Penerapan Grafik dan Studi Simulasi Hotelling T 2 Triviat pada Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan X

Transkripsi

1 PROIDING IBN : Penerapan Grafik dan tudi imulasi Hotelling T Triviat pada Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan X - 5 Fitria Puspitoningrum ), Adi etiawan ) dan Hanna A. Parhusip ) ) Mahasiswa Program tudi Matematika Fakultas ains dan Matematika Universitas Kristen atya Wacana Jl.Diponegoro 5-60 alatiga 507, fitri.puspita99@yahoo.com ) Dosen Program tudi Matematika Fakultas ains dan Matematika Universitas Kristen atya Wacana Jl.Diponegoro 5-60 alatiga 507 Abstrak Grafik pengendali merupakan salah satu metode yang digunakan untuk mengendalikan kualitas produk. Makalah ini menjelaskan tentang penerapan grafik Hotelling T trivariat dengan dipilih α yang menitik beratkan adanya korelasi signifikan antara karateristik satu dengan karateristik lain yang telah ditetapkan sebagai pengendali kualitas parfum remaja dari perusahaan X. Berdasarkan grafik tersebut dapat dibuat perbandingan ellipsoida spesifikasi dengan ellipsoida proses untuk menghitung indeks kemampuan proses yang menghasilkan nilai lebih dari. imulasi dilakukan untuk membuat data baru yang berdistribusi normal trivariat dengan mean dan kovariansi berdasarkan data real. Hasil simulasi memberikan hasil prosentase titik yang di luar kendali mendekati α untuk ukuran sampel yang cukup besar. Kata Kunci: Grafik Hotelling T Trivariat, Koefisien Korelasi, Indeks Kemampuan Proses, imulasi.. Pendahuluan. Latar Belakang Dalam metode statistik pengendalian kualitas produk digambarkan dengan menggunakan grafik pengendali yang diperoleh dari informasi pengambilan sampel, pengujian dan evaluasinya (Montgomery, 990). alah satu grafik pengendali dalam statistik dengan menggunakan grafik Hotelling T yang pernah diperkenalkan oleh Harold Hotelling pada tahun 947 dengan menggunakan data pembidik bom selama Perang Dunia II. Grafik ini merupakan hasil generalisasi dari distribusi-t. Dalam makalah ini akan diterapkan penggunaan grafik Hotelling T terhadap 3 karateristik yang telah ditetapkan sebagai pengendali kualitas parfum remaja pada perusahaan X.. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas dapat dirumuskan permasalahan yaitu bagaimana menerapkan grafik Hotelling T trivariat dengan menitikberatkan adanya korelasi signifikan antara karateristik satu dengan karateristik lainnya. Berdasarkan grafik tersebut dapat digunakan untuk membuat perbandingan batas ellipsoida Makalah dipresentasikan dalam eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema Matematika dan Pendidikan Karakter dalam Pembelajaran pada tanggal 3 Desember 0 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

2 PROIDING IBN : spesifikasi dan batas ellipsoida proses, studi simulasi digunakan untuk membandingkan prosentase titik di luar kendali antara hasil simulasi dengan penerapan semula..3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini yaitu menerapkan grafik Hotelling T trivariat pada 3 karateristik kualitas parfum remaja, memperoleh nilai indeks kemampuan proses, serta membandingkan antara prosentase titik di luar kendali hasil dari simulasi dengan penerapan semula..4 Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini adalah mengetahui prosentase titik yang berada di luar kendali serta nilai indeks kemampuan proses dari hasil simulasi yang tidak berbeda dengan perhitungan pada penerapan semula.. Metode Penelitian. Penerapan Diketahui sampel berdistribusi normal yang terdiri dari q karakteristik kualitas, dengan m menggambarkan banyaknya sampel, dan masing masing sampel berukuran n, rataan (mean) dan variansi (variance) sampel dihitung dari j,,..., q dan k,,..., n, x n jk x ijk n i jk n n i ( ) x x ijk jk j,,..., q dan k,,..., n. Dalam hal ini x jk adalah pengamatan ke i pada karateristik kualitas ke-j dalam sampel ke-k. Kovariansi (kovariance) antara karateristik kualitas j dan karateristik kualitas h pada sample ke- k adalah jhk n n i ( x x )( x x ) ijk jk ihk hk k,,,m dan j h. elanjutnya dari ketiga persamaan di atas dapat dihitung meliputi seluruh m sampel untuk memperoleh eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 0 M 40

3 PROIDING IBN : x j j m m m k m x k jk jk j,,..., q j,,..., q dan jh m m k jhk j h. edangkan disusun menjadi x j merupakan elemen dari vektor rataan x dan matriks kovariansi dapat L L M q q M q. Nilai T untuk masing masing sampel adalah T j m x ( x ) ( x x ) ' () dengan n adalah ukuran masing masing sampel dan - merupakan invers dari matriks kovariansi ( Montgomery, 00). Batas grafik pengendali dapat ditentukan dari persamaan q( m + )( m ) BPA F, q,( q, m q) m( m q) α () dengan BPA adalah Batas Pengendali Atas, m menggambarkan banyak sampel, dan α adalah prosentase kesalahan proses yang diijinkan ( Montgomery, 00). Jika nilai T untuk sampel ke-j, yaitu (Young, 999). T j > BPA, hal ini menunjukkan sampel ke-j di luar kendali. Indeks Kemampuan Proses Multivariat Indeks Kemampuan Proses Multivariat (Multivariate Capability Process) adalah suatu indeks proses yang menunjukkan nilai rasio antara penyebaran (variabilitas) spesifikasi produk yang diijinkan dan penyebaran proses aktual yang melibatkan lebih dari satu variabel. Ada beberapa macam metode perhitungan indeks kemampuan proses, eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 0 M 4

4 PROIDING IBN : salah satunya adalah metode indeks kemampuan proses MC pm (Zahid, 008). Perhitungan nilai indeks kemampuan proses MC pm ini didefinisikan sebagai rasio dari dua volume yaitu vol( R ) MC pm vol( R ) dengan R merupakan daerah ellips spesifikasi, sedangkan R merupakan daerah proses 00( α )%. Jika data berdistribusi normal multivariat maka R berbentuk ellips sedangkan R merupakan ellips terbesar yang berada dalam daerah spesifikasi dan berpusat pada target dengan volume R adalah p μ i vol( R ) i p p / π Γ ( p / ) dengan µ i merupakan nilai tengah spesifikasi ke-i (i,,3,...,p). Volume R dapat dituliskan dalam bentuk / / ' vol ( R ) ( ( )) / [ ( / ) ] ( ) πk p p Γ p + + x μ ( x μ) dengan K(p) merupakan kuantil 00( α )% dari distribusi χ dengan derajat bebas p, adalah matriks kovariansi. Nilai estimasi indeks MC pm ditentukan dengan rumus atau dengan M Cˆ pm vol( R ) / p / ( πk ( p)) Cˆ p [ Γ( p / + ) ] m ' + ( x μ) ( x μ) / m / Cˆ p MCˆ pm (3) Dˆ ( πk ( p)) vol( R ) p / [ ] Γ( p / + ) ' ( x μ) ( x μ) / ˆ m D +. m eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 0 M 4

5 PROIDING IBN : Notasi menyatakan nilai determinan, notasi x menyatakan vektor rata-rata data dan Γ( ) menyatakan fungsi gamma (Pan & Lee,009). Menurut Zahid (008) Jika nilai indeks lebih dari maka proses mempunyai variasi lebih kecil dibandingkan dengan batas spesifikasi sehingga dapat dikatakan proses produksi telah berjalan dengan baik. ebaliknya, jika indeks bernilai kurang dari hal tersebut menunjukkan variasi proses lebih besar daripada batas spesifikasi perusahaan, artinya proses tersebut banyak menghasilkan produk yang tidak sesuai dengan spesifikasi. Komputasi dilakukan dengan bantuan software Matlab 6.5 dan paket program R. Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder dari produk parfum remaja yang diproduksi pada perusahaan X selama periode April 00 hingga Desember 00. Data produk parfum remaja ini merupakan 3 macam karateristik kualitas yang telah ditetapkan sebagai pengendali kualitas parfum remaja yaitu ph dengan batas spesifikasi perusahaan 4 8, refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas dengan batas spesifikasi perusahaan dan masa jenis parfum remaja dengan batas spesifikasi perusahaan adalah Hasil dan Pembahasan 3. Penerapan Grafik Hotelling T Dalam makalah ini diterapkan penggunaan grafik Hotelling T trivariat pada karateristik kualitas parfum remaja dengan menitikberatkan adanya korelasi antara karateristik satu dengan lainnya. Dimisalkan sebagai variabel x ph dalam parfum remaja, x refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas dan x 3 massa jenis parfum remaja. Uji korelasi Pearson menunjukkan adanya korelasi signifikan yaitu untuk variabel x dan x koefisien korelasi sebesar 0.68, untuk variabel x dan x 3 koefisien korelasinya adalah sedangkan untuk variabel x dan x3 adalah ( tingkat signifikan α 0.0). Penerapan grafik Hotelling T trivariat berdasarkan persamaan () pada tiga variabel dan dipilih α diperoleh vektor rataan x [ ], dan matriks kovariansi eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 0 M 43

