Logika Matematika. Modul 1 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Modul Logika Matematika Prof. Dr. Wahyudin M PENDAHULUAN atematika adalah suatu bidang studi yang hasil-hasilnya memberikan bantuan bersifat asti dan teliti dalam alur ikiran yang jelas. Namun demikian, sesuatu adakalanya terjadi dan tamak melanggar anggaananggaan tersebut. Perhatikan bukti berikut ini bahwa + =. Misalkan x = dan y =. Maka x 2 y 2 y = x y 2 = xy = x 2 xy (x + y)(x y) = x(x y) x + y = x ubstitusikan kembali: + = arangkali ada sesuatu yang salah atau matematika telah gagal dalam hal ini! Pencarian sebab dari masalah seerti ini memerlukan kajian argumenargumen dan logika matematis. Memerbedakan konklusi yang valid dari yang tidak valid memerlukan analisis logika yang teliti. Dari ernyataan Terdaat resiko kecelakaan jika tenaga nuklir digunakan. benarlah kita berkesimulan Agar tidak ada resiko, Anda jangan menggunakan tenaga nuklir. tetai tidak benar kita berkesimulan Tidak ada resiko jika Anda menggunakan sumber tenaga yang lainnya. Pada bagian logika ini, Anda akan memelajari banyak komonen berikir matematis: enggunaan bahasa yang teliti, makna dari generalisasi, dan kriteria untuk suatu bukti yang valid. Anda un akan melihat bagaimana cara berikir ini diterakan dalam jaringan-jaringan logika komuter dan enalaran sehari-hari. etelah menyelesaikan modul ini, diharakan Anda daat:

2 .2 fondasi dan bukti matematika. menjelaskan tentang logika; 2. menentukan bentuk-bentuk dari ernyataan logis; 3. menuliskan bentuk-bentuk dari ernyataan yang ekuivalen logis; 4. menentukan nilai kebenaran dari suatu ernyataan; 5. menentukan sifat-sifat dari ernyataan logis; 6. menggunakan substitusi untuk memverifikasi ernyataan-ernyataan tertentu; 7. menggunakan logika untuk membuktikan atau menyangkal ernyataanernyataan; 8. menentukan kebenaran dari ernyataan-ernyataan berkuantor di luar matematika; 9. menuliskan negasi dari suatu ernyataan logis;. menuliskan nilai kebenaran dari suatu ernyataan;. menuliskan tabel-tabel kebenaran untuk bentuk logis; 2. menterjemahkan jaringan-jaringan logika ke dalam bentuk-bentuk logis dan tabel-tabel inut-outut dan menentukan sinyal-sinyal outut; 3. menentukan aakah suatu argumen valid atau tidak valid; 4. menentukan aakah suatu argumen logis di luar matematika adalah valid atau tidak valid; dan 5. mengetahui jenis-jenis enalaran di dalam dan di luar matematika.

3 MPMT53/MODUL.3 Kegiatan elajar Pernyataan, Negasi, DAN, ATAU, dan Hukum De Morgan.. Pernyataan Logika dari ernyataan-ernyataan sangat membantu untuk mencari dan dalam menjelaskan masalah matematis yang dikemukakan ada bagian endahuluan. Di dalam logika dan matematika, suatu ernyataan adalah suatu kalimat yang benar atau salah tetai tidak sekaligus benar dan salah. Kalimat + = 2 adalah sebuah ernyataan karena kalimat itu benar. Kalimat + = adalah sebuah ernyataan karena kalimat itu salah. Kalimat x + = 5x bukan sebuah ernyataan karena kalimat itu benar untuk beberaa nilai x, tetai salah untuk nilai-nilai x yang lainnya. Di dalam bagian ini, jika suatu kalimat sedang dibahas tentang sifat-sifat logisnya, maka kalimat itu dicetak miring. ebarang kalimat daat diwakili oleh sebuah huruf saja, misalnya. Jika kalimat itu memuat sebuah variabel, misalnya x, maka kalimat itu daat diwakili oleh sebuah simbol, misalnya (x). ebagai contoh, misalkan (x) kalimat x + adalah bilangan bulat. Perhatikan bahwa (x) bukan suatu ernyataan karena (3): 3 + adalah bilangan bulat adalah benar sedangkan (,5):,5 + adalah bilangan bulat adalah salah. Jika kata-kata untuk semua bilangan bulat x diletakkan di awal kalimat (x), maka hasilnya Untuk semua bilangan bulat x, x + adalah bilangan bulat adalah suatu ernyataan karena kalimat itu memiliki sebuah nilai kebenaran (benar). Frasa untuk semua disebut kuantor dan diwakili dalam logika oleh simbol. Dengan simbol ini, ernyataan tadi daat ditulis bilangan bulat x, x + adalah bilangan bulat. Jika kita menetakan I untuk mewakili himunan bilangan bulat, maka ernyataan di atas daat ditulis lebih ringkas lagi. x dalam I, x + adalah bilangan bulat. Pernyataan di atas ini benar.

4 .4 fondasi dan bukti matematika Pernyataan-ernyataan yang menyebutkan bahwa suatu sifat tertentu berlaku untuk semua anggota dalam suatu himunan misalnya himunan semua bilangan bulat atau himunan semua segitiga disebut ernyataanernyataan universal. Definisi. Misalkan suatu himunan dan (x) suatu sifat yang mungkin berlaku atau tidak berlaku untuk sebarang anggota x dari. uatu ernyataan universal adalah ernyataan berbentuk Untuk semua x dalam, (x) atau secara simbolis x dalam, (x). uatu ernyataan universal adalah benar jika dan hanya jika (x) benar untuk setia anggota x dalam ; kalau tidak demikian, ernyataan itu salah. Pernyataan-ernyataan universal bersifat kuat karena ernyataanernyataan itu menyebutkan bahwa suatu sifat tertentu berlaku untuk setia anggota dalam sebuah himunan. Dengan demikian, jika Anda diberikan sebarang anggota tertentu dari himunan itu, Anda daat mendeduksi bahwa sifat tersebut berlaku untuk anggota itu. Di dalam logika formal, ini dikenal sebagai Hukum ubstitusi. Misalnya, karena hasil jumlah dari besarnya sudut-sudut dari sebarang segitiga sama dengan 8, maka hasil jumlah besarnya sudut-sudut dari segitiga AC tertentu yang ditunjukkan oleh gambar berikut ini adalah 8. egitiga AC C A Dengan gagasan-gagasan tersebut, kesalahan dalam bukti bahwa + = daat dijelaskan. Argumen itu dimulai dengan ernyataan-ernyataan yang

5 MPMT53/MODUL.5 diasumsikan sebagai benar: x = dan y =. Dari ernyataan-ernyataan ini, emat ernyataan selanjutnya daat dideduksi: y = x y 2 = xy x 2 y 2 = x 2 xy (x + y)(x y) = x(x y) Langkah selanjutnya adalah di mana kesalahan itu terjadi. Langkah ini menyaratkan justifikasi: bilangan real d, jika kedua ruas dari suatu ersamaan dibagi oleh d, maka hasilbagi-hasilbaginya adalah sama. Tetai ernyataan universal ini tidak benar untuk semua bilangan real, karena ernyataan ini tidak benar aabila d =. aat kedua ruas dibagi oleh x y, itu tidak tamak seerti embagian oleh, tetai x y = =. Hasilnya x + y = x diandang sebagai salah aabila bilangan disubstitusikan kembali untuk x dan y. uatu ernyataan universal daat melibatkan lebih dari satu variabel. ebagai contoh, misalkan (a, b) adalah kalimat (a b)(a + b) = a 2 b 2 dan misalkan R himunan bilangan real. Maka ernyataan universal Untuk semua bilangan real a dan b, (a b)(a + b) = a 2 b 2. daat ditulis secara simbolis sebagai a dan b dalam R, (a, b). Dengan menggunakan hukum substitusi, Anda daat menetakan (, 3), yang adalah ( 3)( + 3) = Anda daat juga menetakan (x, y), yang adalah x dan y dalam R, (x - y)(x + y) = x 2 y 2. Anda un daat mendeduksi ernyataan-ernyataan lainnya. Contoh. Misalkan k. Gunakan substitusi untuk menunjukkan bahwa ( ( k k )( k k ) Jawab Kalimat (a b)(a + b) = a 2 b 2 berlaku untuk untuk semua bilangan real a dan b. Dengan demikian, ada khususnya, kalimat itu berlaku aabila a k dan b k karena bila k, baik k mauun k adalah bilangan-bilangan real. Dengan menyubstitusikan untuk a dan b kita memeroleh

6 .6 fondasi dan bukti matematika (a b)(a + b) = a 2 b 2. ( k k )( k k ) = ( k 2 ) ( 2 k ) = (k + ) k Jadi, ( k k )( k k ) =. Di dalam matematika, sebuah engecualian saja, atau kontracontoh (counterexamle), bagi suatu ernyataan universal telah daat membuktikan bahwa ernyataan universal itu salah. Definisi.2 erdasarkan suatu ernyataan universal x dalam, (x). uatu nilai x dalam untuk mana (x) salah disebut kontracontoh bagi ernyataan itu. Contoh.2 Aakah ernyataan berikut benar atau salah? Untuk semua bilangan real x, x 4. Jawab Di sini (x) adalah kalimat x 4 dan meruakan himunan bilangan real. ebagai kontracontoh, misalkan x =. 2 ( 2 ) adalah ernyataan ( 2 )4. Karena 6 sehingga ernyataan yang diberikan itu salah., ( ) adalah salah, 2 Contoh.2 mengilustrasikan: mengatakan bahwa ernyataan universal: bilangan real x, x 4 adalah ekuivalen dengan mengatakan bahwa: Terdaat sedikitnya satu bilangan real x sedemikian hingga x 4 adalah benar. Frase terdaat atau ada adalah satu kuantor lainnya dan diwakili oleh simbol, dibaca ada. Pernyataan terakhir di atas daat ditulis suatu bilangan real x sedemikian hingga x 4.

7 MPMT53/MODUL.7 Pernyataan-ernyataan yang menegaskan bahwa ada sedikitnya satu anggota dari sebuah himunan untuk mana suatu sifat tertentu berlaku disebut ernyataan-ernyataan eksistensial. Definisi.3 Misalkan suatu himunan dan bahwa (x) adalah sebuah sifat yang mungkin berlaku atau tidak berlaku untuk anggota-anggota dari. Pernyataan eksistensial adalah suatu ernyataan berbentuk Terdaat x dalam sedemikian hingga (x). atau, secara simbolis, x dalam sedemikian hingga (x). uatu ernyataan eksistensial adalah benar jika dan hanya jika (x) benar untuk sedikitnya satu anggota x dalam ; jika tidak demikian, maka ernyataan itu salah. Contoh.3 Aakah ernyataan ini benar atau salah? sebuah bilangan bulat sedemikian hingga n 2 = 2. Jawab atu-satunya bilangan yang hasil kuadratnya 2 adalah 2 dan 2. Keduanya bukan bilangan bulat. Dengan demikian tidak ada bilangan bulat n sedemikian hingga n 2 = 2. Jadi ernyataan tersebut salah. Untuk membuktikan kebenaran dari sebuah ernyataan universal, Anda harus menunjukkan bahwa ernyataan itu benar untuk semua anggota dari himunan yang sesuai. Namun, untuk membuktikan kebenaran dari sebuah ernyataan eksistensial, Anda hanya erlu menemukan satu anggota dari himunan yang sesuai, yang membuat ernyataan itu benar. Misalnya, ernyataan sebuah bilangan real sedemikian hingga n 2 = 2 adalah benar karena 2 adalah bilangan real. (Tentu saja, demikian juga dengan 2 ). erikut ini ringkasan sifat-sifat dari ernyataan universal dan ernyataan eksistensial.

8 .8 fondasi dan bukti matematika ernyataan universal bentuk Untuk semua x dalam, (x). kuantor untuk semua simbol Jika benar untuk semua nilainilai x dalam benar eksistensial Terdaat suatu x dalam sedemikian hingga (x). terdaat (ada) Jika benar untuk aling sedikit satu nilai x dalam. Di dalam bahasa Indonesia, kita mungkin mengatakan satu hal yang sama dalam beberaa cara. Jika Anda misalkan himunan semua segitiga dan (x) kalimat hasil jumlah besarnya sudut-sudut x adalah 8, maka ernyataan universal x dalam, (x) daat diungkakan dalam banyak cara, antara lain: Untuk semua segitiga x, hasil jumlah besarnya sudut-sudut x adalah 8. Untuk setia segitiga x, hasil jumlah besarnya sudut-sudut x adalah 8. Hasil jumlah besarnya sudut-sudut dari sebarang segitiga adalah 8. Jika x, y, dan z adalah besarnya sudut-sudut dari sebuah segitiga, maka x + y + z = 8. eringkali, saat sebuah kalimat berbentuk Jika (x) maka q(x) memuat sebuah variabel x, kalimat itu diangga sebagai ernyataan tentang semua nilai x dalam suatu himunan (yang ditentukan oleh konteks situasi). Misalnya sebuah kalimat seerti Jika x 5, maka x 5. 3 biasanya dimaksudkan dengan arti Untuk semua bilangan real, jika, 3 x 5, maka x 5. Pernyataan-ernyataan eksistensial daat juga ditulis dalam beraneka ragam cara. Misalkan himunan semua bilangan real dan (x) kalimat x 2 = x. Pernyataan eksistensial x dalam sedemikian hinga (x) daat ditulis dalam cara-cara yang ekuivalen berikut ini. Terdaat sebuah bilangan real x sedemikian hingga x 2 = x.

9 MPMT53/MODUL.9 Terdaat aling sedikit satu bilangan real x untuk mana x 2 = x. Untuk suatu bilangan real x, x 2 = x. Untuk beberaa bilangan real x, x 2 = x. Terdaat sebuah bilangan real yang sama dengan hasil kuadratnya. eberaa ernyataan memuat untuk semua dan terdaat sekaligus. Misalnya, ifat Identitas Penjumlahan Nol daat dituliskan suatu bilangan real n sedemikian hingga bilangan real x, x + n = x. ilangan n, tentu saja, adalah. Eksistensi invers-invers enjumlahan mengunakan kuantor-kuantor tersebut dalam urutan terbalik. bilangan real x, suatu bilangan real y sedemikian hingga x + y =. Anda mengetahui bahwa y = x..2. Negasi Anda mengetahui bahwa sebuah ernyataan mestilah benar atau salah. etia ernyataan memiliki negasi (sangkalan) yang juga meruakan ernyataan. Definisi.4 Negasi dari suatu ernyataan adalah suatu ernyataan, disebut tidak, yang jika benar, secara teat menyebutkan aa yang salah bagi. Tabel kebenaran berikut ini memberikan nilai-nilai untuk tidak yang berkoresondensi dengan dua nilai kebenaran yang mungkin untuk. Pada tabel ini, mewakili benar dan mewakili salah. imbol digunakan untuk tidak. Tabel tersebut menunjukkan: bila benar, salah; bila salah, benar. Tabel. Tabel Kebenaran untuk Negasi Negasi dari sebuah ernyataan daat dibuat dengan hanya memasukkan frasa Tidak benar bahwa di awal ernyataan itu. Negasi dari : emua remaja memiliki ekerjaan.

