PENERAPAN GRAFIK HOTELLING T 2 BIVARIAT PADA KARATERISTIK KUALITAS PARFUM REMAJA DARI PERUSAHAAN X

Transkripsi

1 PENERAPAN GRAFIK HOTELLING T BIVARIAT PADA KARATERITIK KUALITA PARFUM REMAJA DARI PERUAHAAN X Fitria Puspitoningrum ), Adi etiawan ) dan Hanna A.Parhusip ) ) Mahasiswa Program tudi Matematika FM UKW Jl. Diponegoro 5-60 alatiga 507, fitri.puspita99@yahoo.com ) Dosen Program tudi Matematika Fakultas ains dan Matematika Universitas Kristen atya Wacana Jl. Diponegoro 5 60 alatiga 507 Abstrak Pengukuran karateristik kualitas produk parfum remaja dari perusahaan X digambarkan dengan gambaran grafik yang memenuhi batas spesifikasi yang telah ditetapkan oleh perusahaan. Dalam makalah ini pengukuran kualitas parfum remaja tersebut diusulkan dengan menerapkan grafik pengendali Hotelling T yang menitik beratkan adanya korelasi signifikan antara karateristik yang satu dengan lainnya. Berdasarkan grafik tersebut kemudian digunakan untuk membuat perbandingan batas ellips antara daerah spesifikasi dan daerah proses. Perbandingan kedua batas ellips tersebut digunakan untuk menghitung indeks kemampuan proses multivariat dari karateristik kualitas produk parfum remaja dari perusahaan X sehingga diperoleh nilai indeks lebih dari dan dapat dikatakan proses produksi sudah berjalan baik. Kata Kunci : Grafik Pengendali Hotelling Indeks Kemampuan Proses. T, Batas Ellips, Koefisien Korelasi,. Pendahuluan Perkembangan sektor industri menuntut persaingan antar pelakunya dalam menjaga dan mengembangkan kualitas produk agar menarik minat konsumen untuk membelinya. Kualitas produk tinggi memiliki karateristik yang digambarkan dari ciri fisik, indera dan orientasi waktu. Oleh karena itu dibutuhkan proses pengendalian kualitas produk agar karateristik dari produk sesuai dengan harapan. Pengendalian kualitas produk yaitu aktivitas keteknikan dan manajemen untuk mengukur ciri-ciri kualitas produk, membandingkannya dengan spesifikasi dan mengambil tindakan penyehatan jika terdapat perbedaan antara penampilan sebenarnya dengan yang standar. Untuk mengendalikan kualitas produk diperlukan metode ststistik yang prosesnya dimulai dengan pengambilan sampel, pengujian serta evaluasi, sehingga informasi yang diperoleh dapat digunakan sebagai pengendali proses dan dapat meningkatkan kualitas proses produksi (Montgomery, 990). Metode statistik ini disebut dengan grafik pengendali ( control chart ). Dalam makalah ini akan dijelaskan pengendalian terhadap 3 karateristik kualitas produk parfum remaja dari perusahaan X dengan menggunakan grafik pengendali

2 Hotelling T yang menitik beratkan adanya korelasi yang signifikan antara karateristik satu dan karateristik yang lain. Ketiga karateristik kualitas produk tersebut dimisalkan sebagai x = ph dalam parfum remaja, x = refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas dan x 3 = massa jenis parfum remaja. elanjutnya akan dihitung nilai indeks kemampuan proses terhadap variabel dari karateristik produk tersebut.. Metodologi Penelitian. Grafik Pengendali Hotelling T Grafik pengendali Hotelling T diperkenalkan oleh Harold Hotelling pada tahun 947 dengan menggunakan data pembidik bom selama Perang Dunia II. Hotelling T merupakan generalisasi dari distribusi-t. Diketahui sampel berdistribusi normal yang terdiri dari q karakteristik kualitas, dengan m menggambarkan banyaknya sampel, dan masing masing sampel berukuran n, rataan (mean) dan variansi (variance) sampel dihitung dari j =,,..., q dan k =,,..., n, x = n jk x ijk n i= () n i ( ) x x jk = ijk jk () n = j =,,..., q dan k=,,..., n. Dalam hal ini x jk adalah pengamatan ke i pada karateristik kualitas ke-j dalam sampel ke-k. Kovariansi antara karateristik kualitas j dan karateristik kualitas h pada sample ke- k adalah jhk n = n i= ( x x )( x x ) ijk jk ihk hk (3) k=,,,m dan j h. elanjutnya dari persamaan (), () dan (3) dihitung meliputi seluruh m sampel untuk memperoleh x j = m m k= x jk j =,,..., q (4) j = m m k= jk j =,,..., q (5)

3 dan jh = m m k= jhk j h. (6) x j merupakan elemen dari vektor rataan x dan matriks kovariansi berdasarkan persamaan (6) dapat disusun sebagai berikut = Nilai T untuk masing masing sampel adalah T j = m x L L M q q M q ( x ) ( x x ) '. (7), (8) dengan n adalah ukuran masing masing sampel dan - merupakan invers dari matriks kovariansi ( Montgomery, 00). Batas grafik pengendali dapat ditentukan dari persamaan q( m + )( m ) BPA = F, q,( q, m q) m( m q) α, (9) dengan BPA adalah Batas Pengendali Atas, m menggambarkan banyak sampel, dan α adalah prosentase kesalahan proses yang diijinkan ( Montgomery, 00). Jika nilai T untuk sampel ke-j, yaitu T j > BPA, hal ini menunjukkan sampel ke-j di luar kendali (Young, 999).. Indeks Kemampuan Proses Multivariat Indeks Kemampuan Proses Multivariat (Multivariate Capability Process) adalah suatu indeks proses yang menunjukkan nilai rasio antara penyebaran (variabilitas) spesifikasi produk yang diijinkan dan penyebaran proses aktual yang melibatkan lebih dari satu variabel. Ada beberapa macam metode perhitungan indeks kemampuan proses, salah satunya adalah metode indeks kemampuan proses MC pm (Zahid, 008). Perhitungan nilai indeks kemampuan proses MC pm ini didefinisikan sebagai rasio dari dua volume yaitu vol( R ) MC = pm vol( R ) 3

4 dengan R merupakan daerah ellips spesifikasi, sedangkan R merupakan daerah proses 00( α )%. Jika data berdistribusi normal multivariat maka R berbentuk ellipsoid sedangkan R merupakan ellipsoid terbesar yang berada dalam daerah spesifikasi ditunjukkan pada Gambar dan berpusat pada target dengan volume R adalah p μ i vol( R ) = i = p p / π Γ ( p / ) dengan µ i merupakan nilai tengah spesifikasi ke-i (i=,,3,...,p). Gambar. Contoh Gambar Perbandingan Ellips Volume R dapat dituliskan dalam bentuk / / p / ' [ ] ) ( ( )) ( / ) ( ) vol ( R = πk p Γ p + ( ) + x μ x μ dengan K(p) merupakan kuantil 00( α )% dari distribusi χ dengan derajat bebas p, adalah matriks kovariansi dan x menyatakan vektor rata rata data. Nilai estimasi indeks MC pm ditentukan dengan rumus atau dengan M Cˆ = pm vol( R ) / p / ( πk ( p)) [ Γ( p / + ) ] m + ( x μ) ' ( x μ) m / Cˆ p MCˆ pm = (0) Dˆ 4

5 Cˆ p = / Notasi yang ditunjukkan oleh Γ( ) determinan (Pan & Lee, 009). ( πk ( p)) vol( R ) p / [ ] Γ( p / + ) ' ( x μ) ( x μ) / ˆ m D = +. m menyatakan fungsi gamma, notasi menyatakan Menurut Zahid (Darmawan,00), jika nilai indeks lebih dari maka proses mempunyai variasi lebih kecil dibandingkan dengan batas spesifikasi sehingga dapat dikatakan proses produksi telah berjalan dengan baik. ebaliknya, jika indeks bernilai kurang dari hal tersebut menunjukkan variasi proses lebih besar daripada batas spesifikasi perusahaan, artinya proses tersebut banyak menghasilkan produk yang tidak sesuai dengan spesifikasi. Komputasi dilakukan dengan bantuan software Matlab 6.5 dan paket program R. Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder dari produk parfum remaja yang diproduksi pada perusahaan X selama periode April 00 hingga Desember 00. Data produk parfum remaja ini merupakan 3 macam karateristik kualitas yang telah ditetapkan sebagai pengendali kualitas parfum remaja yaitu ph dengan batas spesifikasi perusahaan 4 8, refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas dengan batas spesifikasi perusahaan dan masa jenis parfum remaja dengan batas spesifikasi perusahaan adalah Hasil dan Pembahasan 3. Penerapan Grafik Hotelling T Dalam makalah ini penerapan grafik pengendali Hotelling T lebih menitik beratkan adanya korelasi signifikan antara karateristik kualitas yang satu dengan karateristik kualitas parfum remaja lainnya yaitu dimisalkan sebagai variabel x = ph dalam parfum remaja, x = refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas dan x 3 = massa jenis parfum remaja. Untuk mengetahui adanya korelasi antara karateristik kualitas parfum remaja yang satu dengan karateristik kualitas parfum remaja lainnya diperlukan uji korelasi. Diperoleh hasil terdapat korelasi yang signifikan dari setiap pasangan karateristik kualitas parfum remaja, untuk variabel x dan x koefisien korelasi 5

