Khunti Qonaah, Mania Roswitha, dan Pangadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret

Transkripsi

1 PELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN Khunti Qonaah, Mania Roswitha, dan Pangadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Abstrak. Graf sederhana G = (V (G), E(G)) memuat (a, d) H anti ajaib super, jika terdapat fungsi f : V (G) E(G) 1,,..., V (G) + E(G) }, sedemikian sehingga untuk setiap subgraf H dari G yang isomorfik dengan selimut H, bobot H adalah ω(h ) = v V (H ) f(v) + e E(H ) f(e) membentuk barisan aritmatika a, a + d, a + d,..., a + (t 1)d} dimana a dan d adalah bilangan bulat positif dan t banyak subgraf dari G yang isomorfik dengan H. Kemudian graf G disebut (a, d) H anti ajaib super, jika f(v (G)) = 1,,..., V (G) }. Dalam penelitian ini, dibuktikan (a, d) C 3 anti ajaib super pada graf bunga matahari SF n untuk n genap 4, graf broken fan BF (m, n) untuk m dan n, dan graf generalized fan F m,n untuk m 3 dan n. Kata kunci: (a, d) cycle-anti ajaib super, graf bunga matahari, graf broken fan, graf generalized fan 1. Pendahuluan Pelabelan graf adalah pemberian nilai, biasanya berupa bilangan bulat positif atau bilangan asli pada titik, atau sisi, atau keduanya, agar memenuhi kondisi tertentu (Gallian [1]). Ada beberapa jenis pelabelan graf yang berkembang saat ini, seperti pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Pelabelan total pada suatu graf yang sekarang banyak dikembangkan adalah pelabelan ajaib dan pelabelan anti ajaib. Pelabelan anti ajaib terus berkembang setelah pertama kali diperkenalkan oleh Hartsfield dan Ringel [3] pada tahun Bodendiek dan Walther memperkenalkan konsep dari pelabelan (a, d) anti ajaib pada tahun 1993 (Gallian [1]), kemudian pada tahun 009 Inayah et al. [8] memperkenalkan pelabelan selimut (a, d) H total anti ajaib. Pelabelan selimut (a, d) H total anti ajaib pada graf G merupakan pemetaan bijektif fungsi f dari V (G) E(G) 1,,..., V (G) + E(G) }, sedemikian sehingga untuk setiap subgraf H dari graf G yang isomorfik dengan selimut H, bobot H adalah ω(h ) = Σ v V (H )f(v) + Σ e E(H )f(e) membentuk suatu barisan aritmatika a, a + d, a + d,..., a + (t 1)d}, dengan a dan d adalah bilangan bulat positif dan t adalah banyak subgraf dari G yang isomorfik dengan H. Kemudian graf G dikatakan (a, d) H total anti ajaib super, jika label dari setiap titik f(v (G)) = 1,,..., V (G) }. Inayah et al. [8] melakukan penelitian tentang pelabelan selimut (a, d) cycle anti ajaib pada graf kipas. Inayah [4] juga melakukan penelitian tentang pelabelan selimut (a, d) H anti ajaib super pada graf roda dan graf amalgamasi-subgraf. Karyanti [6] melakukan penelitian tentang pelabelan selimut (a, d) H anti ajaib super pada graf fan, sun, dan generalized Petersen. Dalam penelitian ini, dibuktikan pelabelan selimut (a, d) cycle anti ajaib super pada graf yang belum pernah diteliti, yaitu graf bunga matahari SF n, graf broken fan BF (m, n), dan graf generalized fan F