HIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si

Transkripsi

1 HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si

2 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga Jenis-jenis himpunan 3. Himpunan bagian (subset) 4. Himpunan saling lepas 5. Himpunan Kuasa (Power Set) 6. Himpunan Komplemen Operasi Gabungan (+) Himpunan Operasi Pada Himpunan Operasi Selisih (-) Operasi Irisan ( ) Operasi Kartesian Operasi Komplemen Enumerasi Cara Menuliskan Himpunan Simbol Baku Notasi Pembentuk Himpunan Diagram Venn

3 Definisi Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek yang memenuhi sifat tertentu. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota dilambangkan dengan ϵ Anggota-anggota yang membentuk himpunan adalah berbeda.

4 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Contoh: a) Himpunan empat bilangan asli yang pertama: A = {1, 2, 3, 4} b) Himpunan lima bilangan genap yang pertama: {2, 4, 6, 8, 10} c) C = {Joy, Sadness, Disgust, Fear, Anger} d) D = { {} }

5 2. Simbol-simbol baku Simbol baku untuk himpunan antara lain: P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3,... } N = himpunan bilangan asli (natural) = { 1, 2,... } Z = himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks

6 3. Notasi Pembentuk Himpunan Menuliskan syarat keanggotaan himpunan, dengan notasi: {x syarat yang harus dipenuhi oleh x} Contoh: a) A adalah himpunan bilangan prima lebih kecil dari 15, maka: {x x adalah bilangan prima lebih kecil dari 15}, atau {x x < 15, x ϵ N} b) {x x adalah himpunan mahasiswa statistika UII yang mengambil mata kuliah Metode Statistika I}

7 4. Diagram Venn Himpunan semesta, yang beranggotakan seluruh objek yang penting atau merupakan topik pembicaraan, direpresentasikan dengan bentuk kotak. Di dalam kotak tersebut terdapat lingkaran-lingkaran untuk merepresentasikan himpunan. Kadang tanda titik dipergunakan pula untuk menggambarkan elemen himpunan. Contoh: Diagram Venn yang menggambarkan himpunan V yaitu himpunan huruf vokal dalam bahasa Indonesia

8 Himpunan Berhingga Jika himpunan A memiliki n buah elemen yang berbeda, maka A adalah himpunan berhingga (finite set). Kardinalitas Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: A atau n(a)

9 Himpunan Kuasa (Power Set) Himpunan kuasa dari A adalah himpunan dari seluruh subset A dan dinotasikan dengan P(A). Kardinalitas dari P(A) dinotasikan dengan P(A) atau n(p(a)). Rumus kardinal dari P(A) adalah: n( P( A)) 2 n ( A )

10 Himpunan Kosong Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong. Dinotasikan sebagai atau {}. Contoh: a) A = {x x adalah bilangan prima genap kurang dari 2}; n(a) = 0 b) B = {x x 2 < 0, x ϵ N}; n(b) = 0

11 Himpunan Semesta Himpunan semesta (S) disebut juga himpunan universal (U). Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a S. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5}, maka 2 U.

12 Himpunan Bagian (Subset) Sebuah himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Dalam hal ini dikatakan bahwa B superset dari A Notasi: A B Diagram Venn: U A B

13 Contoh himpunan bagian: a) {1,2,3} {1,2,3,4,5} b) {4,5,6} {4,5,6} c) N Z R C TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: 1) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A). 2) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A). 3) Jika A B dan B C, maka A C

14 A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A. A B berbeda dengan A B i. A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. Demikian A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. ii. Contoh: {1} dan {2,3} adalah proper subset dari {1,2,3} A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

15 Himpunan Saling Lepas (disjoint) Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama. Notasi: A // B U A B Contoh: 2 2 a) A { x x 8x 12 0} dan B { x x 4 0} tidak saling lepas 2 b) A { x x 8x 12 0} dan C {1,3,5} saling lepas

16 Operasi himpunan 1. Irisan (intersection) Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Notasi: A B { x x A dan x B} Contoh: a) Jika A = {2, 3, 4, 5, 6} dan B = {2, 4, 6, 8, 10}, maka: A B {2,4,6} b) Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka: A B {}, artinya A // B

17 2. Gabungan (Union) Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. Notasi: A B { x x A atau x B} Contoh: a) Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka P Q = {a, b, c, d, e, f } b) A A

18 3. Komplemen (complement) Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A. C Notasi: A A { x x U, x A} Contoh: a) Misalkan: U = {1, 2, 3,, 10}. Jika A = {1, 2, 3, 4}, maka A c = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. b) c) d) S c c A dan A c c c c A A S dan A A S

19 4. Selisih Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B. Notasi: A B { x x A, x B} Contoh: {1, 3, 5} {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {2}

20 5. Perkalian Kartesian (cartesian product) Cartesian products dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B. Notasi: A B ( a, b) a A, b B Contoh: Misalkan: A = {a, b} dan B = {1, 2, 3}, maka: A B ( a,1),( a,2),( a,3),( b,1),( b,2),( b,3)

21 Catatan untuk perkalian kartesian: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: n(a B) = n(a).n(b) 2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a). 3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong. 4. Jika A = atau B =, maka A B = B A =

22 6. Beda setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A B B A A B A B A B Contoh: Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5}, maka: A B {3,4,5,6}

23 Teorema Aljabar Himpunan Misal S himpunan semesta dan A,B, dan C adalah subhimpunan dari S maka berlaku sifat berikut: 1. Hukum asosiatif (associative law) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) 2. Hukum komutatif (commutative law) A B = B A A B = B A A B = B A 3. Hukum distributif (distributive law) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

24 4. Hukum identitas (identity law) A = A A S = A 5. Hukum komplemen (complement law) A A c = S A A c = 6. Hukum idempoten (idempotent law) A A = A A A = A 7. Hukum ikatan (bound law) A S = S A =

25 8. Hukum penyerapan (absorption law) A (A B) = A A (A B) = A 9. Hukum involusi (involution law) A = A 10. Hukum 0/1(1/0 law) c = S S c = 11. Hukum De Morgan untuk himpunan (De Morgan s laws for sets) (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c

26 Latihan

27

28

29

30

31 Referensi kur2003.if.itb.ac.id/file/himpunan.doc Diktat Kalkulus: Undip

32