Materi 1: Teori Himpunan

Transkripsi

1 Materi 1: Teori Himpunan I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali

2 Himpunan (set) kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

3 Terdapat beberapa cara menyajikan himpunan, sbb: 1. Enumerasi 2. Simbol-simbol baku 3. Notasi pembentuk himpunan 4. Diagram Venn

4 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Contoh - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2, 4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2,..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {, -2, -1, 0, 1, 2, }.

5 Penulisan anggota suatu himp. ditentukan oleh anggota-anggotanya, BUKAN berdasarkan urutan. Penulisan anggota himp. TIDAK BOLEH berulang, kecuali ditentukan sbg himpunan ganda (multiset).

6 Amati bahwa R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } memiliki EMPAT anggota, yaitu: a, b, {a, b, c}, dan {a, c}. Amati bahwa C = {a, {a}, {{a}} } memiliki TIGA anggota, yaitu: a, {a}, dan {{a}}. Amati bahwa K = { {} } memiliki SATU anggota, yaitu: { }. { } adalah himpunan kosong, dan sering dilambangkan sbg.

7 Keanggotaan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh Misalkan: A = {1, 2, 3, 4} R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}} Maka: 3 A {a, b, c} R c R {} K {} R

8 Latihan Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}} Benar/salah : a R? {1, 2} A? 4 A? Benar Salah Salah

9 A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}} Benar/salah : {a} R? { } K? 5 A? Benar Benar Benar

10 Contoh Bila P 1 = {a, b} P 2 = { {a, b} } P 3 = {{{a, b}}} Maka: a P 1 a P 2 P 1 P 2 P 1 P 3 P 2 P 3

11 2. Simbol-simbol Baku Simbol baku dicetak dgn huruf tebal. P = himpunan bilangan bulat positif = { 0, 1, 2, 3,... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2,... } Z = himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yg universal: semesta, disimbolkan dgn U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adlh himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

12 3. Notasi Pembentuk Himpunan Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh: A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 5 A = { x x adalah bilangan bulat positif kurang dari 5 } Atau: A = { x x P, x<5 } yg ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} M = { x x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika Diskrit}

13 4. Diagram Venn U menyatakan semesta pembicaraan Contoh Misalkan U = {1, 2,, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: U A 1 2 B

14 Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: n(a) atau A Contoh o B = { x x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 o T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T =? o A = {a, {a}, {{a}} }, maka A =? 3 5

15 Sebuah himp dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen berbeda (distinct) yg dlm hal ini n adlh bilangan bulat tak-negatif. Sebaliknya, himp. tersebut dinamakan tak-berhingga (infinite set) D = {x x adalh faktor dr 12}, maka D = 6 E = {x x adlh bilangan positif kurang dari 1}, maka E = 0 F = {x x adlh jumlah kucing di Bali} adlh himp.berhingga wlpn sulit dihitung G = {x x adlh himpunan bilangan riil}, maka R =

16 Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : atau {} Contoh: E = { x x < x }, maka n(e) = 0 P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(p) = 0 A = {x x adalah akar persamaan kuadrat x = 0 }, n(a) = 0

17 Catatan: himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai { } himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, { }} { } bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

18 Contoh: Manakah dari himpunan-himpunan ini yang berbeda:, { 0 }, { }? Jawab: semuanya berbeda Himpunan tidak mengandung elemen Himpunan {0} mengandung satu elemen, yaitu bilangan nol Himpunan { } mengandung satu elemen, yaitu himpunan kosong

19 Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B U Diagram Venn: A B

20 Contoh { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3} {1, 2, 3} N Z R C

21 Silsilah bilangan

22 Jika A = { (x, y) x + y < 4, x 0, y 0 } dan B = { (x, y) 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.

23 TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A). (c) Jika A B dan B C, maka A C

24 A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.

25 o o o A B berbeda dengan A B A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3} A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

26 Contoh: Jika diketahui M = { r, s, t }, maka ujilah apakah pernyataan berikut BENAR atau SALAH: r M r M { r } M { r } M Benar Salah Salah Benar

27 A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = B A B dan B A

28 Contoh: Jika A = { 0, 1 } dan B = { x x (x 1) = 0 }, maka A = B Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B

29 Contoh: Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut sama A = {1,2,3,4 } dan B = { 3,1,4,2} Himpunan tidak berubah apabila elemen 2 nya disusun kembali C = {5,6,5,7} dan D = {7,5,7,6} Himpunan tidak berubah apabila elemen 2 nya diulang A = B C = D E = {x x 2 3x = -2}, F = {2,1} dan G = {1,2,2,1} E = F = G

30 Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C (b) jika A = B, maka B = A (c) jika A = B dan B = C, maka A = C

31 Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B A = B Contoh: Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4

32 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: U A B Contoh: Jika A = { x x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30,... }, maka A // B.

33 Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2 A Jika A = m, maka P(A) = 2 m.

34 Contoh: Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = {, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P( ) = { } Himpunan kuasa dari himpunan { } adalah P({ }) = {, { }}. *amati bahwa himpunan kuasa diapit tanda kurung kurawal, sebab ia adalah HIMPUNAN

35 Contoh: Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka P(A): { { }, {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang}, {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang}, {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga, pisang} }

36 Munir, R., 2012, Matematika Diskrit Revisi ke- 5, Penerbit Informatika Rosen, K.H., 2007, Discrete Mathematics and Its Applications 7 th edition, McGraw-Hill

37