m,n.. Hasil Penelitian.1. Multihimpunan k seimbang. Maryati [7] mendefinisikan multihimpunan k seimbang sebagai berikut. Misalkan k N dan Y adalah multihimpunan bilangan bulat positif. Multihimpunan Y disebut commit k seimbang, to user jika terdapat k subhimpunan dari Y, yaitu Y 1, Y,..., Y k, sedemikian sehingga untuk setiap i [1, k] berlaku Y i = Y k, ΣY i = ΣY k N, dan k i=1 Y i = Y. Teknik multihimpunan k seimbang dari Roswitha dan Baskoro [9] yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1

2 Lema.1. Diberikan x dan y bilangan bulat non negatif. Diketahui X = [x + 1, x(y + 1)] dengan X = xy dan Y = [x(y +), x(y +1) 1] dimana Y = xy. Maka multihimpunan K = X Y, adalah xy seimbang dengan semua anggotanya merupakan himpunan yang mempunyai anggota. Selanjutnya, dibuktikan beberapa lema. Lema.. Misalkan k 4, dengan k adalah bilangan bulat genap. Jika multihimpunan W = [k +, k + 1] [3k +, 4k + 1], maka W adalah k seimbang. Bukti. Untuk i [1, k] dengan k genap 4 didefinisikan himpunan k + 3 i, 3k + i}, i [1, k W i = ]; 3k + i, k i}, i [ k + 1, k]. Dapat dilihat bahwa untuk setiap i [1, k] berlaku W i =, W i W dan k i=1 W i = W. Karena W i = 5k + 3 untuk setiap i [1, k], maka W adalah k seimbang. Lema.3. Misalkan k 4, dengan k adalah bilangan bulat genap. Jika multihimpunan V = [1, k + 1]/ k + 1} [k +, 3k + 1], maka V adalah k seimbang. Bukti. Untuk i [1, k] dengan k genap 4 didefinisikan himpunan k + 3 i, 5k V i = i, i}, i [1, k ]; 3k + i, 3k i, i + 1}, i [ k + 1, k]. Dapat dilihat bahwa untuk setiap i [1, k] berlaku V i = 3, V i V dan k i=1 V i = V. Karena V i = 9k + 4 untuk setiap i [1, k], maka V adalah k seimbang. Lema.4. Misalkan k 4, dengan k adalah bilangan bulat genap. Jika multihimpunan Y = [k +, k + 1] [5k +, 6k + 1], maka Y adalah k seimbang. Bukti. Untuk i [1, k] dengan k genap 4 didefinisikan himpunan k + 3 i, 5k + i}, i [1, k Y i = ]; 3k + i, 4k i}, i [ k + 1, k]. Dapat dilihat bahwa untuk setiap i [1, k] berlaku Y i =, Y i Y dan k i=1 Y i = Y. Karena Y i = 7k + 3 untuk setiap i [1, k], maka Y adalah k seimbang... (a, d) C 3 Anti Ajaib Super pada Graf Bunga Matahari SF n. Inayah [4] mendefinisikan graf bunga matahari SF n adalah graf yang diperoleh dari sebuah graf roda W n, yang titik-titiknya adalah c, v 0, v 1,..., v n 1, dan penambahan n buah titik w 0, w 1,..., w n 1, dengan w i dihubungkan oleh sebuah sisi ke v i v i+1 untuk setiap i = 0, 1,,..., n 1, dengan i 1 dalam modulo n. Graf bunga matahari SF n mempunyai order V (SF n ) = n + 1 dan size E(SF n ) = 4n. Batas atas d pelabelan (a, d) C 3 selimut anti ajaib super pada graf bunga matahari SF n yaitu sebagai berikut. Lema.5. Jika graf bunga matahari SF n dengan n genap 4 merupakan (a, d) C 3 anti ajaib super, maka d 18n 15 n 1. Bukti. Misalkan G adalah graf bunga matahari SF n dengan n genap 4 dan H adalah graf cycle C 3. Misalkan V (G) = v G = n + 1, E(G) = e G = 4n, V (H) = v H = 3, dan E(H) = e H = 3. Banyak subgraf yang isomorfik dengan H adalah