Pelabelan Selimut-H Ajaib pada Graf Bipartit Lengkap untuk Pendisainan Skema Pembagi Rahasia

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Pelabelan Selimut-H Ajaib pada Graf Bipartit Lengkap untuk Pendisainan Skema Pembagi Rahasia"

Shinta Halim
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Pelabelan Selimut-H Ajaib pada Graf Bipartit Lengkap untuk Pendisainan Skema Pembagi Rahasia Oleh: Dra. Mania Roswitha, M.Si Drs. Bambang Harjito, M. App. Sc. Ringkasan Suatu graf G(V,E) adalah suatu sistem yang terdiri dari himpunan hingga V = {v 1, v,, v n } dan himpunan E yang anggotanya adalah pasangan tak-terurut {x,y}, dengan x dan y V. Anggota dari V disebut titik dan anggota dari E disebut sisi. Sisi {x,y} secara singkat dapat ditulis xy. Himpunan V dan E selanjutnya berturut-turut disebut sebagai himpunan titik dan himpuan sisi dari graf G. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf G didefinisikan sebagai pemetaan satu-satu: λ : V(G) E(G) {1,,,, V(G) + E(G) } sedemikian sehingga ada bilangan bulat positif k sehingga berlaku: λ(x) + λ(xy) + λ(y) = k.. (1) untuk setiap sisi xy di G. Selanjutnya bilangan k disebut konstanta ajaib dari graf G [9]. Bila graf G dapat dikenai pelabelan total sisi ajaib maka graf G dikatakan total sisi ajaib (TSA).. Penelitian tentang pelabelan total sisi ajaib telah banyak dibahas dan dapat dilihat pada Kotzig dan Rosa ([1], [ 1]), W.D. Wallis et al. [], Wijaya dan Baskoro [9], Wijaya [0], Berkman [] serta Ngurah dan Baskoro []. Pada perkembangannya, Gutiérrez dan Lladó [1], menemukan pelabelan selimut ajaib (magic cover labeling) dan mendefinisikannya sebagai berikut : Sebuah selimut sisi dari G adalah keluarga dari subgraf-subgraf yang berbeda H 1,, H k sedemikian sehingga sebarang sisi dari G berada dalam paling sedikit satu dari subgraf-subgraf H i, 1 i k. Dengan demikian dikatakan bahwa G memuat sebuah selimut (sisi)-( H 1,, H k ). Jika setiap H i isomorfik dengan suatu graf tertentu yang diberikan, maka dikatakan bahwa G memuat sebuah selimut-h. Dimisalkan bahwa G = (V,E) memuat sebuah selimut-h. Maka sebuah fungsi bijektif f : V E {1,,..., V + E } adalah sebuah pelabelan ajaib-h dari G jika terdapat sebuah ii

2 bilangan bulat positif m ( f ) yang disebut jumlah-ajaib sedemikian sehingga untuk setiap subgraf H ' = ( V ', E') dari G isomorfik terhadap H diperoleh bahwa def f ( H ') = f( v) + f( e) = m( f). v V' Dalam hal ini dikatakan bahwa graf G adalah e E' H ajaib. Jika f ( V) = {1,..., V }, atau label pada titik-titiknya adalah label-label terkecil, maka G dikatakan H ajaib super dan jumlah-ajaib super darinya disebut sebagai s( f ). Jika H isomorfis hanya terhadap satu sisi maka konsep yang tersebut serupa dengan magic-valuation yang termashur yang diperkenalkan mula-mula oleh Rosa pada tahun 19 dan kasus ajaib (super) (lihat [], [1]). Dalam kasus ini, sebuah selimut- H juga merupakan dekomposisi- H Gambar 1. Selimut K1, - ajaib super dengan s( f ) = pada bintang,. Dalam penelitian ini telah dilakukan enumerasi pelabelan selimut- K1,n terhadap Knn, untuk n=,,. Hasil pelabelan adalah sebagai berikut : 1. Graf bipartit lengkap K., Untuk Graf bipartit lengkap K, diperoleh buah pelabelan selimut- K 1,n ajaib sebagai berikut. iii

3 Jumlah Label Vertex (T) Jumlah Ajaib Label Vertex Label Edge a b C d e f g h (a) (b) (c) (d) Gambar. Pelabelan Selimut, - ajaib pada,. Terdapat himpunan kritis berukuran -1, yaitu = {_, _, _, _, _, _,, _}, = {_, _, _,, _, _, _, _}, = {_, _, _,, _, _, _, _} dan = {_, _, _, _, _, _, _, } seperti pada Gambar. (a) (b) (c) (d) Gambar. Himpunan Kritis pada pelabelan selimut, - ajaib pada, Untuk mempermudah penulisan, maka himpunan kritis berukuran-1 di atas dapat dituliskan sebagai : = {(,)}, = {(,)}, = {(,)} dan = {(,)}. Berikutnya terdapat himpunan kritis berukuran-, dengan yang pertama adalah sebagai berikut (daftar lengkap dapat dilihat pada Laporan Penelitian): iv

4 = {_,, _,_, _, _, 1, _}, = {_, _, _,_, _, 1,, _}, = {1, _,,_, _, _, _, _}, = {_, _, _,_, _,, 1, _} yang dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih mudah sebagai = {(,), (,1)}, = {(,1), (,)}, = {(1,1), (,)} dan = {(,), (,1)}. Untuk himpunan kritis berukuran- hanya diperoleh sebanyak, yaitu : = {1, _, _,, _,, _, _}, = {1, _, _,, _,, _, _}, = {, _, _,, _,, _, _}, = {, _, _,, _, 1, _, _}, = {_, _, _,, _, _,, } dan = {_, _, _,, _, _,, } yang ditulis kembali sebagai = {(1,1), (,), (,)}, = {{(1,1), (,), (,)}, = {{(1,), (,), (,)}, = {{(1,1), (,), (,)}, = {(,), (,), (,)} dan = {(,), (,), (,)}. Jika diambil contoh himpunan kritis sebagai contoh, maka = {(1,1), (,), (,)} atau = {1, 0, 0,, 0,, 0, 0} Maka ketiga participant dalam Skema Pembagi Rahasia agar bisa mengakses ke rekening tabungan tersebut adalah dengan membuat tiga kode sembarang yang bila dijumlakan mod- 9 yang menghasilkan di atas. = {,,,, 1, 1,, 0} = {, 0,,,,, 1, } = {,, 0,,, 1,, }. Graf bipartit lengkap K,. berikut. Untuk Graf bipartit lengkap K,diperoleh daftar pelabelan selimut- K 1, ajaib sebagai T s(f) Banyak pelabelan v

5 1 T s(f) Banyak pelabelan (Keterangan: Daftar pelabelan lengkap dapat dilihat dalam Laporan Peneltiana) Beberapa hasil pelabelan selimut-, ajaib pada graf bipartit lengkap,. Untuk T = 0, s(f) = Gambar. Pelabelan selimut- K 1, ajaib pada K,. Graf bipartit lengkap K., Untuk Graf bipartit lengkap K,. diperoleh daftar pelabelan selimut-, ajaib sebagai berikut. T s(f) Banyak pelabelan Masih dalam proses karena jumlahnya yang tidak sedikit Beberapa hasil pelabelan selimut-, ajaib pada graf bipartit lengkap,. Untuk T =, s(f) = 9 vi

6 Gambar. Pelabelan selimut-, ajaib pada graf bipartit lengkap,. T = ; s(f) = 9. vii

dokumen-dokumen yang mirip

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya