BAB VII DISTRIBUSI LIMIT

Transkripsi

1 BAB VII DISTRIBUSI LIMIT 7.1 PENDAHULUAN Di bab 6 telah dibahas metode umum untuk mendapatkan fungsi sebuah distribusi dari variabel acak yaitu. Pada beberapa kejadian, pdf dari dapat dicari dengan mudah. Namun terdapat kejadian yang tidak mudah untuk diselesaikan. Beberapa di antaranya, untuk mendapatkan hasil pendekatan dengan n bernilai besar. Hasil tersebut didasarkan pada dugaan konvergensi dari distribusi limit. 7.2 BARISAN DARI PEUBAH ACAK Perhatikan suatu barisan peubah acak Y 1,Y 2, yang berkaitan dengan barisan CDF nya yaitu G 1 (y), G 2 (y), untuk setiap n=1,2, [ ] (7.2.1) DEFINISI Jika Y n ~G n (y), untuk setiap n=1,2, dan jika untuk beberapa CDF G(y) yaitu, (7.2.2) untuk semua nilai y dimana G(y) kontinu, pada barisan Y 1,Y 2.. dikatakan konvergen dalam distribusi Y~G(y), dan dinyatakan dengan Y n d Y,CDF G(Y) disebut : Distribusi terbatas dari Y n. Contoh Diberikan X 1,X 2, X n sampel acak dari sebuah distribusi uniform X i ~UNIF(0,1), dan Y n :X n:n merupakan order statistik terbesar, dengan CDF=, untuk Dapatkan distribusi limit dari Y n =X n:n. Penyelesaian: PDF distribusi Uniform : X i ~UNIF(0,1) CDF distribusi Uniform : Y n= X n:n adalah order statistik terbesar,dan untuk mencari CDF dari Y n yaitu sebagai berikut: [ ] [ ] (7.2.3) Sehingga didapatkan, G n (y)={ Untuk merupakan fungsi konstan dengan masing-masing 0 dan 1. Distribusi limit dari Y n yaitu : 1

2 Jadi, G(y) = { (7.2.4) merupakan distribusi limit untuk Y n Gambar 7.1 : Grafik dari CDF G n (y) dengan limit degenerate CDF G(y) DEFINISI Fungsi G(y) adalah CDF dari suatu distribusi degenerate pada nilai y=c, diperoleh G(y) = { (7.2.5) Dengan kata lain, G(y) adalah CDF dari sebuah distribusi diskrit yang mempunyai peluang sama dengan 1 di nilai y=c dan 0 untuk yang lain. Contoh Diberikan X 1,X 2, X n adalah sebuah sampel acak dari distribusi eksponensial, Xi~EXP( ), dan Y n =X 1:n adalah order statistik terkecil. Tentukan distribusi limit untuk Yn. Penyelesaian : PDF distribusi Eksponensial: CDF distribusi Eksponensial: CDF dari Yn adalah [ ] [ ] [ ] X~EXP( ) (7.2.6) dan 0 untuk y yang lain. Kita mempunyai jika y>0 karena dalam kejadian ini. Jadi, limitnya 0 jika y<0 dan 1 jika y>0, yang mana distribusi degenerate pada nilai y=0. Pembentukan nilai limit di y=0 adalah 0, artinya bahwa fungsi 2

3 limit tidak hanya diskontinu di y=0 tetapi juga tidak kontinu di bagian kanan y=0, yang mana telah menjadi syarat sebuah CDF. DEFINISI Sebuah barisan peubah acak Y 1,Y 2, dikatakan konvergen stokastik ke konstanta c jika mempunyai distribusi limit yang degenerate pada y=c. Tambahan: Berikut adalah persamaan limit yang sering di gunakan dalam menyelesaikan soal distribusi limit yaitu (limit natural) (7.2.7) ( ) jika (7.2.8) Contoh Diberikan X 1,X 2, X n adalah sebuah sampel acak dari distribusi pareto, Xi~PAR(1,1), dan Y n =nx 1:n order statistik terkecil. Dapatkan distribusi limit dari Y n. Penyelesaian : PDF distribusi Pareto: Xi~PAR(1,1) yaitu { CDF distribusi Pareto: Misalkan : [ ] Sedangkan, CDF dari Yn adalah: [ ] [ ] 3

4 [ ] [ ] (7.2.9) Dengan menggunakan limit natural pada persamaan 7.2.4, kita peroleh distribusi limit sebagai berikut: dan 0 untuk yang lain, yang merupakan CDF dari distribusi eksponensial, EXP(1). Ini jika diilustrasikan di dalam gambar 7.2, yang mana menunjukkan grafik dari G(y) dan G n (Y) untuk n=1,2, dan 5 Gambar 7.2 : Grafik dari CDF G n (y) dengan distribusi limit G(y) Contoh Untuk sampel acak dari contoh sebelumnya 7.2.3, tetapi dengan Yn=Xn:n yang mana merupakan order statistik terbesar. Dapatkan distribusi limit dari Y n. Penyelesaian: CDF dari contoh yaitu : CDF dari Yn adalah : [ ] [ ] [ ] [ ] (7.2.10) 4

5 Dan 0 untuk y yang lain. Karena, kita dapatkan distribusi limit yaitu: untuk semua y, dimana bukan CDF karena tidak mendekati 1 dengan. Contoh Pada contoh sebelumnya yaitu contoh dengan adalah order statistik terbesar. Dapatkan distribusi limit dari Y n. Penyelesaian : CDF dari contoh yaitu : CDF dari Yn adalah: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Distribusi limitnya yaitu : [ ] (7.2.11) [ ] [ ] Contoh Dari sebuah sampel acak pada contoh dengan adalah order statistik terbesar. Dapatkan distribusi limit dari Y n. Penyelesaian : CDF dari contoh yaitu : CDF dari Y n adalah: [ ] [ ] 5

6 [ [ ] ] [ ] (7.2.12) Distribusi Limitnya yaitu : [ ] Sekarang menghitung ketelitian saat melimitkan CDF dengan pendekatan G n (y) untuk n yang besar. Misalkan waktu bertahan dalam bulan untuk beberapa tipe dari komponen variabel acak X~EXP(1) dan misalkan 10 komponen yang independen tersebut terhubung dengan sistem parallel. Waktu kegagalan dari sistem adalah T=X 10:10, dan CDFnya Untuk pendekatan ini digunakan distribusi limit CDF: [ ] [ ] ( ) Misalkan t yang digunakan pada saat t=1,2,5 dan 7 bulan, maka pendekatan peluangnya diperoleh sebagai berikut: t: Jadi, nilai pendekatan meningkat ketika n bertambah. Contoh Diberikan sebuah sampel mean dari sampel acak yang berdistribusi normal, dan ( ) Pdf distribusi normal : CDF dari distribusi normal : 6

7 CDF dari Y n adalah : [ ] [ [ ] ] [ ] (7.2.13) Limit dari CDF Y n degenerate pada karena, jika jika dan 1 jika, jadi sampel mean konvergen stokastik ke. 7.3 TEOREMA LIMIT PUSAT TEOREMA Misal adalah barisan variabel acak dengan CDF masing-masing dan dengan MGF masing-masing Jika adalah MGF dari CDF untuk semua pada selang terbuka, maka untuk semua titik kontinu pada. Contoh Diberikan X 1,..., X n adalah sampel acak dari distribusi Bernoulli, dan. Jika untuk dengan untuk. Dapatkan distribusi limit dari Y n. Penyelesaian : PDF distribusi Bernoulli : MGF distribusi Bernoulli : Sedangkan untuk MGF dari CDF G n (y) yaitu : [ ] (7.3.1) Menurut limit natural pada persamaan (7.2.7), didapakan (7.3.2) yaitu MGF dari distribusi Poisson dengan mean µ. Hal ini konsisten dengan hasil dari Teorema 3.2.3, sehingga dapat disimpulkan. 7

8 Contoh Hukum Bernoulli untuk Nilai yang Besar Misalkan terdapat tetap dan mengingat barisan dari proporsi sampel,. Dengan menggunakan deret ekspansi dengan. Dapatkan distribusi limit dari W n. Penyelesaian: PDF distribusi Bernoulli : MGF distribusi Bernoulli : ( ) [ ] [ ] (7.3.3) Dimana meliputi bentuk yang diabaikan dari deret ekspansi, dan untuk. Dari limit (7.2.8) didapat (7.3.4) dimana MGF dari distribusi berada pada dan konvergen stokastik pada untuk mendekati tak hingga. Contoh Mengingat barisan variabel yang terstandarisasi : (7.3.5) Dengan notasi yang disederhanakan, didapat. Dapatkan distribusi Limitnya. Penyelesaian: Dengan menggunakan deret ekspansi dari contoh sebelumnya, ( ) [ ( )] [ ] [ Dimana untuk. Jadi, ] (7.3.6) (7.3.7) yaitu MGF dari distribusi normal standar, dan maka. Ini merupakan contoh dari hasil limit khusus yang disebut Teorema Limit Pusat. 8

9 TEOREMA Teorema Limit Pusat Jika adalah sampel acak dari distribusi dengan mean µ dan variansi, lalu limit distribusi dari adalah normal standar,maka untuk. (7.3.8) Contoh Diberikan adalah sampel acak dari distribusi uniform, dan. Dapatkan Y n dengan pendekatan distribusi normal. Penyelesaian: Pdf distribusi Uniform: X i ~UNIF(0,1) CDF distribusi Uniform : Mean dari distribusi Uniform : Variansi dari distribusi Uniform: Karena dan didapat perkiraan Sebagai contoh, jika, kemudian dengan perkiraan Perkiraan ini sangat dekat, sering digunakan untuk mensimulasikan nomor acak normal standar pada aplikasi komputer. 7.4 PENDEKATAN UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL Contoh sampai menunjukkan macam-macam distribusi limit yang tergantung pada barisan dari variabel binomial dan diasumsikan sifat dari p dengan. Contoh ditunjukkan untuk variabel binomial Y n ~ BIN (n,p) jika n besar dan p kecil, maka dapat didekati dengan Y n ~ POI(n,p). Pembahasan ini ditunjukkan dengan cara lain dalam contoh pada Bab 3 yaitu: 9

10 Contoh 3.2.9: Misalkan 1% dari produksi transistor sebuah perusahaan adalah cacat. Sebuah model baru komputer membutuhkan 100 transistor dan 100 transistor tersebut diseleksi acak dari perakitan perusahaan. Diperoleh 3 transistor cacat dalam pengacakan tersebut, maka peluangnya diperoleh transistor cacat Dan pendekatan dengan distribusi Poissonnya yaitu: Contoh 7.3.3, dengan p dan barisan baku yang sesuai digunakan untuk distribusi normal standart, maka menggunakan sebuah pendekatan normal. Dalam kenyataannya, hal tersebut digunakan untuk nilai n yang besar dan memiliki nilai p maka didekati dengan Y n ~N(np,npq). Pendekatan ini bekerja paling baik ketika nilai p=0,5 karena distribusi binomial simetri ketika p=0,5. Ketepatan ini tergantung pada aplikasinya. Pedoman digunakan untuk distribusi normal standart ketika dan, tetapi tetap memerlukan ketelitian. Contoh : Peluang seorang pemain basket melakukan sebuah penembakan adalah p = 0,5. Jika pemain melakukan 20 penembakan, berapa peluang pemain melakukan penembakan paling sedikit 9 kali? Penyelesaian : Y n ~BIN(n,p) n = 20 p = 0,5 q = 0,5 np = nq = 10 5 sehingga dipendekatan Y n ~N(np,npq) Penyelesaian : P [Y 20 9] = 1 - P[Y 20 8] =1 Sebuah pendekatan normal P [Y 20 9] = 1 - P[Y 20 8] = 1- ( ) = 1 - Ø ( - 0,89 ) = 0,

11 Karena distribusi binomial merupakan distribusi distribusi diskrit dan distribusi normal merupakan distribusi kontinu, pendekatannya dapat diperbaiki dengan membuat sebuah koreksi kontinuitas. Kenyataannya, masing-masing distribusi binomial,, mempunyai hasil yang sama dengan luas sebuah persegi panjang dengan tinggi dan selang [ ] sebagai dasarnya, karena panjang dasarnya 1. Daerah persegi panjang tersebut dapat dipendekatan dengan daerah dibawah PDF dari, yang berhubungan dengan distribusi normal dengan mean dan varians. Hal tersebut ditunjukkan untuk n=20, p=0.5 dan y=7 dalam gambar 7.3, dimana probabilitasnya adalah Aprosikmasi ditunjukkan dengan daerah yang diarsir pada gambar, Gambar 7.3 koreksi kontinuitas untuk pendekatan normal dari sebuah probabilitas binomial ( ) ( ) Cara yang sama dapat digunakan untuk probabilitas binomial, seperti [ ] [ ] ( ) yang lebih mendekati nilai yang sebenarnya tanpa koreksi kontinuitas. Keadaan ini ditunjukkan dalam gambar 7.4. Umumnya, jika adalah bilangan bulat, maka 11

12 [ ] Φ (7.4.1) Koreksi kontinuitas juga berguna untuk distribusi diskrit yang dapat dipendekatan dengan distribusi normal. Gambar 7.4 pendekatan normal untuk distribusi binomial Contoh Misalkan dimana n adalah bilangan bulat positif. Dari hasil pada bab 6, diketahui bahwa mempunyai distribusi yang sama dengan jumlahan, dimana X 1,.,X n independen, X i ~POI(1). Berdasarkan teorema limit pusat, yang menunjukkan pendekatan Y n ~N(n,n) untuk n yang besar. Sebgai contoh, n=20, Berapakah nilai [ ] Penyelesaian : Diketahui : Ditanya : [ ] Jawab : PDF poisson f(x;μ) = x, Dan nilai pendekatannya [ ] = 0,982 Φ( ) ( )= Φ 12

13 7.5 DISTRIBUSI NORMAL ASIMPTOTIK Akibat dari teorema limit pusat, jika sampel meannya distandarisasi berdasarkan pada persamaan yaitu yang berhubungan dengan barisan Z n Z~N(0.1). Hal tersebut tidak sesuai untuk distribusi dengan sampel mean sebagai pendekatan dari N(μ, σ 2 /n) untuk n yang besar.berikut ini contoh dari dugaan yang lebih umum. DEFINISI Jika adalah barisan variabel acak, serta dan konstan, maka (7.5.1) untuk, dan dikatakan mempunyai distribusi normal asimptotik dengan mean asimptotik dan variansi asimptotik Contoh Berdasarkan sampel acak dalam contoh yang menunjukkan n=40 daya tahan sebuah peralatan elektrik, X i ~EXP(100). Dengan teorema limit pusat, Mempunyai distribusi normal asimptotik dengan mean =100 dan varians c 2 /n=(100) 2 /40= DISTRIBUSI ASIMTOTIK DARI ORDER STATISTIK PUSAT Dalam subbab 7.1 ditunjukkan beberapa contoh yang menggunakan order statistik ekstri,misalkan yang terbesar atau yang terkecil, dengan distribusi limit yang tidak normal. Dalam keadaan lain, mungkin untuk menunjukkan pusat order statistikyang normal asimptotik. Teorema Misalkan adalah sampel acak dari sebuah distribusi kontinu dengan pdf yang kontinu dan tidak nol pada persentil ke-,, untuk. Jika (dengan tertentu), maka barisan order statistik ke-, mean dan variansi, dimana [ ], adalah normal asimptotik dengan (7.5.2) Contoh Misalkan adalah sampel acak dari distribusi eksponensial,, sehingga dan. Untuk n ganjil,, sehingga adalah median dari sampel. Jika, maka mediannya maka =

14 Dan [ ] Dengan demikian, normal asimptotik dengan mean asimptotik dan variansi asimptotik Contoh Misalkan X 1,., X n adalah sebuah sampel acak dari distribusi uniform, X i ~ UNIF (0,1), sehingga PDF nya : CDF nya : = x-0 = x ; 0<x<1 Diasumsikan bahwa n adalah bilangan ganjil dan k=(n+1)/2, sehingga Y k =X k:n adalah order statistik pusat atau median sampel. Persamaan yaitu [ ] [ ] ] menjelaskan pdf dari Y k yang memiliki bentuk khusus karena k-1=n-k=(n-1)/2 dalam contoh ini. Maka, PDF nya adalah {[ ] } [ ] (7.5.3) Berdasarkan teorema, dengan p=0.5, persentil ke p, X 0.5 =0.5 dan c 2 =0.5(1-0.5) / 1 2 = 0.25, sehingga Z~N(0.1). sebenarnya ini sangat berkaitan dengan pdf pada setelah transformasi, yang memiliki transformasi invers {[ ] } Dari limit (7.2.7) dan hasil bahwa (1-z 2 /n) -1/2 dan jacobian J=1/. hasil PDFnya adalah (7.5.4) 1, maka Dan hal ini menunjukkan nilai konstan pada (7.5.4) yang mendekati 1/ dengan n. 14

15 7.6 SIFAT-SIFAT KONVERGENSI STATISTIK Untuk mengetahui apakah suatu estimator merupakan sebuah estimator yang baik adalah dengan sifat antara lain konvergen stokastik ke nilai parameternya untuk TEOREMA Barisan Y 1,Y 2, konvergen stokastik ke c, jika dan hanya jika untuk setiap =0, [ ] (7.6.1) Sebuah barisan dari variabel acak yang memenuhi teorema (7.6.1) disebut konvergen dalam probabilitas ke konstanta c, dinotasikan dengan Y n c. Contoh 7.6.1: Contoh terbukti, sehingga disebut hukum Bernoulli Law of Large Numbers (LLN) dengan pendekatan MGF. Itu juga dapat diuji dengan teorema sebelumnya dan dengan pertidaksamaan Chebychev. Secara khusus, mean dan varians dari p n adalah E (p n ) = p dan Var (p n ) = pq/n, jadi P[ p n p < ] 1 pq/ 2 n [ ] 1 pq/ 2 n Maka, untuk setiap > 0, maka [ ] Pendekatan yang sama juga bisa digunakan untuk membuktikan hasil yang lebih umum, biasanya disebut sebagai Law of Large Numbers (LLN). Teorema Jika X 1, X 2,..., X n adalah contoh acak dari distribusi dengan mean (µ) berhingga dan varians (σ 2 ), maka barisan dari sampel mean konvergen dengan peluang ke µ : Bukti : Dari E( ) = µ Var ( )= Sehingga,, dengan demikian [ ] (7.6.3) [ ] Jadi, [ ] 15

16 Teorema Z~N(0,1), maka Contoh : Diketahui bahwa dalam contoh dan bahwa median sampel X k:n adalah normal asimptotik dengan mean asimptotik x 0.5.Sehingga dalam teorema diperoleh bahwa X k:n x 0.5 dengan n dan k/n 0.5. Maka sesuai teorema jika k/n p, maka order statistik konvergen stokastik terkecil pada persentil ke p adalah X k:n x p 7.7 TEOREMA LIMIT TAMBAHAN DEFINISI (Konvergensi pada Peluang) Barisan variabel acak dikatakan konvergen pada peluang pada, ditulis jika [ ] (7.7.1) TEOREMA Untuk barisan variabel acak, jika maka. Untuk kejadian khusus, melimitkan distribusi berarti menurunkan distribusi [ ]. Kondisi ini digunakan untuk mendefinisikan konvergensi stokastik. TEOREMA Jika, maka untuk setiap fungsi yang kontinu di, BUKTI Karena kontinu di, hal tersebut berarti untuk setiap dan ada, dimana berakibat. Hal ini berakibat [ ] [ ] karena sebagaimana. Tetapi karena, hal itu berarti untuk setiap berlaku [ ] [ ]. Limit pada ruas kanan tidak mungkin melebihi 1, maka harus sama dengan 1, dan. 16

17 TEOREMA Jika dan adalah dua barisan variabel acak yang mana dan, untuk 4. jk [ ] utk semua. 5. jk [ ] utk semua. CONTOH Misal. Diketahui. Maka ( ) TEOREMA (Teorema Slutsky) Jika dan adalah dua barisan variabel acak yang mana dan, untuk Untuk kejadian khusus, bisa jadi barisan luar biasa seperti. CONTOH Dari sampel acak berukuran dari distribusi Bernoulli,, diketahui Juga diketahui jika ( ) maka jika dibagi dengan [ ( ) ] menjadi ( ) (7.7.2) TEOREMA Jika, maka untuk setiap fungsi kontin u berlaku, dengan asumsi tidak bergantung pada. 17

18 TEOREMA Jika dan jika mempunyai turunan bukan nol pada maka [ ] BUKTI Didefinisikan [ ] jika, dan misal. Hal tersebut berarti kontinu di dengan, dan dengan demikian. Selanjutnya, [ ] [ ] [ ]. Dari teorema didapat [ ], dan hasilnya didapat dari teorema Berdasarkan pemahaman awal dari distribusi normal asimptotik, dapat disimpulkan untuk bernilai besar, jika ( ) maka { [ ] } Contoh Teorema Limit Pusat menyebutkan bahwa mean dari sampel terdistribusi normal asimptotik, ( ) Atau perkiraan untuk yang bernilai besar, Diketahui dari teorema bahwa fungsi yang dapat diturunkan dari juga terdistribusi normal asimptotik. Sebagai contoh, jika ( ), maka, dan diperkirakan [ ] 7.8* DISTRIBUSI ASIMPTOTIK DARI ORDER STATISTIK TERTINGGI Seperti yang telah disebutkan pada subbab 7.5, order statistik pusat, X k:n, yang didistribusikan sebagai normal asimptotik yaitu n dan p. Jika order statistik ekstrim seperti X 1:n, X 2:n, dan X n:n distandarisasi sehingga tidak mendegenerasikan pembatasan distribusi, pembatasan distribusi ini bukan termasuk distribusi normal. Contohnya dari pembatasan distribusi seperti yang diberikan sebelumnya. Itu dapat ditunjukkan bahwa tanpa mendegenerasikan pembatasan distribusi dari variable ekstrim harus termasuk ke dalam satu dari 3 kemungkinan tipe dari distribusi. Sehingga 3 tipe dari distribusi ini berguna saat mempelajari rataan melalui Terorema Limit Pusat. 18

19 TEOREMA Jika limit dari barisan CDF adalah CDF kontinu,, kemudian untuk a n > 0 dan b n yaitu (7.8.1) Jika dan hanya jika dan. TEOREMA Jika limit dari barisan CDF adalah CDF kontinu, dan jika untuk semua n > 0 dan semua Real y, Kemudian untuk α n > 0, jika dan hanya jika dan dengan n DISTRIBUSI LIMIT MAKSIMUM Diberikan X 1:n,, X n:n menunjukkan sampel acak dengan ukuran n dari distribusi CDF F(x). Di dalam konteks teori nilai ekstrim, nilai maksimum X n:n adalah yang mempunyai distribusi limit G(y) jika ada barisan dari standarisasi konstan { n } dan {b n } dengan n > 0 seperti bahwa standar variable,, konvergen dalam distribusi G(y) yaitu: d Y ~ G(y) (7.8.2) Jika X n:n memiliki distribusi terbatas dengan tipe G, itu berarti bahwa pembatasan distribusi dengan standar variable Y n adalah tidak menurunkan distribusi G(y). Mengingat bahwa distribusi yang tepat dari X n:n diberilan oleh [ ] (7.8.3) Jika kita pertimbangkan, kemudian distribusi yang tepat dari Y n adalah [ ] [ ] (7.8.4) Sehingga, pembatasan distribusi dari X n:n (atau lebih tepatnya Y n ) adalah diberikan oleh [ ] (7.8.5) Sehingga, persamaan menyediakan pendekatan langsung untuk menentukan nilai limit distribusi ekstrim (tertinggi), jika barisan {a n } dan {b n } dapat ditentukan bahwa hasilnya adalah limit yang didegenerasikan. Mengingat dari contoh bahwa jika X~EXP(1), kemudian dengan a n = 1 dan b n = ln n. Sehingga, [ ] [[ ]] (7.8.6) dan [[ ]] (7.8.7) 19

20 Teorema Jika memiliki distribusi limit G(y), kemudian G(y) harus memenuhi 3 tipe nilai distribusi tertinggi: 1. Tipe I (untuk maksimum) (tipe eksponensial), - <y< (7.8.8) 2. Tipe II (untuk maksimum) (tipe chauchy), y > 0, γ > 0 (7.8.9) 3. Tipe III (untuk maksimum) (tipe limit) [ ], y < 0, γ > 0 (7.8.10) TEOREMA , y 0 Dalam menentukan pembatasan distribusi dari, [ ] (7.8.11) Jika dan hanya jika [ ] (7.8.12) Diberikan CDF F(x) yang mungkin dapat menggunakan teorema untuk menyelesaikan a n dan b n pada F(x) untuk setiap 3 tipe pembatasan distribusi. Sehingga, jika tipe limit untuk F(x) diketahui, kemudian a n dan b n dapat di hitung. Jika tipe tidak diketahui, maka a n dan b n tetap dapat dihitung untuk setiap jenis dan kemudian diterapkan untuk melihat tipe hasilnya. Satu sifat dari CDF yang digunakan dalam mengekspresikan konstanta standar yaitu Karakteristik Nilai Terbesar DEFINISI Karakteristik nilai terbesar, U n, dari CDF F(x) di definisikan oleh persamaan [ ] (7.8.13) Untuk sampel acak dengan ukuran n dari F(x), jumlah yang diharapkan dari pengamatan yang akan melebihi U n adalah 1. Peluang bahwa sebuah pengamatan akan melebihi U n adalah [ ] dan jumlah yang diharapkan untuk pengamatan n independen adalah [ ] Teorema Diberikan X~F(x), dan asumsikan bahwa memiliki pembatasan distribusi. 1. Jika F(x) adalah kontinu dan naik tegas, kemudian distribusi limit dari Y n adalah tipe Eksponensial jika dan hanya jika [ ], - <y< (7.8.14) 20

21 Dimana b n = U n dan a n adalah solusi dari 2. G(y) adalah tipe Cauchy jika dan hanya jika, k > 0, γ > 0 (7.8.15) dan dalam hal ini, a n = U n dan b n = 0 3. G(y) adalah tipe Limit jika dan hanya jika, k > 0 (7.8.16) dimana { }, batas atas dari x. Juga b n = x 0 dan a n = x 0 U n DISTRIBUSI LIMIT MINIMUM Jika sebuah pembatasan distribusi tidak turun untuk contoh acak minimum, maka juga harus termasuk satu dari tiga tipe yang memungkinkan. Memang sebuah distribusi minimum dapat berhubungan dengan distribusi maksimum, karena Jadi semua hasil maksimum dapat diubah menjadi bentuk minimum jika detailnya dapat diurutkan. Misalkan x kontinu, X~Fx(X) dan Catatan X 1:n =-Z n:n. Sekarang menganggap bahwa.kita mempunyai, [ ] [ ] = [ ] = [ ] =1- Pembatasan distribusi dari Wn disebut H(w) kemudian diberikan dengan Dimana G(y) sekarang menunjukkan pembatasan distribusi dari. Sehingga untuk menemukan H(w), distribusi terbatas untuk minimum. Langkah pertamanya menentukan dan pembatasan distribusi G(y) dengan metode penggambaran untuk maksimum, sebagai terapan dari. Kemudian pembatasan distribusi dari Wn adalah Catatan : jika harusnyauntuk limit tipe 1, mungkin memiliki tipe yang berbeda. Sebagai contoh maksimum dari EXP( ) mempunyai pembatasan distribusi tipe 1, sedangkan memiliki tipe tiga, maka pembatasan distribusi dapat diubah menjadi tipe tiga. DEFINISI Nilai karakteristik yang paling kecil adalah S n yang didefinisikan dengan (7.8.24) 21

22 TEOREMA Jika mempunyai pembatasan distribusi H(w), kemudian H(w) harus mengikuti salah satu dari tiga nilai distribusi tertinggi. 1. Tipe I ( untuk minimum) (tipe eksponensial) Dalam keadaan ini didefinisikan oleh Dan, ( ), Jika dan hanya jika 2. Tipe II (untuk minimum) (tipe Cauchy) Dakam keadaan ini [, > 0 dan Jika dan hanya jika, k>0, >0 atau, y>0 3. Tipe III (untuk minimum)(tipe limit) Jika { } merupakan penurunan limit untuk x (dimana =- ) kemudian Dan Jika dan hanya jika, > 0 RANGKUMAN Tujuan dari bab ini adalah untuk membahas dugaan dalam kekonvergenan sebuah distribusi, distribusi limit, dan kekonvergenan dalam probabilitas. Konsep ini sangat penting untuk dipelajari melalui sifat-sifat asimptotik dari barisan variabel acak dan distribusnya. The Law of large Number (LLN) dan Teorema Limit Pusat (CLT) berhubungan dengan sifat limit dari fungsi tertentu sebuah rataan sampel yang berarti ukuran sampel mendekati tak hingga. Khususnya, LLN menyatakan bahwa barisan dari rataan sampel bersifat konvergen stokastik pada rataan populasi suatu kondisi tertentu. Tipe kekonvergenan ini ekuivalen dengan kekonvergenan pada peluang kasus ini, karena limitnya bernilai konstan. Sedangkan, CLT menyatakan bahwa mengubah yang sesuai dengan bentuk barisan dari rataan sampel adalah distribusi limit normal. Teorema ini memiliki dampak teoritis yang penting pada 22

23 peluang dan statistik, dan juga memberikan pendekatan pada banyak situasi. Contohnya, CLT memberikan pendekatan yang bagus untuk distribusi binomial. SOAL-SOAL LATIHAN 1. Diberikan sebuah sampel acak dengan ukuran n dari sebuah distribusi dengan CDF { a. Dapatkan CDF dengan order statistik terkecil b. Dapatkan distribusi limit dari c. Dapatkan distribusi limit dari Penyelesaian : a. CDF : Dengan order statistik terkecil, dan CDF Sehingga CDF untuk yaitu : [ ] [ ] [ ] Jadi didapatkan, { b. Dengan menggunakan definisi yaitu : Sehingga dapat dicari distribusi limitnya adalah : Jadi didapatkan distribusi limit dari yaitu dan degenerate ke y=1 23

24 c. Dengan maka Sehingga CDF dari yaitu : [ ] [ ] [ ( )] ( ) Distribusi limitnya yaitu : Jadi didapatkan distribusi limit dari adalah { 2. Diberikan sebuah sampel acak berukuran n dari sebuah distribusi dengan CDF, untuk semua x bilangan real. a. Dengan order statistik terbesar X n:n, apakah mempunyai distribusi limit? b. Dengan, apakah mempunyai distribusi limit? Jika iya, tunjukkan! Penyelesaian : a. PDF : Dengan order statistik terbesar Y n =X n:n, dan CDF Sehingga CDF untuk Y n =X n:n yaitu : [ ] [ ] [ ] Distribusi limitnya yaitu : 24

25 Jadi tidak mempunyai distribusi limit saat. b. Dengan Sehingga CDF dari yaitu : [ ] [ ] [( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) Distribusi limitnya yaitu : ( ) ( ) Jadi didapatkan distribusi limit dari ( ) yaitu 3. Diberikan sampel acak dengan ukuran n dari sebuah distribusi dengan CDF { Tentukan distribusi limitnya jika: a. b. c. Penyelesaian : a. Dengan order statistik terkecil dan 25

26 Sehingga CDF untuk yaitu : [ ] [ ] [ ] Distribusi Limitnya adalah : Jadi didapatkan distribusi limit dari yaitu dan degenerate ke y=1 b. Dengan order statistik terbesar Sehingga CDF untuk yaitu: [ ] [ ] [ ] Distribusi limitnya adalah : [ ] Jadi tidak mempunyai distribusi limit saat. c. Dengan Sehingga CDF untuk yaitu : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 26

27 [ ] Distribusi limitnya adalah: [ ] Jadi didapatkan, { 9. Diketahui X 1,X 2,,X 100 adalah sebuah sampel acak dari distribusi eksponensial. X i ~EXP(1) dan Y=X 1 +X 2 + +X 100 (a) Tentukan pendekatan untuk P[Y>110] (b) jika adalah sampel mean, maka aproksimasi dari P[ ] Penyelesaian : Diket : X i ~EXP(1) PDF dari X i ~EXP(1), = CDF dari X i ~EXP(1), (a) P[Y>110] =1-P[Y 110] = 1- [ ] = 1- [ ] =1-0,8413 = 0,1587 (b) P[ ]= [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] = = Diketahui pdf, 27

28 { Tentukan: (a) Jika, maka tentukan pendekatan [ ] (b) Jika merupakan nilai terkecil dari n, maka tunjukkan bahwa dimana (c) Jika merupakan nilai terbesar dari n, maka tunjukkan bahwa dimana (d) Temukan distribusi terbatas dari (e) Temukan distribusi normal asimptotik dari median,, dimana dengan terbatas. (f) Tentukan dari (e) yang merupakan stokastik konvergen? (g) Tentukan distribusi terbatas dari. Penyelesaian: (a) [ ] [ ] [ ] 28

29 [ ] (b) [ ] [ ] Jadi, (c) ( ) [ [ [ ( ) Jadi, [ ( ) (d) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (e) 29

30 [ ] Jadi normal asimptotik dengan asimptotik mean dan (f) Dari (e) diketahui bahwa asimptotik normal dengan mean. Sehingga dapat disimpulkan bahwa (g) [ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ]] [ [ ]] [ ] 30

31 [ ] 16. Terdapat sampel acak dari distribusi Poisson,. (a) Tunjukkan bahwa stokastik konvergen ke [ ]. (b) Temukan distribusi normal asimptotik dari (c) Tunjukkan bahwa ( ) stokastik konvergen ke [ ]. Penyelesaian: (a) { [ ] Jadi terbukti bahwa stokastik konvergen ke [ ] (b) Karena maka (c) ( ) [ ] ( ) Jadi terbukti bahwa ( ) stokastik konvergen ke [ ] 17. merupakan sampel acak berukuran dari distribusi normal, dan merupakan median sampel. Temukan dan yang menyatakan bahwa merupakan normal asimptotik. Penyelesaian: 31

32 ( ( ) ) ( ( ) ) Jadi dapat disimpulkan bahwa. 18. Dari soal no. 1, temukan distribusi terbatas dari. Penyelesaian: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Jadi, { 19. Dari soal no. 2, temukan distribusi terbatas dari Penyelesaian: 32

33 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Sehingga didapat ; { [ ] [ ] [ ] 20. Dengan menggunakan Teorema : (a) Tunjukkan bahwa stokastik konvergen ke (b) Tunjukkan bahwa jika diketahui kontinu. Penyelesaian: (a) Misal diketahui, dimana dengan terbatas merupakan mean dan [ ] merupakan varians dimana; Jadi normal asimptotik dengan asimptotik mean dan [ ] sehingga (b) Jika maka, dimana dengan terbatas. Hal ini artinya, pdf kontinu dan tidak bernilai 0 pada persentil ke-p,. Sedangkan merupakan mean saat normal asimptotik dan merupakan varians dengan [ ]. Jadi dapat disimpulkan bahwa kontinu untuk memenuhi 33

34 BAB VIII STATISTIK DAN DISTRIBUSI SAMPLING 8.1 PENGANTAR Pada Bab 4 telah diterangkan tentang sampel acak. fungsi distribusi empiris digunakan untuk memberikan alasan mean sampel dan varians sampel sebagai perkiraan intuitif mean dan varians dari populasi distributi. Tujuan dari bab ini adalah untuk memperkenalkan konsep statistik, yang meliputi sampel mean dan varians sampel sebagai kasus khusus, dan untuk mendapatkan sifat statistik tertentu yang memainkan peran penting dalam bab-bab selanjutnya 8.2 STATISTIK Terdapat himpunan teramati dari variabel acak, Sebagai contoh, terdapat variabel yang merupakan sampel acak berukuran DEFENISI dari suatu populasi. Jika terdapat fungsi dari variabel acak, parameter yang tidak diketahui, maka disebut statistik, dimana tidak dipengaruhi oleh Dalam notasi ini, lambang adalah fungsi yang kita gunakan dalam untuk menentukan statistik, yang dilambangkan oleh kapital T. diperlukan bahwa variabel dapat diamati karena penggunaan yang dimaksudkan dari statistik. Tujuannya adalah untuk membuat kesimpulan tentang distrubuti dari himpunan variabel acak, dan jika variabel tidak teramati atau jika fungsi, tergantung pada parameter yang tidak diketahui, maka T tidak mempengaruhi dalam membuat kesimpulan seperti itu. Sebagai contoh, mengenai data lihat contoh pada bab tentang mencari order dataterkecil sampai terbesar yang diperoleh dengan mengamati tahan dari 40 bagian listrik yang dipilih secara acak. adalah wajar untuk menganggap bahwa adalah nilai-nilai observased sampel acak dengan ukuran 40 dari populasi semua bagian seperti biasanya, populasi tersebut akan memiliki satu atau lebih parameter yang tidak diketahui, seperti populasi yang tidak diketahui un berarti, katakanlah. Untuk membuat inferensi tentang populasi, misalkan perlu numerik mengevaluasi beberapa fungsi dari data yang juga tergantung pada parameter yang tidak diketahui kita, seperti, =, atau. Tentunya perhitungan tersebut akan menjadi tidak mungkin, karena cocok untuk mendefinisikan statistik. Contoh tidak diketahui, dan fungsi-fungsi tidak akan Jika terdapat yang merupakan sampel acak dari suatu populasi dengan pdf. Mean sampel dalam statistik diberikan dengan fungsi Biasanya ditulis seperti berikut: 34

35 Ketika sampel acak merupakan nilai dari, maka perhitungan dari data biasanya di tulis dengan yang berguna untuk memperkirakan mean populasi,. Teorema Jika merupakan sampel acak dari dengan dan maka Dan Contoh Terdapat variabel acak, dan terdapat sampel acak dengan ukuran n dari distribusi Binomial,. Mean dan varians dari populasi adalah dan dengan. Mean sampel dalam hal ini adalah dengan merupakan variabel binomial dan biasanya disebut proporsi sampel, ditulis. Untuk menunjukan bahwa merupakan perkiraan dari maka, Sehingga didapat, Contoh Terdapat fungsi berikut :. Varians sampel diberikan sebagai Maka didapat: 35

36 Teorema Jika merupakan sampel acak dengan ukuran n dari dengan dan, maka didapat : Pembuktian: 8.3 DISTRIBUSI SAMPLING Distribusi dari statistik merupakan penjelasan untuk distribusi sampling, yang berbeda dengan distribusi populasi. Banyak statistic penting yang dapat ditulis dengan kombinasi linear dari variabel acak normal yang independen KOMBINASI LINEAR DARI VARIABEL NORMAL Teorema Jika ; merupakan variabel normal independen, maka Pembuktian : Yang merupakan MGF dari variabel normal dengan mean dan varians 36

37 Akibatnya : jika X i,...,x n merupakan sampel acak dari DISTRIBUSI CHI-SQUARE maka Distribusi Gamma dengan θ=2 dan κ= disebut distribusi Chi-Square. Atau bisa dituliskan sebagai berikut Teorema Jika, maka Teorema Jika, maka Pembuktian: Ini merupakan distribusi Chi-Square dengan derajat kebebassan 2κ.CDF Gamma juga dapat dinyatakan dalam bentuk notasi Chi-Square. Jika dan jika [CDF Chi- Square dengan derajat bebas v], maka : Teorema Jika Pembuktian: 37

38 Yang merupakan MGF dari Teorema Pembuktian: Jika Yang merupakan MGF dari Sebagai akibat : Jika X i,...,x n merupakan sampel acak dari maka : Teorema Jika X i,...,x n merupakan sampel acak dari maka : 1. dan suku-suku adalah independen 2. dan S 2 adalah independen 3. Pembuktian : 1) Dengan menambah dan mengurangkan x dengan hubungan : Jadi densitas bersama dari X i,...,x n dinyatakan sebagai : 38

39 Perhatikan transformasi bersama : Maka : dan adalah konstan dan dapat ditunjukkan bahwa. Selanjutnya faktor-faktor fungsi densitas bersama adalah perkalian fungsi densitas marginal saja. Ini menunjukkan bahwa dan suku-suku independen, karena. Terbukti bahwa dan suku-suku adalah independen Karena, Maka berdasarkan bukti diatas terbukti independen. 2) Perhatikan bahwa Dari akibat : Jadi Dan Contoh 8.3.6: 1. Berapa waktu yang dibutuhkan suatu komponen dengan distribusi Gamma dengan θ = 3 dan κ =2. Dimana komponen tersebut dapat bertahan 90%. Sedemikian hingga Penyelesaian :. Dengan demikian : 39

40 Maka : untuk θ = 3 dan κ =2 2. X dinotasikan berat karung makanan,. Berapa peluang dari tas yang beratnya minimal 1 ton? Penyelesaian : ; n=20 ; µ = 101 ; Setelah dilihat di tabel distribusi normal, hasilnya adalah 0, DISTRIBUSI t, F DAN BETA DISTRIBUSI STUDENT S t Diketahui bahwa dapat digunakan untuk menarik kesimpulan mengenai parameter dalam distribusi normal. Dengan cara yang sama, berguna untuk parameter ; distribusi dari tergantung pada parameter. Hal ini membuat suatu ketidakmungkinan untuk menggunakan dalam bentuk pasti dari prosedur statistik yang berkaitan dengan mean ketika tidak diketahui. Ini berbeda, jika digantikan dengan S dalam,maka distribusi yang digunakan tidak lagi standar normal, tapi tidak bergantung pada dan itu diselesaikan menggunakan metode transformasi. 40

41 Teorema Jika dan, dan jika Z dan V independen, maka distribusi dari Disebut Distribusi Student s t dengan v derajat kebebasan, dinotasikan. Pdf nya sebagai berikut : Pembuktian : Hasil dari Z dan V bisa dibuktikan dengan cara : Terdapat transformasi, dengan transformasi invers Jacobiannya yaitu dan Setelah disederhanakan, pdf marginalnya ; sehingga sesuai dengan persamaan dalam teorema Teorema Jika, dengan, Pembuktian : Pada saat 2r yaitu : dimana dan. Substitusi dari distribusi normal dan chi-square dituntut memberikan hasil. 41

42 Seperti yang dijelaskan di awal, satu aplikasi dari distribusi t akan muncul ketika terdapat sampling dari distribusi normal, seperti yang diilustrasikan pada teorema ini. Teorema Jika dinotasikan dengan sample random dari, maka Pembuktian : Dari teorema didapat dan dari teorema didapat, maka dan adalah independen. DISTRIBUSI SNEDECOR S F Teorema Jika independen, maka variable random dengan pdf untuk : Ini disebut Distribusi Snedecor s F dengan derajat kebebasan yaitu dan dinotasikan ). Beberapa penulis lebih suka menggunakan notasi dari pada untuk menyimbolkan rasio seperti dalam teorema

43 Teorema Jika, maka Pembuktian : Terdapat dan adalah independen, dan chi-square (8.3.6). sehingga dapat diperoleh: Persentil dari adalah yang diberikan pada Tabel 7 (Appendix C) untuk nilai dan. Persentil untuk nilai kecil dari dapat diperoleh dengan menggunakan ), kemudian ). Jadi diperoleh, sehingga didapatkan, Contoh 8.3.7: dan adalah sampel acak yang independen dari populasi dengan distribusi masing-masing adalah dan Jika maka dan, sehingga didapatkan dan didapatkan pula 43

44 dan Jika dan, maka, dan untuk kedua sampel itu biasanya memiliki 95% kepercayaan bahwa rasio dibahas di bab selanjutnya.. Notasi ini akan DISTRIBUSI BETA Sebuah variabel F dapat ditransformasikan ke distribusi beta. Jika, memiliki variable acak seperti berikut mempunyai pdf dimana dan. Pdf ini menjelaskan tentang distribusi beta dengan parameter dinotasikan. dan Mean dan varians dari di tulis sebagai berikut; Persentil ke- dari distribusi beta dapat ditulis dengan bentuk persentil dari distribusi, yaitu : Jika dan adalah bilangan bulat positif, maka diintegralkan secara berurutan dengan bagian utama untuk hubungan antara CDF dari distribusi beta dan distribusi binomial. Jika dan, maka Distribusi beta muncul dalam hubungan dengan distribusi dari statistik order. Untuk variable acak kontinu, pdf dari statistic order ke-k dalam sampel acak dengan ukuran n diberikan sebagai berikut. 44

45 Dibuat perubahan dari variabel maka didapat. Karena dan merupakan order terbesar ke-k dari variabel acak uniform. CDF dari dapat ditulis dengan bentuk CDF beta, karena dimana dinotasikan dengan CDF dari. Contoh Diketahui dan menghitung kemungkinan yang berhubungan dengan. Dimana dan Dimana di akhir peluang ini memerlukan variable berdistibusi. Dengan demikian untuk nilai dari dan, peluang ini dapat diperoleh dari table komulatif beta atau dari table komulatif jika terdapat kecocokan level. Tujuan dari ilustrasi tersebut, agar kita dapat mengetahui seperti;, kemudian dan Jika n = 11, k = 6, dan γ = 0.95, maka ; dan atau dimana adalah median dari sample dan adalah mean dari populasi. Kita dapat mengetahui tentang definisi distribusi beta dan dapat mengetahui hubungannya dengan distribusi dan CDF binomial, seperti aplikasi untuk distribusi dari variabel acak uniform berorder. Distribusi beta menjelaskan tentang distribusi uniform secara 45

