SUPER (a,d) EDGE ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA GRAF PETERSEN RAHMAT CHAIRULLOH
|
|
- Hartanti Kartawijaya
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 SUPER (a,d) EDGE ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA GRAF PETERSEN RAHMAT CHAIRULLOH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 014
2
3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling pada Graf Petersen adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 014 Rahmat Chairulloh NIM G
4 ABSTRAK RAHMAT CHAIRULLOH. Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling pada Graf Petersen. Dibimbing oleh MUHAMMAD ILYAS dan TEDUH WULANDARI MAS OED. Karya ilmiah ini membuktikan teorema-teorema untuk memperoleh super (a,d)-edge-antimagic total labeling pada graf Petersen. Pada pelabelan, didefinisikan jumlah label sisi (edge) dan label dua simpul (vertex) yang menempel pada sisi (edge) disebut sebagai bobot sisi (edge-weights). Suatu graf yang memiliki bobot sisi yang berbeda untuk setiap sisi maka graf ini disebut graf dengan antimagic total labeling. Jika semua sisi mempunyai bobot sisi yang berbeda dan himpunan bobot sisi dari semua sisi membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a dan beda (selisih) d maka pelabelan tersebut disebut (a,d)-edge-antimagic total labeling. Kemudian, (a,d)-edge-antimagic total labeling disebut super (a,d)- edge-antimagic total labeling jika f(v(g)) = {1,,, v} dan f(e(g)) = {v+1, v+,, v+e}. Terdapat dua pembuktian teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Teorema pertama membuktikan bahwa graf Petersen P(n,m) dengan n 3 bilangan bulat ganjil dan m = 1, memiliki super ( 5n+5, )-edge-antimagic total labeling. Teorema kedua membuktikan graf Petersen P(n,m) dengan n 3, 1 m n, mempunyai sebuah super (4n +,1)-edge-antimagic total labeling. Kata kunci: (a,d)-edge-antimagic total labeling, antimagic total labeling, graf Petersen, super (a,d)-edge-antimagic total labeling ABSTRACT RAHMAT CHAIRULLOH. Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling of Petersen Graph. Supervised by MUHAMMAD ILYAS and TEDUH WULANDARI MAS OED. This manuscript proves theorems to obtain super (a,d)-edge-antimagic total labeling of generalized Petersen graph. On labeling, edge-weights is defined as the total labeling of edge and its incident vertices. A graph that has different the edgeweights for each edge is called graph with antimagic total labeling. If each edge on a graph has edge-weights in the form of arithmetic progression starting from a and having common difference d, then its labeling is called (a,d)-edge-antimagic total labeling. An (a,d)-edge-antimagic total labeling f is called super (a,d)-edgeantimagic total labeling if f(v(g)) = {1,,, v} and f(e(g)) = {v+1, v+,, v+e}. There are two theorems discussed in this paper. The first theorem proves that generalized Petersen graph P(n,m), n 3 be an odd integer and m = 1, has a super ( 5n+5, )-edge-antimagic total labelings. The second theorem proves that generalized Petersen graph P(n,m), n 3, 1 m n, has a super (4n +,1)-edgeantimagic total labeling. Keywords: (a,d)-edge-antimagic total labeling, antimagic total labeling, Petersen graph, super (a,d)-edge-antimagic total labeling
5 SUPER (a,d) EDGE ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA GRAF PETERSEN RAHMAT CHAIRULLOH Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 014
6
7 Judul Skripsi : Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling pada Graf Petersen Nama : Rahmat Chairulloh NIM : G Disetujui oleh Muhammad Ilyas, MSi, MSc Pembimbing I Teduh Wulandari Mas oed, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:
8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala rahmat dan karunia-nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga penelitian ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini ialah Antimagic Total Labeling, dengan judul Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling pada Graf Petersen. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bpk Muhammad Ilyas, MSi, MSc dan Ibu Teduh Wulandari Mas oed, MSi selaku pembimbing. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada almarhum ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Terima kasih juga disampaikan untuk rekan kerja penelitian saya, yaitu Ikhwan Al Amin atas segala saran dan masukan terkait penelitian. Selain itu, tidak lupa rasa terima kasih sebesar-besarnya kepada temanteman di Departemen Matematika IPB angkatan 47. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya dalam bidang matematika dan dapat menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Agusrtus 014 Rahmat Chairulloh
9 DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN vi vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan LANDASAN TEORI Teori Graf Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 7 SIMPULAN DAN SARAN 36 Simpulan 36 Saran 36 DAFTAR PUSTAKA 36 LAMPIRAN 38 RIWAYAT HIDUP 45
10 DAFTAR GAMBAR 1 Graf G = (V, E) Cycle dengan 3 simpul 3 3 Graf Teratur Derajat Graf Petersen P(3,1) 5 5 Graf Cycle C3 6 6 (8,)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3 7 7 Super (8,1)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3 7 8 Graf Petersen P(5,1) 16 9 Super (15,)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) Super (15,)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) 7 11 Graf Petersen P(5,) 34 1 Super (,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,) Graf Petersen P(7,1) Super (0,)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(7,1) Super (0,)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(7,1) Super (14,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(3,1) Graf Petersen P(4,1) 4 18 Super (18,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(4,1) Super (,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) 44 DAFTAR LAMPIRAN 1 Pola dan gambar super ( 5n+5, )-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(7,1) dengan menggunakan definisi pelabelan λ 1 38 Pola dan gambar super ( 5n+5, )-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(7,1) dengan menggunakan definisi pelabelan λ 40 3 Pola dan gambar super (4n +,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(3,1) dengan menggunakan definisi pelabelan f Pola dan gambar super (4n +,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(4,1) dengan menggunakan definisi pelabelan f Pola dan gambar super (4n +,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) dengan menggunakan definisi pelabelan f 1 44
11 PENDAHULUAN Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang cukup penting untuk dipelajari dan dikembangkan. Pada awalnya, teori graf diperkenalkan oleh seorang ahli matematika asal Swiss, Leonhard Euler pada tahun 1736 untuk mencari solusi permasalahan mungkin tidaknya melewati ketujuh jembatan di kota Königsberg (sekarang dikenal sebagai Kaliningrad, Rusia) dan kembali ke tempat asal semula tepat satu kali. Kemudian, Leonhard Euler memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika berupa bagan yang terdiri dari simpul dan garis. Simpul mempresentasikan kota yang dihubungkan oleh jembatan dan garis sebagai jembatan yang menghubungkan kota. Model ini kemudian dikenal sebagai Teori Graf. Daya tarik teori graf adalah penerapannya yang sangat luas, mulai dari ilmu komputer, kimia, fisika, biologi, sosiologi, teknik kelistrikan, linguistik, ekonomi, manajemen, pemasaran, hingga pemecahan teka-teki dan permainan asah otak. Walaupun penerapannya sangat banyak, yang menarik adalah bahwa Teori Graf hanya mempelajari simpul dan garis (Wijaya 011). Salah satu contoh graf yang paling dikenal dan sangat populer adalah graf Petersen. Graf Petersen diambil dari nama Peter Christian Julius Petersen pada tahun 1898 (Wijaya 011). Salah satu penerapan graf Petersen diantaranya dalam masalah pewarnaan gambar peta, dimana warna setiap daerah pada peta yang berbatasan dibuat berlainan sehingga mudah untuk dibedakan. Hinga saat ini, teori graf masih terus berkembang selaras dengan pemikiran-pemikiran para ahli yang mengembangkannya. Salah satu masalah yang cukup menarik dalam teori graf adalah pelabelan pada graf. Pelabelan pada suatu graf merupakan fungsi injektif yang memetakan setiap unsur himpunan simpul (vertex) dan setiap unsur himpunan sisi (edge) ke bilangan asli yang disebut label (Gallian 009). Pelabelan pada graf terdiri dari pelabelan simpul, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Pelabelan simpul adalah pelabelan dengan domain himpunan simpul, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan himpunan simpul dan sisi. Terdapat beberapa jenis pelabelan pada graf, antara lain pelabelan gracefull, pelabelan harmoni, pelabelan total tak beraturan, pelabelan ajaib (magic labeling), dan pelabelan antiajaib (antimagic labeling). Antimagic total labeling pada suatu graf merupakan pelabelan total pada simpul dan sisi suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dengan jumlah label sisi dan label dua simpul yang menempel pada sisi disebut sebagai bobot sisi dimana untuk setiap sisi pada graf memiliki bobot sisi yang berbeda. Dalam karya ilmiah ini akan dibuktikan beberapa teorema untuk memperoleh super (a,d)-egdeantimagic total labeling pada graf Petersen. Sumber utama dalam karya ilmiah ini adalah artikel berjudul On Magic and Antimagic Total Labelings of Generalized Petersen Graph yang ditulis Anak Agung Gede Ngurah dan Edy Tri Baskoro pada tahun 003.
12 Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah membuktikan teorema-teorema untuk memperoleh super (a,d)-edge-antimagic total labeling pada graf Petersen. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Teori Graf Definisi 1 (Graf) Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan G = (V, E). Elemen V disebut simpul (vertex) sedangkan elemen E disebut sisi (edge). Himpunan dari simpul-simpul pada graf G dinotasikan dengan V atau V(G), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf G dinotasikan dengan E atau E(G). (Foulds 199) Graf yang dimaksud definisi di atas disebut graf tak berarah. Contoh graf dapat dilihat pada Gambar 1 berikut ini. c e d a b f g Gambar 1 Graf G = (V, E) Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar 1 adalah V(G) = {a, b, c, d, e, f, g} E(G) = {ab, bc, cd, ce, de, ef, fg}. Definisi (Order dan Size) Misalkan diberikan graf G. Banyaknya simpul pada graf G disebut order dan banyaknya sisi pada graf G disebut size. Order dari graf G dinotasikan dengan V(G) dan size dari graf G dinotasikan dengan E(G). (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, nilai dari V(G) = 7 dan E(G) = 7.
