LOGIKA SIMBOLIK. Bagian II. September 2005 Pengantar Dasar Matematika 1

Transkripsi

1 LOGIKA IMOLIK agian II eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 1

2 LOGIKA Realitas Kalimat/ Pernyataan Logis LOGIKA eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 2

3 Apakah logika itu? Logika: Ilmu untuk berpikir dan bernalar dengan benar Penalaran: Kemampuan untuk berpikir menurut suatu alur kerangka tertentu Kemampuan Menalar: Kemampuan untuk menarik konklusi yang tepat dari buktibukti yang ada dan menurut aturan tertentu eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 3

4 Aliran-aliran dalam Logika Logika Tradisional Tokoh: Aristoteles Logika merupakan kumpulan aturan praktis yang menjadi petunjuk pemikiran. Logika saat itu disebut dengan istilah ANALITIKA dan DIALEKTIKA. ANALITIKA: untuk menyebutkan cara penalaran yang didasarkan pada pernyataan-pernyataan yang benar. DIALEKTIKA: untuk cara penalaran yang didasarkan pada dugaan. Logika Metafisis Tokoh: Friderich Hegel ( ) METAFIIKA: sebagai upaya untuk menyajikan kenyataan (realitas), yaitu alam semesta dan isinya sebagai suatu keseluruhan yang komprehensif, koheren dan konsisten. usunan pikiran dianggap suatu kenyataan, sehigga logika disebut metafisika. eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 4

5 Logika Epistemologis Tokoh: Francis Herbert radley ( ) dan ernard osanquet ( ). Logika ini dihubungkan dengan pengetahuan lainnya. Untuk dapat mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran logis dan perasaan harus digabungkan. Logika Instrumentalis (Pragmatis) Tokoh: John Dewey ( ) Logika dianggap sebagai alat untuk memecahkan masalah. Logika imbolis (Logika Matematis) Tokoh: G.W. Leibniz ( ), George oole ( ), De Morgan, Leonhard Euler ( ), Alfred North Whitehead dan ertrand Russell ( ) Menekankan penggunaan bahasa simbol untuk mempelajari secara rinci, bagaimana akal harus berkerja. Logika ini merupakan logika formal yang hanya menelaah bentuk dan bukan isi apa yang dibicarakan. eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 5

6 Pernyataan K. Deklaratif (Pernyataan) enar alah Kalimat K. erarti K. Tak erarti ukan Kal. Deklaratif eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 6

7 Kalimat deklaratif = Indicative entence Pernyataan = tatement ila proposisi pernyataan, maka pernyataan lebih umum daripada proposisi Proposisi merupakan kalimat deklaratif Paradoks: Kalimat yang menegasikan dirinya sendiri. Misal: emua peraturan mempunyai perkecualian. eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 7

8 Pernyataan Perny. ederhana (Primer/Atom): Tunggal tidak terdapat kata hubung. Perny. Majemuk (Composite/Compound tatement): atu atau lebih pernyataan sederhana imbol pernyataan dengan huruf kecil: p, q, r, dsb eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 8

9 Kalimat Matematika Persamaan Kalimat Matematika K. Terbuka K. Tertutup Pertidaksamaan Kesamaan Ketidaksamaan eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 9

10 Variabel, Konstanta, parameter Variabel: imbol untuk menunjukkan suatu anggota Persamaan yang belum : x 2 + spesifik x 6 = 0 dalam semesta pembicaraan. y = mx + c Konstanta: imbol y = r untuk sin t, x menunjukkan = r cos t suatu anggota tertentu (sudah spesifik) dalam semesta pembicaraan. Parameter: Variabel penghubung eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 10

11 Kata Hubung Kalimat Negasi (Ingkaran) Konjungsi Disjungsi Implikasi iimplikasi eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 11

12 Negasi (Ingkaran) Kata sehari-hari: bukan, tidak benar Definisi: Ingkaran suatu pernyataan (misalkan p) adalah pernyataan lain yang bernilai benar, jika pernyataan semula salah, dan sebaliknya. Notasi: ~p, p eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 12

13 Tabel Kebenaran p ~p eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 13

14 Konjungsi Kata sehari-hari: dan, juga, padahal, tetapi, walaupun, sedangkan, dsb Definisi: Konjungsi dari dua pernyataan (misalkan p dan q) bernilai benar, jika dua pernyataan bernilai benar. Notasi: p q eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 14

15 Tabel Kebenaran p q p q eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 15

16 Disjungsi Kata sehari-hari: atau Disjungsi dibagi dua: 1. Disjungsi Inklusif ( ) 2. Disjungsi Eksklusif ( ) eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 16

17 Disjungsi Inklusif Definisi: Disjungsi Inklusif dari dua pernyataan (p dan q) bernilai benar, jika salah satu dari dua pernyataan itu bernilai benar p q p q eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 17

18 Disjungsi Eksklusif Definisi: Disjungsi Eksklusif dari dua pernyataan (p dan q) bernilai benar, jika hanya salah satu dari dua pernyataan itu bernilai benar p q p q eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 18

19 Implikasi Notasi: p q dibaca jika p, maka q p berimplikasi q p hanya jika q p syarat cukup untuk q q syarat perlu untuk p q asal saja p q jika p P = anteseden (hipotesis) q = konskuen (konklusi) eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 19

20 Tabel Kebenaran Definisi: Implikasi dua pernyataan (p q) bernilai benar jika anteseden salah atau konskuennya benar. p q p q eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 20

21 Hubungan Implikasi, Konvers, Invers dan Kontraposisi Invers p q Konvers Kontraposisi q p Invers ~p ~q Konvers ~q ~p eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 21

22 iimplikasi iimplikasi dari dua pernyataan p dan q dinotasikan p q, dibaca: p jika dan hanya jika q p syarat perlu dan cukup untuk q q syarat perlu dan cukup untuk p jika p maka q dan jika q maka p Definisi: iimplikasi dari dua pernyataan bernilai benar, jika dua pernyataan itu bernilai sama eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 22

23 p q p q eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 23

24 Urutan Pengerjaan Negasi Konjungsi/Disjungsi Implikasi iimpilkasi Contoh: p q berarti ( p) q p q r berarti p (q r) eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 24

25 ebagai contoh, kita ingin melihat tabel kebenaran pernyataan: p ~q p r agaimana tabel kebenran pernyataan itu? eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 25

26 eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 26 p (~q (p r)) ~q (p r) p r ~q r q p

27 Tautologi etiap pernyataan yang selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya. Contoh: p ~p eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 27

28 p ~p p ~p eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 28

29 Ekuivalen Dua pernyataan dikatakan ekuivalen (ekuivalen logis) jika kedua pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang tepat sama. Notasi: ifat pernyataan yang ekuivalen: 1. p p (refleksif) 2. p q q p (simetris) 3. p q, q r p r (transitif) p q dapat sebagai p q atau sama dengan eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 29

30 uatlah tabel kebenaran dari pernyataan berikut 1. p q 2. ~p q 3. ~p ~q 4. ~q ~p 5. q p eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 30

31 p q p q ~p q eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 31

32 Kontradiksi Pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya. Contoh: p ~p eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 32

33 p ~p p ~p eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 33

34 Kuantor Fungsi Pernyataan: uatu kalimat terbuka dalam semesta pembicaraannya (semesta diberikan secara eksplisit atau implisit) Notasi: p(x) yang bersifat p(a) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap nilai a. a adalah anggota semesta pembicaraan p(a) suatu pernyataan eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 34