n. Jika graf G merupakan (a, d) C 3 anti ajaib super, maka bobot H terbesar tidak lebih dari v G + (v G 1) + (v G ) (v G (v H 1)) + (v G + e G ) + (v G + e G 1) + (v G + e G ) (v G + e G (e H 1)) atau a + (n 1)d 4n dan bobot H terkecil ( v H ) + (v G + 1) + (v G + ) (v G + e H ) atau a 6n Sehingga, diperoleh d 18n 15 n 1. Berikut ini disajikan pelabelan (a, commit d) C 3 to anti user ajaib super pada graf bunga matahari SF n untuk d = 1 pada Teorema.1. Teorema.1. Misalkan G adalah graf bunga matahari SF n dengan n genap 4, maka terdapat pelabelan ( 9 n + 9, 1) C 3 anti ajaib super. 016

3 Bukti. Diketahui G adalah graf bunga matahari SF n dimana n genap 4 dengan V (G) = n + 1 dan E(G) = 4n. Misalkan Z = [1, 6n + 1] dan partisi Z menjadi 5 multihimpunan, Z = U V W X Y dengan U = n + 1}, V = [1, n] \ n + 1} [n +, 3n + 1], W = [n+, n+1] [3n+, 4n+1], X = [4n+, 5n+1], dan Y = [n+, n+1] [5n+, 6n+1]. Misalkan H h adalah sembarang subgraf C 3 dari G dengan V (H h ) bagian roda W n yaitu, V (H h ) = c, v 1, v }, c, v, v 3 },..., c, v n 1, v n }, c, v n, v 1 } dan V (H h ) bukan bagian dari roda W n yaitu V (H h ) = v 1, v, w 1 }, v, v 3, w },..., v n 1, v n, w n 1 }, v n, v 1, w n }. Banyaknya subgraf yang isomorfik dengan C 3 adalah n. Didefinisikan fungsi bijektif f : V (G) E(G) 1,, 3,..., 6n + 1} dan f(v (G)) = 1,, 3,..., n + 1}. Seluruh titik dan sisi dari setiap subgraf H h dilabeli dengan beberapa ketentuan. Berdasarkan Lema., untuk k = n diperoleh W adalah n seimbang. Titik v i dilabeli dengan interval [n+, n+1] dari himpunan W dan labeli sisi yang incident dengan v i atau cv i dengan interval [3n+, 4n+1] dari himpunan W, sedemikian sehingga diperoleh bahwa Wi = 5n+3. Kemudian labeli titik pusat c dengan 1 n+1. Selanjutnya, gunakan anggota dari himpunan X = 4n i, i [1, n]} untuk melabeli sisi v i v i+1 dari kiri ke kanan (searah jarum jam). Setelah seluruh titik dan sisi dilabeli, diperoleh untuk setiap h [1, n] bobot H h bagian dari roda W n adalah ω(h h1 ) = ( h i=1 W i) + h i=1 U i + h i=1 X i = (5n + 3) + ( 1 9 n + 1) + (4n h) = n h. Sehingga d = ω(h h 1 +1) ω(h h1 ) = 1 dan a = ω(h 1 ) = 9 n + 9, maka graf bunga matahari SF n adalah ( 9 n + 9, 1) C 3 anti ajaib super untuk H bagian roda W n. Selanjutnya, labeli n buah titik w i dan sisi v i w i serta sisi v i+1 w i dengan beberapa ketentuan. Berdasarkan Lema.3, untuk k = n diperoleh bahwa V adalah n seimbang. Labeli titik w i dimana i [1, n] dengan interval [1, n + 1]\ 1 n + 1} dari himpunan V, kemudian labeli sisi v i w i dengan interval [n +, 3n + 1] dari himpunan V, sedemikian sehingga ketika dijumlah dengan label v i yang incident dengan sisi v i w i diperoleh Vi = 9 n + 4. Selanjutnya, berdasarkan Lema.4 untuk k = n diperoleh bahwa Y adalah n seimbang. Labeli sisi v i+1 w i dengan interval [5n +, 6n + 1] dari himpunan Y, sedemikian sehingga ketika dijumlah dengan label v i+1 yang incident dengan v i+1 w i diperoleh Y i = 7n + 3. Setelah seluruh titik dan sisi