MENENTUKAN INDEKS KOMPOSIT MENGGUNAKAN METODE LAGRANGE UNTUK MENGUKUR TINGKAT INDUSTRIALISASI

Transkripsi

1 Jurnal Matematika Vol.6 No. Nopember 6 [ 9 : 8 ] MENENTUKAN INDEKS KOMPOSIT MENGGUNAKAN METODE LAGRANGE UNTUK MENGUKUR TINGKAT INDUSTRIALISASI DI PROPINSI JAWA BARAT Juruan Matematika, Uiverita Ilam Bandung, Jalan Tamanari No, Bandung,46, Indoneia etia@paa.unpad.a.id Abtrak. Indek kompoit merupakan uatu kombinai linier dari variabel-variabel. Koefiien variabel-variabel terebut ditentukan dengan ara memakimumkan fungi variane dengan kendala uatu peramaan. Metode Lagrange digunakan untuk mengidentifikai titik taioner dari maalah optimai dengan kendala peramaan. Oleh karenanya, Metode Lagrange digunakan dalam menentukan indek kompoit. Indek kompoit digunakan untuk mengukur Indek Tingkat Indutrialiai (ITI) di 6 kabupaten dan 6 kota madya di Jawa Barat. Menurut hail penelitian, ternyata kabupaten Bekai, Kabupaten Bandung, dan kota madya Cirebon merupakan daerahdaerah yang telah melakukan proe indutrialiai paling tinggi dibandingkan daerah lainnya. Keyword: indek kompoit; metode lagrange; tingkat indutrialiai. Pendahuluan Maalah optimai merupakan maalah yang ering diumpai dalam bidang ekonomi dan indutri. Optimaliai dalam maalah ekonomi dan indutri bia berarti memakimalkan atau meminimumkan uatu fungi. Mialkan optimai dari produki adalah produki yang makimum, tetapi optimai dari ot adalah ot yang minimum. Kadang fungi yang akan dimakimumkan atau diminimumkan mempunyai kendala. Metode Lagrange adalah alah atu metode yang dapat digunakan untuk mengidentifikai titik taioner dari maalah optimai dengan kendala peramaan. Indek kompoit merupakan uatu kombinai Linier dari variabel-variabel. Koefiien variabel-variabel terebut ditentukan dengan ara memakimumkan fungi variane dengan uatu kendala peramaan. Salah atu indikator pertumbuhan ekonomi menurut Rotow adalah indutrialiai (proe indutri maal). Sebagai provini yang letaknya berdekatan dengan ibu kota, Jawa Barat memiliki poteni untuk melakukan indrutrialiai. Saat ini indutri di Jawa Barat belum menyebar di eluruh kabupaten, tetapi maih terfoku di kabupaten-kabupaten tertentu yang letaknya tidak auh dari ibu kota. Untuk mengetahui eauh mana tingkat indutrialiai di Jawa Barat, dapat dilakukan dengan menghitung indek kompoit menggunakan variabel-variabel yang terkait yang dikenal dengan ITI (Indek Tingkat Indutrialiai). Dengan mengetahui ore ITI, dapat diperoleh gambaran mengenai indutrialiai di Jawa Barat, ehingga memudahkan untuk perenanaan elanutnya.. Metode Lagrange Teorema : Metode Lagrange Untuk memakimumkan atau meminimumkan f(p) terhadap kendala g(p) =, eleaikan peramaan f(p) = g(p) dan g(p) = 9

2 untuk p dan. Tiap titik p yang demikian adalah uatu titik kriti untuk maalah nilai ektrim terkendala dan yang berpadanan diebut pengali Lagrange.. Penentuan Indek Kompoit Menggunakan Metode Lagrange Untuk menentukan Indek Tingkat Indutrialiai (ITI) dapat dilakukan dengan mengukur Indke Kompoit melalui analii faktor. Indek Kompoit untuk menentukan Indek Tingkat Indutri di uatu wilayah dengan mengambil data dari beberapa kabupaten dan mengambil buah variabel yang terkait yaitu : : Kontribui indutri manufaktur dalam Produk Dometik Regional Bruto (PDRB) yang diukur dalam % : Jumlah pekera dalam ektor indutri manufaktur, diukur dalam atuan peren terhadap total pekera : Produktivita tenaga kera dalam ektor indutri manufaktur yang diukur berdaarkan ratio nilai tambah ektor indutri manufaktur dengan umlah tenaga yang terlibat dalam ektor indutri manufaktur (dalam atuan uta rupiah per tenaga kera) Indek kompoit yang didaarkan ata tiga variabel,, dan dapat ditakirkan bb : I = K + a + a + a...() Dimana K adalah kontanta edangkan a, a dan a merupakan koefiien dari, dan yang merupakan koefiien pembobot indek kompoit yang diuun. Apabila penyuunan indek kompoit didaarkan pada data impangan rata-rata (bia ratarata regional atau rata-rata naional), maka peramaan () dapat dituli bb, dimana I = a x + a x + a x x i = ( i i ) untuk i =,, () Dalam penelitian ini atuan pengukuran variabel yang digunakan tidak ama yaitu mempunyai atuan pengukuran %, dalam % erta dalam atuan nilai uang, ehingga tidak dapat menggunakan data ali tetapi haru mentranformaikan variabel baku Z. Untuk itu analii faktor dilakukan berdaarkan matrik korelai, dan model indek kompoit pada peramaan () menadi I = z + z + z...() ( i i ) dimana z i = i dan n i = ( x i x i ) n i Keterangan : z i = Variabel baku ke-i dalam model i = Variabel ali (tak baku) dalam model i = Nilai rata-rata variabel ke-i dalam model i = Simpangan baku (tandard deviai) variabel ke-i; dapat diperoleh melalui menari akar pangkat dua dari ragam (variane) dari variabel ke-i Jurnal Matematika Vol.6 No. Nopember 6

3 Menentukan Indek Kompoit Menggunakan Metode Lagrange Apabila atuan pengukuran dari variabel ama mialkan emuanya dalam %, maka data yang digunakan adalah data ali atau, dan analii vaktor diturunkan berdaarkan matrik varianeovariane S yaitu dimana ik = S = ( pxp) n. p n ( x i. p x i )( x k p p. pp x k ) Indek kompoit yang digunakan adalah : I = z + z + z Tuuan membangun model indek kompoit adalah menentukan koefiien-koefiien pembobot, dan yang dapat memakimalkan variane total dari data yaitu, i = R...(4) karena berdaarkan variabel baku, Jika variabel yang digunakan adalah variabel ali, maka R dalam peramaan (4) diganti dengan S. Dari rumunya terlihat bahwa S i tergantung dari yaitu koefiien pembobot dalam model indek kompoit. Tetapi yang diperoleh dari hail perhitungan tidak unik ehingga dibutuhkan uatu yarat agar yang didapat unik dan merupakan nilai terbear, yaitu dengan memberikan kendala =... (5) Jadi maalah Penentuan Indek Kompoit itu adalah bagaimana menentukan =,, mampu memakimumkan variane total dengan kendala i = = R untuk Memakimumkan atau meminimumkan fungi dengan kendala uatu peramaan dapat dilakukan dengan metode Lagrange, yaitu uatu metode untuk mengidentifikaikan titik taioner dari maalah optimai dengan kendala peramaan. Metode Lagrange dimulai dengan membentuk fungi Lagrange berikut : L(x,) = f(x) g(x)...(6) Fungi L diebut fungi Lagrange edangkan diebut pengganda Lagrange (Lagrange multiplier) Untuk mendapatkan pemeahan maalah optimai diperlukan yarat perlu dan yarat ukup berikut : Jurnal Matematika Vol.6 No. Nopember 6

4 a. Syarat perlu : L L = ; = b. Syarat ukup. ika maalah makimai, maka determinan utama dari matrik Heian berifat definit negatif. ika maalah minimai, maka determinan utama dari matrik Heian berifat definit poitif Bila metode Lagrange diterapkan pada maa penentuan koefiien pembobot pada model indek kompoit, yaitu : Makimumkan i = dengan kendala R = atau = Dari maalah ini, dibentuk fungi Lagrange : L = i ( )...(7) Kondii makimum akan diperoleh dengan memperhatikan yarat perlu berikut : L R R I R I...(8) L... (9) Syarat ukup = L atau Karena maalahnya makimai, maka matrik Heian berifat definit negatif L R... () Artinya matrik Heian berifat definit negatif Karena menggunakan variabel, maka bentuk matrik Heian adalah : r r H R r r r r... () dimana R adalah matrik korelai yang dapat ditentukan melalui koefiien korelai antar variabel r i bb : Jurnal Matematika Vol.6 No. Nopember 6