13 3 Definisi 3 (Incident dan adjacent) Misalkan diberikan graf G. Jika e = uv E(G) dengan u, v V(G) maka u dan v dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan u dan v. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, misalkan e = ab E(G) maka a dan b dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan a dan b. Definisi 4 (Derajat) Derajat (degree) dari suatu simpul v pada graf G adalah banyaknya sisi yang incident dengan v dan dinotasikan dengan deg v. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah deg a = 1, deg b =, deg c = 3, deg d =, dan deg e = 3, deg f = deg g = 1. Definisi 5 (Walk) Suatu walk pada graf G adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G dengan bentuk {v1, v1v, v, vv3, v3,, vn-1vn, vn} dan dapat dituliskan sebagai {v1, v,, vn} atau v1, v,, vn. Suatu walk yang menghubungkan v1 dengan vn dikatakan tertutup jika v1 = vn. Jika v1 vn maka walk tersebut dikatakan terbuka. (Foulds 199) Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk {a, ab, b, bc, c, ce, e, ef, f, fg, g}. Definisi 6 (Cycle) Cycle pada graf G adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul berbeda. Graf G ber-order n dengan n 3 yang membentuk sebuah cycle disebut graf Cycle ber-order n, dituliskan Cn. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1 sebelumnya, terdapat Cycle pada graf G yang terdiri atas tiga simpul, yaitu c e d Gambar Cycle dengan 3 simpul Gambar di atas juga merupakan graf Cycle ber-order 3, dituliskan C3. Definisi 7 (Graf Teratur) Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf Teratur (Regular graphs). Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf Teratur Derajat r (r-regular graphs). (Chartrand & Oellermann 1993). Pada Gambar 3, terdapat graf Teratur Derajat 3 dengan derajat setiap simpul adalah 3
14 4 b Definisi 8 (Graf Petersen) Graf G disebut graf Petersen, dinotasikan P(n,m), dengan n dan m bilangan bulat, n 3, 1 m n, jika graf G tersebut merupakan graf Teratur Derajat 3 dengan n simpul dan 3n sisi serta himpunan simpul dan sisi adalah V(G) = {u1, u,, un, v1, v,, vn} E(G) = {uiui+1, uivi, vivi+m} i {1,,, n} di mana ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari n maka nilai indeks tersebut akan di-modulo-kan dengan n. (Ngurah dan Baskoro 003) Berikut dijelaskan mengenai contoh graf Petersen berdasarkan Definisi 8 yaitu contoh graf Petersen P(3,1) dengan n = 3 dan m =1. Pada bagian simpul graf Petersen P(3,1) terdapat 6 simpul dengan 3 simpul pertama pada bagian luar yaitu u1, u, dan u3 serta 3 simpul kedua pada bagian dalam yaitu v1, v, dan v3 sehingga diperoleh himpunan simpul dari graf Petersen P(3,1) sebagai berikut. V[P(3,1)] = {u1, u, u3, v1, v, v3} Kemudian, pada bagian sisi dari graf Petersen P(3,1) terdapat 9 sisi. Tiga sisi pertama pada bagian luar menghubungkan antar simpul-simpul u dari graf Petersen P(3,1) dengan himpunan sisi E [P(3,1)] = {uiui+1} untuk setiap i {1,, 3}. Berikut penjelasan tiga himpunan sisi pertama E [P(3,1)] = {uiui+1} dari graf Petersen P(3,1). Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 1, maka indeks pada simpul u lainnya, yaitu i+1 bernilai, sehingga diperoleh sisinya yaitu u1u. Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai, maka indeks pada simpul u lainnya, yaitu i+1 bernilai 3, sehingga diperoleh sisinya yaitu uu3. Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 3, maka indeks pada simpul u lainnya, yaitu i+1 bernilai 4. Karena indeks i+1 > 3, maka nilai i+1 dimodulo-kan 3, yaitu 4 mod 3 = 1. Sehingga indeks i+1 setelah di-modulokan 3 bernilai 1. Akibatnya, diperoleh sisinya yaitu u3u1 bukan u3u4. Himpunan sisi tersebut dituliskan sebagai berikut. E[P(3,1)] = {u1u, uu3, u3u1} d a c Gambar 3 Graf Teratur Derajat 3 Selanjutnya, tiga sisi kedua yang menghubungkan setiap simpul u pada bagian luar tepat satu dengan setiap simpul v pada bagian dalam dari graf Petersen P(3,1) dengan himpunan sisi sebagai berikut.
15 5 E [P(3,1)] ={u1v1, uv, u3v3} Terakhir, tiga sisi ketiga pada bagian dalam menghubungkan antar simpulsimpul v dari graf Petersen P(3,1) dengan himpunan sisi E [P(3,1)] = {vivi+m}, dengan m = 1, untuk setiap i {1,, 3}. Dengan cara yang sama seperti tiga sisi pertama pada bagian luar sebelumnya, dapat diperoleh himpunan sisinya sebagai berikut. E[P(3,1)] = {v1v, vv3, v3v1} Sehingga himpunan sisi secara keseluruhan dari graf Petersen P(3,1) dapat dituliskan sebagai berikut. E[P(3,1)] = {u1u, uu3, u3u1, u1v1, u,v, u3v3, v1v, vv3, v3v1} Contoh graf Petersen P(3,1) dapat dilihat seperti pada Gambar 4 dengan n =3 dan m = 1 di mana graf Petersen tersebut merupakan graf Teratur Derajat 3 dengan jumlah simpul sebanyak 6 dan jumlah sisi sebanyak 9 u1 v1 u v v3 u3 Gambar 4 Graf Petersen P(3,1) Himpunan simpul dan himpunan sisi graf Petersen P(3,1) pada Gambar 4 adalah V(G) = {u1, u, u3, v1, v, v3} E(G) = {u1u, uu3, u3u1, u1v1, uv, u3v3, v1v, vv3, v3v1} Pelabelan Graf Karya ilmiah ini membahas suatu antimagic total labeling untuk mencari super (a,d)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen. Berikut dijelaskan beberapa definisi tentang pelabelan graf. Definisi 9 (Total Labeling) Total Labeling pada graf G = (V, E) dengan banyaknya simpul v dan banyaknya sisi e adalah pemetaan satu-satu dari himpunan V (G) E(G) ke himpunan bilangan bulat positif {1,,, v +e} dengan domain pemetaannya simpul dan sisi. (Ngurah dan Baskoro 003) Definisi 10 (Antimagic Total Labeling) Misalkan G graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E serta penjumlahan label sisi dengan label dua simpul yang menempel pada sisi disebut sebagai bobot sisi (edge-weights). Graf G disebut magic total labeling jika memiliki bobot sisi yang sama untuk setiap sisi di G sedangkan graf G disebut antimagic
16 6 total labeling jika memiliki bobot sisi yang berbeda untuk setiap sisi di G. (Rahman et al. 01) Definisi 11 ((a,d)-edge Antimagic Total Labeling) Misalkan G graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E. (a,d)-edge antimagic total labeling pada graf G adalah pemetaan satu-satu dari himpunan simpul dan himpunan sisi ke himpunan bilangan bulat positif {1,,, v+e} sedemikian hingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di G membentuk barisan aritmatika seperti berikut {a, a+d,, a+(e-1)d} dengan suku pertama a dan beda (selisih) d, di mana a 0 dan d 0. (Simanjuntak et al. 000) Definisi 1 (Super (a,d)-edge Antimagic Total Labeling) Sebuah (a,d)-edge antimagic labeling disebut super (a,d)-edge antimagic total labeling jika f(v(g)) = {1,,, v} dan f(e(g)) = {v+1, v+,, v+e}. (Simanjuntak et al. 000) Berikut ini diberikan contoh (a,d)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle ber-order 3, yaitu C3, seperti pada Gambar 5. Banyaknya simpul ialah 3 dan banyaknya sisi ialah 3 dengan himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V(C3) = {a, b, c} E(C3) = {e1, e, e3} serta f(v[c3] E[C3]) = {1,, 3, 4, 5, 6} a e1 e3 b e Gambar 5 Graf Cycle C3 c Misalkan simpul-simpul pada graf C3 diberi pelabelan, misalnya f(a) = 1 f(b) = 3 f(c) = 5 kemudian, diberikan pelabelan untuk sisi-sisi pada graf C3, misalnya f(ab) = f(e1) = 4 f(bc) = f(e) = f(cd) = f(e3) = 6 maka akan diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya: f(a) + f(e1) + f(b) + = = 8 f(b) + f(e) + f(c) + = = 10 f(c) + f(e3) + f(a) + = = 1 Dari cara pelabelan tersebut diperoleh himpunan bobot sisi dari graf Cycle C3 membentuk barisan aritmatika {8, 10, 1} dengan suku awal a = 8 dan beda (selisih) d = sehingga graf Cycle C3 memiliki (8,)-edge antimagic total labeling dengan
17 7 suku pertama a = 8 dan beda (selisih) d =. Pelabelan tersebut digambarkan seperti pada Gambar Gambar 6 (8,)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3 Kemudian, diberikan juga contoh super (a,d)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3 seperti pada Gambar 5 sebelumya. Banyaknya simpul ialah 3 dan banyaknya sisi ialah 3 dengan f(v[c3]) = {1,, 3} dan f(e[c3]) = {4, 5, 6}. Misalkan simpul-simpul pada graf C3 diberi pelabelan, misalnya f(a) = 1 f(b) = f(c) = 3 kemudian, diberikan pelabelan untuk sisi-sisi pada graf C3, misalnya f(ab) = f(e1) = 5 f(bc) = f(e) = 4 f(cd) = f(e3) = 6 maka akan diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya: f(a) + f(e1) + f(b) + = = 8 f(b) + f(e) + f(c) + = = 9 f(c) + f(e3) + f(a) + = = 10 Dari cara pelabelan tersebut diperoleh himpunan bobot sisi dari graf Cycle C3 membentuk barisan aritmatika {8, 9, 10} dengan suku awal a = 8 dan beda (selisih) d = 1 sehingga graf Cycle C3 memiliki super (8,1)-edge antimagic total labeling dengan suku pertama a = 8 dan beda (selisih) d = 1. Pelabelan tersebut digambarkan seperti pada Gambar Gambar 7 Super (8,1)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3