46 umum dan melengkapinya dengan model dua-parameter fleksibel untuk berbagai tipe dari variabel yang terletak antara 0 dan PENDEKATAN SAMPEL BESAR Distribusi sampling yang telah dibahas pada awal bab memiliki pendekatan yang dapat digunakan untuk penerapan ukuran sampel yang besar. Teorema Jika, maka Dimana, Pembuktian : merupakan distribusi penjumlahan, dimana independen dan maka diperolah dan. Contoh Diketahui merupakan varians sampel dari sampel acak dengan ukuran dari dengan ; Dari teorema didapat Maka, Atau pendekatannya, Jika dan, maka dan pendekatannya diperoleh sebagai berikut, Terdapat kemungkinan yang menunjukkan bahwa variabel distribusi t mempunyai batas standart distribusi normal dengan derajat kebebasan yang meningkat. Untuk mengetahui hal tersebut maka diketahui, dimana 46

47 Dikatahui juga bahwa dan dengan pertidaksamaan Chebychev s didapat sehingga didapat Jadi dapat disimpulkan bahwa distribusi Student s t mempunyai batas standart distribusi normal yang dapat ditulis sebagai berikut: SOAL-SOAL LATIHAN 1. X dinotasikan berat karung makanan,. Berapa peluang dari tas yang beratnya minimal 1 ton? Penyelesaian : ; n=20 ; µ = 101 ; [ ] [ ] Setelah dilihat di tabel distribusi normal, hasilnya adalah 0, Berapa waktu yang dibutuhkan suatu komponen dengan distribusi Gamma dengan θ = 3 dan κ =2. Dimana komponen tersebut dapat bertahan 90%. Sedemikian hingga [ ]. Penyelesaian : [ ] ( κ) Dengan demikian : Maka : ( κ) 47

48 ( κ) untuk θ = 3 dan κ =2 3. Terdapat sampel acak dengan ukuran n=15 berdistribusi. Tentukan c sehingga [ ]= 0.95, dimana merupakan mean sampel. Penyelesaian : [ ] ( ) Jadi, didapat maka 4. Terdapat merupakan sampel acak dari distribusi normal, dan merupakan mean sample dan varians sampel. Gunakan tabel dari Appendix C untuk menentukan [ Penyelesaian : ( ) ] ( ) menurut teorema bisa didekati dengan distribusi-t [ ] [ ] 48

49 5. Bandingkan pendekatan The Wilson-Hilferty (persamaan 8.5.2) dengan nilai pada tabel untuk Penyelesaian : Pendekatan The Wilson-Hilfery [ ] [ ] 6. Buktikan jika adalah CDF dari dan adalah CDF dari distribusi chi-square dengan derajat bebas v, maka [ ]. Gunakan teorema dan akibat dari berkorespondensi Penyelesaian : CDF dari distribusi chi-square adalah Teorema CDF dari Poison Dimana dan Maka terbukti bahwa [ ] 7. Seorang analisis keuangan mengambil suatu sampel sebesar 10% 300 laporan keuangan dan mendapatkan bahwa rata-rata keuntungan Rp. 148,50 dengan standart deviasi Rp. 35,75. Jika rata-rata keuntungan populasi Rp. 138,00, berapakah probabilitas bahwa keuntungan yang diperoleh dan diambil secara random Rp. 148,50 atau lebih dan tentukan jumlahnya? Penyelesaian : 49

50 Dengan demikian, ( ) = Jumlahnya ( ) ( ) 8. Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang dibutuhkan oleh sebuah mesin untuk memproduksi suatu kertas. Diambil secara random 36 rim kertas, waktu rata-rata yang dibutuhkan untuk memproduksi 1 rim adalah 1,5 menit. Jika diasumsikan standart deviasi populasi 0,30 menit, Tentukan estimasi interval rata-rata dengan tingkat konfidensi 95 persen Penyelesaian : Nilai kesalahan standart dari proses sampling : Dengan tingkat konfidensi 95 %, nilai rata-rata :. Dengan dimasi demikian estimasi interval 9. Seorang investor pada saat ini memegang saham kelompok aneka industri yang terdiri dari industri mesin dan alat berat, otomotif, tekstil, dan garmen. Pengamatan selama 2 bulan terakhir menunjukkan bahwa 44% probabilitas harga saham kelompok ini meningkat. Investor lain ternyata memegang saham kelompok perdagangan dengan probabilitas harga saham meningkat sebesar 67%. Apabila investor memiliki 100 lot untuk saham aneka industri dan 200 lot untuk saham perdagangan, berapa probabilitas beda presentasi harga saham kelompok perdagangan meningkat 10% lebih besar dibandingkan dengan kenaikan harga saham kelompok aneka industri? Penyelesaian : Perdagangan : Aneka industri : Beda proporsi atau selisih proporsi Standar deviasi dari selisih proporsi adalah : 50

51 = = Nilai diperoleh dengan Jadi. Jadi selisih harga saham meningkat lebih dari 10% adalah 98,46% Hal ini menunjukkan bahwa ada perbedaan yang cukup besar antara kenaikan harga saham kelompok aneka industri dan perdagangan. 10. Sebuah bank Danamon di pasar bursa terus mengalami fluktuasi. Harga saham pernah turun mencapai 1200 dan naik mencapai Selama pengamatan 60 hari harga saham bank Danamon rata-rata mencapai 1400 dengan standar deviasi 98. Berapa peluang bank Danamon turun di bawah 1350 dan berapa peluang harganya meningkat di atas 1500? Penyelesaian : Z= Nilai Z pada tabel luas dibawah kurva normal = 0,49996 sehingga 51

52 BAB IX ESTIMASI TITIK 9.1. Pendahuluan Pada bab ini akan diasumsikan bahwa distribusi dari suatu populasi dapat direpresentasikan oleh anggota dari suatu pdf keluarga, berparameter θ. Pada beberapa kasus, parameternya akan menjadi nilai vektor dan akan digunakan θ untuk mendapatkannya. Dimisalkan Ω sebagai parameter populasi dan θ adalah himpunan semua nilai yang mungkin. Jika θ adalah vektor maka Ω akan menjadi himpunan bagian dari ruang Euclidean pada dimensi yang sama dan dimensi Ω akan berkaitan dengan nilai parameter lain yang tidak diketahui. Diasumsikan bahwa (X 1, X 2,, X n ) adalah sampel acak dari dan τ(θ) adalah suatu fungsi dari θ. Definisi Suatu statistik T =ƭ(x 1, X 2,, X n ) digunakan untuk mengestimasi nilai τ(θ) disebut estimator τ(θ) dan nilai amatan statistik t = ƭ (x 1, x 2,, x n ) disebut estimasi τ(θ). Jelas bahwa ini termasuk kasus untuk mengestimasi nilai parameternya sendiri, misalkan τ(θ)=θ. Pada definisi 9.1.1, digunakan tiga simbol yang berbeda, huruf (T) menotasikan statistik yang digunakan sebagai estimator, huruf (t) merupakan nilai amatan atau estimasinya, huruf(ƭ) fungsi yg diaplikasikan pada sampel acak. Selain itu pada bab ini juga akan menggunakan notasi circumflex (yang biasa dibaca topi ) sebagai parameter. Parameter digunakan untuk membedakan antara nilai parameter yang lain dengan estimatornya. 9.2 Beberapa Metode Estimasi Metode Momen Mean sampel( ), yang dijelaskan di Bab 8 bahwa digunakan sebagai estimator dari mean populasi. Pendekatan umum yang menghasilkan estimator diketahui sebagai Metode Estimator Momen (MMEs). Misalkan pdf populasi tergantung pada satu atau lebih parameter. dirumuskan : (9.2.1) Definisi Jika adalah sampel acak dari, pertama moment sampel diberikan oleh (9.2.2) Seperti yang telah dibahas pada bab 2, momen pertama sebanding dengan rata-rata =, yang berarti bahwa momen pertama dari sampel akan sama dengan sampel rata-rata. Misalkan kasus sederhana yang parameternya tidak diketahui, dikatakan θ =. = 52

53 adalah estimator yang beralasan untuk mengestimasi = (θ) digunakan untuk menyelesaikan dalam permasalahan = (θ) sebagai estimator dari θ. Secara umum, metode momen digunakan sebagai estimator dari parameter dengan nilai yang membuat momen populasi sama dengan momen sampel, dengan kata lain, adalah solusi dari persamaan : ( ) (9.2.3) Contoh 9.2.1: Misalkan sampel acak dari distribusi dengan dua parameter yang tak diketahui, mean dan varians. Diketahui bahwa, merupakan metode momen pertama dan, sehingga MMEs adalah solusi dari persamaan dan ( ), dimana dan ( ) Metode Likelihood Metode Likelihood adalah suatu metode yang mengarah pada sifat-sifat estimator yang diinginkan, terutama untuk sampel besar, yaitu dengan menggunakan nilai dalam parameter yang berhubungan dengan kemungkinan terbesar untuk data pengamatan sebagai perkiraan dari parameter yang tak dketahui. Definisi Fungsi Likelihood Pdf bersama dari n variabel yang dinilai dengan, mengatakan bahwa tertunjuk sebagai fungsi Likelihood. Untuk yang tetap, fungsi kemungkinannya adalah sebuah fungsi dari dan sering ditulis dengan. Jika merepresentasikan sebuah sampel acak dari, maka : (9.2.4) Definisi Estimator MaksimumLikelihood.Misalkan, adalah pdf bersama dari. Untuk data pengamatan,, nilai dalam di mana maksimum maka disebut Estimator MaksimumLikelihood(MLE) dari. Yaitu, adalah nilai dari yang memenuhi : ( ) (9.2.5) Dalam penerapan fungsi likelihood, merepresentasikan pdf bersama dari sampel acak, walaupun kemungkinan maksimumnya juga dapat dipakai dalam kasus lain seperti dalam order statistik. Jika adalah selang terbuka, dan dapat diturunkan dan dimisalkan maksimum pada, maka MLE akan menjadi solusi dari persamaan : (9.2.6) Teorema Sifat Invarian Jika adalah MLE dari dan jika adalah sebuah fungsi dari, maka ( ) adalah MLE dari. 53

54 Contoh Misalkan sampel acak dari distribusi eksponensial, sampel berukuran n adalah. Fungsi kemungkinan untuk Dengan demikian, persamaan ini disamadengankan nol akan memberikan Jika kita ingin mengestimasi, maka kita tahu dari Teorema bahwa MLE-nya adalah ( ) Teorema Sifat Invarian Jika ( ) menunjukkan MLE dari, maka MLE dari ( ) adalah ( ) ( ( ) ( )) untuk Estimator dengan banyak parameter akan tidak sama seperti estimator tunggal ketika parameter yang lain diketahui. Contoh Misalkan sampel acak dari distribusi dengan dua parameter tidak diketahui,. Pdf populasinya adalah Fungi kemungkinannya adalah [ ] dan kemungkinannya dalam log adalah dimana adalah minimum dari. Kemungkinannya dimaksimalkan dengan mengikuti dengan mengambil. Untuk memaksimalkan secara relative ke, bisa diturunkan ( ) dengan mengikuti, dan menangani persamaan ( ) ( ) dengan hasilnya ( ) Persentil dari,, sedemikian hingga diberikan oleh, dan MLE dari adalah seperti pada Teorema

55 9.3 Kriteria Untuk Menilai Estimator Beberapa sifat dari estimator sebagai berikut : Estimator Unbiased Definisi Estimator unbiased. Suatu estimator T dikatakan estimatorunbiased τ(θ) jika memenuhi: E(T) = τ(θ) (9.3.1) Untuk semua θ Ω. Jika syarat tersebut tidak dipenuhi maka dikatakan T adalah sebuah estimator biased dari τ(θ). Contoh Diberikan sampel populasi berdistribusi normal dengan mean tidak diketahui, dan variance Interval parameter Ω = (-, ), nilai tengah (mean) dari distribusi normal, - < µ <.Akan diestimasi dengan 95% percentil, dalam distribusi N(µ,9). Contoh berikut ini dalam sebuah fungsi dari parameter, Karena,. Dengan estimator obyektif T = adalah estimator unbias dari, E(T) = E( +4.95) = E( )+4.95 = , dengan tidak memperdulikan nilai dari. Hal tersebut menunjukkan bahwa estimator unbiased memungkinkan untuk dijadikan estimator biased. Gambar 9.2 Jika T adalah estimator unbiased dari τ(θ), berdasarkan pertidaksamaan chebychev bahwa [ ] (9.3.3) Untuk semua. ini menunjukkan bahwa untuk estimator unbiased, satu dengan varians yang lebih kecil akan cenderung lebih terkonsentrasi dan dengan demikian mungkin lebih baik. Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimators (UMVUE) Definisi Diberikan τ(θ) dinamakan (UMVUE) dari τ(θ), jika : adalah sampel acak berukuran n dari ( θ). Sebuah taksiran T * dari 1. T * adalah obyektif untuk τ(θ) dan 2. Untuk taksiran obyektif lainnya T dari τ(θ), Var(T * ) Var (T) untuk semua θ Ω 55

56 Contoh Misalkan sampel acak dari sebuah distribusi eksponen, Pdf = ln = ln ln = ln [ ] [ ] karena Teorema Jika sebuah estimasi yang unbiaseduntuk τ(θ) ada, variansi yang memenuhi CRLB,maka hanya sebuah fungsi linearτ(θ) yang dapat dipakai sebagaiestimasiunbiased variannya memenuhi hubungan CRLB. Definisi Efisiensi. Suatu efisiensi relatif dari estimatorunbias T untuk τ(θ) diberikan oleh (9.3.7) Suatu estimator unbias T * untukτ(θ) dapat dikatakan efisien jika untuk semua estimator unbias T dari τ(θ), dan semua θ ϵ Ω. Efisiensi dari suatu estimatorunbias T untuk τ(θ) diberikan dengan : (9.3.8) Jika T * adalah suatu estimator efisien untukτ(θ) Definisi Jika T adalah sebuah estimatoruntuk τ(θ), maka bias adalah b(t) = E(T) - τ(θ) (9.3.9) dan mean squared error (MSE) dari T adalah MSE(T) = E[T - τ(θ)] 2 (9.3.10) Teorema Jika T adalah taksiran dari τ(θ), maka MSE(T) = Var(T) + [b(t)] 2 (9.3.11) 56

57 Bukti : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Kesalahan hasil kali rata-rata (MSE) adalah sebuah standar yang dapat beralasan dengan memperhatikan antara varians dan estimaunbiased. 9.4 Sifat-sifat untuk Sampel Besar Definisi Konsistensi Sederhana Misalkan { } suatu barisan estimator,estimator dikatakan estimator konsisten untuk jika setiap [ ], untuk setiap Ω (9.4.1) Definisi Konsistensi MSE Jika { } merupakan suatu barisan estimator, dapat dinamakan mean squared error konsisten dimana [ ], untuk setiap Ω (9.4.2) Definisi Asimtotik Unbiased Suatu barisan { } merupakan asimtotik unbiased jika, untuk semua Ω (9.4.3) Teorema Suatu barisan { } merupakan konsisten MSE jika dan hanya jika unbiased asimtotik dan Bukti : Berhubungan dengan teorema [ ] Karena keduanya menunjukkan bagian kanan tidak negatif, secara tidak langsung dan. 57

58 Contoh 9.4.1: Pada contoh 9.3.2, misalkan perbandingan terbalik dari mean sampel, dengan merupakan estimator, pada catatan sebelumnya. Dari persamaan diperoleh [ ] dan [ ] [ ], sehingga dan karena. Teorema Jika suatu barisan { } merupakan sederhana MSE konsisten maka juga merupakan konsisten Bukti : Dari ketidaksamaan Markov, dan sehingga [ ] mendekati 1 karena Teorema Jika { } adalah konsisten sederhana dari dan jika yaitu nilai kontinu lain, maka adalah konsisten sederhana dari ( ) Definisi Asymptotic Efficiency { } dan { } merupakan dua asimtotik unbiased barisan estimator. Maka asimtotik relative efisien (are) diperoleh dari (9.4.4) urutan { } merupakan asymptotic efficiency jika untuk semua urutan asimtotik unbiased { } lain, dan semua. asymptotic efficiency dari urutan asimtotik unbiased{ } diperoleh dari jika { } asymptotic efficiency. Contoh 9.4.3: Dari contoh terdapat, urutan ditunjukkan asimtotik objektif untuk Karena. Varian adalah [ ] [ ] dan CRLB adalah [ ] [ ] [ ] [ ] merupakan efisien asimtotik untuk mengestimasi 1/. Sifat-sifat Asimtotik dari MLE [ ] [ ] Jika memenuhi kondisi tertentu, maka penyelesaian persamaan MLE mempunyai sifat : 1. ada dan tunggal 2. merupakan estimator konsisten dari 3. merupakan normal asimtotik dengan mean asimtotik dan varian [ ] 58

59 4. merupakan asimtotik efisien Contoh : Misalkan sampel acak dari distribusi pareto dimana k tidak diketahui. Karena selanjutnya Dan persamaan ML adalah Didapat MLE Untuk mencari CRLB Sehingga [ ] Untuk mengevaluasi persamaan diatas dimisalkan dengan transformasi Sehingga [ ] [ ] [ ] ( ) 9.5 Estimator Bayes dan Minimax Ketika estimasi berbeda dari nilai kebenaran dengan parameter yang diestimasi, Sesuatu dapat mempertimbangkan hilangnya fungsi dari perbedaan ini. Jika diasumsikan bahwa peningkatan dengan kuadrat dari perbedaan, maka kriteria MSE hanya menganggap hilangnya kesalahan rata rata kuadrat yang terkait dengan kriteria MSE estimator. Definisi Loss Function Jika T merupakan estimator, maka Loss function adalah fungsi sembarang nilai real, untuk setiap t, dan (9.5.1) saat. (9.5.2) 59

60 Definisi Risk Function Risk Function didefinisikan menjadi [ ] (9.5.3) Jika suatu parameter atau fungsi dari parameter akan diestimasi, dapat dipilih loss function yang bergantung dengan masalah tersebut, dan ketika mencoba untuk menemukan estimator, risk function dari keduanya adalah kecil untuk semua nilai parameter kemungkinan. Definisi Admissible Estimator Sebuah estimator lebih baik daripada estimator jika dan hanya jika : untuk semua, dan untuk terakhir Sebuah estimator T merupakan Admissible estimator jika dan hanya jika tidak ada estimator yang lebih baik. Definisi Minimax Estimator Suatu estimator merupakan minimax estimator jika : θ θ untuk setiap estimator T (9.5.4). Maksimum dan minimum dapat diganti dengan konsep general dari batas atas terkecil dan batas bawah terbesar. Definisi Bayes estimator Untuk sampel acak, bayes estimator relative untuk fungsi resiko dan pdf adalah estimator dengan perkiraan resiko minimum, [ ] [ ] untuk setiap estimator (9.5.7) Definisi Distribusi Posterior Kepadatan bersyarat diberikan pengamatan sampel dinamakan kepadatan Posterior atau pdf posterior, dan diberikan oleh ( ) ( ) (9.5.8) 60

61 Teorema Jika merupakan sampel acak ( ) maka Estimator bayes adalah estimator yang meminimalisir kerugian relative nilai harapan distribusi posterior diberikan oleh [ ] Teorema Estimator Bayes T dari di bawah fungsi kuadrat error kerugian, [ ] (9.5.10) Adalah mean bersyarat relative untuk distribusi posterior [ ] (9.5.11) Contoh 9.5.4: Misalkan sampel acak berukuran n dari distribusi Bernoulli Contoh Berdasarkan sample acak berukuran n dari distribusi bernaulli ( ) Dan. Persamaan kepadatan posteriornya Untuk menunjukkannya menggunakan notasi distribusi beta. Variabel acak Y dari distribusi beta dengan parameter a dan b, Pdfnya dimana 0 < y < 1 dan y yang lain 0, dengan.. Untuk menunjukkan distribusi posterior, Dengan kata lain, ( ). Oleh karena itu [( ) ( )] Kuadrat error kerugian estimator Bayes adalah ( ) ( ) ( ) (9.5.12) Teorema Estimator Bayes dari dibawah error kerugian absolute ( ) (9.5.14) Adalah median dari distribusi posterior 61

62 Teorema Jika T* suatu estimator bayes dengan resiko konstan, maka T* estimator minimax Bukti : Misalkan, tapi karena konstanta atas, [ ] [ ] Untuk setiap T karena T* estimator bayes. Rata-rata dari suatu variable tidak lebih besar dari nilai maximum variable itu sendiri. Jadi [ ] dan Dimana T* adalah estimator minimax. Contoh : Berhubungan dengan distribusi prior dan posterior dalam contoh 9.5.4, disini kita mencari bobot kuadrat error kerugian, [ ] ( ) ( ) (9.5.15) Dengan ( ) ( ) Yang mana mean [ ] minimal saat integral yang terakhir minimal. Integral ini cocok untuk kondisi biasa ekspektasi kuadrat error kerugian relatif untuk distribusi posterior ( ). Dengan teorema 9.5.2, integral ini minimal saat t adalah mean dari ( ). Berarti ( ). Dimana dan estimator bayes adalah. Resikonya [ ] SOAL-SOAL LATIHAN 1. Tentukan MME dari yang bergantung pada sampel acak dengan dan 0 untuk yang lain, Penyelesaian : 62

63 [ ] [ ] ( ) Jadi MME dari adalah 2. Dapatkan MME dari sampel random berukuran n dari distribusi Penyelesaian : a. b. Jadi MME dari adalah 3. Dapatkan MME dari sampel random berukuran n dari distribusi dengan dan tidak diketahui Penyelesaian : a. b. Persamaan a = b 63

64 ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi MME dari adalah ( ) 4. Dapatkan MME dari sampel random berukuran n dari distribusi Penyelesaian : 1. = = E(x) = p = 5. Dapatkan MME dari sampel random berukuran n dari distribusi Penyelesaian : Dapatkan MME dari sampel random berukuran n dari distribusi dengan tidak diketahui Penyelesaian :

65 3. (1) = (2) Var (x) = - ( ) ( ) MME dari 7. Misalkan sampel acak dari distribusi eksponensial,. Fungsi kemungkinan untuk sampel berukuran n adalah Dengan demikian, Menyamakan persamaan ini ke nol akan memberikan Jika kita ingin mengestimasi, maka kita tahu dari Teorema bahwa MLE-nya adalah ( ) 8. Misalkan sampel acak dari distribusi pareto dimana k tidak diketahui. Karena selanjutnya Dan persamaan ML adalah Didapat MLE Untuk mencari CRLB Sehingga 65

66 [ ] Untuk mengevaluasi persamaan diatas dimisalkan dengan transformasi Sehingga [ ] [ ] [ ] ( ) 9. Diberikan populasi berdistribusi normal dengan mean tidak diketahui, namun variance Interval parameter tepat adalah Ω = (-, ), karena pada umumnya nilai tengah (mean) dari distribusi normal, - < µ <. Dengan keinginan untuk menaksir 95% bagian, dalam distribusi N(µ,9). Contoh berikut ini dalam sebuah fungsi dari parameter, karena. diikuti dengan T= adalah estimator obyektif dari, karena E(T) = E( ) = E( ) = , dengan tidak memperdulikan nilai dari. 10. Dari contoh sebelumnya terdapat, urutan ditunjukkan asimtotik objektif untuk. Varian adalah [ ] [ ] dan CRLB adalah [ ] [ ] [ ]Karena [ ] [ ] [ ] merupakan efisien asimtotik untuk mengestimasi 1/. 66

