BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Pada abad ke-19, Teori Representasi secara umum dipelajari sebagai bagian dari Teori Grup. Himpunan semua endomorfisma invertibel dari ruang vektor V atas lapangan F bersifat tertutup terhadap komposisi fungsi sehingga (GL(V ), ) merupakan grup. Setiap transformasi linear pasti mempunyai matriks representasi relatif terhadap basis dari V sehingga himpunan semua matriks invertibel terhadap operasi perkalian matriks, yaitu (GL n (F ), ) juga merupakan grup. Berdasarkan hal tersebut, diperoleh grup GL n (F ) isomorfis dengan grup GL(V ). Adanya pemikiran tentang grup abstrak pada akhir abad ke-19 memungkinkan untuk membedakan sifat dari grup abstrak dan sifat khusus subgrup GL(V ). Oleh karena itu, Teori Grup dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama yang dipelajari dari Teori Grup adalah tentang struktur dari grup abstrak yaitu klasifikasi dari grup sederhana. Bagian kedua yang dipelajari adalah berkaitan dengan cara mendeskripsikan grup tersebut yaitu dengan melakukan embedding pada grup G ke dalam grup linear GL(V ). Hal inilah yang menjadi permasalahan utama dalam Teori Representasi Grup. Representasi grup hingga G merupakan suatu homomorfisma yang memetakan setiap anggota di G ke dalam GL(V ). Representasi ϕ dikatakan iredusibel jika V tidak memuat subruang G-invarian yang sejati. Representasi tak nol ϕ dikatakan dapat didekomposisikan jika ruang vektornya merupakan jumlahan langsung dari subruang G-invarian tak nol. Lebih lanjut, berdasarkan Teorema Maschke, setiap representasi grup hingga G merupakan jumlahan langsung sebanyak berhingga representasi iredusibel. Oleh karena itu, representasi iredusibel menjadi dasar utama yang menarik untuk mengetahui tunggal atau tidaknya dekomposisi representasi tersebut. 1

2 2 Untuk memahami struktur yang lebih kecil dari grup G, metode yang sering digunakan adalah menganalisis restriksi representasi ϕ pada subgrup H G. Sebaliknya jika dipunyai representasi subgrup H maka secara umum struktur dari H dapat diperluas menjadi lebih kompleks menggunakan metode induksi. Perluasan tersebut terkait dengan perluasan ruang representasi W yang termuat di V dengan beberapa cara yang menarik perhatian untuk diselidiki. Di sisi lain, karena adanya isomorfisma GL(V ) = GL n (F ), hal ini berarti bahwa setiap elemen g G dideskripsikan dalam sebuah matriks berukuran n n relatif terhadap basis dari V. Oleh karena itu, bagaimana cara mengaitkan setiap representasi dari grup G dengan pemetaan bernilai kompleks sedemikian sehingga pemetaan ini dapat mewakili matriks representasi. Bilangan kompleks tersebut nantinya yang akan menjelaskan informasi tentang struktur dari grup G secara efisien. Hal ini menjadi menarik untuk diselidiki lebih lanjut. Dua representasi matriks dikatakan similar jika kedua representasi tersebut saling ekuivalen. Matriks yang similar pasti mempunyai nilai eigen yang sama sehingga menghasilkan nilai trace yang sama pula. Oleh karena itu, dengan mengambil trace dari matriks representasinya, pengolahan informasi grup G akan lebih efisien daripada keseluruhan matriks representasinya. Trace dari matriks representasi tersebut selanjutnya merupakan karakter dari representasi grup G. Oleh karena itu, timbul pemikiran tentang bagaimana karakter dari representasi grup hingga G. Setiap grup G pasti mempunyai kelas konjugasi sehingga hal tersebut menarik untuk diselidiki apakah hubungan antara kelas konjugasi dengan karakter dari representasi. Lebih lanjut, perlu diselidiki juga dalam bentuk seperti apa informasi grup G disajikan, yang dalam hal ini berupa pembentukan tabel karakter yang terkait dengan kelas konjugasi dan karakter iredusibel. Hal yang lebih menarik lagi apakah pendeskripsian grup dengan adanya operasi restriksi dan induksi saling berkorespondensi ataukah tidak, lalu adakah dampaknya pada representasi yang terkait.

3 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian latar belakang masalah di atas dapat dirumuskan masalah yang akan diselidiki dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Bagaimanakah definisi karakter dari representasi grup hingga G beserta sifatsifatnya? 2. Apakah representasi dapat didekomposisikan secara tunggal ke dalam jumlahan langsung berhingga representasi iredusibel? 3. Bagaimanakah pembentukan tabel karakter, karakter terrestriksi dan karakter terinduksi dari representasi beserta korespondensinya? 1.3. Tujuan Penelitian Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Menyelidiki definisi karakter dari representasi grup hingga G beserta sifatsifatnya. 2. Menyelidiki ketunggalan dekomposisi representasi ke dalam jumlahan langsung berhingga representasi iredusibel. 3. Menyelidiki langkah-langkah pembentukan tabel karakter, karakter terrestriksi dan karakter terinduksi dari representasi beserta korespondensinya Tinjauan Pustaka Beberapa buku dan artikel diperlukan dalam penelitian ini sebagai sumber referensi. Buku utama yang digunakan adalah karangan Steinberg [2012] dan Serre [1977]. Dasar teori mengenai grup dan sifat-sifatnya dikemukakan oleh Fraleigh [1997] dan [Malik, 1997]. Sementara Dummit [2004] dan Webb [2016] menjelaskan tentang definisi koset, koset ganda, homomorfisma grup, center, dan kelas konjugasi suatu grup. Dasar teori mengenai ruang vektor, basis, dan transformasi linear beserta contoh dikemukakan oleh Roman [2000] dan Rotman [2003].

4 4 Lebih lanjut, Lang [1987] mengemukakan tentang dasar teori dari nilai eigen, vektor eigen, dan ruang Hermit beserta contoh-contoh. Steinberg [2012], Kosmann [2010], dan Collin [1990] lebih fokus untuk menjelaskan tentang dasar teori dari representasi grup hingga beserta contoh-contoh. Steinberg [2012] beserta Kosmann [2010] dan Isaacs [1976] mengemukakan dasar teori dari karakter, sifat dan contoh. Penjelasan mengenai tabel karakter yang terkait dengan kelas konjugasi grup G dijelaskan oleh Serre [1977], Fulton [1991] dan Liebeck [2001]. Sementara penjelasan mengenai representasi terrestriksi dan terinduksi beserta karakternya dikemukakan oleh Martin [2011] dan Serre [1977]. Artikel yang membahas mengenai karakter dari representasi grup hingga ditulis oleh Deloro [2012]. Artikel tersebut mengkaji mengenai tabel karakter dari grup hingga G. Lebih lanjut, artikel yang membahas tentang representasi restriksi dan induksi ditulis oleh Martin [2011]. Pada tesis ini juga dibahas korespondensi karakter terrestriksi dan terinduksi representasi grup hingga G, dan dikaji tentang tabel karakternya seperti pada artikel Martin [2011] dan Isaacs [1976] Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan tesis ini adalah studi literatur. Konsep yang dipelajari terlebih dahulu adalah teori yang berkaitan dengan grup, ruang vektor, ruang Hermit, dan representasi grup hingga G. Adapun langkahlangkah penelitian dalam tesis ini adalah sebagai berikut. 1. Mempelajari representasi grup hingga G yang berkaitan dengan definisi, ekuivalensi, subruang G-invarian, dan subrepresentasi. Selanjutnya dilihat sifat-sifat terkait representasi iredusibel, redusibel lengkap, dan dekomposabel. 2. Mempelajari representasi uniter untuk menyelidiki relasi orthogonal. Dalam mempelajari konsep ini diperlukan konsep produk Hermit dan sifat-sifatnya. Lebih lanjut, juga mempelajari Teorema Maschke untuk menyelidiki keterkaitan karakter terrestriksi dan karakter terinduksi.

5 5 3. Menyelidiki karakter representasi grup hingga G yang berkaitan dengan definisi, karakter iredusibel, dan karakter reguler dengan cara membawa representasi berderajat n menjadi pemetaan berderajat satu yang bernilai kompleks. 4. Menyelidiki pembentukan tabel karakter dari grup hingga G dengan cara mengidentifikasi kelas konjugasi grup G dan karakter iredusibel yang terkait dengan ketunggalan representasi grup G tersebut. 5. Menyelidiki karakter terrestriksi pada subgrup H dari grup hingga G dan karakter terinduksi dari subrepresentasi grup hingga G. Lebih lanjut, menyelidiki korespondensi keduanya dengan cara melihat hubungan antara representasi terrestriksi dan terinduksi tersebut Sistematika Penulisan Pada penulisan tesis ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang digunakan sebagai dasar penelitian. Adapun teori yang digunakan dalam dasar teori adalah berkaitan dengan grup, ruang vektor, ruang Hermit, dan representasi grup hingga G. BAB III KARAKTER DAN KETUNGGALAN DEKOMPOSISI REPRESEN- TASI Pada bab ini dibahas mengenai definisi karakter untuk representasi grup hingga G, fungsi kelas, relasi orthogonal, karakter reguler, beserta ketunggalan dekomposisi representasi ke dalam jumlahan langsung berhingga representasi iredusibel.

6 6 BAB IV TABEL KARAKTER, KARAKTER TERRESTRIKSI DAN KARAK- TER TERINDUKSI Pada bab ini dibahas mengenai hasil penelitian tentang pembentukan tabel karakter dari grup hingga G secara umum, dan dibahas tentang proses restriksi dan induksi pada representasi grup hingga beserta karakternya. Lebih lanjut juga dibahas mengenai korespondensi atau hubungan antara karakter terrestriksi dan karakter terinduksi. BAB V KESIMPULAN Pada bab ini berisi kesimpulan dari hasil penelitian pada penyusunan tesis ini.