18 8 PEMBAHASAN Karya ilmiah ini membahas teorema-teorema mengenai super (a,d)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(n,m). Permasalahan utama dalam karya ilmiah ini adalah bagaimana mencari pola antimagic total labeling sehingga diperoleh definisi formula (rumus) khusus untuk pola super (a,d)-edge antimagic total labeling dari graf Petersen P(n,m). Antimagic total labeling tidak hanya dilakukan satu kali melainkan dilakukan beberapa kali hingga terlihat beberapa pola pelabelan. Semua pola pelabelan tersebut akan dibentuk menjadi suatu definisi formula (rumus) khusus. Dari definisi formula (rumus) khusus tersebut digunakan untuk mendapatkan super (a,d)-edge antimagic total labeling dari graf Petersen P(n,m). Kajian antimagic total labeling pada graf Petersen P(n,m) akan disajikan dalam bentuk teorema berikut beserta contoh gambar pola pelabelannya. Teorema 1 Graf Petersen yang diperumum P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n 3) dan m = 1, memiliki super ( 5n+5, )-edge antimagic total labeling. (Ngurah dan Baskoro 003) Bukti : Misalkan P(n,m) adalah graf Petersen yang mempunyai super (a,d)-edge antimagic total labeling karena V[P(n,m)] = n dan E[P(n,m)] = 3n sehingga λ: V[P(n,m)] {1,,, n} λ: E[P(n,m)] {n+1, n+,, 5n} Semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n,m) dilabelkan dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ 1, di mana λ 1 didefinisikan sebagai pelabelan simpul dan sisi dari graf Petersen P(n,m). Berikut diberikan definisi fomula pelabelan λ i, i ganjil λ 1 (u i ) = { n i, i genap 3n + i λ 1 (v i ) = { n + i λ 1 (u i u i+1 ) = { λ 1 (u i v i ) = 3n + i,, i ganjil, i genap n i, 1 i n 1 n + 1, i = n 1 i n λ 1 (v i v i+m ) = 4n + i, 1 i n
19 9 misalkan w menyatakan bobot sisi dari graf Petersen P(n,m). Didefinisikan bobot sisi w dari pelabelan total λ 1 dari sisi-sisi : {u i u i+1, u i v i, v i v i+m } pada graf Petersen P(n,m) untuk semua i {1,,, n} sebagai berikut. w(u i u i+1 ) = λ 1 (u i ) + λ 1 (u i u i+1 ) + λ 1 (u i+1 ) w(u i v i ) = λ 1 (u i ) + λ 1 (u i v i ) + λ 1 (v i ) w(v i v i+m ) = λ 1 (v i ) + λ 1 (v i v i+m ) + λ 1 (v i+m ) dengan indeks i+1 dan i+m di-modulo-kan dengan n bila i+1, i+m > n. Dari ketiga persamaan bobot sisi di atas, yaitu w(u i u i+1 ), w(u i v i ), dan w(v i v i+1 ) dapat didefinisikan dengan suatu formula bobot sisi dengan cara mensubstitusikan formula pelabelan simpul dan sisi-sisi: {λ 1 (u i ), λ 1 (v i ), λ 1 (u i v i ), λ 1 (v i v i+m )} ke masing-masing persamaan bobot sisi yang telah didefinisikan sebelumnya. Berikut definisi formula bobot sisi untuk w(u i u i+1 ), w(u i v i ), dan w(v i v i+1 ). a) Definisi formula bobot sisi untuk w(u i u i+1 ) sebagai berikut. w(u i u i+1 ) = λ 1 (u i ) + λ 1 (u i u i+1 ) + λ 1 (u i+1 ) w(u i u i+1 ) = { 1 + i n (i + 1) + (n i) +, i ganjil n i 1 + (i + 1) + (n i) +, i genap i (n + 1) + 1, i = n kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut. w(u i u i+1 ) = { 5n i, i ganjil 5n i, i genap 5n + 5, i = n karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku 5n+5 + i untuk 1 i n-1. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi w(u i u i+1 ), yaitu 5n i, 1 i n 1 w(u i u i+1 ) = { 5n + 5, i = n b) Definisi formula bobot sisi untuk w(u i v i ) sebagai berikut.
20 10 w(u i v i ) = λ 1 (u i ) + λ 1 (u i v i ) + λ 1 (v i ) w(u i v i ) = { 1 + i 3n + i + (3n + i) +, i ganjil n i n + i + (3n + i) +, i genap kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut. 9n i, i ganjil w(u i v i ) = { 9n i, i genap karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku 9n+1 + i untuk 1 i n. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi w(u i v i ), yaitu w(u i v i ) = 9n i, 1 i n c) Definisi formula bobot sisi untuk w(v i v i+m ) sebagai berikut. w(v i v i+m ) = λ 1 (v i ) + λ 1 (v i v i+m ) + λ 1 (v i+m ) 3n + i n + (1 + i) + + (4n + i), i ganjil w(v i v i+m ) = { n + i 3n + (1 + i) + + (4n + i), i genap kemudian definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut. 13n i, i ganjil w(v i v i+m ) = { 13n i, i genap karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku 13n+5 + i untuk 1 i n. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi w(v i v i+m ), yaitu w(v i v i+m ) = 13n i, 1 i n selanjutnya, misalkan W t adalah himpunan bobot sisi di mana t {1,, 3} dengan penjelasan W t sebagai berikut. t = 1 W 1 menyatakan himpunan bobot sisi untuk w(u i u i+1 )
21 11 t = W menyatakan himpunan bobot sisi untuk w(u i v i ) t = 3 W 3 menyatakan himpunan bobot sisi untuk w(v i v i+m ) Jadi, definisi formula himpunan bobot sisi terhadap pelabelan total λ 1 dari sisi-sisi {u i u i+1, u i v i, dan v i v i+m } dari graf Petersen P(n,m) untuk semua i {1,,, n} adalah sebagai berikut. 5n i, 1 i n 1 W 1 = {w(u i u i+1 ); 1 i n} = { 5n + 5, i = n W = {w(u i v i ); 1 i n} = 9n i W 3 = {w(v i v i+m ); 1 i n} = 13n i dari semua definisi formula himpunan bobot sisi di atas dapat digabungkan menjadi himpunan bobot sisi keseluruhan untuk pelabelan λ 1 sehingga akan terbentuk sebuah barisan aritmatika dari himpunan bobot sisi tersebut. Penggabungan semua definisi himpunan bobot sisi di atas, yaitu W 1 W W 3 = { 5n+5 + i, 9n+1 + i, 13n+1 + i }, untuk setiap i {1,,,n}., 5n+5 Rincian pola barisan aritmatika dari penggabungan himpunan bobot sisi di atas adalah sebagai berikut. (i) Untuk himpunan bobot sisi W 1 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi W 1 adalah 5n + 5 Ketika indeks i berjalan dari 1,,, n-1, maka diperoleh definisi formula bobot sisi W 1 sebagai berikut. 5n+5 + i = { 5n+5 +, 5n+5 + 4, 5n+5 + 6,, 5n+5 Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi W 1 sebagai berikut. + (n 1)} W 1 = { 5n+5, 5n+5 +, 5n+5 + 4, 5n+5 + 6,, 5n+5 + (n 1)} (ii) Untuk himpunan bobot sisi W : Perhatikan bahwa definisi formula bobot sisi W, yaitu 9n i = 5n (n 1 + i) ketika indeks i berjalan dari 1,,, n, maka diperoleh definisi formula W sebagai berikut.
22 1 = { 5n+5 + n, 5n+5 5n (n + 1), 5n+5 + (n 1 + i) + (n + ),, 5n+5 Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi W sebagai berikut. + (n 1)} = { 5n+5 + n, 5n+5 W + (n + 1), 5n+5 + (n + ),, 5n+5 (iii) Untuk himpunan bobot sisi W 3 : Perhatikan bahwa definisi formula bobot sisi W 3, yaitu 13n i = 5n (n 1 + i) + (n 1)} ketika indeks i berjalan dari 1,,, n, maka diperoleh definisi formula W 3 sebagai berikut. = { 5n + 5 5n (n), 5n (n 1 + i) + (n + 1),, 5n + 5 Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi W 3 sebagai berikut. W 3 = { 5n+5 + (n), 5n+5 + (n + 1),, 5n+5 + (3n 1)} + (3n 1)} dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan bobot sisi W 1, W, dan W 3 sudah terlihat jelas pola barisan aritmatika yang dibentuk oleh W 1 W W 3 sehingga bisa diperoleh bahwa W 1 W W 3 = { 5n+5, 5n+5 +, 5n+5 + 4,, 5n+5 + (n 1), 5n+5 + n, 1), 5n+5 (3n 1)} + (n 1), 5n+5 + (n), 5n+5 5n+5 + (n + 1),, 5n+5 = {a, a + d, a + d,, a + (n 1)d, a + nd, a + (n + 1)d,.., a + (n 1)d, a + nd, a + (n + 1)d,, a + (3n 1)d} + (n + pola barisan yang terbentuk dari W 1 W W 3 di atas telah membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a = 5n+5 dan selisih d =, sehingga dengan menggunakan pelabelan total λ 1 diperoleh bahwa graf Petersen yang diperumum P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n 3) dan m = 1, memiliki ( 5n+5, )-edge +
23 13 antimagic total labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a = 5n+5 dan selisih d =. Kemudian, untuk menunjukkan bahwa ( 5n+5, )-edge antimagic total labeling tersebut adalah super ( 5n+5, )-edge antimagic total labeling, akan dibuktikan bahwa λ 1 (V[P(n,m)]) = {1,,, n} λ 1 (E[P(n,m)]) = {n+1, n+,, 5n} Bukti: Misalkan V 1 dan V berturut-turut menyatakan himpunan simpul u i dan himpunan simpul v i, i {1,,..., n}. Dengan menggunakan definisi formula pelabelan simpul λ 1 (u i ) dan λ 1 (v i ) yang telah diperoleh sebelumnya maka himpunan simpul V 1 dan V dapat didefinisikan dengan formula sebagai berikut. 1 + i, i ganjil V 1 = {λ 1 (u i ); 1 i n} = { n i, i genap 3n + i V = {λ 1 (v i ); 1 i n} = { n + i, i ganjil, i genap dari semua definisi formula himpunan simpul di atas dapat digabungkan menjadi himpunan simpul keseluruhan untuk pelabelan λ 1, yaitu V 1 V = { 1+i, n+1+i, 3n+i, n+i } untuk setiap i {1,,,n}, sehingga penggabungan himpunan simpul tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk label simpul dengan penjelasan sebagai berikut. (i) Untuk himpunan simpul V 1 : Ketika indeks i bernilai ganjil, dengan i = 1, 3,..n, maka definisi formula himpunan simpul V 1 adalah 1 + i = {1,,, n + 1 } Ketika indeks i bernilai genap, dengan i =, 4,.., n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan simpul V 1 sebagai berikut. n i = { n + 3, n + 5,, n} Sehingga diperoleh himpunan simpul V 1 sebagai berikut. V 1 = { 1,,, n + 1, n + 3, n + 5,, n}
