PIGEON HOLE. Kristiana Wijaya. February 23, Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember

Transkripsi

1 Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember February 23, 2012

2

3

4 Pendahuluan Prinsip Pigeonhole (atau dikenal juga sebagai prinsip Kotak Merpati) kadang-kadang berguna untuk menjawab pertanyaan: Adakah sebuah butir yang mempunyai sifat tertentu? Jika Prinsip Pigeonhole diterapkan dengan baik, prinsip tersebut akan memberikan hanya objek-objek yang ada, Prinsip ini tidak akan memberitahukan bagaimana mencari objek tersebut atau ada berapa banyak objek tersebut.

5

6 Bentuk 1 Prinsip Pigeon Hole Jika n merpati terbang menuju k rumah merpati dengan n > k, maka ada rumah merpati yang memuat sedikitnya dua merpati.

7 Bentuk 1 Prinsip Pigeon Hole Jika n merpati terbang menuju k rumah merpati dengan n > k, maka ada rumah merpati yang memuat sedikitnya dua merpati. Bukti: Andaikan setiap rumah merpati memuat paling banyak satu merpati, maka kita bisa menghitung untuk paling banyak k rumah ada n k merpati. Hal ini bertentangan dengan n > k.

8 Example Sepuluh orang mempunyai nama depan Charles, Roni, Choki dan nama belakang Hutagalung, Sianturi dan Sitohang. Tunjukkan bahwa paling sedikit dua orang mempunyai nama yang sama, yaitu nama depan dan nama belakang sama.

9 Example Sepuluh orang mempunyai nama depan Charles, Roni, Choki dan nama belakang Hutagalung, Sianturi dan Sitohang. Tunjukkan bahwa paling sedikit dua orang mempunyai nama yang sama, yaitu nama depan dan nama belakang sama. Solution: Ada 3 nama depan dan 3 nama belakang, sehingga ada 9 nama yang mungkin dibuat untuk 10 orang. Dengan mengasumsikan nama sebagai rumah merpati dan orang sebagai merpatinya, maka menurut Prinsip Rumah Merpati, ada sedikitnya 2 orang mempunyai nama yang sama.

10 Example Tunjukkan bahwa dari 8 orang yang diambil secara acak, sedikitnya 2 orang mempunyai hari kelahiran yang sama?

11 Example Tunjukkan bahwa dari 8 orang yang diambil secara acak, sedikitnya 2 orang mempunyai hari kelahiran yang sama? Solution: Ada 7 rumah merpati yaitu jumlah hari dalam 1 minggu yang akan ditempati oleh 8 merpati. Berdasarkan Prinsip Pigeon Hole (bentuk pertama), ada paling sedikit 2 orang mempunyai hari kelahiran yang sama.

12 Bentuk 2 Prinsip Pigeon Hole Jika f adalah sebuah fungsi dari himpunan berhingga X ke himpunan berhingga Y dengan X > Y, maka f (x 1 ) = f (x 2 ) untuk suatu x 1, x 2 X dimana x 1 x 2.

13

14 Bukti: Bentuk kedua dari Prinsip Pigeon Hole ini bisa diturunkan ke bentuk pertama dengan memisalkan X sebagai himpunan merpati dan Y sebagai himpunan rumah merpati. Kita petakan merpati x ke rumah f (x). Menurut bentuk pertama, ada sedikitnya dua merpati dipetakan ke rumah merpati yang sama, yaitu f (x 1 ) = f (x 2 ) untuk suatu x 1, x 2 X dimana x 1 x 2.

15 Example Jika 20 prosesor saling dihubungkan, tunjukkan bahwa paling sedikit 2 prosesor dihubungkan secara langsung pada jumlah prosesor yang sama?

16 Solution: Misalkan prosesor diberi nama 1, 2,, 20, yaitu X = {1, 2,, 20}. Misalkan a i menyatakan jumlah prosesor yang terhadapnya prosesor i dihubungkan secara langsung. Kita akan memperlihatkan bahwa a i = a j untuk suatu i j. Kemungkinan jumlah prosesor yang terhadapnya prosesor i dihubungkan adalah 0, 1, 2,, 19, (Y = {0, 1, 2,, 19}). 0 menyatakan prosesor tidak dihubungkan ke prosesor lain, sedangkan 19 menyatakan prosesor dihubungkan ke semua prosesor yang lain. Dengan demikian jumlah prosesor 0 dan 19 tidak mungkin terjadi bersamaan. Sehingga kita mempunyai Y = {0, 1, 2,, 18} atau Y = {1, 2,, 19}. dengan Y = 19. Karena Y < X maka menurut Prinsip Pigeon Hole bentuk kedua, paling sedikit 2 prosesor dihubungkan secara langsung pada jumlah prosesor yang sama.

17 Example Dalam suatu perkumpulan dengan n orang, mereka saling berjabat tangan satu sama lain dengan catatan tidak berjabat tangan dengan diri sendiri dan tidak berjabat tangan dengan orang yang sama lebih dari satu kali. Tunjukkan bahwa pasti ada 2 orang yang mempunyai jumlah jabat tangan yang sama.

18 Example Diberikan 10 bilangan bulat sebarang yang kurang 107. Tunjukkan bahwa ada 2 subset disjoint dari mereka mempunyai jumlah yang sama.

19 Example Sebuah persediaan terdiri dari sebuah daftar 80 jenis barang. Setiap jenis barang ditandai dengan tersedia atau kosong. Terdapat 45 jenis barang yang tersedia. Tunjukkan bahwa terdapat paling sedikit dua jenis barang tersedia dalam daftar 9 jenis barang terpisah.

20

21 Bentuk Ketiga Prinsip Pigeon Hole Misalkan f adalah fungsi dari sebuah himpunan berhingga X ke himpunan berhingga Y. Misalkan X = n dan Y = m dan m n. Maka terdapat paling sedikit k nilai a 1, a 2,, a k X sehingga f (a 1 ) = f (a 2 ) = = f (a k ).

22

23 Bukti: Misalkan Y = {y 1, y 2,, y m }. Andaikan bahwa kesimpulan tersebut salah. Maka terdapat paling banyak k 1 nilai x X dengan f (x) = y 1 ; terdapat paling banyak k 1 nilai x X dengan f (x) = y 2 ; dan seterusnya sampai terdapat k 1 nilai x X dengan f (x) = y m. Dengan demikian terdapat paling banyak m(k 1) anggota dalam daerah asal f. Akan tetapi, m(k 1) < m( n m ) = n. Hal ini bertentangan dengan m n. Oleh karena itu, terdapat paling sedikit k nilai a 1, a 2,, a k X sehingga f (a 1 ) = f (a 2 ) = = f (a k ).

24

25

26 THANK YOU