dilabeli, diperoleh untuk setiap h [1, n] bobot H h bukan bagian dari roda W n adalah ω(h h ) = h i=1 V i + h i=1 Y i + h i=1 X i = ( 9 n + 4) + (7n + 3) + (4n h) = 31 n h. Sehingga d = ω(h h +1) ω(h h ) = 1 dan a = ω(h 1 ) = 31 n + 9, maka graf bunga matahari SF n adalah ( 31 n + 9, 1) C 3 anti ajaib super untuk H bukan bagian roda W n. Dapat dibuktikan bahwa bobot ω(h h1 ) untuk h 1 = n+1 sama dengan bobot ω(h h ) untuk h = 1 yaitu ω(h h1 =n+1) = 9 n n + 1 = 31 n + 9 = ω(h h =1). Atau dapat dinyatakan bahwa bobot H h dimana h [1, n] yang isomorfik dengan C 3 adalah ω(h h ) = 9 n+8+i, d = ω(h h+1) ω(h h ) = 1 dan a = ω(h 1 ) = 9 n+9. Terbukti bahwa graf bunga matahari SF n merupakan ( 9 n + 9, 1) C 3 anti ajaib super. Contoh dari ( 9 n+9, 1) C 3 anti ajaib super pada SF n dengan n = 8 dapat dilihat pada Gambar 1. commit to user Gambar 1. (15, 1) C 3 anti ajaib super pada graf SF

4 .3. (a, d) C 3 Anti Ajaib Super pada Graf Broken Fan BF (m, n). Chopra et al. [] mendefinisikan graf broken fan BF (m, n) adalah graf yang memiliki V (BF (m, n)) = c} v 1,, v m } u 1,, u n } dan E(BF (m, n)) = (c, v i ) i = 1,, m} (c, u i ) i = 1,, n} E(P m ) E(P n ). Graf broken fan BF (m, n) mempunyai order V (BF (m, n)) = m + n + 1 dan size E(BF (m, n)) = m + n. Batas atas d pelabelan (a, d) C 3 anti ajaib super pada graf broken fan BF (m, n) yaitu sebagai berikut. Lema.6. Jika graf broken fan BF (m, n) dengan m dan n merupakan (a, d) C 3 anti ajaib super, maka d 9m+9n 1 m+n 3. Bukti. Misalkan G adalah graf broken fan BF (m, n) dengan m dan n dan H adalah graf cycle C 3. Misalkan V (G) = v G = m + n + 1, E(G) = e G = m + n, V (H) = v H = 3, dan E(H) = e H = 3. Banyak subgraf yang isomorfik dengan H adalah a + b. Jika graf broken fan BF (m, n) merupakan (a, d) C 3 anti ajaib super, maka bobot H terbesar tidak lebih dari v G +(v G 1)+(v G )+...+(v G (v H 1))+(v G +e G )+ (v G +e G 1)+(v G +e G )+...+(v G +e G (e H 1)) atau a+(m+n 3)d 1m+1n 6 dan bobot H terkecil ( v H ) + (v G + 1) + (v G + ) (v G + e H ) atau a 3m + 3n Sehingga, diperoleh d 9m+9n 1 m+n 3. Berikut ini disajikan pelabelan (a, d) C 3 anti ajaib super pada graf broken fan BF (m, n) untuk d = 1 pada Teorema.. Teorema.. Misalkan G adalah graf broken fan BF (m, n) dengan m dan n, maka terdapat pelabelan (6(m + n) + 9, 1) C 3 anti ajaib super. Bukti. Diketahui G adalah graf broken fan BF (m, n) dimana m dan n dengan V (G) = m + n + 1 dan E(G) = m + n. Misalkan A = [1, 3m + 3n 1] dan partisi A menjadi 4 himpunan, A = B C D E dengan B = 1, C = [, m + n + 1], D = [m + n +, m + n + 1], dan E = [m + n +, 3m + 3n 1]. Misalkan H h adalah sembarang subgraf C 3 dari G dengan V (H h ) = c, v 1, v }, c, v, v 3 },..., c, v m 1, v m }, c, u 1, u }, c, u, u 3 }, c, u 3, u 4 },..., c, u n 1, u n }. Banyaknya subgraf dalam graf G yang isomorfik dengan C 3 adalah m+n. Didefinisikan fungsi bijektif f : V (G) E(G) 1,, 3,..., 3m + 3n 1} dan f(v (G)) = 1,, 3,..., m + n + 1}. Seluruh titik dan sisi dari setiap subgraf