TEORI HIMPUNAN. Bahan Ajar - PS S1 Matematika - FMIPA UGM. Sri Wahyuni. Tahun Laboratorium ALJABAR, Jurusan MATEMATIKA, FMIPA UGM
|
|
- Ade Sudirman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 TEORI HIMPUNAN Bahan Ajar - PS S1 Matematika - FMIPA UGM Sri Wahyuni Laboratorium ALJABAR, Jurusan MATEMATIKA, FMIPA UGM Tahun 2014
2 Silabus Teori Himpunan Ekuipoteni Dua Himpunan, Himpunan Denumerabel dan Non Denumerabel beserta sifat-sifatnya; Himpunan Infinite: Induktif dan Non Induktif, Repleksif dan Non Refleksif, Kardinalitas, Aleph Null, Aleph; Aritmatika Kardinalitas; Pembentukan Sistem Bilangan. Teorema Bernstein, dan Teorema Cantor. Prasayarat: Pengantar Logika Matematika dan Himpunan. Materi dapat dibagi atas 2 Bagian: Bagian I dan Bagian II
3 Bagian I: Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga Relasi Ekuivalensi Antar 2 (dua) Himpunan Ekuipotensi Dua Himpunan Berhingga Himpunan Tak Berhingga (Definisi Ketakhinggaan Induktif / Non Induktif, dan Definisi Ketakhinggaan Refleksif / Non Refleksif) Himpunan Denumerabel (Himpunan Denumerabel, Sifat-Sifat Himpunan Denumerabel) Himpunan Non Denumerabel (Metode Diagonal, Non Denurabiltas Himpunan Bilangan Real dan Himpunan Kuasa 2 N
4 Bagian II: Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga Pengertian Kardinalitas Aleph Null dan Aleph Urutan Kardinalitas Similaritas Aritmatika Bilangan Kardinal Ketidaksamaan Bilangan Kardinal
5 Bagian I: HIMPUNAN BERHINGGA DAN HIMPUNAN TAK BERHINGGA.
6 Relasi Ekuivalensi Antar 2 (dua) Himpunan Definition Dua Himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika terdapat pemetaan bijektf dari A ke B. Notasi: himpunan A yang ekuivalen dengan himpunan B dinotasikan dengan A B. Dengan menggunakan sifat-sifat fungsi yang telah dipelajari dalam MK Pengantar Logika Matematika dan Himpunann dapat ditunjukkan bahwa relasi pada keluarga semua himpunan merupakan relasi ekuivalensi yaitu bersifat (1) refleksif, (2) simetris, dan (3) transitif. Jika A dan B saling ekuivalen, sering dikatakan A ekuipoten dengan B.
7 Relasi Ekuivalensi Antar 2 (dua) Himpunan Karena relasi pada keluarga himpunan merupakan relasi ekuivalen maka menurut teorema fundamental tentang relasi ekuivalen maka keluarga himpunan tersebut terpartisi menjadi kelas-kelas ekuivalen. Dengan kenyataan tersebut disimpulkan bahwa keluarga semua himpunan-himpunan akan terpartisi atas kelas-kelas ekuivalensi. Suatu kelas ekuivalensi yang diwakili oleh suatu himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari himpunan-himpunan yang ekuivalen dengan himpunan A.
8 Contoh-Contoh Himpunan Yang Saling Ekuivalen Himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5} ekuivalen dengan himpunan B = {a, i, u, e, o}, sebab dapat dibuat fungsi bijektif f : A B dengan definisi f (1) = a f (2) = i f (3) = u f (4) = e f (5) = o Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, } ekuivalen dengan himpunan bilangan genap G = {2, 4, 6, } sebab dapat dibuat fungsi bijektif f : Z G dengan definsini f (n) = 2n, untuk setiap n N. Himpunanan C = {1, 2, 3, 4} tidak ekuivalen dengan himpunan D = {a, i}, sebab tidak mungkin dibuat fungsi bijektif dari C ke D.
9 Bilangan Kardinal Banyaknya elemen di dalam himpunan A disebut kardinal dari himpunan A. Dinotasikan dengan n(a) atau A. Himpunan berhingga (finite) adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat di nyatakan dengan suatu bilangan cacah. Bilangan kardinal dari himpunan, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3},.. berturut-turut dinyatakan oleh 0, 1, 2, 3,.., dan dinamakan bilngan kardinal berhingga (finite cardinal).
10 Fenomena 1 Dua himpunan berhingga akan saling ekuivalen jika mempunyai banyak elemen yang sama. 2 Himpunan berhingga tidak mungkin ekuivalen dengan himpunan bagian sejati dirinya sendiri. 3 Himpunan tak berhingga dapat ekuivalen dengan himpunan bagiannya. 4 Bagaimana membandingkan dua buah himpunan tak berhingga? 5 Membandingkan dua himpunan tak berhingga, sangat bergantung pada bagaimana dua himpunan tersebut ekuivalen atau tidak.
