PELABELAN EDGE MAGIC PADA GRAF BUKU DAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF MERGE HESTY NUGRAHENI

Transkripsi

1 PELABELAN EDGE MAGIC PADA GRAF BUKU DAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF MERGE HESTY NUGRAHENI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pelabelan Edge Magic pada Graf Buku dan Super Edge Magic pada Graf Merge adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Oktober 2016 Hesty Nugraheni NIM G

4 ABSTRAK HESTY NUGRAHENI. Pelabelan Edge Magic pada Graf Buku dan Super Edge Magic pada Graf Merge. Dibimbing oleh SISWANDI dan NUR ALIATININGTYAS. Pelabelan edge magic pada suatu graf dengan verteks dan edge adalah pemetaan bijektif dari himpunan verteks di gabung himpunan edge dipetakan ke himpunan. Pelabelan edge magic yang memenuhi syarat himpunan verteksnya dipetakan ke dan himpunan edgenya dipetakan ke disebut pelabelan super edge magic. Dalam karya ilmiah ini, akan ditunjukkan bahwa graf buku memiliki pelabelan edge magic dan graf merge memiliki pelabelan super edge magic. Kata kunci: pelabean edge magic, pelabelan super edge magic, graf buku, graf merge ABSTRACT HESTY NUGRAHENI. Edge Magic Labeling of Book Graph and Super Edge Magic Labeling of Merge Graph. Supervised by SISWANDI and NUR ALATININGTYAS. Edge magic labeling on a graph consisting of vertices and edges is a bijective function that maps a set of vertices into a set edges. Edge magic labeling with the set of vertices are mapped into and the set of edges are mapped into. This is called a super edge magic labeling. It this manuscript, it was shown that a book graph owns the edge magic labeling, while a merge graph contains the super edge magic labeling. Keywords: edge magic labeling, super edge magic labeling, book graph, merge graph

5 PELABELAN EDGE MAGIC PADA GRAF BUKU DAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF MERGE HESTY NUGRAHENI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Keluarga tercinta Bapak, Ibu, Adik (Dini dan Vina) dan keluarga besar yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, kasih sayang, dan motivasi. 2. Drs. Siswandi, M.Si dan Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si selaku dosen Pembimbing yang telah memberikan ilmu, bimbingan, motivasi, saran, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. 3. Dr Sugi Guritman selaku Penguji yang telah memberikan ilmu serta saran dalam karya ilmiah ini. 4. Rani, Ria, Fuji, Gia, Nala, Fariz, Lina, Dara, Mellinda, Annisya, Agusti, Novi selaku sahabat yang telah memberi semangat dan senantiasa menjadi teman belajar serta teman berbagi keluh kesah. 5. Teman-teman Matematika Angkatan 49 yang selalu memberikan keceriaan, dukungan, doa, dan segala bantuan yang telah di berikan selama kuliah. 6. Kakak-kakak Matematika Angkatan 48 serta adik-adik Matematika angkatan 50 yang telah memberikan doa, semangat, dan dukungannya. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Oktober 2016 Hesty Nugraheni

9 DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR viii PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 TINJAUAN PUSTAKA 2 Teori Graf 2 Pelabelan 7 HASIL DAN PEMBAHASAN 9 Pelabelan edge magic pada graf buku 10 Pelabelan super edge magic pada graf merge dan 16 SIMPULAN DAN SARAN 33 Simpulan 33 Saran 33 DAFTAR PUSTAKA 33 RIWAYAT HIDUP 35

10 DAFTAR GAMBAR 1 Graf 2 2 Cycle 3 3 (a) Graf terhubung (b) Graf tidak terhubung 4 4 Contoh Tree 4 5 Graf bintang 4 6 Graf lintasan 5 7 Graf hasil kali kartesius 5 8 Graf buku 6 9 Graf 6 10 Graf 7 11 Pelabelan edge magic pada graf dengan magic number 8 12 Graf 8 13 Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number 9 14 Graf Pelabelan edge magic pada graf dengan magic number Graf Pelabelan edge magic pada graf dengan magic number Graf Pelabelan edge magic pada graf dengan magic number Graf Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Graf Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Graf Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Graf Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Graf Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Graf Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Graf Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Graf Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number 33

