SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE MATRIKS EULER ABSTRACT

Transkripsi

1 SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE MATRIKS EULER Marison Faisal Sitanggang, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 2829, Indonesia marisonmatematika@rocketmailcom ABSTRACT This article discusses the solution of system of linear Volterra integral equations in the form of series in Euler polynomials with certain coefficient The process begins by transforming the system of linear Volterra integral equations to form a matrix equation Then using some transformation, a system of equations is obtained, whose solution is the coefficients of Euler polynomial series By substituting the obtained coefficients to the series solution, solutions of linear systems of Volterra integral equations are obtained Furthermore the computational test shows that the solution obtained by the propose method is almost equal to the exact known solution Keywords: system of linear Volterra integral equations, Euler polynomial, Taylor theorem ABSTRAK Artikel ini membahas solusi sistem persamaan integral Volterra linear yang berbentuk deret dalam polinomial Euler dengan koefisen tertentu Prosesnya dimulai dengan cara mentransformasikan sistem persamaan integral Volterra linear ke bentuk persamaan matriks Kemudian dengan melakukan transformasi diperoleh sistem persamaan, yang solusinya merupakan koefisien dari deret polinomial Euler Dengan mensubstitusikan koefisien yang didapat ke solusi deret diperoleh solusi sistem persamaan integral Volterra linear Selanjutnya dilakukan uji komputasi untuk suatu contoh kasus yang memperlihatkan solusi yang didapat setara dengan solusi eksak yang diketahui Kata kunci: sistem persamaan integral Volterra linear, polinomial Euler, teorema Taylor REPOSITORY FMIPA

2 PENDAHULUAN Persoalan matematika tentang sistem persamaan integral Volterra linear, sudah pernah diselesaikan oleh ahli-ahli matematika seperti, Babolian [2], Gulsu [4] dan ahli matematika lainnya dengan menggunakan bermacam-macam metode, seperti metode dekomposit Adomian, dan metode lainnya Dalam artikel ini, sistem persamaan integral Volterra linear akan diselesaikan dengan menggunakan metode matriks Euler Bentuk umum dari sistem persamaan integral Volterra yang akan diselesaikan adalah [] k k β i,j xy j x = f i x + K i,j x, ty j tdt, j= a j= i =, 2,, k, a x b, y j x adalah fungsi yang tidak diketahui dan β i,j x, f i x, K i,j x, t merupakan fungsi kontinu Solusi pendekatan diasumsikan berbentuk [] N y i x = a i,n E n x, i =, 2,, k, 2 k= n= dengan a x b, n =,, 2,, N, dan a i,n adalah koefisien Euler yang tidak diketahui, E n x adalah polinomial Euler Bentuk pertama dari polinomial Euler adalah [] [] n n E k k x + E n x = 2x n Salah satu sifat dari polinomial Euler adalah [] E n x = n+ n k+ n + k k= k= B k x n+ k, n =,, 2,, N dan B k x adalah polinomial Bernoulli yang didefinisikan dalam bentuk [] n n + B k k x = n + x n Persamaan dapat menghasilkan persamaan matriks [ E T x ] = [D] [ X T x ], 4 E T x = E x E N x X T x = x x N N+ REPOSITORY FMIPA 2

3 D = B N N N B 2 2 N 2 N N B N+ B N+ B N+ 2 2 N+2 N+ N+ dari persamaan 4 didapat N+ N+ N+ N+ [Ex] = [Xx] [ D T ] 5 Artikel ini, merupakan review dari artikel FMirzaee [], dengan judul A new Euler matrix method for solving systems of linear Volterra integral equations with variable coefficients Pembahasan diawali dengan pendahuluan, di bagian dua pembahasan tentang metode matriks Euler kemudian dilanjutkan di bagian tiga uji komputasi 2 METODE MATRIKS EULER Pada bagian ini akan dijelaskan proses terbentuknya metode Euler matriks Persamaan dapat dikonstruksi ke dalam bentuk persamaan matriks dalam bentuk [] β, x β,k x βx = β k, x β k,k x [βx] [yx] = [fx] + [V x], 6 V i x = V x = a yx = y x y k x V x V k x fx = f x f k x 7 k K i,j x, ty j tdt 8 j=, 2 Hubungan matriks untuk solusi fungsi yx Dengan menjalankan i pada persamaan 2, sehingga untuk i = N y x = a i,n E n x n= = [ E x E x E N x ] = ExA x a, a, a,n REPOSITORY FMIPA