24 14 (ii) Untuk himpunan simpul V : Ketika indeks i bernilai ganjil, dengan i = 1, 3,..n, maka definisi formula himpunan simpul V adalah 3n + i = { 3n + 1, 3n + 3,,n} Ketika indeks i bernilai genap, dengan i =, 4,.., n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan simpul V sebagai berikut. n + i = { n + 1, n +,, 3n 1 Sehingga diperoleh himpunan simpul V sebagai berikut. V = { n + 1, n +,, 3n 1, 3n + 1 }, 3n + 3,,n } dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan simpul V 1 dan V sudah terlihat jelas barisan bilangan untuk label simpul yang dibentuk oleh V 1 V sehingga bisa diperoleh bahwa V 1 V = { 1,,, n + 1, n + 3,, n, n + 1,.., 3n 1, 3n + 1,,n} Kemudian, misalkan pula E 1, E, dan E 3, berturut-turut menyatakan himpunan sisi (u i u i+1 ), (u i v i ), dan (v i v i+m ), i {1,,..., n}. Dengan menggunakan definisi formula pelabelan sisi λ 1 (u i u i+1 ), λ 1 (u i v i ), dan λ 1 (v i v i+m ) yang telah diperoleh sebelumnya maka himpunan sisi E 1, E, dan E 3 dapat didefinisikan dengan formula sebagai berikut. n i, 1 i n 1 E 1 = {λ 1 (u i u i+1 ); 1 i n} = { n + 1, i = n E = {λ 1 (u i v i ); 1 i n} = 3n + i, 1 i n E 3 = {λ 1 (v i v i+m ); 1 i n} = 4n + i, 1 i n dari semua definisi formula himpunan sisi di atas dapat digabungkan menjadi himpunan sisi keseluruhan untuk pelabelan λ 1, yaitu E 1 E E 3 = {n i, n + 1, 3n + i, 4n + i} untuk setiap i {1,,,n}, sehingga penggabungan himpunan sisi tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk label sisi dengan penjelasan sebagai berikut. (i) Untuk himpunan sisi E 1 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan sisi E 1 adalah n + 1 Ketika indeks i berjalan dari 1,,, n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan sisi E 1 sebagai berikut. n i = {n +, n + 3,, 3n}
25 15 Sehingga diperoleh himpunan simpul E 1 sebagai berikut. E 1 = {n + 1, n +, n + 3,, 3n} (ii) Untuk himpunan sisi E : Ketika indeks i berjalan dari 1,,, n, maka definisi formula himpunan sisi E adalah 3n + i = {3n + 1, 3n +,, 4n } Sehingga diperoleh himpunan sisi E sebagai berikut. E = {3n + 1, 3n +,, 4n } (iii) Untuk himpunan sisi E 3 : Ketika indeks i berjalan dari 1,,, n, maka definisi formula himpunan sisi E 3 adalah 4n + i = {4n + 1, 4n +,, 5n } Sehingga diperoleh himpunan sisi E 3 sebagai berikut. E 3 = {4n + 1, 4n +,, 5n } dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan sisi E 1, E, dan E 3 sudah terlihat jelas barisan bilangan untuk label sisi yang dibentuk oleh E 1 E E 3 sehingga bisa diperoleh bahwa E 1 E E 3 = { n + 1, n +,, 3n, 3n + 1,, 4n, 4n + 1,, 5n} Dari penjabaran mengenai barisan bilangan untuk label himpunan simpul dan label himpunan sisi di atas maka dapat disimpulkan bahwa: 1 V 1 V = { 1,,, n+1, n+3,, n, n + 1,.., 3n 1 sehingga λ 1 (V[P(n,m)]) = {1,,, n}., 3n+1,,n} E 1 E E 3 = { n + 1, n +,, 3n, 3n + 1,, 4n, 4n + 1,, 5n} sehingga λ 1 (E[P(n,m)]) = {n+1, n+,, 5n}. Sehingga dengan menggunakan pelabelan total λ 1, teorema 1 sebeluimnya telah terbukti bahwa untuk graf Petersen yang diperumum P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n 3) dan m = 1, memiliki super ( 5n+5, )-edge antimagic total labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a = 5n+5 dan selisih d =. Terbukti Berikut ini diberikan contoh super ( 5n+5, )-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) seperti pada Gambar 8. Banyaknya simpul ialah 10 dan
26 16 banyaknya sisi ialah 15, dengan dengan λ 1 (V[P(5,1)])= {1,,, 10} dan λ 1 (E[P(5,1)]) = {11, 1,, 5} serta himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V[P(5, 1)] = {u1, u,, u5, v1, v,, v5} E[P(5, 1)] = {uiui+1, uivi, vivi+1} i {1,, 3, 4, 5} di mana ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+1 pada simpul v lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut akan di-modulo-kan dengan 5. u1 e 1 e 6 v1 e 5 u e 7 v e 1 e 11 e 15 e 14 e 10 v5 u5 e v3 e 13 e 4 e 8 v4 e 9 u3 e 3 Dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ 1, maka untuk graf Petersen P(5,1) diperoleh label simpul sebagai berikut. λ 1 (u1) = 1 λ 1 (v1) = 8 λ 1 (u) = 4 λ 1 (v) = 6 λ 1 (u3) = λ 1 (v3) = 9 λ 1 (u4) = 5 λ 1 (v4) = 7 λ 1 (u5) = 3 λ 1 (v5) = 10 kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut. λ 1 (u1 u) = λ 1 (e1) = 1 λ 1 (u1 v1) = λ 1 (e6) = 16 λ 1 (v1 v) = λ 1 (e11) = 1 λ 1 (u u3) = λ 1 (e) = 13 λ 1 (u v) = λ 1 (e7) = 17 λ 1 (v v3) = λ 1 (e1) = λ 1 (u3 u4) = λ 1 (e3) = 14 λ 1 (u3 v3) = λ 1 (e8) = 18 λ 1 (v3 v4) = λ 1 (e13) = 3 λ 1 (u4 u5) = λ 1 (e4) = 15 λ 1 (u4 v4) = λ 1 (e9) = 19 λ 1 (v4 v5) = λ 1 (e14) = 4 λ 1 (u5 u1) = λ 1 (e5) = 11 λ 1 (u5 v5) = λ 1 (e10) = 0 λ 1 (v5 v6) = λ 1 (e15) = 5 sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya seperti berikut. λ 1 (u1) + λ 1 (e1) + λ 1 (u) = = 17 λ 1 (u) + λ 1 (e) + λ 1 (u3) = = 19 λ 1 (u3) + λ 1 (e3)+ λ 1 (u4) = = 1 λ 1 (u4) + λ 1 (e4) + λ 1 (u5) = = 3 λ 1 (u5) + λ 1 (e5) + λ 1 (u1) = = 15 λ 1 (u1) + λ 1 (e6) + λ 1 (v1) = = 5 λ 1 (u) + λ 1 (e7) + λ 1 (v) = = 7 u4 Gambar 8 Graf Petersen P(5,1)
27 17 λ 1 (u3) + λ 1 (e8) + λ 1 (v3) = = 9 λ 1 (u4) + λ 1 (e9) + λ 1 (v4) = = 31 λ 1 (u5) + λ 1 (e10)+ λ 1 (v5) = = 33 λ 1 (v1) + λ 1 (e11) + λ 1 (v) = = 35 λ 1 (v) + λ 1 (e1) + λ 1 (v3) = = 37 λ 1 (v3) + λ 1 (e13) + λ 1 (v4) = = 39 λ 1 (v4) + λ 1 (e14) + λ 1 (v5) = = 41 λ 1 (v5) + λ 1 (e15) + λ 1 (v1) = = 43 Dari cara pelabelan tersebut diperoleh himpunan bobot sisi dari graf Petersen P(5,1) membentuk barisan aritmatika {15, 17, 19, 1,,39, 41, 43} dengan suku awal a = 5(5)+5 = 15 dan beda (selisih) d = sehingga graf Petersen P(5,1) memiliki super (15,)-edge antimagic total labeling. Pelabelan graf Petersen P(5,1) dari pelabelan λ 1 dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 9 Super (15,)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) Kemudian, untuk contoh pola dan gambar pelabelan dari graf Petersen P(7,1) dengan menggunakan definisi pelabelan λ 1 terlampir pada Lampiran 1. Selain pembuktian teorema 1 sebelumnya dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ 1, berikut juga diberikan pembuktian alternatif dari teorema 1 dengan menggunakan definisi formula pelabelan lainnya. Alternatif bukti: Misalkan P(n,m) dengan adalah graf Petersen yang mempunyai super (a,d)-edge antimagic total labeling karena V[P(n,m)] = n dan E[P(n,m)] = 3n sehingga λ: V[P(n,m)] {1,,, n} λ: E[P(n,m)] {n+1, n+,, 5n} Dengan cara yang sama, semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n,m) dilabelkan dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ, di mana λ didefinisikan sebagai formula pelabelan simpul dan sisi dari graf Petersen P(n,m). Berikut diberikan definisi fomula pelabelan λ
28 i, i ganjil λ (u i ) = { n i, i genap 3n + + i λ (v i ) = n + + i { n + 1, λ (u i u i+1 ) = { λ (u i v i ) = { λ (v i v i+m ) = {, i ganjil, i genap i = n n i, 1 i n 1 n + 1, i = n 3n i, 1 i n 1 3n + 1, i = n 4n + + i, 1 i n 3n + + i, i = n 1, n Sama seperti pelabelan λ 1 sebelumnya, misalkan z menyatakan bobot sisi dari graf Petersen P(n,m). Didefinisikan bobot sisi z dari pelabelan total λ dari sisi-sisi: {u i u i+1, u i v i, v i v i+m } pada graf Petersen P(n,m) untuk semua i {1,,, n} sebagai berikut. z(u i u i+1 ) = λ (u i ) + λ (u i u i+1 ) + λ (u i+1 ) z(u i v i ) = λ (u i ) + λ (u i v i ) + λ (v i ) z(v i v i+m ) = λ (v i ) + λ (v i v i+m ) + λ (v i+m ) dengan indeks i+1 dan i+m di-modulo-kan dengan n bila i+1, i+m > n. Dari ketiga persamaan bobot sisi di atas, yaitu z(u i u i+1 ), z(u i v i ), dan z(v i v i+1 ) dapat didefinisikan dengan suatu formula bobot sisi dengan cara mensubstitusikan formula pelabelan simpul dan sisi: {λ (u i ), λ (v i ), λ (u i v i ), λ (v i v i+m )} ke masing-masing persamaan bobot sisi yang telah didefinisikan sebelumnya.berikut definisi formula bobot sisi untuk z(u i u i+1 ), z(u i v i ), dan z(v i v i+1 ). a) Definisi formula bobot sisi untuk z(u i u i+1 ) sebagai berikut. z(u i u i+1 ) = λ (u i ) + λ (u i u i+1 ) + λ (u i+1 ) z(u i u i+1 ) = { 1 + i n (i + 1) + (n i) +, i ganjil n i 1 + (i + 1) + (n i) +, i genap 1 + i + (n + 1) + 1, i = n kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut.