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Teori graf adalah salah satu cabang ilmu matematika yang berkembang pesat terutama diterapkan pada ilmu komputer. Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun Teori graf itu diawali oleh masalah transportasi yang terkenal yaitu jembatan Konigsberg. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf yang objek kajiannya memberikan label pada verteks (titik) atau edge (sisi) dari suatu graf. Pelabelan graf pertama kali diperkenalkan oleh Sedlacek (1964), kemudian dikembangkan oleh Stewart (1966), Kotzig dan Rosa (1970). Hingga saat ini pelabelan graf sangat dirasakan manfaatnya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan transportasi, navigasi geografis, radar, penyimpanan data komputer, dan desain integrated circuit pada komponen elektronik. Berdasarkan elemen-elemen yang dilabeli, pelabelan dibagi kedalam tiga jenis, yaitu pelabelan pada verteks, pelabelan pada edge, dan pelabelan total yang merupakan gabungan pelabelan verteks dan pelabelan edge. Beberapa pelabelan yang telah dikembangkan antara lain pelabelan graceful, pelabelan harmoni, pelabelan total tak beraturan, pelabelan magic (ajaib), dan pelabelan anti-magic. Dalam pengembangan, pelabelan magic dikenal pula pelabelan verteks magic, pelabelan super verteks magic, pelabelan edge magic, dan pelabelan super edge magic. Pelabelan edge magic pada suatu graf G yang memiliki p verteks dan q edge adalah pemetaan bijektif f dari himpunan verteks di gabung himpunan edge dipetakan ke himpunan. Pelabelan edge magic yang memenuhi syarat himpunan verteksnya dipetakan ke dan himpunan edgenya dipetakan ke disebut pelabelan super edge magic (Enomoto et al. 1998). Masalah yang akan dibahas pada penilitian ini adalah graf manakah yang memiliki pelabelan edge magic dan pelabelan super edge magic. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi kembali dari sebagian artikel yang ditulis Figueroa-Centenoa et al. yang berjudul The place of super edge-magic labelings among other classes of labelings pada tahun 2001 dan Solairaju & Begam yang berjudul Edge-Magic Labeling of some Graphs pada tahun Tujuan Penelitian Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah menunjukkan bahwa graf buku memiliki palabelan edge magic dan graf merge memiliki pelabelan super edge magic beserta contoh-contoh ilustrasi.

12 2 TINJAUAN PUSTAKA Teori Graf Definisi 1 (Graf) Suatu graf adalah pasangan terurut dengan adalah himpunan takkosong dari titik-titik (simpul, verteks) dan berhingga dan adalah himpunan sisi (edge) yang menghubungkan elemen-elemen. Graf G dinotasikan (Foulds 1992) Himpunan dari verteks pada graf dinotasikan dengan atau, sedangkan himpunan dari edge pada graf dinotasikan dengan atau. Verteks biasanya dinotasikan dengan huruf kecil dan sisi yang menghubungkan verteks dan verteks dinotasikan dengan. Contoh graf dapat dilihat pada gambar berikut ini Gambar 1 Graf Himpunan verteks dan himpunan edge pada graf dan. adalah Definisi 2 (Order dan Size) Misalkan diberikan graf Banyaknya verteks pada graf disebut order dan banyaknya edge pada graf disebut size. Order dari graf dinotasikan dengan dan size dari graf dinotasikan dengan (Chartrand & Oellermann 1993) Pada graf (Gambar 1), nilai dari dan Definisi 3 (Incident dan Adjacent) Misalkan diberikan graf Jika dengan maka dan dikatakan adjacent di dan dikatakan incident dengan dan. (Chartrand & Oellermann 1993)

13 Pada graf G (Gambar 1), misalkan maka dan dikatakan adjacent di dan dikatakan incident dengan dan. Definisi 4 (Derajat) Derajat (degree) dari suatu verteks pada graf adalah banyaknya edge yang incident dengan verteks dan dinotasikan dengan deg( ). (Chartrand & Oellermann 1993) Pada graf (Gambar 1), derajat verteksnya adalah deg, deg, deg, deg, deg. Definisi 5 (Walk) Suatu walk pada graf adalah suatu barisan berselang-seling antara verteks dan edge yang dimulai dari verteks dan diakhiri dengan verteks. (Foulds 1992) Suatu walk yang menghubungkan verteks dengan verteks dikatakan tertutup (closed walk) jika. Jika maka walk tersebut dikatakan terbuka. Pada graf (Gambar 1), terdapat walk terbuka yaitu walk dan walk tertutup yaitu walk. Definisi 6 (Lintasan/Path) Lintasan adalah walk terbuka yang semua verteksnya berbeda. (Foulds 1992) Pada graf (Gambar 1), terdapat lintasan yaitu. Definisi 7 (Cycle) Cycle pada suatu graf adalah walk yang tertutup yang mengandung setidaknya tiga verteks dan setiap verteks hanya boleh dilewati tepat satu kali. (Foulds 1992) Pada graf (Gambar 1), terdapat cycle dalam graf yang terdiri atas tiga verteks seperti pada Gambar 2. 3 Gambar 2 Cycle Definisi 8 (Graf terhubung) Graf dikatakan terhubung (connected) jika setidaknya ada satu lintasan yang menghubungkan setiap dua verteks yang berbeda pada graf tersebut. Jika tidak ada maka graf tersebut dikatakan graf tidak terhubungkan (disconnected). (Foulds 1992)