10 . fondasi dan bukti matematika adalah ernyataan : Tidak benar bahwa semua remaja memiliki ekerjaan. eberaa orang berikiran bahwa cara lebih endek untuk menuliskan negasi dari ernyataan di atas adalah Tidak ada remaja yang memiliki ekerjaan. Tetai ini tidak benar. Perhatikan bahwa ernyataan emua remaja memiliki ekerjaan dan ernyataan Tidak ada remaja yang memiliki ekerjaan kedua-duanya salah. Jika salah satu ernyataan itu adalah negasi dari satu ernyataan lainnya, maka salah satunya mestilah benar dan satu lainnya salah. Terdaat cara-cara lain untuk menuliskan negasi. Perhatikan bahwa ernyataan yang diberikan di atas meruakan ernyataan menyeluruh yang menyebutkan sebuah sifat dari setia remaja. Jika sifat ini tidak berlaku, meski hanya bagi seorang remaja, maka ernyataan ini secara keseluruhan salah. Oleh karena itu, negasi-negasi yang benar adalah sebagai berikut. : Paling sedikit satu remaja tidak memiliki ekerjaan. atau : eorang remaja tidak memiliki ekerjaan. atau : seorang remaja yang tidak memiliki ekerjaan. Dengan menggunakan definisi kebenaran dan kesalahan dari ernyataan universal, gagasan di balik contoh ini daat digeneralisasi untuk menghasilkan teorema berikut. Teorema.. (Negasi Pernyataan Universal) Misalkan sebuah himunan dan (x) sebuah sifat yang mungkin berlaku atau tidak berlaku untuk anggota-anggota x dalam. Negasi dari adalah x dalam, (x) x dalam sedemikian hingga tidak (x). Contoh.4 Tuliskan negasi dari : emua bilangan rima adalah ganjil. Anda daat menggunakan baik endekatan formal mauun informal untuk menjawab soal ini. Jawab (formal) Di dalam cara formal, tuliskan kembali ernyataan itu sebagai

11 MPMT53/MODUL. : bilangan-bilangan rima x, x adalah ganjil. Menurut teorema itu, negasinya adalah tidak : sebuah bilangan rima x sedemikian hingga x tidak ganjil. Jawab (informal) Untuk menemukan negasi dalam cara informal, gunakan enalaran serua dengan enalaran yang mendahului teorema negasi ernyataan universal di atas. Perhatikan bahwa ernyataan menyeluruh emua bilangan rima adalah ganjil adalah salah sejauh bahwa terdaat satu bilangan rima yang tidak ganjil. Ini membawa Anda untuk menuliskan negasinya sebagai Paling sedikit satu bilangan rima adalah tidak ganjil. atau Anda daat menulis ebuah bilangan rima tidak ganjil. atau Terdaat sebuah bilangan rima yang tidak ganjil. Teorema di atas menyebutkan bahwa negasi dari ernyataan untuk semua adalah ernyataan terdaat. erua dengan itu, negasi dari ernyataan terdaat adalah ernyataan untuk semua. Perhatikan ernyataan q: Terdaat sebuah bilangan real x untuk mana x = 3. Agar ernyataan ini benar, haruslah terdaat aling sedikit satu bilangan real yang nilai mutlaknya sama dengan 3. Tetai tidak ada bilangan seerti itu: x untuk semua bilangan real x. Jadi ernyataan yang, jika benar, secara teat menyebutkan aa yang salah bagi ernyataan q di atas adalah q: Untuk semua bilangan real x, x 3. Negasi q ini adalah benar; ernyataan asli q dengan demikian salah. ecara umum, dari definisi kebenaran dan kesalahan dari suatu ernyataan eksistensial, timbul teorema berikut ini. Teorema.2. (Negasi Pernyataan Eksistensial) Misalkan sebuah himunan dan (x) sebuah sifat yang mungkin benar atau tidak benar untuk anggota-anggota x dalam. Negasi dari x dalam sedemikian bahwa (x) adalah x dalam, tidak (x). Contoh.5 Tuliskan negasi dari : eberaa segitiga adalah samakaki.

12 .2 fondasi dan bukti matematika Jawab eberaa orang berikir bahwa negasi dari ernyataan di atas adalah eberaa segitiga tidak samakaki. Tetai itu tidak benar, seerti ditunjukkan analisis teliti berikut ini. : eberaa segitiga adalah samakaki. adalah ekuivalen dengan : sebuah segitiga x sedemikian hingga x adalah samakaki. Dengan demikian, negasinya adalah : segitiga x, x tidak samakaki, yang berarti bahwa tidak ada satu un segitiga yang samakaki. Atau dalam kata-kata lain, : Tidak ada segitiga yang samakaki. Perhatikan bahwa ernyataan eberaa segitiga tidak samakaki memiliki arti bahwa kita mungkin menemukan aling sedikit satu segitiga yang tidak samakaki, yang sangat berbeda artinya dari Tidak ada segitiga yang samakaki. ekarang erhatikan masalah enulisan negasi dari ernyataan yang mengandung untuk semua dan terdaat sekaligus. Misalnya, ikirkan ernyataan : bilangan real x, sebuah bilangan real y sedemikian hingga xy =. erdasarkan Teorema Negasi Pernyataan Universal, negasinya adalah : sebuah bilangan real x sedemikian hingga tidak ( sebuah bilangan real y sedemikian hingga xy = ). erdasarkan Teorema Negasi Pernyataan Eksistensial, tidak ( sebuah bilangan real y sedemikian hingga xy = ) adalah ekuivalen dengan bilangan real y, xy. Oleh karena itu, negasi dari adalah : sebuah bilangan real x sedemikian hingga bilangan real y, xy. ecara umum, jika dan T adalah himunan-himunan dan (x, y) meruakan sifat yang mungkin benar atau tidak benar untuk anggota-anggota x dalam dan y dalam T, maka: negasi dari x dalam, y dalam T sedemikian hingga (x, y) adalah x dalam sedemikian hingga y dalam T, tidak (x, y) dan sebaliknya.

13 MPMT53/MODUL.3 Contoh.6 Tuliskanlah negasi dari ernyataan : etia orang memercayai seseorang. Jawab erikut ini jawabnya dalam kata-kata. : etia orang memercayai seseorang. : Terdaat seseorang yang tidak memercayai siaaun. Jawab 2 erikut ini sebuah analis yang lebih formal. : manusia x, seseorang y sedemikian hingga x memercayai y. : seseorang x sedemikian hingga manusia y, x tidak memercayai y. Perhatikan bahwa, secara umum, negasi dari suatu ernyataan daat dieroleh dengan membaca ernyataan itu dari kiri ke kanan dan mengubah menjadi, mengubah menjadi, dan mengubah (x, y) menjadi tidak (x, y). Kata-kata sedemikian hingga dihilangkan aabila diubah menjadi dan ditambahkan aabila diubah menjadi..3 Dan dan Atau dan Hukum De Morgan Di dalam matematika dan di dalam bahasa yang lazim, ernyataanernyataan seringkali digabungkan dengan menggunakan kata-kata dan, atau, tidak, baik... atauun, tidak... atauun. Kutian berikut ini dari instruksi-instruksi untuk chedule E (Form 4) formulir Pajak Pendaatan Federal Amerika erikat tahun 989 mengilustrasikan kombinasi-kombinasi semacam itu: ecara umum, Anda daat menggunakan bagian ini hanya jika: A C Pendaatan kotor ladang Anda tidak lebih dari $2,4, atau Pendaatan kotor ladang Anda lebih dari $2,4 dan laba bersih ladang Anda kurang dari $,6, atau Laba bersih non-ladang Anda kurang dari $,6 dan juga kurang dari dua ertiga (2/3) endaatan kotor ladang Anda. Misalkan kita menggunakan notasi berikut ini untuk ernyataanernyataan sederhana dalam instruksi-instruksi tersebut: f : endaatan kotor ladang Anda lebih dari $2,4. : laba bersih ladang Anda kurang dari $,6.

14 .4 fondasi dan bukti matematika n: laba bersih non-ladang Anda kurang dari $,6. g: laba bersih non-ladang Anda kurang dari dua ertiga endaatan kotor ladang Anda. Dalam notasi ini, instruksi-instruksi ajak endaatan itu daat dituliskan sebagai berikut. Anda daat menggunakan bagian ini hanya jika ((tidak f) atau (f dan ) atau (n dan g)). Tidaklah mengherankan jika ternyata orang-orang kebingungan oleh formulir ajak! Untunglah, tidak semua kalimat yang mengandung dan, atau, dan tidak serumit instruksi-instruksi tadi. Contoh.7 Tuliskanlah ertidaksamaan-ertidaksamaan berikut ini dengan menuliskan tia dan, atau, dan tidak yang tersiratkan ada masing-masingnya. a. x 5 b. y c. 3 z 4 Jawab a. x 5 atau x = 5 b. tidak (y ), yang ekuivalen dengan tidak (y atau y = ). eerti Anda ketahui, satu bentuk lain untuk ini adalah y. c. 3 z dan z 4. Pertidaksamaan ganda ini berarti bahwa kedua ertidaksamaan tersebut terenuhi. Nilai-nilai kebenaran dari kalimat-kalimat yang menggabungkan dua ernyataan dengan dan atau atau adalah sebagai berikut. Definisi.5 a. Kalimat dan q adalah benar bila, dan hanya bila, dan q keduaduanya benar. b. Kalimat atau q adalah benar dalam semua kasus keculai bila dan q kedua-duanya salah. Nilai-nilai kebenaran dalam definisi dan dan atau dirangkumkan dalam tabel kebenaran berikut ini.

15 MPMT53/MODUL.5 Tabel Kebenaran untuk dan q dan q Tabel Kebenaran untuk atau q atau q Dalam bahasa yang lazim, kita kadang-kadang menggunakan atau ekslusif (salah satu atau satu yang lainnya, tetai tidak kedua-duanya sekaligus) dan kadang-kadang atau inklusif (salah satu atau satu yang lainnya atau kedua-duanya sekaligus). Misalnya, jika sebuah menu kantin menyebutkan Koi atau teh gratis untuk emesanan roti bakar, Anda barangkali sebaiknya menafsirkan itu dengan arti bahwa Anda daat memeroleh koi atau teh secara gratis bersama roti bakar yang Anda esan tetai Anda akan harus membayar lebih jika Anda menginginkan keduaduanya. Itu adalah atau ekslusif. Di sisi lain, jika ramusaji kantin itu bertanya keada Anda Krim atau gula?, Anda biasanya daat mengartikan bahwa dia sedang menawarkan krim atau gula atau kedua-duanya. Itu adalah atau inklusif. Di dalam matematika, atau selalu berarti atau inklusif. uatu bentuk/eksresi logis adalah formula di mana variabel-variabel yang mewakili ernyataan-ernyataan digabungkan dalam suatu cara yang tidak ambigu dengan dan, atau, tidak, atau jika-maka. Misalnya atau (q dan r) ( atau q) dan r adalah bentuk-bentuk logis. Di sisi lain, formula atau q dan r bukan meruakan eksresi logis karena tidak jelas aakah bentuk itu berarti atau (q dan r), atau ( atau q) dan r. Jika dua bentuk logis memiliki nilai-nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi ernyataan untuk variabel-variabel ernyataannya, maka kita katakan bahwa dua bentuk tersebut ekuivalen logis. imbol kadangkadang digunakan untuk melambangkan ekuivalensi logis. ebagai contoh, ( ). Contoh.8 Gunakan tabel kebenaran untuk membuktikan bahwa tidak ( dan q) ) atau (tidak q). (tidak

16 .6 fondasi dan bukti matematika Jawab iakan sebuah tabel kebenaran di mana dua kolom ertamanya mendaftarkan nilai-nilai kebenaran untuk dan q dan kolom-kolom lainnya memberikan nilai-nilai kebenaran untuk dan q, tidak ( dan q), tidak, tidak q, dan (tidak ) atau (tidak q). Perhatikan contoh bagaimana mengisi kolom-kolom tersebut dalam beberaa langkah. q dan q tidak ( dan q) tidak tidak q (tidak ) atau (tidak q) ekarang gunakan tabel-tabel kebenaran untuk dan dan tidak untuk mengisi tiga kolom lain seerti tamak di bawah ini. q dan q tidak ( dan q) tidak tidak q (tidak ) atau (tidak q) Dari kolom-kolom yang telah diisi seerti di atas, Anda daat mengisi dua kolom lainnya yang masih tersisa, seerti tamak di bawah ini. q dan q tidak ( dan q) tidak tidak q (tidak ) atau (tidak q) Nilai-nilai kebenaran sama Karena nilai-nilai kebenaran yang berkoresondensi dalam kolom tidak ( dan q) dan kolom (tidak ) atau (tidak q) dalam tabel di atas adalah sama, maka dua bentuk logis tersebut adalah ekuivalen logis. Pokok enting tentang bukti tabel kebenaran Contoh.8 adalah bahwa bukti tersebut tidak bergantung ada ernyataan-ernyataan sesifik yang digunakan untuk menggantikan dan q. Contoh.8 membuktikan yang ertama dari dua hasil yang disebut Hukum-hukum De Morgan.

17 MPMT53/MODUL.7 Hukum De Morgan Untuk semua ernyataan dan q.. ( dan q) ( ) atau ( q) 2. ( atau q) ( ) dan ( q). Augustus Louis De Morgan (86-87) adalah seorang matematikawan dan logikawan terkenal. Pernyataan-ernyataan lisan rinsi-rinsi logika yang disebutkan oleh hukum () dan hukum (2) itu telah dikenal setidaknya ada awal abad ke-4. Namun demikian, De Morgan adalah orang ertama yang menyatakannya secara simbolis, dalam bukunya Formal Logic yang diterbitkan ada tahun 847. Ungkaan sehari-hari baik a atauun b seringkali berarti atau ekslusif, yaitu (a atau b) dan tidak (a dan b). Untuk menghindari ambiguitas (kebergandaan-makna), untuk atau ekslusif kita katakan baik a atauun b tetai tidak sekaligus kedua-duanya. Perhatikan bahwa dalam bahasa yang lazim, frasa tidak a atauun b berarti (tidak a) dan (tidak b). Ekuivalensi logis ini meruakan yang kedua dari Hukum De Morgan. Contoh.9 berikut ini menggunakan Hukum-hukum De Morgan untuk menganalisis sebuah ertidaksamaan ganda. Contoh.9 Misalkan, keceatan L yang dierbolehkan oleh hukum (dalam km er jam) di sebuah jalan raya antar rovinsi adalah 6 L 8. Gunakan Hukum De Morgan untuk mendeskrisikan keceatan-keceatan yang melanggar hukum. Jawab Keceatan-keceatan yang melanggar hukum adalah negasi nilai L yaitu: (6 L 8) (6 L dan L 8) Angga 6 L sebagai, L 8 sebagai q, dan terakan Hukum De Morgan yang ertama: (6 L) atau (L 8) 6 L atau L 8 Jadi Anda melanggar hukum keceatan di jalan raya rovinsi tersebut jika keceatan Anda kurang dari 6 atau lebih dari 8 km er jam.

18 .8 fondasi dan bukti matematika LATIHAN Untuk memerdalam emahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!. Pernyataan berikut adalah benar: bilangan-bilangan real a dan b, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Gunakan substitusi, misalkan a = 75 dan b = 2 untuk mendeduksi bahwa ( ) 2 = ifat Identitas Perkalian dari satu adalah: sebarang bilangan real dikalikan oleh sama dengan bilangan itu. Tuliskanlah sifat ini dengan menggunakan simbol dan. 3. enar atau alah? bilangan-bilangan real a dan b, ersamaan ax = b memiliki teat satu enyelesaian. Jika salah, berikan sebuah kontracontoh. 4. Tuliskan negasi dari ernyataan berikut: suatu fungsi f sedemikian hingga bilangan-bilangan real a dan b, f(a+ b) = f(a) + f(b). 5. Perhatikan ernyataan : etia orang mencintai seseorang. a. Tuliskan ernyataan tersebut dalam bentuk?,? sedemikian hingga?. b. Tuliskanlah negasi dari ernyataan di atas. 6. Perhatikan ernyataan berikut ini. bilangan real x, suatu bilangan real y sedemikian hingga tan x = y. a. Tuliskan negasi dari ernyataan ini. b. Manakah yang benar: ernyataan tersebut atau negasinya? Justifikasi jawaban Anda. 7. a. Lengkailah tabel kebenaran berikut ini. q dan q atau ( dan q)

19 MPMT53/MODUL.9 b. Dalam jawaban Anda untuk soal (a) di atas, dua dari kolom-kolom itu mestilah sama. Aakah arti dari kesamaan tersebut? 8. Gunakan salah satu dari Hukum-hukum De Morgan untuk menuliskan negasi dari: aya ingin bubur ayam atau saya ingin nasi goreng untuk saraan agi. 9. Gunakanlah salah satu Hukum De Morgan untuk menuliskan negasi dari 3 x 4. Petunjuk Jawaban Latihan. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 berlaku untuk semua bilangan real a dan b. Karena 75 dan 2 adalah real, maka relasi itu berlaku bila a = 75 dan b = 2. Jadi, ( ) 2 = ( 75 ) ( 2 ) 2 = = suatu bilangan real sedemikian hingga bilangan real x, x = x. 3. alah; misalnya, jika a = b =, maka terdaat lebih dari satu enyelesaian untuk x, jika a =, b =, maka tidak terdaat enyelesaian untuk x. 4. fungsi f, bilangan-bilangan real a dan b sedemikian hingga f(a + b) f(a) + f(b). 5. a. orang x; seseorang y; x mencintai y b. seseorang x sedemikian hingga orang y, x tidak mencintai y. 6 a. bilangan real x sedemikian hingga bilangan real y, tan x y. 7. a. q dan q b. atau ( dan q) atau ( dan q)

20 .2 fondasi dan bukti matematika 8. aya tidak ingin bubur ayam dan saya tidak ingin nasi goreng untuk saraan agi. 9. (3 x 4) (3 x dan x 4) (3 x) atau (x 4) 3 x atau x 4. RANGKUMAN. Pernyataan-ertanyaan universal menyebutkan bahwa semua anggota dari suatu himunan memiliki suatu sifat tertentu, sedangkan ernyataanernyataan eksistensial menyebutkan bahwa sekurang-kurangnya satu anggota dari suatu himunan memiliki suatu sifat tertentu. 2. Menuliskan negasi dari suatu ernyataan artinya adalah mengungkakan bentuk salah (kebalikan) dari ernyataan itu. Negasi dari ernyataan universal adalah ernyataan eksistensial, dan negasi dari ernyataan eksistensial adalah ernyataan universal. 3. Kata-kata dan, atau, dan tidak sangat enting dalam studi logika. Hukum-hukum De Morgan daat digunakan untuk membuat negasi dari bentuk-bentuk logis yang memuat dan dan atau. TE FORMATIF elesaikan oal-soal tes berikut ini!. Temukan sebuah kontracontoh untuk menunjukkan bahwa ernyataan berikut ini salah: Untuk semua bilangan real x terdaat suatu bilangan real y sedemikian hingga x y =. 2. Tuliskanlah negasi dari ernyataan berikut: suatu fungsi f sedemikian hingga bilangan-bilangan real a dan b, f(a + b) = f(a) + f(b). 3. Diketahui ernyataan suatu bilangan real ositif x sedemikian hingga log x =. Tuliskanlah negasinya, kemudian tentukan aakah ernyataan itu atau negasinya yang benar?

21 MPMT53/MODUL.2 4. Konstruksikanlah sebuah tabel kebenaran untuk menunjukkan semua nilai kebenaran yang mungkin dari bentuk dan ~q. 5. Aakah atau ekslusif atau atau inklusif yang dimaksudkan dalam kutian dari enulis Edith Wharton berikut ini: Terdaat dua cara menyebarkan cahaya: menjadi lilin atau cermin yang memantulkannya. Cocokkanlah hasil jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdaat ada akhir modul ini. Hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. (Tia soal memiliki total bobot nilai. Jika sebuah soal terdiri atas beberaa butir ertanyaan, maka bobot nilai dari satu butir ertanyaan adalah.) Kemudian gunakan rumus di bawah jumlah butir ertanyaan dalam soal ini untuk mengetahui tingkat enguasaan Anda terhada materi Kegiatan elajar. Rumus: Jumlah jawaban Anda yang benar Tingkat Penguasaan = % 5 Arti tingkat enguasaan yang Anda caai: 9% - % = aik sekali 8% - 89% = aik 7% - 79% = Cuku - 69% = Kurang Jika Anda mencaai tingkat enguasaan 8% ke atas, maka Anda daat meneruskan dengan Kegiatan elajar 2. agus! Jika tingkat enguasaan Anda masih di bawah 8%, maka Anda harus mengulangi Kegiatan elajar, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

22 .22 fondasi dan bukti matematika Kegiatan elajar 2 Jaringan Logika Komuter, Pernyataan JIKA MAKA, dan Argumen yang Valid.4 Jaringan Logika Komuter Pikirkan tentang lamu di langit-langit sebuah mobil berintu dua. Kecuali Anda telah mengubah setelan sakelarnya, lamu itu akan menyala saat ada intu mobil itu yang terbuka dan akan mati saat kedua intu tertutu. Tabel berikut ini menunjukkan bilamana lamu menyala atau mati berdasarkan osisi dari kedua intu mobil tersebut. Pintu Pintu 2 Lamu terbuka terbuka tertutu tertutu terbuka tertutu terbuka tertutu menyala menyala menyala mati Tabel ini tentu tidak asing lagi bagi Anda. arangkali demikian, karena strukturnya sama dengan tabel kebenaran untuk atau, dengan kata-kata terbuka dan menyala menggantikan dan kata-kata tertutu dan mati menggantikan. Ini menandakan bahwa logika dan elektronika berhubungan sangat dekat, dan memang demikian. etia kali Anda menekan tombol ada kalkulator, atau mengetikkan erintah ada komuter, atau menekan sakelar lamu, Anda sedang mengaktifkan gerbang logika (logic gate) ertama dalam suatu sistem elektronik. Mikrorosesor daat memiliki jutaan gerbang logika. Gerbang-gerbang ini saling-sambung sehingga daat mentransmisikan arus listrik untuk menghasilkan outut-outut seerti tamilan yang Anda lihat setelah menginut berbagai kunci ada kalkulator. ebagai bagian dari erangkat keras komuter, gerbang-gerbang logika memiliki beraneka ragam bentuk. Anda tidak harus mengetahui bagaimana konstruksi fisik dari gerbang-gerbang ini untuk daat memahami bagaimana mereka berfungsi, dan Anda daat memikirkan gerbang-gerbang logika itu sebagai alat-alat listrik dengan kabel-kabel inut dan outut. ebuah model gerbang logika diilustrasikan sebagai berikut.

23 MPMT53/MODUL.23 Gerbang logika Kabel inut Kabel inut Kabel outut Kabel-kabel inut dan outut membawa sinyal-sinyal listrik yang berada dalam salah satu dari dua keadaan yang saling ekslusif. Anda daat ikirkan dua keadaan itu sebagai arus ON atau arus OFF atau sebagai voltase tinggi atau voltase rendah. Demi kemudahan, kita sebut saja keadaan sinyal ini sebagai atau. Ini berkoresondensi, berturut-turut, dengan enar dan alah dalam logika. enar adalah adalah ON; alah adalah adalah OFF. ebuah gerbang logika bertindak ada sinyal-sinyal inut yang diterimanya untuk menghasilkan sebuah sinyal inut ( atau ). Oleh karena itu, Anda akan mengetahui secara teat bagaimana suatu gerbang logika berfungsi setelah Anda mengetahui keadaan sinyal outut yang dihasilkan untuk setia kombinasi yang mungkin dari keadaan-keadaan sinyal inut. Informasi ini daat dicantumkan dengan mudah dalam tabel inut-outut untuk gerbang logika tersebut. erikut ini diberikan tabel untuk sebuah gerbang logika yang berbeda dari gerbang logika untuk situasi intu mobil. Inut q Outut Tabel di atas memiliki dua kolom inut yang diberi nama dan q, sehingga Anda daat menggambarkan gerbang logika itu sebagai q outut Tabel tadi memberi tahu Anda bahwa gerbang logika akan menghasilkan sebuah sinyal outut saat kabel inut membawa sinyal dan kabel inut q membawa sebuah sinyal. Untuk sebarang dari tiga kombinasi lainnya yang mungkin dari keadaan-keadaan sinyal inut, tabel itu memberi tahu Anda bahwa gerbang logika akan menghasilkan sebuah sinyal outut.

24 .24 fondasi dan bukti matematika Dengan demikian, tabel inut-outut itu memberi tahu Anda secara teat aa yang akan dilakukan oleh gerbang logika dengan sebarang kombinasi yang mungkin dari sinyal-sinyal inut. Tiga gerbang logika berikut ini sedemikian bersifat mendasar hingga diberi simbol-simbol baku yang khusus. Nama Gerbang imbol Gerbang Tabel Inut-Outut Outut TIDAK TIDAK DAN DAN q Outut ATAU ATAU q Outut Perhatikan bahwa a. sinyal outut gerbang TIDAK (atau, NOT) adalah jika sinyal inutnya, dan bahwa sinyal oututnya jika sinyal inutnya ; b. sinyal outut gerbang DAN (atau, AND) adalah jika kabel inut dan kabel inut q membawa sebuah sinyal. Jika tidak demikian, maka sinyal oututnya adalah ; dan c. sinyal outut gerbang ATAU (atau, OR) adalah jika kabel inut atau kabel inut q (atau kedua-duanya) membawa sebuah sinyal. Jika tidak demikian, maka sinyal oututnya. Jika Anda belum juga menyadari ini, Anda daat melihat bahwa tabeltabel inut-outut untuk gerbang-gerbang logika TIDAK, DAN, dan ATAU ada dasarnya sama dengan tabel-tabel kebenaran untuk tidak, dan q, dan atau q. atu-satunya erbedaan adalah hal enggunaan notasi: dan digunakan, berturut-turut, sebagai engganti dan, dan kolom terakhir

25 MPMT53/MODUL.25 diberi nama dengan kata outut menggantikan bentuk logis yang sesuai untuknya. Gerbang-gerbang TIDAK, DAN, dan ATAU biasanya disambungkan sedemikian sehingga sinyal-sinyal outut dari beberaa gerbang itu menjadi sinyal-sinyal inut bagi gerbang-gerbang lainnya. Ini disebut suatu jaringan (network) gerbang logika. Hubungan di antara tabel-tabel inut-outut untuk gerbang-gerbang TIDAK, DAN, dan ATAU dan tabel-tabel kebenaran untuk tidak, dan q, dan atau q berarti bahwa untuk tia jaringan gerbanggerbang logika, Anda daat mengkonstruksi suatu bentuk logis yang berkoresondensi adanya. elain itu, Anda un daat menggunakan logika untuk menentukan tindakan dari jaringan manaun. Contoh. Konstruksilah suatu tabel inut-outut yang berkoresondensi dengan jaringan berikut ini: q DAN TIDAK Jawab Karena jaringan ini memiliki dua kabel inut yang bernama dan q, maka tabel inut-outut harus mencantumkan semua kombinasi keadaan sinyal yang mungkin untuk, q. q inyal-sinyal inut terlebih dulu melewati gerbang DAN yang oututnya masuk ke gerbang TIDAK. Penelusuran tia asang sinyal inut melalui jaringan ini memungkinkan Anda untuk menentukan sinyal outut yang teat. Jika adalah dan q adalah, maka outut dari gerbang DAN adalah juga. Gerbang TIDAK membalikkan nilai ini dan memberikan outut akhir. aris-baris lainnya ada tabel ini diselesaikan dalam cara serua itu. q DAN q outut jaringan TIDAK ( DAN q)

26 .26 fondasi dan bukti matematika Periksa irkuit ini mesti mewakili tabel kebenaran untuk tidak ( dan q). q dan q tidak ( dan q) Ingat kembali bahwa dua bentuk logis disebut ekuivalen logis jika nilainilai kebenarannya selalu sama. ama halnya, jika kolom-kolom outut dari tabel-tabel inut-outut untuk dua jaringan adalah identik, maka jaringanjaringan itu menghasilkan outut yang sama untuk tia kombinasi sinyalsinyal inut, dan dengan demikian jaringan-jaringan itu bersifat ekuivalen fungsional. imbol daat digunakan di antara jaringan-jaringan yang ekuivalen fungsional sebagaimana digunakan di antara bentuk-bentuk yang ekuivalen logis. Contoh. mengilustrasikan enggunaan jaringan-jaringan yang ekuivalen fungsional untuk mewakili salah satu Hukum De Morgan dalam kaitannya dengan jaringan: tidak ( dan q) (tidak ) atau (tidak q). Contoh. uktikanlah kebenaran versi jaringan dari salah satu Hukum De Morgan berikut ini: TIDAK q DAN TIDAK ATAU q TIDAK Jawab uatlah tabel inut-outut untuk tia ruas ekuivalensi di atas untuk menunjukkan bahwa tia kombinasi sinyal-sinyal inut yang mungkin memberikan outut yang sama. erikut ini tabel untuk ruas kanan. q TIDAK TIDAK q (TIDAK ) ATAU (TIDAK q)

27 MPMT53/MODUL.27 Nilai-nilai di kolom aling kanan adalah identik dengan nilai-nilai yang diselesaikan dalam Contoh. untuk jaringan di sebelah kiri. Pada Contoh. dan Contoh., kita mulai dengan sebuah jaringan dan mengkonstruksi tabel inut-outut yang berkoresondensi dengannya. Kita juga mungkin memulai dengan sebuah jaringan dan menemukan bentuk logis yang berkoresondesi dengannya. ebagian orang melakukan ini dengan menelusuri jaringan dari outut menuju ke inut dariada dengan bekerja dari inut ke outut. Contoh.2 Tentukanlah bentuk logis yang berkoresondensi dengan jaringan berikut ini. TIDAK DAN TIDAK q Jawab acalah jaringan itu dari kanan ke kiri dan buatlah bentuk logisnya berdasarkan enelusuran Anda. Gerbang TIDAK membalikkan outut dari bagian sebelumnya. Dengan demikian, TIDAK berkoresondensi dengan tidak ( ). Juga TIDAK DAN berkoresondensi dengan (tidak ) dan q. q Jadi keseluruhan jaringan itu berkoresondensi dengan ((tidak ) dan q). Jawab 2 acalah jaringan itu dari kiri ke kanan, dengan menyiman tia langkah yang lebih awal dalam tanda kurung. Komonen ertamanya adalah Komonen keduanya adalah tidak (tidak ) dan q Komonen terakhirnya adalah tidak ((tidak ) dan q)

28 .28 fondasi dan bukti matematika ifat-sifat aljabar dari dan, atau, dan tidak ertama kali disebutkan dan dikaji oleh George oole (85-864) dalam bukunya An Investigation of the Laws of Thought, yang diublikasikan ada tahun 853. Meski oole berasal dari keluarga miskin dan hanya memeroleh endidikan formal selama tiga tahun, tetai dia berhasil menjadi cendikiawan brilian yang tidak saja menyumbang engetahuan baru ke dalam beberaa bidang matematika tetai juga mengajarkan bahasa Latin dan Yunani. oole mengungka bahwa oerasi-oerasi logis dan, atau, dan tidak daat membentuk suatu sistem aljabar. Penemuan ini telah diterakan ada situasi-situasi lain yang melibatkan dua nilai seerti ON-OFF, YE-NO, -. Jika nilai-nilai itu daat digabungkan dengan menggunakan oerasi-oerasi yang serua dengan dan, atau, dan tidak, maka sistemnya disebut aljabar oole. aat ini, aljabar oole dalam elektronika meruakan alikasi enting dari matematika. Aljabar ini digunakan untuk merancang sistem-sistem mikrorosesor. Alikasi-alikasi ertama aljabar oole ke dalam analisis jaringan-jaringan dilakukan oleh A. Nakashima ada tahun 937 dan Claude hannon ada 938. idang ini terus menjadi fokus dari enelitian aktif oleh ara insinyur, ilmuwan komuter, dan matematikawan..5 Pernyataan Jika-maka Pernyataan jika-maka daat ditemukan di mana-mana. aik di dalam mauun di luar matematika, ernyataan jika-maka hadir aabila sebuah ernyataan diandang muncul dari satu ernyataan lainnya. Di dalam matematika, ernyataan jika-maka membentuk landasan bagi bahasa deduksi dan bukti. Di dalam bagian ini, kita meninjau kembali bahasa ernyataan jika-maka yang telah ernah Anda elajari dan menerakan logika formal dari bagian-bagian sebelum ini ke dalam ernyataan semacam itu. uatu ernyataan berbentuk Jika maka q disebut ernyataan kondisional/bersyarat, dilambangkan dengan q, dan dibaca menyimulkan q. Pernyataan disebut hiotesis atau anteseden, dan ernyataan q disebut konklusi atau konsekuen, seerti dalam contoh ini. Jika suatu segiemat adalah ersegianjang, maka diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama anjang. Hiotesis atau anteseden Konklusi atau konsekuen agaimanakah nilai kebenaran q ditentukan oleh nilai-nilai kebenaran dari dan q? Contoh berikut ini akan membantu Anda untuk menjawab ertanyaan tersebut.

29 MPMT53/MODUL.29 Misalkan (x) q(x) adalah ernyataan kondisional Jika x 8, maka x Di sini, (x): x 8 dan q(x): x Untuk semua bilangan real x, ernyataan kondisional ini benar. ekarang kita lihat nilai-nilai kebenaran aa saja yang mungkin untuk (x) dan q(x). Jika x 8, maka baik anteseden mauun konsekuennya benar. Misalnya, bila x = 9, (x) adalah 9 8 dan q(x) adalah Jika x 8, maka antesedennya salah dan konsekuennya benar. Misalnya, bila x =, (x) adalah 8 dan q(x) adalah Jika 8 x 8, maka baik anteseden mauun konsekuennya salah. Misalnya, bila x = 7, maka (x) adalah 7 8 dan q(x) adalah Jadi, dalam sebuah ernyataan kondisional yang benar, kita mungkin mendaatkan nilai-nilai kebenaran berikut ini untuk anteseden dan konsekuen: anteseden konsekuen Perhatikan bahwa sebuah ernyataan kondisional yang benar daat memiliki sebuah anteseden yang salah. Penalaran ini menunjukkan bahwa satu-satunya kombinasi nilai-nilai kebenaran yang tidak daat dimiliki oleh ernyataan kondisional yang benar adalah anteseden yang benar dan konsekuen yang salah. ekarang erhatikan ernyataan kondisional berikut Jika x 8, maka x 2. Aakah terdaat nilai x yang membuat bentuk kondisional ini meruakan ernyataan yang salah? Tentu saja, jawabannya ya. Misalnya, jika x = 9, maka antesedennya adalah 9 8, adalah benar, dan konsekuennya 9 2, adalah salah. Hasil dari analisis tersebut memberika definisi sebagai berikut. Definisi.8 Misalkan dan q mewakili ernyataan-ernyataan. Pernyataan kondisional q adalah salah bilamana benar dan q salah benar dalam semua kasus lainnya.

30 .3 fondasi dan bukti matematika eerti halnya dengan tidak, dan, dan atau, definisi ini daat dirangkum dalam sebuah tabel kebenaran yang menunjukkan nilai-nilai kebenaran untuk jika maka q yang berkoresondensi dengan semua emberian nilai-nilai kebenaran yang mungkin untuk dan q. Tabel Kebenaran untuk Pernyataan Kondisional q jika maka q q Contoh.3 Dosen Anda menjanjikan yang berikut ini di awal erkuliahan, Jika total skor-skor tes Anda lebih dari 5, maka Anda akan mendaatkan nilai A untuk mata kuliah ini. Pada akhir masa erkuliahan, total skor Anda adalah 485 dan dosen Anda memberi Anda nilai A. Aakah dosen tersebut telah memenuhi janjinya? Jawab Janji adalah suatu ernyataan kondisional. Anteseden ada contoh di atas ternyata salah (485 tidak lebih dari 5) dan konsekuennya benar (Anda mendaatkan A). Dengan kombinasi ini, ernyataan kondisional tersebut benar. Jadi, kita akan katakan bahwa dosen Anda tersebut tidak mengingkari janjinya dan, dengan demikian, kita daat katakan bahwa dia memenuhi janjinya. Negasi dari sebuah ernyataan kondisional mestilah benar bila ernyataan kondisional itu salah. Hanya dalam baris kedua dari tabel kebenaran itu q adalah salah. Ini terjadi bila benar dan q salah. Namun demikian, q adalah salah bila tidak q adalah benar. Oleh karena itu, kita memeroleh teorema berikut ini. Teorema.3 (Negasi Pernyataan Kondisional ederhana): Negasi dari ernyataan kondisional jika maka q adalah dan (tidak q). Dituliskan secara simbolis: ( q) dan ( q) Perhatian! Negasi dari suatu ernyataan kondisional bukan meruakan suatu ernyataan kondisional lainnya, melainkan suatu ernyataan-dan.

31 MPMT53/MODUL.3 Contoh.4 Tulislah negasi dari ernyataan kondisional, Jika Tino tinggal di andung, maka Tino tinggal di Jawa arat. Jawab Misalkan : Tino tinggal di andung, dan q: Tino tinggal di Jawa arat. Pernyataan yang diberikan itu adalah ernyataan kondisional berbentuk jika maka q. Oleh karena itu, negasinya berbentuk dan (tidak q), atau Tino tinggal di andung dan Tino tidak tinggal di Jawa arat. alah satu jenis ernyataan yang aling enting dalam matematika adalah bersifat kondisional dan universal. entuk dari jenis ernyataan tersebut adalah x dalam, jika (x), maka q(x). Misalnya, ernyataan kondisional universal berikut ini adalah benar. bilangan real ositif x, jika x 2 9, maka x 3. Tetai erluasan domain x menjadi himunan semua bilangan real menjadikan ernyataan tersebut salah. bilangan real x, jika x 2 9, maka x 3. Alasan mengaa ernyataan yang kedua di atas salah adalah bahwa terdaat nilai-nilai x (misalnya, x = 4) untuk mana anteseden benar (( 4) 2 9 adalah benar) dan konsekuennya salah ( 4 3 adalah salah). Karena definisi dari kebenaran dan kesalahan ernyataan kondisional, maka ernyataan kondisional tersebut salah untuk nilai-nilai ini, dan oleh karena itu, ernyataan kondisional tersebut tidak benar bilangan real x. erkenaan dengan ernyataan-ernyataan universal yang lebih sederhana, 4 disebut sebuah kontracontoh (counterexamle). Teorema berikut menyebutkan gagasan ini secara simbolis: suatu ernyataan kondisional universal adalah salah jika dan hanya jika terdaat suatu kontracontoh. Teorema.4 (Negasi Pernyataan Kondisional Universal) Misalkan suatu himunan dan misalkan (x) dan q(x) ernyataanernyataan yang mungkin berlaku atau tidak berlaku untuk elemenelemen x dalam. Negasi dari adalah x dalam, jika (x) maka q(x) x dalam sedemikian hingga (x) dan tidak q(x)

32 .32 fondasi dan bukti matematika Contoh.5 Perhatikan ernyataan berikut: bilangan-bilangan real a dan b, jika a b maka cos a cos b. a. Tuliskan negasi dari ernyataan tersebut. b. Aakah ernyataan tersebut benar atau salah? Jika salah, berikan sebuah kontracontoh. Jawab a. Negasi dari ernyataan tersebut adalah b. bilangan real a dan b sedemikian hingga a b dan cos a < cos b. Pernyataan tersebut salah. ebagai kontracontoh, misalkan a= dan b= π 2 maka a b karena 2 π, tetai cos a < cos b karena cos a = cos = dan cos b = cos 2 π =, sehingga <. Kadang-kadang, ernyataan kondisional dibuktikan dengan menetakan kontraositifnya. Definisi.9 Kontraositif dari q adalah q. Kontraositif dari x dalam, jika (x) maka q(x) adalah x dalam, jika q(x) maka (x). Tabel di bawah ini menunjukkan bahwa nilai-nilai kebenaran dari ernyataan kondisional q dan kontraositifnya ( q) ( ) adalah sama. q q ~q ~ (~q) (~) Nilai-nilai kebenaran sama Tabel kebenaran di atas membuktikan teorema berikut ini.

33 MPMT53/MODUL.33 Teorema.5 Kontraositif uatu ernyataan kondisional dan kontraositifnya adalah ekuivalen logis. Yaitu, keduanya selalu memiliki nilai kebenaran yang sama. Contoh.6 Tuliskan kontraositif dari ernyataan berikut dan tentukan aakah kontraositif itu benar atau salah: bilangan real a, jika a 2 =, maka a 6 =. Jawab Kontraositifnya adalah bilangan real a, jika a 6, maka a 2. Karena ernyataan aslinya benar, maka kontraositifnya un benar. Dengan mengambil negasi atau menukarkan anteseden dan konsekuen dari suatu ernyataan kondisional, tetai bukan melakukan kedua-duanya sekaligus, dua ernyataan kondisional lainnya daat dimunculkan. Definisi. Konvers dari q adalah q. Konvers dari x dalam, jika (x) maka q(x) adalah x dalam, jika q(x) maka (x) Invers dari q adalah ~ ~q. Invers dari x dalam, jika (x)maka q(x)adalah x dalam, jika ~(x)maka ~q(x) Konvers dan invers mungkin tamak miri dengan kontraositif, tetai, tidak seerti kontraositif, baik konvers mauun invers tidak mesti memiliki nilai kebenaran yang sama dengan nilai kebenaran dari ernyataan aslinya. Contoh.7 Tentukanlah konvers dan invers dari ernyataan kondisional universal Jawab fungsi-fungsi f, jika f adalah fungsi kosinus, maka f() =. Konversnya adalah fungsi-fungsi f, jika f() =, maka f adalah fungsi kosinus. Inversnya adalah fungsi-fungsi f, jika f bukan fungsi kosinus, maka f().

34 .34 fondasi dan bukti matematika Pernyataan kondisional asli di atas adalah benar karena cos =. Tetai konversnya tidak benar. Terdaat banyak fungsi f dengan f() = yang bukan fungsi kosinus. alah satunya adalah fungsi f yang diberikan oleh f(x) = 3x + untuk semua bilangan real x. Fungsi tersebut juga meruakan kontracontoh yang menunjukkan bahwa invers dari ernyataan kondisional asli di atas un tidak benar. aat diketahui ernyataan-ernyataan dan q, jika dan hanya jika q berarti bahwa (jika maka q) dan (jika q maka ) atau, secara simbolis, q dan q. Ini biasanya ditulis q dan disebut ernyataan bikondisional. emua definisi adalah ernyataanernyataan bikondisional. Contoh.8 erikut ini adalah definisi logaritma dengan bilangan okok 2. Uraikan ernyataan bikondisional ini menjadi dua ernyataan kondisionalnya. bilangan real ositif x, 2 log x = y jika dan hanya jika 2 y = x. Jawab bilangan real ositif x, jika 2 log x = y maka 2 y = x. bilangan real ositif x, jika 2 y = x maka 2 log x = y..6 Argumen yang Valid Penguasaan logika daat membantu Anda dalam membuat inferensi atau induksi yang benar serta dalam menentukan bilamana orang lain telah membuat deduksi yang teat atau keliru. Lewis Carroll (sedonim dari Charles Lutwidge Dodgson, , seorang matematikawan, ahli logika, dan negarawan berkebangsaan Inggris), yang aling terkenal sebagai enulis buku dongeng Alice in Worderland, juga menuliskan dua buah buku teka-teki logika. Persoalan berikut ini diambil dan diterjemahkan dari salah satu buku tersebut. Pikirkan kalimat-kalimat berikut: () aat saya mengerjakan sebuah contoh logika tana mengeluh, Anda boleh yakin bahwa contoh itu daat saya ahami. (2) Contoh ini tidak tersusun dalam urutan lazim seerti yang biasa saya temukan.