29 19 z(u i u i+1 ) = { 5n i, i ganjil 5n i, i genap 5n + 5, i = n karena formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku 5n+5 + i untuk 1 i n-1. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi z(u i u i+1 ), yaitu 5n i, 1 i n 1 z(u i u i+1 ) = { 5n + 5, i = n b) Definisi formula bobot sisi untuk z(u i v i ) sebagai berikut z(u i v i ) = { z(u i v i ) = λ (u i ) + λ (u i v i ) + λ (v i ) 1 + i 3n (1 + i) + (3n i) +, i ganjil n (1 + i) + (3n i) +, i genap n i 1 + i + (3n + 1) + (n + 1), i = n kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut. 9n i, i ganjil z(u i v i ) = 9n i, i genap 9n + 5 {, i = n karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku 9n+5 + i untuk 1 i n-1. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi z(u i v i ), yaitu 9n i, 1 i n 1 z(u i v i ) = { 9n + 5, i = n c) Definisi formula bobot sisi untuk z(v i v i+m ) sebagai berikut.
30 0 z(v i v i+m ) = z(v i v i+m ) = λ (v i ) + λ (v i v i+m ) + λ (v i+m ) { 3n++i 3n+1+i n++i + (4n + + i) + n+++(1+i) + (4n + + i) + 3n++(1+i), i ganjil, i genap + (3n i) + n + 1, i = n 1 (n + 1) + (3n + + i) + 3n+3, i = n kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut. 13n i, i ganjil 13n i, i genap z(v i v i+m ) = 13n + 5, i = n 1 13n + 9 {, i = n karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku 13n+9 + i untuk 1 i n-. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi z(v i v i+m ), yaitu z(v i v i+m ) = 13n i, 1 i n 13n + 5, i = n 1 13n + 9 {, i = n selanjutnya, misalkan Z t adalah himpunan bobot sisi di mana t {1,, 3} dengan penjelasan Z t sebagai berikut. t = 1 Z 1 menyatakan himpunan bobot sisi untuk z(u i u i+1 ) t = Z menyatakan himpunan bobot sisi untuk z(u i v i ) t = 3 Z 3 menyatakan himpunan bobot sisi untuk z(v i v i+m ) Jadi, definisi formula himpunan bobot sisi terhadap pelabelan total λ dari sisi-sisi u i u i+1, u i v i, dan v i v i+m dari graf Petersen P(n,m) untuk semua i {1,,, n} adalah sebagai berikut. 5n i, 1 i n 1 Z 1 = {z(u i u i+1 ); 1 i n} = { 5n + 5, i = n
31 1 9n i, 1 i n 1 Z = {z(u i v i ); 1 i n} = { 9n + 5, i = n Z 3 = {z(v i v i+m ); 1 i n} = 13n i, 1 i n 13n + 5, i = n 1 13n + 9 {, i = n dari semua definisi formula himpunan bobot sisi di atas dapat digabungkan menjadi himpunan bobot sisi keseluruhan untuk pelabelan λ sehingga akan terbentuk sebuah barisan aritmatika dari pelabelan bobot sisi tersebut. Penggabungan semua definisi himpunan bobot sisi di atas, yaitu Z 1 Z Z 3 = { 5n+5 + i, 9n+5 + i, 9n+5, 13n+9 + i, 13n+5, 13n+9 }, untuk setiap i {1,,,n}., 5n+5 Rincian tebentuknya pola barisan aritmatika dari penggabungan himpunan bobot sisi di atas adalah sebagai berikut. (i) Untuk himpunan bobot sisi Z 1 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi Z 1 adalah 5n + 5 Ketika indeks i berjalan dari 1,,, n-1, maka diperoleh definisi formula bobot sisi Z 1 sebagai berikut. 5n+5 + i = { 5n+5 +, 5n+5 + 4, 5n+5 + 6,, 5n+5 Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi Z 1 sebagai berikut. + (n 1)} Z 1 = { 5n+5, 5n+5 +, 5n+5 + 4, 5n+5 + 6,, 5n+5 + (n 1)} (ii) Untuk himpunan bobot sisi Z : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi Z adalah 9n + 5 = 5n n untuk indeks i dari 1,,, n-1, maka definisi formula bobot sisi Z sebagai berikut. 9n i = 5n (n + i)
32 Ketika indeks i berjalan dari 1,,, n, maka diperoleh formula dari definisi bobot sisi Z sebagai berikut. { 5n + 5 5n (n + i) = + (n + 1), 5n (n + ),, 5n (n 1)} Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi Z sebagai berikut. = { 5n+5 + n, 5n+5 Z + (n + 1), 5n+5 + (n + ),, 5n+5 + (n 1)} (iii) Untuk himpunan bobot sisi Z 3 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi Z 3 adalah 13n + 9 = 5n (n + 1) Ketika indeks i bernilai n-1, maka definisi formula bobot sisi Z 3 adalah 13n + 5 = 5n (n) untuk indeks i dari 1,,, n-, maka definisi formula bobot sisi Z 3 sebagai berikut. 13n i = 5n (n i) ketika indeks i berjalan dari 1,,, n-, maka diperoleh formula dari definisi bobot sisi Z 3 sebagai berikut. { 5n+5 5n (n + ), 5n+5 + (n i) = + (n + 3),, 5n+5 Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi Z 3 sebagai berikut. Z 3 = { 5n+5 + (n), 5n+5 + (n + 1),, 5n+5 + (3n 1)} + (3n 1)} dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan bobot sisi Z 1, Z, dan Z 3 sudah terlihat jelas pola barisan aritmatika yang dibentuk oleh Z 1 Z Z sehingga bisa diperoleh bahwa Z 1 Z Z 3
33 3 = { 5n+5, 5n+5 +, 5n+5 + 4,, 5n+5 + (n 1), 5n+5 + n, 1), 5n+5 (3n 1)} + (n 1), 5n+5 + (n), 5n+5 5n+5 + (n + 1),, 5n+5 + (n + = {a, a + d, a + d,, a + (n 1)d, a + nd, a + (n + 1)d,.., a + (n 1)d, a + nd, a + (n + 1)d,, a + (3n 1)d} pola barisan yang terbentuk dari Z 1 Z Z 3 di atas telah membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a = 5n+5 dan selisih d =, sehingga dengan menggunakan alternatif pembuktian di atas yaitu menggunakan pelabelan λ diperoleh bahwa graf Petersen yang diperumum P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n 3) dan m = 1, memiliki ( 5n+5, )-edge antimagic total labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a = 5n+5 dan selisih d =. Kemudian, untuk menunjukkan bahwa ( 5n+5, )-edge antimagic total labeling tersebut adalah super ( 5n+5, )-edge antimagic total labeling, akan dibuktikan bahwa λ (V[P(n,m)]) = {1,,, n} λ (E[P(n,m)]) = {n+1, n+,, 5n} Bukti: Misalkan K 1 dan K berturut-turut menyatakan himpunan simpul u i dan himpunan simpul v i, i {1,,..., n}. Dengan menggunakan definisi formula pelabelan simpul λ (u i ) dan λ (v i ) yang telah diperoleh sebelumnya maka himpunan simpul K 1 dan K dapat didefinisikan dengan formula sebagai berikut. 1 + i, i ganjil K 1 = {λ (u i ); 1 i n} = { n i, i genap 3n + + i K = {λ (v i ); 1 i n} = n + + i { n + 1,, i ganjil, i genap i = n dari semua definisi formula himpunan simpul di atas dapat digabungkan menjadi himpunan simpul keseluruhan untuk pelabelan λ, yaitu K 1 K = { 1+i, n+1+i, 3n++i, n++i, n + 1 } untuk setiap i {1,,,n}, sehingga penggabungan himpunan simpul tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk label simpul dengan penjelasan sebagai berikut. (i) Untuk himpunan simpul K 1 : +
34 4 Ketika indeks i bernilai ganjil, dengan i = 1, 3,..n, maka definisi formula himpunan simpul K 1 adalah 1 + i = {1,,, n + 1 } Ketika indeks i bernilai genap, dengan i =, 4,.., n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan simpul K 1 sebagai berikut. n i = { n + 3, n + 5,, n} Sehingga diperoleh himpunan simpul K 1 sebagai berikut. K 1 = { 1,,, n + 1, n + 3, n + 5,, n} (ii) Untuk himpunan simpul K : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan simpul K adalah n + 1 Ketika indeks i bernilai ganjil, dengan i = 1, 3,..n-, maka definisi formula himpunan simpul K adalah 3n + + i = { 3n + 3, 3n + 5,,n} Ketika indeks i bernilai genap, dengan i =, 4,.., n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan simpul K sebagai berikut. n + + i = { n + 1, n +,, 3n + 1 Sehingga diperoleh himpunan simpul K sebagai berikut. K = { n + 1, n +,, 3n + 1, 3n + 3 }, 3n + 5,,n } dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan simpul K 1 dan K sudah terlihat jelas barisan bilangan untuk label simpul yang dibentuk oleh K 1 K sehingga bisa diperoleh bahwa K 1 K = { 1,,, n + 1, n + 3,, n, n + 1,.., 3n + 1, 3n + 3,,n} Kemudian, misalkan pula L 1, L, dan L 3, berturut-turut menyatakan himpunan sisi (u i u i+1 ), (u i v i ), dan (v i v i+m ), i {1,,..., n}. Dengan menggunakan definisi formula pelabelan sisi λ (u i u i+1 ), λ (u i v i ), dan λ (v i v i+m ) yang telah diperoleh sebelumnya maka himpunan sisi L 1, L, dan L 3 dapat didefinisikan dengan formula sebagai berikut.