14 4 (a) (b) Gambar 3 (a) Graf terhubung (b) Graf tidak terhubung Definisi 9 (Tree) Tree adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai cycle. (Foulds 1992) Gambar 4 Contoh Tree Definisi 10 (Graf Bintang) Graf bintang (star) dengan n verteks disebut dengan n-star adalah tree dengan verteks dengan satu verteks mempunyai degree dan verteks yang lain mempunyai degree. Graf bintang dengan verteks notasinya adalah. (Harary 1994) Contoh graf star dengan terlihat pada Gambar 5 Gambar 5 Graf Bintang Definisi 11 (Graf Lintasan) Graf lintasan yang panjangnya dari verteks awal ke verteks tujuan di dalam graf adalah walk yang berbentuk

15 5 dengan verteks dinotasikan dengan. adalah edge. Graf lintasan dengan (Munir 2005) Contoh graf lintasan dengan terlihat pada Gambar 6 Gambar 6 Graf lintasan Definisi 12 (Hasil Kali Kartesius) Misalkan dan adalah sebarang graf. Hasil kali kartesius dari graf dan dinotasikan adalah graf yang memiliki himpunan verteks dan dua verteks ( dan ( adalah adjacent pada jika dan hanya jika dan atau dan. (Chartrand & Oellermann 1993) Contoh, lihat Gambar 7, misalkan graf adalah graf bintang dengan dan dan adalah graf lintasan dengan dan maka verteks yang adjacent pada adalah sebagai berikut: adjacent dengan dan ; adjacent dengan dan ; adjacent dengan dan ; adjacent dengan dan ; adjacent dengan dan ; adjacent dengan dan. Graf hasil kali kartesius memiliki 6 verteks dan edge. (a) (b) (c) Gambar 7 Graf hasil kali kartesius S P Definisi 13 (Graf Buku) Graf buku (book graph) adalah graf hasil kali kartesius, di mana adalah graf bintang dengan verteks dan adalah graf lintasan dengan verteks. Banyaknya verteks pada graf buku adalah dan banyaknya edge adalah. (Gallian 2010) Contoh graf buku dengan terlihat pada Gambar 8

16 6 Gambar 8 Graf Buku Definisi 14 (Graf Merge) Sebuah graf merge dapat dibentuk dari graf dan graf dengan menyatukan salah satu verteks dari dengan salah satu verteks di. (Solairaju & Begam 2012) Contoh graf merge, misalkan adalah tree dengan tiga verteks dan adalah star dengan tiga verteks kemudian dibentuk dengan menyatukan verteks dari dengan verteks dari. Gabung dan untuk mendapatkan graf seperti pada Gambar 9c. Graf dapat dibentuk juga dengan menyatukan verteks dari dengan verteks dari. Gabung dan untuk mendapatkan graf seperti pada Gambar 9d. Graf memiliki 5 verteks dan 4 edge. (a) (b) (c) (d) Gambar 9 Graf T S Definisi 15 (Pemetaan, pemetaan satu-satu, pemetaan pada, pemetaan bijektif) (i) Pemetaan (fungsi) dari himpunan ke himpunan, dinotasikan adalah aturan pemasangan setiap tepat satu ke, biasa dinotasikan. (ii) Pemetaan (fungsi) dikatakan satu-satu jika untuk setiap unsur dan yang di petakan sama oleh yaitu berlaku atau ekivalen jika berlaku. (iii) Pemetaan (fungsi) dikatakan pada jika untuk setiap unsur terdapat unsur yang memenuhi. (iv) Pemetaan (fungsi) dikatakan bijektif jika adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada. (Herstein 1996)