67 BAB X KECUKUPAN DAN KELENGKAPAN 10.1 PENDAHULUAN Pada Bab 9 dibahas mengenai penentuan estimasi titik dengan menggunakan sampel acak untuk mengestimasi parameter yang tidak diketahui pada populasi. Pada beberapa kasus, hal itu mungkin dapat ditunjukkan bahwa suatu bagian statistik atau himpunan dari statistik terdiri atas informasi pada sampel tentang parameter. Hal tersebut menjadi alasan pembatasan statistik ketika mengestimasi atau untuk melakukan inferensi tentang parameter. Jadi informasi dalam suatu sampel akan digunakan untuk melakukan inferensi tentang parameter. Pada umumnya istilah dari kecukupan meliputi reduksi suatu himpunan data atau ringkasan data dari statistik dengan tidak ada informasi yang diketahui dari parameter. Suatu statistik dinyatakan sebagai suatu sufficient/kecukupan statistik untuk suatu parameter jika distribusi bersyarat dari statistik yang lain diberikan nilai dengan tidak diketahui. Dengan kata lain, nilai awal dari suatu statistik kecukupan diketahui, nilai amatannya dari statistik yang lain termuat informasi yang lain tentang parameter. Contoh Soal Sebuah koin dilempar sebanyak kali dan hasil kejadian diamati untuk setiap lemparannya. Serta dimodelkan dalam sebuah sampel acak masing-masing berdistribusi Bernoulli. Dimisalkan tidak diketahui kondisi koin seluruhnya. Tentukan estimasi Hal itu terlihat merupakan jumlah keseluruhan muka yang muncul yaitu, memberikan banyak informasi tentang nilai sebagai hasil sebenarnya. Penyelesaian: dengan Diketahui bahwa sehingga pdf marginal Jika maka kejadiaannya [ ] dan [ ] ekuivalen,dan [ ] [ ] Jika maka pdfnya 0. Pada kasus lain, hal itu tidak melibatkan. Selanjutnya misalkan untuk statistik lain dan didefinisikan { } Pdf bersyarat dari diberikan yaitu: [ ] yang mana juga tidak memuat 67

68 10.2 STATISTIK KECUKUPAN Pada bab sebelumnya, suatu himpunan data akan dimodelkan matematika sebagai nilai pengamatan dari suatu peubah acak. Untuk memudahkan penulisan digunakan notasi vektor, dan nilai kemungkinannya. Dan juga mengikuti kemungkinan dari suatu vektor-nilai parameter dan vektor nilai statistik dan. Definisi Statistik Kecukupan Bersama Andaikan merupakan pdf bersama dari dan dengan k-dimensi statistik. Kemudian adalah suatu himpunan statistik kecukupan bersama untuk jika vektor statistik yang lainnya pdf bersyarat dari diberikan dinotasikan tidak bergantung pada. Pada kasus dimensi satu, dikatakan adalah statistik kecukupan bersama untuk Bila teramati, penambahan informasi tentang tidak dapat diberikan dari jika distribusi bersyarat diberikan adalah bebas. Diasumsikan bahwa adalah suatu sampel acak dari sebuah populasi dengan pdf dan untuk memudahkannya sering digunakan vektor sebagai sampel acak. Umumnya merupakan vektor lain pada pengamatan peubah acak, seperti sampel sensor atau himpunan lain dari order statistik. Tujuan utamanya adalah untuk mereduksi sampel menjadi himpunan terkecil dari statistik kecukupan atau dapat diartikan sebagai himpunan minimal dari statistik kecukupan. Jika parameter tidak diketahui pada model, maka sering terdapat suatu himpunan dari statistik kecukupan. Pada beberapa kasus, jumlah statistik kecukupan akan melebihi jumlah parameter dan pada beberapa kasus tidak ada reduksi pada jumlah statistik yang mungkin. Definisi Suatu himpunan dari statistik dikatakan himpunan minimal kecukupan jika anggota dari himpunan kecukupan bersama untuk parameter dan jika merupakan sebuah fungsi pada setiap himpunan lain statistik kecukupan bersama. Untuk contohnya, order statistik akan ditunjukkan menjadi statistik kecukupan bersama. Pada kasus tersebut menunjukkan suatu reduksi dari sampel, walaupun jumlah dari statistik pada kasus tersebut tidak tereduksi. Pada beberapa kasus, order statistik mungkin menjadi himpunan minimal kecukupan statistik, tetapi tentunya diharapkan bisa mereduksi sampel menjadi suatu jumlah terkecil dari statistik kecukupan bersama. Terlihat jelas bahwa satu dari semua kemungkinan statistik tidak diketahui dan digunakan definisi untuk memeriksa bahwa adalah suatu statistik kecukupan. Karena bisa ditulis menjadi suatu fungsi dari sampel, satu kemungkinannya 68

69 akan ditunjukkan bahwa adalah bebas dari Sesuai pada contoh , dengan merupakan suatu sampel acak dari distribusi Bernoulli. Bahwa asal mulanya yang sama dapat digunakan pada banyak situasi yang umum dengan adalah diskrit dan dan adalah nilai vektor. Andaikan bahwa dimana untuk dan dinotasikan dengan Dan analog dengan contoh , kondisi pdfnya dari diberikan dan ditulis sebagai : { Contoh Andaikan sampel acak dari suatu distribusi eksponensial, untuk Penyelesaian: Pdf tunggal. Tentukan estimasi Pdf bersama dari sampel acak ( ) misalkan S berdistribusi Gamma, sehingga pdfnya, Jika s= maka ( ) artinya pdf bersyarat tidak tergantung pada kemudian menurut persamaaan (10.2.1) merupakan statistik kecukupan untuk Suatu kriteria penyederhanaan didapat sebagai berikut. Khususnya, jika adalah statistik kecukupan bersama untuk, maka pdf bersama untuk sampel dapat difaktorkan kedalam suatu fungsi dari dan dari yang tidak melibatkan Sebaliknya andaikan bahwa dengan asumsi bahwa untuk tetap, tidak tergantung pada. Artinya jika pdf bersama dari nol, beberapa bagian dari maka harus diidentifikasi pada bagian hubungan dari dan, dan pada hubungan dan sebaliknya melibatkan x dengan. Jika hal tersebut tidak mungkin, maka pdf bersama benarbenar tidak sepenuhnya tetap pada bentuk keadaannya. Pada dasarnya, jika persamaan (10.2.2) beberapa fungsi dan, maka pdf marginalnya dari dapat dinyatakan dalam bentuk 69

70 Sehingga menjadi Atau yang mana tidak bergantung pada. Hal ini menunjukkan sebagai bukti pada teorema di bawah ini. Teorema Kriteria Faktorisasi Jika mempunyai pdf bersama dan jika maka adalah statistik kecukupan bersama untuk jika dan hanya jika dengan tidak bergantung pada, kecuali melalui, dan tidak bergantung Contoh Berdasarkan sampel acak pada contoh , dengan. Sebagai contoh misalkan sebagai statistik kecukupan dan secara langsung dengan pdf bersyarat untuk yang diberikan. Digunakan kriteria faktorisasi untuk menyederhanakan sampel acak tersebut Untuk dan pada kasus ini, didefinisikan jika semua atau 1, dan 0 untuk yang lain. Hal tersebut dinotasikan proporsi sampel, juga statistik kecukupan untuk Pada umumnya, jika suatu statistik dikatakan kecukupan untuk maka fungsi satu-satu dari juga kecukupan untuk Contoh Andaikan sampel acak berdistribusi uniform, dengan tidak diketahui. Gunakan kriteria faktorisasi untuk menyederhanakan sampel acak tersebut! Penyelesaian: Pdf bersama untuk adalah { Hal tersebut akan lebih mudah jika dituliskan dalam orde statistik minimum maksimum dari. Sehingga yang artinya bahwa. dan 70

71 Dengan jika dan 0 untuk yang lainnya, dan jika dan 0 untuk yang lainnya. Hal tersebut dari bentuk kriteria faktorisasi bahwa order statistik terbesar statistik kecukupan untuk Definisi Jika adalah suatu himpunan, maka fungsi indikator dari, dinotasikan dengan, didefinisikan sebagai { Pada contoh sebelumnya, jika dimisalkan maka sehingga bahwa Karena jika dan hanya jika persamaan (10.2.3) dan dengan dan Contoh Diberikan suatu sampel acak dari suatu distribusi normal, dengan dan tidak diketahui. Penyelesaian: Pdf bersama dari distribusi normal diberikan oleh [ ] Karena misalkan, [ ] Dan Maka dengan kriteria faktorisasi, dan adalah statistik kecukupan bersama untuk Catatan juga bahwa MLE, dan ( ), merupakan pemetaan satu-satu dari dan, sehingga dan juga merupakan statistik kecukupan bersama untuk dan 10.3 SIFAT-SIFAT STATISTIK KECUKUPAN Teorema Jika,, adalah kecukupan bersama untuk dan MLE tunggal dari, maka merupakan fungsi dari =(,, ). 71

72 Bukti: Dari kriteria faktorisasi, (,, ) (,, ) (10.2.3) yang merupakan nilai fungsi maksimum likelihood yang bergantung pada s, MLE tunggal maka menyatakan fungsi dari s. Jika Contoh Diberikan diskrit dengan pdf dan ={0,1}, maka dengan menggunakan fungsi indikator Jika maka kecukupan untuk, dapat dilihat dengan kriteria faktorisasi dan s (ada lebih dari satu MLE) menghasilkan MLE, menghasilkan MLE, ini sesuai dengan estimasi maksimum untuk menetapkan setiap. bukan fungsi S karena,, sehingga Teorema Jika S kecukupan untuk maka setiap estimator Bayes menjadi fungsi S. Bukti: Fungsi (,, ) pada kriteria faktorisasi tidak bergantung pada, sehingga persamaan Posterior density ( ) ( ) Telah disebutkan sebelumnya bahwa order statistiknya adalah kecukupan bersama. Teorema Untuk mendapatkan,, dan terkait,, Jika,, sampel acak distribusi kontinu dengan pdf, maka bentuk order statistiknya himpunan kecukupan bersama untuk. Bukti: Untuk mencari,, dan nol untuk yang lain 72

73 Secara umum, statistik kecukupan melibatkan UMVUE. Teorema Rao-Blackwell.,, memiliki pdf bersama dan =(,, ) statistik kecukupan bersama untuk. Jika T estimator unbias dari dan jika T*= ( ), maka 1. T* estimator unbias dari 2. T* fungsi dari S 3. Var (T*) Var (T) untuk semua dan Var (T*) Var (T) untuk beberapa kecuali jika T*=T dengan probablitas 1. Statistik kecukupan, tidak bergantung dan * ( ) estimator fungsi S, didapat ( *) ( *) = [ ( )] = (teorema 5.4.1) = (persamaan 9.3.1) Var(T) = Var[ ( )] + [ ar( )](teorema 5.4.3) Var[ ( )] = Var(T*) Jika dan hanya jika [ ar( )] = 0, yang mana terjadi jika dan hanya jika ar( ) = 0 dengan probabilitas 1 atau ekivalen dengan T= ( ) = T* KELENGKAPAN DAN KELAS EKSPONENSIAL Definisi Kelengkapan. Sebuah keluarga dari pdf { }, disebut lengkap jika [ ] untuk semua maka dengan probabilitas 1 untuk semua. Terkadang ditunjukkan dengan tidak adanya estimator unbias nontrivial dari nol. Maksudnya 2 fungsi berbeda dari T tidak dapat memiliki nilai ekspektasi yang sama. Sebagai contoh : [ ] dan [ ], maka [ ] dengan probabilitas 1, jika keluarga pdf lengkap. Untuk keadaan ini estimator unbias tunggal. 73

74 Syarat keluarga pdf statistika kecukupan lengkap : 1. Fungsi unbias dari statistik kecukupan harus tunggal 2. Ada UMVUE oleh teorema Rao-Blackwell. Statistik kecukupan dengan pdf yang anggota keluarganya lengkap disebut statistik kecukupan lengkap. Teorema Lehmann-Scheffe.,, memiliki pdf bersama dan statistik kecukupan lengkap untuk. Jika T*= * merupakan statistik unbias untuk dan fungsi, maka T* adalah UMVUE dari Bukti: Fungsi dan estimator unbias pasti sama dengan T* dengan probabilitas 1. Jika T order statistik dengan estimator unbias, maka dari teorema Rao-Blackwell ( ) juga unbias untuk dan fungsi, jadi dengan ketunggalan, T*= ( ) dengan probabilitas 1. Selanjutnya, Var (T*) Var (T) untuk semua. Dengan begitu T* adalah UMVUE dari Contoh Diberikan,, sampel acak dari distribusi Poisson,, Pdf : dengan kriteria faktorisasi, merupakan statistik kecukupan. dengan, sehingga fungsi [ ] Karena, agar [ ] untuk setiap koefisien harus nol. Jika maka. Dengan kelengkapan, fungsi tunggal dan unbias untuk ( ) maka dari teorema jelas bahwa adalah UMVUE dari. 74

75 Definisi Kelas Eksponensial. Suatu pdf dikatakan Regular Exponential Class (REC) jika dapat dinyatakan dalam bentuk [ ] (10.4.1) Dan nol untuk yang lain, dimana vektor dari parameter tidak diketahui-k, jika parameter ruang dalam bentuk { } ( dan ), dan jika memenuhi: 1. Himpunan { } tidak bergantung pada 2. Fungsi nontrivial, independen, kontinu dari 3a. Untuk variabel acak kontinu, turunan tidak bergantung secara linear pada atas 3b. Untuk variabel acak diskrit, nontrivial pada atas, dan tidak ada fungsi linear yang lain. anggota dari REC atau REC sederhana. Contoh Suatu distribusi Bernoulli, { [ ]} { } Dari definisi diperoleh : REC dengan [ ] Teorema Jika,, sampel acak dari anggota REC maka Merupakan statistik kecukupan lengkap minimum untuk. Contoh Pada contoh ,. Untuk sampel acak n, dan merupakan statistik kecukupan lengkap untuk. Maka UMVUE dengan Var Coba ( ) [ ( )] ( ) ( ) 75

76 [ ( )] ( ) [ ( ) ( )] [ ( )] ( ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( ) ] [ ( ] UMVUE dari adalah ( ) dimana Contoh Jika, maka [ ] [ ] Untuk sampel acak, dan adalah lengkap bersama dan statistik kecukupan dari dan. Karena MLE fungsi satu-satu dari dan maka bisa digunakan pada statistik kecukupan lengkap bersama ini. Teorema Jika T suatu estimator CRLB ada untuk, maka statistik kecukupan tunggal ada dan T fungsi statistik kecukupan. Sebaliknya, jika statistik kecukupan tunggal ada dan CRLB ada maka ada suatu estimator CRLB untuk beberapa. Teorema Jika CRLB ada, maka ada suatu estimator CRLB untuk beberapa jika dan hanya jika pdf anggota REC. Selanjutnya, estimator CRLB dari menjadi ( ), dimana merupakan MLE dari. Definisi Suatu pdf dikatakan anggota Range-Dependent Exponential Class (RDEC) jika memenuhi kondisi 2 dan 3a atau 3b dari definisi untuk dan jika dalam bentuk [ ] (10.4.2) dimana dan 76

77 Keadaan khusus meliputi 1. Keadaan satu parameter, dimana dengan { } 2. Keadaan dua parameter, dimana dengan { } Teorema Diberikan,, sampel acak dari anggota RDEC. 1. Jika, maka, dan dimana adalah kecukupan bersama untuk 2. Keadaan dua parameter, dan merupakan kecukupan bersama untuk 3. Keadaan satu parameter, dan merupakan kecukupan bersama untuk. Jika naik dan turun, maka [ ] statistik kecukupan tunggal untuk. Jika turun dan naik, maka [ ] statistik kecukupan tunggal untuk. Contoh Diberikan pdf {, fungsi turun untuk, fungsi naik untuk dari teorema didapat [ ] [ ] adalah statistik kecukupan tunggal untuk. Teorema Diberikan,, sampel acak dari anggota RDEC 1. Jika dan batas bawah konstan,, maka dan adalah kecukupan bersama untuk dan. Jika batas atas konstan,, maka dan adalah kecukupan bersama untuk dan. 2. Keadaan satu parameter, jika tidak bergantung pada maka kecukupan untuk, dan jika tidak bergantung pada maka kecukupan untuk. 77

78 Contoh Distribusi eksponensial dengan 2 parameter, [ ] ; ; Jika,, sampel acak dari teorema bahwa dan adalah statistik kecukupan untuk. bukan fungsi parameter, jadi tidak terlibat. Jika diketahui,, maka [ ] ; [ ] ; ; ; kecukupan untuk. Konsisten dengan hasil sebelumnya, dimana didapat estimator atas yang lebih baik dari estimator atas statistik lain seperti. Teorema Basu. Andaikan,, mempunyai pdf bersama (,, );. Dimisalkan =(,, ) dimana,, adalah kecukupan bersama untuk, dan statistik lain. Jika distribusi tidak memuat, maka dan Bukti : Untuk keadaan diskrit, dinotasikan dan ( ) adalah pdf dari,, dan pdf bersyarat terhadap. Nilai ekspektasi relative terhadap distribusi. [ ( )] ( ) Karena statistik kecukupan lengkap, ( ) yang meannya dan adalah stokastik independen. Dengan cara yang sama untuk kasus kontinu 78

79 Contoh Diberikan sampel acak berukuran n dari distribusi Normal, dan MLE, dan ( ). Mudah untuk membuktikan bahwa statistik kecukupan lengkap untuk. Untuk menetapkan nilai dari, dari persamaan maka substitusikan persamaan yaitu ( ) ke persamaan diatas ( ) ( ) yang tidak bergantung pada. dan variabel acak independen. dan statistik kecukupan dan kelengkapan bersama untuk dan. Jumlah dari bentuk ( ) adalah distribusi independen terhadap dan, jadi jumlah ( ) stokastik independen terhadap dan RINGKASAN : Pada bab ini dijelaskan mengenai konsep kecukupan dan kelengkapan. Jika statistik adalah kecukupan, maka memuat semua informasi dalam data terhadap parameter yang tidak diketahui dari distribusi. Jika sebuah statistik adalah kecukupan dan MLE tunggal ada, maka MLE adalah fungsi statistik kecukupan. Statistik kecukupan juga penting dalam konstruksi UMVUE. Jika statistik lengkap sebaik kecukupan untuk sebuah parameter, dan jika estimator unbias dari parameter ada, maka UMVUE ada dan merupakan fungsi statistik kecukupan lengkap. Kadang sulit untuk dibuktikan kelengkapan secara langsung dari definisi, tetapi sebuah kelas khusus dari pdf, kelas eksponensial, memberikan cara tepat untuk memperkenalkan statistik kecukupan lengkap. SOAL-SOAL LATIHAN 1. Diberikan adalah sampel acak berdistribusi Poisson, Tunjukkan bahwa adalah statistik kecukupan untuk! (Petunjuk : Gunakan persamaan ) Penyelesaian : Pdf dari distribusi Poisson yaitu : Sedangkan pdf bersama untuk distribusi Poisson yaitu : 79

80 Diketahui bahwa maka diperoleh Jika maka Sedangkan 0 untuk yang lainnya. Karena pdf tersebut tidak bergantung pada persamaan bahwa adalah statistik kecukupan untuk maka menurut 2. Diberikan sebuah sampel acak berukuran berdistribusi geometrik, Gunakan persamaan untuk menunjukkan bahwa adalah statistik kecukupan untuk. Penyelesaian : Untuk distribusi Geometrik, pdf diberikan oleh { Sedangkan pdf bersamanya yaitu : { Sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk faktorisasi dan { Karena dapat dinyatakan dalam bentuk faktorisasi maka adalah statistik kecukupan untuk. 3. Diberikan adalah sampel acak berdistribusi Gamma, Tunjukkan bahwa adalah statistik kecukupan untuk. a. Dengan menggunakan persamaan b. Dengan menggunakan kriteria faktorisasi Penyelesaian : a. Pdf dari distribusi Gamma yaitu : Sedangkan pdf bersama untuk distribusi Gamma yaitu : Diketahui bahwa maka diperoleh Jika maka 80

81 Sedangkan 0 untuk yang lainnya. Karena pdf tersebut tidak bergantung pada persamaan bahwa adalah statistik kecukupan untuk maka menurut b. Sedangkan pdf bersamanya yaitu : { Sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk faktorisasi dan { Karena dapat dinyatakan dalam bentuk faktorisasi maka adalah statistik kecukupan untuk. 4. Diberikan adalah sampel acak berdistribusi Normal,. a. Tentukan kecukupan statistik tunggal untuk dengan diketahui. b. Tentukan kecukupan statistik tunggal untuk dengan diketahui. Penyelesaian : Akan ditunjukkan bahwa adalah statistik kecukupan untuk. Fungsi Likelihood pada sampel tersebut yaitu : ( ) ( ) Ketika berikut : diketahui maka dengan menggunakan kriteria faktorisasi didapatkan sebagai ( ) dan ( ) Karena dapat dinyatakan dalam bentuk faktorisasi maka adalah statistik kecukupan untuk Akan ditunjukkan bahwa adalah statistik kecukupan untuk. Ketika berikut : diketahui maka dengan menggunakan kriteria faktorisasi didapatkan sebagai ( ) dan 81

82 Karena dapat dinyatakan dalam bentuk faktorisasi maka adalah statistik kecukupan untuk 5. Pada contoh soal no 2 di atas, tentukan estimator dari dengan dan bandingkan dengan MLE pada p. Penyelesaian : Untuk distribusi geometrik, pdf diberikan oleh { Fungsi Likelihoodnya ( ) Jadi estimator dari dengan yaitu 6. Misalkan, sampel acak n dari Distribusi Weibull,. a. Cari statistik kecukupan untuk dengan diketahui,. b. Jika tidak diketahui, cari statistik kecukupan tunggal untuk? Penyelesaian: a. statistik kecukupan untuk dengan diketahui, [ ] [ ] [ ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ] [ ] 82