35 5 L 1 = {λ (u i u i+1 ); 1 i n} = { L = {λ (u i v i ); 1 i n} = { L 3 = {λ (v i v i+m ); 1 i n} = { n i, 1 i n 1 n + 1, i = n 3n i, 1 i n 1 3n + 1, i = n 4n + + i, 1 i n 3n + + i, i = n 1, n dari semua definisi formula himpunan sisi di atas dapat digabungkan menjadi himpunan sisi keseluruhan untuk pelabelan λ, yaitu L 1 L L 3 = {n i, n + 1, 3n i, 3n + 1, 4n + + i, 3n + + i}, untuk setiap i {1,,,n} sehingga penggabungan himpunan sisi tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk label sisi dengan penjelasan sebagai berikut. (i) Untuk himpunan sisi L 1 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan sisi L 1 adalah n + 1 Ketika indeks i berjalan dari 1,,, n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan sisi L 1 sebagai berikut. n i = {n +, n + 3,, 3n} Sehingga diperoleh himpunan simpul L 1 sebagai berikut. L 1 = {n + 1, n +, n + 3,, 3n} (ii) Untuk himpunan sisi L : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan sisi L adalah 3n + 1 Ketika indeks i berjalan dari 1,,, n-1, maka definisi formula himpunan sisi L adalah 3n i = {3n +, 3n + 3,, 4n } Sehingga diperoleh himpunan sisi L sebagai berikut. L = {3n + 1, 3n +,, 4n } (iii) Untuk himpunan sisi L 3 : Ketika indeks i berjalan dari 1,,, n-, maka definisi formula himpunan sisi L 3 adalah 4n + + i = {4n + 3, 4n + 4,, 5n } Ketika indeks i berjalan dari n-1 sampai n, maka definisi formula himpunan sisi L 3 adalah 3n + + i = {4n + 1, 4n + }
36 6 Sehingga diperoleh himpunan sisi L 3 sebagai berikut. L 3 = {4n + 1, 4n +,, 5n } dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan sisi L 1, L, dan L 3 sudah terlihat jelas barisan bilangan untuk label sisi yang dibentuk oleh L 1 L L 3 sehingga bisa diperoleh bahwa L 1 L L 3 = { n + 1, n +,, 3n, 3n + 1,, 4n, 4n + 1,, 5n} Dari penjabaran mengenai barisan bilangan untuk label himpunan simpul dan label himpunan sisi di atas maka dapat disimpulkan bahwa: 1 K 1 K = { 1,,, n+1, n+3,, n, n + 1,.., 3n+1 sehingga λ (V[P(n,m)]) = {1,,, n}., 3n+3,,n} L 1 L L 3 = { n + 1, n +,, 3n, 3n + 1,, 4n, 4n + 1,, 5n} sehingga λ (E[P(n,m)]) = {n+1, n+,, 5n}. Sehingga dengan menggunakan pelabelan alternatif, yaitu pelabelan total λ, teorema 1 sebeluimnya juga telah terbukti bahwa graf Petersen yang diperumum P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n 3) dan m = 1, memiliki super (a, d)- edge antimagic total labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a = 5n+5 dan selisih d = Terbukti Berikut ini juga diberikan contoh super ( 5n+5, )-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) seperti pada Gambar 8 sebelumnya namun dengan pelabelan yang berbeda, yaitu dengan menggunakan pelabelan λ. Dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ, maka untuk graf Petersen P(5,1) diperoleh label simpul sebagai berikut. λ (u1) = 1 λ (v1) = 9 λ (u) = 4 λ (v) = 7 λ (u3) = λ (v3) = 10 λ (u4) = 5 λ (v4) = 8 λ (u5) = 3 λ (v5) = 6 kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut. λ (u1 u) = λ (e1) = 1 λ (u1 v1) = λ (e6) = 17 λ (v1 v) = λ (e11) = 3 λ (u u3) = λ (e) = 13 λ (u v) = λ (e7) = 18 λ (v v3) = λ (e1) = 4 λ (u3 u4) = λ (e3) = 14 λ (u3 v3) = λ (e8) = 19 λ (v3 v4) = λ (e13) = 5 λ (u4 u5) = λ (e4) = 15 λ (u4 v4) = λ (e9) = 0 λ (v4 v5) = λ (e14) = 1 λ (u5 u1) = λ (e5) = 11 λ (u5 v5) = λ (e10) = 16 λ (v5 v6) = λ (e15) = sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya seperti berikut. λ (u1) + λ (e1) + λ (u) = = 17
37 7 λ (u) + λ (e) + λ (u3) = = 19 λ (u3) + λ (e3) + λ (u4) = = 1 λ (u4) + λ (e4) + λ (u5) = = 3 λ (u5) + λ (e5) + λ (u1) = = 15 λ (u1) + λ (e6) + λ (v1) = = 7 λ (u) + λ (e7) + λ (v) = = 9 λ (u3) + λ (e8) + λ (v3) = = 31 λ (u4) + λ (e9) + λ (v4) = = 33 λ (u5) + λ (e10) + λ (v5) = = 5 λ (v1) + λ (e11) + λ (v) = = 39 λ (v) + λ (e1) + λ (v3) = = 41 λ (v3) + λ (e13) + λ (v4) = = 43 λ (v4) + λ (e14) + λ (v5) = = 35 λ (v5) + λ (e15) + λ (v1) = = 37 Dari cara pelabelan tersebut diperoleh himpunan bobot sisi dari graf Petersen P(5,1) membentuk barisan aritmatika {15, 17, 19, 1,,39, 41, 43} dengan suku awal a = 5(5)+5 = 15 dan beda (selisih) d = sehingga graf Petersen P(5,1) memiliki super (15,)-edge antimagic total labeling. Pelabelan graf Petersen P(5,1) dari pelabelan λ di atas dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 10 Super (15,)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) Kemudian, untuk contoh pola dan gambar pelabelan dari graf Petersen P(7,1) dengan menggunakan definisi pelabelan λ terlampir pada Lampiran. Cara pelabelan dengan menggunakan definisi pelabelan λ 1 dan λ di atas merupakan ilustrasi pembuktian yang digunakan untuk memperoleh super ( 5n+5, )-edge antimagic labeling pada graf Petersen P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n 3) dan m = 1. Berikut juga akan dibuktikan teorema untuk memperoleh super (4n +,1)-edge antimagic labeling pada graf Petersen P(n,m)
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB PADA GRAF PETERSEN IKHWAN AL AMIN
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB PADA GRAF PETERSEN IKHWAN AL AMIN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 04 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
Lebih terperinciMAGIC STRENGTH PADA GRAF PATH, BISTAR, DAN CYCLE GANJIL DIMAS ENGGAR SATRIA
MAGIC STRENGTH PADA GRAF PATH, BISTAR, DAN CYCLE GANJIL DIMAS ENGGAR SATRIA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinciPELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL NURUL NUR INDAH SARI
PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL NURUL NUR INDAH SARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0 ABSTRAK NURUL NUR INDAH
Lebih terperinciSUPER EDGE MAGIC STRENGTH PADA GRAF FIRE CRACKERS DAN GRAF BANANA TREES ANDINI QASHRINA DARMANAGARI
SUPER EDGE MAGIC STRENGTH PADA GRAF FIRE CRACKERS DAN GRAF BANANA TREES ANDINI QASHRINA DARMANAGARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016
Lebih terperinciBAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari
BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori graf, serta akan dijelaskan beberapa jenis pelabelan graf yang akan digunakan pada bab-bab
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL (a, d)-sisi-anti AJAIB PADA GRAF BINTANG
PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi-anti AJAIB PADA GRAF BINTANG SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA Oleh DWI NOVA RIZA 05134046 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS PADANG
Lebih terperinciPELABELAN SUPER VERTEX MAGIC RAHMALIA YULIARNI
0 PELABELAN SUPER VERTEX MAGIC RAHMALIA YULIARNI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 1 ABSTRAK RAHMALIA YULIARNI. Pelabelan Super Vertex
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL (a, d)-titik ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF PETERSEN YANG DIPERUMUM P (n, 3) DENGAN n GANJIL, n 7
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. Hal. 78 84 ISSN : 0 90 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL (a, d)-titik ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF PETERSEN YANG DIPERUMUM P (n, ) DENGAN n GANJIL, n 7 IRANISA
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF
Jurnal LOG!K@, Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 23-31 ISSN 1978 8568 PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF Yanne Irene Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH
PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH SKRIPSI Oleh : Novi Irawati J2A 005 038 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO
Lebih terperinciPELABELAN D-LUCKY PADA JARINGAN HYPERCUBE, JARINGAN KUPU-KUPU, DAN JARINGAN BENES
i PELABELAN D-LUCKY PADA JARINGAN HYPERCUBE, JARINGAN KUPU-KUPU, DAN JARINGAN BENES HALINI NORMA LIANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciPELABELAN EDGE MAGIC PADA GRAF BUKU DAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF MERGE HESTY NUGRAHENI
PELABELAN EDGE MAGIC PADA GRAF BUKU DAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF MERGE HESTY NUGRAHENI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 PERNYATAAN
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL -SISI ANTI AJAIB SUPER UNTUK GRAF ULAT SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: RIRI EMARINE SUSUR BP
PELABELAN TOTAL -SISI ANTI AJAIB SUPER UNTUK GRAF ULAT SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: RIRI EMARINE SUSUR BP. 06 934 035 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS
Lebih terperinciDEKOMPOSISI - -ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF GENERALIZED PETERSEN
Jurnal LOG!K@, Jilid 6, No. 2, 2016, Hal. 84-95 ISSN 1978 8568 DEKOMPOSISI - -ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF GENERALIZED PETERSEN M. Irvan Septiar Musti, Nur Inayah, dan Irma Fauziah Program Studi Matematika,
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF
Jurnal LOG!K@ Jilid 6 No. 2 2016 Hal. 152-160 ISSN 1978 8568 PELABELAN TOTAL SISI ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF Yanne Irene Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Syarif Hidayatullah
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciPelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Gabungan Saling Lepas Graf Bintang dengan Teknik Pewarnaan Titik
Pelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Gabungan Saling Lepas Graf Bintang dengan Teknik Pewarnaan Titik Devi Eka W M, Dafik 1,3 1 CGANT-University of Jember Department of Mathematics FMIPA University
Lebih terperinciPELABELAN SISI AJAIB DAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KIPAS, GRAF TANGGA, GRAF PRISMA, GRAF LINTASAN, GRAF SIKEL, DAN GRAF BUKU
PELABELAN SISI AJAIB DAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KIPAS, GRAF TANGGA, GRAF PRISMA, GRAF LINTASAN, GRAF SIKEL, DAN GRAF BUKU Anina Tikasari, Budi Rahadjeng, S.Si, M.Si., Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF DAN GRAF
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF DAN GRAF SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA Oleh: NURUL MUSTIKA SIREGAR 06134005 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS
Lebih terperinciPelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic pada Digraf Matahari
Pelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic pada Digraf Matahari Yuni Listiana, Darmaji Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Jl. Arief Rahman
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB GRAF HASIL KALI KARTESIUS DARI GRAF SIKEL
PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB GRAF HASIL KALI KARTESIUS DARI GRAF SIKEL Maria Nita Kurniasari 1 Robertus Heri 2 12 Program Studi Matematika F.MIPA UNDIP Semarang Jl. Prof.Sudarto S.H Tembalang-Semarang Abstract.