35 MPMT53/MODUL.35 (3) Tidak ada contoh mudah yang membuat saya using keala. (4) aya tidak memahami contoh yang tidak tersusun dalam urutan lazim seerti yang biasa saya temukan. (5) aya mengeluh saat saya mengerjakan sebuah contoh hanya jika saya jadi using keala. Anggalah bahwa masing-masing kalimat ()-(5) adalah benar. Aakah kesimulan berikut ini juga benar? (6) Contoh ini tidak mudah. Kita akan memberikan jawaban untuk teka-teki di atas di akhir bagian ini. ekarang, kita terlebih dulu mengembangkan metode-metode umum untuk memecahkannya. Di dalam logika dan matematika, argumen tidak berarti erdebatan. uatu argumen adalah serangkaian ernyataan-ernyataan di mana seluruh ernyataannya, kecuali yang terakhir, disebut remis-remis, sedangkan ernyataan akhirnya itu disebut konklusi (kesimulan). Pada umumnya, kata-kata dengan demikian, atau sinonimnya, atau simbol ringkas (dibaca dengan demikian ), ditulis teat sebelum konklusi. Perhatikan dua argumen berikut ini. (a) Jika Yahya menyelesaikan soal itu dengan benar, maka Yahya mendaatkan jawaban. Yahya menyelesaikan soal itu dengan benar. Yahya mendaatkan jawaban. (b) Untuk semua bilangan real x, jika x 3, maka 2x 2 x Meski okok bahasan dari argumen (a) dan argumen (b) sangat berbeda, namun bentuk-bentuk dari argumen-argumennya sangat miri. Premisremisnya adalah sebuah ernyataan kondisional dan antesedennya. Konklusinya adalah konsekuennya. erikut ini adalah dua versi yang dimaksudkan di atas.

36 .36 fondasi dan bukti matematika Versi (a) entuk sederhana Jika maka q q. q(c). Versi (b) entuk universal x, jika (x), maka q(x) (c), untuk suatu c tertentu entuk sederhana di atas memiliki sebuah sifat yang sangat enting: tidak masalah ernyataan-ernyataan aa saja yang ditematkan untuk menggantikan dan q dalam remis-remis, nilai kebenaran dari bentuk itu adalah benar. entuk universal memiliki sifat serua: tidak masalah kondisi-kondisi aa yang ditematkan untuk menggantikan (x) dan q(x) dalam remisremis, nilai kebenaran dari bentuk itu benar. etia argumen yang memiliki sifat demikian disebut valid. Fakta bahwa versi (a) dan versi (b) tadi adalah valid disebut Hukum Ketidakberihakan, atau Law of Detachment (karena antesedennya terisahkan dari ernyataan kondisionalnya) atau modus onens (yaitu istilah Latin untuk metode engukuhan ). Kita buktikan validitas untuk bentuk sederhana dari Hukum Ketidakberihakan di bawah ini, sedangkan embuktian validitas bentuk universal memerlukan suatu teknik yang berada di luar cakuan bahasan kita saat ini. Teorema.6 (Modus Ponens atau Hukum Ketidakberihakan) erikut ini adalah bentuk-bentuk argumen yang valid: Jika maka q x, jika (x), maka q(x) (c), untuk suatu c tertentu q. q(c). ukti Premis-remisnya adalah ( q) dan. Untuk membuktikan Hukum Ketidakberihakan, kita harus menunjukkan bahwa ernyataan kondisional (( q) dan ) q adalah selalu benar. Oleh karena itu, kita konstruksi sebuah tabel kebenaran yang menunjukkan semua nilai kebenaran yang mungkin untuk dan q. elanjutnya kita berikan nilai-nilai kebenaran untuk remis-remis, konklusi, dan bentuk argumennya. Karena semua baris dalam kolom bentuk itu benar, maka argumen tersebut adalah valid.

37 MPMT53/MODUL.37 remis-remis konklusi bentuk q q ( q) dan q (( q) dan ) q Perhatikan bahwa isian ada kolom bentuk hanya akan salah jika semua remisnya benar dan konklusinya salah. Dengan demikian, Anda daat memandang sebuah argumen yang valid dalam cara berikut: ebuah argumen adalah valid jika dan hanya jika saat semua remisnya benar, maka konklusinya benar. Konklusi dari argumen yang valid disebut konklusi yang valid. Di dalam suatu argumen yang valid, kebenaran remis-remis menjamin kebenaran konklusinya. Namun demikian, jika salah satu dari remis-remis itu salah, maka konklusinya, meski valid, mungkin saja salah. Jadi, sebuah konklusi yang valid tidak niscaya meruakan suatu konklusi yang benar. Perhatikan argumen berikut ini: Jika sebuah negara berenduduk lebih dari 2 juta, maka negara itu mengimor lebih dariada mengeksor. Jeang berenduduk lebih dari 2 juta. Jeang mengimor lebih dariada mengeksor. Argumen di atas valid (oleh Hukum Ketidakberihakan), tetai konklusinya salah. Pada kasus tersebut, tidak ada satu un remisnya yang benar. ecara umum, bahkan cara berikir yang jernih dari remis-remis yang salah memiliki resiko. Jangan ercayai konklusi-konklusi, kecuali Anda yakin tentang remis-remis dari mana kesimulan itu diambil. Hukum Ketidakberihakan memungkinkan Anda untuk membuat deduksi tunggal. entuk yang kedua dari argumen yang valid memungkinkan Anda untuk membangun rantai-rantai deduksi. Dari remis-remis: Jika sebuah bangun adalah ersegi, maka bangun itu adalah jajargenjang. Jika sebuah bangun adalah jajargenjang, maka diagonal-diagonal itu saling membagi-dua sama anjang.

38 .38 fondasi dan bukti matematika Anda daat mendeduksi Jika sebuah bangun adalah ersegi, maka diagonal-diagonalnya saling membagi-dua sama anjang. Fakta ini mencontohkan Hukum Transitifitas. Hukum Transitifitas memungkinkan Anda untuk mendeduksi suatu ernyataan jika-maka. Teorema. 7 (Hukum Transitifitas) erikut ini adalah bentuk-bentuk argumen yang valid: entuk sederhana jika maka q jika q maka r jika maka r. entuk universal x, jika (x), maka q(x) x, jika q(x), maka r(x) x, jika (x), maka r(x). ukti dari teorema ini diberikan berikut ini untuk bentuk sederhana. ukti Terlebih dulu tulislah bentuk argumen tersebut sebagai ernyataan kondisional. (( q) dan (q r)) ( r) elanjutnya, konstruksilah sebuah tabel kebenaran dan tunjukkan bahwa ernyataan kondisional ini selalu benar. Karena terdaat tiga ernyataan, q, dan r, maka tabel ini memiliki 8 baris. Coba lengkai tabel di bawah ini dan selesaikanlah bukti tersebut. q r q q r ( q) dan (q r) r (( q) dan (q r)) ( r) Mengenali bentuk dari suatu argumen adalah langkah enting dalam menentukan valid atau tidak validnya suatu argumen.

39 MPMT53/MODUL.39 Contoh.8 Tulislah bentuk dari argumen berikut ini: segibanyak x, jika x adalah suatu segienam, maka hasiljumlah besarnya sudut-sudut dalam x adalah 72. ebuah segibanyak tertentu c memiliki hasiljumlah besarnya sudut-sudut 54. c bukan sebuah segienam. Jawab Misalkan (x) dan q(x) mewakili ernyataan-ernyataan berikut ini: (x): x adalah sebuah segienam. q(x): hasiljumlah besarnya sudut-sudut dalam dari x adalah 72. Maka argumen di atas memiliki bentuk berikut ini. x, jika (x) maka q(x) tidak q(c) untuk sebuah c tertentu tidak (c). Hukum yang menyatakan bahwa bentuk dari argumen dalam Contoh.8 adalah valid disebut modus tollens (yaitu, istilah Latin untuk metode enyangkalan ) atau Hukum Penalaran Tidak-langsung, seerti dirumuskan berikut ini. Teorema.8 (Modus Tollens atau Hukum Penalaran Tidak-langsung) erikut ini adalah bentuk argumen yang valid: entuk sederhana entuk universal Jika maka q x, jika (x) maka q(x) tidak q tidak. tidak q(c) untuk sebuah c tertentu. tidak (c) untuk c itu. Contoh.9 Misalkan remis () dan remis (2) adalah kedua-duanya benar. () Jika Lisa sakit, maka dia demam. (2) Lisa tidak demam.

40 .4 fondasi dan bukti matematika Konklusi benar aakah yang daat Anda deduksi? Jawab Premis-remis di atas sesuai dengan bentuk remis-remis dari modus tollens. Konklusi benar yang daat Anda deduksi adalah adalah Lisa tidak sakit. Kita sekarang telah sia untuk membahas kembali teka-teki Lewis Carroll. Kita ingin memutuskan aakah konklusi Contoh ini tidak mudah dieroleh dari remis-remisnya. Agar kita daat menerakan teoremateorema yang telah dielajari, kita tuliskan remis-remis dalam teki-teki tersebut menjadi bentuk jika-maka. () Jika saya mengerjakan sebuah contoh logika tana mengeluh, maka Anda boleh yakin bahwa contoh itu daat saya ahami. (3) Jika contohnya mudah, maka contoh itu tidak membuat saya using keala. (4) Jika sebuah contoh tidak tersusun dalam urutan lazim seerti yang biasa saya temukan, maka saya tidak daat memahami contoh itu. (5) Jika saya mengeluh saat saya mengerjakan sebuah contoh, maka contoh itu membuat saya using keala. (Ingat kembali definisi hanya jika dari agian -5.) atu remis lainnya adalah ernyataan sederhana (2) Contoh ini tidak tersusun dalam urutan lazim seerti yang biasa saya temukan. dan konklusinya adalah ernyataan sederhana (6) Contoh ini tidak mudah. Untuk menerakan tiga bentuk argumen yang valid, kita sebaiknya menamilkan ernyataan-ernyataan tersebut secara simbolis seerti berikut: ~k : aya mengerjakan contoh logika ini tana mengeluh. : Contoh logika ini adalah contoh yang daat saya ahami. m : Contoh ini mudah. ~h : Contoh ini tidak membuat saya using keala. ~l : Contoh ini tidak tersusun dalam urutan lazim seerti yang biasa saya temukan.

41 MPMT53/MODUL.4 Dengan simbol-simbol ini, remis-remis yang diberikan memberitahukan keada kita bahwa () Jika ~k maka. (2) ~l (3) Jika m maka ~h. (4) Jika ~l maka ~. (5) Jika k maka h. Kita harus menyimulkan (6) ~m ekarang kita susun kembali remis-remisnya: dimulai dengan (2) (satu-satunya remis yang tidak daat diubah ke dalam bentuk jika-maka), kita membangun suatu rantai ernyataan-ernyataan jika-maka di mana konsekuen dari tia ernyataan jika-maka itu adalah anteseden dari ernyataan selanjutnya; diakhiri dengan (6) (konklusinya). Untuk melakukan hal tersebut, kita menggunakan Teorema Kontraositif dari agian -5 untuk mengubah ernyataan () dan ernyataan (3) ke dalam bentuk-bentuk kontraositif yang ekuivalen, yaitu ( ) dan (3 ). (2) ~l (4) Jika ~l maka ~. ( ) Jika ~ maka k. bentuk kontraositif (5) Jika k maka h. (3 ) Jika h maka ~m. bentuk kontraositif ekarang, dengan diterakannya Hukum Ketidakberihakan sebanyak emat kali kita mendaatkan bahwa konklusinya adalah ~m, atau Contoh ini tidak mudah. Dengan demikian, jawaban untuk ertanyaan di awal bagian ini adalah ya: konklusi Contoh ini tidak mudah dieroleh dari remis-remisnya. LATIHAN Untuk memerdalam emahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!. Gunakan versi jaringan untuk Hukum De Morgan di bawah ini.

42 .42 fondasi dan bukti matematika tidak ( atau q) (tidak ) dan (tidak q) TIDAK q ATAU TIDAK DAN q TIDAK a. Tuliskan tabel inut-outut untuk ruas kiri dari tanda. b. Tuliskan tabel inut-outut untuk ruas kanan dari tanda. c. Mengaa jawaban Anda untuk bagian (a) dan (b) mengukuhkan bahwa dua jaringan itu ekuivalen fungsional. 2. Dua gerbang logika, Gerbang A dan Gerbang, memiliki tabel-tabel inut-outut: Gerbang A inut r inut s outut u Gerbang inut t inut u outut Gerbang-gerbang ini diasangkan ke dalam jaringan berikut ini. r s t Gerbang A u Gerbang Lengkailah tabel inut-outut atas. r s t di sebelah kanan ini untuk jaringan di u outut jaringan

43 MPMT53/MODUL Misalkan x suatu bilangan real. Perhatikan ernyataan: Jika x maka 2x 2 + 3x 3. a. Tentukan anteseden, konklusi, konsekuen, dan hiotesisnya. b. Aakah ernyataan kondisional di atas benar atau salah? 4. Perhatikan tia keterangan berikut ini dan jawablah ertanyaannya. a. Pernyataan hanya jika q adalah ekuivalen logis dengan jika maka q. Tuliskan kembali ernyataan berikut dalam bentuk jikamaka: ebuah satelit adalah dalam orbit hanya jika satelit itu berada ada ketinggian aling tidak 2 mil di atas ermukaan umi. b. adalah syarat cuku untuk q adalah satu cara lain untuk mengatakan bahwa q. Tuliskan ernyataan berikut dalam bentuk jika-maka: Memiliki bentuk 2k untuk suatu bilangan bulat k adalah syarat cuku untuk suatu bilangan bulat disebut gena. c. adalah syarat mesti untuk q adalah satu cara lain untuk mengatakan bahwa q. Tuliskanlah ernyataan berikut dalam bentuk jika-maka: Memiliki IPK 3,5 adalah syarat mesti untuk diilih menjadi anggota civitas kehormatan. 5. Tuliskan kontraositif dari ernyataan berikut ini, kemudian tentukan aakah kontraositif itu benar atau salah. Jika sebuah segiemat memiliki dua sisi yang sama anjang, maka segiemat itu memiliki dua sudut yang sama besar. 6. Perhatikan argumen berikut: Untuk semua bilangan bulat n, jika n habis dibagi 3 maka hasilkuadratnya habis dibagi 9. habis dibagi oleh 3. 2 habis dibagi oleh 9. a. Tentukan remis-remis dari argumen di atas. b. Tentukan konklusi dari argumen tersebut. c. Tuliskan bentuk dari argumen tesebut. d. Aakah konklusinya benar? e. Aakah konklusinya valid?