83 Dan Maka dengan kriteria faktorisasi, merupakan statistik kecukupan untuk. b. statistik kecukupan tunggal untuk [ ] Karena [ ( ) ] [ ] [ ] Dan Maka dengan kriteria faktorisasi, merupakan statistik kecukupan tunggal untuk. Dan hanya terjadi jika n=1 7. Misalkan sampel acak dari Distribusi Eksponensial 2 parameter,. Tunjukkan dan kecukupan bersama untuk. Penyelesaian: Distribusi eksponensial dengan 2 parameter, [ ] ; ; Jika,, sampel acak dari teorema bahwa dan adalah statistik kecukupan bersama untuk. bukan fungsi parameter, jadi tidak terlibat. 8. Misalkan sampel acak dari Distribusi Beta,. Cari statistik kecukupan bersama untuk. Penyelesaian: Untuk sampel acak, Adalah lengkap bersama dan statistik kecukupan dari. Karena MLE fungsi satusatu dari maka bisa digunakan pada statistik kecukupan lengkap bersama. 9. Misalkan sampel acak dari Distribusi Bernoulli, ;. a. Cari UMVUE dari 83

84 b. Cari UMVUE dari. Penyelesaian:. Untuk sampel acak n, dan merupakan statistik kecukupan lengkap untuk. a. UMVUE dari Var Menggunakan ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ( )] [ ( )] ( ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( ) ] [ ( ] UMVUE dari adalah ( ) dimana b. UMVUE dari Menggunakan ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ( )] [ ( )] ( ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( ) ] UMVUE dari adalah [ ( ] [ ( )] [ ( ] [ ( ] [ ( ] 84

85 10. Misalkan sampel acak dari Distribusi Poisson, ;. Cari UMVUE dari [ ]. Penyelesaian: pdf dengan kriteria faktorisasi, sehingga fungsi merupakan statistik kecukupan. [ ] Karena, agar [ ] untuk setiap koefisien harus nol. Jika maka. Dengan kelengkapan, fungsi tunggal dan unbias untuk ( ) maka dari teorema jelas bahwa adalah UMVUE dari. 85

86 BAB XI ESTIMASI INTERVAL 11.1 PENDAHULUAN Masalah estimasi titik telah dibahas dalam Bab 9. Selanjutnya, Pada bab ini akan dijelaskan mengenai estimasi interval, bagaimana mendapatkan nilai sebenarnya dari estimasi yang diharapkan. Beberapa informasi pada pertanyaan ini disediakan dengan mengetahui varians atau MSE estimator. Pendekatan lain akan mempertimbangkan perkiraan interval, bahwa sebuah interval tersebut akan berisi nilai parameter yang sebenarnya Contoh Pada contoh 4.6.3, daya tahan hidup yang diamati (dalam bulan) dari 40 sampel lampu yang diberikan dalam tabel sebagai berikut, Tabel Diasumsikan bahwa data suatu sampel acak berukuran 40 dan berdistribusi eksponensial,, dimana adalah mean (rata-rata). Pada contoh ditemukan sampel mean adalah UMVUE dari. Untuk data yang telah diberikan, estimasi dari adalah bulan. Meskipun diketahui bahwa estimasi ini berdasar pada sebuah estimator sifat yang optimal, sebuah estimasi titik sendiri tidak memberikan informasi yang akurat. Penyelesaian dari masalah ini yakni dengan memperoleh interval yang batas atas dan batas bawah yang mencakup nilai parameter yang sebenarnya diantara yang lainnya dengan probabilitas mendekati 1. [ ]=(1 )100% Selanjutnya perhatikan Contoh 9.3.2, dan diketahui persentil dari distribusi chi-square telah diberikan pada table 4 (Appendix C). Misalkan dan dan diperoleh dan. Sehingga diperoleh [ ], [ ] Pada umumnya, sebuah interval dengan batas atas dan batas bawah acak disebut interval acak. Namun pada contoh 9.3.2, interval ( ) adalah interval acak dengan nilai parameter yang sebenarnya dengan tingkat kepercayaan Jika diganti dengan, maka interval yang dihasilkan. Mengacu pada interval kepercayaan sebesar 95 % untuk. Dikarenakan estimasi interval telah diketahui memiliki titik akhir, tidak tepat dikatakan bahwa isi nilai sebenarnya dari dengan probabilitas Bahwa, parameter, yang meskipun tidak diketahui, itu konstan dan pada interval tertentu 86

87 baik atau tidaknya berisi. Namun faktanya bahwa probabilitas dari interval acak 0.95 menegaskan 95 % kepercayaan bahwa. Dalam bab ini juga akan membahas definisi interval kepercayaan dan mendiskusikan tentang metode umum untuk menurunkan interval kepercayaan 11.2 INTERVAL KEPERCAYAAN Misal pdf bersama, dimana adalah sebuah interval. adalah statistik, dengan l dan u. Jika sebuah data percobaan diberikan, maka dapat diamati nilai l dan u. Definisi Interval Kepercayaan. Sebuah interval ( l, u ) dinamakan 100 interval kepercayaan untuk jika [l u] (11.2.1) Dimana. Nilai pengamatan l dan u masing-masing dinamakan batas bawah dan batas atas limit kepercayaan. Notasi lainnya yang sering ditemukan di literatur statistika yakni untuk batas bawah limit kepercayaan dan batas atas limit kepercayaan. Kadang-kadang digunakan juga notasi ringkas l l dan u u untuk pengamatan limit yang dinotasikan. Sebenarnya, perbedaan diantara interval acak dan interval pengamatan (l u ) dijelaskan sebelumnya. Kondisi ini dianalogikan untuk perbedaan estimasi titik antara estimator dan estimasinya. Terminologi lainnya, yang mana berguna untuk mempertahankan perbedaannya disebut sebuah estimator interval dan (l u ) sebuah estimasi interval, dengan adalah koefisien kepercayaan dan 1- adalah tingkat kepercayaan. Mungkin penafsiran yang paling umum dari interval kepercayaan berdasar pada probabilitas sifat frekuensi relatif. Spesifiknya, jika estimasi interval dihitung dari banyaknya sampel perbedaan, maka kita berharap di sekitar interval 100 yang termasuk nilai sebenarnya. Bahwa, kepercayaan kita adalah di metode dan karena Definisi (11.2.1), tingkat kepercayaan langsung di probabilitas sifat frekuensi. 87

88 Definisi Limit Kepercayaan Satu Arah 1. Jika [l ] (11.2.2) maka l l disebut Batas bawah satu arah 100 limit kepercayaan untuk 2. Jika [ u ] (11.2.3) maka u u disebut Batas atas satu arah 100 limit kepercayaan untuk Ini mungkin tidak selalu jelas bagaimana memperoleh limit kepercayaan yang memenuhi Definisi maupun Jika sebuah kecukupan tunggal statistik ada, maka satu kemungkinan untuk menemukan limit kepercayaan yakni fungsi. Disisi lain, statistik yang lainnya yakni MSE, mungkin diberikan Contoh : Ambil sampel acak yang berukuran n dari distribusi eksponensial, dan diharapkan dapat diperoleh batas bawah satu arah limit kepercayaan untuk. Tentukan interval kepercayaan dengan parameter! Penyelesaian: Diketahui bahwa adalah kecukupan untuk dan juga. Telah dijelaskan di bab 8, persentil ke-, dapat dilihat di tabel 4 (Appendix C). Dengan demikian, [ ] [ ] Jika dapat diamati, maka batas bawah satu arah limit kepercayaan diberikan oleh l (11.2.4) Sama halnya, batas atas satu arah limit kepercayaan diberikan oleh u (11.2.5) Perhatikan bahwa dalam kasus batas atas, harus digunakan nilai ketika membaca tabel 4. Contoh, jika batas atas 90 % limit kepercayaan diperoleh dari. Untuk sampel ukuran, persentil yang diperlukan yakni, sehingga batas atas limit kepercayaan yakni u. Anggaplah bahwa diinginkan limit kepercayaan untuk. Jika dipilih nilai dan seperti, maka 88

89 Dan dengan demikian, Pada umumnya di misalkan akan berarti [ ] [ ], yang mana diketahui sebagai equal tailed choice dan Sehingga interval kepercayaannya ( ) (11.2.6) Pada umumnya, untuk penentuan tingkat kepercayaan, kita ingin menggunakan metode yang akan menghasilkan interval dengan mengoptimalkan sifat seperti panjang minimal. Sebenarnya, panjang,, sesuai dengan interval acak pada umumnya akan menjadi variabel acak, jadi standar seperti Panjang Ekspektasi Minimum akan lebih tepat. Untuk beberapa masalah, equal tailed choice dan akan disediakan panjang ekspektasi maksimum, tetapi tidak untuk yang lain. Contohnya, interval (11.2.6) contoh sebelumnya tidak memiliki sifat (lihat latihan 26). Contoh Diberikan sampel acak dari distribusi normal., dimana diasumsikan telah diketahui. Dalam kasus ini, adalah kecukupan untuk. Tentukan interval kepercayaan dari! Penyelesaian: Telah diketahui ( ) (0,1). Dari kesimetrian, juga tahu bahwa, dengan demikian [ ( ) ] [ ] Bahwa interval kepercayaan untuk diberikan oleh Untuk contoh 95% interval kepercayaan, ( ) maka [ ( ) ] [ ] [ ] Sehingga diperoleh interval kepercayaan untuk ( ) Perhatikan permasalahan ini tidak dapat diterima jika tidak diketahui, karena limit kepercayaan tergantung pada parameter yang tidak diketahui dan tidak dapat dihitung. Dengan sedikit modifikasi diperoleh interval kepercayaan untuk dan adalah parameter yang sulit diketahui. Kesulitan utama dalam menentukan interval yang muncul di kasus 89

90 multiparameter adalah dimana parameter yang sulit diketahui ada. Untuk permasalahan ini aka nada di bagian selanjutnya. Di kasus multiparameter mungkin diinginkan daerah kepercayaan bersama bahwa berlaku juga untuk semua parameter secara serentak. Daerah kepercayaan untuk parameter tunggal, di kasus satu dimensi, akan ada beberapa keadaan selain dari interval. Pada umumnya, jika, maka daerah lainnya di adalah 100 daerah kepercayaan jika probabilitas bahwa mengandung nilai sebenarnya METODE KUANTITAS PIVOT Misalkan dengan pdf bersama dan dengan harapan untuk mendapatkan batas kepercayaan dimana parameter parameter lain juga ada. Definisi (Kuantitas Pivot) Jika Q = adalah peubah acak dari suatu fungsi dengan peubah dan, maka Q dikatakan kuantitas pivot jika distribusinya tidak bergantung dan parameter yang lain Contoh Dalam contoh , terdapat peubah acak yang berdistribusi chi square dan kuantitas pivot Q =. Bagaimana mendapatkan Q dari pernyataan probabilitas ke bentuk batas kepercayaan untuk? Penyelesaian : Jika Q adalah kuantitas pivot untuk parameter dan jika persentil Q dimisalkan ada sehingga terdapat [ < ] (11.3.1) maka untuk sampel yang diselidiki dan daerah kepercayaan untuk sebesar 100 merupakan bagian dari dengan < (11.3.2) Dengan kata lain daerah kepercayaan tidak akan memerlukan suatu interval. Namun di sisi lain, terdapat satu keadaan yang penting untuk mendapatkan interval kepercayaan ketika untuk suatu sampel acak dengan fungsi adalah monoton naik atau monoton turun terhadap fungsi. Ini juga mungkin digunakan untuk menentukan distribusi apa yang akan digunakan untuk mendapatkan kuantitas pivot. Teorema Diberikan adalah sampel acak dari suatu distribusi dengan pdf untuk dan diasumsikan MLE ada. 1. Jika adalah parameter lokasi, maka Q = adalah kuantitas pivot 2. Jika adalah parameter skala, maka Q = adalah kuantitas pivot 90

91 Untuk pengertian parameter lokasi dan parameter skala telah dibahas di subbab 3.4 hal.124 pustaka utama dan tentang MLE telah dibahas pada subbab 9.4 hal.316 pustaka utama tentang sifat sifat asimtotik. Teorema Diberikan adalah sampel acak dari suatu distribusi dengan parameter lokasi-skala = jika MLE dan ada, maka ( ) dan adalah representasi dari kuantitas pivot dan Perlu diperhatikan bahwa ( ) yang berdistribusi dengan parameter bebas, bukan kuantitas pivot kecuali jika diketahui, atau dengan kata lain tidak nol Contoh Diberikan sampel acak dari distribusi normal,, dimana dan tidak diketahui. Jika dan adalah MLE (Maximum Likelihood Estimator) maka dan adalah kuantitas pivot, maka tentukan interval kepercayaan untuk setiap parameter dengan mempertimbangkan parameter lainnya! Penyelesaian : Seperti yang telah dibahas pada bab 9, MLE akan sesuai untuk menyatakan hasil dari bentuk estimasi unbias dengan mengambil kemudahan dari bentuk distribusi yang berkaitan dengan, yang telah diketahui berikut. Jika dinotasikan dengan sampel acak dari, maka distribusi t (11.3.3) dan distribusi chi-square (11.3.4) Jika = adalah persentil ke dari distribusi T-Student dengan derajat kebebasan ( [ ), maka ] = [ ] = [ sehingga nilai mean dari 100 terhadap interval kepercayaan untuk adalah ( ) (11.3.5) dengan memperhatikan nilai dan s Dengan cara yang sama, jika dan adalah masing masing persentil ke dan dari distribusi Chi-square dengan derajat kebebasan, maka ] 91

92 [ ] = [ ]] = [ ] sehingga nilai means dari 100 terhadap interval kepercayaan untuk adalah ( ) (11.3.6) Pada dasarnya, jika adalah interval kerpercayaan dari 100% untuk parameter θ dan jika τ(θ) adalah fungsi monoton naik terhadap θ Ω maka (τ, τ ) adalah interval kerpercayaan dari 100% untuk parameter τ(θ) Contoh Dalam contoh tentang sampel acak berukuran n dari distribusi Weibull telah dibahas. Untuk soal ini yang ditanyakan adalah tentukan kuantitas pivot untuk parameter! Penyelesaian : Walaupun distribusi Weibull bukan model lokasi-skala, namun tidaklah sulit untuk menunjukkan bahwa distribusi dari Y i = ln X i mempunyai suatu nilai ekstrim terhadap distribusi dalam suatu model lokasi-skala. Secara khusus akan dituliskan sebagai berikut =, dari teorema (11.3.7) dimana. Hubungan antara parameter parameternya adalah dan, dengan demikian (11.3.8) dan (11.3.9) adalah kuantitas pivot dari Jika dan jika adalah CDF dari, dari teorema hal.201 pustaka utama, tentang probabilitas transformasi integral, maka dan Untuk sampel acak maka juga bisa didekati dengan distribusi Chi-Square ( ) sehingga [ ] ( ) 92

93 Jika fungsi monoton, maka 1, maka bisa didekati dengan ( ) ( ) Contoh Diberikan sebuah sampel acak dari distribusi Pareto PAR. Tentukan interval kepercayaan dari 100%! Penyelesaian : CDF = 1, x > 0 gunakan persamaan ( ) ( ) ( ( )) =, sehingga sehingga dengan distribusi chi-square interval kepercayan dari dari 100( ( ) )% adalah PENDEKATAN INTERVAL KEPERCAYAAN Diberikan adalah sampel acak dengan pdf. Berdasarkan penjelasan di bab 9, MLE normal asimtotik dalam suatu kondisi. Contoh Diberikan sampel acak berdistribusi Bernoulli, BIN. Tentukan pendekatan interval kepercayaannya! Penyelesaian : MLE dari p adalah =. Kita juga tau bahwa adalah kecukupan dan bahwa, namun tidak ada kuantitas pivot untuk p, dengan teorema limit pusat ( ) untuk sampel berukuran n, mencari interval kepercayaan [ ] ( ) Pendekatan ini dapat ditingkatkan dengan menggunakan koreksi secara kontinu, yang dibahas pada bab 7, namun di sini tidak ditekankan. Batas untuk suatu pendekatan

94 merupakan interval kepercayaan untuk p yang didapatkan dari menyelesaikan penyelesaian dari adalah ( ) dan penyelesaian dari ( ) secara umum adalah ( ) saat yang telah ditunjukkan pada contoh hal.249 pustaka utama, maka untuk sampel yang berukuran, hasil pendekatannya [ ( ) dengan nilai pendekatan interval kepercayaannya ] ( ) ( ) Contoh Diberikan sampel acak berukuran n dari distribusi Poisson. Tentukan pendekatan interval kepercayaannya! Penyelesaian :, dengan Teorema Limit Pusat ( ) dengan teorema (teorema Slutsky) Jika dan adalah dua barisan variabel acak yang mana dan, untuk untuk kejadian khusus, maka ( ) saat ( ), peubah peubah acak dapat digunakan untuk menentukan pendekatan dari interval kepercayaan, walaupun ( ) lebih tepat digunakan

95 11.4 METODE UMUM Jika kuantitas pivot tidak sesuai saat digunakan, maka masih bisa menentukan daerah kepercayaan untuk parameter jika terdapat data statistik dengan distribusinya yang bergantung pada parameter, tapi tidak untuk parameter lain yang tidak diketahui. Misal diberikan dengan pdf bersama dan S =. Lebih baik jika S akan di cukupi terhadap, atau beberapa kemungkinan estimator lain seperti MLE. Sekarang untuk setiap kemungkinan nilai diasumsikan bahwa dapat ditentukan nilai dan sehingga [ ] (11.4.1) Jika memperhatikan S = s, maka bagian dari nilai θ Ω sesuai dengan dari daerah kepercayaan 100 %. Dengan kata lain, jika bernilai benar atau sesuai dengan, maka akan menjadi daerah kepercayaan jika dan hanya jika, yang mempunyai tingkat kepercayaan 100 %, karena persamaan [ ] sesuai saat dalam kasus ini. Selanjutnya sering dikatakan bahwa dan adalah fungsi monoton naik atau monoton turun terhadap, dengan hasil daerah kepercayaannya berupa suatu interval Contoh Diberikan sampel acak berukuran n dari distribusi kontinu dengan pdf dengan. Dapatkan interval kepercayaan sebesar 95% untuk menurut statistik S =! Penyelesaian : dengan, tidak ada statistik kecukupan tunggal, tapi dan adalah kecukupan bersama terhadap. Hal ini diinginkan untuk mendapatkan interval kepercayaan sebesar 90% untuk menurut statistik S =. CDF dari S adalah Suatu kemungkinan untuk memilih fungsi dan yang sesuai dengan [ ], sehingga didapat penyelesaian ( ; ) dan ( ; ) 95

96 Fungsi dari dan untuk metode umum mengkonstruksi suatu selang kepercayaan digambarkan pada grafik berikut: Grafik 11.1 dengan dan Grafik 11.1 terdiri atas parameter dan,dengan n = 10. Umumnya jika dan keduanya naik, maka titk akhir dari suatu interval kepercayaan dapat diputuskan dengan meperhatikan sebagai penyelesaian untuk batas bawah yaitu dan untuk batas atas yaitu. Pernyataan bahwa adalah interval kepercayaan dari 100 digambarkan dalam grafik berikut. Grafik

97 Teorema Diberikan statistik S adalah kontinu dengan CDF dan diberikan dan adalah fungsi dengan ( ; ) (11.4.2) (11.4.3) dan ( ; ) terhadap θ Ω, dimana 0 < <1 dan 0 < <1. Misalkan suatu nilai yang diperhatikan dari dan jika dan adalah fungsi naik dengan parameter, maka pernyataan (11.4.4) berikut beralasan : (11.4.5) 1. Batas bawah satu arah dari 100 adalah pendekatan kepercayaan untuk,dengan penyelesaian 2. Batas atas satu arah dari 100 adalah pendekatan kepercayaan untuk,dengan penyelesaian 3. Jika dan 0 < <1, maka adalah interval kepercayaan 100 untuk parameter Contoh Misalkan sampel acak berdistribusi eksponensial dan S = adalah kecukupan bersama dengan, tentukan dan! Penyelesaian : Diketahui dan S = adalah cukup bersama dengan. Karena S = adalah cukup bersama dengan, maka 2S/. Untuk [ ] = [ ] yang berakibat, sehingga ini adalah fungsi naik terhadap dan penyelesaian dari merupakan batas atas satu arah dari 100, dengan. Untuk [ ] = [ ] yang berakibat, sehingga ini adalah fungsi naik terhadap dan penyelesaian dari merupakan batas bawah satu arah dari 100, dengan

98 Teorema Diberikan statistik S adalah kontinu dengan CDF ( Misalkan S adalah suatu statistik dengan CDF G (s; θ) dan misalkan h 1 (θ) dan h 2 (θ) merupakan fungsi dari G(h 1 (θ); θ) = α 1 dan P[S < h 2 (θ); θ] = 1- α 2 dimana 0 < α 1 < 1 dan 0 < α 2 <1 1. Jika h 1 (θ) dan h 2 (θ) adalah fungsi naik, maka terdapat suatu batas bawah satu arah konservatif 100(1-α 2 )% batas kepercayaan untuk θ, bergantung pada nilai s yang diamati (11.4.9) dari S, penyelesaian dari h 2 (θ L ) = s, atau θ = θ L seperti P[S <s;θ L ] = 1- α 2. Suatu batas atas satu arah konservatif 100(1-α 1 )% adalah batas kepercayaan, yang merupakan suatu penyelesaian dari h 2 (θ U ) = s, atau G(s; θ U ) = α 1 2. Jika h 1 (θ) dan h 2 (θ) adalah fungsi turun, maka batas bawah satu arah konservatif 100(1-α 2 )% yang merupakan penyelesaian dari h 1 (θ L )=s, atau G(s;θ L ) = α 1. Suatu batas atas satu arah konservatif 100(1-α 2 )% adalah batas kepercayaan, yang merupakan penyelesaian dari h 2 (θ U ) = s, atauθ = θ U seperti P[S<s; θ U ] = 1-α 2 3. Dalam kasus lain, jika α = α 1 α 2 dan 0 <α< 1, maka (θ L, θ U ) adalah suatu interval ( ) kepercayaan 100(1-α)% yang konservatif untuk θ. ) dan diberikan suatu nilai pengamatan dari S. Jika adalah fungsi turun terhadap,maka pernyataan berikut beralasan : 1. Batas bawah satu arah dari 100 batas kepercayaan untuk,dengan (11.4.6) penyelesaian (11.4.7) 2. Batas atas satu arah dari 100 batas kepercayaan untuk,dengan penyelesaian 3. Jika dan 0 < <1, maka adalah interval kepercayaan 100 untuk. Definisi Suatu pengamatan terhadap interval kepercayaan (θ L, θ U ) disebut konservatif 100 (1- α)% interval kepercayaan untuk θ jika interval acak cocok memuat nilai yang benar dari θ dengan probabilitas paling sedikit 1- α Teorema (11.4.8) Suatu tingkat kepercayaan kemungkinan tidak diterima jika S adalah fungsi diskrit, namun tingkat kepercayaan pada dasarnya menyatakan suatu ukuran seberapa besar data 98

