Metode Regresi Robust Dengan Estimasi-M pada Regresi Linier Berganda (Studi Kasus : Indeks Harga Konsumen Kota Tarakan)

Transkripsi

1 Jural EKSPONENSIAL Volume 6, Nomor, Nopember 05 ISSN Metode Regresi Robust Dega Estimasi-M pada Regresi Liier Bergada (Studi Kasus : Ideks Harga Kosume Kota Taraka) Robust Regressio Method to m-estimatio o Multiple Liear Regressio (Case Study: Cosumer Price Idex Taraka City) Al Ghazali, Desi Yuiarti, Memi Nor Hayati Program Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Mulawarma al_ghazali@ymail.com Abstract Ordiary Least Square is oe method to fid the values of the parameters estimated o regressio. Oe of the robust regressio estimatio that mostly used to fid the estimate is the M-estimatio which was itroduced by Huber. M-estimatio method is similar to the OLS, the differece is oly i givig the same weightig. From the aalysis results obtaied with the robust regressio equatio m-estimatio is:,965 0,40 X 0,89 X 0, 99 X 3. Based o the partial sigificace testig ca be cocluded that all the idepedet variables (groceries (X ), clothig (X ), ad educatio (X 3 )) CPI effect o the depedet variable (Y). Keywords: Ordiary Least Squares, robust regressio, outliers, Differet fitted FITS value, m-estimatio. Pedahulua Istilah regresi pertama kali diperkealka oleh Sir Fracis Galto pada tahu 877 dalam peelitia biogeisisya. Regresi bergua dalam meelaah hubuga sepasag variabel atau lebih. Salah satu cara utuk mecari estimasi koefisie parameter dega dega megguaka Metode Kuadrat Terkecil atau Ordiary Least Square (OLS) (Sembirig, 995). Aalisis regresi merupaka aalisis statistik yag bertuua utuk memodelka hubuga atara variabel terikat dega variabel bebas. Model regresi yag baik memerluka data yag baik pula. Suatu data dikataka baik apabila data tersebut berada di sekitar garis regresi. Keyataaya, terkadag terdapat data yag terletak auh dari garis regresi atau pola data keseluruha. Data tersebut dikeal dega istilah pecila atau outlier. Pecila merupaka suatu kegaila da meadaka suatu titik data yag sama sekali tidak tipikal dibadig data laiya (Draper da Smith,99). Salah satu metode utuk megatasi pecila adalah regresi robust. Regresi robust merupaka metode regresi yag diguaka ketika distribusi dari residual tidak ormal da atau megadug beberapa pecila yag berpegaruh pada model (Rya, 997). Guadi (0) perah melakuka peelitia tetag regresi robust dega udul, Regresi Robust dega Metode M-Estimator da Aplikasiya pada Regresi Liier Sederhaa. Oleh karea itu, peulis melakuka peelitia regresi robust dega estimasi-m da aplikasiya pada regresi liier bergada. Berdasarka latar belakag tersebut, peulis tertarik memilih udul Metode Regresi Robust dega Estimasi-M pada Regresi Liier Bergada (Studi Kasus: Data Ideks Harga Kosume Kota Taraka). Regresi Liier Bergada Regresi bergada adalah regresi dega dua atau lebih variabel X, X, X 3... X k sebagai variabel bebas da variabel Y sebagai variabel tak bebas, Nilai-ilai koefisie atau taksira parameter regresi bergada dapat diperoleh dega metode OLS Model regresi liier bergada dapat dilihat pada persamaa : Yi 0 X i X i 3 X i3... k X ik i () Estimasi Parameter Model