PENGENDALIAN PROSES VARIABILITAS MULTIVARIATE MELALUI VEKTOR VARIANSI CONTROL ON MULTIVARIATE VARIABILITY PROCESS THROUGH VARIANCE VECTOR

Transkripsi

1 PENGENDALIAN PROSES VARIABILITAS MULTIVARIATE MELALUI VEKTOR VARIANSI CONTROL ON MULTIVARIATE VARIABILITY PROCESS THROUGH VARIANCE VECTOR Sahabuddin, Erna Herdiani, Armin Lawi Bagian Matematika Terapan, Fakulta Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Univerita Haanuddin. Alamat Korepondeni: Sahabuddin Fakulta Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univerita Haanuddin Makaar, HP:

2 ABSTRAK Pengendalian proe variabilita dimana melibatkan lebih dari dua karakteritik kualita proe yang aling berhubungan yang diebut Pengendalian Proe Multivariate. Penelitian ini bertujuan melakukan pengkajian tentang vektor variani dalam pengendalian variabilita dalam proe multivariate. Jeni penelitian yang dilakukan dalah tudi keputakaan. Sumber data yang digunakan merupakan data ekunder dari Badan Meteorologi dan Geofiika Kota Semarang dengan melibatkan 4 variabel yakni Curah hujan (X1), Suhu Udara (X), kelembaban udara (X3) dan kecepatan angin (X4). Pengendalian variabilita proe melalui Vektor Variani dapat dinyatakan dalam bentuk Tr(S) = (vec(s)) (vec(s)). Selanjutnya pembentukan bagan kendali dapat ditentukan dengan menggunakan tatitik vektor variani terebut. Dari analii data diperoleh vektor variani BKA=7,x108, BKB=-,47x108, dan GT=, Kata kunci : Multivariate, Vektor Variani, Penakiran Parameter, Bagan Kendali ABSTRACT The variablity proce control involved more than two proce quality characteritic which were to each other called the variability control. The reearch aimed at conducting the variance vector in the variability control in the multivariate proce. Thi wa a library tudy reearch by collecting the literature in the form of the relevant book and journal. The data reource ued a the ample in the reearch were the econdary data from the board of Metorology and Geophic of Semarang City by involving 4 variable i.e: rainfall (X 1 ), temperature (X ), humidity (X 3 ), wind velocity (X 4 ). The reearch reult indicate that the proce variability control through the variance vector can be tated in the of Tr(S) = (vec(s)) (vec(s)). Then the controling chart formation i determine by uing the variance vector tatitic. The weather data analyi in Semarang through the variance vector tatitic i found that BKA i: 7,x108, BKB=-,47x108, and GT=, Keyword: Multivariate, Variance Vector,Parameter Interpretation, Controling Chart.

3 PENDAHULUAN Pengendalian proe variabilita merupakan alah atu daar yang digunakan dalam indutri untuk meningkatkan kualita proe produki. Dalam prakteknya pengendalian proe menggunakan peta kendali, merupakan alah atu alat atau cara untuk peningkatan kualita produce, (Anderon, 003). Peta kendali berdaarkan variabel yang terlibat terbagi ata peta kendali atu variabel (univariat) dan peta kendali lebih dari atu variabel (multivariate) (Djauhari, dkk. 010). Pengendalian proe multivariat merupakan alah atu bagian yang cepat berkembang karena ada banyak ituai real yang melibatkan lebih dari dua karakteritik kualita proe yang aling berhubungan. Pengendalian proe multivariate ini elanjutnya dikenal ebagai Multivariate Statitic Proe Control (MSPC), (Djauhari, 011). Peta kendali Shewhort pada umumnya diamakan untuk pengendalian mean proe dan variabilita proe. Pada tei ini penuli akan membaha tentang peta kendali untuk variabilita proe. Pada pengendalian variabilita proe berdaarkan atu variabel, praktii banyak menggunakan peta kendali Standar Deviai (SD) dan Range (R), edangkan untuk kau multivariate pengendalian variabilita proe menggunakan peta kendali S, dimana S adalah matrik variai kovariani ampel atau diebut ebagai matrik diperi,(rencer, 00). Pada penelitian univariate dimana ebuah teknik tatitik yang digunakan untuk mematika bahwa proe memenuhi tandar, membuat pengukuran dan mengambil tindakan elagi ebuah produk edang diproduki, (Render 005). Untuk data yang cukup bear akan memiliki kendala dalam perhitungannya oleh karena itu, Herwindiati dkk (009) mengatakan Tr (S ) ebagai ukuran diperi multivariate. Pada proe ini penuli tertarik untuk mengkaji lebih dalam tentang Tr (S ) yang digunakan untuk maalah tatitik pengendalian proe multivariate, dimana Tr (S ) pertama kali dikembangkan oleh, ( Djauhari 007). Dengan demikian maka pada tei ini akan dikaji tentang pembentukan peta kendali dari Variabilita Proe melalui Statitik Vektor Variani dan akan diaplikaikan pada data curah hujan, uhu udara, kelembaban udara dan kecepatan angin yang merupakan data ekunder BMG Semarang. Tujuan dalam penelitian ini adalah melakukan pengkajian tentang vektor variani dalam pengendalian variabilita dalam proe multivariate yang elanjutnya akan diaplikaikan pada data Sekunder dari Badan Meteorologi dan Geofiika Kota Semarang.

4 BAHAN DAN METODE Jeni penelitian ini merupakan tudi keputakaan dengan mengumpulkan literatur berupa buku dan jurnal yang berhubungan dengan pengendalian proe variabilita multivariate. Sumber data yang akan digunakan ebagai contoh pada penelitian merupakan data Sekunder dari Badan Meteorologi dan Geofiika Kota Semarang. Dalam penelitian ini merupakan penelitian multivariat dengan melibatkan beberapa peubah yakni pada curah hujan, uhu udara, kelembaban udara dan kecepatan angin. Adapun metode atau langkahlangkah dalam menentukan bagan kendali dari data terebut adalah menentukan variabelvariabel penelitian dan jumlah ampel, menentukan matrik varian-kovariani ampel, menentukan variani vektor (VV), menakir parameter dari variani vektor, menentukan bata-bata kendali (BKA dan BKB) yang dibangun berdaarkan variani vektor, diperoleh bata kendali ata dan bawah untuk emua data berada dalam pengontrolan dan memonitoring data elanjutnya. HASIL Berdaarkan analii data terebut dan dari tabel 1 dan erta gambar 1 dan terindikai bahwa eluruh data pendahuluan berada di dalam pengendalian, ehingga bata kendali yang diperoleh dapat digunakan untuk memonitoring data elanjutnya yaitu data tahun 004 dan 005 ebagai fae ke II (Fae monitoring) dimana memiliki nilai yang maih berada dalam bata pengendalian. Jadi dapat diimpulkan bahwa keragaman data cuaca maih dalam pengendalian. Adapun analii tatitik dari aplikai terebut adalah ebagai berikut: Mialkan X, X,, X adalah vektor-vektor acak yang aling beba dan memiliki ditribui identik, ehingga vektor acak X berditribui normal p variat dengan vektor mean μ dan matrik kovariani Σ atau ditulikan dalam lambang: dimana N = jumlah (ukuran) ampel p = banyaknya peubah dan X ~ N (μ, Σ) (1) X X X = X

5 Pada kau univariat, jika X, X,, X adalah ampel acak dengan X~N(μ, σ ). Mialkan Σ adalah matrik varian kovarian dari X, maka matrik variani kovariani ampel dari X adalah S, dimana dengan σ σ σ Σ = σ σ σ ; S = σ σ σ = X X X X, i = 1,,, p, k = 1,,, p maka vec(s) dapat dituli ebagai vec (S) = () Selanjutnya, dapat ditulikan bahwa (vec(s)) (vec(s)) = =

6 Adapun TrS TrSS Tr p p 1p p p p 1p p p p p Tr p111 p1... p1 p1 11 p p p... 1p p p p 11 1p 1 1p p1 1p 1 p p p p p p... p p p + + = p1, p1 1p p p... Karena S merupakan matrik imetri maka ij = ji untuk etiap i,j = 1,,, p, maka berlaku Tr S = p p + +, (3) 1 p p... Dengan demikian Vektor Variani ampel S jumlah elemen-elemen diagonal dari matrik S, yaitu Tr(S ) = Tr = (vec(s)) (vec(s)) merupakan (4) Vektor Variani dapat digunakan untuk pengendalian variabilita proe. Salah atu caranya adalah dengan membentuk bagan kendali dengan menggunakan tatitik variani vektor terebut. Kau 1 Mialkan uatu ub grup ke 1,,...m memiliki jumlah ampel yang berbeda, elanjutnya jumlah ampel dari etiap ub grup itu diebut dengan n 1 n n.. n. Statitik yang akan digunakan adalah : Tr(S ) ~ N(Tr(Σ ), Tr(Σ4 )) (5) adapun mean dari Tr(S ) adalah Tr (Σ ) dan variani dari Tr(S ) adalah Adapun nilai takiran adalah : Tr(Σ4 ).

