MAGIC STRENGTH PADA GRAF PATH, BISTAR, DAN CYCLE GANJIL DIMAS ENGGAR SATRIA
|
|
- Ari Kusnadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MAGIC STRENGTH PADA GRAF PATH, BISTAR, DAN CYCLE GANJIL DIMAS ENGGAR SATRIA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
2
3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Magic Strength pada Graf Path, Bistar, dan Cycle Ganjil adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Desember 2013 Dimas Enggar Satria NIM G
4 ii ABSTRAK DIMAS ENGGAR SATRIA. Magic Strength pada Graf Path, Bistar, dan Cycle Ganjil. Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS OED dan MUHAMMAD ILYAS. Karya ilmiah ini membuktikan teorema-teorema untuk memperoleh magic strength pada graf path, graf bistar, dan graf cycle ganjil. Magic strength pada suatu graf adalah nilai minimum dari semua bilangan konstan yang diperoleh dari semua magic labeling pada graf tersebut. Magic labeling pada suatu graf merupakan pelabelan total pada simpul dan sisi suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dimana jumlah label-label pada sebuah sisi yang incident dengan dua simpul adalah suatu bilangan konstan. Terdapat empat pembuktian teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Misalkan n merupakan suatu bilangan asli. Teorema pertama membuktikan bahwa nilai magic strength dari graf path berderajat 2n adalah 5n+1. Teorema kedua membuktikan bahwa nilai magic strength dari graf path berderajat 2n+1 adalah 5n+3. Teorema ketiga membuktikan bahwa nilai magic strength dari graf bistar berderajat n adalah 5n+6. Teorema keempat membuktikan bahwa nilai magic strength dari graf cycle berderajat 2n+1 adalah 5n+4. Kata kunci: graph labeling, magic labeling, magic strength ABSTRACT DIMAS ENGGAR SATRIA. Magic Strength in Path, Bistar, and Odd-Cycle Graphs. Supervised by TEDUH WULANDARI MAS OED and MUHAMMAD ILYAS. This manuscript proves theorems to obtain magic strength; a minimum of all constant number that has been attained from all magic labeling in that graph, in path, bistar, and odd-cycle graphs. Magic labeling in the graph is defined as a total of labeling two vertices and one edge which is incident with it. The label is natural number and the total of labeling is a constant number. There are four theorems discussed in this paper. Suppose n is a natural number. The first theorem proves that magic strength value of a path graph with degree 2n is 5n+1. The second theorem proves that magic strength value of a path graph with degree 2n+1 is 5n+3. The third theorem proves that magic strength value of a bistar graph with degree n is 5n+6. The fourth theorem proves that magic strength value of a cycle graph with degree 2n+1 is 5n+4. Keywords: graph labeling, magic labeling, magic strength
5 MAGIC STRENGTH PADA GRAF PATH, BISTAR, DAN CYCLE GANJIL DIMAS ENGGAR SATRIA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
6
7 vii Judul Skripsi : Magic Strength pada Graf Path, Bistar, dan Cycle Ganjil Nama : Dimas Enggar Satria NIM : G Disetujui oleh Teduh Wulandari Mas oed, MSi Pembimbing I Muhammad Ilyas, MSc Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:
8 viii PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala rahmat dan karunia-nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga penelitian ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini ialah Magic Labeling dengan judul Magic Strength pada Graf Path, Bistar, dan Cycle Ganjil. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Teduh Wulandari Mas oed, MSi dan Bpk Muhammad Ilyas, MSc selaku pembimbing. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, kakak serta Astriani, atas segala doa dan saran kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini. Terima kasih juga disampaikan untuk rekan kerja penelitian saya, yaitu Rahmalia Yuliarni dan Pipin Urip atas segala saran dan masukan terkait penelitian. Selain itu, tidak lupa rasa terima kasih sebesar-besarnya kepada teman-teman di Departemen Matematika IPB angkatan 45. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya dalam bidang matematika dan dapat menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Desember 2013 Dimas Enggar Satria
9 ix DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 1 LANDASAN TEORI 2 Teori Graf 2 Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 7 Graf Path Derajat 2n 7 Graf Path Derajat 2n Graf Bistar Derajat n 15 Graf Cycle Derajat 2n SIMPULAN DAN SARAN 24 Simpulan 24 Saran 24 DAFTAR PUSTAKA 25 RIWAYAT HIDUP 26
10 DAFTAR GAMBAR 1 Graf G = (V, E). 2 2 Graf J tak terhubungkan 3 3 Cycle dengan 3 simpul. 4 4 Graf Bistar dengan 2 simpul pusat dan 6 simpul cabang. 4 5 Graf G taktrivial dengan 3 simpul. 5 6 Graf cycle ber-order Graf path P Magic labeling pada graf path P Graf path P Magic labeling pada graf path P Graf path P Magic labeling pada graf path P Graf bistar B 5, Magic labeling pada graf bistar B 5, Graf cycle C Magic labeling pada graf cycle C 3. 22
11 PENDAHULUAN Latar Belakang Cabang ilmu dalam bidang matematika yang diperkenalkan pertama kali oleh seorang ahli matematika asal Swiss, Leonardo Euler pada tahun 1736, salah satunya adalah Teori Graf. Saat itu Euler memperkenalkan teori graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg yang merupakan salah satu masalah transportasi yang terjadi di kota Kaliningrad, Rusia. Sejak saat itu teori graf mulai mendapat banyak perhatian sehingga teori tersebut terus dikembangkan dan memiliki banyak terapan, diantaranya model jaringan komunikasi, ilmu komputer, penjadwalan, riset operasi, dan sebagainya. Hal itu disebabkan teori graf memiliki cakupan model yang luas. Salah satu permasalahan utama dalam teori graf adalah bagaimana menandai suatu simpul dan sisi, sedemikian sehingga setiap simpul dan sisi yang saling adjacent memiliki tanda yang berbeda. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menandai suatu simpul/sisi, salah satunya adalah metode pelabelan. Pelabelan pada suatu graf merupakan fungsi injektif yang memetakan setiap unsur himpunan simpul (vertex) dan setiap unsur himpunan sisi (edge) ke bilangan asli yang disebut label (Gallian 2009). Pelabelan pada graf terdiri dari pelabelan simpul, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Pelabelan simpul adalah pelabelan dengan domain himpunan simpul, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan himpunan simpul dan sisi. Ada banyak jenis pelabelan pada graf yang telah dikembangkan, diantaranya adalah pelabelan graceful, pelabelan harmoni, pelabelan total, magic labeling, dan pelabelan anti ajaib (antimagic). Magic labeling pada suatu graf merupakan pelabelan total pada simpul dan sisi suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dengan jumlah label-label pada sebuah sisi dan dua simpul ujungnya adalah suatu bilangan konstan. Pada magic labeling, jumlah label-label pada sebuah sisi dan dua simpul ujungnya menghasilkan suatu konstanta ajaib. Nilai terkecil dari konstanta ajaib yang didapat dari magic labeling tersebut adalah magic strength. Dalam karya ilmiah ini akan dibuktikan beberapa teorema untuk memperoleh magic strength pada graf path, graf bistar, dan graf cycle. Sumber utama dalam karya ilmiah ini adalah artikel berjudul Magic Strength of a Graph yang ditulis Selvan Avadayappan, Vasuki, dan Jeyanthi pada tahun Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah membuktikan teorema-teorema untuk memperoleh nilai konstanta ajaib terkecil (magic strength) pada graf path P n, graf bistar B n,n, dan graf cycle C 2n+1.
12 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Teori Graf Definisi 1 (Graf) Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan G = (V, E). Elemen V disebut simpul (vertex) sedangkan elemen E disebut sisi (edge). Himpunan dari simpul-simpul pada graf G dinotasikan dengan V(G), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf G dinotasikan dengan E(G). (Foulds 1992) Contoh graf G dapat dilihat pada Gambar 1. Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar 1 adalah V(G) = {a, b, c, d, e, f} E(G) = {{a, b}, {b, c}, {b, d}, {d, e}, {e, f}} G : c e f a b Gambar 1 Graf G = (V, E). d Definisi 2 (Order dan Size) Misalkan diberikan graf G. Banyaknya simpul pada graf G disebut order dan banyaknya sisi pada graf G disebut size. Order dari graf G dinotasikan dengan V(G) dan size dari graf G dinotasikan dengan E(G). (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, nilai dari V(G) = 6 dan E(G) = 5. Definisi 3 (Incident dan adjacent) Misalkan diberikan graf G. Jika e = {u, v} E(G) dengan u, v V(G) maka u dan v dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan u dan v. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, misalkan e = {a, b} E(G) maka a dan b dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan a dan b.