35 Contoh: p(x) 1 + x > 5, fungsi pernyataan untuk A = himpunan bilangan asli, bukan untuk fungsi pernyataan K = himpunan bilangan kompleks. ila himpunan semestanya bilangan asli, maka: 1. p(x) 1 + x > 5; bernilai benar untuk x = 5,6,7,... Dengan kata lain untuk beberapa anggota semesta. 2. q(x) x + 3 < 1; tidak ada anggota semesta yang memenuhi. 3. r(x) 1 + x = 5; bernilai benar untuk x = 4, dengan kata lain hanya ada satu anggota semesta yang memenuhi. 4. s(x) x 2 > 0; bernilai benar untuk semua x anggota semesta. eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 35

36 Kata-kata beberapa, tidak ada, hanya satu, untuk semua dapat diganti menggunakan simbol KUANTOR Kuantor Umum (Universal) dibaca untuk semua, untuk setiap ( x A)(p(x)) atau x, p(x) atau x p(x) dibaca untuk setiap x anggota A, p(x) merupakan pernyataan yang benar atau untuk semua x berlakulah p(x) eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 36

37 Kuantor Khusus (Eksistensial) dibaca untuk beberapa atau untuk paling sedikit satu! dibaca ada hanya satu ( x A) (p(x)) atau x, p(x) atau x p(x) dibaca ada x anggota A sedemikian hingga p(x) merupakan pernyataan yang benar atau untuk beberapa x, p(x) eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 37

38 Negasi Pernyataan ( x A) (p(x)) ( x A) (p(x)) ( x A) (p(x)) ( x A) (p(x)) eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 38

39 Fungsi Pernyataan lebih dari satu Variabel Diketahui himpunan A 1, A 2,... A n. uatu fungsi pernyataan yang mngandung variabel pada himpunan A 1 x A 2 x... x A n merupakan kalimat terbuka p(x 1, x 2,..., x n ) yang memiliki sifat p(a 1, a 2,..., a n ) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a 1, a 2,..., a n ) anggota semesta pembicaraan A 1 x A 2 x... x A n. Contoh: 1. P = {pria}, W = {wanita} M (x, y) x menikah dengan y merupakan fungsi pernyataan pada P x W. 2. A = himpunan bilangan asli. K (x, y, z) 2x y -5z < 10 merupakan fungsi pernyataan pada A x A x A eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 39

40 Fungsi pernyataan dengan beberapa variabel bila diberi tanda kuantor merupakan pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran. x y p(x,y) atau x,y p(x,y) atau (x)(y) p(x,y) atau ( x )( y ) p(x,y) dibaca untuk semua x dan y berlakulah p(x) x y p(x,y) atau x,y p(x,y) atau ( x )( y ) p(x,y) dibaca ada x dan y sedemikian hingga p(x,y) x y p(x,y) atau ( x )( y ) p(x,y) atau (x)( y ) p(x,y) dibaca untuk semua x ada y sedemikian hingga p(x,y) x y p(x,y) atau ( x ) ( y ) p(x,y) atau ( x ) (y)p(x,y) dibaca ada x sedemikian hingga untuk semua y berlakulah p(x,y) eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 40

41 Contoh P = {Rama, Ammar, Nico} dan W = {Tira, Iffa} p(x,y) = x adalah kakak y ( x P)( y W)( p(x,y)) = untuk setiap x di P ada y di W sedemikian hingga x adalah kakak dari y berarti setiap anggota P adalah kakak dari Tira atau Iffa ( y W) ( x P) p(x,y) = ada y di W sedemikian hingga untuk setiap x di P berlaku x adalah kakak y berarti ada paling sedikit satu anak di W yang mempunyai kakak semua anggota P. eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 41

42 Negasi Pernyataan ( x P)( y W)( p(x,y)) = setiap anggota P adalah kakak paling sedikit satu anggota W ~( x P)( y W)( p(x,y)) = tidak benar bahwa setiap anggota P adalah kakak paling sedikit satu anggota W atau ( x P)( y W) ~(p(x,y)) = ada anggota P yang bukan kakak dari semua anggota W eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 42