44 .44 fondasi dan bukti matematika 7. a. Tuliskan Hukum Penalaran Tidak-langsung dengan memakai simbol-simbol dan. b. uktikanlah bentuk sederhana dari Hukum Penalaran Tidaklangsung. 8. Perhatikan ernyataan-ernyataan dalam adatasi teka-teki Lewis Carroll berikut ini. () Jika suatu aksi akrobatik adalah mungkin, maka aksi akrobatik itu tidak melibatkan gerakan jungkir balik emat kali. (2) Jika suatu aksi akrobatik adalah tidak mungkin, maka aksi akrobatik itu tidak dicantumkan dalam jadwal sirkus. (3) Jika suatu aksi akrobatik tidak dicantumkan dalam jadwal sirkus, maka aksi akrobatik itu tidak dilakukan oleh ara akrobat sirkus. Deduksilah sebuah konklusi yang valid. (Petunjuk: Anda barangkali erlu menuliskan kontraositif dari beberaa ernyataan di atas.) Petunjuk Jawab Latihan. a. q ATAU q TIDAK ( ATAU q) b. q TIDAK TIDAK q (TIDAK ) DAN (TIDAK q) c. Asalkan diberikan inut-inut yang sama, kedua jaringan itu menghasilkan outut yang sama 2. r s t u outut jaringan

45 MPMT53/MODUL a. Anteseden, hiotesis: x ; konklusi, konsekuen: 2x 2 + 3x 3. b. enar 4. a. Jika suatu satelit adalah dalam orbit, maka satelit itu berada ada ketinggian aling sedikit 2 mil di atas ermukaan umi. b. Jika suatu bilangan bulat berbentuk 2k untuk suatu bilangan bulat k, maka bilangan bulat itu adalah gena. c. Jika seseorang diilih menjadi anggota civitas kehormatan, maka dia mesti memiliki IPK aling sedikit 3,5. 5. Jika suatu segiemat tidak memiliki dua sudut yang sama besar, maka segiemat itu tidak memiliki dua sisi yang sama anjang. Kontraositif ini salah. 6. a. Untuk semua bilangan bulat n, jika n terbagi habis oleh 3, maka hasilkuadratnya terbagi habis oleh 9. terbagi habis oleh 3. b. 2 terbagi habis oleh 9. c. bilangan bulat n, jika (n), maka q(n); (c), untuk suatu c tertentu; d. Tidak e. Ya 7. a. P q q(c). b. uktikan dengan menggunakan tabel kebenaran. Tunjukkan bahwa (( q) dan q) adalah benar. q r q ~q (( q) dan ~q) ~ (( q) dan ~q) ~ 8. Jika suatu aksi akrobatik melibatkan gerakan jungkir balik emat kali, maka aksi akrobatik itu tidak dilakukan oleh ara akrobat sirkus.

46 .46 fondasi dan bukti matematika RANGKUMAN. Kata-kata dan, atau, dan tidak memiliki alikasi-alikasi bagi bidang desain dan evaluasi jaringan-jaringan logika komuter. 2. Pernyataan-ernyataan kondisional, dilambangkan dengan q, adalah salah hanya ada sehimunan keadaan: bila anteseden benar dan konsekuennya salah. eerti halnya ernyataan eksistensial dan ernyataan universal, ernyataan-ernyataan kondisional daat dituliskan dalam beragam bentuk. uatu ernyataan kondisional dan kontraositifnya adalah ekuivalen logis, artinya, mereka memiliki nilainilai kebenaran yang sama. Namun demikian, ernyataan kondisional dan konversnya mungkin memiliki nilai-nilai kebenaran yang berbeda, seerti juga halnya ernyataan kondisional dan inversnya. 3. uatu argumen terdiri atas remis-remis dan sebuah konklusi. uatu argumen dikatakan valid jika sebarang argumen dengan bentuk seertinya yang memiliki remis-remis benar ternyata memiliki konklusi yang benar. Hukum-hukum Ketidakberihakan (modus onens), Penalaran Tidak-langsung (modus tollens), dan Transitifitas adalah bentuk-bentuk argumen yang valid. TE FORMATIF 2 elesaikan soal-soal tes berikut ini!. Tuliskan suatu eksresi logis untuk mendeskrisikan jaringan berikut ini. q r DAN TIDAK TIDAK ATAU TIDAK 2. Tuliskan invers dan konvers dari Jika hujan turun hari ini, maka hujan akan turun besok. 3. Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa q tidak ekuivalen logis dengan q. 4. Tentukan aakah argumen di bawah ini valid, kemudian sebutkan bentuk argumen validnya.

47 MPMT53/MODUL.47 bilangan real x, jika x 2, maka x 2 4. bilangan real x, jika x 2 4, maka 3x bilangan real x, jika x 2, maka 3x Deduksilah suatu konklusi yang valid dari tiga remis yang benar berikut ini. () Diagonal-diagonal dari suatu jajargenjang saling membagi dua. (2) emua belahketuat adalah jajargenjang. (3) ACD adalah suatu belahketuat. Cocokkanlah hasil jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdaat ada akhir modul ini. Hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. (Tia soal memiliki total bobot nilai. Jika sebuah soal terdiri atas beberaa butir ertanyaan, maka bobot nilai dari satu butir ertanyaan adalah.) Kemudian gunakan rumus di bawah jumlah butir ertanyaan dalam soal ini untuk mengetahui tingkat enguasaan Anda terhada materi Kegiatan elajar 2. Rumus: Jumlah jawaban Anda yang benar Tingkat Penguasaan = % 5 Arti tingkat enguasaan yang Anda caai: 9% - % = aik sekali 8% - 89% = aik 7% - 79% = Cuku - 69% = Kurang Jika Anda mencaai tingkat enguasaan 8% ke atas, maka Anda daat meneruskan dengan Kegiatan elajar 3. agus! Jika tingkat enguasaan Anda masih di bawah 8%, maka Anda harus mengulangi Kegiatan elajar 2, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

48 .48 fondasi dan bukti matematika Kegiatan elajar 3 ukti tentang ilangan ulat, Argumen yang Tidak Valid, dan Ragam Penalaran.7. ukti-bukti tentang ilangan ulat Di bagian ini, rinsi-rinsi logis dari bagian-bagian sebelum-nya diterakan ada bukti-bukti sederhana. Di sini sengaja dikedean-kan muatan yang telah tidak asing lagi bagi Anda, sehingga Anda daat berkonsentrasi ada logikanya. Untuk itu Anda harus mengetahui ostulat-ostulat tentang enjumlahan dan erkalian bilangan-bilangan bulat: ketertutuan, asosiativitas, komutativitas, dan disitributivitas, serta sifat-sifat enjumlahan dan erkalian ersamaan. uatu konjektur (dugaan) adalah ernyataan yang kita yakini benar tetai belum terbuktikan. Perhatikan konjektur berikut ini: Jika m dan n sebarang bilangan gena, maka m + n adalah sebuah bilangan gena. Anda tentu mengetahui bahwa terdaat bilangan-bilangan gena m dan n sedemikian hingga m + n adalah gena. Tetai bagaimana tentang semua hasiljumlah dari bilangan-bilangan gena? Aakah Anda yakin bahwa hasiljumlahnya selalu gena? Untuk membuktikan konjektur itu, sangat entinglah Anda mengetahui makna yang teat untuk semua istilah yang digunakan di dalamnya. Aakah makna dari istilah bilangan bulat gena? Aakah gena? Aakah 554 gena? Aakah 6 8 gena? eberaa orang mungkin berikir bahwa 6, 8, 2, dan adalah bilangan bulat gena sedangkan, 5,, 7 bukan bilangan bulat gena. Ini memang benar, tetai ini bukanlah sebuah definisi bilangan bulat gena karena gagasan tersebut tidak memberikan kriteria asti untuk memutuskan aakah suatu bilangan selain yang dicantumkan di sana adalah gena. Pernyataan di bawah ini adalah sebuah definisi biasa, yang menyebutkan bahwa suatu bilangan gena adalah bilangan yang dua kali dari suatu bilangan bulat lainnya. Definisi. ilangan bulat n adalah gena jika dan hanya jika n = 2k untuk suatu bilangan bulat k.

49 MPMT53/MODUL.49 erua dengan itu, kita daat mendefinisikan konse untuk bilangan bulat ganjil. ebuah bilangan bulat ganjil adalah bilangan yang lebih dari sebuah bilangan bulat gena. Definisi.2 ilangan bulat n adalah ganjil jika dan hanya jika n = 2k + untuk suatu bilangan bulat k. Perhatikan contoh-contoh berikut ini. adalah bilangan bulat gena karena = 2. Di sini n = dan k =. 554 adalah bilangan bulat gena karena 554 = 2 ( 227) dan 277 adalah suatu bilangan bulat. Di sini, n = 554 dan k = adalah bilangan bulat ganjil karena 77 = 2 ( 89) + dan 89 adalah suatu bilangan bulat. Di sini, n = 77 dan k = adalah tidak gena mauun ganjil, karena dan sebagainya bukanlah bilangan bulat. Gagasan serua daat digunakan dengan bentuk-bentuk aljabar. Contoh.2 Misalkan a, b, x, dan y adalah bilangan-bilangan bulat. Tunjukkan bahwa: a. 6x 2 y adalah gena. b. 4a + 4b + 3 adalah ganjil. Jawab a. 6x 2 y = 2 (3x 2 y) dan 3x 2 y adalah bilangan bulat karena himunan bilangan-bilangan bulat itu tertutu dalam erkalian. Jadi, dengan definisi gena, 6x 2 y adalah gena. b. 4a + 4b + 3 = 2(7a + 2b + ) +. ekarang, 7a + 2b + adalah bilangan bulat karena himunan bilangan-bilangan bulat itu tertutu dalam enjumlahan dan erkalian. Jadi, dengan definisi ganjil, 4a + 4b + 3 adalah ganjil. erikut ini sebuah bukti dari konjektur bahwa hasil jumlah dari dua bilangan bulat gena adalah gena. etelah bukti tersebut, erhatikan analisis logisnya.

50 .5 fondasi dan bukti matematika ukti Misalkan bahwa m dan n adalah sebarang bilangan bulat gena. erdasarkan definisi gena, terdaat bilangan-bilangan bulat r dan s sedemikian hingga m = 2r dan n = 2s. Dengan subtitusi, m + n = 2 r + 2 s = 2 (r + s) dengan ifat Distributif. Karena r + s adalah suatu bilangan bulat, maka berdasarkan definisi gena dieroleh bahwa m + n adalah gena. ukti ini mengukuhkan konjektur tersebut sebagai suatu teorema. Teorema.9 (Hasil jumlah Dua ilangan Gena) Jika m dan n adalah bilangan-bilangan bulat gena, maka m + n adalah bilangan bulat gena. etelah memerhatikan sebuah bukti dengan cetak tebal, Anda diharakan mamu menuliskan bukti seerti itu. erikut ini disajikan cara bagaimana Anda daat menelaah sendiri bukti tersebut. Amati bahwa teorema itu daat ditulis dalam bentuk ernyataan kondisional universal: bilangan bulat m dan n, jika m dan n gena, maka m + n juga gena. uktinya dimulai dengan memisalkan m dan n sebagai bilangan-bilangan bulat gena. Kata sebarang (atau, mana saja) digunakan karena teorema itu harus dibuktikan untuk setia asang bilangan bulat gena, bukan untuk beberaa contoh saja. Di dalam bukti itu, kedua arah dari bentuk jika-dan-hanya-jika dari definisi gena digunakan. Di bagian awal, fakta bahwa Jika t gena maka t = 2k untuk suatu bilangan bulat k digunakan untuk mendeduksi bahwa m = 2 r dan n = 2 s untuk bilangan bulat r dan s. Kita menambahkan 2r dan 2s karena konsekuennya berkenaan dengan m + n. Fakta bahwa Jika t = 2k untuk suatu bilangan bulat k, maka t adalah gena digunakan untuk mendeduksi bahwa m + n adalah gena karena bentuknya suatu bilangan bulat gena. Dan bukti tersebut selesai. Perhatikan juga bahwa dua huruf berbeda, yaitu r dan s, digunakan dalam menuliskan m dan n. Alasannya yaitu bahwa m dan n diasumsikan sebagai sebarang bilangan bulat gena. Meski un masuk akal bahwa m dan

51 MPMT53/MODUL.5 n mungkin sama, tetai kemungkinannya yaitu bahwa m dan n tidak sama. Jika huruf yang sama, misalkan r, telah digunakan untuk mewakili m dan n sekaligus, maka kita akan mesti mendaatkan m = 2 r dan n = 2 r dan dengan demikian m = n, yang barangkali tidak demikian kejadiannya. Metode bukti ini dikenal sebagai bukti langsung karena Anda bergerak secara langsung dari hiotesis ke konklusinya. Kebanyakan bukti dalam matematika adalah bukti langsung. Karena nilai entingnya, metode ini dirangkumkan di bawah ini. Metode ukti Langsung untuk Pernyataan Kondisional Universal. Tuliskan ernyataan yang akan dibuktikan dalam bentuk x dalam, jika (x) maka q(x). (Langkah ini seringkali dilakukan secara mental/dalam ikiran.) 2. Mulailah bukti dengan memisalkan bahwa x adalah sebarang anggota dalam untuk mana anteseden (x) adalah benar. 3. Gunakan definisi-definisi dari istilah-istilah yang muncul dalam (x) dan q(x) serta sifat-sifat lain yang diketahui untuk membuat suatu rantai deduksi-deduksi yang berakhir dengan q(x). ekarang kita telaah logika dari bukti tersebut. erikut ini adalah langkah-langkahnya, dituliskan dalam bentuk jika-maka. Konklusi-konklusi. m dan n adalah sebarang bilangan bulat gena m = 2r dan n = 2s di mana r dan s adalah bilangan- bilangan bulat. Definisi gena Justifikasi-justifikasi 2. m = 2r dan n = 2s m + n = 2r + 2s ifat enjumlahan dari ersamaan 3. m + n = 2r + 2s m + n = 2(r + s) dan r + s adalah suatu bilangan bulat 4. m + n = 2(r + s) dan r + s adalah suatu bilangan bulat m + n adalah gena ifat distributif; ketertutuan bilangan-bilangan bulat dalam enjumlahan Definisi gena Masing-masing langkah di atas meruakan contoh dari ernyataan universal yang disebutkan di sebelah kanan. Konklusi m dan n adalah sebarang

52 .52 fondasi dan bukti matematika bilangan bulat gena m + n adalah gena muncul dengan Hukum Transitifitas. Misalkan m = dan n =.778. ekarang Anda mengetahui bahwa adalah gena dan.778 adalah gena, serta Anda mendaatkan teorema m dan n, m dan n adalah gena m + n adalah gena. Jadi, dengan substitusi, Anda mendaatkan dan.778 adalah gena adalah gena. Anda daat menyimulkan adalah gena dengan Hukum Ketidakberihakan. erikut ini satu contoh lain dengan bukti langsung yang sangat serua. Contoh.2 uktikan teorema berikut: Jika m adalah gena dan n ganjil, maka m + n adalah ganjil. Jawab Terlebih dulu tuliskan teorema di atas sebagai bilangan bulat m dan n, jika m gena dan n ganjil, maka m + n adalah ganjil. Mulailah bukti dengan memisalkan bahwa m gena dan n ganjil. Gunakan definisi bilangan bulat gena dan bilangan bulat ganjil dari awal bukti samai ke konklusi bahwa m + n adalah ganjil. Misalkan m adalah sebarang bilangan bulat gena dan n sebarang bilangan bulat ganjil. erdasarkan definisi suatu bilangan bulat gena, m = 2r, untuk suatu bilangan bulat r. Dengan definisi bilangan bulat ganjil, n = 2s + untuk suatu bilangan bulat s. Maka m + n = 2r + (2s + ) = 2r + 2s + = 2(r + s) + Karena r + s adalah bilangan bulat, m + n adalah suatu bilangan bulat ganjil. -8 Argumen-argumen Yang Tidak Valid Pada bagian -6, tiga bentuk argumen yang valid telah dikemukakan. eberaa bentuk argumen lainnya seringkali digunakan oleh orang-orang tetai ternyata tidak valid. uatu bentuk argumen adalah tidak valid jika dan hanya jika terdaat argumen yang remis-remisnya benar dan konklusinya salah.