11 Dua Definisi Himpunan Tak Berhingga Definisi 1: Himpunan A disebut himpunan berhingga (induktif) jika himpunan itu ekuivalen dengan himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan asli N. Jika tidak demikian maka A disebut himpunan tak berhingga (non induktif), yakni jika A tidak ekuivalen dengan dengan himpunan bagian sejati manapun dari himpunan bilangan N. Definisi 2: Suatu himpunan A disebut himpunan tak berhingga (refleksif) jika A ekuivalen dengan himpunan bagian sejadi dari dirinya sendiri. Jika tidak demikian maka A disebut himpunan berhingga (non refleksif), yakni jika A ekuivalen dengan suatu himpunan tak berhingga yaitu jika himpunan itu ekivalen dengan himpunan bagian sejatinya.
12 Ekwalensi Definisi 1 dan Definisi 2 Dapat ditunjukkan Definisi 1 dan Definisi 2 ekuivalen 1 Berhingga (induktif) Definisi 1 Berhingga (non refleksif) Definisi 2 2 Tak Berhingga (non induktif) Definisi 1 Tak Berhingga ( refleksif) Definisi 1 3 Berhingga (non refleksif) Definisi 2 Berhingga (induktif) Definisi 1 4 Tak Berhingga (Refleksif) Definisi 2 Tak Berhingga (non induktif) Definisi 1 Nampak bahwa: implikasi 4 merupakan kontraposisi dari implikasi 1, dan implikasi 3 merupakan kontraposisi dari implikasi 2. Jadi untuk membuktikan ekuivalensi Definisi 1 dan Definisi 2 ini cukup dibuktikan implikasi 1 dan implikasi 2.
13 Pembuktian Implikasi 1 Misalkan A berhingga induktif, maka A memuat n anggota dengan n adalah suatu bilangan asli. Yang harus dibuktikan adalah A tidak mungkin ekuipoten dengan sebarang himpunan bagian sejati dari dirinya sendiri. Pembuktian akan dilakukan dengan menggunakan induksi pada n. Untuk n = 1, himpunan A merupakan singleton. Misalnya A = {a}, maka himpunan bagian sejatinya hanyalah. Karena tidak mempunyai anggota maka tidak mungkin ekuipoten dengan A yang mempunyai anggota.
14 Pembuktian Implikasi 1 Akan dbuktikan jika sifat berlaku untuk A dengan k elemen, maka sifat juga berlaku himpunann A dengan k + 1 elemen. Pembuktian akan dilakukan dengan menggunakan metode Reductio Ad Absurdum (dengan pengandaian). Andaikan A ekuivalen dengan himpunan bagian sejatinya. Misal himpunan bagian sejati yang ekuipoten dengan A adalah A 1. Kemudian diusahakan diturunkan suatu kontradiksi. Sebagai latihan.
15 Pembuktian Implikasi 2 Pembuktian implikasi 2 akan ditunda dulu setelah dibicarakan sifat-sifat tentang himpunan denumerabel.
16 Himpunan Denumerabel, Terbilang, dan Non Denumerabel. 1 Suatu himpunan yang ekuivalen dengan himpunan bilangan asli N disebut himpunan yang denumerabel, dan selanjutnya dikatakan sebagai himpunan yang mempunyai bilangan kardinal aleph null 2 Suatu himpunan dinamakan terbilang (countable) jika himpunan tersebut berhingga atau denumerabel. 3 Sebuah himpunan dinamakan non-denumerabel jika himpunan tersebut tidak ekuivalen dengan himpunan bilangan asli N yakni jika himpunan tersebut tidak terbilang.
17 Remark:. Dari definisi himpunan denumerabel dapat disimpulkan bahwa jika A adalah himpunan denumerabel maka dapat dibuat fungsi bijektif f : N A. Sehingga Image(f ) = A = {f (1), f (2), f (3), } Sehingga diperoleh korespondensi N = { 1, 2, 3, 4,,,, } A = { f (1), f (2), f (3), f (4),,,, } Nampak bahwa pada himpunan A dapat dibentuk urutan (enumerasi) A = {a 1 = f (1), a 2 = f (2), a 3 = f (3), a 4 = f (4), }.
18 Terbentuknya urutan / enumerasi sebagai ciri himpunan denumerabel Dari point-point diatas dapat disimpulkan salah satu ciri dari himpunan yang denumerabel adalah jika himpunan itu dapat diurutkan secara tak hingga atas elemen-elemen yang berbeda yakni dapat dibentuk enumerasi.
19 Denumerabilitas N N Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, } ekuivalen dengan himpunan N N = {(n 1, n 2 ) n 1, n 2 N}. Untuk membuktikan pernyataan diatas, perhatikan enumerasi (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5).. (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5).. (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5).. (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5)
20 Denumerabilitas N N Cara lain menunjukkan N N = {(n 1, n 2 ) n 1, n 2 N} denumerabel, dengan menunjukkan fungsi dengan definisi f : N N N f (n 1, n 2 ) = 2 n 1 1 (2n 2 1) untuk setiap (n 1, n 2 ) N N merupakan merupakan fungsi bijektif.
21 Contoh-Contoh. Himpunan bilangan asli N jelas merupakan himpunan denumerabel sebab pemetaan identitas i : N N merupakan pemetaan bijektif. Himpunan T = { 1 n n N} merupakan himpunan denumerabel, sebab fungsi f : N T dengan definisi f (n) = 1 n untuk setiap n N, merupakan fungsi bijektif Himpunan bilangan bulat negatif Z merupakan himpunan denumerabel sebab fungsi f : N Z dengan definisi f (n) = n untuk setiap n N, merupakan fungsi bijektf.