13 3 Definisi 4 (Degree) Derajat (degree) dari suatu simpul v pada graf G adalah banyaknya sisi yang incident dengan v dan dinotasikan dengan deg(v). (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah deg(a) = 1, deg(b) = 3, deg(c) = 1, deg(d) = 2, deg(e) = 2, dan deg(f ) = 1. Definisi 5 (Walk) Suatu walk pada graf G adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G dengan bentuk {v 1, {v 1, v 2 }, v 2, {v 2, v 3 }, v 3,, {v n-1, v n }, v n } dan dapat dituliskan sebagai {v 1, v 2,, v n } atau v 1, v 2,, v n. Suatu walk yang menghubungkan v 1 dengan v n dikatakan tertutup jika v 1 = v n. Jika v 1 v n maka walk tersebut dikatakan terbuka. (Foulds 1992) Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk {a, {a, b}, b, {b, d}, d, {d, e}, e, {e, f}, f}. Definisi 6 (Path) Path pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda. Graf ber-order n 1 yang berbentuk path disebut graf path ber-order n, dituliskan P n. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, {a, b, d, e, f} merupakan salah satu contoh path. Definisi 7 (Graf Terhubungkan) Graf G dikatakan terhubungkan jika setiap 2 simpul yang berbeda pada graf G dihubungkan oleh suatu path dan dikatakan tak terhubungkan jika ada 2 simpul yang berbeda, tidak ada path yang menghubungkan kedua simpul tersebut. (Foulds 1992) Contoh graf terhubungkan dapat dilihat pada Gambar 1, sedangkan contoh graf tak terhubungkan dapat dilihat pada Gambar 2. J : c e f b a d Gambar 2 Graf J tak terhubungkan
14 4 Definisi 8 (Cycle) Cycle pada graf G adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul berbeda. (Foulds 1992) Contoh cycle dapat dilihat pada Gambar 3. a Definisi 9 (Tree) Tree adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai cycle. (Foulds 1992) Gambar 1 merupakan contoh tree dengan 6 simpul. b Gambar 3 Cycle dengan 3 simpul. Definisi 10 (Graf Bistar) Graf G disebut graf bistar, dinotasikan B n,n, jika pada graf G terdapat 2 salinan tree K 1,n dimana setiap tree K 1,n terdiri dari 1 simpul pusat dan simpul cabang sebanyak n, simpul pusat dari masing-masing tree K 1,n dihubungkan oleh suatu sisi. (Avadayappan et. al. 2000) Contoh bistar dapat dilihat pada Pada Gambar 4 merupakan salah satu contoh bistar dimana terdiri dari 2 simpul pusat yaitu a dan e yang mana masing-masing dari simpul pusat memiliki 3 simpul cabang secara berurut yaitu b, c, d dan f, g, h. c B 3,3 : b f c a e g d h Gambar 4 Graf Bistar dengan 2 simpul pusat dan 6 simpul cabang. Definisi 11 (Graf Taktrivial) Suatu graf G disebut graf taktrivial jika suatu graf G memiliki order paling sedikit dua. (Chartrand & Oellermann 1993)
15 5 Berikut ini diberikan contoh graf taktrivial ber-order 3 G : a b Gambar 5 Graf G taktrivial dengan 3 simpul. Definisi 12 (Graf Cycle) Suatu graf ber-order n dengan n 3 yang membentuk sebuah cycle disebut graf cycle dan dinotasikan dengan C n. (Chartrand & Oellermann 1993) c Berikut ini diberikan contoh graf cycle ber-order 6. C 6 : f e a d b c Gambar 6 Graf cycle ber-order 6. Pelabelan Graf Karya ilmiah ini membahas suatu magic labeling untuk mencari nilai konstanta ajaib terkecil pada graf path, graf n-bistar, dan graf cycle. Berikut dijelaskan beberapa definisi tentang pelabelan graf. Definisi 13 (Pelabelan) Pelabelan pada graf merupakan fungsi injektif yang memetakan untuk setiap unsur himpunan simpul (vertex) dan untuk setiap unsur himpunan sisi (edge) ke bilangan asli yang disebut label. (Gallian 2009) Pada tahun 1970, Kotzig dan Rosa menuliskan definisi mengenai magic labeling, definisi tersebut digunakan juga oleh Avadayappan, Vasuki, dan Jeyanthi dalam penulisan jurnalnya pada tahun Definisi 14 (Magic Labeling) Misalkan G graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E. Magic labeling pada graf G adalah suatu fungsi bijektif f : V E {1, 2, 3,, v + ɛ}, sehingga untuk setiap sisi xy, nilai penjumlahan f(x) + f(y) + f(xy) = c(f), dimana c(f) merupakan konstanta ajaib dari fungsi bijektif f. (Avadayappan et. al. 2000)
16 6 Definisi 15 (Graf Magic) Graf magic adalah graf yang memiliki magic labeling. (Gallian 2009) Definisi 16 (Magic Strength) Misalkan G graf magic dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E. Magic strength pada graf G, m(g), didefinisikan sebagai nilai minimum dari semua c(f). Artinya, m(g) = min{c(f) : f adalah magic labeling dari G}. (Avadayappan et. al. 2000) Berikut ini diberikan contoh magic strength pada suatu graf. Misalkan diberikan graf path P 3 seperti pada Gambar 7. Banyaknya simpul ialah 3 dan banyaknya sisi 2, simpul dan sisi dari graf path P 3 masing-masing akan diberi label 1, 2, 3, 4, dan 5. P 3 : u 1 u 2 u 3 Gambar 7 Graf path P 3. Misalkan simpul-simpul dan sisi-sisi pada graf path P 3 diberi 3 pelabelan yang berbeda, yaitu untuk pelabelan pertama, misalnya f(u 1 ) = 1 f(u 1 u 2 ) = 4 f(u 2 ) = 5 f(u 2 u 3 ) = 3 f(u 3 ) = 2 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 10 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 10 sehingga didapat nilai c(f) = 10 dan dapat digambarkan seperti Gambar 8 (a). Pelabelan kedua, misalnya f(u 1 ) = 1 f(u 1 u 2 ) = 5 f(u 2 ) = 3 f(u 2 u 3 ) = 4 f(u 3 ) = 2 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 9 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 9 sehingga didapat nilai c(f) = 9 dan dapat digambarkan seperti Gambar 8 (b). Pelabelan ketiga, misalnya f(u 1 ) = 3 f(u 1 u 2 ) = 4 f(u 2 ) = 1 f(u 2 u 3 ) = 5 f(u 3 ) = 2 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 8 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 8 sehingga didapat nilai c(f) = 8 dan dapat digambarkan seperti Gambar 8 (c).
17 7 (a) (b) (c) Gambar 8 Magic labeling pada graf path P Dari ketiga pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) berturut-turut adalah 10, 9, dan 8. Jadi, untuk magic strength dari graf P 3, m(p 3 ) = min{10, 9, 8} = 8. Lema 1 Jika G adalah graf magic, maka untuk memperoleh magic strength akan diberikan kisaran nilai sebagai berikut v + ɛ + 3 m(g) 2v + 2ɛ dengan v adalah banyaknya simpul dan ɛ adalah banyaknya sisi. (Avadayappan et. al. 2000) PEMBAHASAN Karya ilmiah ini membahas teorema-teorema mengenai magic strength pada graf path, graf n-bistar, dan graf cycle. Permasalahan utama dalam karya ilmiah ini adalah bagaimana memperoleh nilai konstanta ajaib terkecil dari suatu magic labeling pada graf-graf tersebut. Magic labeling tidak hanya dilakukan satu kali melainkan dilakukan beberapa kali hingga diperoleh beberapa nilai konstanta ajaib. Semua nilai konstanta ajaib tersebut akan diambil nilai konstanta ajaib terkecil yang mana nilai konstanta ajaib terkecil yang didapat merupakan magic strength pada graf tersebut. Graf Path Derajat 2n Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Path pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda. Graf berorder m 1 yang berbentuk path disebut graf path ber-order m, dituliskan P m. Berikut akan diperlihatkan contoh magic labeling untuk mencari magic strength pada graf path P 2n sebelum membuktikan teorema 1. Misalkan diberikan graf path P 6 dengan bentuk seperti pada Gambar 9.
18 8 P 6 : u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 Gambar 9 Graf path P 6. Pada graf path P 6 diatas terdapat 6 simpul dan 5 sisi sehingga kisaran nilai untuk membantu memperoleh magic strength adalah m(g) (2)(6) + (2)(5) 14 m(g) 22 Misalkan simpul-simpul dan sisi-sisi pada graf path P 6 diberi 4 pelabelan yang berbeda, yaitu untuk pelabelan pertama, misalnya f(u 1 ) = 10 f(u 1 u 2 ) = 3 f(u 2 ) = 4 f(u 2 u 3 ) = 8 f(u 3 ) = 5 f(u 3 u 4 ) = 11 f(u 4 ) = 1 f(u 4 u 5 ) = 7 f(u 5 ) = 9 f(u 5 u 6 ) = 6 f(u 6 ) = 2 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 17 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 17 f(u 3 ) + f(u 4 ) + f(u 3 u 4 ) = = 17 f(u 4 ) + f(u 5 ) + f(u 4 u 5 ) = = 17 f(u 5 ) + f(u 6 ) + f(u 5 u 6 ) = = 17 sehingga didapat nilai c(f) = 17 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (a). Pelabelan kedua, misalnya f(u 1 ) = 6 f(u 1 u 2 ) = 4 f(u 2 ) = 8 f(u 2 u 3 ) = 9 f(u 3 ) = 1 f(u 3 u 4 ) = 7 f(u 4 ) = 10 f(u 4 u 5 ) = 3 f(u 5 ) = 5 f(u 5 u 6 ) = 11 f(u 6 ) = 2 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 18 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 18 f(u 3 ) + f(u 4 ) + f(u 3 u 4 ) = = 18 f(u 4 ) + f(u 5 ) + f(u 4 u 5 ) = = 18 f(u 5 ) + f(u 6 ) + f(u 5 u 6 ) = = 18 sehingga didapat nilai c(f) = 18 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (b). Pelabelan ketiga, misalnya f(u 1 ) = 11 f(u 1 u 2 ) = 1 f(u 2 ) = 4 f(u 2 u 3 ) = 10 f(u 3 ) = 2 f(u 3 u 4 ) = 9 f(u 4 ) = 5 f(u 4 u 5 ) = 8 f(u 5 ) = 3 f(u 5 u 6 ) = 6 f(u 6 ) = 7
19 9 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 16 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 16 f(u 3 ) + f(u 4 ) + f(u 3 u 4 ) = = 16 f(u 4 ) + f(u 5 ) + f(u 4 u 5 ) = = 16 f(u 5 ) + f(u 6 ) + f(u 5 u 6 ) = = 16 sehingga didapat nilai c(f) = 16 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (c). Pelabelan keempat, misalnya f(u 1 ) = 1 f(u 1 u 2 ) = 11 f(u 2 ) = 4 f(u 2 u 3 ) = 10 f(u 3 ) = 2 f(u 3 u 4 ) = 9 f(u 4 ) = 5 f(u 4 u 5 ) = 8 f(u 5 ) = 3 f(u 5 u 6 ) = 7 f(u 6 ) = 6 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 16 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 16 f(u 3 ) + f(u 4 ) + f(u 3 u 4 ) = = 16 f(u 4 ) + f(u 5 ) + f(u 4 u 5 ) = = 16 f(u 5 ) + f(u 6 ) + f(u 5 u 6 ) = = 16 sehingga didapat nilai c(f) = 16 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (d). (a) (b) (c) (d) Gambar 10 Magic labeling pada graf path P 6. Dari keempat pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) secara berturut-turut adalah 17, 18, 16, 16. Jadi, untuk magic strength dari graf P 6, m(p 6 ) = min {17, 18, 16, 16 } = 16. Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh magic labeling pada graf path P 2n. Berikut akan dibuktikan teorema 1 yang akan digunakan untuk menentukan magic strength pada graf path P 2n.