H dilabeli dengan beberapa ketentuan. Labeli titik pusat c dengan 1. Kemudian, definisikan X = C D dan partisi X menjadi X k, 1 k xy} dengan a k = x + k b k = x(y + 1) k untuk x = 1 dan y = m + n maka X adalah (m + n) seimbang. Berdasarkan Lema.1, labeli titik v i dimana i [1, m] dan u j dimana j [1, n] dari G dengan anggota a k dimana k [1, m + n] dari X k. Selanjutnya, gunakan anggota b k dimana k [1, m + n] untuk melabeli sisi (c, v i ) dimana i [1, m] dan (c, u j ) dimana j [1, n] dari graf G. Diperoleh X k = m + n + 3. Selanjutnya, gunakan anggota dari himpunan E = m + n j 1 j m + n } untuk melabeli sisi E(P m ) dan sisi E(P n ) dari kiri ke kanan (searah jarum jam), diperoleh E k = m + n + 1 k dimana k [1, m + n ]. Misalkan ω(h h ) adalah bobot subgraf H yang isomorfik dengan C 3, maka untuk setiap h [1, m + n ] diperoleh ω(h h ) = B h + X h + E h = 1 + (m + n + 3) + (m + n h) = 4m + m + 4n + n h = 6(m + n) h sehingga d = ω(h h+1 ) ω(h h ) = 1 dan a = ω(h 1 ) = 6(m + n) + 9. Terbukti bahwa graf broken fan BF (m, n) dengan m dan n, terdapat pelabelan (6(m + n) + 9, 1) C 3 anti ajaib super. commit to user Contoh dari (6(m + n) + 9, 1) C 3 anti ajaib super pada BF (m, n) dengan m = 5 dan n = 7 dapat dilihat pada Gambar

5 Gambar. (81, 1) C 3 anti ajaib super pada graf BF (5, 7).4. (a, d) C 3 Anti Ajaib Super pada Graf Generalized Fan F m,n. Intaja dan Sitthiwirattham [5] mendefinisikan graf generalized fan F m,n = Km +P n adalah graf dengan V (F m,n ) = V (K m ) V (P n ) dan E(F m,n ) = E(P n ) uv u V (K m ), v V (P n )}. Graf generalized fan F m,n mempunyai order V (F m,n ) = m+n dan size E(F m,n ) = mn+n 1. Batas atas d pelabelan (a, d) C 3 anti ajaib super pada graf generalized fan F m,n yaitu sebagai berikut. Lema.7. Jika graf generalized fan F m,n dengan m 3 dan n merupakan (a, d) C 3 anti ajaib super, maka d 3mn+3m+6n 1 mn m 1. Bukti. Misalkan G adalah graf generalized fan F m,n dengan m 3 dan n dan H adalah graf cycle C 3. Misalkan V (G) = v G = m+n, E(G) = e G = mn+n 1, V (H) = v H = 3, dan E(H) = e H = 3. Banyak subgraf H yang isomorfik dengan C 3 adalah m(n 1). Jika graf generalized fan F m,n merupakan (a, d) C 3 anti ajaib super, maka bobot H terbesar tidak lebih dari v G +(v G 1)+(v G )+...+(v G (v H 1))+(v G +e G )+(v G +e G 1)+ (v G + e G ) (v G + e G (e H 1)) atau a + (m(n 1) 1)d 3mn + 6m + 9n 9 dan bobot H terkecil ( v H ) + (v G + 1) + (v G + ) (v G + e H ) atau a 3m + 3n + 1. Sehingga, diperoleh d 3mn+3m+6n 1 mn m 1. Berikut ini disajikan pelabelan (a, d) C 3 anti ajaib super pada graf generalized fan F m,n untuk d = 1 pada Teorema.3 dan d = pada Teorema.4. Teorema.3. Misalkan G adalah graf generalized fan F m,n dengan m 3 dan n, maka terdapat pelabelan (1) ( 3 mn + 9 m + 11 n + 5, 1) C 3 anti ajaib super untuk n ganjil, dan () ( 3 mn + 4m + 11 n + 3, 1) C 3 anti ajaib super untuk n genap. Bukti. Berdasarkan definisi dari graf generalized fan F m,n oleh Intaja dan Sitthiwirattham [5] diperoleh bahwa