53 MPMT53/MODUL.53 Perhatikan argumen di bawah ini Jika seseorang adalah anggota orkestra, maka orang itu memainkan sebuah alat musik. Risma memainkan sebuah alat musik. Risma adalah seorang anggota orkestra. Argumen ini berbentuk x, jika (x) maka q(x). q(c), untuk suatu c tertentu. (c). Pemain-emain alat musik di mana (x): x adalah seorang anggota orkestra; q(x): x memainkan sebuah alat musik; dan c = Risma. Risma Anggota-anggota orkestra Meski Anda mungkin menerima argumen ini dan menyangkanya valid, tetai ini sebenarnya tidak valid. Diagram di kanan-atas ini mengilustrasikan situasi di mana semua anggota orkestra memainkan alat-alat musik dan Risma memainkan alat musik, tetai Risma bukan anggota dari orkestra tersebut. Jadi mungkin saja kedua remisnya benar sedangkan konklusinya salah. Contoh.22 menunjukkan bagaimana membuktikan ketidakvalidan dari bentuk sederhana ada argumen ini dengan menggunakan tabel kebenaran. Contoh.22 Tunjukkan bahwa bentuk jika, maka q q adalah tidak valid. Jawab uatlah sebuah tabel kebenaran. Tabel ini harus selesai dengan bentuk (( q dan q).

54 .54 fondasi dan bukti matematika remis-remis remis-remis bentuk q q ( q) dan q (( q) dan q) Amatilah tabel di atas dengan seksama. Perhatikan bahwa bentuk (di kolom kanan) tidak selalu benar. Pada khususnya, baris ketiga mewakili suatu situasi di mana kedua remis benar, tetai konklusinya salah. Ini berarti bahwa argumennya tidak valid. Jenis argumen yang tidak valid ini disebut Kekeliruan Konvers karena ia dihasilkan dari salah-guna remis q dengan konversnya. eerti Anda ketahui, ernyataan kondisional yang benar daat memiliki sebuah konvers yang salah. Contoh.23 eseorang yang dibebaskan dari dakwaan menyebutkan argumen sebagai berikut: Jika seseorang telah tidak berbuat kejahatan, maka dia dibebaskan dari dakwaan ada akhir ersidangan. aya dibebaskan ada akhir ersidangan. Dengan demikian, saya telah tidak berbuat kejahatan. a. Tuliskanlah bentuk dari argumen ini. b. Aakah argumen dari orang itu valid atau tidak valid? erikan justifikasi jawaban Anda. Jawab a. Misalkan (x): x telah tidak berbuat kejahatan. q(x): x dibebaskan dari dakwaan ada akhir ersidangan. Misalkan I sebagai seseorang tertentu yang menyebutkan argumen tersebut. Maka (I): aya telah tidak berbuat kejahatan. q(i): aya dibebaskan dari dakwaan ada akhir ersidangan.

55 MPMT53/MODUL.55 Dengan demikian, argumen itu memiliki bentuk: Untuk semua orang x, jika (x) maka q(x). q(i) (I). b. Ini adalah bentuk argumen yang tidak valid, suatu contoh dari Kekeliruan Konvers. Ingat kembali bahwa invers dari suatu ernyataan kondisional jika maka q adalah jika tidak maka tidak q. Argumen berikut ini mengilustrasikan argumen tidak valid jenis kedua, yaitu Kekeliruan Invers: Jika seseorang adalah anggota klub bahasa Inggris, maka orang itu daat berbicara bahasa Inggris. Gina bukan anggota klub bahasa Inggris. Gina tidak daat berbicara bahasa Inggris. Argumen di atas berbentuk: Untuk semua x, jika (x) maka q(x). tidak (c), untuk suatu c tertentu. q(c). Untuk melihat mengaa argumen ini tidak valid, erhatikan bahwa mungkin kedua remisnya benar sedangkan konklusinya salah. Diagram di saming ini menunjukkan situasi di mana semua anggota klub bahasa Inggris daat berbicara bahasa Inggris, dan Gina bukan anggota dari klub bahasa Inggris, tetai dia daat berbicara bahasa Inggris. Argumen tidak valid jenis ketiga terjadi bila suatu generalisasi dilakukan terlalu dini. Misalnya, ikirkan argumen berikut ini Untuk f(x) = x 3 6x x 6, f() = f(2) = 2 f(3) = 3 f(n) = n untuk semua bilangan bulat ositif n. Pertama, hitunglah f(4) dan erhatikan bahwa f(4) 4. Oleh karena itu, konklusinya adalah salah. Karena remis-remisnya benar sedangkan konklusinya salah, argumen ini tidak valid. Kekeliruan semacam ini disebut

56 .56 fondasi dan bukti matematika induksi tidak berterima. Pada argumen tidak valid seerti ini, remisremis menunjukkan bahwa suatu sifat adalah benar untuk beberaa, tetai tidak semua, anggota dalam suatu himunan, dan konklusinya menyatakan bahwa sifat itu benar untuk semua anggota dalam himunan itu. Meski induksi tidak berterima bukan meruakan metode bukti yang valid, namun metode ini sering digunakan oleh ara matematikawan untuk membuat konjektur-konjektur yang kemudian mereka coba buktikan dengan cara-cara lain. Misalnya, berikut ini remis-remis dan konjektur yang mungkin Anda buat dari remis-remis tersebut. Premis-remis: 2 3 = 8 Konjektur: 8 7 = ( 4) 5 = 24 uatu hasilangkat ganjil ositif dari sebarang bilangan gena adalah gena. Pentinglah kita erhatikan bahwa suatu argumen yang tidak valid mungkin memiliki konklusi yang benar. (Konjektur di atas adalah benar.) Tetai argumen-argumen yang tidak valid akan mengarah keada konklusikonklusi yang salah, bahkan saat remis-remisnya benar. Hanya dalam argumen valid dengan remis-remis yang benarlah konklusi dijamin benar.. 9 Ragam Penalaran agian-bagian sebelumnya telah membahas bagaimana enalaran digunakan dalam matematika, dan banyak contoh telah menunjukkan bagaimana enalaran matematis dan logika daat juga dimanfaatkan di luar matematika. Penalaran yang digunakan dalam bukti matematis disebut enalaran deduktif. Penalaran ini mengikuti standar-standar validitas yang lebih ketat dariada standar-standar yang diterakan dalam kehiduan sehari-hari atau dalam sains atau dunia kedokteran atau bidang-bidang lainnya seerti sikologi. ifat yang valid secara logika dari enalaran deduktif menjadi alasan utama mengaa orang-orang beruaya menggunakan matematika dalam bidang-bidang lain. Namun demikian, jenis-jenis enalaran lainnya digunakan secara informal dalam matematika. Misalnya, enalaran induktif sering digunakan untuk menangani konjektur-konjektur. Meski demikian, agar suatu konjektur menjadi teorema, konjektur itu harus dibuktikan menggunakan bentuk-bentuk argumen yang valid.

57 MPMT53/MODUL.57 Penalaran yang akan menjadi tidak valid jika digunakan dalam bukti matematis mungkin saja daat berhasil digunakan di luar matematika. Anda menggunakan enalaran induktif bilamana Anda membuat generalisasi berdasarkan evidensi banyak contoh. Misalnya, ada bulan ketiga dalam suatu tahun ajaran yang telah Anda ikuti, Anda barangkali telah berkesimulan bahwa setia kali Pak Firman mengatakan iman semua buku dan kertas Anda, dia memberikan sebuah kuis. Penalaran ini tidak valid secara matematis (ini adalah contoh induksi tidak berterima, karena Pak Firman daat saja mengubah ikirannya), tetai ini sangat wajar dan seringkali daat diandalkan. Para ilmuwan sains menggunakan enalaran induktif saat mereka membuat hiotesis-hiotesis berdasarkan data yang didaatkan dari engamatan dalam ekserimen. Ilmuwan Italia Galileo Galilei ( ) adalah salah seorang yang ertama kali menerakan metode ini secara sistematis, dalam kajiannya tentang gerakan benda jatuh. Dia menjatuhkan benda-benda dari sejumlah temat, termasuk Menara Miring Pisa, dan mengukur waktu yang dierlukan benda-benda itu untuk jatuh dari ketinggian (jarak) tertentu. Dengan mengamati ola bilangan-bilangan yang dierolehnya, Galileo memformulasikan suatu hukum benda-benda jatuh yang sekarang kita tuliskan sebagai d gt 2 2 di mana d adalah jarak jatuhnya suatu benda dalam t detik dalam engaruh erceatan karena kerja gravitasi g. Para ilmuwan sains biasanya tidak lua mengatakan bahwa tidak satu un ekerimen atau serangkaian ekserimen daat membuktikan secara asti bahwa suatu hukum atau teori sains tertentu berlaku secara umum. Albert Einstein ernah menuturkan: ebanyak-banyaknya ekserimentasi un tidak akan ernah daat membuktikan bahwa saya benar; sebuah ekserimen saja daat membuktikan saya salah. Namun demikian, sedemikian banyak ekserimen yang menguji banyak konsekuensi berbeda dari hukum atau teori itu menjadikan lebih mungkin bahwa hukum atau teori itu benar. ebuah teori seerti hukum benda-benda jatuh dari Galileo sekarang telah diuji dalam ribuan kejadian tersendiri. Meski kita tidak daat % yakin bahwa teori itu benar, kita mengangganya sangat mungkin benar sehingga sistem-sistem canggih seerti meriam kaal erang, mekanisme ertahanan eluru kendali, dan satelit buatan dibangun dengan menggunakan teori tersebut. Orang-orang memercayakan kehiduan mereka keada teknologi yang berdasarkan teori ini saat mereka terbang dengan esawat terbang.

58 .58 fondasi dan bukti matematika uatu jenis enalaran lain, disebut enalaran diagnostik, digunakan dalam diagnosis medis, erbaikan kendaraan, dan dalam berbagai jenis trouble shooting. Dalam elatihan ara dokter memelajari enyakit dan gejala-gejalanya dalam ernyataan jika-maka yang berbentuk Jika asien menderita enyakit i, maka dia memerlihatkan gejalagejala s, s 2,... Namun demikian, ara dokter biasanya tidak mengetahui enyakit asien dan kemudian dia menentukan gejala-gejalanya. ebagai gantinya, mereka mulai dengan gejala-gejala yang tamak atau dilaorkan oleh asien dan mencoba untuk mendiagnosis enyakitnya. Misalnya, jika Pak Arman ergi ke seorang dokter dan menyamaikan keluhannya yaitu hidung mamet, rasa sakit di dada, dan lesu yang menyeluruh, serta jika erawat atau dokter menemukan gejala mata merah dan demam, maka diagnosis yang aling masuk akal yaitu Pak Arman terkena flu. Penalarannya adalah: Jika Pak Arman memerlihatkan gejala-gejala s, s 2,..., maka dia menderita enyakit i. Diagnosis ini berdasarkan engetahuan bahwa jika seseorang terkena flu, maka dia memerlihatkan gejala-gejala seerti yang dialami Pak Arman dan barangkali beberaa gejala lainnya seerti erut tidak enak dan batuk. Oleh karena itu, ersonel medis biasanya menerakan konvers dari ernyataan jika-maka yang nilai kebenarannya tidak diketahui di seberang suatu tingkat keyakinan tertentu. ecara matematis, enalaran tersebut tidak reliabel; konvers-konvers itu mungkin benar atau tidak benar. Aa-aa yang dikeluhkan oleh Pak Arman bisa saja meruakan gejala-gejala dari bronkhitis atau alergi. Tetai seringkali itulah hal terbaik yang daat dilakukan oleh ara ersonel medis; dan keyakinan kita terhada ara ersonel medis melalui roses ini didasarkan ada elatihan dan engalaman sebelumnya yang telah mereka daatkan. Penalaran diagnostik melibatkan enggunaan konvers dari suatu ernyataan yang benar untuk membuat konjektur tentang suatu enyakit, erbaikan yang dierlukan, atau koreksi. Jika digunakan dalam sebuah bukti, ini akan disebut kekeliruan konvers. Namun demikian, ara dokter, montir kendaraan bermotor, dan lain-lain yang menggunakannya jarang mengklaim bahwa diagnosis-diagnosis mereka selalu benar. Mereka tahu bahwa mereka hanya sedang mengajukan dugaan, dan selalu terdaat kemungkinan bahwa diagnosis yang mereka buat itu ternyata tidak teat. Misalnya, cobalah tentukan sebab dari masalah yang terjadi ada oerasi suatu erekam kaset video. erikut ini salah satu bagian dari buku etunjuk untuk salah satu versi erangkat VCR.

59 MPMT53/MODUL.59 TROULE HOOTING DAN OLUINYA EANDAINYA PERANGKAT INI MENUNJUKKAN GEJALA MAALAH PERIKALAH YANG ERIKUT INI EELUM MELAKUKAN UPAYA PERAIKAN Masalah Tidak ada arus (erangkat tidak menyala) Koreksi Periksa aakah erangkat sudah tersambung dengan sumber arus listrik AC Pastikan bahwa tombol POWER ada osisi ON dan tombol TIMER ada osisi OFF Kaset video tidak daat dimasukkan Tidak ada oerasi saat tombol-tombol oerasi ditekan Program-rogram TV tidak daat direkam Timer Recording tidak daat dilakukan Periksalah bahwa tombol POWER ada ON dan tombol TIMER ada OFF Masukkan kaset dengan jendela menghada ke atas dan tab encegah-hausan menghada ke arah Anda Jika indikator CAETTE-IN menyala, terdaat kaset di dalam erangkat. Periksa bahwa tombol POWER ada osisi ON Periksa aakah tamil indikator DEW, lihat hlm. 9 Periksa bahwa tombol TIMER ada osisi OFF Periksalah koneksi-koneksi antena eksternal VCR dan TV Anda Pastikan bahwa saluran enerima dari VCR tersetel dengan benar Pastikan bahwa tab encegah-hausan ada kaset masih utuh Periksalah setting timer untuk Timer Recording Pastikan bahwa tombol TIMER ada osisi ON Anda mengetahui bahwa jika tombol POWER ada osisi OFF, maka tidak ada arus listrik. aris ertama bagian trouble-shooting dari buku etunjuk ini menggunakan enalaran dari konvers: Jika tidak ada arus listrik, maka mungkin bahwa tombol POWER ada osisi OFF.