Lebih terperincimerupakan himpunan sisi-sisi tidak berarah pada. (Yaoyuenyong et al. 2002)
dari elemen graf yang disebut verteks (node, point), sedangkan, atau biasa disebut (), adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan dua elemen subset dari yang disebut sisi (edge, line). Setiap
Lebih terperinciSuper (a,d)-h-antimagic Total Covering of Connected Semi Jahangir Graph
Super (a,d)-h-antimagic Total Covering of Connected Semi Jahangir Graph Diana Hardiyantik 1,, Ika Hesti A. 1,, Dafik 1,3 1 CGANT - University of Jember Mathematics Departement - University of Jember 3
Lebih terperinciEDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH
LAPORAN PENELITIAN MANDIRI EDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH Oleh Abdussakir, M.Pd UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI JURUSAN MATEMATIKA MEI 005 EDGE-MAGIC TOTAL
Lebih terperinciNovri Anggraeni, Dafik CGANT-Universitas Jember Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember novrianggraeni93,
Super (a, d)-h-antimagic Total Covering of Amalgamation Graph K 4 and W 4 Novri Anggraeni, Dafik CGANT-Universitas Jember Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember novrianggraeni93, d.dafik@gmail.com
Lebih terperinciKhunti Qonaah, Mania Roswitha, dan Pangadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret
PELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN Khunti Qonaah, Mania Roswitha, dan Pangadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Teori graf adalah bagian dari matematika diskrit yang banyak digunakan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf adalah bagian dari matematika diskrit yang banyak digunakan sebagai alat bantu untuk menggambarkan atau menyatakan suatu persolan agar lebih mudah dimengerti
Lebih terperinciSuper (a, d)-h-antimagic Total Selimut pada Graf Triangular Cycle Ladder untuk Pengembangan Ciphertext
Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut pada Graf Triangular Cycle Ladder untuk Pengembangan Ciphertext Irma Azizah, Dafik Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember e-mail: irma.azizah@ymail.com,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN
PELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN oleh KHUNTI QONAAH M0111048 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagai
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Makalah pertama mengenai teori graf ditulis oleh ahli matematika dari
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Makalah pertama mengenai teori graf ditulis oleh ahli matematika dari Swiss, Leonhard Euler, pada tahun 1736. Euler mencoba memecahkan persoalan jembatan Konigsberg.
Lebih terperinciMIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS
PELABELAN DAN PEMBENTUKAN GRAF MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Meliana Deta Anggraeni 4111409019
Lebih terperinciSUPER EDGE-MAGIC LABELING PADA GRAPH ULAT DENGAN HIMPUNAN DERAJAT {1, 4} DAN n TITIK BERDERAJAT 4
SUPER EDGE-MAGIC LABELING PADA GRAPH ULAT DENGAN HIMPUNAN DERAJAT {1, 4} DAN n TITIK BERDERAJAT 4 Abdussakir Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim
Lebih terperinciSuper (a,d)-h- antimagic total covering of connected amalgamation of fan graph
Super (a,d)-h- antimagic total covering of connected amalgamation of fan graph S. Latifah 1,, I. H. Agustin 1,, Dafik 1,3 1 CGANT - University of Jember Mathematics Department - University of Jember 3
Lebih terperinciMULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS
MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS SKRIPSI Oleh : NUR DIAN PRAMITASARI J2A 009 064 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG
Lebih terperinciVERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA MULTICYCLE DAN MULTICOMPLETE BIPARTITE. Dominikus Arif Budi Prasetyo, Chairul Imron. ABSTRAK
VERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA MULTICYCLE DAN MULTICOMPLETE BIPARTITE Dominikus Arif Budi Prasetyo, Chairul Imron. ABSTRAK Labeling graph merupakan salah satu bidang dalam graph yang berkembang pesat
Lebih terperinciNILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN- γ PADA GRAF LINTANG
PROSIDING ISSN: 50-656 NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN- γ PADA GRAF LINTANG RiaWahyu Wijayanti 1), DwiMaryono, S.Si., M.Kom ) MahasiswaPascaSarjana UNS 1), Dosen FKIP UNS ) riaa.ww@gmail.com 1), dwimarus@yahoo.com
Lebih terperinciI. LANDASAN TEORI. Seperti yang telah dipaparkan pada bab sebelumnya, teori graf merupakan salah satu ilmu
I. LANDASAN TEORI Seperti yang telah dipaparkan pada bab sebelumnya, teori graf merupakan salah satu ilmu matematika yang mempresentasikan suatu objek berupa vertex (titik) dan edge (garis), edge merupakan
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL SISI-GANJIL PADA GRAF WEB W(2,n) Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Semarang 50275
PELABELAN GRACEFUL SISI-GANJIL PADA GRAF WEB W(2,n) Putri Dentya Rizky 1, Lucia Ratnasari 2, Djuwandi 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Semarang 50275 Abstract.
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciPELABELAN GRAF SIKLUS SEDERHANA UNTUK MENGKONSTRUKSI VERTEX-MAGIC GRAPH
PELABELAN GRAF SIKLUS SEDERHANA UNTUK MENGKONSTRUKSI VERTEX-MAGIC GRAPH MAKALAH Disusun untuk Melengkapi salah satu Tugas Mata Kuliah Seminar Pendidikan Matematika Semester Genap Tahun Akademik 006/007
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736. Saat itu dia memikirkan untuk menyeberangi semua jembatan di kota Kaliningrad, Rusia,
Lebih terperinciPelabelan Product Cordial Graf Gabungan pada Beberapa Graf Sikel dan Shadow Graph Sikel
Pelabelan Product Cordial Graf Gabungan pada Beberapa Graf Sikel dan Ana Mawati*), Robertus Heri Sulistyo Utomo S.Si, M.Si*), Siti Khabibah S.Si, M.Sc*) Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, UNDIP,
Lebih terperinciJalan Soekarno-Hatta Km. 09 Tondo, Palu 94118, Indonesia.
JIMT Vol. No. Juni 0 (Hal. - 9) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 0 X PELABELAN SUPER MEAN PADA GRAF D n (C ) DAN D n (C ) v P t S. Wahyuningsi, I W. Sudarsana, dan S. Musdalifah,, Program Studi
Lebih terperinciPENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6. DAN BANYAKNYA GARIS m 1.
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6 DAN BANYAKNYA GARIS m 1 (Skripsi) Oleh PRISKY PARADITTA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KORONASI BEBERAPA KELAS GRAF DENGAN GRAF LINTASAN
PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KORONASI BEBERAPA KELAS GRAF DENGAN GRAF LINTASAN oleh HARDINA SANDARIRIA M0112041 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciPelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Daun. Pendahuluan
Pelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Daun Sih Muhni Y. 1,2, Ika Hesti A. 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT - Universitas Jember 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember nichachapri@gmail.com
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR. Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2
PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
MATHunesa (Volume 3 No 3) 4 PELABELAN CORDIAL DAN E-CORDIAL PADA GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG, DAN GRAF RODA Titik Widyawati Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciEdge-Magic Total Labeling pada Graph mp 2 (m bilangan asli ganjil) Oleh Abdussakir
Jurnal Saintika (ISSN 1693-640X) Edisis Khusus Dies Natalis UIN Malang, Juni 005. Halaman -7 Edge-Magic Total Labeling pada Graph mp (m bilangan asli ganjil) Oleh Abdussakir Abstrak Pelabelan total sisi
Lebih terperinciPENENTUAN DIMENSI METRIK GRAF HELM
PENENTUAN DIMENSI METRIK GRAF HELM SKRIPSI Oleh : DIAN FIRMAYASARI S NIM : H 111 08 011 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2012 PENENTUAN DIMENSI
Lebih terperinciSiska Binastuti 2, Dafik 1,2. Abstrak
Super (a, d)-face Antimagic Total Labeling of Shackle of C 5 Siska Binastuti, Dafik 1, 1 CGANT-University of Jember Department of Mathematics Education FKIP University of Jember e-mail : siskabinastuti@rocketmail.com,
Lebih terperinciFAKTORISASI GRAF BARU YANG DIHASILKAN DARI PEMETAAN TITIK GRAF SIKEL PADA BILANGAN BULAT POSITIF
FAKTORISASI GRAF BARU YANG DIHASILKAN DARI PEMETAAN TITIK GRAF SIKEL PADA BILANGAN BULAT POSITIF Nova Nevisa Auliatul Faizah 1, H. Wahyu H. Irawan 2 1 Mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Lebih terperinciDEFISIENSI SISI-AJAIB SUPER DARI GRAF KIPAS
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 3 Hal. 5 ISSN : 303 90 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND DEFISIENSI SISI-AJAIB SUPER DARI GRAF KIPAS LIONI MASHITAH Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciDasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013
Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri
Lebih terperinciPELABELAN PRIME CORDIAL PADA GRAF PRISMA DAN GRAF TERHUBUNG ANTAR PUSAT PADA GRAF RODA
JIMT Vol. No. Juni 3 (Hal. 43 54) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 45 766X PELABELAN PRIME CORDIAL PADA GRAF PRISMA DAN GRAF TERHUBUNG ANTAR PUSAT PADA GRAF RODA Ismiyanti, I W. Sudarsana, S.