graf generalized fan F m,n mempunyai macam titik yaitu u i dan v j dimana u i adalah titik pada K m dengan i [1, m] dan v j adalah titik pada path P n dengan j [1, n], sehingga terdapat sisi v j v j+1 dan sisi yang menghubungkan titik u i ke titik v j yaitu sisi u i v j, u i v j+1,..., u i v n. Misalkan fungsi bijektif ξ 1 : V (G) E(G) 1,, 3,..., mn+m+n 1} dengan ξ 1 (V (G)) = 1,, 3,..., m+n+1}. Akan dibuktikan menjadi kasus. Kasus 1. Untuk n ganjil. Definisikan pelabelan ξ 1 untuk melabeli setiap titik dan sisi dari graf generalized fan F m,n sebagai berikut. ξ 1 (u i ) = n + i, i [1, m], n+j ξ 1 (v j ) =, j ganjil, j [1, n], j, commit to user j genap, j [1, n], ξ 1 (v j v j+1 ) = mn + m + n j, j [1, n 1], (.1) ξ 1 (u i v j ) = (j+1)m + n + i, j ganjil, i [1, m], + n + 1 i, j genap, i [1, m]. (n+1)m + (j+)m 5 016

6 Berdasarkan pelabelan (.1) bobot ω(c3 i ) dengan i [1, m] pada graf generalized fan F m,n diperoleh dengan menjumlahkan label setiap titik dan sisi dalam subgraf C3 i sebagai berikut. ω(c3 i) = ξ 1(u i ) + j+1 k=j ξ 1(v k ) + ξ 1 (v j v j+1 ) + j+1 k=j ξ 1(u i v k ) = n + i + n+j + j+1 + mn + m + n j + j+1 m + n + i + n+1 m + j+3 m + n + 1 i = 3 mn m + jm + n i. Dapat diperiksa bahwa untuk setiap j [1, n 1] dan i [1, m] bobot ω(c3 i) untuk j = merupakan lanjutan ω(c3 i ) untuk i [m + 1, m], begitu juga untuk j = 3, 4,..., n 1 merupakan lanjutan ω(c3 i ) untuk i [m + 1, (n 1)m]. Atau dapat dituliskan untuk i [1, (n 1)m] bobot pada C3 i adalah ω(ci 3 ) = 3 mn + 9 m + 11 n i. Nilai d dapat diperoleh dari selisih ω(c3 i ) dengan ω(ci+1 3 ) yaitu, d = ω(c3 i+1 ) ω(c3 i) = ( 3 mn + 9 m + 11 n i + 1) ( 3 mn + 9 m + 11 n i) = 1 dan nilai a dapat diperoleh dari ω(c3 i) untuk i = 1 yaitu, a = ω(c1 3 ) = 3 mn + 9 m + 11 n = 3 mn + 9 m + 11 n + 5. Berdasarkan nilai d dan a, terbukti bahwa graf generalized fan F m,n dengan m 3 dan n, terdapat pelabelan ( 3 mn + 9 m + 11 n + 5, 1) C 3 anti ajaib super untuk n ganjil. Kasus. Untuk n genap. Misalkan fungsi bijektif ξ : V (G) E(G) 1,, 3,..., mn + m + n 1} dengan ξ (V (G)) = 1,, 3,..., m + n + 1}. Definisikan pelabelan ξ untuk melabeli setiap titik dan sisi dari graf generalized fan F m,n sebagai berikut. ξ (u i ) = n + i, i [1, m], n+1+j ξ (v j ) =, j ganjil, j [1, n], j, j genap, j [1, n], ξ (v j v j+1 ) = mn + m + n j, j [1, n 1], (.) (j+1)m ξ (u i v j ) = + n + i, j ganjil, i [1, m], nm + (j+)m + n + 1 i, j genap, i [1, m]. Berdasarkan pelabelan (.) bobot ω(c3 i ) dengan i [1, m] pada graf generalized fan F m,n diperoleh dengan menjumlahkan label setiap titik dan sisi dalam subgraf C3 i sebagai berikut. ω(c3 i) = ξ (u i ) + j+1 k=j ξ (v k ) + ξ (v j v j+1 ) + j+1 k=j ξ (u i v k ) = n + i + n+1+j + j+1 + mn + m + n j + j+1 m + n + i + mn + j+3 m +n + 1 i = 3 11 mn + 3m + jm + n + + i. Dapat diperiksa bahwa untuk setiap j [1, n 1] dan i [1, m] bobot ω(c3 i) untuk j = merupakan lanjutan ω(c3 i ) untuk i [m + 1, m], begitu juga untuk j = 3, 4,..., n 1 merupakan lanjutan ω(c3 i ) untuk