6 sebesar 0.68, untuk variabel x dan x 3 koefisien korelasinya adalah sedangkan untuk variabel x dan x3 adalah ( tingkat signifikan α = 0.0). Penerapan grafik Hotelling T berdasarkan persamaan (8) pada tiga variabel dan dipilih α = diperoleh tabel hasil dari pengamatan variabel yang ditunjukkan pada Tabel. Tabel. Hasil Pengamatan Variabel dari Ketiga Karateristik Kualitas Parfum Remaja Pengamatan Variabel Vektor Rata - rata Matriks Kovariansi BPA x dan x = x = [ ].74 x dan 3 x x = [ ] = x dan 3 x x = [ ] 0.69 = Untuk lebih jelas penggunaan persamaan (8) berikut ini contoh perhitungan sampel ke- dari pengamatan dua variabel x dan x yaitu x [ ] = [ ] [ ] = [ ] x. x = Berdasarkan persamaan (8) diperoleh, sehingga nilai untuk T = [ ] = , dan menurut persamaan (9) diperoleh BPA =. 74. Hal itu berarti bahwa sampel ke- dari dua variabel tersebut berada di bawah BPA. Pengamatan tersebut diperoleh sampel yang berada di atas Batas Pengendali Atas (BPA) yaitu sampel ke-55, 9, 83 dengan nilai T dari masing masing sampel adalah , 4.063, 4.5. Jika dibandingkan dengan batas spesifikasi perusahaan ketiga sampel dari variabel x atau ph dan x atau refractive index parfum remaja masih berada dalam batas spesifikasi perusahaan. Namun, ketiga sampel dari variabel x atau ph parfum remaja menunjukkan nilai minimum ph dari semua sampel yang tercatat pada saat perusahaan melakukan penelitian. Hal serupa juga terjadi pada pengamatan variabel 6

7 x dan x 3 serta x dan x 3, untuk pengamatan pada dua variabel x dan x 3 diperoleh 7 sampel yang berada di atas BPA. edangkan untuk pengamatan pada dua variabel x dan x 3 diperoleh 3 sampel yang berada di atas BPA. Untuk lebih jelas hasil dari pengamatan terhadap dua variabel akan ditunjukkan pada Tabel dan Gambar. Pengamatan tersebut menghasilkan kesamaan urutan tiga sampel yang berada di atas BPA pada pengamatan variabel x dan x serta variabel x dan x 3. Berdasarkan gambar boxplot pada Lampiran, ketiga sampel tersebut merupakan titik ekstrim. Hal ini menunjukkan bahwa variabel x atau ph dalam parfum remaja berperan sebagai penyebab sampel berada di atas BPA. edangkan pengamatan pada variabel x dan x 3 nilai data pada masing masing variabel tidak menunjukkan nilai minimum, sehingga dapat diasumsikan bahwa nilai T yang berada di atas BPA merupakan akumulasi dari nilai kedua sampel ( sesuai dengan gambar boxplot pada Lampiran, kedua variabel tersebut tidak mempunyai titik ekstrim). Tabel. Nilai ampel dari Masing Masing Pengamatan yang Berada di Atas BPA x dan x x dan x 3 x dan x 3 ampel Nilai ampel Nilai ampel Nilai Ke- T Ke- T Ke- T

8 T ampel Ke ampel Ke a. Karateristik ph dan refractive index b. Karateristik refractive index dan massa jenis T ampel Ke c. Karateristik ph dan massa jenis Gambar. Penerapan Grafik Pengendali Hotelling T pada Pengamatan Dua Karateristik Kualitas Parfum Remaja 3. Indeks Kemampuan Proses Bagian ini menjelaskan perbandingan batas ellips antara spesifikasi perusahaan dengan daerah proses yang sebenarnya dengan dipilih α = , kemudian perbandingan batas tersebut digunakan untuk menghitung indeks kemampuan proses. etiap pengamatan dilakukan terhadap dua variabel yang mempunyai korelasi signifikan. Berdasarkan penerapan Grafik Hotelling T dapat ditunjukkan perbandingan batas ellips antara daerah proses dan daerah spesifikasi perusahaan dari dua pengamatan karateristik kualitas parfum remaja pada Gambar 3. Penghilangan sampel yang berada di atas Batas Pengendali Atas mengawali perhitungan indeks kemampuan proses berdasarkan persamaan (0). Pengamatan pada variabel x atau ph parfum remaja dan x atau refractive index ( RI ) Persamaan ellips terbesar ( R ) adalah 8

