PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DAN HIMPUNAN PERTEMUAN I

Transkripsi

1 PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DAN HIMPUNAN PERTEMUAN I oleh : Lisna Zahrotun, S.T, M.Cs lisna.zahrotun@tif.uad.ac.id lisnazahrotun.tif.uad.ac.id 1

2 Penilaian : 1. UTS 25% 2. UAS 30% 3. Keaktifan 4. Praktikum 20% (Jika gagal praktikum maka nilai E) 5. Quis 5% 6. Tugas 20% Pemalsuan persensi dan copy paste tugas diberikan sangsi mereview jurnal yang berhubngan dengan statistik informatika 2

3 TUJUAN : memahami pengertian matematika diskrit mengenal ruang lingkup kajian matematika diskrit dan penerapannya mengenal berbagai refensi pustaka yang dapat diacu 3

4 POKOK BAHASAN Pengantar matematika diskrit konsep dasar himpunan 4

5 APAKAH MATEMATIKA DISKRIT ITU? Cabang matematika yang mempelajari objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)? Benda disebut diskrit jika: - terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda, atau - elemen-elemennya tidak berkelanjutan (uncontinue). Contoh: himpunan bilangan bulat (integer), graf, pohon 5

6 Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus (continuous). Contoh: himpunan bilangan riil (real) Kenapa penting belajar matematika diskrit? Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit. Matematika diskrit merupakan ilmu fondasinya dalam pendidikan informatika. 6

7 7

8 Matematika diskrit memberikan fondasi matematis untuk kuliah-kuliah lanjut di informatika. algoritma, struktur data, basis data, otomata dan teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb. Matematika diskrit adalah matematika yang khas informatika Matematika-nya orang Informatika... 8

9 Materi-materi dalam Struktur Diskrit: Logika (logic) Teori Himpunan (set) Matriks (matrice) Relasi dan Fungsi (relation and function) Induksi Matematik (mathematical induction) Algoritma (algorithms) Teori Bilangan Bulat (integers) Barisan dan Deret (sequences and series) Teori Grup dan Ring (group and ring) Aljabar Boolean (Boolean algebra) Kombinatorial (combinatorics) Teori Peluang Diskrit (discrete probability) Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens Teori Graf (graph included tree) Kompleksitas Algoritma (algorithm complexity) Otomata & Teori Bahasa Formal (automata and formal language theory) 9

10 Beberapa contoh persoalan di dalam Matematika Diskrit Berapa banyak account mail yahoo yang dapat dibuat? Bagaimana menentukan jarak terpendek dari dua kota? Buktikan bahwa perangko senilai n (n 8) rupiah dapat menggunakan hanya perangko 3 rupiah dan 5 rupiah saja 10

11 Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks perumahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat semula? Makanan murah tidak enak, makanan enak tidak murah. Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan hal yang sama? 11

12 MORAL CERITA INI Mahasiswa informatika diharapkan mempunyai pemahaman yang kuat dalam Matematika Diskrit, agar tidak mendapat kesulitan dalam memahami kuliah-kuliah lanjutannya di informatika. 12

13 LETS BEGIN.. Teori Himpunan 13

14 TUJUAN dapat memahami konsep himpunan dapat memahami berbagai variasi operasi pada himpunan dapat memahami sifat operasi-operasinya. 14

15 PENGANTAR.. Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class atau collection 15

16 DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain. 16

17 NOTASI HIMPUNAN Himpunan dinyatakan dg huruf capital misal : A, B, G Sedangkan elemennya dg huruf kecil a, b, c..,1,2,.. 17

18 PENULISAN HIMPUNAN 1. Enumerasi menyebutkan semua anggota dari himpunan tersebut. contoh : Himpunan tiga bilangan ganjil pertama: A = {1,3,5}. Keanggotaan Himpuan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh 2. Misalkan: A = {1,3,5,8}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }, K = {{}} maka 1 A, {a, b, c} R, sedangkan c R, {} K, sedangkan {} A 18

19 Beberapa simbol baku pada himpunan N = himpunan bilangan alami (asli) = { 0,1, 2, 3,... } Z = himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks sedangkan U menyatakan himpunan semesta. Contoh: Misalkan U = {a, b, c, d, e} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {a, d, e}. 19

20 3. Notasi Persyaratan A = {x persyaratan x} contoh : A = {x x bilangan bulat dengan x 2-1 =0} B = {x x merupakan huruf vokal} 20

21 DIAGRAM VENN untuk menyatakan relasi antar himpunan Misal U = {1, 2,, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. maka notasi dalam diagram Venn: U A B

22 HIMPUNAN BERHINGGA (FINITE SET) Himpunan yang mempunyai anggota berhingga disebut himpunan berhingga (finite set) Sembarang himpunann yang anggotanya tak berhingga disebut himpunan tak berhingga(infinite set) contoh A={a,b,c,d,e,f} adalah finite set, sedangkan Z adalah infinite set. 22

23 KARDINALITAS menyatakan banyaknya anggota dari himpunan Notasi: n(a) atau A contoh : (i) B = { x x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 10}, atau B = {2, 3, 5, 7} maka B = 4 (iii) A = {t, {t}, {{t}},{{{t}}} }, maka A = 4 23