Regresi Bergada Pada regresi bergada utuk k variabel bebas peaksira dari diyataka dega ˆ. Meurut Metode OLS peaksira tersebut dapat diperoleh dega memiimumka betuk kuadrat. Sehigga estimasi OLS utuk ˆ adalah (Guarati, 999) : βˆ T - T (X X) X y () Peguia Sigifikasi Parameter Peguia sigifikasi parameter pada regresi liier bergada (Sudaa, 00). Peguia secara Simulta (Ui-F). Peguia secara Parsial (Ui-t) Asumsi-asumsi Pada Regresi Liier Bergada Asumsi utama yag medasari pedugaa koefisie regresi dega megguaka metode OLS adalah (Widaroo, 007): Program Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma 37

2 Jural EKSPONENSIAL Volume 6, Nomor, Nopember 05 ISSN Normalitas Residual. No multikolieritas 3. No Autokorelasi 4. Heteroskedastisitas Pecila Meurut Motgomery da Peck (99), pecila adalah suatu pegamata yag ekstrim. Residual yag ilai mutlakya auh lebih besar daripada yag lai da bisa adi terletak tiga atau empat simpaga baku dari rata-rataya adalah yag meyebabka data sebagai pecila. Pecila adalah titik-titik data yag tidak setipe dega titik data yag laiya. Dampak Pecila Keberadaa pecila aka meggagu dalam proses aalisis data da harus dihidari dalam bayak hal. Dalam kaitaya dega aalisis regresi, pecila dapat meyebabka hal-hal berikut (Soemartii, 007):. Residual yag besar dari model yag terbetuk atau E ( e) 0. Varias pada data tersebut meadi lebih besar. 3. Taksira iterval memiliki retag yag lebar. Pedeteksia pecila dega Megguaka scatter plot metode ii yaitu mudah dipahami karea meampilka data secara grafis (gambar) da tapa melibatka perhituga yag rumit. Selai megguaka scatter plot pedeteksia uga megguaka ui Differet fitted value FITS (DfFITS). Hipotesis yag diguaka dalam peguia DfFITS adalah H 0 : Pecila ke i tidak berpegaruh, i=0,,,3... H : Pecila ke i berpegaruh Diasumsika bahwa f i = Y i Y i utuk i=0,,,3... dega s(f i ) sebagai galat baku, maka DfFITS didefiisika sebagai berikut: f i k DfFITS ei s( f i ) JKG( hii ) e i hii hii (3) Nilai h ii didapatka dega rumus (Motgomery da Peck,98) : H = X(X T X) X T (4) Regresi Robust Regresi Robust merupaka metode yag diguaka ketika ada beberapa pecila pada model. Metode ii merupaka alat petig utuk megaalisis data yag dipegaruhi oleh pecila sehigga dihasilka model robust atau kekar terhadap pecila. Suatu estimati yag robust adalah relatif tidak terpegaruh oleh perubaha kecil pada bagia besar data (Rya,997). Regresi Robust Estimasi-M Salah satu estimasi regresi robust yag palig petig da palig luas diguaka adalah estimasi-m yag diperkealka oleh Huber. Pada prisipya estimasi-m merupaka estimasi yag memiimumka suatu fugsi obektif ρ k mi ( e i) mi y i Xi (5) i i 0 i ei ( ui ) (6) ˆ i dimaa ( u i ) adalah fugsi simetris dari residual atau fugsi yag memberika kotribusi pada masig-masig residual pada fugsi obektif. Pada umumya suatu estimasi skala robust perlu diestimasi daˆ adalah skala estimasi robust. Utuk mecari ˆ pada regresi robust dega estimasi-m yag serig diguaka persamaa : media ei media( ei ) ˆ l l =,,3... 