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KELAS GRAF ILALANG DAN HASIL KORONASI DUA GRAF
PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KELAS GRAF ILALANG DAN HASIL KORONASI DUA GRAF oleh RISALA ULFATIMAH M0112074 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciaisy 3 Program Studi Matematika FKIP Universitas Jember, Abstract
SUPER (a,d)-h ANTIMAGIC TOTAL COVERING PADA GRAF TRIANGULAR LADDER Nur Asia J. 1,2, Ika Hesti A. 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT - Universitas Jember 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember, aisy jameel@yahoo.co.id
Lebih terperincioleh ACHMAD BAIHAQIH M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
TOTAL VERTEX IRREGULARITY STRENGTH DARI GRAF FRIENDSHIP DAN GRAF (n, t) KITE oleh ACHMAD BAIHAQIH M0108025 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains
Lebih terperinciUNIVERSITAS INDONESIA. PELABELAN TOTAL (a, d)-busur ANTI AJAIB PADA GABUNGAN GRAF KORONA DAN GABUNGAN GRAF PRISMA TESIS
UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN TOTAL (a, d)-busur ANTI AJAIB PADA GABUNGAN GRAF KORONA DAN GABUNGAN GRAF PRISMA TESIS MURTININGRUM 1006786190 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM MAGISTER
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf (Deo,1989) Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G)
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SUPER VERTEX-MAGIC PADA CYCLE DAN GRAF CIRCULANT
PELABELAN TOTAL SUPER VERTEX-MAGIC PADA CYCLE DAN GRAF CIRCULANT Oleh NONY OKTAVY LILIYANI M010039 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciPELABELAN E-CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF CERMIN
PELABELAN E-CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF CERMIN Ermi Suwarni, 2 Lucia Ratnasari, S.Si, M.Si, 3 Drs. Bayu Surarso, M.Sc.PhD,2,3 Jurusan Matematika FSM UNDIP Jl. Pro. Soedarto, S.H, Tembalang Semarang 54275
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-titik ANTIMAGIC PADA GRAF BERARAH KAUTZ
PELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-titik ANTIMAGIC PADA GRAF BERARAH KAUTZ SKRIPSI Oleh Moch. Fathul Hilal NIM 080210101060 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan. Swiss, Leonhard Euler ( ). Saat itu graf digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Swiss, Leonhard Euler (1707-1783). Saat itu graf digunakan untuk menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg.
Lebih terperinciNILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF TUNAS KELAPA
NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF TUNAS KELAPA Moch. Zaenal A. 3, Slamin 4, Susi Setiawani 5 Abstract. A total edge irregular labeling on a graph G which has E edges and V vertices is an assignment
Lebih terperinciPelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Shackle Fan Berorder 5
Pelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Shackle Fan Berorder 5 Arika Indah Kristiana, Dafik CGANT - University of Jember Mathematics Education Department - University of Jember arikakristiana@gmail.com
Lebih terperinciII.TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung
II.TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung dalam penelitian ini. 2.1. Konsep Dasar Teori Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA BEBERAPA KELAS GRAF
DIMENSI METRIK PADA BEBERAPA KELAS GRAF oleh DWI RIA KARTIKA M0112025 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF BINTANG
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 85 89 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF BINTANG DINA IRAWATI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciGRAF DIAMETER DUA DENGAN KOMPLEMENNYA DAN GRAF MOORE DIAMETER DUA
GRAF DIAMETER DUA DENGAN KOMPLEMENNYA DAN GRAF MOORE DIAMETER DUA SKRIPSI Oleh : ASTRIA J2A 006 006 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciAbstract
Super (a,d)-h-antimagic Total Covering pada Graf Semi Windmill Sherly Citra W 1,, Ika Hesti A 1,, Dafik 1,3 1 CGANT-Universitas Jember Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember, clyqueen@gmail.co.id
Lebih terperinciNILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF GUNUNG BERAPI. Rukmana Sholehah 7, Slamin 8, Dafik 9
NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF GUNUNG BERAPI Rukmana Sholehah 7, Slamin 8, Dafik 9 Abstract. For a simple undirected connected graph G(V,E) with vertex set V and edge set E a labeling : V E
Lebih terperinciGraf Ajaib (Super) dengan Sisi Pendan
54 Bab IV Graf Ajaib (Super) dengan Sisi Pen Pada bab ini disajikan metode untuk membentuk graf ajaib (super) baru dari graf ajaib (super) yang sudah diketahui. Berdasarkan metode tersebut diperoleh graf
Lebih terperinciAbstract
Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut pada Graf Centipede Agrita Kanty Purnapraja, Fia Cholidah, Dafik 1,3 1 CGANT- Universitas Jember Program Studi Matematika FMIPA Universitas Jember 3 Program Studi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciSuper (a,d)-h- Antimagic Total Covering of Chain Graph
Super (a,d)-h- Antimagic Total Covering of Chain Graph Dina Rizki Anggraini 1,, Dafik 1,, Susi Setiawani 1 CGANT - University of Jember Mathematics Education Department - University of Jember dinarizki11.dr@gmail.com,
Lebih terperinciPENENTUAN BANYAKNYA GRAF TERHUBUNG BERLABEL BERORDE LIMA TANPA GARIS PARALEL. (Skripsi) Oleh Eni Zuliana
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TERHUBUNG BERLABEL BERORDE LIMA TANPA GARIS PARALEL (Skripsi) Oleh Eni Zuliana FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PEGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016 ABSTRAK PENENTUAN
Lebih terperinciSuper (a, d)-h-antimagic Total Selimut pada Graf Shackle Kipas F 4
Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut pada Graf Shackle Kipas F 4 Irma Azizah, Dafik CGANT-Universitas Jember Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember e-mail: irma.azizah@ymail.com,
Lebih terperinciUnnes Journal of Mathematics
UJM 2 (2) (2013) Unnes Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF DOUBLE STAR DAN GRAF SUN Muhammad Akbar Muttaqien, Mulyono, Amin Suyitno
Lebih terperinciGraph. Matematika Informatika 4. Onggo
Matematika Informatika 4 Onggo Wiryawan @OnggoWr Definisi adalah struktur diskrit yang mengandung vertex dan edge yang menghubungkan vertex-vertex tersebut. vertex edge 2 Jenis-jenis Definisi 1: Suatu
Lebih terperinciMatematik tika Di Disk i r t it 2
Matematika tik Diskrit it 2 Teori Graph Teori Graph 1 Kelahiran Teori Graph Masalah Jembatan Konigsberg g : Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat
Lebih terperinciAbstract
Analisis Super (a, d)-s 3 Antimagic Total Dekomposisi Graf Helm Konektif untuk Pengembangan Ciphertext Kholifatur Rosyidah 1,, Dafik 1,3, Susi Setiawani 3 1 CGANT- University of Jember Department of Mathematics
Lebih terperinciv 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan
Lebih terperinciAbstract
Pelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Semi Parasut SP 2n 1 Karinda Rizqy Aprilia 1,2, Ika Hesti A 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT - Universitas Jember 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember
Lebih terperinciBab 2. Landasan Teori. 2.1 Konsep Dasar
Bab 2 Landasan Teori Pada bab ini akan diuraikan konsep dasar dan teori graf yang berhubungan dengan topik penelitian ini, termasuk didalamnya mengenai pelabelan total tak teratur titik dan total vertex
Lebih terperinciUJM 4 (1) (2015) UNNES Journal of Mathematics.
UJM 4 (1 (2015 UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm PELABELAN L(3,2,1 DAN PEMBENTUKAN GRAF MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS Meliana Deta Anggraeni, Mulyono, Amin Suyitno
Lebih terperinciPELABELAN SUPER MEAN PADA GENERALISASI GRAF TUNAS KELAPA
JIMT Vol. 3 No. Juni 06 (Hal. 70 80) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 450 766X PELABELAN SUPER MEAN PADA GENERALISASI GRAF TUNAS KELAPA D.A. Merdekawati, I.W. Sudarsana, dan S. Musdalifah 3,,3
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI DARI GRAF LOLLIPOP, GRAF GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF C n 2 K m
DIMENSI PARTISI DARI GRAF LOLLIPOP, GRAF GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF C n 2 K m oleh MAYLINDA PURNA KARTIKA DEWI M0112054 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF RODA W n
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 1 Hal. 37 1 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF RODA W n HERU PERMANA Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciJln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos THE TOTAL VERTEH IRREGURARY STRENGTH OF HONEYCOMB GRAPH
1 PENENTUAN NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK GRAF SARANG LEBAH Riskawati 1*), Nurdin 2), Hasmawati 3) 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin Jln.
Lebih terperinciKekuatan Tak Reguler Sisi Total Pada Graf Umbrella dan Graf Fraktal
SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2017 A-7 Kekuatan Tak Reguler Sisi Total Pada Graf Umbrella dan Graf Fraktal Sulistyo Dwi Sancoko 1, Meryta Febrilian Fatimah 2,Yeni Susanti 3 Departemen
Lebih terperinciHimpunan Kritis Pada Graph Cycle
J. Math. and Its Appl. ISSN: -0X Vol., No., Nov 00, Himpunan Kritis Pada Graph Cycle Chairul Imron Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya imron-its@matematika.its.ac.id Abstract Berawal dari bujursangkar
Lebih terperinciPelabelan Total Super (a,d)-sisi Antimagic Pada Graf Buah Naga
Pelabelan Total Super (a,d)-sisi Antimagic Pada Graf Buah Naga Agnes Ika Nurvitaningrum 1,, Dafik 1,, Susi Setiawani 1 CGANT- University of Jember Department of Mathematics Education FKIP University of
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkembangsaan Swiss pada tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah Seiring perkembangan zaman, maka perkembangan ilmu pengetahuan berkembang pesat, begitu pula dengan ilmu matematika. Salah satu cabang ilmu matematika yang memiliki
Lebih terperinciKonsep. Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi
GRPH 1 Konsep Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi 2 Contoh Graph agan alir pengambilan mata kuliah 3 Contoh Graph Peta 4 5 Dasar-dasar Graph Suatu graph
Lebih terperinci