99 tersebut dapat dipercaya. Tentunya ini memerlukan kondisi dalam pertidaksamaan tegas berikut : P[S < h 2 (θ); θ] = 1- α 2 ; P[S < s; θ L ] = 1- α 2 ; P[S<s; θ U ] = 1- α 2 Tentu saja, jika S adalah fungsi kontinu, maka P[S < s; θ L ] = G(s;θ) dan dari aplikasi teorema sebelumnya didapatkan tingkat kepercayaan yang eksak. Untuk mendapatkan kasus dari distribusi diskrit, G(s;θ), dimana h i =(θ) adalah fungsi naik dan G(s;θ) adalah fungsi turun dari θ. Ambil S nilai diskrit s 1, s 2, dan ambil nilai parameter θ 1,θ 2, dengan G(s i ; θ i ) = α. Jika diamati bahwa S=s i, maka ambil θ U =θ i sebagai batas atas 100(1-α)% dari batas kepercayaan. Tingkat kepercayaan akan menjadi lebih dari 1- α untuk nilai tengah dari θ. Jika θ i-1 <θ<θ i maka interval kepercayaannya akan mengandung θ jika nilai yang diamati dari S itu s i, dengan probabilitas: P [S s i θ i-1 < θ <θ i ] = 1- G(s i-1 ; θ) 1- G (s i-1 ; θ i-1) = 1 α Dengan cara yang sama, anggap G (s i ; θ) = 1- α dan θ L = θ i-1. Jika S = s i, maka θ L adalah penyelesaian dari G(s i-1 ; θ L ) = 1- α. Sekarang pertimbangkan nilai dari θ i-1 < θ < θ i. Nilai ini akan menjadi interval kepercayaan jika S dengan probabilitas P [S s i θ i-1 < θ <θ i ] = G (s i ; θ) G (s i ; θ i ) = 1 α Contoh Dalam contoh , dua pendekatan ditampilkan untuk memperoleh pendekatan interval kepercayaan untuk parameter binomial p, berdasarkan sampel pendekatan yang besar. Dapatkan suatu batas konservatif (1 α) 100% batas kepercayaan untuk p dan dapatkan interval kepercayaan konservatif 90% untuk p, jika diketahui adalah statistik kecukupan! Penyelesaian : Diketahui bahwa adalah statistik kecukupan dan S~BIN(n,p). Tidak akan ditemui pernyataan eksplisit untuk h 1 (p) dan h 2 (p) dalam contoh ini, tapi perhatikan bahwa G(s;p)=B(s;n,p) adalah fungsi naik dari p. Dengan demikian, untuk mencari nilai s, penyelesaian dari: adalah suatu batas atas satu arah yang konservatif dan penyelesaian dari: adalah suatu batas bawah satu arah yang konservatif. Jika kepercayaan konservatif dari (1 α)100% ditunjukkan oleh maka interval 99

100 Untuk nilai yang lebih spesifik dari s, dapat ditentukan dengan interpolasi dari tabel komulatif binomial seperti pada Tabel 1 (Appendix C) pada pustaka utama, atau dapat ditunjukkan dengan penggunaan metode numerik pada CDF. Sebagai contoh, anggap n=10 dan s= 2. Jika maka B(2;10, 0.507) = 0.05 dan B(2; 10, 0.55) = Hasil interpolasi linier dengan cara yang sama, jika maka B(1; 10, 0.037) = 0.95 dan hal itu menunjukkan bahwa (0.037, 0.507) adalah interval kepercayaan konservatif 90% untuk p Contoh Ingat kembali cara untuk mendapatkan pendekatan dari interval kepercayaan untuk ratarata,μ, menggunakan distribusi Poisson yang telah dibahas di contoh untuk sampel acak berukuran n, X i ~POI(μ), statistik kecukupannya adalah dan S~POI(nμ). Tentukan interval kepercayaan konservatif (1 α)100% untuk μ! Penyelesaian : Diketahui X i ~POI(μ), dan S~POI(nμ), karena CDF distribusi Poisson berhubungan dengan CDF distribusi chi-square, batas kepercayaan dapat ditunjukkan dengan baik pada persentil chi-square. Jika ditunjukkan oleh H(y; v) adalah CDF dari variabel chisquare dengan derajat kebebasan v, maka batas kepercayaan konservatif (1 α)100% untuk μ dan untuk nilai s yang diamati, adalah suatu penyelesaian dari dengan dan dapat diberikan dengan cara yang sama, suatu konservatif bawah konservatif (1 α 2 )100% batas kepercayaan untuk μ adalah penyelesaian dari 1 α 2 G(s 1; μ L ) = 1 H (2n μ L ; 2s) sehingga 2n μ L = dan Jika α 1 = α 2 = α/2 maka interval kepercayaan konservatif (1 α)100% untuk μ diberikan oleh ( ( ) ( ) ) ( ) Metode umum ini dapat dipakai dalam berbagai masalah yang berparameter tunggal tidak diketahui Teorema Misalkan X 1,,X n adalah sampel acak berukuran n dari distribusi dengan pdf ( ) Dimana f 0 (z; ) adalah pdf yang bergantung pada, bukan pada θ 1 atau θ 2. Jika MLE pdf tersebut 1, 2,, maka distribusi dari ( ) 2/ 2 dan tidak bergantung pada θ 1 dan θ

101 Ini menunujukkan bahwa metode ini, secara umum dapat digunakan dengan parameter untuk menentukan batas kepercayaan pada, dengan 1, 2 parameter lain yang tidak diketahui. Tentu saja jika diketahui, maka kuantitas pivot ( ) dan dapat digunakan untuk menentukan interval kepercayaan untuk θ 1 dan θ 2. Teorema juga digunakan dalam situasi ini, karena θ 1 dan θ 2 adalah parameter skala lokasi ketika diketahui. Hal tersebut tidak boleh diabaikan dalam menghadapi persoalan bagaimana mendapatkan batas kepercayaan untuk θ 1 dan θ 2 ketika tidak diketahui Teorema Misalkan X 1,,X n adalah sampel acak berukuran n dari distribusi dengan CDF Dimana θ 1 dan θ 2 adalah parameter skala posisi dan menunjukkan bahwa MLE dan ada. Jika t adalah nilai pasti, maka F(t; ) adalah sebuah statistik yang distribusinya bergantung Berdasarkan kasus dimana F(x; θ 1; θ 2 ) = F 0-1 [F(t; θ 1; θ 2 )] dengan F 0 (z) adalah fungsi satu-satu pada. Dimisalkan: c = (t-θ 1 )/ θ 2 = F o -1 [F(t; θ 1; θ 2 )] yang bergantung pada t, θ 1 dan θ 2 dalam CDF F(t; θ 1; θ 2 ), ini mengikuti bentuk F(t; 1, 2) = F o [(t- 1)/ 2] = F o [c(θ 2 / 2) - ( 1 - θ 1 )/ 2] yang merupakan sebuah fungsi dari c dan kuantitas pivot ( 1 - θ 1 )/ 2 dan θ 2 / 2, sehingga distribusi bergantung pada F(t; 1, 2) tapi tidak pada setiap parameter lain yang tidak diketahui Contoh Pertimbangkan kuantitas R(t) = P[X > t] = 1 F(t; θ 1,θ 2 ) Dapatkan batas bawah batas kepercayaan (1 α)100%! Penyelesaian : R(t) = P[X > t] = 1 F(t; θ 1,θ 2 ) Hal ini adalah kuantitas yang penting dalam suatu aplikasi dimana X menunjukkan waktu kegagalan atau waktu hidup sebuah percobaan. Dalam suatu aplikasi hal ini disebut fungsi tahan uji, terkadang juga disebut fungsi bertahan. Hal ini mengikuti teorema sebelumnya tentang distribusi tahan uji dari MLE. ( ) yang bergantung hanya pada R(t). Untuk beberapa contoh spesifik, ambil sebuah sampel acak berukuran n dari duaparameter yang berdistribusi eksponensial, X i ~EXP(θ, η). MLE-nya adalah dan ( ) [ ( ) ] [( ) [ ( ) ] Jika Y = maka dapat ditunjukkan bahwa CDF, G(y; R(t)) naik di R(t) untuk setiap y. Dengan demikian, berdasarkan teorema , batas bawah satu arah untuk batas 101

102 kepercayaan (1 α)100%, diperoleh dengan penyelesaian ( ) Untuk menentukan sedikit rumit dalam kasus ini MASALAH DUA SAMPEL Sering dijumpai suatu sampel acak diambil dengan tujuan untuk membandingkan dua atau lebih populasi. Hal ini menarik dalam membandingkan bentuk mean dari dua proses atau variasi yang relatif dalam dua proses. Interval kepercayaan di sini digunakan untuk perbandingan yang berkaitan dengan batas atas dan batas bawah PROSEDUR DUA SAMPEL NORMAL Pertimbangkan sampel acak independen berukuran n 1 dan n 2 dari dua populasi yang berdistribusi normal masing-masing X i ~N dan. Ini berarti bahwa dan adalah sampel rata rata, sedangkan dan adalah dan sampel variasi. Pada dasarnya estimator titik unbias dapat dihitung, tapi jika hanya ada perbedaan estimasi yang kecil, maka mungkin saja itu tidak jelas, apakah hasil perbedaan dari perbedaan yang sebenarnya dalam variansi, atau apakah hasil perbedaan dari galat sampel acak. Dengan kata lain, jika variansi distribusi tersebut sama, maka perbedaan sampel variansi berdasarkan lebih dari dua sampel, kemungkinan diperlukan petunjuk yang berbeda. Perhatikan juga jika ukuran sampel besar, maka akan memperlihatkan suatu perbedaan kecil antara estimasi yang dapat mengindikasikan perbedaan nilai parameter juga; tetapi jika ukuran sampel kecil, maka perbedaan yang besar hampir mungkin hasil dari peluang. Interval kepercayaan mendekati penggabungan pada suatu estimasi interval PROSEDUR UNTUK VARIANSI Suatu interval kepercayaan utuk rasio dapat diturnukan dengan distribusi F Snedecor pada contoh hal.277 pustaka utama, diketahui bahwa ~ F (n 1-1, n 2 1) (11.5.1) yang memberikan kuantitas pivot untuk Persentil dari distribusi F dengan v 1 = n 1-1 dan v 2 = n 2 1 dapat diperoleh dari Tabel 7(Appendix C) pustaka utama. Jadi [ ] (11.5.2) dan dapat dikatakan jika dan adalah estimasi, maka interval kepercayaan (1 α)100% untuk dapat diberikan: ( ( ) ( )) (11.5.3) Contoh Sampel acak dengan ukuran n 1 = 16 dan n 2 =21 dengan estimasi dan dan 90% interval kepercayaan diinginkan. Tentukan interval kepercayaan 90% untuk! 102

103 Penyelesaian : Dengan menggunakan hubungan, dan dari tabel 7 appendix C didapat =0,429. Hal tersebut menunjukkan bahwa (0.143, 0.733) adalah 90% interval kepercayaan untuk. Karena intervalnya tidak memuat nilai 1, dapat disimpulkan bahwa dan dua populasi tersebut memiliki variansi yang berbeda. Karena tingkat kepercayaannya 90%, jika hanya 10% hasil akhirnya, maka dalam rata-rata akan salah PROSEDUR UNTUK MEANS Jika variansi, dan, diketahui, maka jumlah pivot untuk persamaan adalah hal mudah. Karena (11.5.4) dapat ditunjukkan bahwa (11.5.5) Dengan Z, pernyataan P[-z 1-α/2 < Z < z 1-α2 ]=1 α dapat diselesaikan dengan mudah untuk menghitung batas kepercayaan (1 α)100%, yaitu (11.5.6) Jika maka diasumsikan sebagai suatu varians gabungan (11.5.7) dan jika mengasumsikan, (11.5.8) maka diperoleh hubungan (11.5.9) Jadi benar bahwa bebas dari dan sehingga dengan Z diberikan oleh persamaan, dengan dan V diberikan oleh mengikuti dari Teorema di hal.274 pustaka utama bahwa ( ) Batas untuk interval kepercayaan (1 α)100% untuk diberikan ( )

104 Contoh Sampel acak dengan ukuran n 1 = 16 dan n 2 =21 berestimasi dan.dapatkan suatu interval kepercayaan 90% untuk rasio dua varians yang bertujuan memeriksa asumsi persamaan varians dengan menggunakan prosedur untuk mean! Penyelesaian : Interval kepercayaan 90% untuk adalah (0,358, 1,83). Dengan demikian, tidak ada bukti kuat bahwa suatu varians tidak sama dan akan diasumsikan bahwa. Estimasi variansnya adalah dan didapat = 0,330. = 0, 109 Misalkan bahwa 95% interval kepercayaan untuk diinginkan. Dengan interpolasi linear antara t 0,975 (30) = 2,042 dan t 0,975 (40) = 2,021, dalam tabel 6 (Appendix C) pustaka utama, didapatkan juga t 0,975 (35) = 2,032. Interval kepercayaan berdasarkan batas dalam persamaan adalah (0,688, 1,133) METODE PENDEKATAN Tidak mudah mengeliminasi variansi yang tidak diketahui untuk menghitung jumlah pivot untuk ketika variansinya tak hingga. Satu pendekatan yang mungkin yaitu dengan metode sampel besar. Khususnya ketika dan ( ) Persamaan ini digunakan untuk sampel besar. Adapun untuk sampel kecil dari distribusi normal, distribusi dari variabel acak dalam persamaan di atas bergantung pada dan, tapi pendekatan yang baik dalam sampel kecil digunakan distribusi-t dengan persamaan berikut dimana derajat kebebasannya adalah ( ) [ ] [ ] ( ) 104

105 PROSEDUR SAMPEL BERPASANGAN Andaikan terdapat sebuah sampel acak dari n pasang, (X i, Y i ) dan diasumsikan bahwa D i = Y i X i untuk i=1,, n adalah distribusi Normal dengan mean dan variansi atau D i ~ N Misalkan ( ) dan Berdasarkan hasil di Bab 6 bahwa ( ) ( ) ( ) dengan demikian interval kepercayaan (1 ) 100% untuk mempunyai batas : ( ) dimana dan s D diketahui. Perhatikan bahwa metode ini valid jika sampelnya bebas, karena pada kasus ini bagaimanapun, derajat kebebabasan dalam sampel berpasangan adalah n 1, sedangkan dalam kasus sampel bebas dengan diperoleh suatu t statistik dengan derajat kebebasan 2n 2. Oleh karena keefektifan ukuran sampel adalah dua kali dari sampel bebas maka metode sampel berpasangan kurang baik digunakan. Bagaimanapun, jika ada alasan ada suatu sampel yang berpasangan dan pasangannya memiliki korelasi yang tinggi, maka lebih kecil dari dan ini dapat merugikan keefektivan ukuran sampel. Hal yang menarik untuk dicatat bahwa jika dua sampel bebas memiiliki ukuran yang sama dengan variansi yang berbeda, maka prosedur sampel berpasangan masih dapat digunakan untuk menentukan suatu t statistik dengan syarat perbedaan hasil interval akan cenderung menjadi lebih luas daripada saat menaksir variabel seperti persamaan PROSEDUR DUA-SAMPEL BINOMIAL / SELISIH DUA PROPORSI Misalkan X 1 ~BIN(n 1,p 1 ) dan X 2 ~BIN (n 2,p 2 ). Ambil = X 1 dan = X 2 /n 2. Dari hasil pada Bab 7, didapatkan ( ) ( ) ( ) Ini jelas bahwa pendekatan batas kepercayaan untuk sampel besar dengan parameter dapat digunakan dalam suatu ketentuan seperti kasus dalam sebuah sampel, dengan ( ) ( ) ( ) 105

106 11.6 ESTIMASI INTERVAL BAYES Estimasi Bayes telah didiskusikan secara singkat di bab 9 untuk kasus estimasi titik. Dalam pembahsannya suatu parameter diperlakukan dengan kasus variabel acak yang sesuai secara matematis. Contohnya parameter yang digunakan sebagai variabel kondisi yang tentunya berbeda, dalam suatu eksperimen. Prior density, mungkin dipertimbangkan untuk memberikan hasil yang sesuai yang berkaitan dengan nilai parameter yang benar dan struktur Bayes menyediakan kerangka yang cocok untuk menggunakan yang sesuai kepercayaan untuk mengatasi suatu fungsi kendala dengan memilih estimasi terbaik (kendala yang lebih kecil). Dalam kasus ini, prior density tidak berbeda dari interval kepercayaan. Ketika nilai beragam dari 0 sampai hasil interval kepercayaan untuk,dapat direpresentasikan saat menentukan distribusi peluang untuk. Distribusi dalam kasus ini berdasarkan pada beberapa data yang berkriteria subyektif. Dalam berbagai persoalan, andaikan prior density ada atau bisa dimasukkan dalam permasalahan dan di gunakan juga dalam pdf bersyarat ( ). Misalkan lagi posterior density dari diberikan oleh sampel, ( ) ( ) (11.6.1) Prior density dapat digunakan sebagai suatu kemungkinan inisial yang spesifik dari suatu distribusi untuk nilai yang sesuai dan pada kaitannya akan direpresentasikan sebagai distribusi yang sesuai dengan variabel acak yang diamati. Untuk tingkat, interval kepercayaan Bayes untuk yang diberikan oleh (θ L, θ U ), dengan θ L dan θ U adalah batas untuk (11.6.2) Jika adalah variabel acak yang benar, maka interval Bayes akan biasa saat dinyatakan sebagai Interpretasi Peluang. Tentu saja, dalam banyak kasus, hasil yang benar hanya untuk menunjukkan bahwa model yang diasumsikan benar. Jika adalah representasi dari tingkat kepercayaan terhadap nilai, maka mungkin interval (θ L, θ U ) juga direpresentasikan dalam tingkat kepercayaan juga Contoh Pada Contoh 9.5.5, dimisalkan bahwa X i ~ POI (θ) dan θ ~ GAM(β, κ). Tentukan Interval kepercayaan Bayes untuk θ jika diberikan oleh batas bawah dan batas atas (θ L, θ U )! Penyelesaian : Distribusi posterior dari θ ~ GAM(β, κ), didapatkan persamaan [( ) ] (11.6.3) yang menunjukkan bahwa 106

107 ( ) ( ) [ ( )] (11.6.4) dan P[χ 2 2 α / 2(v) < 2(n+1/β)θ x < χ 1-α/2 (v)] = 1 α (11.6.5) dengan ( ), maka 100(1- α)% interval kepercayaan Bayes untuk θ diberikan oleh batas bawah dan batas atas (θ L, θ U ) dimana batas bawah θ L = χ 2 2 α / 2(v) / 2(n+1/β) dan batas atas θ U = χ 1-α/2 (v)/ 2(n+1/β). RINGKASAN Tujuan penting dari bab ini adalah untuk memperkenalkan konsep sebuah estimasi interval atau interval kepercayaan. Suatu estimator titik sendiri tidak memberikan keakuratan nilai. Suatu estimator interval memberikan penyelesaian yang mungkin untuk masalah ini. Konsep ini melibatkan suatu interval yang titik akhirnya statistik dan termasuk nilai yang benar dari parameter antara batas-batasnya dengan probabilitas tinggi. Probabilitas ini cocok untuk tingkat kepercayaan dari estimator interval. Biasanya, instilah interval kepercayaan (atau estimasi interval) memiliki arti pengamatan interval yang dihitung dari data. Terdapat dua metode dasar untuk membangun interval kepercayaan. Metode yang pertama, yang berguna di beberapa aplikasi dimana terdapat parameter yang tidak diketahui. Meliputi dari dugaan kuantitas pivot. Jumlah ini digunakan untuk menemukan variable acak yang berupa fungsi dari perhitungan variable acak dan parameter kepentingan, namun tidak untuk parameter lain yang tidak diketahui. Hal ini juga dibutuhkan bahwa distribusi dari kuantitas pivot adalah bebas dari parameter yang tidak diketahui. Dalam kasus ini, parameter lokasi skala, kuantitas pivot dapat dinyatakan dalam bentuk MLE jika ada. Pendekatan kuantitas pivot untuk sampel besar dapat dasarkan pada hasil dari distribusi normal asimtotik dalam beberapa kasus. Metode lain, yang disebut metode umum, tidak memerlukan eksistensi dari kuantitas pivot, tapi metode umum mempunyai kerugian yaitu tidak bisa digunakan saat parameter lain menjadi kendala ada. Metode ini dapat digunakan dengan statistik, yang distribusinya dapat ditunjukkan dalam bentuk parameter. Parameter mempunyai fungsi yang disebut dengan persentil dan batas dari interval kepercayaan didapatkan dengan menyelesaikan persamaan yang jelas memerlukan persentil dan statistik dari nilai yang diestimasi. Interval dari estimasi itu sendiri didapat dengan kedua metode yang bisa diinterpertasikan dalam bentuk frekuensi relatif dengan nilai parameter yang benar dan mencakup suatu interval, sehingga berhubungan atau korespondensi dengan peluang, pada akhirnya interval dari estimasi akan mencakup nilai yang benar. Bentuk suatu interval yang lain dapat didekati dengan pendekatan Bayes. Pendekatan ini menyediakan langkah yang sesuai dalam menggunakan informasi yang diketahui. 107

108 SOAL-SOAL LATIHAN 1.Berdasarkan sampel acak berukuran dari distribusi normal,. a. Jika diketahui, tentukan interval kepercayaan untuk berdasarkan estimasi dengan. Penyelesaian :,, Untuk interval kepercayaan, maka [ ( ) ] [ ] [ ( ) ( )] [ ] [ ] Sehingga diperoleh interval kepercayaan untuk b. Berdasarkan pada informasi (a), tentukan batas bawah satu arah limit kepercayaan untuk. Juga tentukan batas atas satu arah limit kepercayaan untuk. Penyelesaian : Batas bawah satu arah limit kepercayaan yakni [ l ] Batas atas satu arah l l l limit kepercayaan yakni [ u ] u u u c. Untuk interval kepercayaan yang diberikan oleh ekspresi (11.2.7), memperoleh rumus ukuran sampel wajib menghasilkan panjang spesifik dari sebuah interval. Jika, maka apa ukuran sampel yang dibutuhkan untuk mencapai interval kepercayaan dengan panjang 2? Penyelesaian : Ekspresi (11.2.7) yakni ( ), 108

109 Untuk interval kepercayaan, maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi diperoleh ukuran sampel 25 dengan panjang 2. d. Andaikan tidak diketahui. Tentukan interval kepercayaan untuk jika dan dengan. Penyelesaian :,,, Untuk interval kepercayaan, maka ( ) [ ] [ ] [ ] [ ( ) ( )] [ ] [ ] Sehingga diperoleh interval kepercayaan untuk e. Berdasarkan pada data(d), tentukan interval kepercayaan untuk. Penyelesaian :,,, Untuk interval kepercayaan, maka [ ] [ ] [ ] [ ] 109