7 1 1 gab Tr S gab E Tr S n m (5a) Tr S gab Tr S gab var 1 n 1 n m n m (5b) Jadi bagan kendali dari Tr(S ) adalah ebagai berikut : Bata kendali ata (BKA): BKA = 1 + TrS Gari tengah : TrS () (5c) GT = 1 + TrS (5d) Bata kendali bawah (BKB) : BKB = 1 + TrS TrS () (5e) m n 1 S 1 S n S i i m i1 gab m n m i1 ni 1 i 1 i i1 (5d) m dimana n ni i1 Kau Mialkan uatu ub grup ke 1,,...m memiliki jumlah ampel yang ama, elanjutnya jumlah ampel dari etiap ub grup itu diebut dengan n 1 = n = n.. = n = n. Statitik yang akan digunakan adalah : Tr(S ) ~ N(Tr(Σ ), Tr(Σ4 )) (6) adapun mean dari Tr(S ) adalah Tr (Σ ) dan variani dari Tr(S ) adalah Adapun nilai takirannya adalah 1 1 Tr S E Tr S m n0 1 Tr(Σ4 )., (6a)

8 Tr S Tr S n0 1 m n0 1 mn0 1 var 1 (6b) dimana : n1, n,..., n m menyatakan jumlah ampel pada ub grup ke-1,,.,m Jadi bagan kendali dari Tr(S ) adalah ebagai berikut: Bata kendali ata (BKA): BKA = 1 + Gari tengah: GT = 1 + ( ) ( ) TrS Bata kendali bawah (BKB): BKB = 1 + ( ) ( ) + (( )) TrS (6c) TrS (6d) TrS ( ) + (( )) TrS (6e) Berdaarkan bata bata inilah akan dilakukan pengendalian proe multivariate dari data cuaca di Kota Semarang. PEMBAHASAN Penelitian ini menunjukkan bahwa keragaman data cuaca maih dalam pengendalian dengan menggunakan tatitik vektor variani Tr(S ). Pada Peneliti ebelumnya alah atunya adalah Sinderal (007) mendalami pada tatitik determinan matrik S, R, G, dan W, demikian pula Cleroux (1987) mengukur pada hubungan linear antara dua vektor X dan X edangkan pada penelitian Narah (010) mengatakan bahwa ada keamaan ignifikan matrik kovariani melalui variani vektor untuk beberapa ampel. berdaarkan bata kendali yang diperoleh maka tatitik pengendalian multivariate melalui vektor variani akan diaplikaikan dari data ekunder yang diambil berdaarkan curah hujan, uhu bulanan, kelembaban udara, dan kecepatan angin. Pada analii terebut penuli membagi dalam fae yakni fae 1 ebagai data pendahuluan dan fae ebagai monitoring. Analii data terebut adalah ebagai berikut : Untuk m = 3 dan ukuran ampel n = 1, maka diperoleh Bata kendali ata (BKA): BKA = 1 + ( ) TrS ( ) (( )) TrS

9 BKA = 1 + () ( ,) () (()) (5, ) BKA = 1 + 3(11) ( ,) (11) + 1 (3(11)) (5, ) BKA = ( ,) (5, ) BKA = (1 + 0,061)( ,) + 30,77{1 + 0, ,033} (5, ) BKA = (1,061)( ,) + 30,77{1,397} (5, ) BKA = (1,061)( ,) + 30,5(5, ) BKA =37,566,366, , BKA =37,566,366,99 + 3(161,5. 10 ) BKA =37, ,56 10 BKA =7,13 10 BKA =7, 10 Gari tengah (GT): GT = 1 + ( ) TrS GT = 1 + ( ,) 3(1 1) GT = 1 + ( ,) 3(11) GT = 1 + ( ,) 33 GT = (1,061)( ,) GT =37,566,366 GT =,37 10 Bata kendali bawah (BKB): BKB = 1 + ( ) TrS ( ) (( )) TrS BKB = 1 + () ( ,) () (()) (5, ) BKB = 1 + 3(11) ( ,) (11) + 1 (3(11)) (5, ) BKB = ( ,) (5, ) BKB = (1 + 0,061)( ,) 30,77{1 + 0, ,033} (5, )