20 10 Teorema 1 Misalkan P 2n adalah suatu graf path dengan n ϵ N. Nilai magic strength dari P 2n adalah m(p 2n ) = 5n + 1 Bukti : Misalkan P 2n adalah graf path dengan banyaknya simpul 2n maka P 2n memiliki E(P 2n ) = V(P 2n ) - 1 dengan V(P 2n ) = 2n. Akan dibuktikan m(p 2n ) = 5n + 1. Pembuktian m(p 2n ) = 5n + 1 dilakukan dengan 2 tahap. (i) Akan dibuktikan m(p 2n ) 5n + 1. Misalkan P 2n memiliki pelabelan magic f dengan konstanta c(f) dan memiliki sisi sebanyak 2n 1 dengan setiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya. Sehingga jumlah konstanta yang diperoleh dari semua sisinya dapat dirumuskan sebagai berikut. c(f) = f(v 1 ) + f(v 2 ) + f(v 1 v 2 ) c(f) = f(v 2 ) + f(v 3 ) + f(v 2 v 3 ) c(f) = f(v 3 ) + f(v 4 ) + f(v 3 v 4 ) c(f) = f(v ɛ ) + f(v ɛ + 1 ) + f(v ɛ v ɛ + 1 ) + ɛc(f) = vεv deg(v) f(v) + eεe f(e) Karena ɛ(p 2n ) = 2n 1, maka 2n 1 2n 1 (2n 1) c(f) = i = 2 2f(v i ) + f(v 1 ) + f(v 2n ) + i = 1 f(e i ) 2n 1 2n 1 2n = i = 1 f(v i ) + i = 1 f(e i ) + i = 2 f(v i ) Karena ɛ + v = 4n 1, maka Sehingga, 2n 1 = ( n 1) + i = 2 f(v i ) 2n 1 = (4n 1) (2n) + i = 2 f(v i ) c(f) = (4n 1) (2n) (2n 1) + 2n 1 i = 2 f(v i ) (2n 1) 4n = 4n (2n 1) = (4n 1) (4n 1) ( n 1) (2n 1) ( n 1) (2n 1) = (4n 1) (n 1) = 5n ( n 2 + 2n 1) (2n 1) ( n 2) (2n 1)
21 11 Akibatnya c(f) 5n Sehingga c(f) 5n + 1 Karena m(p 2n ) merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan nilai c(f) maka m(p 2n ) pasti memenuhi ketaksamaan m(p 2n ) 5n + 1. (ii) Akan dibuktikan m(p 2n ) 5n + 1 dengan menunjukan eksistansi konstanta c(f) pada graf P 2n. Misalkan v 1, v 2, v 3,, v 2n adalah simpul terurut dari P 2n dan e 1, e 2, e 3,, e 2n-1 adalah sisi terurut dari P 2n. Artinya, e i = v i v i+1 untuk 1 i 2n 1. Pilih fungsi label : f (v 2i 1 ) = i untuk 1 i n, f (v 2i ) = n + i untuk 1 i n, f (e i ) = 4n i untuk 1 i 2n 1. Akibatnya diperoleh konstanta c(f) sebagai berikut. c(f) = f(x) + f(y) + f(xy) = f (v 2i 1 ) + f (v 2i ) + f (e 2i - 1 ) = i + n + i + 4n (2i 1) = i + n + i + 4n 2i + 1 = 5n + 1 Karena c(f) = 5n + 1 merupakan salah satu nilai konstanta ajaib yang didapat maka m(p 2n ) 5n + 1. Dari tahap (i) dan (ii) dapat dibuktikan m(p 2n ) 5n + 1 dan m(p 2n ) 5n + 1, maka dapat diperoleh bahwa m(p 2n ) = 5n + 1. Dengan demikian dapat dibuktikan bahwa setiap graf path P 2n memiliki nilai magic strength yaitu 5n + 1. Terbukti Graf Path Derajat 2n + 1 Berikut akan diperlihatkan contoh magic labeling untuk memperoleh magic strength pada graf path P 2n+1 sebelum membuktikan teorema 2. Misalkan diberikan graf path P 7 dengan bentuk seperti pada Gambar 11. P 7 : u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 Gambar 11 Graf path P 7. Pada graf path P 7 diatas terdapat 7 simpul dan 6 sisi sehingga kisaran nilai untuk membantu memperoleh magic strength adalah m(g) (2)(7) + (2)(6) 16 m(g) 30
22 12 Misalkan simpul-simpul dan sisi-sisi pada graf path P 7 diberi 4 pelabelan yang berbeda, yaitu untuk pelabelan pertama, misalnya f(u 1 ) = 4 f(u 1 u 2 ) = 13 f(u 2 ) = 1 f(u 2 u 3 ) = 12 f(u 3 ) = 5 f(u 3 u 4 ) = 11 f(u 4 ) = 2 f(u 4 u 5 ) = 10 f(u 5 ) = 6 f(u 5 u 6 ) = 9 f(u 6 ) = 3 f(u 6 u 7 ) = 8 f(u 7 ) = 7 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 18 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 18 f(u 3 ) + f(u 4 ) + f(u 3 u 4 ) = = 18 f(u 4 ) + f(u 5 ) + f(u 4 u 5 ) = = 18 f(u 5 ) + f(u 6 ) + f(u 5 u 6 ) = = 18 f(u 6 ) + f(u 7 ) + f(u 6 u 7 ) = = 18 sehingga didapat nilai c(f) = 18 dan dapat digambarkan seperti Gambar 12 (a). Pelabelan kedua, misalnya f(u 1 ) = 11 f(u 1 u 2 ) = 2 f(u 2 ) = 6 f(u 2 u 3 ) = 12 f(u 3 ) = 1 f(u 3 u 4 ) = 13 f(u 4 ) = 5 f(u 4 u 5 ) = 10 f(u 5 ) = 4 f(u 5 u 6 ) = 8 f(u 6 ) = 7 f(u 6 u 7 ) = 9 f(u 7 ) = 3 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 19 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 19 f(u 3 ) + f(u 4 ) + f(u 3 u 4 ) = = 19 f(u 4 ) + f(u 5 ) + f(u 4 u 5 ) = = 19 f(u 5 ) + f(u 6 ) + f(u 5 u 6 ) = = 19 f(u 6 ) + f(u 7 ) + f(u 6 u 7 ) = = 19 sehingga didapat nilai c(f) = 19 dan dapat digambarkan seperti Gambar 12 (b). Pelabelan ketiga, misalnya f(u 1 ) = 1 f(u 1 u 2 ) = 13 f(u 2 ) = 5 f(u 2 u 3 ) = 12 f(u 3 ) = 2 f(u 3 u 4 ) = 11 f(u 4 ) = 6 f(u 4 u 5 ) = 10 f(u 5 ) = 3 f(u 5 u 6 ) = 9 f(u 6 ) = 7 f(u 6 u 7 ) = 8 f(u 7 ) = 4 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 19 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 19 f(u 3 ) + f(u 4 ) + f(u 3 u 4 ) = = 19
23 13 f(u 4 ) + f(u 5 ) + f(u 4 u 5 ) = = 19 f(u 5 ) + f(u 6 ) + f(u 5 u 6 ) = = 19 f(u 6 ) + f(u 7 ) + f(u 6 u 7 ) = = 19 sehingga didapat nilai c(f) = 19 dan dapat digambarkan seperti Gambar 12 (c). Pelabelan keempat, misalnya f(u 1 ) = 6 f(u 1 u 2 ) = 4 f(u 2 ) = 10 f(u 2 u 3 ) = 1 f(u 3 ) = 9 f(u 3 u 4 ) = 8 f(u 4 ) = 3 f(u 4 u 5 ) = 12 f(u 5 ) = 5 f(u 5 u 6 ) = 13 f(u 6 ) = 2 f(u 6 u 7 ) = 7 f(u 7 ) = 11 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 20 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 20 f(u 3 ) + f(u 4 ) + f(u 3 u 4 ) = = 20 f(u 4 ) + f(u 5 ) + f(u 4 u 5 ) = = 20 f(u 5 ) + f(u 6 ) + f(u 5 u 6 ) = = 20 f(u 6 ) + f(u 7 ) + f(u 6 u 7 ) = = 20 sehingga didapat nilai c(f) = 16 dan dapat digambarkan seperti Gambar 12 (d). (a) (b) (c) (d) Gambar 12 Magic labeling pada graf path P 7. Dari 4 pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) secara berturut-turut adalah 18, 19, 20, 20. Jadi, untuk magic strength dari graf P 6, m(p 6 ) = min{18, 19, 19, 20 } = 18. Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh magic labeling pada graf path P 2n+1. Berikut akan dibuktikan teorema 2 yang akan digunakan untuk menentukan magic strength pada graf path P 2n+1. Teorema 2 Misalkan P 2n+1 adalah suatu graf path dengan n ϵ N. Nilai magic strength dari P 2n+1 adalah m(p 2n+1 ) = 5n + 3
24 14 Bukti : Misalkan P 2n+1 adalah graf path dengan banyaknya simpul 2n+1 maka P 2n+1 memiliki E(P 2n+1 ) = V(P 2n+1 ) - 1 dengan V(P 2n+1 ) = 2n+1. Akan dibuktikan m(p 2n+1 ) = 5n + 3. Pembuktian m(p 2n+1 ) = 5n + 3 dilakukan dengan 2 tahap. (i) Akan dibuktikan m(p 2n+1 ) 5n + 3. Misalkan P 2n+1 memiliki pelabelan magic g dengan konstanta c(g) dan memiliki sisi sebanyak 2n dengan setiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya. Sehingga jumlah konstanta yang diperoleh dari semua sisinya dapat dirumuskan sebagai berikut. c(g) = g(v 1 ) + g(v 2 ) + g(v 1 v 2 ) c(g) = g(v 2 ) + g(v 3 ) + g(v 2 v 3 ) c(g) = g(v 3 ) + g(v 4 ) + g(v 3 v 4 ) c(g) = g(v ɛ ) + g(v ɛ + 1 ) + g(v ɛ v ɛ + 1 ) + ɛc(g) = vεv deg(v) g(v) + eεe g(e) Karena ɛ(p 2n + 1 ) = 2n, maka 2n 2n (2n) c(g) = i = 2 2g(v i ) + g(v 1 ) + g(v 2n ) + i = 1 g(e i ) Sehingga, c(g) = 2n + 1 2n 2n = i = 1 g(v i ) + i = 1 g(e i ) + i = 2 g(v i ) Karena ɛ + v = 4n + 1, maka 2n = ( n + 1) + i = 2 g(v i ) 2n = (4n + 1) (2n + 1) + i = 2 g(v i ) (4n + 1) (2n + 1) (2n) 4n = 4n (2n) = (4n + 1) (4n + 1) n i = 2 g(v i ) (2n) + ( n) (2n) ( n) (2n) = (4n + 1) (n 1 2 ) = 5n ( n 1 + 2n) (2n) ( n 1) (2n) Akibatnya c(g) 5n Sehingga c(g) 5n + 3 Karena m(p 2n+1 ) merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan nilai c(g) maka m(p 2n+1 ) pasti memenuhi ketaksamaan m(p 2n+1 ) 5n + 3.
