Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear

Transkripsi

1 Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan sehari-hari adalah materi matriks dan sistem persamaan linear. Dengan menggunakan matriks maka permasalahan yang kompleks dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana dan selanjutnya dapat diselesaikan dengan lebih cepat dan akurat. Di lain pihak banyak permasalahan kontekstual yang menuntut suatu penyelesaian yang harus memenuhi banyak kendala, seperti ketersediaan dana dengan kebutuhan yang ada. Model matematika sederhana yang dapat digunakan untuk permasalahan seperti ini adalah sistem persamaan linear. Modul berjudul Matriks dan Sistem Persamaan Linear ini membahas tentang pengertian/definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks dan sifat-sifatnya, determinan matriks, invers matriks, sistem persamaan linear dan cara penyelesaiannya, serta penggunaan matriks dalam penyelesian sistem persamaan linear. Modul ini dikemas dalam empat topik dan seluruhnya diberi alokasi waktu enam belas jam pelajaran. Empat topik tersebut disusun dengan urutan sebagai berikut: Topik 1: Pengertian Matriks dan Jenisnya Topik 2: Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya Topik 3: Determinan dan Invers Matriks Topik 4: Sistem Persamaan Linear dan Penyelesaiannya Setelah mempelajari modul ini Anda peserta PPG DALJAB akan dapat: 1) menjelaskan pengertian/definisi matriks; 2) menyebutkan jenis-jenis matriks dan contohnya; 3) menentukan hasil operasi matriks; 4) menentukan sifat-sifat operasi matriks; 5) menjelaskan pengertian determinan matriks; 6) menghitung determinan matriks; 7) menyebutkan pengertian invers matriks; 8) menentukan invers matriks; 9) menuliskan bentuk sistem persamaan linear (SPL) dua dan tiga variabel; 10) menjelaskan macam-macam SPL; 11) menjelaskan pengertian penyelesaian (solusi) dan himpunan penyelesaian suatu SPL; 12) menentukan 1

2 himpunan penyelesaian SPL; 13) menyelesaikan SPL dengan operasi matriks. Kompetensi-kompetensi tersebut di atas sangat diperlukan bagi Anda yang bekerja sebagai guru matematika. Penguasaan materi modul ini secara mendalam dapat mendukung Anda untuk dapat melaksanakan pembelajaran di kelas dengan lebih mantap dan profesional. Proses pembelajaran untuk materi matriks dan sistem persamaan linear dalam program PPG DALJAB yang sedang Anda ikuti sekarang ini, dapat berjalan dengan lebih lancar dan berhasil bila Anda mengikuti langkah-langkah belajar sebagai berikut. 1. Pahami setiap pengertian/definisi dan contohnya yang ada dalam setiap topik. 2. Buat rangkuman definisi dan sifat/teorema yang ada dalam setiap topik dengan menggunakan bahasa dan notasi matematika yang mudah dipahami. 3. Kerjakan Tugas yang adauntuk memperdalam penguasaan materi. 4. Kerjakan setiap soal Tes Formatif dan cocokan dengan kunci jawaban yang telah tersedia. 5. Kerjakan Tes Sumatif yang ada dalam modul 2.5 yang merupakan bagian akhir bidang kajian aljabar dan program linear. 6. Keberhasilan proses pembelajaran Anda dalam modul ini sangat tergantung kepada kesungguhan Anda dalam mengerjakan tugas dan tes formatif. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat. 7. Bila Anda menemui kesulitan, silakan hubungi instruktur/widiaiswara pembimbing atau fasilitator yang mengajar modul ini. Baiklah saudara perserta PPG DALJAB selamat belajar, semoga Anda sukses menguasai pengetahuan yang disajikan dalam modul ini untuk bekal bertugas sebagai guru mata pelajaran matematika yang profesional. B. Capaian Pembelajaran Menguasai teori bilangan, matriks dan sistem persamaan linear, vektor dan ruang vektor, grup, dan program linear. 2