6 PROIDING IBN : Untuk lebih jelas penerapan persamaan () berikut ini contoh perhitungan sampel ke- dari 3 variabel karateristik yaitu x [ ] untuk [ ] [ ] x x [ ]. Berdasarkan persamaan () diperoleh, sehingga nilai [ ] T dan berdasarkan persamaan () diperoleh BPA , hal ini berarti bahwa nilai Hotelling T sampel ke- berada di bawah BPA. Pengamatan tersebut diperoleh hasil 8 titik di atas BPA yang ditunjukkan pada Tabel dan Gambar. Tabel. Hasil Pengamatan 3 variabel ampel yang Berada di Atas BPA ampel Ke- Nilai T Berdasarkan pengamatan tersebut, jika urutan titik sampel dibandingkan dengan pengamatan sampel terhadap variabel (Puspitoningrum et.al, 0 ) yang berada di atas BPA diperoleh persamaan urutan titik sampel. Hal ini menunjukkan nilai T merupakan akumulasi dari nilai ketiga sampel. eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 0 M 44

7 PROIDING IBN : T ampel Ke Gambar. Grafik Hotelling 3. Indeks Kemampuan Proses T dari Pengamatan Tiga Variabel Bagian ini menunjukkan perhitungan dari perbandingan batas ellipsoida spesifikasi (R ) dengan batas ellipsoida proses (R ) untuk α yang ditunjukkan pada Gambar. Persamaan ellipsoida yang memenuhi batas ellipsoida spesifikasi (R ) ditunjukkan dengan persamaan ( x μ ) ( x μ ) ( x μ ) (4) a b c Notasi µ merupakan nilai tengah batas spesifikasi, a, b, c merupakan setengah panjang sumbu ellipsoida, sehingga persamaan batas ellipsoida (R ) menurut persamaan (4) adalah ( x ) ( x.366) ( x 0.907) Berdasarkan perhitungan diperoleh hasil berdasarkan persamaan (3) yaitu ˆ Cˆ p.4786 MC ˆ pm D Terlihat bahwa nilai indeks kemampuan proses diperoleh lebih dari. Hal ini menunjukkan variasi proses lebih kecil daripada batas spesifikasi perusahaan sehingga dapat disimpulkan bahwa proses produksi parfum remaja sudah dalam keadaan baik. eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 0 M 45

8 PROIDING IBN : massa jenis refractive index ph a. Batas Ellipsoida Proses 99.73% b. Batas Ellipsoida pesifikasi Perusahaan c. Batas Ellipsoida pesifikasi dengan Proses Gambar. Gambar Perbandingan Batas Ellipsoida 3.3 tudi imulasi Penerapan Grafik Hotelling T a. tudi imulasi Bivariat Pada makalah Puspitoningrum et.al. (0) telah diterapan grafik Hotelling T bivariat pada 3 karateristik kualitas parfum remaja dari perusahaan X. Dalam makalah ini akan dilakukan simulasi penerapan grafik Hotelling T bivariat pada karateristik ph dan refractive index untuk menghitung prosentase titik sampel yang berada di atas BPA dengan data berdistribusi normal bivariat yang dibangkitkan dari mean dan kovariansi berdasarkan data semula. Diketahui vektor rataan x [ ] kovariansi , dan matrik eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 0 M 46

9 PROIDING IBN : dibangkitkan data sebanyak m titik sampel dan disimulasikan sebanyak 000 kali pengulangan. ebagai salah satu contoh penerapan grafik Hotelling T hasil simulasi ditunjukkan pada Gambar 3 dan rata rata banyaknya titik yang berada di atas BPA ditunjukan pada Tabel yang menunjukkan proporsi banyaknya titik yang berada di atas BPA (out of control ) mendekati α untuk jumlah titik sampel yang cukup besar. 4 0 T ampel Ke- Gambar 3. Hasil imulasi Penerapan Grafik Hotelling T dengan 000 Ukuran ampel Tabel. Proporsi Titik ampel yang Berada di Atas BPA Banyaknya ampel Rata - Rata Proporsi Banyaknya (m) Banyaknya Titik di Titik di Atas BPA Atas BPA b. tudi imulasi Trivariat Berdasarkan vektor rataan dan matriks kovariansi yang diperoleh pada pembahasan sebelumnya serta dipilih α digunakan untuk membangkitkan m titik sampel yang berdistribusi normal trivariat. Titik sampel tersebut dibangkitkan eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 0 M 47