25 15 (ii) Akan dibuktikan m(p 2n+1 ) 5n + 3 dengan menunjukan eksistansi konstanta c(g) pada graf P 2n+1. Misalkan v 1, v 2, v 3,, v 2n+1 adalah simpul terurut dari P 2n+1 dan e 1, e 2, e 3,, e 2n adalah sisi terurut dari P 2n+1. Artinya, e i = v i v i+1 untuk 1 i 2n. Pilih fungsi label : g (v 2i 1 ) = i untuk 1 i n, g (v 2i ) = n + i untuk 1 i n + 1, g (e i ) = 4n + 2 i untuk 1 i 2n. Akibatnya diperoleh konstanta c(g) sebagai berikut. c(g) = g(x) + g(y) + g(xy) = g (v 2i ) + g (v 2i - 1 ) + g (e 2i - 1 ) = i + n + i + 4n + 2 (2i 1) = i + n + i + 4n + 2 2i + 1 = 5n + 3 Karena c(g) = 5n + 3 merupakan salah satu nilai konstanta ajaib yang didapat maka m(p 2n+1) 5n + 3. Dari tahap (i) dan (ii) dapat dibuktikan m(p 2n+1 ) 5n + 3 dan m(p 2n+1 ) 5n + 3, maka dapat diperoleh bahwa m(p 2n+1 ) = 5n + 3. Dengan demikian dapat dibuktikan bahwa setiap graf path P 2n+1 memiliki nilai magic strength yaitu 5n + 3. Terbukti Graf Bistar Derajat n Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Graf G disebut graf bistar, dinotasikan B n,n, jika pada graf G terdapat 2 salinan tree K 1,n dimana setiap tree K 1,n terdiri dari 1 simpul pusat dan simpul cabang sebanyak n, simpul pusat dari masing-masing tree K 1,n dihubungkan oleh suatu sisi. Berikut akan diperlihatkan contoh magic labeling untuk memperoleh magic strength pada graf bistar B n,n sebelum membuktikan teorema 3. Misalkan diberikan graf bistar B 5,5 dengan bentuk seperti pada Gambar 13. B 5,5 : u 1 v 1 u 2 v 2 uu 1 vv 1 uu 2 vv 2 u 3 uu 3 u uv v vv 3 v 3 u 4 uu 4 uu 5 vv 5 vv 4 v 4 u 5 v 5 Gambar 13 Graf bistar B 5,5.
26 16 Pada graf bistar B 5,5 diatas terdapat 12 simpul dan 11 sisi sehingga kisaran nilai untuk membantu memperoleh magic strength adalah m(g) (2)(12) + (2)(11) 26 m(g) 46 Misalkan simpul-simpul dan sisi-sisi pada graf bistar B 5,5 diberi 2 pelabelan yang berbeda, yaitu untuk pelabelan pertama, misalnya f(u) = 7 f(uv) = 9 f(v) = 6 f(uu 1 ) = 23 f(u 1 ) = 1 f(uu 2 ) = 22 f(u 2 ) = 2 f(uu 3 ) = 21 f(u 3 ) = 3 f(uu 4 ) = 20 f(u 4 ) = 4 f(uu 5 ) = 19 f(u 5 ) = 5 f(vv 1 ) = 12 f(v 1 ) = 13 f(vv 2 ) = 11 f(v 2 ) = 14 f(vv 3 ) = 10 f(v 3 ) = 15 f(vv 4 ) = 9 f(v 4 ) = 16 f(vv 5 ) = 8 f(v 5 ) = 17 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u) + f(v) + f(uv) = = 31 f(u) + f(u 1 ) + f(uu 1 ) = = 31 f(u) + f(u 2 ) + f(uu 2 ) = = 31 f(u) + f(u 3 ) + f(uu 3 ) = = 31 f(u) + f(u 4 ) + f(uu 4 ) = = 31 f(u) + f(u 5 ) + f(uu 5 ) = = 31 f(v) + f(v 1 ) + f(vv 1 ) = = 31 f(v) + f(v 2 ) + f(vv 2 ) = = 31 f(v) + f(v 3 ) + f(vv 3 ) = = 31 f(v) + f(v 4 ) + f(vv 4 ) = = 31 f(v) + f(v 5 ) + f(vv 5 ) = = 31 sehingga didapat nilai c(f) = 31 dan dapat digambarkan seperti Gambar 14 (a). Pelabelan kedua, misalnya f(u) = 1 f(uv) = 18 f(v) = 12 f(uu 1 ) = 19 f(u 1 ) = 11 f(uu 2 ) = 20 f(u 2 ) = 10 f(uu 3 ) = 21 f(u 3 ) = 9 f(uu 4 ) = 22 f(u 4 ) = 8 f(uu 5 ) = 23 f(u 5 ) = 7 f(vv 1 ) = 13 f(v 1 ) = 6 f(vv 2 ) = 14 f(v 2 ) = 5 f(vv 3 ) = 15 f(v 3 ) = 4 f(vv 4 ) = 16 f(v 4 ) = 3 f(vv 5 ) = 17 f(v 5 ) = 2
27 17 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u) + f(v) + f(uv) = = 31 f(u) + f(u 1 ) + f(uu 1 ) = = 31 f(u) + f(u 2 ) + f(uu 2 ) = = 31 f(u) + f(u 3 ) + f(uu 3 ) = = 31 f(u) + f(u 4 ) + f(uu 4 ) = = 31 f(u) + f(u 5 ) + f(uu 5 ) = = 31 f(v) + f(v 1 ) + f(vv 1 ) = = 31 f(v) + f(v 2 ) + f(vv 2 ) = = 31 f(v) + f(v 3 ) + f(vv 3 ) = = 31 f(v) + f(v 4 ) + f(vv 4 ) = = 31 f(v) + f(v 5 ) + f(vv 5 ) = = 31 sehingga didapat nilai c(f) = 31 dan dapat digambarkan seperti Gambar 14 (b). (a) (b) Gambar 14 Magic labeling pada graf bistar B 5,5. Dari kedua pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) secara berturut-turut adalah 31 dan 31. Jadi, untuk magic strength dari graf bistar B 5,5, m(b 5,5 ) = min{31, 31} = 31. Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh magic labeling pada graf bistar B n,n. Berikut akan dibuktikan teorema 3 yang akan digunakan untuk menentukan magic strength pada graf bistar B n,n.
28 18 Teorema 3 Misalkan B n,n adalah suatu graf bistar dengan n ϵ N. Nilai magic strength dari B n,n adalah m(b n,n ) = 5n + 6 Bukti : Misalkan B n,n adalah graf bistar dengan banyaknya simpul 2n+2 maka B n,n memiliki E(B n,n ) = V(B n,n ) - 1 dengan V(B n,n ) = V(K 1,n ) + V(K 1,n ) = (n+1) + (n+1) = 2n + 2. Akan dibuktikan m(b n,n ) = 5n + 6. Pembuktian m(b n,n ) = 5n + 6 dilakukan dengan 2 tahap. (i) Akan dibuktikan m(b n,n ) 5n + 6. Misalkan B n,n memiliki pelabelan magic f dengan konstanta c(f) dan memiliki sisi sebanyak 2n + 1 dengan setiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya. Sehingga jumlah konstanta yang diperoleh dari semua sisinya dapat dirumuskan sebagai berikut. c(f) = f(u) + f(u 1 ) + f(uu 1 ) c(f) = f(u) + f(u 2 ) + f(uu 2 ) c(f) = f(u) + f(u 3 ) + f(uu 3 ) c(f) = f(u) + f(u n ) + f(uu n ) c(f) = f(v) + f(v 1 ) + f(vv 1 ) c(f) = f(v) + f(v 2 ) + f(vv 2 ) c(f) = f(v) + f(v 3 ) + f(vv 3 ) c(f) = f(v) + f(v n ) + f(vv n ) c(f) = f(u) + f(v) + f(uv) + n c(f) + n c(f) + c(f) = (n f(u) + n f(v) + f(u)) n n + ( i = 1 f(u i ) + i = 1 f(v i ) + f(v)) n n + ( i = 1 f(uu i ) + i = 1 f(vv i ) + f(uv)) n (n + n + 1) c(f) = (n f(u) + f(u) + i = 1 f(u i ) + n f(v) + f(v) n n + i = 1 f(v i )) + ( i = 1 f(uu i ) n + i = 1 f(vv i ) + f(uv)) ɛ c(f) = vεv deg(v) f(v) + eεe f(e) Karena ɛ(b n,n ) = 2n + 1, maka n (2n + 1) c(f) = (1 + n) f(u) + i = 1 f(u i ) + (1 + n) f(v) n n + i = 1 f(v i ) + i = 1 f(uu i ) n + i = 1 f(vv i ) + f(uv) n n = i = 1 f(u i ) + i = 1 f(v i ) + (1 + n) f(u) + (1 + n) f(v) + f(e) eεe
29 19 n n = i = 1 f(u i ) + i = 1 f(v i ) + f(u) + n f(u) + f(v) + n f(v) + f(e) eεe n n = f(u) + i = 1 f(u i ) + f(v) + i = 1 f(v i ) + n f(u) + n f(v) + f(e) eεe = f(v) vεv + f(e) eεe + n f(u) + n f(v) Karena ɛ + v = 4n + 3, maka = ( n + 3) + n f(u) + n f(v) = (4n + 3) (4n + 4) 2 Sehingga, c(f) = + n f(u) + n f(v) (4n + 3) (4n + 4) 2 (2n + 1) + (n f(u) + n f(v)) (2n + 1) = (4n + 3) (4n + 4) (4n + 2) + n (f(u) + f(v)) (2n + 1) = 4n (4n + 2) + n (f(u) + f(v)) (2n + 1) = 4n (2n + 1) + n (f(u) + f(v)) (2n + 1) = 4n n (f(u) + f(v)) (2n + 1) Karena c(f) merupakan bilangan bilangan bulat, maka bulat sehingga 1 + n (f(u) + f(v)) (2n + 1) juga merupakan bilangan 1 + n (f(u) + f(v)) 0 mod (2n+1) menjadi, n (f(u) + f(v)) 2n mod (2n + 1) f(u) + f(v) (2n) (n -1 ) mod (2n + 1) Karena n x (2n - 1) 1 mod (2n + 1) maka n -1 (2n - 1) mod (2n + 1) sehingga mengakibatkan, f(u) + f(v) (2n) (2n - 1) mod (2n + 1) f(u) + f(v) (4n 2-2n) mod (2n + 1) f(u) + f(v) 2 mod (2n + 1)
30 20 maka f(u) + f(v) 2n + 3 Sehingga c(f) 4n n (2n + 3) + 1 (2n + 1) = 5n + 6 Karena m(b n,n ) merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan nilai c(f) maka m(b n,n ) pasti memenuhi ketaksamaan m(b n,n ) 5n + 6. (ii) Akan dibuktikan m(b n,n ) 5n + 6 dengan menunjukan eksistansi konstanta c(f) pada graf B n,n. Misalkan u, v, u 1, u 2,..., u n, v 1, v 2, , v n adalah simpul terurut dari B n,n dan uv, uu 1, uu 2,..., uu n, vv 1, vv 2,..., vv n adalah sisi terurut dari B n,n. Pilih fungsi label : f (u) = n + 2, f (v) = n + 1, f (uv) = 3n + 3, f (u i ) = i untuk 1 i n, f (v i ) = 2n i untuk 1 i n, f (uu i ) = 4n + 4 i untuk 1 i n, f (vv i ) = 2n + 3 i untuk 1 i n. Akibatnya diperoleh konstanta c(f) sebagai berikut. untuk u dan u i yang adjacent di K 1,n dan uu i incident dengan u dan u i, maka c 1 (f) = f(x) + f(y) + f(xy) = f (u) + f (u i ) + f (uu i ) = n i + 4n + 4 i = 5n + 6 untuk v dan v i yang adjacent di K 1,n dan vv i incident dengan v dan v i, maka c 2 (f) = f(x) + f(y) + f(xy) = f (v) + f (v i ) + f (vv i ) = n n i + 2n + 3 i = 5n + 6 untuk u dan v adjacent di B n,n dan uv incident dengan u dan v, maka c 3 (f) = f(x) + f(y) + f(xy) = f (u) + f (v) + f (uv) = n n n + 3 = 5n + 6 Karena setiap graf terhubung di B n,n memiliki nilai c(f) = 5n + 6 yang merupakan salah satu nilai konstanta ajaib yang didapat maka m(b n,n ) 5n + 6. Dari tahap (i) dan (ii) dapat dibuktikan m(b n,n ) 5n + 6 dan m(b n,n ) 5n + 6, maka dapat diperoleh bahwa m(b n,n ) = 5n + 6. Dengan demikian dapat dibuktikan bahwa setiap graf bistar B n,n memiliki nilai magic strength yaitu 5n + 6. Terbukti
31 21 Graf Cycle Derajat 2n + 1 Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Graf G disebut graf cycle, dinotasikan C m, jika graf G ber-order m dengan m 3 dan membentuk sebuah cycle. Berikut akan diperlihatkan contoh magic labeling untuk memperoleh magic strength pada graf cycle C 2n+1 sebelum membuktikan teorema 4. Misalkan diberikan graf cycle C 3 dengan bentuk seperti pada Gambar 15. C 3 : u 1 u 3 u 2 Gambar 15 Graf cycle C 3. Pada graf cycle C 3 diatas terdapat 3 simpul dan 3 sisi sehingga kisaran nilai untuk membantu memperoleh magic strength adalah m(g) (2)(3) + (2)(3) 9 m(g) 12 Misalkan simpul-simpul dan sisi-sisi pada graf cycle C 3 diberi 4 pelabelan yang berbeda, yaitu untuk pelabelan pertama, misalnya f(u 1 ) = 6 f(u 1 u 2 ) = 1 f(u 2 ) = 5 f(u 2 u 3 ) = 3 f(u 3 ) = 4 f(u 3 u 1 ) = 2 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 12 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 12 f(u 3 ) + f(u 1 ) + f(u 3 u 1 ) = = 12 sehingga didapat nilai c(f) = 12 dan dapat digambarkan seperti Gambar 16 (a). Pelabelan kedua, misalnya f(u 1 ) = 5 f(u 1 u 2 ) = 2 f(u 2 ) = 3 f(u 2 u 3 ) = 6 f(u 3 ) = 1 f(u 3 u 1 ) = 4 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 10 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 10 f(u 3 ) + f(u 1 ) + f(u 3 u 1 ) = = 10 sehingga didapat nilai c(f) = 10 dan dapat digambarkan seperti Gambar 16 (b). Pelabelan ketiga, misalnya f(u 1 ) = 3 f(u 1 u 2 ) = 4 f(u 2 ) = 2 f(u 2 u 3 ) = 6 f(u 3 ) = 1 f(u 3 u 1 ) = 5
32 22 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 9 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 9 f(u 3 ) + f(u 1 ) + f(u 3 u 1 ) = = 9 sehingga didapat nilai c(f) = 9 dan dapat digambarkan seperti Gambar 16 (c). Pelabelan keempat, misalnya f(u 1 ) = 4 f(u 1 u 2 ) = 5 f(u 2 ) = 2 f(u 2 u 3 ) = 3 f(u 3 ) = 6 f(u 3 u 1 ) = 1 maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : f(u 1 ) + f(u 2 ) + f(u 1 u 2 ) = = 11 f(u 2 ) + f(u 3 ) + f(u 2 u 3 ) = = 11 f(u 3 ) + f(u 1 ) + f(u 3 u 1 ) = = 11 sehingga didapat nilai c(f) = 11 dan dapat digambarkan seperti Gambar 16 (d). (a) 6 (b) (c) (d) Gambar 16 Magic labeling pada graf cycle C 3. Dari 4 pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) secara berturut-turut adalah 12, 10, 9, 11. Jadi, untuk magic strength dari graf cycle C 3, m(c 3 ) = min{12, 10, 9, 11} = 9.
33 23 Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh magic labeling pada graf cycle C 2n+1. Berikut akan dibuktikan teorema 4 yang akan digunakan untuk menentukan magic strength pada graf cycle C 2n+1. Teorema 4 Misalkan C 2n + 1 adalah suatu graf cycle dengan n ϵ N. Nilai magic strength dari C 2n + 1 adalah m(c 2n + 1 ) = 5n + 4 Bukti : Misalkan C 2n + 1 adalah graf cycle dengan banyaknya simpul 2n+1 maka C 2n+1 memiliki E(C 2n+1 ) = V(C 2n+1 ) dengan V(C 2n+1 ) = 2n+1. Akan dibuktikan m(c 2n+1 ) = 5n + 4. Pembuktian m(c 2n+1 ) = 5n + 4 dilakukan dengan 2 tahap. (i) Akan dibuktikan m(c 2n + 1 ) 5n + 4. Misalkan C 2n+1 memiliki pelabelan magic g dengan konstanta c(g) dan memiliki sisi sebanyak 2n + 1 dengan setiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya. Sehingga jumlah konstanta yang diperoleh dari semua sisinya dapat dirumuskan sebagai berikut. c(g) = g(v 1 ) + g(v 2 ) + g(v 1 v 2 ) c(g) = g(v 2 ) + g(v 3 ) + g(v 2 v 3 ) c(g) = g(v 3 ) + g(v 4 ) + g(v 3 v 4 ) c(g) = g(v ɛ - 1 ) + g(v ɛ ) + g(v ɛ - 1 v ɛ ) c(g) = g(v ɛ ) + g(v 1 ) + g(v ɛ v 1 ) + ɛc(g) = Karena ɛ(c 2n + 1 ) = 2n + 1, maka vεv g(v) + eεe g(e) (2n + 1) c(g) = vεv g(v) + eεe g(e) 2n + 1 2n + 1 = i = 1 g(v i ) + i = 1 g(e i ) + vεv g(v) Karena ɛ + v = 4n + 2, maka = ( n + 2) + g(v) vεv (4n + 2)(4n + 3) 2 + ( n + 1) = (2n + 1) (4n + 3) + (2n + 1) (n + 1) = ((4n + 3) + (n + 1)) (2n + 1) = (2n + 1) (5n + 4) Akibatnya (2n + 1) c(g) (2n + 1) (5n + 4) Sehingga c(g) 5n + 4 Karena m(c 2n+1 ) merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan nilai c(g) maka m(c 2n+1 ) pasti memenuhi ketaksamaan m(c 2n+1 ) 5n + 4.