60 .6 fondasi dan bukti matematika erua demikian, instruksi-instruksi engoerasian untuk VCR ini (ada halaman lain dalam buku etunjuk tersebut) mengindikasikan bahwa jika (a) tombol POWER ada osisi OFF atau (b) tombol TIMER ada osisi ON atau (c) kaset ditematkan dengan osisi jendela menghada ke bawah atau (d) telah terdaat kaset di dalam erangkat VCR, maka sebuah kaset video tidak daat dimasukkan. Jadi bagian trouble-shooting dari buku etunjuk ini menyebutkan konvers: Jika sebuah kaset video tidak daat dimasukkan, maka barangkali tombol POWER ada osisi OFF atau tombol TIMER ada osisi ON atau kaset telah ditematkan dengan jendela menghada ke bawah atau telah terdaat kaset di dalam erangkat VCR. Menyimulkan invers dari suatu ernyataan jika-maka adalah suatu kekeliruan invers bila digunakan dalam matematika, tetai terdaat kesematan-kesematan dalam kehiduan sehari-hari di mana Anda diharakan untuk bernalar seerti demikian. aat seorang teman berkata, Jika kamu ingin ergi bersama kami, kamu sudah ada di rumahku ada jam 6 sore. ila seseorang berkata, Jika hari hujan, kita tidak akan ergi berwisata, inferensinya adalah jika hari tidak hujan, maka acara berwisata akan dilakukan. emua ini barangkali membingungkan Anda. Mengaa enalaran yang sama yang tidak valid di dalam matematika mungkin saja valid di luar matematika? Jawabannya adalah bahwa dalam ercakaan keseharian, jika kadang-kadang memiliki arti jika dan hanya jika. Jadi ucaan teman Anda tadi bermakna Jika (dan hanya jika) kamu ingin ergi bersama kami, kamu sudah ada di rumahku ada jam 6 sore. ama halnya, tuturan seseorang tadi bermakna Jika (dan hanya jika) hari hujan, maka acara berwisata tidak akan dilakukan. Penalaran yang digunakan dalam statistika bersifat asti dalam cara yang sedikit berbeda dari enalaran dalam lahan-lahan matematika lainnya. tatistika menggunakan enalaran robabilistik. Jika seorang statistikawan mentos sekeing koin sebanyak kali dan memeroleh muka-atas, maka statistikawan ini cenderung berkesimulan bahwa koin itu tidak-adil: koin itu tidak memiliki eluang sama untuk menghasilkan kejadian mukaatas atau muka-bawahnya. Tentu saja, statistikawan ini mengetahui bahwa mungkin saja sebuah koin yang adil ditos kali dan menghasilkan mukaatas tia kali tos. Tetai, statistikawan ini un tahu, dengan menerakan hukum-hukum robabilitas, bahwa eluang kejadian seerti itu hanyalah, atau sekitar Perhitungan ini mengarahkan statistikawan tersebut untuk bernalar sebagai berikut.

61 MPMT53/MODUL.6 Misalkan : koin itu adil, dan misalkan q: tos berturut-turut menghasilkan muka-atas. dan q memiliki eluang sangat kecil untuk terjadi (dengan menerakan hukum-hukum robabilitas seerti dijelaskan di atas). Ini berarti bahwa tidak( dan q) memiliki eluang besar untuk terjadi. Dengan hukum-hukum De Morgan, tidak ( dan q) ekuivalen dengan (tidak ) atau (tidak q). Jadi, dengan eluang yang besar, koin itu tidak adil atau kejadian mukaatas berturut-turut itu bukanlah kejadian muka-atas. Tetai kejadian muka-atas koin itu secara berturut-turut memang terjadi. Oleh karena itu, (dengan sedikit sekali keraguan) koin itu tidak adil. tatistikawan ini tidak daat berkesimulan bahwa koin itu tidak adil dengan seyakin tadi seandainya dia baru mentos koin itu sebanyak 5 kali dan memeroleh muka-atas ada tia tos. Ini karena bila q adalah 5 tos berturutturut menghasilkan muka-atas, eluang dan q adalah 5 =, suatu 2 32 eluang yang jauh lebih besar dariada kejadian muka-atas berturutturut. Oleh karena itu, statistikawan ini akan mencari evidensi yang lebih kuat dan menggunakan jumlah ercobaan yang lebih besar. Dalam kata-kata lain, dengan mentos koin itu semakin banyak, statistikawan ini mengurangi eluang terjadinya kekeliruan, atau konklusi yang salah. Meski hanya sedikit orang yang menuntut tingkat eluang kekeliruan sekecil itu saat memutuskan keadilan suatu koin, tetai saat kehiduan orangoranglah yang diertaruhkan, maka menghindari suatu konklusi yang salah menjadi sangat enting. Tingkat keyakinan (level of confidence) yang dituntutkan ada umumnya ditentukan oleh bagaimana konklusi statistik akan digunakan. Keteatan dieroleh dengan mengulangi ekserimen berkali-kali (dalam jumlah sangat besar) atau dengan menguji sedemikian banyak samel. Inilah mengaa model-model esawat terbang baru dierkenalkan hanya setelah ribuan jam uji-terbang; obat-obatan baru atau bahkan roduk-roduk kosmetik biasanya diuji secara seksama dalam waktu yang lama sebelum diroduksi secara besar-besaran dan dierdagangkan.

62 .62 fondasi dan bukti matematika LATIHAN Untuk memerdalam emahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!. Perhatikan konjektur berikut ini: Jika c dan d adalah sebarang bilangan bulat gena, maka c d adalah bilangan bulat gena. a. eandainya Anda akan membuktikan konjektur ini dengan bukti langsung, kalimat aakah yang kiranya teat untuk memulai bukti Anda? b. Pernyataan aakah yang kemudian harus Anda buktikan sebagai benar? 2. Temukan sebuah kontracontoh untuk menyangkal konjektur berikut ini: Jika r s adalah bilangan bulat gena, maka r dan s kedua-duanya adalah bilangan bulat gena. 3. a. Temukan kekeliruan dalam bukti untuk konjektur berikut ini. Jika m dan n adalah sebarang bilangan-bilangan bulat gena, maka m + n = 4k untuk suatu bilangan bulat k. ukti Misalkan m dan n adalah sebarang bilangan bulat gena. Karena m gena maka terdaat suatu bilangan bulat k sedemikian hingga m = 2k. Juga, karena n gena, n = 2k. Oleh karena itu dieroleh bahwa m + n = 2k + 2k = 4k, seerti yang akan ditunjukkan. b. Temukan sebuah kontracontoh untuk menunjukkan bahwa konjektur dalam oal 3(a) adalah salah. 4. Perhatikan konjektur berikut ini: x, x = 3 x 2 = 9 x 3 x 2 9. a. Tuliskan bentuk dari argumen di atas. b. Aakah argumen itu valid atau tidak valid? Jelaskan.

63 MPMT53/MODUL Perhatikan argumen berikut ini. Tuliskan bentuk argumennya, dan tentukan aakah argumen ini valid atau tidak valid, dan jika argumen ini tidak valid, tentukan jenis kekeliruan yang dibuat di dalamnya. Jika x adalah bilangan real, maka x 2. Jika x adalah bilangan imajiner, maka x 2. 2i adalah suatu bilangan imajiner. Dengan demikian 2i bukan bilangan real. 6. Dengan memerhatikan semua nilai kebenaran yang mungkin dimiliki dan q: a. Tunjukkan bahwa (( q) dan ~) ~q tidak selalu benar. b. Jenis kekeliruan aakah yang terjadi dalam bentuk tersebut? Petunjuk Jawaban Latihan. a. amel: Misalkan c dan d adalah sebarang bilangan-bilangan bulat gena. b. c d adalah bilangan bulat gena. 2. Kontracontoh: Misalkan r = 4 dan s = 5. Maka r s = 4 5 = 2 adalah bilangan bulat gena. Tetai s bukan bilangan bulat gena. 3. a. m dan n harus sebarang bilangan-bilangan bulat gena dan tidak mesti sama. Dengan menentukan m = 2k dan n = 2k, maka m dan n diberikan nilai yang sama. b. Kontracontoh: Misalkan m = 2 dan n = 4. m + n = = 6 = Tetai 2 3 bukan bilangan bulat. 4. a. Misalkan : x = 3, dan q: x 2 = 9. P q q b. Tidak valid; kekeliruan invers 5. Misalkan (x): x suatu bilangan real. Misalkan q(x): x 2. Misalkan r(x): x adalah suatu bilangan imajiner. Misalkan c: x = 2i. x, (x) q(x) x, r(x) ~q(x) r(c) ~(c) valid; (r(c) ~q(c) menurut Hukum Ketidakberihakan,

64 .64 fondasi dan bukti matematika 6. a. dan ~q(c) q b. kekeliruan invers ~(c) menurut Hukum Penalaran Tidak-Langsung. q ~ ( q) dan ~ ~q (( q) dan ~) ~q RANGKUMAN. Metode ukti Langsung untuk Pernyataan Universal melibatkan enggunaan bentuk-bentuk argumen yang valid untuk membuat rantai deduksi-deduksi yang bekerja dari hiotesis ke konklusi ernyataan kondisional yang hendak dibuktikan. 2. uatu bentuk argumen adalah tidak valid jika dan hanya jika terdaat argumen-argumen di mana remis-remisnya benar dan konklusinya salah. Kekeliruan Konvers, Kekeliruan Invers, dan Induksi Tidak erterima adalah bentuk-bentuk argumen yang tidak valid. 3. Terdaat beragam enalaran. Penalaran yang digunakan dalam bukti matematis disebut enalaran deduktif. Penalaran induktif melibatkan enarikan generalisasi berdasarkan evidensi dari banyak contoh. uatu jenis enalaran lain, disebut enalaran diagnostik, digunakan dalam diagnosis medis, erbaikan kendaraan, dan dalam berbagai jenis trouble shooting. Penalaran yang digunakan dalam statistika bersifat asti dalam cara yang sedikit berbeda dari enalaran dalam lahan-lahan matematika lainnya, enalaran dalam statistika ini disebut enalaran robabilistik. TE FORMATIF 3 elesaikan soal-soal tes berikut ini!. Tuliskan definisi bilangan bulat ganjil dengan menggunakan dua ernyataan jika-maka. 2. uktikan ernyataan berikut ini dengan menggunakan sebuah bukti langsung:

65 MPMT53/MODUL.65 Jika m dan n adalah sebarang bilangan bulat ganjil, maka m adalah suatu bilangan bulat ganjil. 3. Asumsikan bahwa Rudi memiliki mesin enjawab yang diasangkan ada teleonnya. Dia menyalakan mesin itu bilamana dia ergi ke luar rumah. aat arah meneleon, dia mendaatkan jawaban dari mesin enjawab tersebut. arah menyimulkan bahwa Rudi tidak sedang ada di rumah. Tuliskan bentuk argumen yang digunakan arah untuk menarik kesimulannya. Aakah argumen itu valid atau tidak valid? Jelaskan. 4. Perhatikan argumen berikut ini. Tuliskan bentuk argumennya, dan tentukan aakah argumen ini valid atau tidak valid, dan jika argumen ini tidak valid, tentukan jenis kekeliruan yang terdaat di dalamnya: Jika daratan itu tertutui es, maka daratan itu adalah Antartika. Jika daratan itu Antartika, maka terdaat stasiun-stasiun enelitian di sana. Jika daratan itu memiliki stasiun-stasiun enelitian, maka studi ilmiah sedang diselenggarakan. tudi ilmiah sedang diselenggarakan di daratan itu. Dengan demikian, daratan itu tertutui es. 5. Misalkan erahu bermuatan isang dari sebuah negara di Amerika elatan tiba di sebuah elabuhan di Amerika erikat. Para etugas kesehatan masyarakat di elabuhan itu memiliki kewenangan berkenaan dengan masuknya hasil ertanian ke negara Amerika erikat. Mereka melakukan kontrol kualitas dengan mengambil samel acak dari muatan erahu tadi (barangkali buah isang) dan memeriksa kematangan serta enyakit dari samel isang tersebut. Kriteria mereka yaitu jika lebih dari lima isang dalam samel sebesar ternyata memiliki kualitas di bawah standar, maka engiriman isang itu ditolak. Penalaran jenis aakah yang digunakan oleh ara etugas tersebut? Aakah mereka daat seenuhnya yakin dengan keteatan dari keutusan mereka? Jika ya, mengaa? Jika tidak, bagaimana mereka daat menurunkan eluang kekeliruan? n Cocokkanlah hasil jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdaat ada akhir modul ini. Hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. (Tia soal memiliki total bobot nilai. Jika sebuah soal terdiri atas beberaa butir ertanyaan, maka bobot nilai dari satu butir ertanyaan adalah

66 .66 fondasi dan bukti matematika.) Kemudian gunakan rumus di bawah jumlah butir ertanyaan dalam soal ini untuk mengetahui tingkat enguasaan Anda terhada materi Kegiatan elajar 3. Rumus: Jumlah jawaban Anda yang benar Tingkat Penguasaan = % 5 Arti tingkat enguasaan yang Anda caai: 9% - % = aik sekali 8% - 89% = aik 7% - 79% = Cuku - 69% = Kurang Jika Anda mencaai tingkat enguasaan 8% ke atas, maka Anda daat meneruskan dengan Modul 2. agus! Jika tingkat enguasaan Anda masih di bawah 8%, maka Anda harus mengulangi Kegiatan elajar 3, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

67 MPMT53/MODUL.67 Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif. Misalkan x = ; y, y =. 2. fungsi f, bilangan-bilangan real a dan b sedemikian hingga f(a + b) f(a) + f(b). 3. bilangan real ositif x, log x ; ernyataan yang diberikan. 4. q ~q ( dan ~q) 5. atau inklusif Tes Formatif 2. tidak ((tidak ( dan q)) atau (tidak r)) 2. Konvers: Jika hujan akan turun besok, maka hujan akan turun hari ini. Invers: Jika hujan tidak turun hari ini, maka hujan tidak akan turun besok. 3. q q q 4. valid; Hukum Transitifitas 5. Diagonal-diagonal dari ACD saling membagi dua. tidak ekuivalen

68 .68 fondasi dan bukti matematika Tes Formatif 3. Jika suatu bilangan bulat n adalah ganjil, maka n = 2k + untuk suatu bilangan bulat k. Jika untuk suatu bilangan bulat k, n = 2k +, maka n adalah suatu bilangan bulat ganjil. 2. Misalkan m dan n adalah sebarang bilangan-bilangan bulat ganjil. Terdaat bilangan-bilangan bulat r dan s sedemikian hingga m = 2r + dan n = 2s + menurut definisi bilangan bulat ganjil. Maka m n = (2r + )(2s + ) = 4rs + 2r + 2s + = 2(2rs + r + s) +. Karena (2rs + r + s) adalah suatu bilangan bulat menurut sifat-sifat ketertutuan, maka m n adalah suatu bilangan bulat ganjil menurut definisi. 3. Misalkan : tidak di rumah, dan q: mesin enjawab teleon menyala. q q entuk argumen ini tidak valid; kekeliruan konvers. 4. Misalkan : daratan itu tertutui es. Misalkan q: daratan itu adalah Antartika. Misalkan r: terdaat stasiun-stasiun enelitian di sana. Misalkan s: studi ilmiah sedang diselenggarakan. q q r r s s 5. Penalaran robabilistik; Tidak, mereka daat menguji isang-isang dalam samel yang lebih besar lagi.

69 MPMT53/MODUL.69 Daftar Pustaka Kurtz, David C Foundations of Abstract Mathematics. New York: McGraw-Hill, Inc. Peressini, Anthony L. et al Precalculus and Discrete Mathematics. Chicago: cott, Foresman The University of Chicago chool Mathematics Project. ollow, Daniel How to Read and Do Proofs. New York: John Wiley & ons, Inc.