4 untuk i = k N y k x = a i,n E n x n= = [ E x E x E N x ] = ExA k x a k, a k, a k,n dari sini terlihat bahwa persamaan 2 dapat dinyatakan dengan [y j x] = [Ex] [A j ] j =,,, k, 9 Ex = [ E x E x E N x ] A j = a j, x a j,n x Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan 5 ke dalam persamaan 9 sehingga diperoleh [y j x] = [Xx][D] T [A j ] j =, 2,, k, dari persamaan, dapat dibentuk suatu persamaan matriks [ ] [ [yx] = Xx D] [A], : A = A A k Xx Xx = Xx yx = D = y x y k x D T D T kn+ kn+ Dengan mensubstitusikan titik kolokasi yang didefinisikan dalam bentuk [] x s = a + b a s, s =,, 2,, N, 2 N [ ] [Y ] = [X] D [A], REPOSITORY FMIPA 4

5 X = Xx Xx N kn+ kn+ 22 Hubungan matriks untuk solusi fungsi V x Fungsi kernel K i,j x, t dalam persamaan dapat ditentukan dengan menggunakan deret Taylor, sehingga bentuk matriks dari fungsi kernel K i,j x, t diperoleh dengan bentuk [] K i,j x, t = N K ij e = [ e k ij mn] N+ N+, N m= n= e k ij mne m xe n t = ExK ij e E T t 4 e kmn ij = m+n K i,j x, t m, n =,,, N m!n! x m δt n Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan 4 dan persamaan 9 ke dalam persamaan 8, sehingga didapat hubungan matriks sebagai berikut [V i x] = k j= ExK ij e a E T tet A j dt = k j= ExK ij e QxA j, 5 [q rs x] = q q N+ Qx = [q rs x] T = E a XE xdt E a XE xdt x a NXE xdt E a xe N xdt E a xe N xdt a E NxE N xdt rs =, 2,, N + Kemudian, dengan mensubstitusikan persamaan 5 ke dalam persamaan 5 sehingga diperoleh [V i x] = k j= XxD T K ij e QxA j, i =,, k 6 Selanjutnya, dengan substitusikan persamaan 2 ke dalam persamaaan 6, sehingga menjadi [βx s ][yx s ] = [fx s ] + [V x s ], REPOSITORY FMIPA 5

6 atau dapat dibentuk ke dalam persamaan matriks fundamental menjadi β = βx βx N fx F = fx N [β][y ] = [F ] + [V ], 7 kn+ kn+ V = V x V x N Y = yx yx N Menggunakan cara yang sama dengan mensubstitusikan persamaan 2 ke dalam persamaan 6 [V i x s ] = k j= Xx s D T K ij e Qx s A j, i =,, k Kemudian persamaan 2 disubstitusikan ke dalam persamaan 7, diperoleh V x s V x s = = [ Xx s ][ D][K v ][ Qx s ][A], 8 V k x s A = A A K kn+ Qx s Qx s = Qx s K v = K e Ke k Ke k Ke kk Persamaan 8 dapat menjadi V x V = = [ X][ D][ Kv ][ Q][A], 9 V x N X = Xx Xx kn+ kn+ 2 D = D D kn+ 2 kn+ 2 REPOSITORY FMIPA 6

7 K v K v = K v kn+ 2 kn+ 2 Q = Qx Qx N kn+2 kn+2 2 Metode Matriks Euler Dengan mensubstitusikan persamaan ke dalam persamaan 7, sehingga diperoleh metode matriks Euler dengan bentuk βx D X D Kv Q A = F, dengan memisalkan βx D X D Kv Q = W,sehingga [W ][A] = [F ] [A] = [W ][F ] 2 UJI KOMPUTASI Berikut ini akan diselesaikan sistem persamaan integral Volterra linear yang diberikan dengan bantuan software Matlab y x = x + 2 x + 2 x4 x5 + y 2 x = x 2 x 4 x4 + t xy t + y 2 tdt ty t + y 2 tdt, x, dengan solusi eksak y x = x dan y 2 x = x 2 Solusi Ambil N =, sehingga dengan menggunakan persamaan 2 diperoleh x = + = x = + = = x2 = + 2 = 2 = 6666 x = + = = 2 Dari soal yang diberikan, diketahui [ ] x + fx = x + 2 x4 5 x5 x 2 x 4 x4 dengan mensubstitusikan x s di persamaan 2 ke dalam fx yang diberikan dari soal, sehingga diperoleh [ ] [ ] [ ] [ ] f = f = f = f =, REPOSITORY FMIPA 7