22 Contoh-Contoh. Himpunan seluruh bilangan bulat Z merupakan himpunan denumerabel sebab fungsi f : N Z dengan definisi f (n) = { n 2, untuk n genap; (n 1) 2, untuk n ganjil. untuk setiap n N, meruapakan fungsi bijektf. Pembuktian Z himpunan bilangan bulat denumerabel juga dengan mudah dapat ditunjukkan dengan memperhatikan dapat dibentuknya enumerasi: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5,
23 Contoh Dengan menggunakan ciri-ciri terbentuknya enumerasi pada himpunan bilangan prima, dapat ditunjukkan bahwa himpunan semua bilangan prima P merupakan himpunan yang denumerabel. Jelaskan sebagai latihan.
24 Sifat-Sifat Terkait Dengan Denumerabiltas Theorem Jika A merupakan himpunan bagian tak hingga dari himpunan bilangan asli N, maka A denumerabel. Berikut garis besar pembuktiannya: Definiskan fungsi f : N A dengan definisi: f (1) adalah bilangan terkecil di A. Untuk n 2 definisikan f (n + 1) = bilangan terkecil di A yang lebih besar dari f (n). Selanjutnya ditunjukan bahwa f bijektif (buktikan sebagai latihan).
25 Sifat-Sifat Terkait Dengan Denumerabiltas Theorem Jika T himpunan denumerabel dan terdapat fungsi bijektif f : T A, maka A juga denumerabel. Bukti: Mengingat T denumerabel, maka terdapat fungsi bijektif h : N T. Selajutnya dibentuk fungsi komposisi f h : N A yang juga bijektif karena komposisi fungsi bijektif juga bijektif. Dengan demikian A denumerabel.
26 Contoh-Contoh Himpunan bilangan rasional positif Q + merupakan himpunan denumerabel. Langkah-langkah pembuktiannya adalah sbb.: Perhatikan bahwa setiap bilangan rasional positif x dapat dinyatakan secara tunggal sebagai px q x dengan p x, q x N tidak mempunyai faktor sekutu. Sehingga dapat dibentuk fungsi dengan definisi f : Q + N N f (x) = (p x, q x ) yang merupakan fungsi injektif. Maka T = image(f ) merupakan himpunan bagian tak berhingga di N N. Mengingat N N denumerabel, maka T juga denumerabel. Mengingat f bijektif dari Q + ke T maka terbukti Q + denumerabel.
27 Sifat-Sifat Terkait Dengan Denumerabiltas Theorem Setiap himpunan bagian tak berhingga dari suatu himpunan denumerabel merupakan himpunan deumerabel lagi. Berikut point-point pembuktian: Misalkan A himpunan denumerabel, dan B adalah sebarang himpunan bagian tak hingga dalam A. Misalkan f : N A fungsi bijektif yang terbentuk karena denumerabiltas dari A.
28 lanjutan bukti Dibentuk T = {n N f (n) B} maka T N dan T tak hingga sebab B tak hingga. Dengan menggunakan sifat sebelumnya diperoleh bahwa T denumerabel. Mengingat fungsi : T B f B juga merupakan fungsi bijektif maka diperoleh, maka dengan menggunakan sifat sebelumnya diperoleh B juga denumerabel.
29 Sifat-Sifat Terkait Dengan Denumerabiltas Theorem Tiap-tiap himpunan tak berhingga memuat suatu subset yang denumerabel. Dengan menggunakan sifat tersebut akan dapat ditunjukkan implikasi 2, yakni suatu himpunan tak berhingga (Non induktif) pastilah tak terhingga (refleksif), yaitu ekuivalen dengan himpunan bagian sejati dari dirinya sendiri. Pembuktian dilakukan dengan metode redutio ad absurdum.
30 Sifat-Sifat Terkait Dengan Denumerabiltas Theorem Jika dari suatu himpunan tak berhingga dikeluarkan sebanyaknya anggota yang banyaknya berhingga atau tak berhingga denumerabel maka jika sisanya masih tak berhingga, sisanya ekuivalen dengan himpunan semula. Dengan menggunakan sifat tersebut diperoleh akibat sebagai berikut: Jika pada suatu himpunan tak berhingga A ditambahkan pada anggota-anggota yang banyaknya berhingga ataupun tak berhingga denumerabel, maka hasilnya adalah suatu himpunan yang ekuivalen dengan A.
31 Sifat-Sifat Terkait Dengan Denumerabiltas Theorem Subset dari himpunan yang terbilang adalah himpunan yang terbilang.
32 Himpunan Non Denumerabiltas Tidak semua himpunan tak berhingga merupakan himpunan denumerabel. Ada banyak himpunan dengan banyak anggota tak berhingga yang non denumerabel. Dengan menggunakan diagonal Cantor, Georg Cantor membuktikan bahwa Interval terbuka (0,1) merupakan himpunan yang non denumerabel.