5 Menentukan Indek Kompoit Menggunakan Metode Lagrange r r r R r r r r r r (x)... () Matrik R berukuran x karena ada variabel yang digunakan. Entri matrik R memenuhi ketentuan : r i = edangkan r i = r i untuk i untuk i, =,,. Berdaarkan peramaan (8) akan dieleaikan tiga buah ytem peramaan imultan yaitu (RI) =,untuk =,, r r r r r r = Peramaan diata dapat uga ditulikan dalam bentuk berikut : () + r + r = r + () + r =...() r + r + () = Peramaan () dimodifikai kembali menadi : + r + r = r + + r =...(4) r + r + =, dan diebut kofiien pembobot. Untuk menari nilai, dan dilakukan dengan proe iterai, ehingga diperoleh indek kompoit I = z + z + z...(5) Seperti telah diketahui bahwa z i = x i / i ; dimana x i = ( i baku variable i, ehingga peramaan (5) menadi : i ) erta i = impangan I = (6) Membangun indek kompoit bertuuan untuk mengukur eauh mana penyimpangan terhadap nilai rata-rata, maka peramaan (6) dituli kembali ebagai : I = n + n + n...(7) Jurnal Matematika Vol.6 No. Nopember 6

6 4 I = ( n ) + ( n ) + ( n )... (8) I = k + k + k...(9) I = k...() Seara umum diharapkan agar indek kompoit ebagai alah atu ukuran pemerataan (penyimpangan terhadap nilai rata-rata) memenuhi dua kriteria berikut :. Jika nilai emua variable dalam indek kompoit adalah nol, maka nilai (kor) dari indek kompoit uga nol.. Jika nilai dari maing-maing variable dalam indek kompoit merupakan nilai rata-rata dari variable terebut(menerminkan rata-rata naional atau regional), maka nilai indek kompoit ama dengan. Untuk memenuhi kedua kriteria terebut berarti dimana, k =...(), adalah rata-rata dari, dan. Apabila menggunakan rata-rata yang tanpa diboboti, maka diperoleh indek kompoit ebagai ukuran pemerataan ebagai berikut : I = k + k + k...() 4. Indek Tingkat Indutrialiai di Jawa Barat 4.. Data Data diperoleh dari BPS yang merupakan data ementara Produk Dometik Regional Bruto (PDRB), Jumlah pekera dalam indutri manufaktur, nilai tambah ektor indutri manufaktur tahun. Data yang dianalia diambil dari 6 kabupaten dan 6 kotamadya yang berada di Jawa Barat. Data terebut diolah untuk mendapatkan variabel, dan, berikut : ` : : : Kontribui indutri manufaktur dalam produk dometik regional bruto(pdrb), yang diukur dalam atuan peren. Jumlah pekera dalam ektor indutri manufaktur, diukur dalam atuan peren terhadap total pekera. Produktivita tenaga kera dalam ektor indutri yang diukur berdaarkan raio nilai tambah ektor indutri manufaktur dengan umlah tenaga kera yang terlibat dalam ektor indutri manufaktur (dalam atuan uta rupiah per tenaga kera). Jurnal Matematika Vol.6 No. Nopember 6

7 Menentukan Indek Kompoit Menggunakan Metode Lagrange 5 Setelah dilakukan pengolahan dari data ali, diperoleh data eperti yang terlihat dalam table berikut : Tabel. Data Nomor Kabupaten (%) (%) (rupiah). Bogor 49,6 9,86 4,7. Sukabumi 7,,59,5. Cianur,76 8,4,7 4. Bandung 56,7 44, 4,44 5. Garut 9,6 9,6 7,7 6. Taikmalaya 9,66 6,8 4,89 7. Ciami 7,9 7,88 5,95 8. Kuningan,94 8,75,79 9. Cirebon,59 8,94 5,5. Maalengka,49 8,,47. Sumedang 6,9 4,58 8,87. Indramayu,48,85 98,8. Subang 5,9,7 5,95 4. Purwakarta 44,89,7 46,77 5. Karawang 4, 4,5, 6. Bekai 8,87 58,87 67,84 Kota 7. Bogor 6,7 68,5,9 8. Sukabumi,97 7,4 5,6 9. Bandung, 8,5,96. Cirebon 9,7 4,5 98,8. Bekai 45,7 66, 7,76. Depok 8,9 56,5 6,5 Rata-rata 6, 6,87 5,48 Standar Deviai,,95 5,9 Sumber : BPS : Data PDRB Harga Berlaku Th Jabar (Juta Rp) Sektor Indutri Pengolahan dan Data Penduduk yang bekera Menurut Lapangan Pekeraan Utama per Kabupaten/Kota di Jawa Barat, Th. dan Nilai Sektor Indutri Manufaktur. 4.. Pembahaan Berdaarkan ketiga variabel yang digunakan dalam model, yaitu,, dan, indek kompoit merupakan uatu ukuran pemerataan tingkat indutrialiai yang didaarkan kepada tiga variabel terebut. Data terantum dalam Tabel. Karena atuan pengukuran dari,, dan tidak ama, maka analii faktor akan menggunakan matrik korelai. Koefiien korelai untuk variabel diata etelah dihitung diperoleh ebagai berikut : r = r =,477 r = r =,67 r = r =,5 r i adalah koefiien korelai antara variable i dan. Jurnal Matematika Vol.6 No. Nopember 6