0,6745 (7) Peyelesaia Koefiesie Regresi Robust Estimasi-M Utuk memiimumka fugsi obektif ρ turua parsial pertama dari ρ terhadap β dimaa = 0,,..,k, harus disama degaka 0. Sehigga aka meghasilka suatu syarat perlu utuk miimum. Ii meghasilka sistem persamaa (Huber, 98): 0 (8) k y i X i e i 0 X i X i 0 (9) i ˆ i ˆ dimaa ' da X i adalah observasi ke-i pada parameter ke- da Xi0 didefiisika fugsi pembobot: ei ˆ W ( ui ) (0) ei ˆ Meurut Fox (00) fugsi obyektif diguaka utuk medapatka ilai fugsi pembobot pada regresi robust. Fugsi pembobot pada regresi robust estimasi-m yag serig diguaka adalah fugsi pembobot Huber. Kriteria fugsi pembobot Huber sebagai berikut: 38 Program Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma

3 Jural EKSPONENSIAL Volume 6, Nomor, Nopember 05 ISSN W ( u i ), u i c c, u i u i > c () u i merupaka residual ke-i, sedagka ilai c diyataka dega tuig costat. Tuig costat dalam regresi robust meetuka kerobusta peaksir terhadap pecila da efisiesi peaksir dalam ketidakadaa pecila. Jika diambil α = 5%, maka estimasi-m Huber aka efektif diguaka ilai c =,345 (Fox, 00). Meurut Motgomery da Peck (99), estimasi parameter pada regresi robust estimasi- M dilakuka dega estimasi Iteratively Reweighted Least Square (IRLS). Iterasi ii membutuhka proses iterasi dimaa ilai W i aka berubah ilaiya di setiap iterasi. Utuk megguaka IRLS, diaggap ˆ 0 ada daˆ l adalah skala estimlasi robust. Kemudia p = +k ditulis sistem persamaa : k X iwi y i Xi 0 () i 0 W adalah matriks diagoal berukura x dega eleme-eleme diagoalya, W W W. Jadi estimasi parameter W,,,,3, regresi robust dega IRLS, utuk l+ iterasi adalah: βˆ T l T l (X W X) X W y l = 0,,,3... (3) Ideks Harga Kosume Ideks Harga Kosume (IHK) merupaka salah satu idikator ekoomi petig yag dapat memberika iformasi megeai perkembaga harga barag da asa yag dibayar oleh kosume atau masyarakat, khususya masyarakat perkotaa. IHK megukur perubaha pegeluara/biaya barag da asa (komoditas) yag biasa dibeli oleh mayoritas rumah tagga dari waktu ke waktu. Dega kualitas da kuatitas paket komoditas yag diaggap kosta pada tahu dasar. Ideks tersebut semata-mata mecermika perubaha harga da didesai sebagai ukura dari dampak perubaha harga pada pembelia barag da asa (BPS, 04). Metode Peelitia Variabel peelitia yag diguaka ada 4 yaitu variabel Y merupaka data ideks harga kosume kota taraka, sedagka variabel X (baha makaa), X (sadag) da X 3 (pedidika). Adapu tekik aalisis data dalam peelitia ii adalah: ) Aalisis Deskriptif ) Peetua variabel da persamaa model regresi awal 3) Estimasi parameter model utuk data IHK Kota Taraka ) Peguia sigifikasi parameter 5) Persamaa model Regresi yag terbaik 6) Peguia Asumsi aalisis regresi liier bergada 7) Pedekteksia pecila 8) Permodela regresi liier bergada megguaka metode regresi robust dega estimasi-m Hasil da Pembahasa Hasil aalisis deskriptif pada data IHK Kota Taraka tahu Tabel. Aalisis Deskriptif Variabel Rataa Stadar Variasi Deviasi IHK 45,54 8,3 334,87 Baha Makaa 70,96 9,8 888,57 Sadag 30,5,3 5,09 Pedidika 36,5,7 47,64 Berdasarka Tabel aalisis deskriptif data IHK didapatka hasil bahwa rata-rata ilai harga ideks utuk IHK sebesar 45,54, ratarata harga ideks baha makaa, sadag da pedidika yag dikosumsi oleh kosume masig-masig sebesar 70,96, 30,5, da 36,5. Stadar deviasi utuk IHK sebesar 8,30. Ideks