110 [ ] Sehingga diperoleh interval kepercayaan untuk 3.Misal sampel acak dari distribusi eksponensial a. Jika dengan, tentukan batas bawah satu arah 95 % limit kepercayaan untuk Penyelesaian : Untuk interval kepercayaan dengan [ ] l ( ) b. Tentukan batas bawah satu arah 95 % limit kepercayaan untuk dimana adalah sebuah nilai arbitrary yang diketahui. Penyelesaian : [ ] l ( ) Untuk maka dapat diperoleh batas bawah satu arah 95 % limit kepercayaan adalah 4.Data berikut adalah waktu (per jam) gangguan peralatan AC di bagian pesawat terbang: Asumsikan bahwa data adalah nilai yang diamati dari sampel acak berdistribusi exponensial a. Tentukan 90 % interval kepercayaan untuk rata-rata waktu gangguan, Penyelesaian : Dari data yang diberikan, dapat diperoleh 110

111 Untuk interval kepercayaan, maka [ ] [ ] [ ( ) ( )] [ ] [ ] Sehingga diperoleh interval kepercayaan untuk b. Tentukan batas bawah satu arah limit kepercayaan untuk 10th persentil dari distribusi waktu gangguan. Penyelesaian : Untuk interval kepercayaan dengan 10th persentil maka [ ] l ( ) 6. Misal X 1,, X n adalah sampel acak dari distribusi Eksponensial dua parameter, X i ~EXP(θ,η). a. Asumsikan diketahui η = 150, tentukan kuantitas pivot untuk parameter θ berdasarkan statistic kecukupan. b. dengan menggunakan data pada Latihan 5, tentukan batas bawah 95% interval kepercayaan untuk θ. Penyelesaian: a. Pdf: f(x; θ,η ) = X i ~EXP(θ,η). η = 150 sehingga f (x; ) = ( ) 111

112 X i 150 ~ EXP (θ,η). Jadi, adalah kuantitas pivot. b. Batas bawah 1 α = 95% = 0,95 α = 0,05 1 α = P [ ] = P [ ] = P [ ( ) = P [578,117<θ] ] 7. Andaikan adalah contoh acak dari distribusi Weibull, a. Tunjukkan bahwa Q = b. Gunakan Q untuk mendapatkan interval kepercayaan 100 % terhadap θ c. Dapatkan batas bawah limit kepercayaan 100 % untuk [ ] d. Dapatkan batas atas limit kepercayaan untuk persentil ke-p dari distribusi ini Penyelesaian : Diketahui : adalah contoh acak distribusi Weibull. pdf : ( β) = untuk x > 0, dan 0 untuk x yang lain maka ( 2) = untuk ( 2) = a. Akan ditunjukkan bahwa Q = Jika adalah kecukupan untuk dan juga. Telah dijelaskan di bab 8, persentil ke-, dapat dilihat di tabel 4 (Appendix C). Dengan demikian, [ ] 112

113 [ ] Jika dapat diamati, maka batas bawah satu arah limit kepercayaan diberikan oleh l Sama halnya, batas atas satu arah limit kepercayaan diberikan oleh u sehingga dari definisi kuantitas pivot diperoleh Q = Q = (telah ditunjukkan) b. Menentukan interval kepercayaan 100 % terhadap θ dengan menggunakan Q Q = disini adalah parameter skala karena Q dapat juga sama dengan θ sehingga Q = adalah kuantitas pivot Anggaplah bahwa diinginkan γ limit kepercayaan untuk. Jika dipilih nilai γ dan γ seperti γ γ γ γ, maka dengan demikian, [ γ γ ] γ γ [ γ γ ] γ [ γ γ ] γ Sehingga interval kepercayaan 100 % terhadap θ adalah ( γ ) γ 113

114 c. Batas bawah limit kepercayaan 100 % untuk [ ] ( γ ) ( γ [ ]) ( γ [ ]) ( γ [ ]) diperoleh batas bawah limit kepercayaan 100 % untuk [ ] adalah ( γ [ ]) d. Batas atas limit kepercayaan untuk persentil ke-p Jika = adalah persentil ke p dari distribusi Chi-Square dengan derajat kebebasan, maka dengan daerah [ ] [ ] [ ] diperoleh limit kepercayaan [ ] dengan batas atas 9. Gunakan pendekatan pada contoh jika diberikan sampel acak dari distribusi Pareto PAR dengan mengambil data dari contoh yang diberikan sebagai berikut 0,85 1,08 0,35 3,28 1,24 2,58 0,02 0,13 0,22 0,52 0,02 0,13 0,22 0,35 0,52 0,85 1,08 1,24 2,58 3,28 Dapatkan interval kepercayaan 95% terhadap κ! 114

115 Penyelesaian Diketahui PAR pdf : ( θ ) θ( θ ) dengan CDF = 1, x > 0 gunakan persamaan κ ( ) dalam soal ini n = 10 diperoleh ( ) ( ( )) = sehingga 0,85 1,08 0,35 3,28 1,24 2,58 0,02 0,13 0,22 0,52 0,615 0,732 0,3 1,454 0,807 1,275 0,02 0,122 0,199 0,419 5,943 sehingga dengan distribusi chi-square interval kepercayan dari dari κ dengan daerah = 0,95 adalah [ ] = [ ] = [ ] berdasarkan tabel distribusi chi square diperoleh interval kepercayaan 95% terhadap κ adalah κ = (0,81;2,88) 11. Andaikan adalah proporsi orang Amerika Serikat yang berambut merah. Dalam suatu sampel berukuran 40, ditemukan 5 orang berambut merah Dapatkan pendekatan 90% dari interval kepercayaan terhadap 115

116 Penyelesaian Diketahui adalah proporsi orang Amerika Serikat yang berambut merah adalah orang yang berambut merah = 5 adalah ukuran sampel = 40 sehingga (koefisien kepercayaan) ( ) diperoleh Jadi pendekatan 90% dari interval kepercayaan terhadap adalah 12. Terdapat 45 pekerja pemintalan tekstil yang dipilih secara acak untuk mempelajari tingkat kecelakaan kerja yang terjadi. Angka kecelakaan tiap pekerja diasumsikan berdistribusi poisson dengan mean, sedangkan nilai rata rata kecelakaan tiap pekerja adalah a. Dapatkan pendekatan dari batas bawah sebesar 90% terhadap limit kepercayaan untuk menggunakan persamaan b. Gunakan perintah pada soal a, jika diselesaikan dengan persamaan

117 Penyelesaian Diketahui : n = 45, sehingga (koefisien kepercayaan) Angka kecelakaan tiap pekerja diasumsikan berdistribusi poisson dengan mean pdf distribusi poisson akan didapatkan dengan pendekatan sesuai persamaan dan persamaan ( ) a. Dengan persamaan Jadi b. Dengan persamaan ( ) ( ) ( ) 117

118 Jadi 19. Diberikan sampel acak independen dari dua distribusi normal, X i ~N dan. i = 1,, j=1,,. Jika diasumsikan dan diketahui, dapatkan interval kepercayaan 100 (1 α)% untuk berdasarkan statistik kecukupan Penyelesaian Diketahui : Ada dua sampel acak independen berdistribusi normal X i ~N,. i = 1,, dan j=1,, diketahui Akan didapatkan interval kepercayaan 100 (1 α)% untuk kecukupan berdasarkan statistik karena, dan diketahui < ( ) < ( ) ( ) < ( ) 118

119 dengan syarat statistik kecukupan pertidaksamaan di atas dapat diubah menjadi ( ( ) ) < (( ) ), sehingga interval kepercayaan 100 (1 α)% untuk adalah berdasarkan statistik kecukupan ( ( ( ) ) (( ) )) namun yang sering dijumpai dalam persoalan, interval kepercayaan untuk dengan menggunakan distribusi F Snedecor. didapatkan 18. Misal X 1,, X n adalah sampel acak dari distribusi Normal, X~N(μ,σ 2 ). Jika t adalah bilangan asli, temukan statistic yang merupakan statistic kecukupan dan distribusi yang bergantung pada t, μ,σ 2 hanya jika F(t; μ,σ 2 ) = P (X t) Penyelesaian: Parameter skala lokasinya f(x; μ,σ 2 )= F 0 Misal : c σ 2 = t = c σ 2 jika dan adalah MLE dari dan σ 2 yang mana bergantung pada t, μ,σ 2 F(t; μ,σ 2 ) = P(X t) F 0 = ( ) F 0 = ( F 0 = ( ) ( ) ) Yang mana adalah fungsi dari c dan kuantitas pivot untuk μ dan untuk σ 2 yang bergantung pada F(t; μ,σ 2 ) = P(X t) 119

120 BAB XII UJI HIPOTESIS 12.1 PENDAHULUAN Dalam kegiatan ilmiah, banyak perhatian yang ditujukan untuk menjawab pertanyaan tentang kevalidan teori atau hipotesis tentang fenomena fisik. Apakah obat yang baru efektif?. Biasanya, informasi tentang fenomena tersebut hanya dapat diperoleh dengan menunjukkan percobaan yang hasilnya mempunyai beberapa langkah dalam menarik hipotesis. Syarat uji hipotesis akan mengacu pada proses mencoba untuk memutuskan benar atau salah hipotesis tersebut berdasarkan bukti eksperimen. Misalnya, diduga bahwa suatu hipotesis tertentu, mungkin sebuah teori yang diterima, adalah salah, dan dilakukan percobaan. Hasil yang tidak konsisten dengan hipotesis akan meragukan kevalidannya. Misalnya, hipotesis yang akan diuji dapat menentukan bahwa suatu konstanta fisika memiliki nilai. Pada umumnya pengukuran eksperimen berdasarkan pada kesalahan acak, dengan demikian keputusan tentang benar atau salah dari hipotesis, berdasarkan pada bukti eksperimen, juga berdasarkan pada kesalahan. Tidak akan mungkin untuk menghindari kesalahan keputusan, tetapi akan mungkin untuk membuat uji kesalahan tersebut jarang terjadi. contoh menggambarkan konsep uji hipotesis Sebuah teori mengemukakan bahwa hasil dari suatu reaksi kimia berdistribusi normal,. Percobaan sebelumnya menunjukkan bahwa jika mineral tertentu tidak diberikan, dan jika mineral diberikan. Percobaan akan mengambil dari sampel acak berukuran. Dalam dasar dari sampel tersebut, akan coba diputuskan mana kasus yang benar. Hal ini ingin di uji menggunakan hipotesis nol dengan hipotesis alternatif Definisi Jika, hipotesis statistik adalah pernyataan tentang distribusi. Jika hipotesis tersebut ditetapkan dengan lengkap, maka disebut sebagai hipotesis sederhana, dengan kata lain disebut komposit. Sebuah hipotesis statistik subset dari ruang parameter. Tujuan dari Uji akan memutuskan apakah nilai sebenarnya dari parameter. Demikian, hipotesis nol subset dari Ω dan hipotesis alternatif, Ω -. Dalam kasus hipotesis sederhana, { } dan Ω - { }, dimana. Kebanyakan percobaan atau penelitian hipotesis mempunyai beberapa tujuan yang salah satu harapannya untuk mendukung hipotesis alternatif dengan bukti statistik. Pada contoh , jika ada bukti kuat bahwa mineral diberikan, maka dimungkinkan akan menghabiskan sejumlah besar uang untuk memulai pertambangan, jadi kasus ini diselesaikan dengan hipotesis alternatif. Sekarang harus mempertimbangkan data sampel, dan memutuskan berdasarkan data apakah ada bukti kecukupan Statistik untuk menolak, mendukung alternatif atau tidak ada bukti yang cukup. Caranya adalah 120

121 dengan membagi ruang sampel menjadi dua daerah, "daerah kritis" atau " daerah penolakan", dan daerah penerimaan. Jika data sampel yang diamati jatuh pada, maka akan menolak dan jika tidak jatuh pada, maka menerima. Definisi daerah kritis untuk uji hipotesis adalah himpunan bagian dari ruang sampel yang sesuai untuk menolak hipotesis nol Pada contoh, adalah statistik kecukupan untuk, menyatakan daerah kritis secara langsung dengan syarat variabel tunggal, sebagai uji statistik. Karena, bukti langsung untuk daerah kritis pada masalah ini diberikan { }, untuk beberapa konstan c. Akan menolak jika, dan akan menerima jika. Terdapat dua kemungkinan kesalahan yaitu akan menolak ketika benar, atau menolak ketika salah. Kesalahan-kesalahan itu adalah: 1. Kesalahan tipe I : menolak kebenaran 2. Kesalahan tipe II : menerima padahal salah. Diharapkan untuk memilih statistik uji dan daerah kritis agar dua tipe kesalahan di atas memiliki peluang kecil, ada dua peluang yaitu: 1. [ ] [ ] 2. [ ] [ ], Gambar Peluang kesalahan tipe I dan tipe II Definisi Untuk hipotesis nol sederhana, peluang untuk menolak kebenaran, [ ] sebagai tingkat kepercayaan dari sebuah Uji. Untuk hipotesis nol komposit, ukuran dari Uji (atau ukuran dari daerah kritis) adalah peluang maksimum untuk menolak ketika benar (nilai terbesar dari parameter dibawah ). 121

122 Pada sederhana tingkat kepercayaan juga merupakan ukuran Uji. Pendekatan standar digunakan untuk menunjuk atau memilih tipe kesalahan, misalkan memilih antara atau, yang akan digunakan sebagai nilai kepercayaan dari Uji, kemudian nilai ini digunakan untuk menentukan daerah kritis. Diantara semua daerah kritis akan dipilih satu yang paling kecil [ ]. Secara umum, diharapkan melakukan Uji terhadap dengan (dimana ) pada tingkat kepercayaan dengan [ ]. Uji berdasarkan pada statistic uji (12.1.1) Ekuivalen dengan menggunakan, jadi dapat ditunjukkan dengan tepat uji untuk menolak jika, dimana merupakan nilai perhitungan dari, dengan batasan, [ ], dan mempunyai daerah kritis sebesar. Peluang dari kesalahan tipe II untuk alternative adalah sehingga [ ] [ [ ] ( ] [ ] ) (12.1.2) Sampel berukuran yang akan memberikan nilai [ ] adalah penyelesaian untuk Diberikan (12.1.3) Pada contoh untuk Di peroleh (12.1.4) Definisi Fungsi kuasa,, dari Uji adalah peluang penolakan ketika nilai sebenarnya dari parameter adalah. 122

123 Untuk hipotesis sederhana dengan, mempunyai nilai [ ] dan [ ]. Untuk hipotesis komposit, katakan dengan, ukuran dari Uji (atau daerah kritis) adalah (12.1.5) Jika nilai sebenarnya berada di, maka [ ], sehingga [ ] bergantung pada. Dengan kata lain, nilai fungsi kuasa selalu berada di bawah area pdf uji statistik dan di luar daerah kritis. Diberikan nilai [ ] untuk pada hypothesis nol dan nilai [ ] untuk pada hypothesis alternatif. Gambar Hubungan fungsi kuasa dengan peluang kesalahan tipe II Hipotesis Komposit Diketahui, dengan diketahui, diharapkan uji dengan alternative komposit. Pada contoh sebelumnya bahwa daerah kritis diletakkan di arah kanan untuk alternatif yang lain, tetapi nilai dari nilai kritis c tidak bergantung pada nilai. Jadi, jelas bahwa uji alternatif sederhana juga benar untuk alternatif komposit ini. Uji tingkat kepercayaan akan menolak jika uji kuasa untuk nilai Sehingga ( yang lain adalah [ [ ] ] (12.2.1) ) (12.2.2) Untuk, ada [ ]. Andaikan dilakukan uji. Akan menolak jika pertidaksamaan (12.2.1) dipenuhi. Berikut merupakan uji untuk hipotesis nol komposit. Peluang menolak untuk adalah, dengan 123

124 demikian. Jadi, jika daerah kritis dipilih untuk nilai pada, maka kesalahan Type I akan kurang dari α untuk semua. Jadi, uji α yang sering dikembangkan untuk hipotesis nol sederhana dapat digunakan untuk hipotesis komposit dan P[TI] tidak akan kurang dari α. Bentuk umum dari fungsi kuasa ditunjukkan pada gambar 12.3 untuk n = 20 dan 100. Gambar 12.3 uji perbandingan fungsi kuasa saat dua ukuran sampel berbeda. Dari gambar 12.3, lebih jelas mengapa kegagalan menolak seharusnya tidak ditafsirkan sebagai penerimaan. Pada kenyataannya, dapat ditemukan suatu nilai alternatif µ kecukupan untuk, sehingga uji kuasanya, π(µ), tidak berubah-ubah untuk α. Pada khususnya ini tidak akan menjadi menjadi masalah yang serius jika dapat menentukan daerah yang diabaikan, yang mana merupakan subset alternatif untuk uji kuasa kecil. Dengan kata lain, tidak terlalu penting mendapatkan nilai µ yang cocok untuk. Pada contoh, tidak terlalu diperhatikan tentang penolakan saat µ berada pada interval yang kecil, misalkan, dapat diambil sebagai daerah yang diabaikan. Saat µ, ukuran sample dapat ditentukan dari persamaan (12.1.4) yang akan memberikan nilai kuasa. Jadi, untuk nilai alternatif yang berada di luar daerah yang diabaikan, suatu uji dapat dibangun hingga mencapai atau melebihi perbandingan kesalahan yang sudah ditentukan untuk kedua tipe kesalahan. NILAI-P Tidak ada perjanjian tentang bagaimana α yang kecil digunakan untuk menolak sebagai bukti yang kuat dalam mendukung. Percobaan 1 akan mempertimbangkan α = 0.05, sementara percobaan 2 menggunakan α = Jadi, ada kemungkinan untuk menolak percobaan 1 saat percobaan 2 diterima. Uji nilai-p, didefinisikan sebagai ukuran α terkecil yang dapat menolak, berdasarkan nilai yang diamati dari uji statistik. Contoh Berdasarkan pada ukuran sample dari distribusi normal,, ingin uji dengan. diketahui. Nilai-p adalah [ ]. Karena, Uji akan ditolak saat 0.05 dan diterima saat

125 Untuk uji, akan menolak jika (12.2.3) Jadi, daerah kritis dari α sekarang diambil dari arah kiri distribusi uji stastistik. Uji hipotesis tersebut adalah uji satu arah. Uji dengan daerah kritis dari bentuk (12.2.1) disebut uji satu arah batas atas dan bentuk (12.2.3) disebut uji satu arah batas bawah. Tipe lainnya adalah uji alternatif dua arah. Akan uji dengan alternatif. Jika memilih arah kanan dari daerah kritis, maka akan mempunyai kuasa bagus untuk menolak saat, tapi kuasanya akan lemah saat. Sama halnya jika dipilih arah kiri dari daerah kritis, maka kuasanya akan bagus jika, tapi kuasanya akan lemah jika. cara yang baik adalah menggunkan uji dua arah dari daerah kritis dan menolak jika (12.2.4) Dalam kasus ini masuk akal untuk menggunakan uji equal-tailed (masingmasing arah berukuran ) karena pertimbangan simetri. Fungsi kuasa untuk uji dua-arah adalah Diberikan ( [ ] ) ( ) (12.2.5) Jika, maka seperti pada gambar 12.4, peluang normal fungsi kuasa di atas akan mendekati nol. Sama halnya, jika, maka satu yang tidak akan diharapkan untuk menolak dengan mendapatkan besar, dan peluang normal akan mendekati nol. Rumus ukuran sample untuk uji dua arah diberikan oleh persamaan (12.1.4) dengan. Gambar 12.4 Daerah kritis untuk uji dua arah. Dalam hal ini, mudah untuk mengamati suatu hubungan antara selang kepercayaan dan uji hipotesis. Pada uji dua arah di atas, ditentukan untuk suatu nilai pengamatan yang mana nilai uji hipotesis dari tidak akan ditolak. Dari persamaan (12.2.4) nilai yang memenuhi adalah (12.2.6) 125

126 Jadi, nilai berada dalam daerah penerimaan ( daerah yang tidak ditolak) dengan selang kepercayaan (1-α) 100% untuk Uji Hipotesis untuk Distribusi Normal Uji Rata Rata ( Diketahui) Teorema Andaikan bahwa adalah sampel acak teramati dari dengan diketahui, dan diberikan uji statitik sebaai berikut (12.3.1) Untuk menguji H 0 ada 3 kemungkinan menolak H 0, yakni: 1. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. Fungsi kuasa untuk uji ini adalah ( ) (12.3.2) 2. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. Fungsi kuasa untuk uji ini adalah ( ) (12.3.3) 3. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika atau. Besar sampel yang dibutuhkan untuk mencapai tingkat kepercayaan untuk nilai alternatif diberikan oleh dengan kuasa (12.3.4) untuk uji satu arah, dan (12.3.5) untuk uji dua arah. Uji Rata-Rata ( Tidak Diketahui) Uji untuk dengan tidak diketahui, menggunakan distribusi t-student s yang caranya sama dengan uji statistik normal standar untuk kasus variansi diketahui, dengan diganti oleh variansi sampel teramati s 2. Digunakan distribusi t karena jumlah sampel kecil (n<30). Teorema Diberikan adalah sampel acak dari, tidak diketahui dan diberikan uji statistik sebagai berikut (12.3.6) Untuk menguji H 0 ada 3 kemungkinan menolak H 0, yakni: 1. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. 2. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. 126

127 3. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika atau. Untuk nomer 1 dari teorema,, fungsi kuasanya adalah = [ ] ;v=(n-1) = [ ] sehingga = [ ], (12.3.7) dimana,, dan saling bebas, dan. Variabel acak dalam persamaan (12.3.7) mempunyai distribusi noncentral t dengan derajat kebebasan dan parameter noncentrality. Menggunakan distribusi t - Student s ketika. Contoh Dengan tingkat kepercayaan, akan diuji dengan untuk distribusi normal, dengan tidak diketahui, diinginkan mempunyai kuasa 0,99 jika nilai sebenarnya adalah dua standar deviasi lebih besar dari. Tentukan besar sampel! Pada soal telah diketahui = untuk. Dari Tabel 8 (Lampiran C), didapat. Uji Untuk Variansi Uji hipotesis dengan berdasar pada uji statistik (12.3.8) saat benar. Nilai teramati dari variansi sampel,, relatif besar dari yang dapat mendukung. Disarankan memilih arah kanan dari distribusi sebagai daerah kritis untuk setiap Uji. Uji ini berguna untuk memutuskan ketika populasi berukuran besar. Untuk hipotesis null komposit menggunakan hipotesis berbentuk. adalah CDF dari. Teorema Diberikan adalah sampel acak dari, dan diberikan uji statistik; (12.3.9) Ada 3 kemungkinan menolak H 0, yakni: 1. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. Fungsi kuasa untuk uji ini adalah [( ) ] ( ) 2. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. Fungsi kuasa untuk uji ini adalah [( ) ] ( ) 3. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika atau. 127