8 6 Langkah berikutnya adalah memaukkan nilai koefiien korelai kedalam peramaan (4), ehingga diperoleh : +,477 +,67 =, ,5 =... (),67 +,5 + = Dengan melakukan proe iterai diperoleh nilai dan eperti dalam tabel berikut. Tabel. Nilai dan Tabel Hail Iterai Harga - C Lambda- Iterai-ke Diketahui : r = r =.67 r =.477 r =.5 Dari hail iterai diperoleh =, =,859 dan =,8758 Setelah menyeleaikan peramaan (), haru dipeahkan kembali nilai-nilai yarat kendala agar memenuhi =.:ehingga diperoleh *. Setelah melalui perhitungan diperoleh : * =, * =,98 dan * =, Jurnal Matematika Vol.6 No. Nopember 6

9 Menentukan Indek Kompoit Menggunakan Metode Lagrange 7 Begitu uga dengan nilai k yang memenuhi peramaan () yaitu : k 6, 6,87 5,48 ( ) (,98) (,) =,,95 5,9 Setelah melalui perhitungan diperoleh k = 49,4747 eperti terlihat dalam tabel Menari C* Tabel * No. C C'. C* k k. / Dengan demikian model indek kompoit yang diinginkan eperti model () yaitu : I =,6 +,5 +,547...(4) Nilai I untuk etiap kabupaten dan kotamadya dapat dilihat dalam tabel 4.berikut Tabel 4. Sore Indek Tingkat Indutrialiai No. Kabupaten ( %) ( % ) ( Rupiah ) I Bogor Sukabumi Cianur Bandung Garut Taikmalaya Ciami Kuningan Cirebon Maalengka Sumedang Indramayu Subang Purwakarta Karawang Bekai Kota 7 Bogor Sukabumi Bandung Cirebon Bekai Jurnal Matematika Vol.6 No. Nopember 6

10 8 No. Kabupaten ( %) ( % ) ( Rupiah ) I Depok Rata-rata Standar Deviai Dari tabel 4 dapat dilihat bahwa di kota Kabupaten Bekai, Kabupaten Bandung dan Kota Madya Cirebon telah menalani proe indutrialiai yang paling tinggi dibandingkan emua kabupaten dan kota madya lainnya yang berada di Jawa Barat. Dengan diketahuinya ore Indek Tingkat Indutrialiai (ITI) berbagai perenanaan yang berkaitan dengan maalah indutrialiai dapat dilakukan. 5. Keimpulan Indek Tingkat Indutrialiai dapat ditentukan melalui indek kompoit yang diuun menggunakan alai faktor. Dalam penentuan indek kompoit, metode Lagrange digunakan dalam mengidentifikai titik taioner maalah optimai dengan kendala peramaan. Dengan menggunakan data dari 6 kabupaten dan 6 kota madya di Jawa Barat, diperoleh hail bahwa kabupaten Bekai, kabupaten Bandung dan kota madya Cirebon telah melakukan indutrialiai paling tinggi dibandingkan dengan eluruh kabupaten dan kota madya lainnya di Jawa Barat yang di teliti. 6. Daftar Putaka [] William R. Dillon & Matthew Goldtein (984). Multivariate Analyi. John Wiley & Son. [] Vinent Gaperz, Ir, M.S (99). Ed. Pertama. Ekonometrika Terapan. Tarito. [] Loui Leithold. (98). Ed. 4 th. The Calulu With Analyti Geometry. Harper & Row Publiher. [4] Tom M. Apotol. (969). Ed. nd. Calulu. John Wiley & Son. [5] Steven J. Leon. [5] Ed. 5 th. Linear Algebra With Appliation. Prentie Hall. Jurnal Matematika Vol.6 No. Nopember 6