Ulang Kaji Konsep Matematika

Transkripsi

1 Ulang Kaji Konsep Matematika Teori Bahasa dan Automata Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah 1

2 Ulang Kaji Konsep Matematika Set / himpunan Fungsi Relasi Graf Teknik pembuktian Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah 2

3 SET Set : kumpulan unsur-unsur A {1,2,3} B { motor, bus, sepeda, mobil} Keanggotaan set : 1 A kapal B Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah 3

4 Representasi Set C = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k } C = { a, b,, k } finite set S = { 2, 4, 6, } infinite set S = { j : j > 0, and j = 2k for some k>0 } S = { j : j is nonnegative and even } Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah 4

5 A = { 1, 2, 3, 4, 5 } U 6 A Set Universal: semua kemungkinan unsur yang mungkin U = { 1,, 10 } 5

6 Operasi Set Union A U B = { 1, 2, 3, 4, 5 } Intersection A B = { 2, 3 } U Difference A - B = { 1 } B - A = { 4, 5 } A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 3, 4, 5} A B 4 5 Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah Diagram Venn 6

7 Operasi Set (2) Complement Universal set = {1,, 7} A = { 1, 2, 3 } A = { 4, 5, 6, 7} 4 5 A A A = A Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah 7

8 { bil bulat genap } = { bil bulat ganjil} Bilangan bulat 1 ganjil 2 genap

9 Hukum DeMorgan A U B = A U B A U B = A U B Coba buktikan! Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah 9

10 = { } Set/Himpunan kosong: S U = S S = U = Universal Set S - = S - S = 10

11 Subset A = { 1, 2, 3} B = { 1, 2, 3, 4, 5 } A U B Proper Subset: A B U B A 11

12 Set Disjoint A = { 1, 2, 3 } B = { 5, 6} A B = U A B 12

13 Kardinalitas Set Hanya untuk set yang finite/terhingga A = { 2, 5, 7 } A = 3 (ukuran set) 13

14 Powerset Powerset merupakan set/himpunan yang terdiri Dari semua subset dari set tersebut S = { a, b, c } Powerset dari S = set yang terdiri dari semua subset S 2 S = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } Perhatikan: 2 S = 2 S ( 8 = 2 3 ) 14

15 Cross Cartesian A = { 2, 4 } B = { 2, 3, 5 } A X B = { (2, 2), (2, 3), (2, 5), ( 4, 2), (4, 3), (4, 5) } A X B = A B Berlaku juga pada set lebih dari dua A X B X X Z 15

16 4 5 domain FUNGSI range A B f(1) = a 1 a 2 b 3 c f : A -> B Jika A = domain maka f disebut sebagai fungsi total sebaliknya f merupakan fungsi partial 16

17 RELASI R = {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ), } x i R y i Contoh jika R = > : 2 > 1, 3 > 2, 3 > 1 17

18 Relasi Ekuivalensi Refleksif: x R x Simetrik: x R y y R x Transitif: x R y dan y R z x R z Contoh jika: R = = x = x x = y x = y dan y = z y = x x = z 18

19 Untuk relasi ekuivalensi R Kelas Ekuivalensi kelas ekuivalensi dari x = {y : x R y} Contoh: R = { (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4), (3, 4), (4, 3) } Kelas ekuivalensi dari 1 = {1, 2} Kelas ekuivalensi dari 3 = {3, 4} 19

20 Graf berarah node a GRAF b e d c Node (Vertices) V = { a, b, c, d, e } Sisi E = { (a,b), (b,c), (b,e),(c,a), (c,e), (d,c), (e,b), (e,d) } 20

21 Graf Berlabel 2 a 1 5 b 6 c 3 6 e 2 d 21

22 Walk/jalan a b c e d Walk merupakan urutan dari sisi yang berdekatan (e, d), (d, c), (c, a) 22

23 Path/laluan a b c e d Path merupakan walk yang sisinya tidak berulang Path sederhana: path dimana tidak ada node yang berulang 23

24 Cycle/siklus a 3 asal 2 b 1 c e d Cycle: walk dari node asal ke node itu lagi Cycle sederhana: cycle yang node asalnya saja berulang 24

25 Euler Tour a 4 3 b asal e 2 1 d c Cycle yang melewati semua sisi satu kali saja 25

26 Hamiltonian Cycle a 4 3 b 5 c base e 1 2 d Siklus sederhana yang mengandung semua node 26

27 Temukan semua path sederhana pada graf berikut a b e d c asal 27

28 Langkah 1 a b e d c asal (c, a) (c, e) 28

29 Langkah 2 a b e d (c, a) (c, a), (a, b) (c, e) (c, e), (e, b) (c, e), (e, d) c asal 29

30 Langkah 3 a b e d (c, a) (c, a), (a, b) (c, a), (a, b), (b, e) (c, e) (c, e), (e, b) (c, e), (e, d) c asal 30

31 Langkah 4 (c, a) (c, a), (a, b) a (c, a), (a, b), (b, e) (c, a), (a, b), (b, e), (e,d) (c, e) (c, e), (e, b) (c, e), (e, d) b c asal e d 31

32 root Tree/pohon parent leaf child Tree juga graf, hanya tidak memiliki siklus 32

33 root Level 0 leaf Level 1 Level 2 Tinggi 3 Level 3 33

34 Binary Tree 34

35 TEKNIK PEMBUKTIAN Pembuktian secara induksi Pembuktian secara kontradiksi 35

36 Induksi Jika ada pernyataan P 1, P 2, P 3, Jika diketahui: untuk beberapa b, P 1, P 2,, P b adalah benar 1 2 b untuk nilai k >= b maka P 1, P 2,, P k juga menyatakan P k+1 Maka Setiap P i adalah benar 36

37 Dasar induksi Pembuktian secara Induksi Temukan P 1, P 2,, P b yang bernilai benar Hipotesis induksi Asumsinya P 1, P 2,, P k adalah benar, untuk setiap k >= b Langkah induksi Tunjukkan bahwa P k+1 bernilai benar 37

38 Contoh Teorema: Binary tree dengan tinggi n memiliki paling banyak 2 n daun. Pembuktian secara induksi: Jika L(i) merupakan jumlah maksimum daun pada setiap subtree di ketinggian/level i 38

39 Kita ingin buktikan: L(i) <= 2 i Dasar induksi L(0) = 1 (root node) Hipotesis induksi Anggap L(i) <= 2 i untuk semua i = 0, 1,, k Langkah induksi kita perlu tunjukkan bahwa L(k + 1) <= 2 k+1 39

40 Langkah Induksi tinggi k+1 k Dari hipotesis induksi: L(k) <= 2 k 40

41 Langkah Induksi height k L(k) <= 2 k k+1 L(k+1) <= 2 * L(k) <= 2 * 2 k = 2 k+1 (binary tree ada dua daun jadi untuk setiap node akan memiliki maksimal dua daun 41

42 Pembuktian secara Kontradiksi Kita ingin buktikan bahwa pernyataan P adalah benar, dengan cara: asumsikan P bernilai salah kemudian buktikan hingga tercapai kesimpulan P bernilai salah adalah tidak benar maka, pernyataan P pastilah benar 42

43 Contoh 1 Teorema: Jika n 2 genap maka n genap Bukti: Dengan kontradiksi kita asumsikan jika n 2 genap maka n ganjil Kita buktikan hal tersebut tidak mungkin 43

44 Bukti: Diketahui n 2 genap (kita asumsikan benar) maka n ganjil (negasinya) Karena n ganjil maka n bisa ditulis dengan bentuk n = 2m + 1 dengan m bilangan bulat Diperoleh n 2 = (2m + 1)2 n 2 = 4m 2 + 4m +1 n 2 = 2(2m 2 + 2m) + 1 Itu berarti n 2 = 2(2m 2 + 2m) + 1 ganjil. Kontradiksi dengan asumsi n 2 genap karena terjadi kontradiksi maka dapat disimpulkan jika n 2 genap maka n genap 44

45 Teorema: 2 Contoh 2 merupakan nilai irrasional Bukti: Anggap secara kontradiksi bahwa ianya rasional 2 = n/m n dan m adalah nilai yang jika dibagi ada hasil Kita buktikan hal tersebut tidak mungkin 45

46 2 = n/m 2 m 2 = n 2 2 kali nilai berapapun adalah Genap, maka n 2 adalah genap n genap maka n = 2 k m adalah 2 m 2 = 4k 2 m 2 = 2k 2 genap maka, m = 2 p Oleh karena itu m dan n memiliki hasil pembagi: 2 Kontradiksi! 46

47 Latihan 2 {1,2,3}? 2 {1,2,3}? {1,2} {1,2,3}? {1,2} {1,2,3}? { A, B, C}? { A, B, C}? 47

48 Latihan Buatlah notasi bagi set Z yang mempunyai anggota {0,1,2,3,4} Z { x x N x 5} N mewakili bilangan natural (bilangan asli) Buatlah notasi bagi set Y yang merupakan bilangan ganjil Buatlah notasi bagi set yang terdiri dari 2 pasang (2-tuples) bilangan natural dengan syarat nilai elemen pertama lebih kecil dari elemen kedua pada tuples 48