3 C. Sub Capaian Pembelajaran 1. Menguasai pengertian/definisi matriks dan jenis-jenisnya. 2. Menguasai operasi matriks dan sifat-sifatnya. 3. Menguasai determinan matriks dan invers matriks serta sifat-sifatnya. 4. Menguasai sistem persamaan linear dan metode penyelesaiannya. D. Uraian Materi 1. Matriks dan Jenisnya 2. Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya a. Operasi Matriks Definisi Jika A=(a ij ) mxn dan B=(b ij ) mxn maka jumlah A dan B, ditulis A+B, didefinisikan sebagai A+B=(a ij + b ij ) mxn. Matriks yang ukurannya tidak sama tidak dapat dijumlahkan. Contoh Jika A = ; B = ; C = ; D= maka: A + B = =. C + D = =. Matriks A dan C di atas tidak dapat dijumlahkan karena ukurannya tidak sama. Definisi Jika A=(a ij ) mxn dan B=(b ij ) mxn maka A B didefinisikan sebagai A+(-B)= (a ij +(-b ij )) mxn = (a ij - b ij ) mxn. Operasi pengurangan tidak dapat dilakukan pada matriks yang ukurannya tidak sama. Contoh Jika A = ; B =, C=, 3

4 maka: A - B = =. A-C, B-C, C-A, C-B tidak dapat dilakukan. Definisi Jika A=(a ij ) mxn dan α suatu bilangan riil maka hasilkali A dan α, ditulis αa, didefinisikan sebagai αa=( αa ij ) mxn. Contoh Jika A = maka 3A=3 =, dan -2A T = -2 =. Definisi Jika A=(a ij ) mxn dan B=(b ij ) nxr maka hasilkali A dan B, ditulis dengan AB dan didefinisikan sebagai matriks berukuran mxr yang komponen baris ke-i kolom ke-j dari AB adalah. Jika banyaknya kolom matriks A tidak sama dengan banyaknya baris matriks B maka AB tidak terdefinisi. Contoh Jika A= dan B =, maka AB = =, dan BA tidak terdefinisi karena banyaknya kolom matriks B tidak sama dengan banyaknya baris matriks A. b. Sifat-sifat Operasi Matriks 4

5 Setelah mengetahui operasi matriks, yakni operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, dan perkalian dua matriks, maka ada beberapa sifat yang berlaku. Sifat-sifat tersebut dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema Jika A, B, C adalah matriks-matriks yang dapat dijumlahkan maka: 1. A + B = B + A. 2. A + (B + C) = (A + B) + C. 3. Untuk setiap matriks A, terdapat matriks O yang semua komponennya nol sehingga A + O = O+ A = A. 4. Untuk setiap matriks A=(a ij ) mxn terdapat matriks -A=(-a ij ) mxn sehingga A + (-A) = (-A)+A= O. Teorema Misalkan A, B matriks yang ukurannya sama, dan α, β bilangan riil. 1. α(a+b) = αa + αb. 2. (α + β)a = αa + βa. 3. (α β)a = α(βa). 4. α(ab) = (αa)b = A(αB). Teorema Misalkan A, B, C matriks-matriks sedemikian hingga operasi yang dinyatakan dapat dilakukan, maka: 1. A(BC) = (AB)C. 2. A(B+C) = AB + AC. 3. (B+C)A= BA + CA. 4. (A+B) T = A T + B T dan (A-B) T = A T - B T. 5. (ka) T = k A T, dengan k skalar. 6. (AB) T = B T A T. E. Rangkuman Dari uraian materi di atas, maka untuk mengingat kembali pengertian/ definisi dan sifat-sifat/teorema yang terkait dengan operasi matriks dan sifatsifatnya, disajikan dalam rangkuman berikut. 5

6 1. Jika A=(a ij ) mxn dan B=(b ij ) mxn maka jumlah A dan B, ditulis A+B, didefinisikan sebagai A+B=(a ij + b ij ) mxn. 2. Jika A=(a ij ) mxn dan α suatu bilangan riil maka hasilkali A dan α, ditulis αa, didefinisikan sebagai αa=(αa ij ) mxn. 3. Jika A=(a ij ) mxn dan B=(b ij ) nxr maka hasilkali A dan B, ditulis dengan AB dan didefinisikan sebagai matriks berukuran mxr yang komponen baris kei kolom ke-j dari AB adalah. 4. Penjumlahan matriks bersifat komutatif dan asosiatif. 5. Perkalian matriks bersifat asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan. 6