34 24 (ii) Akan dibuktikan m(c 2n + 1 ) 5n + 4 dengan menunjukan eksistansi konstanta c(g) pada graf C 2n + 1. Misalkan v 1, v 2, v 3,, v 2n+1 adalah simpul terurut dari C 2n+1 dan e 1, e 2, e 3,, e 2n+1 adalah sisi terurut dari C 2n+1. Artinya, e i = v i v i+1 untuk 1 i 2n - 1. Kemudian pilih fungsi label dimana fungsi label berikut adalah magic labeling dari C 2n+1 : g (v 2i+1 ) = 1 + i untuk 0 i n, g (v 2i+2 ) = n + i + 2 untuk 0 i n - 1, g (v i+1 v i+2 ) = 4n + 2 (i + 1) untuk 0 i 2n 1, g (v 2n+1 v 1 ) = 4n + 2. Akibatnya diperoleh konstanta c(g) sebagai berikut. c(g) = g(x) + g(y) + g(xy) = g (v 2i + 1 ) + g (v 2i + 2 ) + g (v 2i + 1 v 2i + 2 ) = 1 + i + n + i n + 2 (2i + 1) = 5n + 4 Untuk v 2n + 1 v 1 c(g) = g(x) + g(y) + g(xy) = g (v 2n + 1 ) + g (v 1 ) + g (v 2n + 1 v 1 ) = 1 + n n + 2 = 5n + 4 Karena c(g) = 5n + 4 maka nilai minimum dari semua kemungkinan nilai c(g) akan kurang atau sama dengan 5n + 4. Dari tahap (i) dan (ii) dapat dibuktikan m(c 2n+1 ) 5n + 4 dan m(c 2n+1 ) 5n + 4, maka dapat diperoleh bahwa m(c 2n+1 ) = 5n + 4. Dengan demikian dapat dibuktikan bahwa setiap graf cycle C 2n+1 memiliki nilai magic strength yaitu 5n + 4. Terbukti SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Dalam karya ilmiah ini telah dibuktikan bahwa graf path P n, graf bistar B n,n, dan graf cycle C 2n+1 memiliki nilai konstanta ajaib terkecil (magic strength). Adapun nilai konstanta dari graf path P n, graf bistar B n,n, dan graf cycle C 2n+1 bergantung pada degree dari suatu simpul v pada graf-graf tersebut. Saran Dalam karya ilmiah ini telah dibahas magic strength pada suatu graf yang difokuskan pada graf path P n, graf n-bistar B n,n, dan graf cycle C 2n+1. Bagi yang berminat membuat karya ilmiah yang berhubungan dengan magic strength dapat mencari super magic strength pada graf path, graf star, graf cycle atau pada graf lainnya.
35 25 DAFTAR PUSTAKA Avadayappan S, Vasuki R, Jeyanthi P Magic Strength of A Graph. Indian J. Pure Appl. Math. 31(7): Chartrand G, Oellermann OR Applied and Algorithmic Graph Theory. New York: McGraw-Hill. Foulds LR Graph Theory Applications. New York: Spinger-Verlag. Gallian JA A dynamic survey of graph labeling. The Electronic Journal Combinatorics 16:7-65.
36 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 24 Agustus 1990 dari pasangan Bapak Sukino Riyanto dan Ibu Isnaningsih. Penulis merupakan putra ketiga dari tiga bersaudara. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 44 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Penelusuran Minat dan Kemampuan (PMDK) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah aktif sebagai Ketua Biro Found Rising Departemen Keuangan LDK Al-Hurriyah, Ketua Divisi Sosial dan Politik Dewan Perwakilan Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB dan Ketua Umum Dewan Perwakilan Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB. Selain itu, penulis aktif dalam berbagai kepanitiaan, diantaranya panitia Open House IPB, Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru (MPKMB), Masa Perkenalan Fakultas (MPF), dan Masa Perkenalan Departemen (MPD). Penulis juga aktif sebagai staf pengajar matematika di beberapa bimbingan belajar wilayah Bogor dan Bekasi pada tahun
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB PADA GRAF PETERSEN IKHWAN AL AMIN
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB PADA GRAF PETERSEN IKHWAN AL AMIN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 04 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
Lebih terperinciSUPER (a,d) EDGE ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA GRAF PETERSEN RAHMAT CHAIRULLOH
SUPER (a,d) EDGE ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA GRAF PETERSEN RAHMAT CHAIRULLOH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 014 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinciSUPER EDGE MAGIC STRENGTH PADA GRAF FIRE CRACKERS DAN GRAF BANANA TREES ANDINI QASHRINA DARMANAGARI
SUPER EDGE MAGIC STRENGTH PADA GRAF FIRE CRACKERS DAN GRAF BANANA TREES ANDINI QASHRINA DARMANAGARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016
Lebih terperinciPELABELAN SUPER VERTEX MAGIC RAHMALIA YULIARNI
0 PELABELAN SUPER VERTEX MAGIC RAHMALIA YULIARNI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 1 ABSTRAK RAHMALIA YULIARNI. Pelabelan Super Vertex
Lebih terperinciPELABELAN EDGE MAGIC PADA GRAF BUKU DAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF MERGE HESTY NUGRAHENI
PELABELAN EDGE MAGIC PADA GRAF BUKU DAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF MERGE HESTY NUGRAHENI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 PERNYATAAN
Lebih terperinciPELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL NURUL NUR INDAH SARI
PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL NURUL NUR INDAH SARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0 ABSTRAK NURUL NUR INDAH
Lebih terperinciEDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH
LAPORAN PENELITIAN MANDIRI EDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH Oleh Abdussakir, M.Pd UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI JURUSAN MATEMATIKA MEI 005 EDGE-MAGIC TOTAL
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR. Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2
PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang
Lebih terperinciPELABELAN SISI AJAIB DAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KIPAS, GRAF TANGGA, GRAF PRISMA, GRAF LINTASAN, GRAF SIKEL, DAN GRAF BUKU
PELABELAN SISI AJAIB DAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KIPAS, GRAF TANGGA, GRAF PRISMA, GRAF LINTASAN, GRAF SIKEL, DAN GRAF BUKU Anina Tikasari, Budi Rahadjeng, S.Si, M.Si., Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF DAN GRAF
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF DAN GRAF SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA Oleh: NURUL MUSTIKA SIREGAR 06134005 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH
PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH SKRIPSI Oleh : Novi Irawati J2A 005 038 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO
Lebih terperinciEdge-Magic Total Labeling pada Graph mp 2 (m bilangan asli ganjil) Oleh Abdussakir
Jurnal Saintika (ISSN 1693-640X) Edisis Khusus Dies Natalis UIN Malang, Juni 005. Halaman -7 Edge-Magic Total Labeling pada Graph mp (m bilangan asli ganjil) Oleh Abdussakir Abstrak Pelabelan total sisi
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB GRAF HASIL KALI KARTESIUS DARI GRAF SIKEL
PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB GRAF HASIL KALI KARTESIUS DARI GRAF SIKEL Maria Nita Kurniasari 1 Robertus Heri 2 12 Program Studi Matematika F.MIPA UNDIP Semarang Jl. Prof.Sudarto S.H Tembalang-Semarang Abstract.
