a, d)-titik Antimagic pada Digraf Sikel dan Generalisasinya, Skripsi, Universitas Jember, Jember. [] Listiana, Y., Darmaji, dan Slamin, (0), Vertex Magic Total Labeling on Sun Digraphs, Proceeding International Seminar on Mathematics Education dan Graph Theory, Universitas Islam Malang, In Press. [] Rahim, M.T. dan Slamin, (0), On Vertex- Magic Total Labeling of Union of Sun Graphs, Ars Combinatoria, Vol.0, hal [0] Slamin, (00), Desain Jaringan: Pendekatan Teori Graf, Jember University Press, Jember. [] Sugeng, K.A., (00), Magic and Antimagic Labeling of Graphs, Tesis Ph.D., University of Ballarat, Australia. Berdasarkan konstruksi (a, d)-ptsa pada digraf matahari M n, n, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:. Batas atas d pada (a, d)-ptsa pada M n adalah d dengan d adalah bilangan bulat dan d 0.. Digraf matahari M n memiliki (a, d)-ptsa, dengan d = 0,, dan a untuk masing-masing d adalah n+, n +, dan n +.. Digraf matahari M n memiliki (, )-PTSA untuk setiap n bilangan gasal.. Digraf matahari M n memiliki ( n, )-PTSA untuk setiap n bilangan genap. DAFTAR PUSTAKA [] Bača, M. dan Miller, M., (00), Super Edge Antimagic Graphs, Brown Walker Press, Boca Raton.