24 HIMPUNAN KOSONG (NULL SET) Himpunan yang tidak mempunyai anggota atau kardinalitasnya = 0 contoh A ={x x bilangan bulat x = 0} maka n(a)= 0 notasi himpunan kosong {} atau Ø 24

25 HIMPUNAN BAGIAN (SUBSET) Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B Diagram Venn: U A B 25

26 Catatan : A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {a,b,c}, maka {a,b,c} dan adalah improper subset dari A. 26

27 Contoh. (i) { a, b, c} {a, b, c, d, e} (ii) { a, b, c} {a, b, c } (iii) N Z R C (iv) Jika A = { (x, y) x + y < 4, x 0, y 0 } dan B = { (x, y) x + y < 2, x 0 dan y 0 }, maka B A. TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dirinya sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan (dalam hal ini A ( A)). (c) Jika A B dan B C, maka A C 27

28 Catatan : A B tidak sama dengan A B Pada : A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {a} dan {b,c} adalah proper subset dari {a,b,c} sedangkan : A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B. 28

29 HIMPUNAN YANG EKIVALEN Himpunan A disebut ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B A = B A = { 1,2,3,4} dan B = { ali, budi, joko,tuti }, maka A ~ B sebab A = B = 4 29

30 HIMPUNAN YANG SAMA A = B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota B dan sebaliknya setiap anggota B merupakan anggota A.. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = B A B dan B A 30

31 HIMPUNAN KUASA Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2 A Jika A = m, maka P(A) = 2m. Contoh 12. Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = {, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P( ) = { }, dan himpunan kuasa dari himpunan { } adalah P({ }) = {, { }}. 31

32 HIMPUNAN SALING LEPAS Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki anggota yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: U A B Contoh 11. Jika A = { x x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30,... }, maka A // B. 32

33 OPERASI TERHADAP HIMPUNAN 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B } Contoh (i) Jika A = {a,b,c,d,e} dan B = {c,e,f,g}, maka A B = {c,e} (ii) Jika A = { 1,2,3} dan B = { 4,5}, maka A B =. Artinya: A // B 33

34 2. Gabungan (union) Notasi : A B = { x x A atau x B } Contoh: (i) Jika A = { a, b, c} dan B = { b,c,d,e }, maka A B = { a,b,c,d,e } (ii) A = A 34

35 5. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) Contoh 19. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 } 35

36 3. Komplemen (complement) Notasi : A = { x x U, x A } Contoh Misalkan U = { 1, 2, 3,..., 7 }, (i) jika A = {1, 3, 4, 6}, maka A = {2, 5, 7} (ii) jika A = { x x/2 P, x < 7 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, } 36

37 4. Selisih (difference) Notasi : A B = { x x A dan x B } = A B Contoh. (i) Jika A = { a, b, c,d,e,f} dan B = { c,d,f}, maka A B = { a,b,e} dan B A = (ii) {1, 3, 5} {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {2} 37

38 TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (hukum komutatif) (b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif) 38

39 Contoh 20. Misalkan U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. (i) Semua mahasiswa yang mendapat nilai A : P Q (ii) Semua mahasiswa yang mendapat nilai B : P Q (iii) Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C : U (P Q) 39

40 6. Perkalian Kartesian (cartesian product) Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B } Contoh. (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A B = himpunan semua titik di bidang datar 40

41 Catatan: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A. B. 2. (a, b) (b, a). 3. A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } D C C D. 4. Jika A = atau B =, maka A B = B A = 41

42 Contoh. Misalkan A = himpunan makanan = { s = soto, b = bakso, n = nasi goreng, m = mie ayam} B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es jeruk} Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas? Jawab: A B = A B = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (b, c), (b, t), (b, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}. 42

43 Contoh. Daftarkan semua anggota himpunan berikut: (a) P( ) (b) P( ) (c) { } P( ) (d) P(P({3})) Penyelesaian: (a) P( ) = { } (b) P( ) = (ket: jika A = atau B = maka A B = ) (c) { } P( ) = { } { } = {(, )) (d) P(P({3})) = P({, {3} }) = {, { }, {{3}}, {, {3}} } 43

44 Latihan Misalkan A adalah himpunan. Periksalah apakah setiap pernyataan di bawah ini benar atau salah dan jika salah, bagaimana seharusnya: (a) A P( A) P( A) (b) { A} P( A) P( A) (c) A P( A) A (d) { A} P( A) (e) A P(A) 44

45 (a) salah, seharusnya A P(A) (b) benar (c) benar (d) salah, seharusnya { A} P( A) (e) salah, seharusnya A P(A) 45

46 DAFTAR PUSTAKA Doer Allan, Kenneth Levasseur, Applied Discrete Structures for Computer Science, Science Research Associates, Inc. Toronti,1985 Kolman, Bernard, Robert C.Busby,Sharon Ross, Discrete Mathematical Structures,Prentice Hall,1987 Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Edisi kedua,penerbit Informatika Bandung,2001 Rosen,Kenneth H.,Discreete Mathematics and Its Application, The Random House Birkhauser Mathematics Series NewYork,

47 WEB SITE 2.pdf /lectures.html atdis.htm angan-real/ 47