Integral Kompleks (Bagian Kedua)

Transkripsi

1 Integral Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA (Pertemuan Minggu XII)

2 Outline 1 Antiderivatif 2

3 Antiderivatif Meskipun secara umum nilai C f (z)dz bergantung pada lintasan C, namun ada fungsi-fungsi tertentu dimana nilai integral fungsi tersebut pada C tidak bergantung pada C. Untuk membuktikan pernyataan tersebut diperlukan konsep antiderivatif.

4 Antiderivatif Diberikan suatu domain D. Fungsi F disebut antiderivatif fungsi f pada D jika F (z) = f (z) pada D. Mengingat derivatif merupakan syarat perlu keanalitikan suatu fungsi dan derivatif suatu fungsi tunggal adanya, maka diperoleh teorema berikut. Theorem Diketahui fungsi f kontinu pada suatu domain D. Jika salah satu pernyataan di bawah ini benar, maka yang lain juga benar. (i) f mempunyai antiderivatif pada D. (ii) Jika z 1, z 2 D dan C sebarang lintasan di dalam D dari z 1 sampai z 2, maka nilai C f (z)dz tidak bergantung pada C. (iii) Jika C sebarang lintasan tertutup di dalam D, maka f (z)dz = 0. C

5 Antiderivatif Example Karena f (z) = 3z mempunyai antiderivatif F(z) = z 3 + z + K pada seluruh bidang datar, maka 1+i 1 f (z)dz = F(1 + i) F(1) = 4 + 2i apapun lintasan yang menghubungkan 1 dan 1 + i yang dipilih.

6 Teorema cauchy-goursat Suatu teorema yang sangat penting dalam integral kompleks adalah, yang sesungguhnya merupakan hasil penyempurnaan Teorema Cauchy. Theorem (Cauchy) Jika f analitik dan f kontinu di dalam dan pada suatu lintasan (kontur) tertutup sederhana C, maka f (z)dz = 0 C

7 Teorema cauchy-goursat Goursat dapat menunjukkan bahwa syarat kekontinuan f pada Teorema Cauchy ternyata dapat dihilangkan. Sehingga, oleh Goursat Teorema Cauchy dapat direvisi menjadi teorema berikut ini. Theorem (Cauchy-Goursat) Jika f analitik di dalam dan pada suatu lintasan (kontur) tertutup sederhana C, maka f (z)dz = 0 C

8 Teorema cauchy-goursat Suatu domain D dikatakan terhubung sederhana jika setiap kontur tertutup sederhana di dalam D hanya melingkupi titik-titik di dalam D. Sebagai contoh, jika C adalah kontur tertutup sederhana, maka D = C int(c) merupakan domain terhubung sederhana. Sedangkan cincin {z : r z R} bukan suatu domain terhubung sederhana. Selanjutnya, dapat diperluas menjadi teorema berikut. Theorem Jika f analitik di dalam suatu domain terhubung sederhana D, maka int C f (z)dz = 0 untuk setiap kontur tertutup C di dalam D.

9 Teorema cauchy-goursat Sebagai akibat langsung dari Teorema 5 adalah pernyataan berikut. Corollary Jika f analitik di dalam domain terhubung sederhana D, maka f mempunyai antiderivatif pada D.

10 Teorema cauchy-goursat Selanjutnya, bisa diperluas menjadi sebagai berikut. Theorem Diketahui: (i) C lintasan tertutup sederhana, arah positif, (ii) C k, k = 1, 2,..., n, lintasan tertutup sederhana, arah positif, berada di dalam interior C, dan interior masing-masing tidak memeiliki titik berserikat. Jika f analitik di dalam dan pada C, kecuali di interior masing-masing C k, maka C f (z)dz + n k=1 C k f (z)dz = 0

11 Contoh Example Jika C adalah kontur berbentuk lingkaran z = 1, maka e z z dz = 0 karena f (z) = C ez analitik di dalam dan pada C. z 2 +4

12 Contoh Example Jika C, C 1, dan C 2 berturut-turut menyatakan lintasan berbentuk lingkaran z = 5, z 1 = 1 4, dan z = 1 4, maka C z + 1 z 2 (z 1) dz = z + 1 C 1 z 2 (z 1) dz + z + 1 C 2 z 2 (z 1) dz karena f (z) = z+1 z 2 (z 1) analitik di dalam dan pada C, kecuali di interior C 1 C 2.