9 R ( x 6) ( y 0.907) =. Persamaan ellips untuk daerah proses ( R ) (umber: Web ) adalah ( x μ ) ( x μ ) r( x μ )( x μ ) R + = T r (7) r adalah koefisien korelasi Pearson. Diperoleh persamaan ellips untuk karateristik kualitas ph dan refractive index adalah.74 = ( x 6.897) ( x.366) 0.867( x 6.897)( x.366) ehingga dapat dihitung indeks kemampuan proses dari kedua karateristik tersebut yaitu Cˆ p MC pm = = = D Dengan cara yang sama untuk pengamatan pada karateristik refractive index dan massa jenis diperoleh R dari kedua karateristik tersebut adalah + ( x.366) ( y 0.93) = dan indeks kemampuan proses Cˆ p MC pm = = = D edangkan untuk pengamatan pada karateristik ph dan massa jenis diperoleh ( x 6) ( y 0.93) R + = Indeks kemampuan proses dari kedua karateristik ini adalah Cˆ p MC pm = = = D Dari perhitungan indeks kemampuan proses terhadap pengamatan dua variabel dapat dikatakan bahwa proses produksi sudah baik, karena hasil perhitungan menunjukkan angka lebih besar dari. Hal ini sesuai dengan gambar perbandingan batas ellips dimana daerah ellips R ( ditunjukkan dengan ellips berwarna hijau ) sebagian besar terletak di dalam batas ellips R (ditunjukkan dengan ellips berwarna biru ). 9

10 a. Karateristik ph dan refractive index b. Karateristik refractive index dan massa jenis c. Karateristik ph dan massa jenis Gambar 3. Perbandingan Batas Ellips pesifikasi dengan Batas Ellips Proses 99.73% 4. impulan Dari hasil dan pembahasan pada bagian sebelumnya dapat disimpulkan bahwa ketiga karateristik kualitas parfum remaja dari perusahaan X dapat dikatakan baik, karena telah memenuhi spesifikasi baik dari perusahaan maupun berdasarkan teori. Hal ini juga diperkuat dengan perhitungan indeks kemampuan proses dari masing masing pengamatan pada dua variabel dimana nilainya > yang menyatakan bahwa proses telah berjalan baik. 5. Daftar Pustaka Darmawan, Lellie. 0. Pengendalian Kualitas Frestea Green Menggunakan Grafik Pengendali Hotelling T Univariat Dan Multivariat. FM UKW : alatiga, hal. : 4. Montgomery, D.C Pengantar Pengendalian Kualitas tatistik. Alih Bahasa: Zanzawi oejoeti.yogyakarta: Universitas Gadjah Mada, hal. :

11 Introduction to tatistical Quality Control 4th Edition. John Wiley & ons, Inc: UA, page: Pan, Jeh-Nan dan Lee, Chun Yi New Capability Indices for Evaluating the Perfomance of Multivariate Manufacturing Process. Journal of Quality and Reability Engenering Internasional. Vol. 6 : 3 5. Pearn, W.L., Wang, F.K., Yen, C.H Multivariate Capability Indices: Dristributional and Inferential Properties. Journals of Applied tatistic.vol. 34: Young, Timothy Multivariate Control Chart of MDF and OB Vertical Density Profile Attributes. Forest Product Journal. Vol 49: Zahid, Abu. Arifa ultana Assesment and Comparison Of Multivariate Process Capability Indices in Ceramic Industry. Journal of Mechanical Engeneering Vol. ME39: 8 5. Web :

12 Lampiran : Gambar Boxplot Karateristik Kualitas Parfum Remaja Keterangan: Gambar boxplot karateristik ph terdapat 3 titik ekstrim yaitu pada sampel ke 55, 9 dan 83 yang nilainya diantara 5 5.5, sedangkan gambar boxplot karateristik refractive index dan massa jenis tidak ada. ehingga karateristik ph merupakan karateristik dominan yang menyebabkan sampel out of control.