10 BKB = (1,061)( ,) 30,77{1,397} (5, ) BKB = (1,061)( ,) 30,5(5, ) BKB =37,566,366, , BKB =37,566,366,99 3(161,5. 10 ) BKB =37, ,56 10 BKB =-46,99 10 BKB =-,47 10 KESIMPULAN DAN SARAN Pengendalian variabilita proe melalui Vektor Variani dapat dinyatakan dalam bentuk S Tr = (vec(s)) (vec(s)), Selanjutnya pembentukan bagan kendali dapat ditentukan dengan menggunakan tatitik vektor variani terebut. Bata kendali dari variani vektor berdaarkan jeni dari data dibagi menjadi yakni: jumlah ampel yang berbeda, n 1 n n.. n dan jumlah ampel yang ama n 1 = n = n.. = n = n. Dari hail Analii data cuaca di Semarang melalui tatitik vektor variani diperoleh bahwa kondii cuaca di kota terebut maih dalam pengendalian. Berdaarkan penelitian yang telah dilakukan, diarankan agar para peneliti elanjutnya mentandarkan data cuaca ini, karena keragaman pengukuran membuat nilai dari etiap peubah bernilai bear. Selain itu, perlu adanya perbandingan dengan tatitic lain agar dapat diperoleh manakah yang lebih efektif dan efiien, tatitik variani vektor atau determinan dari matrik kovariani untuk data cuaca ini.

11 DAFTAR PUSTAKA Anderon, T.W. (003). An Introduction to Multivariate Statitical Analyi. John Wiley & Son Inc. New York. Cleroux (1987), Multivariate Quality Control. In: Kotz, S, Johnon, N. ed.encyclopedia of Statitical Science. 6. New York, N. Y.: John Wiley & Son, hal Djauhari, Maman A. (011). Geometric Interpretation of Vector Variance. Univeriti Teknologi Malayia. Jurnal Matematika, Volume 7, Number 1, (008). A Robut Etimation of Location and Scatter. Malayian Journal of Mathematical Science (1), (007). A meaure of Data Concentration. Journal of Alied Probalility & Statitic. (). Hal Djauhari, Maman A., dkk. (010). How to Control Proce Variability more Effectively: the cae of a b-complex Vitamin production proce, (Online), ( diake 10 Maret 013 jam 11.00). (008). Multivariate Proce Variability Monitoring, Communication in Statitic. Herwindiati, dkk. (009). The Robut Ditance for Similarity Meaure Of Content Baed Image Retrieval. Journal. Vol II:1-5 Montgomery, D. C. (001). Introduction to Statitical Quality Control 4th edition. John Wiley & Son Inc. New York. Sirajang, Narah. (010). Pengujian Hipotei keamaan Matrik Kovariani Melalui Variani Vektor Untuk Beberapa Sampel. Tei. Univerita Haanuddin Makaar. Rencher. (00). Method of Multivariate Analyi. John Wiley & Son Inc. New York. Render. ( 005). Optimal monitoring of multivariate data for fault pattern. Journal of Quality Technology, 39(), Sinderal (007). Matrix Analyi for Statitic. John Wiley & Son Inc. New York.

12 Tabel 1. Matrik Kovariani ampel tahun Tahun Matrik Tr(S ) 1680,984 5,809 48,75 3,93 5,809 0,367 1,503 0, ,1 48,75 1, , ,114 1,4 1, ,416 44, , , ,,514 0, ,4 518,105,514 7,409 3,017 3,169 0,53 3,017 1, ,105 43, ,65 6,743 43,330 0,437 3,817 0, ,5 846,65 3,817 60,656 1,45 6,743 0,039 1,45 0,956 Rata-rata 158,495 48,05 504,49 61,33 48,05 0,46,77 0, , 504,49,77 8, ,33 0, ,063 Tabel. Matrik Kovariani ampel tahun Tahun Matrik Tr(S ) 158,495 48,05 504,49 61, , ,05 0,46,77 0, ,49,77 8, ,33 0, , ,719 18, , , , ,663 0,89 1,513 3, ,790 1,513 0, ,47 3, , ,607 33, ,14 73, , Rata-rata 33,344 0,376,1 1, ,14,1 4,364 10,135 73,119 1,401 10,135 19,061

13 BKA = 7, 10^ GT =,37 10^ E+08 BKB = -,47 10^8 Gambar 1. Grafik bagan kendali vektor variani pada data pendahuluan cuaca di Kota Semarang BKA = 7, 10^ GT =,37 10^ BKB = -,47 10^8 -.5E+08 Gambar. Grafik bagan kendali vektor variani pada data memonitoring cuaca di Kota Semarang