harga Baha makaa memiliki stadar deviasi sebesar 9,80, ideks harga sadag memiliki stadar deviasi sebesar,30 da ideks harga pedidika memiliki stadar deviasi sebesar,7. IHK, ideks harga baha makaa, ideks harga sadag da ideks harga pedidika memiliki variasi masigmasig sebesar 334,87, 888,57, 5,09 da 47,64. Diperoleh estimasi model regresi utuk data IHK Kota Taraka Tahu 00-04: 8,48 0,398 X 0,47 X 0, 98 X 3 Sebelum diaalisis lebih laut maka dilakuka peguia secara simulta (ui F), peguia variabel bebas secara parsial (ui t), da dilautka dega peguia asumsi. Peguia sigifikasi secara simulta (ui- F), utuk megetaui ada tidakya pegaruh variabel bebas terhadap variabel terikat. Hipotesis: H 0 : H : miimal ada satu 0 dimaa =0,,,3 Dari hasil diperoleh ilai p-value = 0,000 < α = 0,05, dega demikia meolak H 0, artiya miimal ada satu yag berpegaruh terhadap IHK. Program Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma 39

4 Jural EKSPONENSIAL Volume 6, Nomor, Nopember 05 ISSN Peguia sigifikasi secara parsial (ui-t) bertuua utuk melihat ada tidakya pegaruh secara idividual variabel bebas Tabel. Hasil Peguia Parameter Secara Parsial Paramater Estimate Stadard Error p-value (SE) Kostata 8,48 3,47 0 Baha Makaa 0,398 0,09 0 Sadag 0,47 0,054 0 Pedidika 0,98 0,07 0 Hipotesis: H 0 : 0 utuk = 0,,,3 H : 0 utuk = 0,,,3 Dari Tabel diperoleh bahwa ilai p-value utuk masig-masig parameter adalah sebesar 0,000 < α = 0,05 maka dapat diambil keputusa bahwa meolak H 0 da dapat disimpulka bahwa kostata, baha makaa, sadag da pedidika berpegaruh terhadap IHK. Berdasarka ui sigifikasi parameter yag berpegaruh, model persamaaa regresi merupaka persamaa model regresi yag terbaik. 8,48 0,398 X 0,47 X 0, 98 X 3 Peguia asumsi pada regresi liier bergada. Normalitas residual dega hipotesis sebagai berikut: H 0 : Residual berdistribusi ormal H : Residual tidak berdistribusi ormal Statistik ui yag diguaka adalah Kolmogorov-Smirov, diperoleh ilai p-value statistik ui Kolmogorov-Smirov adalah sebesar 0,0. Nilai p-value utuk Kolmogorov-Smirov sebesar 0,0 < α = 0,05, dega demikia keputusaya H 0 ditolak. Dapat disimpulka bahwa data residual tidak berdistribusi ormal. Pedeteksia Multikoliieritas dilakuka dega melihat ilai Variace Iflatio Factor (VIF). Tabel 3. Nilai VIF No Variabel VIF Baha Makaa 6,9 Sadag 9,3 3 Pedidika 3 Berdasarka Tabel 3 disimpulka bahwa tidak terdapat masalah multikoliieritas atara variabel baha makaa, sadag da pedidika dikareaka ilai VIF yag diperoleh lebih kecil dari 0. Peguia Autokorelasi dilakuka dega megguaka ui Durbi-Watso (DW) dega prosedur: Hipotesis: H 0 : Tidak terdapat masalah autokorelasi dalam model regresi H : Terdapat masalah autokorelasi dalam model regresi Statistik Ui: Statistik ui yag diguaka adalah Ui DW da diperoleh ilai DW adalah sebesar,730. Kriteria Peolaka: H 0 ditolak ika ilai 0< DW < d L H 0 diterima ika ilai d u < DW < 4-d u Kesimpula: Nilai DW =,784, ilai d L =,4064 da d U =,6708 Dilihat pada tabel Durbi-Watso berdasarka ilai k = 3, = 60 da α = 0,05. Sehigga d u (,4064) < DW(,730) <4 d u (,39) maka dapat disimpulka meerima H 0, adi tidak terdapat masalah autokorelasi dalam model regresi. Ui