17 7 Jika dan berhingga maka akan bijektif jika dan hanya jika banyaknya anggota himpunan sama dengan banyaknya anggota himpunan dan setiap anggota himpunan dipetakan dengan tepat satu anggota himpunan yang berbeda, begitu pula sebaliknya. Pelabelan Definisi 16 (Pelabelan) Pelabelan pada graf merupakan fungsi yang memetakan setiap unsur himpunan verteks atau setiap unsur himpunan edge ke suatu bilangan asli yang disebut label. (Gallian 2010) Definisi 17 (Pelabelan Edge Magic) Misalkan graf dengan verteks dan edge. Suatu pemetaan bijektif disebut sebagai pelabelan edge magic pada jika ada konstanta sehingga untuk setiap. Konstanta tersebut disebut magic number f. (Enomoto et al. 1998) Berikut ini akan diberikan contoh pelabelan edge magic, perhatikan graf pada Gambar 10, dengan dan. Diperoleh banyaknya verteks adalah, banyaknya edge adalah dan Akan ditunjukkan bahwa graf memiliki pelabelan edge magic. Gambar 10 Graf Dikonstruksikan pemetaan dengan Karena ( ), ( ), dan ( ) ( ) untuk maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga merupakan pelabelan. Dan terlihat bahwa

18 8 sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan edge magic dengan magic number dan dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 11 Pelabelan edge magic pada graf dengan magic number Definisi 18 (Pelabelan Super Edge Magic) Misalkan adalah graf dengan verteks dan edge, dan memiliki pelabelan edge magic. Jika dan dengan adalah banyaknya edge maka disebut pelabelan super edge magic. (Enomoto et al. 1998) Berikut ini akan diberikan contoh pelabelan super edge magic. Gambar 12 Graf Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 12 dengan banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah. Didefinisikan dan dengan masing-masing verteks dan edge dipadankan dengan suatu nilai : Karena,,, ( ),, ( ),, ( ), ( ) ( ), ( ), dan ( ) ( ) untuk maka adalah pemetaan satu-satu.

19 Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang dan setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dan terlihat bahwa 9 sehingga memenuhi ( ) ( ), dan Jadi graf memiliki pelabelan super edge magic dengan magic number dapat digambarkan seperti pada Gambar 13. Gambar 13 Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Definisi 19 (Graf Edge Magic) Suatu graf disebut graf edge magic jika terdapat sebuah pelabelan edge magic. (Enomoto et al. 1998) Graf (lihat Gambar 11) merupakan contoh graf edge magic karena memiliki pelabelan edge magic. Definisi 20 (Graf Super Edge Magic) Suatu graf disebut graf super edge magic jika terdapat sebuah pelabelan super edge magic. (Enomoto et al. 1998) Graf (lihat Gambar 13) merupakan contoh graf super edge magic karena memiliki pelabelan super edge magic. HASIL DAN PEMBAHASAN Karya ilmiah ini membahas pelabelan edge magic pada graf buku dan pelabelan super edge magic pada graf Merge dan.

20 10 Pelabelan edge magic pada graf buku Teorema 1 Graf buku adalah graf edge magic untuk setiap bilangan bulat positif. (Figueroa-Centenoa et al. 2001) Bukti: Misalkan adalah graf buku dengan, dan dan adalah verteks yang berderajat dan adalah verteks yang berderajat Graf memiliki banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah Konstruksikan pemetaan fungsi pada graf yaitu dengan aturan sebagai berikut : Untuk dan untuk jika x u jika x v jika x u i i n jika x v i i n dengan aturan sebagai berikut jika y uv jika y uu i i n jika y u i v i i n jika y vv i i n Karena untuk dan, untuk dan, untuk, dan maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dari konstruksi dengan pelabelan tersebut maka akan didapatkan nilai sebagai berikut 1. Untuk verteks dan diperoleh 2. Untuk verteks dan dengan maka diperoleh 3. Untuk verteks dan dengan maka diperoleh

21 11 4. Untuk verteks dan dengan maka diperoleh sehingga memenuhi ( ) ( ), dan Jadi graf memiliki pelabelan edge magic dengan magic number. Berdasarkan Definisi 19, graf buku adalah graf edge magic. Berikut ini akan diberikan beberapa ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 1. Ilustrasi pertama graf dengan dinotasikan dengan bentuk seperti pada Gambar 14 memiliki pelabelan edge magic dengan banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah Gambar 14 Graf Konstruksikan pemetaan untuk jika x u jika x v jika x u i i jika x v i i maka diperoleh dan untuk diperoleh adalah jika x uv jika x uu i i jika x u i v i i jika x vv i i