33 Non Denumerabelitas Interval Terbuka (0,1) Theorem Himpunan bilangan real (0, 1) = {x R 0 < x < 1} merupakan himpunan tak berhingga non denumerabel. Secara analog dapat ditujukkan himpuan interval terbuka 1 (1, 2) = {x R 1 < x < 2} 2 (2, 3) = {x R 2 < x < 3} 3 (3, 4) = {x R 3 < x < 4} 4 dst masing-masing merupakan himpunan non denumerabel
34 Membentuk Himpunan Non Denumerabel Dari Himpunan Non Denumerabel Yang Ada Perhatikan bahwa bila pada himpunan tak berhingga non denumerabel ditambahkan anggota yang lain maka hasilnya masih tetap non denumerabel. Dengan demikian dengan mudah dapat menunjukkan bahwa interval-interval sebagai berikut non denumerabel 1 [0, 1) = {x R 0 x < 1} 2 (0, 1] = {x R 0 < x 1} 3 [0, 1] = {x R 0 x 1} masing-masing merupakan himpunan non denumerabel
35 Non Denumerabiltas Himpunan Kuasa 2 N Theorem Himpunan Kuasa dari Himpunan Bilangan Asli merupakan himpunan tak berhingga non denumerabel. Dengan teorema Cantor diatas akan dapat ditunjukan bahwa untuk sebarang bilangan kardinal akan dapat dibentuk bilngan kardinal yang lebih besar.
36 Garis Besar Pembuktian Non Denumerabiltas Himpunan Kuasa 2 N Andaikan 2 N denumerabel Misalkan A 1, A 2, A 3, adalah enumerasi yang terbentuk. Maka diperoleh pernyataan 1 1 di A 1 atau 1 tidak di A di A 2 atau 2 tidak di A di A 3 atau 3 tidak di A 3 4 dst Jadi untuk setiap bilangan asli i berlaku i di A i atau i tidak di A i.
37 Lanjutan: Garis Besar Pembuktian Non Denumerabiltas Himpunan Kuasa 2 N Himpun semua bilangan asli yang tidak termuat dalam kawan dari himpunannya. Yakni K = {i N i tidak berada dalam A i }. Jelas K 2 N Sehinga K termuat dalam enumerasi A 1, A 2, A 3, yakni K = A k untk suatu k Sehingga ada dua kemungkinan k berada dalam H k atau k tidak berada dalam H k. Dari dua kemungkinan diatas akan dapat diturunkan suatu kontradiksi. Sehingga pengandaian salah. Turunkan kontradiksi tersebut sebagai latihan.
38 Teorema Bernstein Schroder Menurut definisi, dalam membuktikan bahwa suatu himpunan A ekuivalen dengan himpunan B, dilakukan dengan menemukan pemetaan bijektif f : A B. Bila dapat ditemukan pemetaan bijektif tersebut, maka kita katakan bahwa A dan B ekwipoten afektif. Namun tidak selalu mudah untuk mendapatkan pemetaan bijektif tersebut. Untuk mengatasi masalah tersebut, dilakukan dengan menggunakan Teorema Bernstein Schroder. Theorem Jika A ekwipoten dengan subset B 1 dari B, dan sebaliknya B ekwpoten dengan subset A 1 dari A, maka A ekuivalen dengan B.
39 Dimisalkan A ekwipoten dengan subset B 1 dari B, dan sebaliknya B ekwpoten dengan subset A 1 dari A. Dapat dimisalkan bahwa dengan B 1 dan A 1 merupakan subset sejati, sebab jika tidak demikian maka tidak ada yang perlu dibuktikan. Pembuktian selanjutnya sebagai latihan.
40 Contoh Pemakaian Teorema Bernstein Schroder Buktikan bahwa himpunan Interval (0, 1] = {x R 0 < x 1} ekuivalen dengan himpunan pasangan berurutan (0, 1] (0, 1]. Nampak sangat sulit untuk membentuk pemetaan bijektif dari (0, 1] ke (0, 1] (0, 1]. Bukti: Pandang pemetaan f : (0, 1] (0, 1] (0, 1] dengan definsi f (0, x 1 x 2 x 3, 0, y 1 y 2 y 3 ) = 0, x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 (0, 1] untuk setiap (0, x 1 x 2 x 3, 0, y 1 y 2 y 3 ) (0, 1] (0, 1]. Mudah ditujukkan bahwa f merupakan pemetaan injektif. dari (0, 1] (0, 1] ke (0, 1]. Artinya (0, 1] (0, 1] berkorespondensi satu-satu dengan image(f ) yang merupakan himpunan bagian dalam (0, 1].
41 Sebaliknya pandang fungsi g : (0, 1] (0, 1] (0, 1] dengan definisi g(0, x 1 x 2 x 3 ) = (0, x 1 x 2 x 3, 0, 4999 ) untuk setiap 0, x 1 x 2 x 3 (0, 1]. Mudah ditunjukkan bahwa g merupakan pemetaan injektif dari (0, 1] ke (0, 1] (0, 1], artinya (0, 1] berkorespondensi dengan image(g) yang merupakan himpunan bagian dalam bagian dari (0, 1] (0, 1]. Dengan menggunakan Teorema Bernstein disimpulkan bahwa (0, 1] (0, 1] (0, 1].