8 sehingga f F = f f 2 f Langkah selanjutnya adalah menentukan matriks X yang didefinisikan dari persamaan 9 Dalam menentukan matriks X tersebut, terlebih dahulu ditentukan vektor baris Xx Untuk N = maka Xx = [ x x 2 x ] 22 Dengan mensubstitusikan x s di persamaan 2 ke dalam persamaan 22 didapat X = [ ] X = [ ] X = [ ] [ ] X =, setelah diperolehnya vektor baris Xx, selanjutnya menentukan Xx, dalam bentuk Xx = [ Xx Xx ] 2 Dengan cara yang sama, mensubstitusikan nilai x s dari persamaan 2 terhadap x ke dalam persamaan 2 diperoleh [ ] [ X X ] X = X = X X [ 2 X 2 ] [ ] X = X X 2 X =, X dari matriks - matriks [ Xx] tersebut dibentuk kedalam matriks [X] dan X, yang didefinisikan dalam bentuk X X [X] = X 2 X dan X menjadi X = X X X 2 X REPOSITORY FMIPA 8

9 Langkah selanjutnya, menentukan q x, q 2 x, q x, q 4 x dengan menggunakan persamaan 5 Dengan mensubstitusikan x s dari persamaan 2 ke dalam q x, q 2 x, q x, q 4 x diperoleh q = q = 2 q 2 = q = q = q q 4 = q 2 = 2 q 4 = q 2 = 2 = q q q = 8 q 4 = sehingga dapat dibentuk matriks [Qx] menjadi 2 = = q = q = Qx = [ q x q 2 x q x q 4 x ] 667 Dengan cara yang sama, dengan mensubstitusikan setiap x s dari persamaan 2 diperoleh Q = [ q q 2 q q 4 ] Q = [ q ] q2 q q4 2 Q = [ q ] [ q2 q q4 Q = q q 2 q q 4 ], REPOSITORY FMIPA 9

10 dengan menggunakana persamaan 8 dan persamaan 9 diperoleh [ ] [ Q Q ] Q = Q = Q Q dan Q [ 2 Q 2 = Q 2 Q = ] Q = Q Q Q 2 Q [ Q Q Matriks [D] dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan 4, setelah diperolehnya matriks [D] maka dapat melakukan transfomasi terhadap matriks [D] tersebut sehingga diperoleh D T = dan setelah diperoleh matriks D T, dengan menggunakan persamaan dan persamaan 9 diperoleh D [ ] D T D D = D D T = D D Langkah selanjutnya akan ditentukan matriks [Kv], dengan menggunakan persamaan 4 dan persamaan 8 kemudian dengan persamaan 9 diperoleh Kv = 2 2, Kv = ], Kv Kv Kv Kv sehingga W = βx D X D Kv Q, REPOSITORY FMIPA

11 setelah diperolehnya matriks W, maka dengan menggunakan persamaan 2 diperoleh A = [ ] Solusi akhir yang diperoleh dari permasalahan adalah yx = a, E x + a, E x + a,2 E 2 x + a, E x = 5269E x + 587E x + 65E 2 x + 56E x = x + 65 x 2 x + 56 x 2 2 x2 + 4 yx = x + 65 x 2 x + 56 x 2 2 x2 + 4 y2x = a 2, E x + a 2, E x + a 2,2 E 2 x + a 2, E x = 4888E x + 997E x E 2 x + 282E x = x x 2 x x 2 2 x2 + 4 y2x = x x 2 x x 2 2 x2 + 4 Tabel : Hasil Komputasi dari y dan y, y 2 dan y2 x y y y 2 y REPOSITORY FMIPA

12 Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan, dapat menarik kesimpulan dari sistem persamaan integral Volterra linear yaitu solusi akhir yang diperoleh adalah suatu sistem persamaan yang berbentuk suatu polinomial Solusi yang berbentuk polinomial tersebut dapat diubah menjadi suatu sistem persamaan Grafik y solusi eksak dan ysolusi akhir terjadi 2 kali berpotongan, sehingga memiliki lebih dari satu solusi, dan untuk y 2 solusi eksak dan y2 solusi akhir semakin besar nilai dari x maka tidak akan mempunyai solusi Sementara dilihat dari tabel hasil dari y solusi akhir memiliki selisih yang tidak beda jauh dari y solusi eksak yang diberikan, begitu juga dengan y2 solusi akhir memiliki selisih yang tidak beda jauh dari y 2 solusi eksak yang diberikan Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Dr Leli Deswita, MSi yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini 4 DAFTAR PUSTAKA [] Farshid M & Bimesl S 2 A new Euler matrix method for solving systems of linear Volterra integral equations with variable coefficientsjournal of Egyptian Mathematical Society, 9 h [2] Babolian E I R, & Biazar J 2 Solution of a system of Volterra integral equations of the first kind by Adomian method Applied Mathematics Computation, 9 h [] Cheon G 22 A Note on the Bernoulli and Euler Polynomials Applied Mathematics Letters, 6 h [4] Gulsu M, Niyazi S & Suayip Y 2 A collocation approach for solving system of linear Volterra integral equations with variable coefficients Applied Mathematics Computation, 62 h REPOSITORY FMIPA 2