i [m + 1, (n 1)m]. Atau dapat dituliskan untuk i [1, (n 1)m] bobot pada C3 i adalah ω(ci 3 ) = 3 mn + 4m + 11 n + + i. Nilai d dapat diperoleh dari selisih ω(c3 i ) dengan ω(ci+1 3 ) yaitu, d = ω(c3 i+1 ) ω(c3 i) = ( 3 mn+4m+ 11 n++i+1) ( 3 mn+4m+ 11 n++i) = 1 dan nilai a dapat diperoleh dari ω(c3 i) untuk i = 1 yaitu, a = ω(c1 3 ) = 3 mn+4m+ 11 n++1 = 3 mn+4m+ 11 n+3. Berdasarkan nilai d dan a, terbukti bahwa graf generalized fan F m,n dengan m 3 dan n, terdapat pelabelan ( 3 11 mn+4m+ n+3, 1) C 3 anti ajaib super untuk n genap. Teorema.4. Misal G adalah graf generalized fan F m,n dengan m ganjil 3 dan n, maka terdapat pelabelan (1) (mn + 9 m + 11 n + 3, ) C 3 total anti ajaib super untuk n ganjil; dan commit to user () (mn + 9 m + 11 n + 7, ) C 3 total anti ajaib super untuk n genap. Bukti. Diketahui G adalah graf generalized fan F m,n dengan m ganjil 3 dan n. Teorema.4 dibuktikan menjadi kasus

7 Kasus 1. Untuk n ganjil. Misalkan fungsi bijektif ξ 1 : V (G) E(G) 1,, 3,..., mn + m + n 1} dengan ξ 1 (V (G)) = 1,, 3,..., m + n + 1}. Definisikan pelabelan ξ 1 untuk melabeli setiap titik dan sisi dari graf generalized fan F m,n sebagai berikut. ξ 1 (u i ) = n + i, i [1, m], n+j ξ 1 (v j ) =, j ganjil, j [1, n], j, j genap, j [1, n], ξ 1 (v j v j+1 ) = mn + m + n j, j [1, n 1], jm + n + i, i dan j ganjil atau ξ 1 (u i v j ) = i dan j genap, jm + n + m+1 + i, i dan j lainnya. (.3) Berdasarkan pelabelan (.3) bobot ω(c3 i ) dengan i [1, m] pada graf generalized fan F m,n diperoleh dengan menjumlahkan label setiap titik dan sisi dalam subgraf C3 i sebagai berikut. ω(c3 i) = ξ 1(u i ) + j+1 k=j ξ 1(v k ) + ξ 1 (v j v j+1 ) + j+1 k=j ξ 1(u i v k ) = n + i + n+j + j+1 + mn + m + n j + jm + n + i+1 (j + 1)m + n + m+1 + i+1 1 = mn + 5 m + jm + 11 n i. Dapat diperiksa bahwa untuk setiap j [1, n 1] dan i [1, m] bobot ω(c3 i) untuk j = merupakan lanjutan ω(c3 i ) untuk i [m + 1, m], begitu juga untuk j = 3, 4,..., n 1 merupakan lanjutan ω(c3 i ) untuk i [m + 1, (n 1)m]. Atau dapat dituliskan untuk i [1, (n 1)m] bobot C3 i adalah ω(ci 3 ) = mn + 9 m + 11 n i. Nilai d dapat diperoleh dari selisih ω(c3 i ) dengan ω(ci+1 3 ) yaitu, d = ω(c3 i+1 ) ω(c3 i) = (mn+ 9 m+ 11 n+1+(i+1)) (mn+ 9 m+ 11 n+1+i) = dan nilai a dapat diperoleh dari ω(c3 i) untuk i = 1 yaitu, a = ω(c1 3 ) = mn+ 9 m+ 11 n+1+ = mn m+ n+3. Berdasarkan nilai d dan a terbukti bahwa graf generalized fan F m,n dengan m ganjil 3 dan n, terdapat pelabelan (mn + 9 m + 11 n + 3, ) C 3 anti ajaib super untuk n ganjil. Kasus. Untuk n genap. Misalkan fungsi bijektif ξ : V (G) E(G) 1,, 3,..., mn + m + n 1} dengan ξ (V (G)) = 1,, 3,..., m + n + 1}. Definisikan pelabelan ξ untuk melabeli setiap titik dan sisi dari graf generalized fan F m,n sebagai berikut. ξ (u i ) = n + i, i [1, m], n+1+j ξ (v j ) =, j ganjil, j [1, n], j, j genap, j [1, n], ξ (v j v j+1 ) = mn + m + n j, j [1, n 1], jm + n + i, i dan j ganjil atau ξ (u i v j ) = i dan j genap, jm + n + m+1 + i, i dan j lainnya. (.4) Berdasarkan