Heteroskedastisitas, adapu prosedurya peguiaya, hipotesis: H 0 : Tidak terdapat masalah heteroskedastsitas dalam model regresi H : Terdapat masalah heteroskedastsitas dalam model regresi Statistik ui yag diguaka adalah Ui Gleser. Nilai p-value utuk harga ideks baha makaa (X ), sadag (X ) da pedidika (X 3 ) sebesar adalah 0,49 > 0,05. Dega demikia, dapat disimpulka meerima H 0 atau tidak terdapat masalah heteroskedastisitas pada model regresi. Pedeteksia pecila dega megguaka scatter plot, didapatka hasil scatter plot atara IHK (Y) dega ilai residual, yag dapat dilihat pada Gambar. Pedeteksia pecila megguaka DfFITS. Hipotesis peguia DfFITS : H 0 : Pecila ke i tidak berpegaruh, dimaa i=,, H : Pecila ke i berpegaruh Nilai kritis utuk peguia DfFITS: k + = = 0,50 Adapu kriteria peguia yag meladasi keputusa adalah: DfFITS = < 0,50, H 0 diterima < 0,50, H 0 ditolak Hasil perhituga DfFITS 7, ke- sebagai sebagai berikut : k DfFITS ei JKG( h DfFITS= -0,5. ) ei h h 40 Program Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma

5 Jural EKSPONENSIAL Volume 6, Nomor, Nopember 05 ISSN Tabel 4. Hasil Legkap DfFITS No DfFITS DfFITS No DfFITS DfFITS -0,506 0, ,0969 0, ,346 0, ,08 0, ,4 0,4 33-0,0999 0, ,0685 0, ,069 0, ,433 0, ,0086 0, ,665 0, ,034 0, ,0453 0, ,0577 0, ,907 0, ,073 0, ,03 0, ,0505 0, ,777 0, ,07 0,07 0, , ,0579 0,0579 0,0369 0, ,0933 0, ,0966 0, ,839 0, ,0947 0, , , ,0735 0, ,905 0, , , ,79 0,79 7,93056, , , ,5475 0, , , , , ,3 0,3 0 0,0 0,0 50 0, , ,468 0, ,0579 0,0579-0,5 0, ,379 0, ,4 0, ,7369 0, ,885 0, ,847 0, ,934 0, ,0377 0, ,57 0, ,3603 0, ,945 0, ,05 0,05 8-0,0896 0, ,060 0, ,058 0, ,049 0, ,0357 0, ,577 0,577 Berdasarka Tabel 4. data pegamata ke- 5, da 7 dega ilai pecila sebesar 0,907, 0,54757,,93056 memiliki ilai yag lebih besar dari kriteria ui sebesar 0,50. Maka meolak H 0 sehigga disimpulka data ke-5, da 7 merupaka data pecila yag berpegaruh terhadap model regresi. Apabila terdapat pecila pada data maka aka dilautka aalisis dega metode regresi robust dega estimasi-m. Gambar. Scatter Plot Atar IHK dega Residual Utuk medapatka hasil regresi Robust peduga estimasi-m, maka pegeraaya dilakuka dega IRLS. Adapu lagkahlagkah pegeraaya sebagai berikut:. Meghitug parameter regresi awal dega megguaka metode OLS sehigga didapatka ilai β da medapatka ilai ei Yi i utuk mecari ilai pembobot awal. Didapatka model persamaa regresi awal dega metode OLS. 8,48 0,398 X 0,47 X 0, 98 X 3 ˆ. Mecari ilai l media e media( ˆ 0,6745 0,7953 ˆ,790 0, Meghitug ilai i u i e i u -,449,790 ˆ e ) -,084 e60,4505 u 60,34 ˆ, Mecari ilai pembobot W(u i ) sebagai ilai pembobot awal dega dega megguaka kriteria fugsi pembobot Hubber. W W,,60 5. Mecari ilai parameter regresi robust dega estimasi-m,543 0,47 X 0,94 X 0, 0 X 3 Model persamaa regresi robust diatas merupaka model regresi robust utuk iterasi-. Pada iterasi- belum diperoleh ilai yag koverge. Iterasi aka berheti sampai Program Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma 4