42 Non-Denumerabilitas Himpunan Bilangan interval (0, 1] Perhatian setiap bilangan real yang berada di (0, 1] dapat dinyatakan secara tunggal sebagai bilangan desimal tak berhingga. Misalnya 0,5 dapat dinyatakan sebagai 0, Sebaliknya setiap bilangan desimal tak hingga merupakan elemen dalam (0, 1] Dari sini nampak ada korespindensi satu-satu antara himpunann pecahan desimal tak hingga dengan himpunan (0, 1]. Sehingga untuk menujukkan (0, 1] non denumearabel cukup jika dapat ditunjukkan himpunan semua pecahan desimal tak hingga tadi non denumerabel.
43 Non-Denumerabilitas Himpunan Bilangan interval (0, 1] Andaikan himpunan semua pecahan desimal tak hingga denumerabel, berarti ada fungsi bijektif f antar himpunan bilaangan asli N dengan himpunan semua pecahan desimal tak hingga. 1 0, a 11 a 12 a 13 a , a 21 a 22 a 23 a , a 31 a 32 a 33 a 34 Para a ij adalah salah satu dari angka 0, 2, 3, 4,5,6,7,8.9, Misalnya 0, a 11 a 12 a 13 a 14 = 0, , a 21 a 22 a 23 a 24 = 0, , a 31 a 32 a 33 a 34 = 0,
44 Non-Denumerabilitas Himpunan Bilangan interval (0, 1] Selanjutnya bentuk bilangan decimal 0, a 11 a 22 a 33 a 44 Selanjutnya kostruksikan bilangan r = 0, a 11 a 22 a 33 a 44 dengan mengambil a ii a ii dengan menghindari r menjadi pecahan decsimal yang berhingga. Sebagai contoh untuk kasus diatas bisa diambil 0, a 11 a 22 a 33 a 44 = 0, maka r dapat diambil 0, a 11 a 22 a 33 a 44 = 0, 4 5 1
45 Non-Denumerabilitas Himpunan Bilangan interval (0, 1] Jelas r tidak ada dalam daftar bilangan desimal 0, a 11 a 12 a 13 a 14 0, a 21 a 22 a 23 a 24 0, a 31 a 32 a 33 a 34 karena a 11 a 11 Dilain pihak r adalah bilangan desimal tak hingga, maka haruslah dia berada dalam daftar. Jadi muncullah kontradiksi, pengandaian harus diingkar.
46 Non-Denumerabilitas Himpunan Bilangan Real R Perhatikan bahwa apabila pada suatu himpunan tak hingga yang non denumerabel ditambahkan unsur-unsur lain maka dengan sendirinya dia tetap non denumerabel. Begitu juga pada saat dikurangi dengan berhingga banyak elemen-elemennya tetaplah non denumerabel. Mengingat (0, 1] non denumerabel, maka bila ditambahkan bilangan-bilngan real lain hasilnya tetap non denumerabel, dan bila dikurangi sebanyaknya hingga bilangan-bilangan real di dalamnya juga tetap non denumerabel. Dengan demikian interval terbuka (0, 1) non denumerabel. Dengan menggunakan kenyataan ini akan dibuktikan bahwa R juga non denumerabel. Dengan demikian diperoleh bahwa (0, 1] dengan (0, )] dan [0, 1].
47 Non-Denumerabilitas Himpunan Bilangan Real R Selanjutnya secara geometri dapat ditujukkan bahwa sebarang interwal (a, b) dan (c, d) juga saling ekuivalen. Untuk membuktikan hal tersebut dapat juga dengan mempertimbangkan fungsi f : (a, b) (c, d) yang didefinisikan sbb.: f (x) = d e bc ad x + b a b a untuk setiap x (a, d), merupakan fungsi bijektif. Perhatian bahwa secara geometri juga dapat ditunjukkan bahwa interval ( π 2 ), π 2 ) ekwipoten dengan R yakni dengan memandang fungsi f : (0, 1) R yang didefinisikan f (x) = tan(πx π 2 ) untuk setiap x (0, 1), merupakan fungsi bijektif.
48 Akibat: Dengan terbuktinya bahwa (0, 1] (0, 1] (0, 1], dan mengingat himpunan semua bilangan real R ekuivalen dengan setiap interval tertutup maupun terbuka, maka diperoleh (0, 1] R dengan demikian diperoleh (0, 1] (0, 1] R R dan karena (0, 1] (0, 1] (0, 1], maka diperoleh H R R. Selanjutnya karena (0, 1) (0, 1] dan [0, 1] (0, 1], maka diperoleh (0, 1) [0, 1] (0, 1]. Mengingat (0, 1] (0, 1] (0, 1] R R. maka diperoleh setiap interval terbuka maupun tertutup ekuivalen dengan R R
49 Interpretasi Geometris Akibat Di atas Himpunan titik pada suatu ruas garis (segmen) garis bagaimanapun kecilnya adalah ekuivalen denga semua titik pada bidang datar.
50 SOAL-SOAL LATIHAN: 1 Tunjukkan bahwa himpunan bilangan bulat kelipatan 3 merupakan himpunann denumerabel 2 Tunjukkan bahwa himpunan bilangan buat lebih besar atau sama dengan 10 merupakan himpunan denumerabel 3 Tunjukkan bahwa himpunan N {4, 5} deumenrabel 4 Tunjukkan himpunan semua bilangan rasional denumerabel 5 Buktikan bahwa himpunan triple bilangan asli N N N merupakan himpunan denumerabel. 6 Buktikan bahwa himpunan bilangan rasional Q merupakan himpunan denumerabel.