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL (a, d)-titik ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF PETERSEN YANG DIPERUMUM P (n, 3) DENGAN n GANJIL, n 7
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. Hal. 78 84 ISSN : 0 90 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL (a, d)-titik ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF PETERSEN YANG DIPERUMUM P (n, ) DENGAN n GANJIL, n 7 IRANISA
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciDEFISIENSI SISI-AJAIB SUPER DARI GRAF KIPAS
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 3 Hal. 5 ISSN : 303 90 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND DEFISIENSI SISI-AJAIB SUPER DARI GRAF KIPAS LIONI MASHITAH Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciVERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA MULTICYCLE DAN MULTICOMPLETE BIPARTITE. Dominikus Arif Budi Prasetyo, Chairul Imron. ABSTRAK
VERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA MULTICYCLE DAN MULTICOMPLETE BIPARTITE Dominikus Arif Budi Prasetyo, Chairul Imron. ABSTRAK Labeling graph merupakan salah satu bidang dalam graph yang berkembang pesat
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TRINGULAR PADA BEBERAPA KELAS GRAF POHON
JIMT Vol. 13 No. 2 Desember 2016 (Hal 17-24) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 2450 766X PELABELAN TOTAL TRINGULAR PADA BEBERAPA KELAS GRAF POHON I. Yesi 1, I W. Sudarsana 2, dan S. Musdalifah
Lebih terperinciPELABELAN D-LUCKY PADA JARINGAN HYPERCUBE, JARINGAN KUPU-KUPU, DAN JARINGAN BENES
i PELABELAN D-LUCKY PADA JARINGAN HYPERCUBE, JARINGAN KUPU-KUPU, DAN JARINGAN BENES HALINI NORMA LIANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan salah satu kajian dari bidang matematika yang mempelajari tentang titik dan sisi. Teori graf pertama kali ditemukan oleh Euler pada tahun
Lebih terperinciSUPER EDGE-MAGIC LABELING PADA GRAPH ULAT DENGAN HIMPUNAN DERAJAT {1, 4} DAN n TITIK BERDERAJAT 4
SUPER EDGE-MAGIC LABELING PADA GRAPH ULAT DENGAN HIMPUNAN DERAJAT {1, 4} DAN n TITIK BERDERAJAT 4 Abdussakir Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim
Lebih terperinciKekuatan Tak Reguler Sisi Total Pada Graf Umbrella dan Graf Fraktal
SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2017 A-7 Kekuatan Tak Reguler Sisi Total Pada Graf Umbrella dan Graf Fraktal Sulistyo Dwi Sancoko 1, Meryta Febrilian Fatimah 2,Yeni Susanti 3 Departemen
Lebih terperinciGRAF DIVISOR CORDIAL
GRAF DIVISOR CORDIAL Deasy Bunga Agustina 1, YD. Sumanto 2, Bambang Irawanto 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang Decy.bunga@gmail.com ABSTRACT.A
Lebih terperinciGRAF AJAIB TOTAL. Kata Kunci: total magic labeling, vertex magic, edge magic
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 86 91 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GRAF AJAIB TOTAL RIZA YANI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciNILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN- γ PADA GRAF LINTANG
PROSIDING ISSN: 50-656 NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN- γ PADA GRAF LINTANG RiaWahyu Wijayanti 1), DwiMaryono, S.Si., M.Kom ) MahasiswaPascaSarjana UNS 1), Dosen FKIP UNS ) riaa.ww@gmail.com 1), dwimarus@yahoo.com
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciPelabelan Super Sisi Ajaib pada Subkelas Pohon
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) 1 Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Subkelas Pohon Rohmatul Izzah Darmaji Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciGraph. Matematika Informatika 4. Onggo
Matematika Informatika 4 Onggo Wiryawan @OnggoWr Definisi adalah struktur diskrit yang mengandung vertex dan edge yang menghubungkan vertex-vertex tersebut. vertex edge 2 Jenis-jenis Definisi 1: Suatu
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KORONASI BEBERAPA KELAS GRAF DENGAN GRAF LINTASAN
PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KORONASI BEBERAPA KELAS GRAF DENGAN GRAF LINTASAN oleh HARDINA SANDARIRIA M0112041 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciPelabelan Product Cordial Graf Gabungan pada Beberapa Graf Sikel dan Shadow Graph Sikel
Pelabelan Product Cordial Graf Gabungan pada Beberapa Graf Sikel dan Ana Mawati*), Robertus Heri Sulistyo Utomo S.Si, M.Si*), Siti Khabibah S.Si, M.Sc*) Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, UNDIP,
Lebih terperinciKhunti Qonaah, Mania Roswitha, dan Pangadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret
PELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN Khunti Qonaah, Mania Roswitha, dan Pangadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Bab 1 merupakan pendahuluan dari kajian yang akan dilakukan. Pada bab ini akan dibahas latar belakang penulis dalam pemilihan judul kajian. Selain latar belakang, dijelaskan pula tentang
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF
Jurnal LOG!K@, Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 23-31 ISSN 1978 8568 PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF Yanne Irene Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif
Lebih terperinciPelabelan Harmonis Ganjil pada Kelas Graf Baru Hasil Operasi Cartesian Product
Edisi: Oktober 07. Vol. 03 No. 0 ISSN: 57-359 E-ISSN: 57-367 Pelabelan Harmonis Ganjil pada Kelas Graf Baru Hasil Operasi Cartesian Product Fery Firmansah, Muhammad Ridlo Yuwono Pend. Matematika, Universitas
Lebih terperinciSUPER EDGE-MAGIC PADA GRAF YANG MEMUAT BEBERAPA CYCLE GANJIL
J. Math. and Its Appl. ISSN: 189-605X Vol. 6, No. 1, May 009, 5 33 SUPER EDGE-MAGIC PADA GRAF YANG MEMUAT BEBERAPA CYCLE GANJIL Suhud Wahyudi, Chairul Imron Jurusan Matematika, FMIPA ITS Surabaya suhud@matematika.its.ac.id,
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL SISI-GANJIL PADA GRAF WEB W(2,n) Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Semarang 50275
PELABELAN GRACEFUL SISI-GANJIL PADA GRAF WEB W(2,n) Putri Dentya Rizky 1, Lucia Ratnasari 2, Djuwandi 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Semarang 50275 Abstract.
Lebih terperinciBAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari
BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori graf, serta akan dijelaskan beberapa jenis pelabelan graf yang akan digunakan pada bab-bab
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF SIKLUS DENGAN BANYAK TITIK GENAP
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 3 Hal. 66 7 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF SIKLUS DENGAN BANYAK TITIK GENAP RIRIN INDARWATI Program Studi Matematika,
Lebih terperinciUnnes Journal of Mathematics
UJM 2 (2) (2013) Unnes Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF DOUBLE STAR DAN GRAF SUN Muhammad Akbar Muttaqien, Mulyono, Amin Suyitno
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN n GANJIL, n 3
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 34 40 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN
Lebih terperinciDEFISIENSI SISI-AJAIB SUPER DARI GRAF RANTAI
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 3 Hal. 6 0 ISSN : 303 90 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND DEFISIENSI SISI-AJAIB SUPER DARI GRAF RANTAI RARA RIZHKI GRACELIA Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Untuk menjelaskan pelabelan analytic mean pada graf bayangan dari graf bintang K 1,n dan graf bayangan dari graf bistar B n,n perlu adanya beberapa teori dasar yang akan menunjang
Lebih terperinciJalan Soekarno-Hatta Km. 09 Tondo, Palu 94118, Indonesia.
JIMT Vol. No. Juni 0 (Hal. - 9) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 0 X PELABELAN SUPER MEAN PADA GRAF D n (C ) DAN D n (C ) v P t S. Wahyuningsi, I W. Sudarsana, dan S. Musdalifah,, Program Studi
Lebih terperinciPELABELAN E-CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF CERMIN
PELABELAN E-CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF CERMIN Ermi Suwarni, 2 Lucia Ratnasari, S.Si, M.Si, 3 Drs. Bayu Surarso, M.Sc.PhD,2,3 Jurusan Matematika FSM UNDIP Jl. Pro. Soedarto, S.H, Tembalang Semarang 54275
Lebih terperinciPelabelan Total Sisi-Ajaib (Super)
14 Bab III Pelabelan Total Sisi-Ajaib (Super) Pada bab ini diberikan sejarah singkat pelabelan graf serta konsep dasar dan hasilhasil yang sudah diketahui berkaitan dengan pelabelan total sisi-ajaib (super).
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan
Lebih terperinciPelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic pada Digraf Matahari
Pelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic pada Digraf Matahari Yuni Listiana, Darmaji Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Jl. Arief Rahman
Lebih terperinciAbstract
Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut pada Graf Centipede Agrita Kanty Purnapraja, Fia Cholidah, Dafik 1,3 1 CGANT- Universitas Jember Program Studi Matematika FMIPA Universitas Jember 3 Program Studi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciMIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS
PELABELAN DAN PEMBENTUKAN GRAF MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Meliana Deta Anggraeni 4111409019
Lebih terperinciTERKECIL. Kata Kunci :Graf korona, graf lintasan, pelabelan total tidak teratur sisi, nilai total ketidakteraturan sisi.
PENENTUAN NILAI TES GRAF KORONA P m P n DENGAN SYARAT SISI-SISI Pm MEMILIKI BOBOT TERKECIL Novitasari Anwar *), Loeky Haryanto, Nurdin Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL (a, d)-sisi-anti AJAIB PADA GRAF BINTANG
PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi-anti AJAIB PADA GRAF BINTANG SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA Oleh DWI NOVA RIZA 05134046 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS PADANG
Lebih terperinciAbstract
Pelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Semi Parasut SP 2n 1 Karinda Rizqy Aprilia 1,2, Ika Hesti A 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT - Universitas Jember 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember
Lebih terperinciPelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Gabungan Saling Lepas Graf Bintang dengan Teknik Pewarnaan Titik
Pelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Gabungan Saling Lepas Graf Bintang dengan Teknik Pewarnaan Titik Devi Eka W M, Dafik 1,3 1 CGANT-University of Jember Department of Mathematics FMIPA University
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH K DENGAN N GENAP
PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH K DENGAN N GENAP Novi Irawati, Robertus Heri Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Semarang ABSTRACT Let G be a graph with vertex set and edge
Lebih terperinciPELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF KINCIR ANGIN DOUBLE QUADRILATERAL
PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF KINCIR ANGIN DOUBLE QUADRILATERAL Fery Firmansah, M. Wahid Syaifuddin Abstrak : Graf G V G, E G dengan V G adalah himpunan simpul dan G G ( p, q jika memiliki p V G
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Makalah pertama mengenai teori graf ditulis oleh ahli matematika dari
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Makalah pertama mengenai teori graf ditulis oleh ahli matematika dari Swiss, Leonhard Euler, pada tahun 1736. Euler mencoba memecahkan persoalan jembatan Konigsberg.
Lebih terperinciNovri Anggraeni, Dafik CGANT-Universitas Jember Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember novrianggraeni93,
Super (a, d)-h-antimagic Total Covering of Amalgamation Graph K 4 and W 4 Novri Anggraeni, Dafik CGANT-Universitas Jember Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember novrianggraeni93, d.dafik@gmail.com
Lebih terperinciHimpunan Kritis Pada Graph Cycle
J. Math. and Its Appl. ISSN: -0X Vol., No., Nov 00, Himpunan Kritis Pada Graph Cycle Chairul Imron Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya imron-its@matematika.its.ac.id Abstract Berawal dari bujursangkar
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF BINTANG
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 85 89 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF BINTANG DINA IRAWATI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF RODA W n
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 1 Hal. 37 1 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF RODA W n HERU PERMANA Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciKONSTRUKSI PELABELAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF ULAT
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 3 (2014), hal 227 234. KONSTRUKSI PELABELAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF ULAT Okki Darmawan, Nilamsari Kusumastuti, Yundari INTISARI Graf
Lebih terperinciPELABELAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF LINTASAN GABUNG GRAF BIPARTIT LENGKAP SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA. Oleh : MARISA LEZTARI
PELABELAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF LINTASAN GABUNG GRAF BIPARTIT LENGKAP SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA Oleh : MARISA LEZTARI 06 934 018 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN
PELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN oleh KHUNTI QONAAH M0111048 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagai
Lebih terperinciPelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Daun. Pendahuluan
Pelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Daun Sih Muhni Y. 1,2, Ika Hesti A. 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT - Universitas Jember 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember nichachapri@gmail.com
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL PADA GRAF HALIN G(2, n), UNTUK n 3
PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF HALIN G(, n), UNTUK n 3 SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH : YUNIZAR BP. 914336 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS 13 DAFTAR
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL -SISI ANTI AJAIB SUPER UNTUK GRAF ULAT SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: RIRI EMARINE SUSUR BP
PELABELAN TOTAL -SISI ANTI AJAIB SUPER UNTUK GRAF ULAT SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: RIRI EMARINE SUSUR BP. 06 934 035 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS
Lebih terperinciSuper (a,d)-h- antimagic total covering of connected amalgamation of fan graph
Super (a,d)-h- antimagic total covering of connected amalgamation of fan graph S. Latifah 1,, I. H. Agustin 1,, Dafik 1,3 1 CGANT - University of Jember Mathematics Department - University of Jember 3
Lebih terperinciPEMBERIAN NOMOR VERTEX PADA TOPOLOGI JARINGAN GRAF WHEEL, GRAF HELM DAN GRAF LOLLIPOP
PEMBERIAN NOMOR VERTEX PADA TOPOLOGI JARINGAN GRAF WHEEL, GRAF HELM DAN GRAF LOLLIPOP Oleh : MUHAMAD SIDIQ NIM. M0108095 SKRIPSI Ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memeperoleh gelar
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinciPelabelan -Anti Ajaib dan -Anti Ajaib untuk Graf Tangga. -Antimagic and -Antimagic Labeling for Ladder Graph
Pelabelan -Anti Ajaib -Anti Ajaib untuk Graf Tangga -Antimagic and -Antimagic Labeling for Ladder Graph Quinoza Guvil 1), Roni Tri Putra 2) 1) Jurusan Teknik Geodesi, Institut Teknologi Pag, Telp 0751-7055202
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
MATHunesa (Volume 3 No 3) 014 PEWARNAAN HARMONIS GRAF GARIS, GRAF MIDDLE DAN GRAF CENTRAL DARI KELUARGA GRAF BINTANG GANDA Siti Ma rifatus Sholikha Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciDAFTAR ISI. LEMBAR JUDUL... i. LEMBAR PERSEMBAHAN... ii. LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR... iv. ABSTRAK...v. ABSTRACT... vi. KATA PENGANTAR...