43 Latihan Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut 1. x y (x+2y = 10) 10. x y (x 2 -y >3) 2. x y (x+2y = 10) 11. y x (x2 -y 3) 3. x y (x+2y = 10) 12. y x (x2 -y 3) 4. x y (x+2y = 10) 13. y x (y/x = 8) 5. y x (x+2y = 10) 14. y x (y/x 8) 6. y x (x+2y = 10) 15. y x (y/x = 8) 7. y x (x+2y = 10) 16. y x (y/x = 8) 8. y x (x+2y = 10) 17. y x (x + 2y < 10 x + 3y 9) 9. y x (x 2 -y >3) 18. x y (x +2y < 10 x + 3y 9) eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 43

44 Tulislah dalam bentuk simbolik emua bilangan bulat adalah rasional, dapat ditulis: ( x )( x R x ) atau ( x )(x R) 1. emua mahasiswa lulus ujian. 2. emua mahasiswa tidak lulus ujian. 3. Tidak semua pedagang merasa beruntung. 4. Tidak semua pedagang tidak merasa beruntung. 5. Ada wanita yang cantik. 6. eberapa wanita tidak cantik. 7. Tidak ada mahasiswa yang curang. 8. Tidak ada mahasiswa yang tidak curang. eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 44

45 Penarikan Kesimpulan Premis: Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik kesimpulan dan yang dianggap benar atau yang diketahui nilai kebenarannya. Argumen: Pernyataan yang berupa himpunan/kumpulan beberapa premis dan konklusinya yang ditarik menggunakan aturan yang benar atau valid. Argumen dikatakan VALID, jika setiap premis yang digunakan bernilai benar dan konklusinya benar. Jadi bergantung pada bentuk argumen dan tabel kebenaran. Jika membuktikan validitas argumen dilakukan dengan menguji apakah argumen itu merupakan TAUTOLOGI. eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 45

46 eberapa Argumen 1. Modus Ponens Premis 1 : p q Premis 2 : p Konklusi : q 2. Modus Tolens Premis 1 : p q Premis 2 : ~q Konklusi : ~p eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 46

47 3. ilogisme Premis 1 : p q Premis 2 : q r Konklusi : p r 5. Konjungsi Premis 1 : p Premis 2 : q Konklusi : p q 4. Penyederhanaan Premis 1 : p q Konklusi : p 6. Penambahan Premis 1 : p Konklusi : p q eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 47

48 7. ilogisme Disjungtif Premis 1 : p q Premis 2 : ~ p Konklusi : q 8. Dilema Konstruktif Premis 1 : (p q) (r s) Premis 2 : p r Konklusi : q s 9. Dilema Destruktif Premis 1 : (p q) (r s) Premis 2 : ~q ~s Konklusi : ~p ~r eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 48

49 Tulislah konklusinya (jika ada) dan sebutkan argumen yang dipakai. 1. p ~q ~q ~a b ~b k l ~k d ~a ~d ~a b a ~l ~m ~m eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 49

50 Lanjutan 7. k ~l ~k p q ~r q m n k n d ~a d b ~a b a c a b c b c d ~d a a b c b eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 50

51 elidikilah apakah argumen berikut valid atau tidak 1. p q p r r 2. p q ~(q r) p ~r 3. p q p r s p s 4. p ~q ~q ~r s r ~p 5. p ~(q r) ~(q r) ~s t s ~p t 6. h b b b r a ~r ~h eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 51

52 7. c (a p) c k k p p 8. h a b b r a ~r ~h 9. c q s q e d s ~e d ~c 10. uktikan jika r t (~r t), r t, ~r, maka t. 11. Diketahui ~(R T) ~R ~T, ~(R T), ~R, ~R ~T (~R T) mengakibatkan T. eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 52

53 Aplikasi Logika p ~p p q Hubungan eri: pq p q p q Hubungan Paralel: p + q p q eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 53

54 p ~p p.~p = 0 p ~p p (q + r) = pq + pr p + q r = (p + q) (p +r) p + p = p pp = p p + (~p) = 1 eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 54

55 Latihan eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 55