51 SOAL-SOAL LATIHAN: 1 Buktikan bahwa union dari dua himpunan denumerabel yang saling asing juga denumerabel 2 Buktikan bahwa union dari sebarang dua himpunan denumerabel (tidak harus yang saling asing) juga denumerabel 3 Buktikan jika ada funsi injektif dari A k N, maka A berhingga atau denemerabel. Perhatikan bahwa syarat injektif tidak dapat diabaikan. Berikan counter example untuk menyetakan hal tersebut. 4 Buktikan jika ada fungsi surjektif dari N ke A maka A berhingga atau denumerabel.
52 Bagian II: BILANGAN KARDINAL DAN ARITMATIKA BILANGAN KARDINAL.
53 Pengantar: Sudah kita ketahui bahwa relasi ekuipoten antar dua himpunan merupakan relasi ekuivalensi. Sebagai akibatnya terbentuklah partisi pada keluarga semua himpunan. Kelas ekuivalensi yang terbentuk merupakan keluarga himpunan yang saling ekuivalen Misalnya himpunan A berhingga, maka elemen-elemennya dapat dikawankan dengan dengan bilangan-bilangan 1, 2, 3,, dst karena A berhingga maka tentu berhenti pada suatu n, sehingga A ekuipoten dengan H = {1, 2, 3,, n}. Selanjutnya setiap himpunan yang ekuipoten dengan dengan A akan ekuipoten dengan H dan sebaliknya. Dengan demikian bilangan n juga merupakan tanda yang dikaitkan pada A dan pada semua himpunan yang ekuipoten dengan A.
54 Kardinalitas Himpunan Berhingga Definition Dua himpunan dikatakan mempunyai kardinalitas yang sama jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut ekuipoten. Kardinalitas himpunan A ditulis dengan lambang A. Dengan definisi tersebut, untuk himpunan berhingga Kardinalitas sama dengan 0 Kardinalitas {1}, {i}, {a} sama dengan 1 Kardinalitas {1, 2}, {, { }}, {a, 5} sama dengan 2 dst
55 Kardinalitas Himpunan Tak Berhingga Definition Kardinalitas dari himpunan bilangan asli N dan semua himpunan denumerabel disebut Aleph Null dan dinotasikan dengan lambang ℵ 0. Kardinalitas dari himpunan bilangan real R dan semua himpunan ekuipoten dengan R disebut Aleph dan dinotasikan dengan lambang ℵ, yang juga sering disebut sebagai Continum.
56 Contoh-Contoh Kardinalitas dari himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan genap, dan himpunan bilangan ganjil, dan himpunan bilangan prima adalah ℵ 0, sebab mereka merupakan himpunan denumerabel. Kardinalitas dari sebarang interval tertutup, setengah terbuka, terutup pada garis real adalah ℵ. Kardinalitas dari himpunan bilangan kompleks C dan himpunan R R adalah ℵ karena mereka adalah himpunan tak hingga yang non denumerabel.
57 Sifat-Sifat Kardinalitas dari 2 N Theorem Bilangan kardinal dari himpunan kuasa 2 A dari A pasti lebih besar dari bilangan kardinal dari A yaitu 2 A > A. Bukti sebagai latihan. Theorem Bilangan kardinal dari himpunan kuasa 2 N sama dengan ℵ. Bukti sebagai latihan.
58 Aritmatika Bilangan Kardinal Definition Jika A dan B saling asing, maka dapat didefinsikan jumlahan bilangan kardinal dari A dan B sebagai A + B = A B. Definition Untuk sebarang himpunan A dan B, perkalian anatar bilangan kardinal A dan B didefinsikan sebagai A. B = A B.
59 Ketaksamaan Bilangan Kardinal Definition Misalkan A ekuivalen dengan subset dari himpunan B, yakni ada sebuah fungsi injektif f : A B, maka kita dapat menuliskan bahwa A B. Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk sebarang himpunan A berlaku A 2 A.
60 Referensi: 1 Devlin, K. (2004), Sets, Functions and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics, 3th. Ed., Chapman and Hall, London. 2 Lipschutz, S. (1964), Set Theory and Related Topics, Schaum Series, McGraw-Hill, Inc. 3 Soehakso, RMJT, (19193), Pengantar Matematika Modern, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan Tinggi. 4 Stoll, R. R., (1963), Set Theory and Logic, Eurasia Publishing House (PUT) LTD, New Delhi. 5 Suppes, P., (1960), Axiomatic Set Theory, D. Van Nostrand Compny, Inc, Princeton.
PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciBAB V HIMPUNAN TAK BERHINGGA. Mahasiswa memahami himpunan berhingga dan tak-berhingga, himpunan
BAB V HIMPUNAN TAK BERHINGGA Tujuan Instuksional Umum Mahasiswa memahami himpunan berhingga dan tak-berhingga, himpunan denumerabel dan non-denumerabel, himpuna countabel dan non-countabel. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciMendeskripsikan Himpunan
BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang
Lebih terperinciMendeskripsikan Himpunan
BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciRPKPS MATA KULIAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM
RPKPS MATA KULIAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM 1 Judul, Kode, SKS Pengantar Logika Matematika Dan Himpunan, MMM 1201, 3 SKS 2 Silabus Semesta Pembicaraan, Kalimat Deklaratif, Ingkaran
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciPENDAHULUAN. 1. Himpunan
PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.
BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan
Lebih terperinciPERTEMUAN 5. Teori Himpunan
PERTEMUAN 5 Teori Himpunan Teori Himpunan Definisi 7: Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdfinisi dengan jelas Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Enumerasi artinya menuliskan semua elemen (anggota)
Lebih terperinciTeori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo
1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.
Lebih terperinciPengantar Analisis Real
Modul Pengantar Analisis Real Dr Endang Cahya, MA, MSi P PENDAHULUAN ada Modul ini disajikan beberapa topik pengantar mata kuliah Analisis Real, yang terbagi dalam beberapa kegiatan belajar yang harus
Lebih terperinciBAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10}
BAB I HIMPUNAN 1 1. Definisi Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing masing objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi
Lebih terperinciLogika, Himpunan, dan Fungsi
Logika, Himpunan, dan Fungsi A. Logika Matematika Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar. 1) Kalimat Matematika Kalimat
Lebih terperinciTeori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Teori Himpunan Drs. Sukirman, M.Pd. M PENDAHULUAN odul ini memuat pembahasan teori himpunan dan himpunan bilangan bulat. Teori himpunan memuat notasi himpunan, relasi dan operasi dua himpunan atau
Lebih terperinci1.1 Pengertian Himpunan. 1.2 Macam-macam Himpunan. 1.3 Relasi Antar Himpunan. 1.4 Diagram Himpunan. 1.5 Operasi pada Himpunan. 1.
I. HIMPUNAN 1.1 Pengertian Himpunan 1.2 Macam-macam Himpunan 1.3 Relasi Antar Himpunan 1.4 Diagram Himpunan 1.5 Operasi pada Himpunan 1.6 Aljabar Himpunan Pengertian Himpunan 1. Apa yang dimaksud dengan
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN Penyajian Himpunan
TEORI HIMPUNAN 1.1. Penyajian Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinciBAB VI BILANGAN REAL
BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciBAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP
BAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari bab ini adalah sebagai berikut. (1) Dapat memberikan sepuluh contoh notasi dalam teori bilangan dan menjelaskan masing-masing
Lebih terperinciHimpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan Dra. Kusrini, M.Pd. PENDAHULUAN D alam Modul 1 ini ada 3 kegiatan belajar, yaitu Kegiatan Belajar 1, Kegiatan Belajar 2, dan Kegiatan Belajar 3. Dalam Kegiatan Belajar 1, Anda akan mempelajari
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai
Lebih terperinciTeori Himpunan Elementer
Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Assalamu alaikum Wr. Wb.
KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Matematika tidak dapat terlepas dalam kehidupan manusia sehari-hari, baik saat mempelajari matematika itu sendiri maupun mata kuliah lainnya. Mata kuliah Pengantar
Lebih terperinciHIPOTESIS KONTINUUM SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
HIPOTESIS KONTINUUM SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: R. Pudji Tursana NIM: 943114004 NIRM: 940051180810004 PROGRAM STUDI MATEMATIKA
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciMODUL 1. A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat keanggotaan tertentu.
MODUL 1 A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat keanggotaan tertentu. 2. Penyajian Himpunan Suatu himpunan dapat disajikan dengan
Lebih terperinciBAB V RELASI DAN FUNGSI
BAB V RELASI DAN FUNGSI 6.1 Pendahuluan Relasi atau hubungan antara himpunan merupakan suatu aturan pengawasan antar himpunan tersebut, sebagai contohnya kalimat adalah ayah b atau kalimat 4 habis diabgi
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan Real
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan
TEORI HIMPUNAN A. Penyajian Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Dalam
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciHIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) EvanRamdan
HIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari benda atau objek yang berbeda dan didefiniskan secara jelas Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciHIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com
HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Pertemuan Standar kompetensi: mahasiswa memahami cara membangun sistem bilangan real, aturan dan sifat-sifat dasarnya. Kompetensi dasar Memahami aksioma atau sifat aljabar bilangan real Memahami fakta-fakta
Lebih terperinciTeori Himpunan Ole l h h : H anu n n u g n N. P r P asetyo
Teori Himpunan Oleh : Hanung N. Prasetyo Meski sekilas berbeda, akan kita lihat bahwa logika matematika dan teori himpunan berhubungan sangat erat. Matematika Diskrit Kuliah-2 2 Definisi: himpunan (set)
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinciBahan kuliah Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Didin Astriani P, M.Stat. Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri
Bahan kuliah Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Didin Astriani P, M.Stat Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek
Lebih terperinciKomposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers
Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar
Lebih terperinciBAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi
Lebih terperinci1.3 Pembuktian Tautologi dan Kontradiksi. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi
1.3 Pembuktian 1.3.1 Tautologi dan Kontradiksi Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi yang membentuknya disebut toutologi, sedangkan proposisi yang selalu bernilai salah
Lebih terperinci1 Pendahuluan I PENDAHULUAN
1 Pendahuluan 1.1 Himpunan I PENDAHULUAN Himpunan merupakan suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Mengapa himpunan adalah hal yang sangat penting dalam matematika?, untuk mencari jawaban
Lebih terperinciTeori Himpunan. Author-IKN. MUG2B3/ Logika Matematika 9/8/15
Teori Himpunan Author-IKN 1 Materi Jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Hukum-Hukum Operasi Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan 2 Teori Himpunan Himpunan Sekumpulan elemen unik, terpisah,
Lebih terperinciMateri 1: Teori Himpunan
Materi 1: Teori Himpunan I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali Himpunan (set) kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Terdapat beberapa cara
Lebih terperinciH I M P U N A N. A. Pendahuluan
H I M P U N A N A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (1845-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman. Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang
Lebih terperinciBAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL
8.1 Pendahuluan BAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL Pada sistem bilangan bulat, bentuk persamaan yang melibatkan perkalian belum tentu memiliki solusi. Keadaan ini juga ditemui pada kasus pembagian sebuah
Lebih terperinciPerhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b
2 SISTEM BILANGAN Perhatikan skema sistem bilangan berikut Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan bulat adalah bilangan yang
Lebih terperinciHIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI
Kegiatan Belajar Mengajar 4 HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI Zainuddin Akina Kegiatan belajar mengajar 4 ini akan membahas tentang himpunan, relasi, dan fungsi.. Kegiatan belajar mengajar 4 ini mencakup 3 pokok
Lebih terperinci3 TEORI KONGRUENSI. Contoh 3.1. Misalkan hari ini adalah Sabtu, hari apa setelah 100 hari dari sekarang?