10 PROIDING IBN : dengan jumlah m yang berbeda-beda dengan simulasi dilakukan sebanyak 0000 kali pengulangan yang ditunjukkan pada Tabel 3. Untuk lebih jelasnya akan diberikan contoh membangkitkan data dengan jumlah sampel sebanyak Diperoleh α dan simulasi menghasilkan perbandingan sampel di atas BPA yang dapat ditunjukkan pada histogram Gambar 4 dan sebagai salah satu contoh penerapan grafik Hotelling T hasil dari simulasi ditunjukkan pada Gambar 5. Gambar 4. Histogram Banyaknya Titik ampel di Atas BPA untuk imulasi 5000 Ukuran ampel dengan Pengulangan 0000 kali ecara lengkap hasil simulasi dengan jumlah sampel yang berbeda beda dapat ditunjukkan pada Tabel 3. Terlihat dari Tabel 3 tersebut menunjukkan bahwa jika ukuran sampel yang disimulasikan bertambah maka proporsi banyaknya titik di atas BPA semakin mendekati α Tabel 3. Proporsi Titik ampel yang Berada di Atas BPA Banyaknya ampel (m) Rata - Rata Banyaknya Titik di Atas BPA Proporsi Banyaknya Titik di Atas BPA eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 0 M 48

11 PROIDING IBN : T ampel Ke- Gambar 5. Hasil imulasi Penerapan Grafik Hotelling T dengan 000 Ukuran ampel 3.4 tudi imulasi Perhitungan Indeks Kemampuan Proses Dalam studi simulasi ini proses perhitungan tidak jauh berbeda dengan perhitungan indeks kemampuan proses pada pembahasan sebelumnya. Perhitungan diawali dengan penghilangan sampel data yang berada di atas BPA, kemudian data dibangkitkan berdasarkan distribusi normal sebanyak m titik sampel dengan pengulangan dilakukan sebanyak 000 kali, mean dan kovariansi berasal dari data dengan sampel yang berada di atas BPA telah dihilangkan. Hasil lebih lengkap untuk simulasi perhitungan indeks kemampuan proses bivariat dan trivariat ditunjukkan pada Tabel 4. Berdasarkan pengamatan Tabel 4, diperoleh rata-rata perhitungan indeks kemampuan proses dari data yang dibangkitkan diperoleh nilai indeks lebih dari satu, hal ini menunjukkan bahwa data yang dibangkitkan menghasilkan nilai yang tidak jauh berbeda dari data semula. Tabel 4. Hasil Perhitungan Indeks Kemampuan Proses Berdasarkan imulasi Banyaknya Titik ampel (m) Pengamatan pada Variabel x dan x x, x dan x eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 0 M 49

12 PROIDING IBN : impulan dan aran Hasil penerapan grafik Hotelling T pada pengamatan trivariat diperoleh 8 titik di atas BPA, namun proses masih dapat dikatakan baik karena perhitungan nilai indeks kemampuan proses menghasilkan nilai lebih dari. Hasil simulasi pada penerapan grafik Hotelling T, diperoleh nilai prosentase titik di atas BPA mendekati α untuk titik sampel yang cukup besar dan perhitungan indeks kemampuan proses menghasilkan nilai lebih dari. 5. Daftar Pustaka Montgomery, D.C Pengantar Pengendalian Kualitas tatistik. Alih Bahasa: Zanzawi oejoeti.yogyakarta: Universitas Gadjah Mada, hal. : Introduction to tatistical Quality Control 4th Edition. John Wiley & ons, Inc: UA, page: Pan, Jeh-Nan dan Lee, Chun Yi New Capability Indices for Evaluating the Perfomance of Multivariate Manufacturing Process. Journal of Quality and Reability Engenering Internasional. Vol. 6 : 3 5. Puspitoningrum, F., etiawan, A., dan Parhusip, H.A. 0. Penerapan Grafik Hotelling T Bivariat pada Karateristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan X. eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika. FKIP, Universitas ebelas Maret. tanggal 6 November 0. Young, Timothy Multivariate Control Chart of MDF and OB Vertical Density Profile Attributes. Forest Product Journal. Vol 49: Zahid, Abu. Arifa ultana Assesment and Comparison Of Multivariate Process Capability Indices in Ceramic Industry. Journal of Mechanical Engeneering Vol. ME39: 8 5 eminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 0 M 50