MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

Transkripsi

1 MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan

2 Matematika & Analisis Real Matematika berurusan dengan gagasan, yang mungkin merupakan abstraksi atau sari dari sesuatu yang terdapat di alam. Sebagai contoh, lingkaran (yang didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang berjarak sama dari sebuah titik di bidang) merupakan gagasan yang terinspirasi oleh bendabenda bundar seperti koin, roda, dan lain-lain. Matematikawan kemudian bercengkerama dengan berbagai gagasan tersebut, melakukan pernalaran dan menarik kesimpulan via logika. Analisis Real berurusan dengan bilangan real, dengan gagasan ke-tak-terhingga-an-nya. 2

3 Materi Kuliah I II 1. Pendahuluan 2. Konstruksi Bilangan Real 3. Topologi Bilangan Real 4. Fungsi Kontinu 5. Turunan 6. Integral 7. Barisan dan Deret 8. Ruang Euclid dan Ruang Metrik Buku Rujukan: Robert S. Strichartz, The Way of Analysis, Jones and Bartlett Publishers, 2000 Evaluasi: UTS = 40%, UAS = 50%, PR = 10% 3

4 1. Pendahuluan 1.1 Logika Kuantor - Pernyataan berkuantor - Tabel Kebenaran: Tidak P, P dan Q, P atau Q, P h.j. Q, P j.h.j. Q 1.2 Himpunan Tak Terhingga - Himpunan terhitung - Himpunan tak terhitung 1.3 Bukti (dan Pembuktian) 1.4 Sistem Bilangan Rasional 4

5 1.1 Logika Kuantor Banyak kalimat dalam matematika mengandung kuantor. Sebagai contoh: Setiap bilangan genap yang lebih besar daripada 2 dapat dituliskan sebagai jumlah dua bilangan prima. Terdapat dua jenis kuantor: Kuantor universal: untuk setiap, untuk semua, Kuantor eksistensial: terdapat, ada, beberapa, 5

6 Benar atau Salah? 1. Terdapat bilangan asli n sehingga untuk setiap bilangan rasional positif r berlaku r n. 2. Terdapat bilangan rasional positif r sehingga untuk setiap bilangan asli n berlaku n < r. 3. Untuk setiap bilangan rasional positif r terdapat bilangan asli n sehingga berlaku r n. Catatan. Salah satu dari pernyataan di atas merupakan variasi dari Sifat Archimedes. 6

7 Benar atau Salah? 1. Terdapat bilangan rasional r sehingga untuk setiap bilangan asli n berlaku r. 1 2 n 2. Untuk setiap bilangan asli n terdapat bilangan rasional r sehingga berlaku r. 1 2 n 7

8 Benar atau Salah? 1. Terdapat bilangan rasional r sehingga untuk setiap bilangan asli n berlaku r n 2. Untuk setiap bilangan asli n terdapat bilangan rasional r sehingga berlaku r n 8

9 Kuantor Tersembunyi Ubahlah kalimat berikut menjadi kalimat berkuantor: 1. Ruas garis selalu mempunyai titik tengah merupakan satu-satunya bilangan prima yang genap. 3. Tidak ada bilangan prima terbesar. 9

10 Tabel Kebenaran P Q Tidak P P dan Q P atau Q P h.j. Q P j.h.j. Q B B S B B B B B S S S B S S S B B S B B S S S B S S B B Catatan: P h.j. Q dibaca P hanya jika Q, setara dgn Jika P, maka Q atau Q jika P. 10

11 Benar atau Salah? 1. Jika r > 1, maka r 2 > Jika r 2 > 1, maka r > Terdapat bilangan rasional r < 1 sehingga r 2 > Terdapat bilangan rasional r > 1 sehingga r 2 < 1. 11

12 1.2 Himpunan Tak Terhingga Himpunan (semua) bilangan asli N = {1, 2, 3, } merupakan himpunan tak terhingga (dengan kardinalitas ℵ 0 ). Himpunan A dikatakan terhitung (atau terbilang) apabila terdapat korespondensi 1-1 antara A dan N. Jika terdapat pemetaan dari N pada himpunan B, maka B mesti merupakan himpunan terhitung atau terhingga. 12

13 Latihan Konstruksi suatu korespondensi 1-1 antara himpunan (semua) bilangan bulat Z dan himpunan (semua) bilangan asli N. (Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa Z terhitung). 13