Pada bab ini dipelajari aritmatika modular yaitu aritmatika tentang kelas-kelas ekuivalensi, dimana permasalahan dalam teori bilangan disederhanakan dengan cara mengganti setiap bilangan bulat dengan sisanya
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional
SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas
Lebih terperinciLogika Matematika Modul ke: Himpunan
Logika Matematika Modul ke: Himpunan Fakultas FASILKOM Syukri Nazar. M.Kom Program Studi Teknik Informatika Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI. f : x y
. Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DAN HIMPUNAN PERTEMUAN I
PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DAN HIMPUNAN PERTEMUAN I oleh : Lisna Zahrotun, S.T, M.Cs lisna.zahrotun@tif.uad.ac.id lisnazahrotun.tif.uad.ac.id 1 Penilaian : 1. UTS 25% 2. UAS 30% 3. Keaktifan 4. Praktikum
Lebih terperinciMatematika Komputasional. Himpunan. Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB
Matematika Komputasional Himpunan Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah
Lebih terperinciFungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan
Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinciInduksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.
Induksi Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan: Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciHIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com
HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H
MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015 Universitas Gunadarma Halaman BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur,
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan (set)
BAB 1 HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek-objek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Anggota Himpunan Objek di dalam himpunan disebut elemen,
Lebih terperinciBAB I SET DAN RELASI
BAB I SET DAN RELASI 1.1. SET, ELEMEN (UNSUR) Set adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam semua cabang matematika. Secara intuitif, suatu set adalah sesuatu yang didefinisikan dengan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP)
Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : HENDRIJANTO, M.Pd FAKULTAS PENDIDIKAN MIPA IKIP PGRI MADIUN M A D I U N 2011 BAB I Pendahuluan Dasar-dasar teori berikut ini sangat penting dalam pembahasan
Lebih terperinciHIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma
HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Lebih terperinciDiktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : FEBRUL DEFILA, S.Pd
Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : FEBRUL DEFILA, S.Pd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) PGRI SUMATERA BARAT 2012 BAB I Pendahuluan Dasar-dasar
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Bahan kuliah Matematika Diskrit 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan,
Lebih terperinciBAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi juga dapat diterapkan
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
Lebih terperinciH I M P U N A N. 1 Matematika Ekonomi Definisi Dasar
H I M P U N A N 1.1. Definisi Dasar Definisi 1.1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu
Lebih terperinciArief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs
Arief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs ariefikhwanwicaksono@gmail.com masawik.blogspot.com @awik1212 Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika
Lebih terperinciBAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR TEORI BILANGAN DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 KATA PENGANTAR ب
Lebih terperinciSoal Ujian Komprehensif
Soal Ujian Komprehensif Bahan ujian komprehensif memuat konsep-konsep penting pada bidang: Kalkulus, dan Matriks / Aljabar Linear. Logika, Soal ujian disediakan secara terbuka, dapat diperoleh setiap saat
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: DAERAH IDEAL UTAMA DAN DAERAH EUCLID
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciMata Kuliah : Peng. Logika Matematika dan Himpunan Hari/tanggal : Rabu, 31 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S.
Mata Kuliah : Peng. Logika Matematika dan Himpunan Hari/tanggal : Rabu, 31 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S. 1. Tentukan jenis kalimat berikut. Kalimat tidak lengkap,
Lebih terperinciKALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian
Lebih terperinciUlang Kaji Konsep Matematika
Ulang Kaji Konsep Matematika Teori Bahasa dan Automata Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah 1 Ulang Kaji Konsep Matematika Set / himpunan Fungsi Relasi Graf Teknik pembuktian Viska Mutiawani - Informatika
Lebih terperinciPENGANTAR MODEL PROBABILITAS
PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 1-7) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan 2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE
Lebih terperinciHimpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita. Matematika Diskret (TKE132107)
Lebih terperinci