pelabelan (.4) bobot ω(c3 i ) dengan i [1, m], pada graf generalized fan F m,n dapat diperoleh dengan menjumlahkan label setiap titik dan sisi dalam subgraf C3 i sebagai berikut. ω(c3 i) = ξ (u i ) + j+1 k=j ξ (v k ) + ξ (v j v j+1 ) + j+1 k=j ξ (u i v k ) = n + i + n+1+j + j+1 + mn + m + n j + jm + n + i+1 (j + 1)m + n + m+1 + i+1 1 = mn + 5 m + jm + 11 n i. Dapat diperiksa bahwa untuk setiap jcommit [1, n to 1] user dan i [1, m] bobot ω(c3 i) untuk j = merupakan lanjutan ω(c3 i ) untuk i [m + 1, m], begitu juga untuk j = 3, 4,..., n 1 merupakan lanjutan ω(c3 i ) untuk i [m + 1, (n 1)m]. Atau dapat dituliskan untuk i [1, (n 1)m] bobot pada C3 i adalah ω(ci 3 ) = mn + 9 m + 11 n i

8 Nilai d dapat diperoleh dari selisih ω(c3 i ) dengan ω(ci+1 3 ) yaitu, d = ω(c3 i+1 ) ω(c3 i) = (mn + 9 m + 11 n (i + 1)) (mn + 9 m + 11 n i) = dan nilai a dapat diperoleh dari ω(c3 i) untuk i = 1 yaitu, a = ω(c1 3 ) = mn + 9 m + 11 n = mn + 9 m + 11 n + 7. Berdasarkan nilai d dan a terbukti bahwa graf generalized fan F m,n dengan m ganjil 3 dan n, terdapat pelabelan (mn + 9 m + 11 n + 7, ) C 3 anti ajaib super untuk n genap. Contoh dari ( 3 mn + 9 m + 11 n + 5, 1) C 3 anti ajaib super pada F m,n dan (mn + 9 m + 11 n + 3, ) C 3 anti ajaib super pada F m,n dengan m = 7 dan n = 5 dapat dilihat pada Gambar 3. Gambar 3. (114, 1) C 3 anti ajaib super pada graf F 7,5 (kiri) dan (97, ) C 3 anti ajaib super pada graf F 7,5 (kanan) 3. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. (1) Pelabelan (a, d) C 3 anti ajaib super pada graf bunga matahari SF n dibuktikan pada Teorema.1 untuk d = 1. () Pelabelan (a, d) C 3 anti ajaib super pada graf broken fan BF (m, n) dibuktikan pada Teorema. untuk d = 1. (3) Pelabelan (a, d) C 3 anti ajaib super pada graf generalized fan F m,n dibuktikan pada Teorema.3 untuk d = 1 dan d = pada Teorema.4. DAFTAR PUSTAKA 1. Gallian, J. A., A Dynamic Survey of Graph Labeling, The Electronic Journal of Combinatorics 17 (014), #DS6.. Chopra, D., S. M. Lee, and H. H. Su, On Edge-Balance Index Sets of Fans and Broken Fans, Congressus Numerantium, 196 (009), Hartsfield, N. and G. Ringel, Pearls in Graph Theory, Academic Press, (1990). 4. Inayah, N., Pelabelan Selimut (a,d)-h-anti Ajaib pada Beberapa Kelas Graf, Disertasi, Institut Teknologi Bandung, Bandung, Intaja, S. and T. Sitthiwirattham, Some Graph Parameters of Fan Graph, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 80 (01), no., Karyanti, Pelabelan Selimut (a,d)-h-anti Ajaib Super pada Graf Fan, Sun, dan Generalized Petersen, Skripsi, Universitas Sebelas Maret, Surakarta, Maryati, T. K., Karakteristik Graf H-Ajaib dan Graf H-Ajaib Super, Disertasi, Institut Teknologi Bandung, Bandung, Inayah, N., A. N. M. Salman, and R. Simanjuntak, On (a, d) H Antimagic Coverings of Graphs, J. Combin. Math. Combin. Comput., 71 (009), Roswitha, M. and E.T. Baskoro, H-Magic Covering on Some Classes of Graphs, AIP Conference Proceeding on ICREM5, 1450 (01), commit to user 8 016