22 12 Karena untuk dan, untuk dan, untuk, dan maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dan terlihat bahwa sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan edge magic dengan magic number dapat digambarkan seperti pada Gambar 15. Gambar 15 Pelabelan edge magic pada graf dengan magic number Ilustrasi kedua graf dengan dinotasikan dengan bentuk seperti pada Gambar 16 memiliki pelabelan edge magic dengan banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah

23 13 Gambar 16 Graf Konstruksikan pemetaan untuk maka diperoleh jika x u jika x v jika x u i i jika x v i i dan untuk diperoleh adalah jika x uv jika x uu i i jika x u i v i i jika x vv i i Karena untuk dan, untuk dan, untuk, dan maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dan terlihat bahwa

24 14 sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan edge magic dengan magic number dapat digambarkan seperti pada Gambar 17. Gambar 17 Pelabelan edge magic pada graf dengan magic number Ilustrasi ketiga graf dengan dinotasikan dengan bentuk seperti pada Gambar 18 memiliki pelabelan edge magic dengan banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah } Gambar 18 Graf Konstruksikan pemetaan maka diperoleh untuk jika x u jika x v jika x u i i 4 jika x v i i 4

25 15 dan untuk diperoleh adalah jika x uv jika x uu i i jika x u i v i i jika x vv i i Karena untuk dan, untuk dan, untuk, dan maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dan terlihat bahwa sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan edge magic dengan magic number dapat digambarkan seperti pada Gambar 19.

26 16 Gambar 19 Pelabelan edge magic pada graf Pelabelan super edge magic pada graf Merge dengan magic number dan Teorema 2.1 Jika adalah sebuah tree dengan verteks dan adalah sebuah star dengan verteks untuk maka adalah graf super edge magic. (Solairaju & Begam 2012) Bukti: Misalkan adalah label verteks dari tree dengan label sebagai center. dengan star verteks diberikan label dimulai dari verteks pendant pertama sampai verteks pendant terakhir dan letakkan label untuk center. Untuk membangun graf gabung verteks dari dengan verteks dari dan berikan label. Kemudian ubah nama label menjadi Dari sini diperoleh memiliki verteks sebanyak dan edge sebanyak, yaitu dan } Konstruksikan pemetaan dengan aturan sebagai berikut : Didefinisikan pemetan untuk ; < i n n n n n dan pemetaan dengan aturan sebagai berikut untuk n n n

27 17 ( ) n dan j n n dan j n Karena ( ),, ( ), ( ) ( ), dan ( ) untuk maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang dan setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dari konstruksi dengan pelabelan tersebut maka akan didapatkan nilai sebagai berikut 1. Untuk verteks dan dengan diperoleh 2. Untuk verteks dan dengan diperoleh 3. Untuk verteks dan dengan diperoleh 4. Untuk verteks dan dengan diperoleh 5. Untuk verteks dan dengan diperoleh sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan super edge magic dengan magic number. Berdasarkan Definisi 20, graf adalah graf super edge magic untuk. Berikut ini akan diberikan beberapa ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 2.1 Ilustrasi pertama graf untuk dinotasikan dengan bentuk seperti pada Gambar 20 memiliki pelabelan super edge magic dengan banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah.

28 18 Gambar 20 Graf Konstruksikan pemetaan pemetaan ; < i maka diperoleh dengan Selanjutnya dengan mengkonstruksikan pemetaan dengan ( ) diperoleh dan j dan j Karena ( ),, ( ), ( ) ( ), dan ( ) untuk maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang dan setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dan terlihat bahwa

29 19 sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan super edge magic dengan magic number dapat digambarkan seperti pada Gambar 21. Gambar 21 Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Ilustrasi kedua graf untuk dinotasikan dengan bentuk seperti pada Gambar 22 memiliki pelabelan super edge magic dengan banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah Konstruksikan pemetaan dengan maka diperoleh ; < i Gambar 22 Graf Selanjutnya dengan mengkonstruksikan pemetaan

30 20 ( ) diperoleh dengan dan j dan j Karena ( ),, ( ), ( ) ( ), dan ( ) untuk maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang dan setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dan terlihat bahwa sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan super edge magic dengan magic number dapat digambarkan seperti pada Gambar 23. Gambar 23 Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number