128 Bukti Mendapatkan fungsi kuasa untuk kemungkinan nomor 1 = [ ] = [ ( ) ] = [( ) ] [ ], karena bertambah, ukuran daerah kritis adalah. Sebagai latihan, sangat tepat menggunakan uji dua arah untuk mendapatkan fungsi kuasa bagian 3, tapi untuk nilai dan yang berbeda, dengan. Terdapat kemungkinan mendapatkan ukuran sampel untuk uji ini. Sebagai contoh, untuk uji bagian 1, ingin didapat untuk. Hal ini membutuhkan nilai sehingga ( ) ( ) Persamaan ini tidak dapat diselesaikan secara eksplisit untuk, tetapi aturan iterasi berdasarkan percentile pada Tabel 4 (Lampiran C) dapat digunakan untuk mencari nilai khusus,, dan. Hal ini juga diinginkan untuk mendapat rumus pendekatan yang memberikan secara eksplisit sebagai fungsi dari nilai. Seperti pendekatan yang berdasarkan pada pendekatan normal, dimana telah diberikan di bab 8. Jika pendekatan jumlah sampel ini digunakan uji dua arah dari persamaan ( ), maka hal ini mungkin untuk mendapat pendekatan ( ) [ ( ) ] ( ) Contoh Ingin uji dengan, untuk dan kuasa adalah benar. Berdasarkan pendekatan ( ) dengan,, dan ( ) didapat. Jika dihitung kedua arah persamaan ( ) untuk nilai, didapat keputusan baik saat, dimana sesuai dengan. Uji Dua Sampel Kemungkinkan untuk uji hipotesis variansi dari dua distribusi normal, andaikan, digunakan uji statistik F sebagai berikut: ( ) dimana jika benar. Teorema Andaikan dan adalah nilai teramati sampel acak saling bebas dari dan, berturut-turut, dan diberikan uji statistikya sebaga berikut: ( ) Ada 3 kemungkinan menolak H 0, yakni: 128

129 1. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. 2. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. 3. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika atau menolak jika ( ). Jika variansi tidak diketahui tapi bernilai sama, maka uji hipotesis rata-rata dapat dicari menggunakan distribusi t. Diberikan oleh dimana didefinisikan oleh persamaan (11.5.7). ( ) Teorema Andaikan dan adalah nilai sampel acak saling bebas dari dua populasi yang berdistribusi normal, masing-masing dan, dimana. Berikut ini ada 3 kemungkinan untuk menolak H 0, yakni: 1. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. 2. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. 3. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. atau. Fungsi kuasa untuk uji ini menggunakan distribusi noncentral t. Hal ini mungkin untuk menentukan sampel yang besarnya sama untuk uji satu arah dengan kuasa menggunakan Tabel 8 (Lampiran C) dengan. Untuk uji dua arah, besarnya adalah. variansi yang berbeda, pendekatan uji dapat dilakukan berdasarkan pendekatan statistik t Welch yang diberikan oleh persamaan ( ). Uji Sampel Berpasangan t Diasumsikan data berpasangan dari populasi bivariate,, yang saling bebas dan selisihnya berdistribusi normal,, dengan. Satu kemungkinan yang pasti untuk kasus ini adalah jika pasangan tersebut sampel acak dari populasi normal bivariate. Jika pasangannya saling bebas dan masing-masing mempunyai distribusi normal bivariate yang sama, maka selisihnya adalah normal saling bebas dengan rata-rata. Oleh karena itu, uji berdasarkan variabel T dari persamaan ( ) digunakan untuk selisih dari dengan tidak diketahui. Teorema Diketahui nilai dari pasangan variable acak saling bebas,, dan selisihnya berdistribusi normal, dengan rata-rata 129

130 dan variansi. Diberikan dan adalah rata-rata sampel dan variansi sampel dari selisih, untuk, dan diberikan Berikut ini ada 3 kemuninan untuk menolak H 0, yakni: 1. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. 2. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. 3. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika. atau. ( ) 12.4 UJI BINOMIAL Andaikan, uji untuk p akan didasarkan pada kecukupan statistik. Teorema Diberikan, untuk n ada 3 kemungkinan untuk menolak H 0, yakni: 1. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan, menolak jika 2. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji, menolak jika 3. Dengan tingkat kepercayaan untuk menguji, menolak jika Ketika, didapat Seperti pada contoh uji satu arah, kemungkinan untuk menolak akan kurang dari α untuk nilai p yang lain pada hipotesisnol. Teorema Andaikan merupakan CDF binomial. Nilai S yang diamati ditunjukkan oleh s. Ada 3 kemungkinan menolak H 0, yakni: 1. Dengan tingkat kepercayaan yang konservatif untuk menguji, menolak jika 2. Dengan tingkat kepercayaan yang konservatif untuk menguji, menolak jika 130

131 3. Uji dua sisi yang konservatif untuk menguji, menolak jika Konsep dari uji hipotesisdapat dijelaskan dengan model berikut. Jika kasus pertama adalah uji ditolak jika s yang diamati kecil dan tidak mungkin ( α) saat. jadi daerah kritis mempunyai ukuran α. Pada kasus 2 jika menjadi nilai yg diuji maka, ujinya akan mempunyai tingkat kepercayaan α; sebaliknya, disebut konservatif. Untuk uji hipotesisdari dua populasi,andaikan X, X dan Y independen. MLEnya adalah.,. Jika maka ( ) Dengan tingkat kepercayaan α untuk menguji dengan akan menolak UJI POISSON Uji rata-rata dari distribusi poisson dapat ditulis. Pada teorema berikut ini,. Teorema Diberikan sampel acak dari. Ada 3 kemungkinan menolak H 0, yakni: 1. Dengan tingkat kepercayaan yang konservatif untuk menguji 2. Dengan tingkat kepercayaan yang konservatif untuk menguji. 3. Uji dua arah ukuran α dari H 0 : sedangkan akan menolak H 0 jika 2n (2s) atau 2n (2s+2). Dengan menggunakan hasil pada latihan 18 bab 8 ada kemungkinan untuk uji chi-square percentil. H 0 bagian 1 ditolak jika 2n (2s) dan H 0 bagian 2 ditolak jika 2n (2s+2) UJI KUASA Diberikan mempunyai pdf dan daerah kritis C. Fungsi kuasa korespondensi untuk C adalah [ ] 131

132 Definisi Uji dari dengan yang didasarkan pada daerah kritis C* dikatakan sebagai uji kuasa dengan tingkat kepercayaan α jika 1., dan 2. untuk sembarang daerah kritis C dari ukuran α [ ] Daerah kritis, C*, disebut uji kuasa dengan tingkat kepercayaan α. Teorema berikut ini menunjukkan bagaimana mendapatkan uji kuasa dari uji hipotesissederhana. Teorema Lemma Neyman-Paerson Misalkan mempunyai pdf. Diberikan dan C* = { } dimana k adalah konstanta, sehingga [ ] Maka C* adalah uji kuasa dengan tingkat kepercayaan α untuk menguji dengan BUKTI : Untuk membuktikan, ambil notasi vektor, dan. Jika A adalah sebuah kejadian dimensi ke-n, diberikan [ ] Untuk kasus kontinu. Untuk diskrit caranya sama, dengan mengganti integral. Akan digabungkan komplemen dari himpunan C oleh. Dengan catatan bahwa jika A adalah subset dari C*, maka [ ] [ ] karena. Begitu juga, jika A adalah sebuah subset dari, maka [ ] [ ] Perhatikan bahwa dari sembarang daerah kritis C didapatkan ( )dan Selanjutnya, [ ] [ ] dan [ ] [ ] Dan selisihnya adalah [ ] [ ] 132

133 Kombinasi persamaan [ ] [ ] Dengan dan [ ] [ ] dan [ ] [ ] didapat sehingga [ ] [ ] { [ ] [ ]} dengan pada sisi kanan dari pertidaksamaan ini, didapatkan [ ] Jika C adalah daerah kritis dari α, maka, maka sisi kanan dari pertidaksamaan adalah 0, selanjutnya Filsafat umum dari Neyman-Pearson untuk uji hipotesis adalah mengambil nilai sampel ke dalam daerah kritis. Faktanya, lemma Neyman-Pearson menyatakan bahwa kriteria untuk memilih nilai sampel berdasarkan pada besarnya rasio dari fungsi likelihood dari dan. Contoh Diketahui sample acak berukuran n dari distribusi eksponensial dengan dimana. Lemma Neyman-Pearson menyatakan menolak jika ( ) ( ) dimana k adalah [ ], batas bawah.sehingga. Akan menguji jadi, [ ] [ ( ) ] [ ] [ ] dimana ( )/. Perhatikan bahwa pada pertidaksamaan berubah karena pada kasus ini. Sehingga, uji kuasa daerah kritis mempunyai bentuk C* = { }. Perhatikan bahwa batas bawah,dipunyai, jadi bahwa akan memberi daerah kritis pada tingkat kepercayaan α, dan uji ekuivalen akan menolak jika. Sama halnya, jika ingin menguji dengan dengan, maka uji kuasa dengan tingkat kepercayaan, jika. Perbedaan antara dua uji ini adalah tanda dari pada dua kasus yang berbeda. Dengan kata lain, pada 133

134 sisi kanan sebuah persamaan [ ] [ ] menjadi [ ] jika untuk dengan, yang mana korespondensi untuk. Catatan bahwa cara ini berlaku C* bergantung pada hipotesisalternatif. Begitu juga, uji kuasa dari adalah sama. Contoh Diketahui sampel acak berukuran n dari distribusi normal dengan rata-rata nol,. Akan diuji dengan dengan. Pada kasus ini, ( ) [ ] ( ) [ ] Selanjutnya, ekuivalensi terhadap untuk konstanta. Karena, dipunyai, dan uji kuasa mempunyai bentuk { }. Perhatikan juga bahwa kurang dari, akan menolak jika. Dengan catatan bahwa jika, uji kuasa dari tingkat kepercayaan akan ditolak jika Σ. Contoh Dapatkan uji kuasa dari dengan berdasarkan pada statistik. Didapatkan : sehingga atau Karena { } [ ], saat log negatif dan uji jika. Sekarang [ ] jadi, untuk nilai integral i = 1,., n, uji kuasa dari tingkat kepercayaan, menolak jika. Untuk menentukan tingkat kepercayaan, uji akan memilih konservasi seperti pembahasan di awal. Contoh Diberikan sample acak berukuran n, akan diuji dengan. Didapatkan : 134

135 Jadi, ditolak jika. Dari teorema limit dapat digunakan untuk mendapatkan pendekatan nilai kritis. Diketahui jika,maka, dan Demikian, pendekatan tingkat kepercayaan pada uji akan menolak jika ( ) Konsep uji kuasa akan diperluas pada kasus hipotesiskomposit UJI KESERAGAMAN KUASA (UMP) Di bagian terakhir, dapat dilihat bahwa dalam beberapa kasus pengujian yang sama terdapat uji kuasa terhadap nilai-nilai alternative yang berbeda. Jika dalam uji tersebut terdapat uji kuasa untuk menolak setiap nilai yang mungkin dalam hipotesis alternative komposit, maka uji tersebut dinamakan uji keseragaman kuasa Definisi Diberikan,: mempunyai pdf bersama f(, ; θ) untuk Ω dan H 0 : Ω sedangkan : Ω - Ω o, dimana Ω o subset dari Ω. A adalah daerah kritis, disebut keseragaman kuasa (UMP) dengan tingkat kepercayaan jika : dan (θ) (θ) Untuk semua Ω - Ω o dan semua daerah kritis C dengan tingkat kepercayaan α. Hal itu menunjukkan didefinisikan uji UMP untuk tingkat kepercayaan α jika mempunyai nilai α, dan jika untuk semua nilai parameter, mempunyai nilai maksimum kuasa relative untuk semua daerah kritis dari tingkat kepercayaan α Contoh Diberikan sampel acak dengan ukuran n dari distribusi eksponensial, ~ EXP (θ). Seperti pada contoh bahwa uji kuasa dengan tingkat kepercayaan α H 0 : θ = θ 0 dengan : θ = θ 1 ketika θ 0 >θ 1 untuk menolak H 0 jika 2n / θ 0 = 2 / θ 1 (2n). karena tidak bergantung pada nilai particular dari θ 1, tetapi kenyataanya bahwa θ 1 > θ 0 itu menunjukkan bahwa uji UMP dari H 0 : = θ 0 dengan H α : θ > θ 0. Catatan juga bahwa fungsi kuasa untuk uji ini bisa di ekspresikan dengan syarat CDF chi square, H(c;v) dengan v = 2n. (θ) = 1 H [(θ 0 / θ) (2n) ; 2n] bernilai (θ 0 / θ)[2 / θ 0 ] = 2 / θ 0 ~ X 2 (2n) ketika θ bernilai benar. karena (θ) adalah fungsi naik dari θ, max (θ) = ( 0 ) = disebut uji UMP dengan tingkat kepercayaan α untuk hipotesis komposit H 0 : 0 dengan H α : > 0 135

136 Sama halnya dengan uji UMP dari: = 0 dengan H α : < 0, menolak H 0 jika 2n / θ 0 (2n). dan fungsi kuasanya adalah (θ) = H [(θ 0 / θ) (2n) ; 2n] Definisi Pdf bersama f(x; ) dikatakan mempunyai monoton likelihood ratio (MLR) pada statistik T=t(X) jika terdapat dua atau lebih nilai dari parameter,rasio nya bergantung pada x melalui fungsi t(x), dan rasio ini bukan penurunan fungsi dari t(x). Contoh Diberikan sample acak ukuran n dari distribusi eksponensial, X i EXP. =(1/ ) n exp (- ) dan ( ) [ ] Dimana sample acak ini tidak bergantung pada fungsi t(x)= jika Sehingga f(x; ) mempunyai penyelesaian MLR dalam statistik T= MLR juga berlaku pada statistik, karena merupakan peningkatan fungsi dari T. MLR bisa digunakan dalam pengujian UMP. Teorema Jika pdf bersama f(x; ) mempunyai rasio monoton likehood T = t(x), maka uji UMP dengan 0] P[t(X) k ukuran α untuk H 0 : θ θ dengan H α : > 0, menolak H 0 jika t(x) k dimana = α Untuk menguji H 0 : 0 dengan : < 0 juga bisa diselesaikan dengan pendekatan MLR tetapi tidak sesuai dengan teorema Contoh Di berikan sampel acak dengan ukuran n dari dua parameter distribusi eksponensial ~. Pdf bersama : [ ] { Jika 1 < 2, maka { [ ( ] Fungsi diatas tidak bisa berlaku untuk, tetapi tidak menjadi masalah, sebab P[ ] = 0 ketika merupakan nilai benar dari. Selanjutnya rasio bukan fungsi naik dari dan MLRnya. Menurut teorema uji UMP dengan tingkat kepercayaan untuk menguji dengan menolak jika dimana [ ] [ ]. Didapat Teorema Diberikan,, mempunyai pdf bersama : F(x;θ) = c (θ)h(x)exp[q(θ)t(x)] Dimana q(θ) adalah fungsi naik dari θ 136

137 Ada 2 kemungkinan menolak H 0, yakni: 1. Suatu uji UMP dengan tingkat kepercayaan α untuk menguji H 0 : θ 0 dengan : > 0, menolak H 0 jika t(x) k, dimana P[t(X) k 0 ] = α 2. Suatu uji UMP dengan tingkat kepercayaan α untuk menguji H 0 : 0 dengan : < 0, menolak H 0 jika t(x) k, dimana P[t(X) k 0 ] = α Bukti : Jika 1< 2, maka q( 1 ) < ( 2 ) sehingga {[ ]} Fungsi diatas merupakan fungsi naik dari t(x) karena >0.Teorema ini mengikuti kriteria MLR. Contoh Diberikan sampel acak dengan ukuran n dari distribusi poisson ~..pdf bersama = untuk semua = exp [(ln ) ] diketahui q = ln dan t(µ) =. Uji UMP dengan tingkat kepercayaan α untuk H 0 : 0 dengan : < 0 akan menolak H 0 jika T = k dimana P[T k]= α. Karena T ~ POI (n ), harus mendapatkan ( t /t! = α Terdapat masalah diskrit, tetapi uji yang di jelaskan pada theorem ini merupakan uji UMP untuk nilai-nilai tertentu yang dapat dicapai. UJI UNBIASED Disebutkan sebelumnya bahwa dalam beberapa kasus pengujian UMP mungkin tidak ada, khususnya untuk alternatif dua sisi, mungkin ada pengujian UMP antara kelas terbatas yaitu pengujian "unbiased" DEFINISI Pengujian dari H o : θ Ω o dengan : Ω - Ω o adalah unbiased jika DEFINISI Pengujian dari H o : θ Ω o sedangkan Hα : min π(θ) max π(θ) Ω - Ω o adalah unbiased jika ɵ Ω-Ωo ɵ Ωo Dengan kata lain kemungkinan H o ditolak bernilai salah ketika minimum dan kemungkinan H o ditolak bernilai benar ketika maksimum. 137

138 Contoh sampel acak dengan ukuran n dari distribusi normal dengan mean nol, ~. Diinginkan untuk menguji H o = = dengan, : berdasarkan statistic uji =. H o diketahui bahwa ~ (n).jadi untuk uji dua arah daerah kritis sama dengan bagian 3 dari theorem , akan menolak H o jika (n). dengan kata lain, sampel dengan ukuran n = 2 dan tingkat kepercayan = 0.05 untuk H o : = 1. Grafik fungsi kuasa untuk uji ini diberikan dalam gambar 12.5 Nilai minimum dari π tergantung pada nilai, sehingga pengujian sangat lemah untuk menolak H o untuk beberapa nilai dibandingkan ketika. Konsekuensinya adalah uji ini tidak unbiased. Hal itu memungkinkan untuk membangun uji unbiased dua arah jika mengabaikan kesamaan uji ua arah dengan memilih satu bagian dari nilai kritis (n) dan (n) dengan + = α tetapi (lihat latihan 26). Dapat ditunjukkan bahwa uji dideskripsikan atas uji UMP diantara kelas terbatas dari uji unbiased H 0.Kenyataanya, di tunjukkan bahwa itu bias, dalam kondisi tertentu untuk pdf bersama yang diberikan pada persamaan , keseragaman uji kuasa (UMPU) dari H 0 : θ = θ 0 sedangkan : θ θ 0 ada. metode untuk penurunan uji UMPU diberikan oleh Lehmann (1959), tetapi tidak dibahas disini UJI GENERALIZED LIKELIHOOD RATIO (UJI GLR) Uji GLR merupakan perluasan dari uji Neyman-Pearson. Definisi Misalkan X = (X 1,, X n ) dimana X 1,, X n memiliki pdf bersama f(x; ) untuk Dengan Hipotesis: H 0 : 0 : - 0 Maka, generalized likelihood ratio (GLR) didefinisikan dengan 138

139 ( ) ( ) Dimana menunjukkan MLE biasa dari, dan menunjukkan MLE dengan batasan bahwa H 0 benar. Menurut definisi di atas, dapat dikatakan bahwa dan didapatkan dari memaksimalkan f(x; ) terhadap dan 0. Uji GLR ini digunakan untuk menolak H 0 jika k, dimana k dipilih untuk melengkapi tingkat kepercayaan. Contoh Misalkan X i N(, 2 ), dimana 2 diketahui, akan dilakukan uji untuk hipotesis: H 0 : 0 : 0 MLE biasa (tanpa batasan) adalah ( ) ( ), dan GLRnya adalah: = [ ] [ ( ) ] = [ ] [ ( ) ] = [ ( ) ] dikatakan menolak H 0 jika k, ekuivalen dengan Z 2 = [ ( ) ] Dimana Z dan Z 2 (1), jadi tingkat kepercayaan α akan menolak H 0 jika: Z 2 atau Z atau Z Contoh Akan dilakukan pengujian hipotesis H 0 : 0 dengan : 0. Uji GLR pada contoh ini didapatkan dari penurunan uji UMP satu arah yang didasarkan pada nilai z. Diberikan MLE dengan =[ 0, ) Karena tingkat kepercayaan besar, ditentukan daerah kritis dari statistik GLR untuk { { pada uji ini cukup kecil untuk menolak H 0 dengan nilai yang [ ( ) ] Dengan batasan H 0, diperoleh P[λ(X)<1] = P[ ]=0,5 atau < 0.5, k < 1, dan daerah kritisnya tidak akan memuat x sehingga λ(x)=1. 139

140 Dengan kata lain, uji GLR menolak H 0 jika dan λ(x) k yang ekuivalen dengan Z² =[ ( ) ] untuk ; z² k 1 jika dan hanya jika z. Tingkat kepercayaan (untuk < 0.5) menolak H 0 jika yang juga merupakan uji UMP untuk hipotesis ini. Uji GLR dari H 0 : 0 dan : 0 dengan, pemaksimalan fungsi likelihood dengan 0 diberikan oleh { Sehingga { [ ( ) ] Dapat disimpulkan bahwa keduanya memiliki penyelesaian yang sama untuk pengujian sederhana terhadap H 0 : 0 dan : 0. Daerah kritis yang sama juga memberikan tingkat kepercayaan untuk hipotesis null komposit H 0 : 0 karena ( ) ( ), P[Z z 1-0 ] =, dan P[Z z 1- ] < untuk < 0. Terkadang diinginkan untuk melakukan pengujian terhadap hipotesis dengan satu parameter yang tidak diketahui karena adanya parameter bermasalah yang tidak diketahui. Contoh Misalkan X i N(, 2 ), dimana 2 diketahui, akan dilakukan uji untuk hipotesis H 0 : 0 dengan : 0. Hal ini tidak menunjukkan hipotesa null sederhana karena distribusi ini tidak ditetapkan sepenuhnya dibawah H 0. Populasi yang digunakan dua dimensi, { } D] dan H 0 : 0 merupakan penyingkatan notasi dari H 0 : (, ²) 0 dimana { } { }. Himpunan di atas digambarkan pada gambar di bawah ini: 140

141 Pemaksimalan f(x;, ²) di daerah, MLEnya dan ( ), tetapi pada daerah 0 didapatkan dan sehingga, ( ) ( ) = [ ] [ ( ) ] = [ ] [ ( ) ( ) ] = maka dari itu ( ) ( ) = 1 + ( ) ( ) dengan ( ) = ( ) ( ) Dengan batasan H 0 : 0, T= t(n 1) dan T² F(1, n 1) menolak H 0 saat λ(x) bernilai kecil atau dengan nilai T² besar dan tingkat kepercayaan akan menolak jika t -t 1- /2 (n-1) atau t t 1- /2 (n-1) dengan menggunakan uji dua arah berdasarkan pada student s t. Pendekatan GLR juga bisa digunakan untuk dua sampel Contoh Misalkan X N(n 1, p 1 ) dan Y N(n 2,p 2 ) dengan X dan Y independen, akan diuji H 0 :p 1 p 2 =p dengan : p 1 p 2, dimana p tidak diketahui. Populasinya =(0,1) (0,1)={(p 1,p 2 ) 0<p 1 <1 dan 0<p 2 <1}dan subset koresponding untuk H 0 adalah 0={(p 1,p 2 ) ={(p 1,p 2 ) 0<p 1 = p 2 <1} Berdasarkan pada x dan y, MLEnya adalah, pada daerah dan pada daerah 0, statistik GLRnya ( ) ( ) ( ) ( ) 141