DAFTAR ISI LEMBAR JUDUL... i LEMBAR PERSEMBAHAN... ii LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR... iv ABSTRAK...v ABSTRACT... vi KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... viii DAFTAR GAMBAR...x DAFTAR LAMBANG DAN ISTILAH...
Lebih terperinciPELABELAN SUPER MEAN PADA GENERALISASI GRAF TUNAS KELAPA
JIMT Vol. 3 No. Juni 06 (Hal. 70 80) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 450 766X PELABELAN SUPER MEAN PADA GENERALISASI GRAF TUNAS KELAPA D.A. Merdekawati, I.W. Sudarsana, dan S. Musdalifah 3,,3
Lebih terperinci(x)+ (fx; yg)+ (y) =k; untuk suatu konstanta tetap k. Selanjutnya konstanta tetap k disebut angka ajaib (konstanta ajaib) untuk graf G. Suatu graf G d
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Pada Hasilkali Dua Graf Kristiana Wijaya 1,EdyTri Baskoro Jurusan Matematika FMIPA, Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesa 10 Bandung, Indonesia, E-mails 1 krist 0@yahoo.com,
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciSuper (a,d)-h-antimagic Total Covering of Connected Semi Jahangir Graph
Super (a,d)-h-antimagic Total Covering of Connected Semi Jahangir Graph Diana Hardiyantik 1,, Ika Hesti A. 1,, Dafik 1,3 1 CGANT - University of Jember Mathematics Departement - University of Jember 3
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI PADA GRAF ANTIPRISMA, GRAF MONGOLIAN TENT, DAN GRAF STACKED BOOK
DIMENSI PARTISI PADA GRAF ANTIPRISMA, GRAF MONGOLIAN TENT, DAN GRAF STACKED BOOK oleh TIA APRILIANI M0112086 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains
Lebih terperinciGraf Ajaib (Super) dengan Sisi Pendan
54 Bab IV Graf Ajaib (Super) dengan Sisi Pen Pada bab ini disajikan metode untuk membentuk graf ajaib (super) baru dari graf ajaib (super) yang sudah diketahui. Berdasarkan metode tersebut diperoleh graf
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI DARI GRAF LOLLIPOP, GRAF GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF C n 2 K m
DIMENSI PARTISI DARI GRAF LOLLIPOP, GRAF GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF C n 2 K m oleh MAYLINDA PURNA KARTIKA DEWI M0112054 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciPELABELAN SUPER GRACEFUL PADA GRAPH. Griselda Afrian Y, Purwanto, dan Lucky Tri Oktoviana Universitas Negeri Malang
PELABELAN SUPER GRACEFUL PADA GRAPH Griselda Afrian Y, Purwanto, dan Lucky Tri Oktoviana Universitas Negeri Malang ABSTRAK: Pelabelan pada suatu graph adalah pemetaan yang memetakan unsur-unsur graph yaitu
Lebih terperincimerupakan himpunan sisi-sisi tidak berarah pada. (Yaoyuenyong et al. 2002)
dari elemen graf yang disebut verteks (node, point), sedangkan, atau biasa disebut (), adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan dua elemen subset dari yang disebut sisi (edge, line). Setiap
Lebih terperinciUNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN GRACEFUL DAN PELABELAN PADA GRAF POT BUNGA DAN GRAF POHON PALEM
UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN GRACEFUL DAN PELABELAN PADA GRAF POT BUNGA DAN GRAF POHON PALEM Tesis diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains MUZAYYIN AHMAD NPM 1006786202
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KELAS GRAF ILALANG DAN HASIL KORONASI DUA GRAF
PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KELAS GRAF ILALANG DAN HASIL KORONASI DUA GRAF oleh RISALA ULFATIMAH M0112074 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciUJM 4 (1) (2015) UNNES Journal of Mathematics.
UJM 4 (1 (2015 UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm PELABELAN L(3,2,1 DAN PEMBENTUKAN GRAF MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS Meliana Deta Anggraeni, Mulyono, Amin Suyitno
Lebih terperinciaisy 3 Program Studi Matematika FKIP Universitas Jember, Abstract
SUPER (a,d)-h ANTIMAGIC TOTAL COVERING PADA GRAF TRIANGULAR LADDER Nur Asia J. 1,2, Ika Hesti A. 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT - Universitas Jember 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember, aisy jameel@yahoo.co.id
Lebih terperinciMEMBENTUK PELABELAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KEMBANG API
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 1 (2015), hal 1 8. MEMBENTUK PELABELAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KEMBANG API Martina Ikopitria, Nilamsari Kusumastuti, Bayu Prihandono
Lebih terperinciPELABELAN PRODUCT CORDIAL PADA TENSOR PRODUCT PATH DAN SIKEL
PELABELAN PRODUCT CORDIAL PADA TENSOR PRODUCT PATH DAN SIKEL Setia Endrayana 1, Bayu Surarso 2, Siti Khabibah 3 1,2,3 Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto, SH Tembalang
Lebih terperinciMENENTUKAN NILAI KETIDAKTERATURAN GRAF KEMBANG API YANG DIPERUMUM. Edy Saputra, Nurdin, dan Hasmawati
MENENTUKAN NILAI KETIDAKTERATURAN GRAF KEMBANG API YANG DIPERUMUM Edy Saputra, Nurdin, dan Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin (UNHAS), Jln
Lebih terperinciPELABELAN PRIME CORDIAL PADA GRAF PRISMA DAN GRAF TERHUBUNG ANTAR PUSAT PADA GRAF RODA
JIMT Vol. No. Juni 3 (Hal. 43 54) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 45 766X PELABELAN PRIME CORDIAL PADA GRAF PRISMA DAN GRAF TERHUBUNG ANTAR PUSAT PADA GRAF RODA Ismiyanti, I W. Sudarsana, S.
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
MATHunesa (Volume 3 No 3) 4 PELABELAN CORDIAL DAN E-CORDIAL PADA GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG, DAN GRAF RODA Titik Widyawati Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciFakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto,SH. Tembalang Semarang 50275, Indonesia
PELABELAN Q a P b SUPER GRACEFUL SISI PADA GRAF KUBUS HIPER Q k UNTUK k 3 Destian Dwi Asyani 1, Bayu Surarso, Robertus Heri Soelistyo Utomo 3 1,,3 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika, Universitas
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA SUBDIVISI GRAF BINTANG
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. Hal. 38 44 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA SUBDIVISI GRAF BINTANG RUSMANSYAH, SYAFRUDDIN Program Studi
Lebih terperinciPelabelan Super Graceful pada Graf Caterpillar
Pelabelan Super Graceful pada Graf Caterpillar Nisa Nur Arafah 1, a), Rismawati Ramdani 2, b) 3, c), dan Arief Fatchul Huda 1, 2, 3 Juruan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Gunung Djati
Lebih terperinciDalam perkembangan dunia matematika saat ini, teori graf telah menjadi salah satu
BAB I PENDAHULUAN I.1 Latar Belakang Dalam perkembangan dunia matematika saat ini, teori graf telah menjadi salah satu bidang ilmu dalam matematika yang paling banyak diminati, dan paling banyak mengalami
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA GRAF LOLLIPOP, GRAF MONGOLIAN TENT, DAN GRAF GENERALIZED JAHANGIR
DIMENSI METRIK PADA GRAF LOLLIPOP, GRAF MONGOLIAN TENT, DAN GRAF GENERALIZED JAHANGIR oleh ARDINA RIZQY RACHMASARI M0112013 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciNILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF GUNUNG BERAPI. Rukmana Sholehah 7, Slamin 8, Dafik 9
NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF GUNUNG BERAPI Rukmana Sholehah 7, Slamin 8, Dafik 9 Abstract. For a simple undirected connected graph G(V,E) with vertex set V and edge set E a labeling : V E
Lebih terperinciPENENTUAN BANYAKNYA GRAF TERHUBUNG BERLABEL BERORDE LIMA TANPA GARIS PARALEL. (Skripsi) Oleh Eni Zuliana
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TERHUBUNG BERLABEL BERORDE LIMA TANPA GARIS PARALEL (Skripsi) Oleh Eni Zuliana FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PEGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016 ABSTRAK PENENTUAN
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL, SKOLEM GRACEFUL DAN PELABELAN PADA GRAF ( )
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 PELABELAN GRACEFUL, SKOLEM GRACEFUL DAN PELABELAN PADA GRAF ( ) Amri Zulfi
Lebih terperinci