31 Ilustrasi ketiga graf untuk dinotasikan dengan bentuk seperti pada Gambar 24 memiliki pelabelan super edge magic dengan banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah 21 Gambar 24 Graf Konstruksikan pemetaan ; < i maka diperoleh dengan Selanjutnya dikonstruksikan pemetaan dengan ( ) diperoleh dan j dan j

32 22 Karena ( ),, ( ), ( ) ( ), dan ( ) untuk maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang dan setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dan terlihat bahwa sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan super edge magic dengan magic number dapat digambarkan seperti pada Gambar 25. Gambar 25 Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Ilustrasi keempat graf untuk dinotasikan dengan bentuk seperti pada Gambar 26 memiliki pelabelan super edge magic dengan banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah Gambar 26 Graf

33 23 Konstruksikan pemetaan ; < i maka diperoleh dengan Selanjutnya dikonstruksikan pemetaan dengan ( ) diperoleh dan j dan j Karena ( ),, ( ), ( ) ( ), dan ( ) untuk maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang dan setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dan terlihat bahwa

34 24 sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan super edge magic dengan magic number dapat digambarkan seperti pada Gambar 27. Gambar 27 Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Teorema 2.2 Jika adalah sebuah tree dengan verteks dan adalah sebuah star dengan verteks maka adalah graf super edge magic untuk. (Solairaju & Begam 2012) Bukti : Misalkan adalah label verteks dari tree dengan label adalah center dari. dengan star verteks diberikan label verteks pendant dan label center adalah. Untuk membangun graf gabung verteks dari graf dengan verteks dari dan ubah label menjadi. Kemudian ubah nama label menjadi. Dari sini diperoleh memiliki verteks sebanyak dan edge sebanyak, yaitu dan }. Konstruksikan pemetaan dengan aturan sebagai berikut : Didefinisikan pemetaan untuk ; < i n dan i n n n n n n dan pemetaan dengan aturan sebagai berikut untuk

35 25 ( ) n n ; < i n n n n dan j n n dan j n Karena ( ),, ( ), ( ) ( ), dan ( ) untuk maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang dan setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dari konstruksi dengan pelabelan tersebut maka akan didapatkan nilai sebagai berikut 1. Untuk verteks dan dengan diperoleh 2. Untuk verteks dan dengan diperoleh 3. Untuk verteks dan dengan < diperoleh 4. Untuk verteks dan dengan diperoleh 5. Untuk verteks dan dengan diperoleh 6. Untuk verteks dan dengan diperoleh 7. Untuk verteks dan dengan diperoleh

36 26 sehingga memenuhi ( ) ( ) dan. Jadi graf memiliki pelabelan super edge magic dengan magic number. Berdasarkan Definisi 20, graf adalah graf super edge magic. Berikut ini akan diberikan beberapa ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 2.2 Ilustrasi pertama graf untuk dinotasikan dengan bentuk seperti pada Gambar 28 memiliki pelabelan super edge magic dengan banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah Gambar 28 Graf Konstruksikan pemetaan maka diperoleh ; < i dan i dengan Selanjutnya dengan mengkonstruksikan pemetaan dengan ; < i ( ) dan j dan j

37 27 diperoleh Karena ( ),, ( ), ( ) ( ), dan ( ) untuk maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang dan setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dan terlihat bahwa sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan super edge magic dengan magic number dapat digambarkan seperti pada Gambar 29. Gambar 29 Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Ilustrasi kedua graf untuk dinotasikan dengan bentuk seperti pada Gambar 30 memiliki pelabelan super edge magic dengan banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah

38 28 Gambar 30 Graf Konstruksikan pemetaan maka diperoleh ; < i dan i dengan Selanjutnya dengan mengkonstruksikan pemetaan ( ) diperoleh ; < i dan j dan j Karena ( ),, ( ), ( ) ( ), dan ( ) untuk maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil

39 habis terpasang dan setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dan terlihat bahwa 29 sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan super edge magic dengan magic number dapat digambarkan seperti pada Gambar 31. Gambar 31 pelabelan super edge magic pada graf number dengan magic Ilustrasi ketiga graf untuk dinotasikan dengan bentuk seperti pada Gambar 32 memiliki pelabelan super edge magic dengan banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah Graf 32 Graf Konstruksikan pemetaan dengan

40 30 maka diperoleh ; < i dan i Selanjutnya dengan mengkonstruksikan pemetaan dengan ; < i ( ) diperoleh dan j dan j Karena ( ),, ( ), ( ) ( ), dan ( ) untuk maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang dan setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dan terlihat bahwa

41 31 sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan super edge magic dengan magic number dapat digambarkan seperti pada Gambar 33. Gambar 33 Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number Ilustrasi keempat graf untuk dinotasikan dengan bentuk seperti Gambar 34 memiliki pelabelan super edge magic dengan banyaknya verteks adalah dan banyaknya edge adalah Gambar 34 Graf Konstruksikan pemetaan ; < i dan i dengan

42 32 maka diperoleh Selanjutnya dengan mengkonstruksikan pemetaan ; < i dengan ( ) diperoleh dan j dan j Karena ( ),, ( ), ( ) ( ), dan ( ) untuk maka adalah pemetaan satu-satu. Karena setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang dan setiap anggota memiliki pasangan di daerah hasil dan daerah hasil habis terpasang maka adalah pemetaan pada. Berdasarkan Definisi 15, maka adalah pemetaan bijektif sehingga adalah pelabelan. Dan terlihat bahwa sehingga memenuhi ( ) ( ), dan. Jadi graf memiliki pelabelan super edge magic

43 33 dengan magic number Gambar 35. dapat digambarkan seperti pada Gambar 35 Pelabelan super edge magic pada graf dengan magic number SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Pada pembahasan telah dibuktikan bahwa graf buku memiliki pelabelan edge magic dengan magic number dan graf merge dan memiliki pelabelan super edge magic dengan magic number dan. Graf buku adalah graf edge magic dan graf merge dan adalah graf super edge magic. Saran Karya ilmiah ini membahas pelabelan edge magic dan super edge magic. Bagi yang berminat membuat karya ilmiah pelabelan dapat menggunakan pelabelan verteks ataupun pelabelan graceful yang masih jarang dibahas. Selain itu dapat juga membahas pelabelan anti-magic pada graf-graf yang lain. DAFTAR PUSTAKA Chartrand G, Oellermann OR Apllied and Algorithmic Graph Theory. New York: McGraw-Hill. Enomoto H, Llado AS, Nakamigawa T, Ringel G On super edge-magic Graphs, SUT J.math., 34, Foulds LR Graph Theory Applications. New York: Spinger-Verlag. Gallian JA A dynamic survey of graph labeling. The Electronic Journal Combinatorics 17: Herstein IN Abstract Algebra, 3rd Edition, Jhon & Wileyn Sons. New York. Munir R Matematika Diskrit Edisi ke 3. Informatika : Bandung.

44 34 Figueroa-Centenoa RM, Ichishimab R, Muntaner-Batle FA The place of super edge-magic labelings among other classes of labelings. Discrete Mathematics Solairaju A and Begam RR Edge-Magic Labeling of some Graphs. International Journal of Fuzzy Mathematics and Systems. ISSN Volume 2, Number 1, pp

45 35 RIWAYAT HIDUP Penulis bernama lengkap Hesty Nugraheni, lahir pada tanggal 8 Agustus 1994 di Bekasi, Jawa Barat. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara dan lahir dari pasangan Margo Mulyono dan Titiek Sugiarti. Pendidikan yang telah ditempuh oleh penulis yaitu SMP Negeri 2 Bekasi lulus tahun 2009, SMA Negeri 3 Bekasi lulus tahun 2012 dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur SNMPTN undangan dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menjadi mahasiswa IPB, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan yaitu menjadi bendahara Departemen PSDM Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) pada tahun 2013/ 2014 dan staf Departemen PSDM Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) pada tahun 2014/ Penulis juga aktif pada kepanitiaan kegiatan kemahasiswaan yaitu anggota divisi publikasi, dekorasi, dan dekomentasi Explo Science 2013, anggota divisi lead officer Pesta Sains Nasional 2013, bendahara lead officer Pesta Sains Nasional 2014, anggota divisi pertandingan Olimpiade Mahasiswa IPB 2014, ketua divisi konsumsi IPB Mathematics Challange Selain itu, penulis juga aktif dalam mengikuti lomba yang diadakan oleh Fakultas MIPA. Adapun penghargaan yang telah penulis raih yaitu Juara 1 Futsal Putri SPIRIT FMIPA tahun 2016.