14 Himpunan Terhitung Irisan dua himpunan terhitung dapat merupakan himpunan terhingga, termasuk himpunan kosong. Jika A dan B terhitung, maka A U B terhitung. Bahkan, jika A 1, A 2, A 3, terhitung, maka k = 1 A k terhitung. 14

15 Paradoks Hotel Hilbert Hilbert mempunyai sebuah hotel yang memiliki kamar sebanyak ℵ 0. Pada suatu malam, ketika seluruh kamar telah terisi, datang seorang tamu hendak menginap. Dengan enggan, resepsionis menelepon manajer hotel, menanyakan apa yang dapat dilakukan terhadap tamu tersebut. Jawab sang manajer: terima tamu tersebut; kita dapat menyediakan kamar untuknya. Tetapi, kata si resepsionis, bagaimana caranya? 15

16 Himpunan Tak Terhitung Apakah setiap himpunan tak terhingga merupakan himpunan terhitung? Jawabannya ternyata tidak. Contohnya adalah himpunan semua himpunan bagian dari N, yakni 2 N. (Buktikan!) Himpunan bilangan real (yang akan kita bahas nanti) juga merupakan himpunan tak terhitung (dengan kardinalitas c). 16

17 1.3 Bukti (dan Pembuktian) Kebenaran suatu kalimat atau pernyataan matematika (selain definisi dan aksioma) diterima apabila telah dibuktikan. Secara prinsip, yang dimaksud dengan bukti adalah suatu rangkaian argumen logis dari hipotesis ke kesimpulan (dari pernyataan yang sedang ingin dibuktikan). 17

18 Bukti Langsung dan Bukti Tak Langsung Kalimat Jika P, maka Q dapat dibuktikan secara langsung dgn memisalkan P benar, lalu berusaha sampai pada kesimpulan bahwa Q benar, dengan berbagai argumen yang logis dan sahih. Kadang kita membuktikannya secara tidak langsung melalui kontraposisi-nya (yaitu dengan memisalkan Q salah, lalu berusaha menunjukkan bahwa P juga salah); atau dengan mengandaikan bahwa P benar dan Q salah, lalu berusaha mendapatkan suatu kontradiksi (sesuatu yang mustahil). 18

19 Contoh Pernyataan dan Buktinya Untuk setiap bilangan ganjil n, bilangan n 2 1 senantiasa habis dibagi 8. Bukti. Kalimat ini setara dgn jika n adalah bilangan ganjil, maka n 2 1 habis dibagi 8. Untuk membuktikannya, misalkan n adalah bilangan ganjil. Maka, n dapat dituliskan sebagai n = 2k + 1 untuk suatu bilangan bulat k. Akibatnya, n 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1, sehingga n 2 1 = 4k(k+1). Tetapi k(k+1) pasti genap (!), sebutlah k(k+1) = 2m untuk suatu bilangan bulat m. Dengan demikian, kita peroleh n 2 1 = 8m, habis dibagi 8. [QED] 19

20 Latihan Buktikan bahwa 2 N tak terhitung. (Petunjuk. Andaikan 2 N terhitung, lalu perlihatkan suatu kontradiksi.) 20

21 1.4 Sistem Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan sebagai rasio dua bilangan bulat, yakni r = p/q, dengan p, q bilangan bulat dan q 0. Jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi (dengan pembagi tak nol) dari dua bilangan rasional juga merupakan bilangan rasional. Himpunan (semua) bilangan rasional Q membentuk suatu lapangan yang terurut (terhadap urutan < ), tetapi sayangnya tidak lengkap! 21

22 Keterhitungan Q = Q + U {0} U Q - Q + 22

23 Kekurangan Bilangan Rasional Jika r menyatakan panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan alas 1 dan tinggi 1, maka menurut Dalil Pythagoras r harus memenuhi persamaan r 2 = 2. Tetapi, tidak ada bilangan rasional r yg memenuhi persamaan r 2 = 2. Jika r adalah bilangan rasional, maka r 2 2. (Bukti?) Setiap ruas garis memiliki panjang yang dapat dihampiri oleh bilangan rasional seteliti yang kita kehendaki, tetapi ada (banyak) ruas garis yang panjangnya tidak dapat dinyatakan secara persis oleh bilangan rasional. Bilangan apakah yang dapat menyatakan panjang setiap ruas garis? 23

24 Latihan Buktikan tidak ada bilangan rasional r yang memenuhi persamaan r 2 = 2. 24