6 Jural EKSPONENSIAL Volume 6, Nomor, Nopember 05 ISSN didapatka ilai ˆ l selisih ilai da Iterasi OLS ˆ yag koverge yaitu l ˆ medekati 0. Tabel 6. Persamaa Model Regresi Persamaa Model Regresi 8,48 0,398X 0,47X 0, 98X 3,543 0,47X 0,94X 0, 0X3,94 0,49X 0,89X 0, 00X3,88 0,49X 0,90X 0, 00X3,959 0,40X 0,89X 0, 99X3,963 0,40X 0,89X 0, 99X3,964 0,40X 0,89X 0, 99X3,965 0,40X 0,89X 0, 99X3,965 0,40X 0,89X 0, 99X3 Berdasarka Tabel 4.6 didapatka hasil iterasi yag koverge, yaitu iterasi ke-7 da iterasi ke-8 medekati atau sama dega 0. Jadi persamaaa model regresi robust dega estimasi-m pada iterasi ke-7, dega persamaa model regresi robust sebagai berikut :,965 0,40 X 0,89 X 0, 99 Iterpretasi pada persamaa adalah ika baha makaa (X ), sadag (X ), da pedidika (X 3 ) sama dega 0, maka harga rata-rata IHK kota Taraka sebesar,965. Setiap peambaha satua ideks harga baha makaa (X ) aka meigkatka harga ratarata IHK kota Taraka sebesar 0,40, apabila sadag (X ), da pedidika (X 3 ) tetap. Setiap peambaha satua harga ideks sadag (X ) aka meigkatka harga rata-rata IHK kota Taraka sebesar 0,89 apabila baha makaa (X ), da pedidika (X 3 ) tetap. Setiap peambaha satua harga ideks pedidika (X 3 ) aka meigkatka harga rata-rata IHK kota Taraka sebesar 0,99 apabila makaa (X ), da sadag (X ) tetap. Berdasarka hasil peguia ormalitas residual megguaka metode regresi robust diperoleh bahwa residual telah berdistribusi ormal. Dapat disimpulka bahwa data residual berdistribusi ormal. Diketahui bahwa ilai R adalah sebesar 0,997. Nilai ii meuukka bahwa 99,6 % variasi IHK dipegaruhi oleh variasi baha makaa, sadag da pedidika. Sedagka 0,4% dipegaruhi oleh faktor lai yag tidak dimasukka dalam model. Terdapat perbedaa ilai R pada regresi metode OLS dega regresi metode robust. Pada metode OLS ilai R sebesar 99,% sedagka pada metode regresi robust ilai R sebesar 99,6%. X 3 Kesimpula Berdasarka hasil peelitia da pembahasa, maka diperoleh kesimpula sebagai berikut:. Pada data Ideks Harga Kosume (IHK) kota Taraka pada tahu terdapat satu pecila yaitu, data pada pegamata ke-5, da 7.. Model aalisis regresi robust dega estimasi-m pada data IHK kota Taraka tahu adalah :,965 0,40 X 0,89 X 0, 99 X 3 3. Faktor-faktor yag mempegaruhi data Ideks Harga Kosume (IHK) Kota Taraka tahu yaitu baha makaa, sadag da pedidika. Daftar Pustaka Bada Pusat Statistik Publikasi Resmi Bada Pusat Statistik Provisi Kalimata Timur. Draper, N da H. Smith. 99. Aalisis Regresi Terapa, Teremaha Edisi Kedua. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama. Fox, J. 00. Robust Regressio. Appedix to A R ad S-Plus Compaio to Applied Regressio. Guarati, D Ekoometrika Dasar. Jakarta: Erlagga. Guadi, M. 0. Regresi Robust dega Metode M-Estimator da Aplikasiya pada Regresi Liier Sederhaa: Skripsi (S), FMIPA Uiversitas Mulawarma. Huber, P.J. 98. Robust Statistic. Caada: Joh Wiley & Sos Ic. Motgomery, D. C., Peck, E. A. 99. Itroductio to Liear Regressio Aalysis, d editio. New York: Joh Wiley & Sos, Ic. Rya, T.P Moder Regressio Methods. A Wiley-Itersciece Publicatio: New York. Sembirig, R.K., 995. AalisisRegresi. Badug: ITB. Soermatii Pecila (Outlier). Jatiaggor: Uiversitas Padaara. Sudaa. 00.Metode Statistika. Badug: Tarsito. Widaroo, A Ekoometrika Teori da Aplikasi utuk Ekoomi da Bisis. Ekoisia: Yogyakarta. 4 Program Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma