BAB I SET DAN RELASI

Transkripsi

1 BAB I SET DAN RELASI 1.1. SET, ELEMEN (UNSUR) Set adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam semua cabang matematika. Secara intuitif, suatu set adalah sesuatu yang didefinisikan dengan tepat atau suatu koleksi dari obyek-obyek dan dinotasikan oleh huruf A, B, X, Y, Obyek-obyek yang terdapat di dalam suatu set disebut elemen-elemen (unsur) atau anggotaangaota dan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil a, b, x, y, Pernyataan p adalah elemen dari A atau p termasuk di dalam A dinotasikan p A. Negasi dari p A ditulis p A dan ini berarti p bukan elemen A atau p tidak termasuk di dalam A Ada dua cara untuk menyatakan suatu set, yaitu: a. Bila mungkin semua anggota ditulis (cara Roster), missal A = {a, i, u, e, o} b. Menyatakan suatu set dengan notasi pembentuk set (cara Rule), misal B = {x: x bilangan bulat} Interval pada garis real yang didefinisikan berikut sering muncul dalam matematika. Berikut ini a dan b bilangan real dengan a < b : Interval buka dari a sampai b = (a, b) = {x: a < x < b} Interval tutup dari a sampai b = [a, b) = {x: a x b} Interval buka-tutup dari a sampai b = (a, b] = {x: a < x b} Interval tutup-buka dari a sampai b = [a, b) = {x: a x < b} Interval buka-tutup dan tutup buka disebut juga interval setengah buka. Dua set A dan B disebut sama, ditulis A = B, bula A dan B mempunyai unsur-unsur sama, A. Negasi dari A = B adalah A B. Suatu set disebut terhingga (finite), bila set tersebut memuat n unsur (elemen) yang berbeda, dimana n sebarang bilangan bulat positif, yang lainnya disebut tak hingga (infinite). Set yang memuat tepat satu anggota disebut set singleton SUBSET & SUPERSET Set A disebut subset dari B atau b adalah superset dari A, ditulis A B atau B A, bila dan hanya bila setiap unsur dari A terdapat di dalam B atau bila x A maka x B. Juga dapat dikatakan bahwa A termuat di dalam B atau B memuat A. Negasi dari A B ditulis A B atau B A dan dinyatakan bahwa: Ada x A sedemikian hingga x B.

2 Apabila N adalah set bilangan bulat positif, Z adalah set semua bilangan bulat, Q adalah set semua bilangan rasional dan R adalah set semua bilangan real maka N Z Q R Diketahui A = {1,3,5,7, }, B = {5,10,15,20, } dan C = {x: xprima, x > 2} Apakah : a. C A (berikan alasannya!) b. B A (berikan alasannya!) Definisi: Dua set A dan B adalah sama bila dan hanya bila A B dan B A. Dalam hal A B tetapi A B, dikatakan bahwa A adalah subset murni dari B atau B memuat A. Teorema I: Bila A, B dan C sebarang set maka: a. A A b. Bila A B dan B A maka A = B c. Bila A B dan B C maka A C 1.3. SET UNIVERSAL DAN SET KOSONG Dalam teori set, semua set dibentuk oleh subset-subset dari suatu set tetap. Set tetap seperti itu disebut set universal atau semesta pembicaraan dan dinotasikan dengan U. Ada pula set yang tidak mempunyai anggota dan set ini disebut set kosong dengan notasi atau { }, yang merupakan set terhingga dan merupakan subset dari setiap set. Jadi untuk sebarang set A maka A U. Dalam geometri bidang, set universalnya berisi semua titik pada bidang. Bila A = {x: x 2 = 4, xganjil}, maka tentukan anggota A! Bila B = { }, maka B, mengapa? 1.4. KELAS, KOLEKSI, FAMILI DAN RUANG Anggota-anggota dari suatu set adalah set, misalnya tiap-tiap garis di dalam suatu set dari garisgaris adalah set dari titik-titik. Set yang anggotanya terdiri dari set-set disebut Kelas, Koleksi atau Famili, misalkan P = {{a, b}, c} bukanlah kelas karena mengandung elemen c yang bukan set (himpunan). Pada umumnya koleksi atau family digunakan untuk member nama dari set yang anggotanya kelas-kelas. Pengertian subkelas, subkoleksi, dan subfamili mempunyai arti yang sama dengan subset. Misalkan A adalah suatu set. Set Kuasa (Power Set) dari A ditulis P(A) atau 2 A adalah kelas dari semua subset dari A. Umumnya, apabila A terhingga dengan n unsur di dalamnya maka P(A) = 2 n anggota. Kata ruang (spaces) artinya suatu set yang tidak kosong yang anggotanya beberapa bentuk struktur matematika, seperti ruang vektor, ruang metrik atau ruang topologi.

3 Anggota dari kelas {{2,3}, {2}, {5,6}} adalah set-set {2,3}, {2}, {5,6} Bila A = {a, b, c} maka tentukan P(A)! 1.5. OPERASI-OPERASI PADA SET Gabungan dari dua set A dan B ditulis A B adalah set dari semua unsur yang termasuk ke dalam A atau B yaitu A B = {x: x A atau x B}. Gabungan dari dua set A dan B ditulis A B = {x: x A atau x B}. Irisan dari dua set A dan B ditulis A B adalah set yang unsur-unsurnya termasuk di dalam a dan B yaitu A B = {x: x A dan x B}. Bila A B =, yaitu bila A dan B tak mempunyai anggota persekutuan maka A dan B disebut lepas (disjoint) atau tak beririsan. A adalah kelas dari set-set disebut kelas lepas (disjoint) dari set-set, bila tiap-tiap pasangan set-set yang berbeda di dalam A adalah lepas. Komplemen relatif dari set B terhadap set A atau selisih A dan B ditulis A B adalah set yang anggota-anggotanya termasuk A tetapi tidak termasuk B yaitu A B = {x: x A, x B}. Perhatikan bahwa A B dan B adalah lepas yaitu (A B) B =. Komplemen absolute atau disebut komplemen dari suatu set A ditulis A C adalah set yang anggota-anggotanya bukan anggota dari A yaitu A C = {x: x U, x A}. Dapat dikatakan pula bahwa A C selisih U dan A. Teorema 2: Hukum-hukum Aljabar set: 1. Hukum sama kuat: A A = A, A A = A 2. Hukum Asosiatif: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) 3. Hukum Komutatif: A B = B A, A B = B A 4. Hukum Distributif: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) 5. Hukum Identitas: A = A, A U = A, A U = U, A = 6. Hukum Komplemen: A A C = U, A A C =, (A C ) C = A, U C =, C = U 7. Hukum De Morgan: (A B) C = A C B C, (A B) C = A C B C Teorema 3: A B bila hanya bila: a. A B = A b. A B = B c. B C = A C d. A B C = e. B A C = U

4 1.6. PRODUK DARI SET-SET Misalkan A dan B adalah set-set tertentu. Produk dari set A dan B ditulis AXB, memuat semua pasangan terurut (a,b) dengan a A dan b B yaitu A X B = {(a, b): x A, b B}. Produk suatu set dengan dirinya sendiri, misalkan A X A dinotasikan dengan A 2. A = {1,2,3} dan B = {a, b}, tentukan A X B! 1.7. RELASI Relasi biner (relasi) R dari set A ke set B menentukan tiap pasangan (a, b) di dalam A X B tepat memenuhi satu pernyataan berikut: a berelasi dengan b ditulis a R b & a tak berrelasi dengan b ditulis a R b Suatu relasi dari set A ke set A lagi disebut relasi di dalam A. Relasi A ke B secara khusus didefinisikan sebagai subset R* dari A X B sebagai berikut: R = {(a, b): arb}, sebaliknya sebarang subset R* dari A x B didefinisikan sebagai suatu relasi R dari A ke B sbb: arb bila dan hanya bila (a, b) R. Korespondensi antara relasi-relasi R dari A ke B dengan subset-subset dari A X B didefinisikan Suatu Relasi R dari A ke B adalah subset dari A X B. Domain (daerah asal) dari relasi R dari A ke B adalah set dari koordinat pertama pasangan di dalam R dan range (daerah hasil) adalah set dari koordinat kedua di dalam R yaitu: Domain R = {a: (a, b) R} & Range R = {b: (a, b) R} Invers dari R ditulis R 1 adalah relasi dari B ke A didefinisikan: R 1 = {(b, a): (a, b) R} Relasi identitas di dalam suatu set A ditulis atau A adalah semua pasangan dalam A x A dengan koordinat sama yaitu: A = {(a, a): a A} Relasi R = {(1,2), (1,3), (2,3)} di dalam A = {1,2,3}. Tentukan domain, range dan invers dari R! 1.8. RELASI EQUIVALEN Suatu relasi R di dalam set A yaitu subset dari A X A disebut relasi equivalen bila hanya bila memenuhi ketiga aksioma berikut: a. Untuk tiap a A, (a, a) R sifat refleksif b. Bila (a, b) R, maka (b, a) R sifat simetris c. Bila(a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R sifat transitif

5 Secara singkat dapat dikatakan bahwa suatu relasi disebut relasi equivalen bila dan hanya bila relasi tersebut refleksif, simetris dan transitif. Apakah relasi (subset dari) didalam suatu set inklusi merupakan relasi equivalen? Didalam geometri Euclid, kesebangunan segitiga-segitiga adalah relasi eqiuvalen. Buktikan! Bila R suatu relasi equivalen di dalam A maka kelas equivalen dari a A ditulis[a] adalah set dari elemen-elemen yang berrelasi dengan a yaitu: [a] = {x: (a, x) R}. Koleksi dari kelas-kelas equivalen dari A ditulis A/R disebut faktor (quotient) A oleh R yaitu A/R={[a]: a R}. Set faktor A/R memenuhi sifat-sifat berikut: a. Teorema 4. Misal R adalah relasi equivalen di dalam A dan [a] adalah kelas equivalen dari a A maka: 1. Untuk setiap a A maka a [a] 2. [a] = [b] bila dan hanya bila (a,b) R 3. Bila [a] [b] maka [a] [b] = φ Suatu kelas A dari subset-subset tidak kosong dari A disebut partisi dari A bila dan hanya bila : 1. Tiap a A termasuk anggota dari A 2. Anggota-anggota dari A sepasang-sepasang saling lepas (disjoint) b. Teorema 5. Bila R suatu relasi equivalen dalam A maka set faktor (quotient) A/R adalah partisi dari A KOMPOSISI DARI RELASI Misal U adalah relasi dari A ke B dan V suatu relasi dari B ke C yaitu U AXB dan V BXC maka relasi dari A ke C sedemikian hingga untuk sebarang b B. (a, b) U dan (b, c) V disebut komposisi dari U dan V ditulis V U. Notasi pembentuk set, komposisi dari U dan V ditulis V U = {(x, y): x A, y C, b B, sehingga (x, b) U, (b, y) V}. Misalkan A = {1,2,3,4}, B = {x, y, z, w}, C = {5,6,7,8} U = {(1, x), (1, y), (2, x), (3, w), (4, w)} dan V = {(y, 5), (y, 6), (z, 8), (w, 7)} U adalah relasi dari A ke B dan V adalah relasi dari B ke C. Gambarkan kedua relasi tersebut dan tentukan V U!

6 Soal soal: 1. Bila A = {x: 3x = 6}, apakah A = 2? 2. Apakah = {0} = { }? 3. Manakah yang merupakan set kosong? a. X = {x: x 2 = 9,2x = 4} b. Y = {x: x + 8 = 8} 4. Misal U = {1,2,3,,8,9}, A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} dan C = {3,4,5,6} Carilah: a. A C b. (A C) C c. B C d. (A B) C 5. Misal R relasi < dari A = {1,2,3,4} ke B = {1,3,5} yaitu (a, b) R bila dan hanya bila a < b a. Tulislah R sebagai set pasangan terurut b. Gambarlah R pada diagram koordinat A X B c. Carilah domain dari R, range R, dan R -1 d. Carilah R R 1

7 BAB II FUNGSI 2.1. FUNGSI Misalkan tiap-tiap elemen dari set A dipasangkan dengan tepat satu elemen yang unik dari set B, suatu koleksi f yang memasangkan elemen-elemen tersebut disebut fungsi (mapping/pemetaan) dari A ke B ditulis f: A B atau A f B. Elemen yang ada dalam B sebagai pasangan dari a A ditulis f(a) disebut nilai f pada a atau bayangan (image) dari a di bawah f. Domain (daerah asal) f adalah A dan kodomain (daerah kawan) dari f adalah B. Tiap-tiap fungsi f: A B berkorespondensi dengan relasi di dalam A X B dinyatakan oleh {(a, f(a): a A}. Set tersebut dikatakan sebagai grafik dari f. Daerah hasil dari f (range f) ditulis f[a] adalah set dari semua bayangan (peta) dari a oleh f yaitu f[a] = {f(a): a A}. Dua fungsi f: A B dan g: A B adalah sama ditulis f = g bila dan hanya bila f(a) = g(a) untuk tiap a A yaitu bila dan hanya bila kedua grafik sama FUNGSI SATU-SATU, IDENTITAS & INVERS Fungsi f: A B disebut satu-satu atau 1 1 bila elemen-elemen dalam A mempunyai peta yang berbeda dalam B yaitu bila: f(a) = f(a ) a = a Fungsi f: A B disebut onto (kepada) bila tiap b B adalah bayangan dari sebarang a A yaitu bila: b B a A sehingga f(a) = b. Jadi bila f onto f[a] = B. Umumnya, relasi invers f 1 dari suatu fungsi f AXB tak perlu merupakan fungsi. Apabila f suatu fungsi yang onto dan satu-satu maka f 1 adalah fungsi dari B kepada A dan f 1 disebut fungsi invers. Relasi identitas (diagonal) A AXA adalah suatu fungsi yang disebut fungsi identitas pada A. Fungsi identitas dinotasikan oleh I A atau I. Dalam hal ini, I A (a) = a untuk tiap a A. Selanjutnya bila f : A B maka I B f = f = f I A, bila f satu-satu dan onto dengan invers f 1 maka f 1 f = I A dan f f 1 = I B Proporsi 1: misal f A B dan g B C sehingga g f = I A dan f g = I B maka f 1 B A ada dan g = f 1

8 Ilustrasi fungsi invers (fungsi kebalikan), misalkan sebuah fungsi f : A B dikatakan dapat dibalik (invers) bila f A 1 : f -1 (b)=a B A, dalam bentuk diagram panah: f -1 f B b =f(a) 2.3. KOMPOSISI FUNGSI Misalkan f : A B dan g : B C adalah fungsi, maka dapat ditunjukkan bahwa komposisi dari f dan g, f g, adalah fungsi dari A ke C. Jika a A dan b = f(a) B sedangkan c = g(b) C, maka ( f g )(a) = g(f(a)); sehingga ( f g )(a) = g(f(a)) = g(b) = c, dalam bentuk diagaram panah: A f g C a f B b = f(a) g C = g(b) = g(f(a)) Misalkan f, g : dengan f(x) = x + 1 dan g(x) = x 2, tentukan f g dan g f! Sifat-sifat fungsi sebagai berikut: a. Fungsi Surjektif Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B. Contoh dalam diagram panah: a b c A f B A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c}, fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}. Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf : {a,b,c} dan Rf = B maka fungsi f adalah fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada.

9 Fungsi f : A B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B atau Rf B. Contoh dalam diagram panah: 1 a 2 b 3 c 4 A f B A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c}, fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}. Tampak bahwa daerah hasil fs f : Rf : {a,b} dan Rf B, maka fungsi f adalah fungsi into atau fungsi ke dalam. b. Fungsi Injektif Fungsi f : a B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk tiap a1, a2 A dan a1 a2 berlaku f (a1) f (a2). Contoh : 1 a 2 b 3 c A f B A = {1,2,3}, B = {a,b,c}, fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a), (2,b), (3,c)}. Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di B. Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu. c. Fungsi Bijektif Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif. Contoh : 1 a 2 b 3 c A f B A = {1,2,3}, B = {a,b,c}, fungsi f : A B, dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,c), (3,b)}. Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif. Fungsi f adalah fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu

10 2.4. SET BERINDEKS Suatu kelas dari set-set berindeks ditulis {A i : i I}, {A i } i I, atau {A i } yang memasangkan suatu set A i dengan tiap-tiap i I, yaitu suatu fungsi dari I ke dalam kelas dari set-set. Set I disebut set dari indeks-indeks, set-set A disebut set-set berindeks dan tiap i I disebut indeks. Set indeks I adalah set bilangan bulat positif, kelas berindeks {A 1, A 2, } disebut barisan. Untuk setiap n N (set bilangan positif) misalkan D n = {x: x N, x adalah kelipatan dari n}, maka tentukan D1, D2 dan D3! 2.5. ALJABAR DARI FUNGSI BERNILAI REAL Misal F (X,R) notasi untuk koleksi dari semua fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sebarang set X. Beberapa operasi di dalam F (X,R) berkorespondensi dengan operasi-operasi di dalam R. Bila f: X R dan g: X R dan k R maka didefinisikan: a. (f + g): X R oleh (f + g)(x) = f(x) + g(x) b. (k. f): X R oleh (k. f)(x) = k(f(x)) c. ( f ): X R oleh ( f )(x) = f(x) d. (fg): X R oleh (fg)(x) = f(x)g(x) e. (f + k): X R oleh (f + k)(x) = f(x) + k Misal f = {(a, 1), (b, 3)} dan g = {(a, 2), (b, 1)} dengan domain X = {a, b} maka tentukan: a. (3f 2g)(a)! b. (3f 2g)(b)! c. (3f 2g)! d. g (x)! e. (g + 3)(x)! Koleksi F (X, R)dengan operasi-operasi seperti tersebut di atas mempunyai sifat seperti dinyatakan dalam teorema berikut: Teorema: Koleksi F (X, R)dari semua fungsi bernilai real didefinisikan pada set tidak kosong X dengan operasi-operasi yang didefinisikan di atas memenuhi aksioma ruang vector real linear berikut: 1. Operasi tambahan (adisi) dari fungsi-fungsi f dan g memenuhi sifat-sifat: a. (f + g) + h = f + (g + h) b. f + g = g + f c. zo F(X, R) yaitu O: X R sehingga f + O = f d. Untuk tiap f F(X, R), ada f F(X, R)

11 2. Operasi perkalian skalar k.f dari fungsi f dengan bilangan real k memenuhi sifat: a. k. (k. f) = (k. k )f b. 1. f = f 3. Operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi sifat: a. k. (f + g) = k. f + k. g b. (k + k ). f = k. f + k. g Soal soal: 1. Misal X = {1,2,3,4,5}, f: X X dan g: X X, sehingga f = {(1,3), (2,5), (3,3), (4,1), (5,2)} dan g = {(1,4), (2,1), (3,1), (4,2), (5,3)}. Tentukan : a. Range f dan g! b. Komposisi fungsi g f dan f g! 2. Misal X = {a, b, c} dan f, g F(X, R) f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} dan g = {(a, 2), (b, 0), (c, 1)}. Tentukan: a. f + 2g b. fg 2f c. f + 4 d. f e. f 2 3. Misal f: R R dan g: R R didefinisikan oleh f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x 2 2. Tentukan produk fungsi g f dan f g! 4. Apabila U dan V merupakan fungsi yang didefinisikan oleh U = {(x, y): x 2 + y 2 = 1} dan V = {(y, z): 2y + 3z = 4}. Tentukan V U!

12 BAB III RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES) 3.1. RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES) Misal X adalah suatu set tidak kosong. Suatu kelas τ yang anggotanya subset-subset dari X disebut topologi pada X, bila dan hanya bila τ memenuhi ketiga aksioma berikut: 1. X dan termasuk dalam τ 2. Gabungan dari set-set anggota dari τ adalah anggota τ 3. Irisan dari dua set anggota τ adalah anggota τ Anggota anggota dari τ disebut set set buka dari τ, dan X bersama τ yaitu (X, τ) disebut ruang topologi. 1. Misal U adalah kelas dari semua set buka dari bilangan real maka U adalah topologi biasa (usual topologi) pada R. Demikian juga kelas U yang terdiri dari set-set buka pada R 2 adalah topologi biasa pada R Misalkan X = {a, b, c, d, e}. τ 1, τ 2, τ 3 dan τ 4 masing-masing subset dari 2 x. Manakah yang merupakan topologi pada X, bila: τ 1 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} τ 2 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}} τ 3 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {a, b, c, d, e}} τ 4 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {a, b, d, e}} 3. Diketahui X = {1,2,3}. Himpunan bagian X ditentukan sebagai berikut: T 1 = {{1}, {2}, {3}, } T 2 = {{1}, {2}, {1,2}, {1,2,3}} T 3 = {{1}, {2}, {1,2}, {1,2,3}, } T 4 = {{1,2}, {2,3}, {1,2,3}, } T 5 = {{1,2}, {2,3},, {1,2,3}, {2}} T 6 = {{1}, {2}, {2,3},, {1,2,3}} T 7 = {{1}, {2}, {2,3},, {1,2,3}, {1,2}} Manakah yang merupakan topologi? Jelaskan! 4. Let X = {a, b, c, d, e}. Determine wheter or not each of the following classes of subsets of X is a topology on X. (i) T 1 = {X,, {a}, {a, b}, {a, c}} (ii) T 2 = {X,, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}} (iii) T 3 = {X,, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}}

13 TOPOLOGI DISKRIT, TOPOLOGI INDISKRIT & TOPOLOGI KOFINIT Apabila D adalah kelas dari semua subset dari X atau D = 2 x atau dapat dikatakan D adalah himpunan kuasa (power set) dari X maka D adalah topologi pada X karena memenuhi ketiga aksioma pada topologi sehingga disebut topologi diskrit dan (X, D) disebut ruang topologi diskrit atau secara singkat disebut ruang diskrit., sedangkan himpunan kuasa (power set) dari X yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua himpunan bagian dari X. Suatu topologi pada X harus memuat set dan. Kelas Y = {X, } yang hanya memuat X dan adalah topologi pada X, sehingga Y = {X, } disebut topologi indiskrit dan (X, Y) disebut ruang topologi indiskrit atau ruang indiskrit. Apabila (X, τ) ruang topologi dan τ 1 adalah kelas yang anggotanya semua komplemen dari setset buka dari τ maka τ 1 adalah topologi kofinit. 1. X = {a, b} ; Y = {1,2,3} τ 1 adalah suatu kelas himpunan bagian dari X dan τ 1 = {X,, {a}, {b}} τ 2 adalah suatu kelas subset dari Y dan τ 2 = {Y,, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3 }} a. Apakah τ 1 dan τ 2 merupakan topologi diskrit? Jelaskan alasannya! b. Tentukan ruang diskrit dari τ 1 dan τ 2! 2. X = {1} & τ 1 = {X, }, Y = {1,2} & τ 2 = {Y,, {1}, {2}}, Z = {1,2,3} & τ 3 = {Z, }. Apakah τ 1, τ 2, τ 3 merupakan topologi indiskrit? IRISAN, GABUNGAN & KOMPLEMEN T 1 dan T 2 adalah topologi pada X maka T 1 T 2 juga merupakan topologi pada X tetapi T 1 T 2 belum tentu (tak perlu) merupakan topologi. Gabungan dari set-set kosong adalah set kosong dan irisan kosong dari subset-subset dari X adalah X sendiri. Elemen suatu topologi T pada X disebut himpunan terbuka. Suatu himpunan bagian A dari X yang komplemennya ada di dalam T (A c T) merupakan himpunan yang tertutup atau dapat dikatakan komplemen dari himpunan-himpunan yang terbuka adalah himpunan-himpunan yang tertutup. Jadi suatu himpunan A disebut tertutup jika hanya jika A c adalah terbuka. Apabila T adalah suatu topologi pada X maka kelas himpunan bagian yang tertutup dari X mempunyai sifat : a. X dan adalah himpunan-himpunan yang tertutup b. Irisan dari sejumlah sebarang himpunan yang tertutup adalah tertutup c. Gabungan dari setiap dua himpunan yang tertutup adalah tertutup

14 1. Dua topologi T 1 dan T 2 pada X = {a, b, c, d, e} dengan T 1 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} dan T 2 = {X,, {a}{c, d}{a, c, d}{a, c, d, e}} Apakah T 1 T 2 merupakan topologi pada X? 2. X = {1,2,3,4,5} dengan T 1 = {X,, {1}, {5}, {1,5}}, T 2 = {X,, {2}, {5}, {2,5}} Apakah T 1 T 2 merupakan topologi? 3. Diberikan T 1 = {X,, {a}, {b}, {a, b}}, T 2 = {X,, {a}, {a, b}} dan T 3 = {X,, {a}, {b, c}} pada X = {a, b, c}. a. Tentukan T 1 T 2 T 3 dan T 1 T 2 T 3! b. Apakah T 1 T 2 T 3 merupakan topologi? c. Apakah T 1 T 2 T 3 merupakan topologi? 3.2. TITIK KUMPUL (ACCUMULATION POINTS) Misal X adalah ruang topologi. Suatu titik p X adalah titik kumpul dari A X bila dan hanya bila setiap set buka G yang memuat p, memuat suatu titik yang berbeda dengan p atau bila G buka, p G maka (G {p}) A. Set dari titik-titik kumpul dari A ditulis A dan disebut set derive dari A. Apabila X ruang diskrit yaitu (X, Y) dengan Y = {X, } maka X adalah set buka yang memuat sebarang p X. Jadi p adalah titik kumpul dari setiap subset dari X, kecuali set kosong dan set {p}. Jadi set dari titik-titik kumpul A X yaitu A adalah: A =, bila A = {p} c = X {p}, bila A = {p} X, bila A memuat dua titik atau lebih 1. τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} adalah topologi pada X = {a, b, c, d, e} dan A = {a, b, c} X. Tentukan titik kumpul dari A! 2. Diketahui P = {1, 2, 3,4, 5} dengan T = {P,, {5}, {3,4}, {3,4,5}, {1,2,3,4}}. A = {1,4}, B = {3,4,5}, C = {1,3,5}, D = {2,3,4,5} Tentukan: a. A b. B c. C d. D

15 3.3. HIMPUNAN TERBUKA & HIMPUNAN TERTUTUP (OPEN SETS & CLOSED SETS) Definisi: Untuk sebarang ruang topologi (X, τ). Anggota-anggota dari τ terbuka. Teorema: Untuk sebarang ruang topologi (X, τ) maka: a. X dan adalah set-set buka b. Irisan dari set-set buka adalah buka c. Gabungan dari dua set-set buka adalah buka dikatakan himpunan Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup yaitu komplemen dari himpunan terbuka. Misal X adalah ruang topologi. Subset A dari X disebut set tertutup bila dan hanya bila komplemen A c adalah set buka. Definisi: Untuk sebarang ruang topologi (X, τ), suatu himpunan bagian A dari X dikatakan himpunan tertutup jika komplemennya merupakan himpunan terbuka pada (X, τ). Apabila X adalah ruang diskrit yaitu setiap subset dari X adalah buka maka setiap subset dari X adalah juga tutup, karena komplemennya selalu buka. Dengan kata lain, setiap subset dari X adalah buka dan tutup. Ingat bahwa A cc = A, untuk setiap subset A dari X maka diperoleh proposisi berikut: Dalam ruang topologi X, subset A dari X adalah buka bila dan hanya bila komplemennya tutup. Aksioma dari ruang topologi dan hukum De Morgan memberikan teorema berikut: Bila X ruang topologi maka kelas dari subset-subset tutup dari X memiliki sifat-sifat yaitu: a. X dan adalah set-set tutup b. Irisan dari set-set tutup adalah tutup c. Gabungan dari dua set tutup adalah tutup Set-set tutup dapat pula dinyatakan dengan menggunakan pengertian titik kumpul sebagai berikut, dengan teorema: Subset A dari ruang topologi X adalah tutup bila dan hanya bila A memuat semua titik kumpul dari A.

16 Dengan kata lain bahwa set A adalah tutup bila dan hanya bila set derive A dari A adalah subset dari A yaitu A A 1. X = {p, q, r, s, t} dengan T = {X,, {p, q}, {q, r}, {p, q, r}, {q}} Tentukan: a. Himpunan bagian dari X yang terbuka! b. Himpunan bagian dari X yang tertutup! c. Himpunan yang bersifat terbuka tetapi juga tertutup! d. Himpunan yang hanya bersifat terbuka! e. Himpunan yang hanya bersifat tertutup! f. Himpunan yang hanya bersifat tidak terbuka dan juga tidak tertutup! 2. Kelas τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} didefinisika pada X = {a, b, c, d, e}. Tentukan subset-subset tutup dari X! 3. Diberikan ruang topologi (X, T 1 ) dengan X = {a, b, c, d, e, f} dan T 1 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}}. Apa saja himpunan tertutup dari (X, T 1 )? 3.4. PENUTUP DARI SET (CLOSURE OF A SET) Misal A subset dari ruang topologi X. Penutup dari A (closure of A) ditulis A atau A adalah irisan dari semua superset tutup dari A. Dengan kata lain, bila {F i i I} adalah kelas semua subset tutup dari X yang memuat A maka A = i F i Perhatikan bahwa A adalah tutup karena A adalah irisan dari set-set tutup. Selanjutnya juga, A adalah superset tutup terkecil dari A, dengan demikian bila F adalah set tutup yang memuat A maka A A F. Berdasarkan hal tersebut, set A adalah tutup bila dan hanya bila A = A dan diperoleh pernyataan berikut dengan dalil (proposisi): Bila A penutup dari set maka: a. A adalah penutup b. Bila F superset tutup dari A maka A A F c. A adalah tutup bila dan hanya bila A = A Misal X adalah ruang topologi kofinit yaitu komplemen dari set-set terhingga dan adalah setset buka maka set-set tutup dari topologi tersebut adalah set-set terhingga dari X dengan X. Jadi bila A X terhingga, penutup dari A adalah A sendiri karena A tutup. Sebaliknya bila A X tak hingga maka X adalah superset tutup dari A, jadi A adalah X.

17 Selanjutnya untuk suatu A subset dari ruang kofinit X maka: A = A bila A terhingga X bila A tak hingga Penutup dari suatu set dapat dinyatakan dengan pengertian dari titik-titik kumpul dari set tersebut sebagai berikut dengan teorema: Bila A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari A dengan A yaitu A = A A Suatu titik p X disebut titik penutup dari A X bila dan hanya bila p termuat dalam penutup A yaitu A. Dari teorema diatas diperoleh bahwap X adalah titik penutup dari A X bila dan hanya bila p A atau p titik kumpul dari A. Subset A dari ruang topologi X disebut padat (dense) dalam B X bila B termasuk dalam penutup A yaitu A. Khususnya, A adalah padat dalam X atau subset padat dari X bila dan hanya bila A = X Perhatikan set semua bilangan rasional Q. Didalam topologi biasa untuk R, setiap bilangan real a R adalah titik kumpul dari Q. Jadi penutup dari Q adalah set semua bilangan real R yaitu Q = R. Dengan kata lain, dalam topologi biasa, set semua bilangan rasional Q padat dalam R. Operator penutup yang menghubungkan tiap-tiap subset A dari X dengan penutup A X yang memenuhi 4 sifat seperti ditunjukkan pada proporsisi berikut, yang disebut Aksioma Penutup Kuratowski dengan dalil (proposisi): a. =, b. A A c. A B = A B d. (A ) = A 1. Kelas τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} didefinisika pada X = {a, b, c, d, e}. a. Tentukan : {b }, {a, } c, {b, } d b. Apakah {a, } c dan {b, } d merupakan subset padat dari X? Jelaskan! 2. X = {1,2,3,4,5} dan T = {X,, {1,2}, {1,2,3}, {2,3,4}, {2}, {2,3}, {1,2,3,4}} Tentukan closure dari: a. {4} b. {3,5} c. {2,3,4} d. {2,4,5}

18 3.5. INTERIOR, EKSTERIOR & BOUNDARY Misal A subset dari ruang topologi X. Titik p X disebut titik interior dari A bila p termasuk set buka G subset dari A, yaitu G A, G set buka. Set dari titik-titik interior dari A ditulis int (A), A atau A, disebut interior dari A. Interior dari A dapat dinyatakan sebagai berikut, dengan dalil (proporsisi): Interior dari set A adalah gabungan dari semua subset dari A, selanjutnya juga bahwa: a. A adalah buka b. A subset buka terbesar dari A; yaitu bila G subset buka dari A maka G A A c. A adalah buka bila hanya bila A = A Eksterior dari A ditulis eks (A) adalah interior dari komplemen A yaitu int (A c ). Boundary (batas) dari A ditulis b(a) adalah set dari titik-titik yang tidak termasuk interior dan tidak termasuk eksterior dari A. Berikut ini hubungan interior, eksterior, dan penutup dengan teorema: Misal A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari interior dan batas dari A yaitu A = A b(a). 1. τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} merupakan topologi pada X = {a, b, c, d, e} dengan A = {b, c, d} X dan B = {a, c, d} X Tentukan: a. A, eks (A, b (A) b. B, eks (B), b (B) 2. X = {1,2,3,4,5} topologi pada τ = {X,, {3}, {2,3,4}, {3,4,5}, {3,4}, {2,3,4,5}} dengan A = {1,2,3}, B = {1,3,4,5} dan C = {1,5} Tentukan: a. Titik interior, eksterior dan boundary dari A b. Titik interior, eksterior dan boundary dari B c. Titik interior, eksterior dan boundary dari C Apabila Q adalah set semua bilangan rasional. Karena setiap subset buka dari R memuat bilangan rasional dan irasional, titik-titik itu bukan interior dan eksterior dari Q juga int (Q) = dan int (Q c ) =. Jadi batas dari Q adalah bilangan real yaitu b(q) = R

19 Suatu subset A dari ruang topologi X disebut padat tidak dimana-mana (nowhere dense) di dalam X jika interior dari penutup A adalah kosong, yaitu (A ) =. Misal A = {1, 1, 1, 1 } subset dari R maka A mempunyai tepat satu titik kumpul yaitu 0, sehingga A = {0,1, 1, 1, 1 } dan A padat tidak dimana-mana dalam R. Misal A memuat semua bilangan rasional antara 0 dan 1 yaitu A = {x: x Q, 0 < x < 1} maka int (A) = tetapi A tidak padat tidak dimanamana dalam R karena penutup A adalah [0, 1] dan int(a ) = int[0,1] = (0,1) LINGKUNGAN & SISTEM LINGKUNGAN Misal p adalah titik dalam ruang topologi X. Suatu subset N dari X disebut lingkungan dari p jika dan hanya jika N adalah suatu superset dari set buka G yang memuat p yaitu: p G N dengan G set buka. Dengan kata lain relasi N adalah lingkungan dari p adalah invers dari p adalah titik interior N. Kelas dari semua lingkungan dari p X ditulis N p disebut sistem lingkungan (neighborhood system) dari p. Untuk suatu sistem lingkungan N p dari suatu titik p X ada 4 sifat yang dinyatakan dalam proporsi berikut yang disebut aksioma lingkungan sebagai berikut: Proporsisi: a. N p dan p termasuk ke dalam tiap anggota N p b. Irisan dari dua anggota N p termasuk N p c. Setiap superset dari anggota N p termasuk N p d. Tiap anggota N N p adalah superset dari anggota G N p dengan G adalah lingkungan dari tiap-tiap titik dari G yaitu G N g untuk tiap G. 1. X = {p, q, r, s, t} dan T = {X,, {p}, {p, q}, {p, r, s}, {p, q, r, s}, {p, q, t}}. Tentukan: a. N q b. N r c. N s d. N t 2. X = {a, b, c, d, e} dan = {X,, [a, b, c, d], {a, b, e}, {a, c, d}, {a, b}, {a}}. Tentukan: a. N c b. N e

20 3.7 TOPOLOGI KORSER DAN TOPOLOGI FAINER Misal τ 1 dan τ 2 adalah topologi pada set tidak kosong X dan tiap-tiap set buka anggota τ 1 subset dari X adalah anggota τ 2 subset dari X. Dengan demikian, bahwa τ 1 adalah kelas bagian dari τ 2 yaitu τ 1 τ 2, sehingga dikatakan bahwa τ 1 adalah lebih kasar (Coarser) atau lebih kecil (smaller) atau lebih lemah (weaker) terhadap τ 2 atau τ 2 lebih halus (finer) atau lebih besar (larger) terhadap τ 1. Perhatikan bahwa T = {τ 1 } koleksi dari topologi-topologi adalah terurut parsial dan dapat ditulis τ 1 τ 2 untuk τ 1 τ 2 dan dikatakan bahwa kedua topologi pada X tidak dapat dibandingkan bila topologi yang satu bukan korser terhadap yang lainnya. 1. Perhatikan topologi diskrit D, topologi indiskrit Y dan suatu topologi τ pada set X, maka τ adalah korser terhadap D, dan τ adalah finer terhadap Y. Jadi Y τ D. 2. Topologi X = {1,2,3,4,5} T 1 = {X,, {1}, {1,2}}, T 2 = {X,, {1}, {1,2}, {1,2,3}} T 3 = {X,, {1}, {1,2}, {1,2,3}, {1,2,3,5}}. Bandingkan topologi-topologi T 1, T 2 dan T 3! 3.8 RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF Misal A adalah subset tidak kosong dari ruang topologi (X, τ). Kelas τ A yaitu kelas dari semua irisan dari A dengan subset-subset buka τ pada X adalah topologi pada A dan topologi tersebut disebut topologi relative pada A atau relatifisasi τ terhadap A dan ruang topologi (A, τ A ) disebut ruang bagian dari (X, τ). Dengan kata lain, subset H dari A adalah set buka dari τ A, yaitu relative buka ke A, bila dan hanya bila ada subset buka G dari X dan G τ sedemikian hingga H = G A 1. Topologi τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} pada X = {a, b, c, d, e} dengan A = {a, d, e} X. Tentukan relatifisasi dari τ terhadap A (T A )! 2. Dari soal diatas, apabila B = {b, c, d} X maka tentukan topologi relatife dari B (T B )! 3. P = {1,2,3,4,5,6} dengan T = {P,, {5,6}, {4,5,6}, {2,3,4,5,6}, {2,5,6}, {2,3,5,6}, {2,4,5,6}} dan Q = {1,3,5,6}, R = {1,2,4,5,6}. Tentukan T Q dan T R!

21 3.9 EKUIVALENSI DARI DEFINISI TOPOLOGI Definisi dari ruang topologi memberikan aksioma untuk set-set buka dalam ruang topologi dan digunakan set buka sebagai pengertian (ide) sederhana untuk topologi. Teorema berikut menunjukkan alternatif lain untuk definisi topologi pada suatu set dengan menggunakan pengertian sederhana dari lingkungan dari suatu titik dan penutup suatu set : Bila X adalah set tidak kosong dan untuk tiap p X, A p kelas dari subset-subset dari X memenuhi aksioma berikut: a. A p tidak kosong dan p termasuk ke dalam anggota dari A p b. Irisan dari dua anggota A p termasuk dalam A p c. Setiap superset dari anggota A p termasuk A p d. Setiap anggota N A p adalah superset dari anggota G A p sedemikian hingga G A g untuk tiap g G maka ada satu dan hanya satu topologi τ pada X sedemikian hingga A p adalah sistem lingkungan τ dari titik X. Bila X adalah set tidak kosong dan k adalah operasi yang menghubungkan tiap subset A dari X dengan subset A k dari X yang memenuhi aksioma penutup kuatowski berikut: a. k = b. A A k c. (A B) k = A k B k d. (A k ) k = A k maka ada satu dan hanya satu topologi τ pada X sedemikian hingga A k adalah penutup subset A dari X. Soal soal: 1. Jika X = {a, b, c}, buktikan bahwa X, 0,{ a},{ a, b},{ a, c, d},{ a, b, c, d},{ a, b, e} topologi pada S? merupakan 2. τ = {X,, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}} adalah topologi pada X = {a, b, c} maka tentukan: a. Subset-subset tutup dari X! b. Closure dari {a}, {b} dan {c, e}! c. Manakah set dalam (b) yang merupakan padat dalam X! d. Set dari titik kumpul A = {a, d, e} e. Set dari titik kumpul B = {b}

22 3. Jika X = {a, b, c}, dengan X, 0,{ a},{ a, b},{ a, c, d},{ a, b, c, d},{ a, b, e} dimana A X maka tentukan: a. Titik limit dari A! b. Titik interior dari A! c. Titik eksterior dari A! d. Titik batas dari A! e. Persekitaran/lingkungan dari c (N c )! dan A = {a, b, c} 4. Jika X = {a, b, c}, dengan X, 0,{ a},{ a, b},{ a, c, d},{ a, b, c, d},{ a, b, e} {a, c, e} dimana A X, B X maka tentukan: a. Topologi relatif dari τ terhadap A (τ A )! b. Topologi relatif dari τ terhadap B (τ B )! dan A = {a, b, c}, B = 5. Misal τ adalah ruang topologi pada X yang terdiri dari empat set yaitu τ = {X,, A, B} dimana A dan B tidak kosong dan merupakan subset-subset murni yang berlainan dari X. Syarat apakah yang harus dipenuhi oleh A dan B? 6. Misalkan A subset dari ruang topologi (X, τ). Bilamanakah titik p X bukan titik kumpul dari A?

23 BAB IV BASIS & BASIS BAGIAN 4.1. BASIS UNTUK TOPOLOGI Definisi: Misal (X, τ) suatu ruang topologi. Suatu kelas B yang terdiri dari subset-subset buka dari X yaitu B τ adalah basis untuk topologi τ bila dan hanya bila setiap set buka G r adalah gabungan dari anggota-anggota. Definisi tersebut equivalen dengan pernyataan berikut B τ adalah basis untuk topologi τ bila dan hanya bila untuk setiap titik p yang termasuk pada set buka G ada B B dengan B G. Dengan definisi lain: Apabila diberikan ruang topologi (X, τ), suatu koleksi β dari himpunan-himpunan terbuka pada X maka dikatakan basis pada topologi τ jika setiap himpunan terbuka adalah gabungan dari elemen-elemen pada β. Teorema berikut memberikan syarat yang perlu dan cukup untuk kelas dari set-set yang merupakan basis untuk suatu topologi, yaitu: Misal B adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong X maka B adalah basis untuk suatu topologi pada X bila dan hanya bila memenuhi dua sifat: a. X = {B: B B} b. Untuk suatu B, B B, B B adalah gabungan dari anggota-anggota B atau bila p B B maka zb p B sedemikian hingga p B p B B. Jika B 2 merupakan suatu basis untuk topologi τ pada X dan B 2 merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada X dimana B 1 B 2 maka B 2 adalah juga basis untuk topologi. 1. Diberikan X = {a, b, c, d, e, f} dan T 1 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}} dengan β = {, {a}, {c, d}, {b, c, d, e, f}}. Apakah β merupakan basis dari T 1? Jelaskan! 2. X = {a, b, c, d, e}, T 1 ={X,, {a, b, c, d}, {a, c, d}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}, {a, c, d, e}, {a, d, e}} T 2 = {X,, {a, b, c, d}, {a, c, d, e}, {a, c, d}, {a, d, e}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}} B 1 = {{a, b, c, d}, {a, c, d}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}} B 2 = {X, {a, b, c, d}, {a, c, d}, {a, d, e}, {d}, {a, d}, {d, e}, {e}} Apakah B 1 dan B 2 merupakan basis untuk topologi? Jelaskan! 3. S = {a, b, c} dengan r = {, {a}, {a, c}, {c}, {b, c}, S} dan β = {{a}, {c}, {b, c}, } Apakah β merupakan basis dari r? Mengapa? 4. S = {a, b, c, d} dengan T = {, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}, {b, c, d}} β = {, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}, {b, c, d}} Tunjukkan bahwa β merupakan basis dari T!

24 4.2. BASIS BAGIAN Misal (X, τ) suatu ruang topologi. Kelas α yang anggotanya subset-subset buka dari X yaitu α τ adalah basis bagian untuk topologi τ pada X bila dan hanya bila irisan terhingga dari anggotaanggota α membentuk basis untuk τ. 1. Perhatikan bahwa setiap interval buka (a,b) dalam garis real R adalah irisan dari dua interval buka tak hingga (a, ) dan (, b): (a, b) = (a, ) (, b). Interval-interval bukanya membentuk basis untuk topologi pada R, jadi semua kelas dari semua interval buka tak hingga adalah basis bagian untuk R. 2. Irisan dari suatu pita buka interval dan horizontal tak hingga pada bidang R 2 adalah persegi panjang buka seperti buka, dimana persegi panjang persegi panjang buka membentuk basis untuk topologi pada R 2. Kelas β dari semua pita buka tak hingga adalah basis bagian untuk R 2. y 0 x 3. X = {a, b, c, d} T = {, X, {a}, {c}, {d}, {a, c}, {c, d}, {a, d}, {a, c, d}} G = {{a, c}, {c, d}, {a, d}, X} Apakah G merupakan sub bagian pada T? 4.3 TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH KELAS DARI SET Misal A adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong. Kemungkinan A bukan merupakan basis untuk topologi pada X. Jadi A selalu merupakan pembangunan dari topologi pada X seperti dikemukakan pada teorema berikut: Suatu kelas A yang terdiri dari subset-subset dari set tidak kosong X adalah basis bagian untuk suatu topologi τ yang unik pada X. Jadi irisan tak hingga dari anggota-anggota A membentuk basis untuk topologi τ pada. Misal R subset-subset dari set tidak kosong X. Meskipun R bukan basis tapi R dapat membentuk topologi dengan cara: a. Ditentukan semua irisan hingga dalam R yang merupakan basis dari suatu topologi. b. Dilakukan gabungan dari basis tersebut yang merupakan topologi yang dicari.

25 Topologi yang dibangun oleh kelas dari set-set dapat dinyatakan pula seperti proposisi berikut: Bila A adalah kelas subset-subset dari set tidak kosong X maka topologi τ pada X yang dibangun oleh A adalah irisan dari semua topologi pada X yang memuat A. 1. A = {{a, b}, {b, c}, {d}} adalah kelas dari subset-subset dari X = {a, b, c, d}. Tentukan topologi pada X yang dibangun (dibentuk) oleh A! 2. Let = {a, b, c, d, e}. Find the topology τ on X generated by A = {{a}, {a, b, c}, {c, d}}! 3. Misal X = {a, b, c, d, e} dan = {{a, b, c}, {c, d}, {d, e}}. Tentukan topologi pada X yang dibangun oleh P! 4.4 BASIS LOKAL Misal p adalah sebarang titik di dalam ruang topologi X. Kelas B p dari subset-subset buka yang memuat p disebut basis lokal pada p bila dan hanya bila untuk tiap set buka G yang memuat p ada G p B p sedemikian hingga p G p G Berikut ini hubungan antara basis untuk topologi dan basis lokal pada suatu titik dengan proposisi: 1. Bila B basis untuk topologi τ pada X dan p X maka anggota dari basis B yang memuat p membentuk basis lokal di p. 2. Titik p di dalam ruang topologi X adalah titik kumpul dari A X bila dan hanya bila tiap-tiap anggota suatu basis lokal B p pada p memuat suatu titik A yang berbeda dengan p. 3. Barisan (a 1, a 2, ) dari titik-titik dalam ruang topologi X konvergen ke p X bila dan hanya bila tiap anggota dari sebarang basis lokal B p pada p memuat semua suku-suku dari barisan itu. Ketiga proposisi diatas memberikan corollary berikut: Bila B suatu basis untuk topologi τ pada X maka : a. p X adalah titik kumpul dari A X bila dan hanya bila tiap set basis buka B B yang memuat p, memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan p. b. Barisan (a 1, a 2, ) dari titik-titik dalam X konvergen ke p X bila dan hanya bila tiap set basis buka B B yang memuat p, memuat semua suku-suku dari barisan itu. Definisi basis lokal lainnya: Diberikan (X,T) merupakan ruang topologi dan a X maka koleksi B a dikatakan basis lokal pada suatu titik a jika milik sebuah himpunan terbuka G terdapat anggota β dari B sehingga a B G.

26 Remark/Keterangan: 1. It may be noted that every bases for a topology is also a local base at each point of ground set but the converse may not be true (Setiap basis untuk topologi juga merupakan basis lokal dalam setiap titik tetapi tidak sebaliknya mungkin tidak benar). 2. Union of all bases froms bases for topology τ defined on the any non-empty set X (Persatuan dari semua basis lokal membentuk basis untuk topologi τ, setiap tidak kosong X set). 1. Perhatikan topologi biasa pada bidang R 2 dan p R 2 maka kelas B p yang anggotanya semua bola buka yang pusatnya p adalah basis lokal pada p. Hal tersebut dapat ditunjukkan bahwa sebarang set buka G yang memuat p juga memuat bola buka D p yang pusatnya p. p. D p G Demikian pula, kelas dari semua interval buka (a δ, a + δ) dalam garis real R dengan pusat a R adalah basis lokal pada titik a. 2. X = {a, b, c} merupakan himpuan yang tidak kosong dan T = {, X, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}}. (X, T) merupakan rang topologi, tentukan: a. Basis lokal pada titik a (Ba) b. Basis lokal pada titk b (Bb) c. Basis lokal pada titik c (Bc) d. Basis pada topologi T 4.5. BASIS LIMIT Basis limit dengan teorema sebagai berikut: 1. B1 merupakan koleksi interval terbuka tertutup pada garis bilangan riil yaitu B 1 = {(a, b] a, b R, a < b} dan (a, b] = {x R a < x b}. R adalah himpunan bilangan riil. Karena setiap bilangan riil r R terletak pada suatu interval terbuka tertutup dari B1 maka R merupakan gabungan (union) dari anggota-anggota B1. Selanjutnya irisan dari dua interval terbuka tertutup adalah kosong atau merupakan suatu interval terbuka tertutup lagi yang berarti juga anggota dari B1. Jika A merupakan koleksi interval terbuka tertutup (a,b] maka A merupakan suatu topologi pada R sehingga B1 merupakan basis untuk topologi A dan disebut topologi limit atas (upper limit topology).

27 2. Bila B 2 = {[a, b) a, b R, a < b} yaitu kelas interval tertutup terbuka pada garis bilangan riil R dimana [a, b) = {x R a x < b} maka B2 merupakan suatu basis untuk topologi pada R dan disebut topologi limit bawah (lower limit topology) pada R. 3. Bila B 3 = {a, b a, b R, a < b} yaitu koleksi interval terbuka pada garis riil R dimana (a, b] = {x R/a < x < b} maka B3 merupakan basis untuk topologi usual U pada garis bilangan riil R. Soal soal: 1. X = {1,2,3} dengan T = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, X} dan B = {{1}, {2}, {3}} Tunjukkan B merupakan basis topologi untuk T! 2. X = {1,2,3} dengan τ = {, X} dan B = {X}, tunjukkan B merupakan basis topologi untuk τ! 3. X = {a, b, c, d, e} dengan A = {{a, b, c}, {c, d}, {d, e}, {e}} Tentukan topologi yang dibangun A! 4. S = {a, b, c} dengan τ = {, {a}, {c}, {a, c}, {b, c}, S}, tentuka Ba! 5. Tunjukkan bahwa irisan dari interval terbuka tak hingga a < x < b dengan a < b merupakan sub basis! 6. B adalah koleksi interval terbuka pada garis bilangan riil R yaitu B = {(a, b) a, b R, a < b} dimana (a, b) = {x R a < x < b} dan R adalah himpunan bilangan riil. Apakah B merupakan basis untuk topologi usual pada garis bilangan riil R? Jelaskan!

28 BAB V KONTINUITAS DAN TOPOLOGI EQUIVALEN 5.1. FUNGSI-FUNGSI KONTINU Misalkan (X, τ) dan (Y, τ ) adalah ruang topologi-ruang topologi. Suatu fungsi f dari X ke dalam Y disebut kontinu relative ke τ dan τ atau kontinu τ τ atau kontinu bila dan hanya bila bayangan invers f 1 [H] dari tiap τ dengan H subset buka dari Y adalah anggota τ merupakan subset buka dari X atau bila dan hanya bila H τ maka f 1 [H] τ. Ditulis f: (X, τ) (X, τ ) untuk suatu fungsi di dalam topologi. Dengan kata lain (X, τ) dan (Y, τ ) merupakan ruang topologi-ruang topologi. Fungsi f: X Y disebut kontinu T 1 T 2 jika untuk setiap himpunan terbuka H anggota T berlaku f 1 [H] anggota dari T 1. Proposisi: Fungsi f: X Y adalah kontinu bila hanya bila invers dari tiap anggota basis B untuk Y adalah subset buka dari X. Teorema: 1. Misal τ adalah basis bagian untuk ruang topologi Y maka fungsi f: X Y adalah kontinu bila hanya bila invers tiap-tiap anggota τ adalah sub set buka dari X. 2. Fungsi f: X Y adalah kontinu bila hanya bila bayangan invers dari tiap subset tutup dari Y adalah tutup dari X. Beberapa dalil yang berkaitan dengan fungsi kontinu: 1. Suatu fungsi f: R R adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang terbuka adalah set yang terbuka. 2. Jika suatu fungsi f: R R adalah konstan yaitu f(x) = k untuk setiap x R maka f adalah kontinu. 3. Jika suatu fungsi f: R R adalah fungsi identitas yaitu f(x) = x maka f adalah kontinu. 4. Jika suatu fungsi f: R R dan g: R R adalah fungsi-fungsi kontinu maka f g R R adalah juga kontinu. Dalil tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut: 1. Suatu fungsi f: R R adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang terbuka adalah set yang terbuka, dengan pembuktian: misalkan f: R R adalah fungsi kontinyu dan V adalah suatu himpunan bagian terbuka dari R. Akan ditunjukkan bahwa f 1 [V] adalah juga merupakan himpunan yang terbuka. Ambil p f 1 [V] berarti f(p) V. Menurut definisi kontinuitas ada suatu himpunan terbuka Up yang mengandung p sehingga f[u p ] V dan U p f 1 [f[u p ] f 1 [V] maka jelas bahwa untuk setiap p f 1 [V] ada suatu himpunan terbuka Up sedemikian hingga U p f 1 [V]. Jadi f 1 [V] = U{U p p f 1 [V]} dan f 1 [V] adalah terbuka.

29 V f(up) (p) Up P f -1 [V] Sebaliknya, misalkan invers dari setiap himpunan yang terbuka adalah terbuka, akan ditunjukkan bahwa f adalah kontinu di setiap titik p R. Ambil V adalah himpunan terbuka yang mengandung f(p) yaitu f(p) V karena f[f 1 [v]] V maka f 1 [V] adalah himpunan terbuka yang mengandung p. Jadi f adalah kontinu di p. 2. Jika suatu fungsi f: R R adalah konstan yaitu f(x) = k untuk setiap x R maka f adalah kontinu, dengan pembuktian: menurut dalil 1, fungsi f adalah kontinu jika hanya jika dari sebarang himpunan terbuka G yaitu f 1 [G] adalah juga himpunan yang terbuka karena f(x) = k untuk setiap x R maka: f 1, jika k G [G] =, untuk setiap himpunan terbuka G. R, jika k G Karena dan R adalah himpunan yang terbuka maka f 1 [G] adalah terbuka. 3. Jika suatu fungsi f: R R adalah fungsi identitas yaitu f(x) = x maka f adalah kontinu, dengan pembuktian: ambil G adalah himpunan terbuka. Karena f(x )= x adalah fungsi identitas maka f 1 [G] = G adalah himpunan yang terbuka. Jadi f adalah fungsi yang kontinu. 4. Jika suatu fungsi f: R R dan g: R R adalah fungsi-fungsi kontinu maka f. g R R adalah juga kontinu, dengan pembuktian: harus ditunjukkan bahwa (f g) 1 [G] dengan G adalah sebarang himpunan terbuka. Karena g adalah kontinu maka g 1 [G] adalah himpunan terbuka tetapi karena f adalah kontinu maka invers dari g 1 [G] yaitu f 1 [g 1 [G]] adalah juga himpunan terbuka. Dari sifat (g f) 1 = f 1 g 1 maka (g f) 1 [G] = (f 1 g 1 )[G] = f 1 [g 1 [G]] adalah suatu himpunan yang terbuka. Jadi (g f): R R adalah kontinu. 1. Perhatikan ruang diskrit (X,D) dan ruang topologi (Y,τ) maka tiap fungsi f: X Y adalah D τ kontinu karena bila H sebarang subset buka dari Y, invers f 1 [H] adalah subset buka dari X dan tiap subset buka dari ruang diskrit adalah buka. 2. Misal f: X Y dengan X dan Y masing-masing ruang topologi dan B adalah basis untuk topologi pada Y. Bila untuk tiap-tiap anggota B B, f 1 [B] adalah subset buka dari X maka f adalah fungsi kontinu karena misalnya H adalah subset buka dari Y maka H = i B i adalah

30 gabungan dari anggota-anggota dari B tetapi f 1 [H] = f 1 [ i B i ] = i f 1 [B i ] dan tiaptiap f 1 [B i ] adalah buka menurut hipotesis, jadi f 1 [H] adalah gabungan dari set-set buka, yang merupakan set buka. Jadi f adalah kontinu. 3. X = {a, b, c, d} dan Y = {x, y, z, w}, τ = {X,, {a}, {a, b}, {a, b, c}} dan τ 1 = {Y,, {x}, {y}, {x, y}, {y, z, w}}. Fungsi-fungsi f: X Y dan g: X Y didefinisikan: a. f.x a. g.x b..y b..y c..z c..z d..w d..w Apakah fungsi f dan g kontinu di dalam topologi? Jelaskan! 4. Misalkan topologi-topologi pada X = {p, q, r, s} dan Y = {1,2,3,4} pada T 1 = {X,, {p}, {r}, {p, s}, {p, q, s}} dan T 2 = {Y,, {1}, {2}, {1,3}, {1,3,4}} Fungsi-fungsi f: X Y dan g: X Y didefinisikan: f: {(p, 2), (q, 4), (r, 1), (s, 4)} dan g: {(p, 1), (q, 3), (r, 2), (s, 3)} Apakah fungsi f dan g kontinu dalam topologi? Jelaskan! 5.2. FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG Misal X adalah ruang topologi. Titik p X disebut tutup sebarang (arbitrarily close) terhadap set A X bila p A dan p adalah titik kumpul dari A Ingat bahwa A = A A ; jadi penutup dari A memuat titik di dalam X yang merupakan tutup sebarang terhadap A. Ingat juga bahwa A = A b(a), jadi p adalah tutup sebarang terhadap A karena p adalah titik interior atau titik batas dari A. Fungsi-fungsi kontinu dapat pula dinyatakan sebagai fungsi-fungsi dengan tutup sebarang utuh dengan teorema seperti berikut: Fungsi f: X Y adalah kontinu bila dan hanya bila untuk p X dan A X; p tutup sebarang ke A maka f(p) tutup sebarang ke f[a] atau p A maka f(p) f[a] atau f[a ] f[a].

31 5.3. KONTINU PADA SUATU TITIK Suatu fungsi f: X Y adalah kontinu di titik p X bila hanya bila bayangan invers f 1 [H] dari tiap set buka H Y yang memuat f(p) adalah superset dari set buka G X yang memuat p, atau nila dan hanya bila bayangan invers dari tiap-tiap lingkungan dari f(p) adalah lingkungan dari p yaitu N N f(p) f 1 [N] N p. Teorema: Misal X dan Y masing-masing ruang topologi maka fungsi f: X Y adalah kontinu bila dan hanya bila f: X Y kontinu pada tiap titik dari X. 1. Apabila topologi pada X = {a, b, c, d} diberikan oleh τ = {X,, {a}, {b}, {a, b}, {b, c, d}} dan fungsi f: X X didefinisikan oleh diagram: a b c d a b c d Tunjukkan bahwa: a. f tidak kontinu di c! b. f kontinu di d! 2. Apabila topologi pada X = {p, q, r, s} diberikan oleh τ = {X,, {r}, {s}, {r, s}, {p, q, r}} dan fungsi f: X X didefinisikan f: {(p, q), (q, r), ( r, p), (s, r)}. a. Apakah f kontinu di p? b. Apakah f kontinu di q? 3. Kondisi apakah yang harus dipenuhi agar fungsi f: X Y tidak kontinu di titik p X? 5.4. KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK Fungsi f: X Y adalah barisan kontinu di titik p X bila dan hanya bila untuk tiap barisan (an) dalam X konvergen ke p, barisan (f(an)) dalam Y konvergen ke f(p), yaitu: bila a n p maka f(a n ) f(p) Barisan kontinu dan kontinu di suatu titik berrelasi yaitu bila fungsi f: X Y kontinu di titik p X maka f: X Y adalah barisan kontinu di titik p. Catatan: Konvers dari proposisi diatas adalah tidak benar. Misalnya, perhatikan topologi τ pada garis real R yang terdiri dan komplemen dari set-set kontabel. Ingat kembali suatu barisan (an) konvergen ke p bila dan hanya bila barisan itu berbentuk (a1, a2,, ano, p, p, p, ), maka

32 untuk suatu fungsi f: (R, τ) (X, τ ), (f(an)) = (f(a1), f(a2),, f(ano), f(p), f(p), f(p), ) konvergen ke f(p). Dengan kata lain, setiap fungsi pada (R, τ) adalah barisan kontinu. Sebaliknya, fungsi f: (R, τ) (R, U) yang didefinisikan oleh f(x) = x, yaitu fungsi identitas, adalah bukan kontinu τ u karena f 1 [(0,1)] = (0,1) bukan subset buka τ dari R FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP Fungsi kontinu mempunyai sifat bahwa bayangan invers dari tiap set buka dan bayangan invers dari tiap set tutup adalah tutup. Definisi dari fungsi buka dan tutup didefinisikan sebagai berikut: Fungsi f: X Y disebut fungsi buka (fungsi interior) bila bayangan (peta) dari tiap set buka adalah buka. Fungsi g: X Y disebut fungsi tutup bila bayangan (peta) dari tiap set tutup adalah tutup. Pada umumnya fungsi-fungsi buka, tidak perlu tutup, dan sebaliknya. 1. Fungsi konstan f(x) = 1 merupakan fungsi tertutup dan kontinu, tidak terbuka. 2. Fungsi f(x) = x 2 merupakan fungsi tidak terbuka karena misalnya G = ( 1,1) interval buka maka f(g) = [0,1) tidak terbuka RUANG HOMEOMORPHIS Definisi: Dua ruang topologi (X 1, T 1 ) dan (X 2, T 2 ) dikatakan homeomorphis bila dan hanya bila atau f: S 1 S 2 yang bijektif (one-one onto) sedemikian hingga f dan f -1 kontinu. Fungsi f disebut suatu kontinu bila f terbuka dan kontinu sehingga f homeomorphisme f bikontinu dan bijektif. Proporsi: Relasi di dalam suatu koleksi dari ruang topologi-ruang topologi yang didefinisikan oleh X homeomorphis dengan Y adalah relasi equivalen. Relasi homeomorphis adalah relasi yang equivalen dan berlaku sifat: a. Refleksif homeomorphik dengan dirinya sendiri b. Simetris bila S1 homeomorphis S2 maka S2 homeomorphis S1 c. Transitif bila S1 homeomorphis S2 maka S2 homeomorphis S3 maka S1 homeomorphis S3 1. Misal X = ( 1,1). Fungsi f: X R yang didefinisikan oleh f(x) = tan 1 πx yang satu- 2 satu, onto dan kontinu. Selanjutnya, fungsi f 1 adalah kontinu. Jadi garis real R dan interval buka (-1,1) adalah homeomorphis.

33 2. Misal X dan Y masing-masing ruang diskrit maka semua fungsi dari fungsi yang satu ke fungsi yang lainnya adalah kontinu. Jadi X dan Y adalah homemorphis bila dan hanya bila ada fungsi satu-satu dan onto dari fungsi yang satu terhadap lainnya yaitu bila dan hanya bila X dan Y mempunyai kardinal yang sama SIFAT-SIFAT TOPOLOGI Sifat P dari set-set disebut topologi atau topologi invarian, bila ruang topologi (X, τ) mempunyai sifat P maka setiap ruang yang homeomorphis dengan (X, τ) juga mempunyai sifat P. 1. Pada contoh terdahulu telah diketahui bahwa garis real R adalah homemorphis dengan interval buka X = ( 1,1). Jarak adalah bukan sifat topologi karena X dan R mempunyai perbedaan jarak dan keterbatasan juga bukan sifat topologi karena X terbatas sedangkan R tak terbatas. 2. Misal X adalah set semua bilangan real positif yaitu X = (o, ) dan fungsi f: X X yang didefinisikan oleh f(x) = 1 x adalah homeomorphik dari X kepada X. Perhatikan bahwa barisan (a n ) = (1, 1, 1, ) berkorespondensi di bawah homeomorphis dengan barisan 2 3 f(a n ) = (1,2,3, ). Barisan (an) merupakan barisan Cauchy sedangkan barisa (f(an)) bukan barisan Cauchy. Jadi sifat dari barisan Cauchy bukan topologi. Topologi selanjutnya memeriksa akibat dari beberapa sifat topologi seperti kekompakan (compactness) dan keterhubungan (connectedness). Dalam kenyataannya, topologi formal adalah studi tentang invariant topologi. Berikut, keterhubungan didefinisikan dan ditunjukkan oleh sifat topologi: Ruang topologi (X, τ) disebut tidak terhubung (disconnected) bila dan hanya bila X adalah gabungan dari dua subset buka yang tidak kosong dan subset-subset yang lepas yaitu X = G H dengan G, H τ dan G H =, tetapi G, H. Bila f: X Y suatu homemorphisma maka X = G H bila dan hanya bila Y = f[g]uf[h] dan Y adalah tidak terhubung bila dan hanya bila X tidak terhubung. Ruang topologi (X, τ) adalah terhubung (connected) bila dan hanya bila (X, τ) tidak tak terhubung TOPOLOGI DARI FUNGSI-FUNGSI Misal {(Y i, τ i )} adalah koleksi dari ruangtopologi-ruang topologi dan untuk tiap Y i terdapat fungsi f i = X Y i yang didefinisikan pada sebarang set tidak kosong X. Untuk memeriksa topologi topologi pada X yang berturut-turut semua fungsi fi adalah kontinu, ingat kembali bahwa fi adalah kontinu relative terhadap sebarang topologi pada X maka invers bayangan dari tiap-tiap subset buka dari Y i adalah subset buka dari X. Jadi kelas-kelas dari subset-subset dari X adalah = i {f 1 [H]: H τ i }.

34 Dengan demikian, δ memuat invers bayangan dari tiap-tiap subset dari setiap ruang topologi Y i. Topologi τ pada X yang dibangun oleh δ disebut topologi yang dibangun leh fungsi f i. Sifatsifat topologi seperti itu mempunyai sifat-sifat berikut dengan teorema: a. Semua fungsi f i adalah kontinu relative terhadap τ. b. τ adalah irisan dari semua toplogi pada X dengan fungsi-fungsi f i adalah kontinu. c. τ adalah terkecil yaitu coarser topologi pada X yang masing-masing fungsi f i adalah kontinu. d. δ adalah basis bagian untuk topologi τ. 1. Consider the following topology on Y = {a, b, c, d} with = {Y,, {c}, {a, b, c}, {c, d}}. Let X = {1,2,3,4} and let the function f: X (Y, τ) and g: X (Y, τ) be defined by: f g 1 a 1 a 2 b 2 b 3 c 3 c 4 d 4 d Find the defining subbase δ for the topology τ on X induced by f and g the coarsest topology with respect to which f and g are continuous! 2. Y = {x, y, z, w} dan (Y, τ) merupakan ruang topologi τ = {Y,, {x}, {y}, {x, y}, {y, z, w}}. Misal X = {a, b, c, d} dan fungsi f: X (Y, τ) dan g: X (Y, τ) dengan diagram sebagai berikut: f g a x a x b y b y c z c z d w d w Tentukan sub basis δ untuk topologi τ pada X yang dibangun oleh f dan g yaitu topologi coarser (terkecil) dengan f dan g masing-masing kontinu! 3. Consider the following topology on = {a, b, c, d}, τ = {Y,, {a, b}, {c, d}}. Let X = {1,2,3,4,5} and let f: X Y and g: X Y be as follows: f: {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b), (5, d)} and g: {(1, c), (2, b), (3, d), (4, a), (5, c)}. Find the defining subbase for topology on X induced by f and g!

35 SOAL SOAL: 1. Let f: X Y be a constant function, say (x) = p Y, for every x X. Then f is continuous relative to any topology T on X and any topology T * on Y. (Biarkan f: X Y menjadi fungsi konstan, katakanlah (x) = p Y, untuk setiap x X. Kemudian f relatif terus menerus untuk setiap T topologi pada X dan setiap topologi T * pada Y.) 2. Let f: X Y be any function. If (Y, A) is an indiscrete space, then f: (X, T) (Y, A) is continuous for any T (Biarkan f: X Y menjadi fungsi apapun. Jika (Y, A) adalah sebuah ruang indiscrete, maka f: (X, T) (Y, A) kontinu untuk setiap T) 3. Suppose a singleton set {p} is an open subset of a topological space X. Show that for any topological space Y and any function f: X Y, f is continuous at p X. (Misalkan satu set tunggal {p} merupakan bagian terbuka dari X. Tampilkan ruang topologi bahwa untuk setiap Y topological ruang dan fungsi setiap f: X Y, f kontinu pada p X.) 4. Fungsi nilai mutlak f pada R, f(x) = X untuk X R adalah kontinu dengan A(a,b) interval buka dalam R. Buktikan!

36 BAB VI KONTABILITAS 6.1. RUANG KONTABEL / RUANG TERHITUNG Ruang Kontabel Pertama / Ruang Terhitung Pertama (First Countable Spaces) Ruang topologi X disebut ruang kontabel pertama bila memenuhui aksioma yang disebut aksioma pertama dari kontabilitas yaitu: Untuk setiap p X ada kelas dari set-set buka yang kontabel B p yang memuat p sedemikan hingga tiap set buka G yang memuat p juga memuat anggota dari B p. Dengan kata lain, ruang topologi X adalah ruang kontabel pertama bila dan hanya bila basis lokal pada tiap titik p X, dimana aksioma diatas merupakan sifat basis lokal dari ruang topologi X. Dapat juga dikatkan, diberikan (X,T) ruang topologi maka X dikatakan ruang dihitung pertama jika untuk setiap p X memiliki basis lokal dihitung yaitu setiap p X, B p yang dapat dihitung. Teorema: Fungsi yang didefinisikan pada ruang kontabel pertama X adalah kontinu di p X bila dan hanya bila fungsi itu adalah barisan kontinu di p. Dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa bila X memenuhui aksioma diatas maka f: X Y kontinu di p X bila dan hanya bila tiap barisan (an) konvergen ke p dalam X, barisan (f(an)) konvergen ke (fp) dalam Y yaitu bila a n p maka f(a n ) f(p). Catatan: Bila B p merupakan basis local kontabel pada titik p X maka dapat ditulis B p = {B 1, B 2, B 3, } dan bila B 1 B 2 B 3,, maka B p disebut tumpukan basis lokal pada p. 1. Misal X adalah ruang metrik dan p X. Sudah diketahui bahwa kelas dari bola-bola buka {S(p, 1), S (p, 1 ), S (p, 1 ), } dengan pusat p adalah basis lokal pada p merupakan 2 3 kontabilitas. 2. Misal X adalah ruang diskrit, Set singleton {p} adalah buka dan termuat di dalam set buka G yang memuat p X sehingga merupakan kontabilitas. 3. Apabila P(x) adalah topologi diskrit pada X maka (X,T) merupakan ruang topologi dan (X,T) merupakan ruang dihitung pertama karena untuk masing-masing a X, Bx merupakan basis lokal dengan terbatas dan B a = {{a}}, x B U dan Bx dapat dihitung (terbatas). 4. X = {a, b, c, d} merupakan himpunan yang tidak kosong dan (X,T) merupakan ruang topologi dengan T = {X,, {a}, {b}, {a, b}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}}. Apakah (X,T) merupakan ruang kontabel pertama?

37 Ruang Kontabel Kedua / Ruang Terhitung Kedua (Second Countable Spaces) Ruang topologi (X, τ) disebut ruang topologi kedua bila memenuhi aksioma berikut yang disebut aksioma kedua dari kontabilitas, yaitu: Ada basis kontabel B untuk topologi. Perhatikan bahwa kontabilitas kedua adalah keseluruhan dari sifat suatu local dari ruang topologi. 1. Jika X terbatas dari masing τ pada X yang terbatas maka (X,T) merupakan ruang dihitung kedua dan (X,T) merupakan ruang dihitung pertama. Dengan diberikan S adalah sub base dari T sehingga S P(x) merupakan countable maka B P(x) juga countable. Oleh karena itu (X,T) merupakan ruang dihitung kedua karena setiap basis lokal juga dapat dihitung sehingga (X,T) juga merupakan dihitung pertama. 2. Kelas B dari interval buka-interval buka (a,b) dengan titik-titik akhir rasinal yaitu a, b Q adalah kontabel dan merupakan basis untuk topologi pada garis real R sehingga R adalah ruang kontabel kedua yaitu R memenuhi aksioma kedua. 3. Perhatikan topologi diskrit kedua D pada garis real R. Ingat kembali bahwa kelas B adalah basis untuk topologi diskrit bila dan hanya bila B terdiri dari semua set singleton. Tetapi T dan kelas dari subset-subset singleton {p} dari R adalah tidak kontabel, sehingga (R,D) tidak memenuhi aksioma kedeua dari kontabilitas. Selanjutnya, bila B basis kontabel untuk suatu ruang X dan bila B p memuat anggota dari B yang memuat p X maka B p adalah basis lokal kontabel pada p. Dengan kata lain dikemukakan teorema: Setiap ruang kontabel kedua adalah ruang kontabel pertama Sebaliknya, garis real R dengan topologi diskrit tidak memenuhi aksioma kedua menurut contoh 2 pada bagian B tentang kontabel kedua diatas tetapi memenuhi aksioma pertama pada bagian A tentang kontabel pertama, sehingga konvers dari teorema 2 adalah benar TEOREMA LINDELOF Sebelumnya ada beberapa istilah/pengertian berikut: 1. Bila A X dan A adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga A U{E: E A} maka A disebut sampul (cover) dari A atau A disebut sampul A. 2. Bila anggota-anggota dari A adalah subset buka dari X maka A disebut sampul buka dari A. 3. Bila A memuat sampul dari A maka A disebut tereduksi ke suatu sampul kontabel (terhingga) atau A disebut memuat sampul bagian yang kontabel (terhingga). Ruang kontabel kedua termuat di dalam kedua teorema berikut: Bila A subset dari ruang kontabel kedua X maka tiap sampul buka A tereduksi ke sampul kontabel Bila X ruang kontabel kedua maka tiap basis B untuk X tereduksi ke basis kontabel X.

38 Kedua teorema diatas selanjutnya dipakai untuk mendefinisikan ruang Lindelof berikut: Ruang topologi X disebut Ruang Lindelof bila tiap sampul buka dari X tereduksi ke sampul kontabel. Jadi setiap ruang kontabel kedua adalah Ruang Lindelof RUANG TERPISAH Ruang topologi X disebut terpisah bila ruang topologi X tersebut memenuhi aksioma: X memuat subset padat yang kontabel Dengan kata lain, X adalah terpisah bila dan hanya bila ada subset terhingga atau subset denumerabel A dari X sedemikian hingga penutup A sama dengan X yaitu A = X 1. Garis real R dengan topologi biasa adalah ruang terpisah karena set bilangan rasional Q adalah denumerabel dan padat di dalam R yaitu Q = X 2. Garis real R dengan toplogi diskrit D. Ingat kembali bahwa setiap subset dari R adalah D buka dan D tutup, dimana D merupakan subset padat dari R dalam R sendiri dan R bukan set kontabel, sehingga (R,D) bukan ruang terpisah. Teorema: Bila X memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas maka X adalah terpisah. Garis real R dengan topologi yang dibangun olrh interval tutup buka [a,b) adalah contoh klasik (biasa) dari ruang terpisah yang tidak memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas. Dengan demikian maka konvers dari teorema diatas pada umumnya tidak benar SIFAT-SIFAT HEREDITER Sifat P dari ruang topologi X disebut herediter bila dan hanya bila setiap ruang bagian dari X mempunyai sifat P. Setiap ruang bagian dari ruang kontabel kedua adalah kontabel kedua dan setiap ruang bagian dari ruang kontabel pertama adalah kontabel pertama. Dengan kata lain aksioma pertama dan kedua, kedua-duanya herediter, tetapi ruang bagian dari ruang terpisah tidak perlu terpisah yaitu terpisah bukan berarti herediter. Hubungan ketiga aksioma pada kontabilitas ditunjukkan oleh diagram berikut: Terpisah Kontabel Kedua Kontabel Pertama

39 BAB VII AKSIOMA PEMISAH 7.1. RUANG T1 Ruang topologi X adalah ruang T1 bila dan hanya bila memenuhi aksioma [T1]: Untuk pasangan titik-titik yang berbeda a, b X, tiap-tiap titik tersebut termasuk di dalam set-set buka yang berbeda. Dengan kata lain, ada set-set buka G & H sedemikian hingga: a G, b G dan b H, a H. Set-set buka G dan H tidak perlu saling lepas (disjoint) Teorema: Ruang topologi X adalah Ruang T1 bila dan hanya bila setiap subset singleton {p} dari X adalah tutup. Karena gabungan terhingga dari set-set tutup adalah tutup maka yang berikut adalah teorema akibat (Corollary): (X, τ) adalah ruang T1 bila dan hanya bila τ memuat topologi kofinit pada X. 1. Topologi kofinit pada X adalah topologi terkecil pada X dengan (X, τ) adalah ruang T1, sehingga topologi kofinit disebut juga topologi T1. Jadi topologi kofinit disebut juga topologi [T1] 2. Setiap ruang metrik X adalah Ruang T1 karena subset-subset terhingga dari X adalah tutup. 3. Perhatikan topologi τ = {X,, {a}} pada set X = {a, b} dan (X, τ) merupakan ruang topologi. Perhatikan bahwa X adalah set buka yang memuat a dan juga X adalah set buka yang memuat b. Jadi (X, τ) tidak memenuhi [T1] atau (X, τ) bukan ruang [T1]. Set singleton {a} tidak tutup karena komplemen {a} yaitu {a} c = {b} adalah tidak buka 7.2. RUANG HAUSDORFF (RUANG T2) Ruang topologi X disebut Ruang hausdorff atau Ruang T2 bila dan hanya bila memenuhi aksioma [T2]: Setiap pasang titik yang berbeda a, b X berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka yang lepas (disjoint) Dengan kata lain (T2), ada set-set buka G & H sedemikian hingga: a G, b H dan G H = Teorema: Setiap ruang metrik adalah ruang hausdorff

40 Pada umumnya, barisan (a1,a2,...) dari titik-titik di dalam ruang topologi konvergen ke lebih dari satu titik. Hal ini tidak berlaku bila X Ruang Hausdorff seperti dinyatakan dalam teorema berikut: 1. Bila X ruang hausdorff maka setiap barisan konvergen dalam X mempunyai limit yang unik (konversnya tidak benar) 2. Bila X adalah ruang kontabel pertama maka X adalah Ruang Hausdorff bila dan hanya bila setiap barisan konvergen mempunyai limit yang unik. 1. Setiap ruang metrik X adalah ruang hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan a, b X adalah titik-titik yang berbeda sehingga menurut [M 4 ]d(a, b) = ε > 0. Perhatikan bola-bola buka G = S (a, 1 ε) dan H = S(b, 1 ε) yang berturut-turut pusatnya a dan b. Diketahui 3 3 bahwa G dan H adalah disjoint karena jika p G H maka (a, p) < 1 3 ε dan d(p, b) < 1 3 ε. Dengan kesamaan segitiga yaitu: d(a, b) d(a, p) + d(p, b) < 1 ε + 1 ε = 2 ε, tetapi hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa d(a, b) = ε, sehingga G dan H disjoint(lepas) yaitu a dan b berturut-turut termasuk ke dalam bola-bola buka G dan H sehingga X merupakan ruang hausdorff. Catatan: a. Ruang metrik a, b, c, X b. [M 1 ]. d(a, b) 0 dan d(a, a) = 0 merupakan definit positif c. [M 2 ]. d(a, b) = d(b, a) merupakan simetri d. [M 3 ]. d(a, c) d(a, b) + d(b, c) merupakan ketidaksamaan segitiga e. [M 4 ]. bila a b maka d(a, b) > 0 f. Bilangan real d(a,b) disebut jarak dari A ke B 2. Misal τ adalah topologi pada garis real R yang terdiri dari interval-interval buka tutup (a,b]. (R, τ) adalah bukan ruang hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan G dan H adalah tak hingga karena G dan H set-set buka tidak kosong pada τ. G dan H adalah tak hingga karena G dan H adalah komplemen dari set-set tak hingga. Bila G H = maka G adalah set tak hingga, yang termasuk di dalam komplemen tak hingga dari H sehingga G dan H adalah disjoint (lepas). Jadi tidak ada pasangan titik-titik yang berbeda di dalam R berturutturut termasuk ke dalam set-set buka pada τ yang disjoint (lepas) sehingga ruang T1 tidak perlu ruang hausdroff. 3. Apabila τ adalah topologi kofinit yaitu topologi τ pada garis real R maka (R, τ) adalah ruang hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan G dan H adalah set-set buka tidak kosong pada τ dimana G dan H adalah tak hingga karena G dan H adalah komplemen dari set-set terhingga. Bila G H = maka G adalah set tak hingga yang termasuk di dalam komplemen terhingga dari H sehingga G dan H adalah disjoint (lepas). Jadi tidak ada pasangan titik-titik yang berbeda di dalam R berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka pada τ yang disjoint (lepas). Jadi Ruang T1 tidak perlu Ruang hausdorff.

41 7.3. RUANG REGULER (RUANG T3) Ruang topologi X disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma [R]: Bila F subset tutup dari X dan p X bukan anggota F maka ada set-set buka G dan H yang saling lepas (disjoint) sedemikian hingga F G dan p H Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang T1 dan Ruang regular X yang memenuhi aksioma pemisah T1 atau Ruang T1 disebut Ruang T3 dengan contoh berikut: 1. Misal X adalah ruang T3 maka X adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T2 dapat ditunjukkan dengan dimisalkan (a, b) X titik-titik yang berbeda. Karena X ruang T1 maka {a} adalah set tutup dan karena a dan b berbeda maka b {a}. Menurut [R], ada set-set buka G dan H yang lepas sedemikian hingga {a} G dan b H sehingga a dan b berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka G dan H yang lepas. 2. Topologi τ = {X,, {a}, {b, c}} pada set = {a, b, c}. Perhatikan bahwa subset-subset tutup dari X adalah X,, {a}, {b, c} dan (X, τ) memenuhi [R] tetapi (X, τ) bukan ruang T1 karena ada set terhingg {b} tidak tutup RUANG NORMAL (RUANG T4) Ruang topologi X disebut ruang normal bila dan hanya bila memenuhi aksioma berikut: Bila F1 dan F2 saling lepas dan merupakan subset-subset buka G dan H yang saling lepas sedemikian hingga F 1 G dan F 2 H. Ruang normal mempunyai sifat dengan teorema berikut: Ruang topologi X adalah Ruang Normal bila dan hanya bila untuk setiap set tutup F dan set buka H yang memuat F, ada set buka G sedemikian hingga F G G H 1. Setiap ruang metrik adalah ruang normal berdasarkan teorema pemisah. 2. Topologi τ = {X,, {a}, {b}, {a, b}} pada set = {a, b, c}. Perhatikan bahwa set-set tutupnya adalah X,, {b, c}, {a, c}, {c}. Bila F1 dan F2 saling lepas dan merupakan subset-subset tutup dari (X, τ) maka salah satu dari F1 atau F2, misalnya F1 haruslah set kosong sehingga dan X adalah lepas dan merupakan set-set buka dengan F 1 dan F 2 X. Dengan kata lain (X, τ) adalah ruang normal tetapi (X, τ) bukan ruang T1 karena set singleton {a} tidak tutup dan selanjutnya (X, τ) bukan ruang regular karena superset buka dari set tutup {c} adalah X yang memuat a. 3. Bila X adalah ruang T4 maka X adalah ruang T1 reguler maka dapat ditunjukkan dengan dimisalkan F adalah subset tutup dari X dan p X bukan anggota dari F. Menurut [T1] maka {p} adalah tutup, dan karena F dan {p} saling lepas maka menurut [N] ada set-set buka G dan H yang lepas sedemikian hingga F G dan p {p} H.

42 Dari uraian tersebut diatas diperoleh bahwa ruang metrik adalah ruang normal dan ruang T1 yaitu Ruang T4. Diagram berikut menggambarkan hubungan antara ruang-ruang yang dibicarakan dalam aksioma pemisah: RUANG TOPOLOGI RUANG T 1 RUANG T 2 (RUANG HAUSDORFF) RUANG T 3 (RUANG T 1 REGULER) RUANG T 4 (RUANG T 1 NORMAL) RUANG METRIK 7.5. LEMMA URYSOHN S DAN TEOREMA METRISASI Teorema Lemma Urysohn s: Misal F1 dan F2 salin lepas dan merupakan subset-subset tutup dari ruang normal X maka ada fungsi kontinu f: X [0,1] sedemikian hingga f[f 1 ] = {0} dan f[f 2 ] = {1}. Teorema Metrisasi Urysohn: Setiap Ruang T1 normal kontabel kedua adalah metrisabel FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH Misal A = {fi: i I} adalah kelas dari fungsi-fungsi dari set X ke dalam set Y. Kelas A dari fungsi-fungsi disebut titik-titik terpisah bila dan hanya bila untuk suatu pasangan dari titik-titik yang berbeda a, b X ada fungsi f dalam A sedemikian hingga f(a) f(b) dengan proposisi: Bila C(X,R) kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real pada ruang topologi terpisah X, maka X adalah Ruang Hausdroff. 1. Kelas dari fungsi-fungsi bernilai real adalah: A = {f 1 (x) = sin x, f 2 (x) = sin 2x, f 3 (x) = sin 3x} didefinisikan pada R. Perhatikan bahwa untuk setiap fungsi f n A, f n (0) = f n (π) = 0. Jadi kelas A bukan titik-titik terpisah.

43 2. Misal C(X,R) adalah kelas dari semua fungsi bernilai real pada ruang topologi maka dapat ditunjukkan bahwa bila C(X,R) titik-titik terpisah maka X adalah ruang hausdorff dengan dimisalkan a, b X adalah titik-titik yang berbeda. Menurut hipotesis ada fungsi kontinu f: X R sedemikian hingga f(a) f(b) tetapi R adalah ruang hausdorff sehingga ada subset-subset buka G dan H yang lepas dari R yang berturut-turut memuat f(a) dan f(b). Jadi invers f 1 [G] dan f 1 [H] adalah lepas, buka dan berturut-turut memuat a dan b. Dengan kata lain, X adalah ruang hausdorff RUANG REGULER LENGKAP Ruang topologi disebut ruang regular lengkap bila dan hanya bila memenuhi aksioma: Bila F subset tutup dari X dan p X bukan anggota dari F maka ada fungsi kontinu f: X [0,1] sedemikian hingga f(p) = 0 dan f[f] = 1. Proporsisi: Ruang Reguler Lengkap adalah Ruang Reguler Ruang regular lengkap X yang memenuhi [T1] yaitu ruang T1 reguler lengkap disebut Ruang Tychonoff. Berdasarkan atas Lemma Urysohn, ruang T4 adalah Ruang Tychonoff dan menurut proposisi bahwa Ruang Tychonoff adalah Ruang T3 sehingga Ruang Tychonoff yaitu Ruang T1 Reguler Lengkap, kadang-kadang disebut Ruang T3 ½. Salah satu sifat penting dari Ruang Tychonoff adalah teorema berikut: (X,R) yaitu kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real ada Ruang T1 Reguler Lengkap X adalah titik-titik pisah.

44 BAB VIII KETERHUBUNGAN (CONNECTEDNESS) 8.1. SET-SET TERPISAH Dua set A dan B dari ruang topologi X disebut terpisah, bila: a. A dan B saling lepas (disjoint) dan b. Titik kumpul dari A tidak termasuk anggota set B dan sebaliknya. Dengan kata lain, A dan B terpisah bila dan hanya bila A B = dan A B =. 1. Perhatikan interval-interval pada garis real R berikut: A=(0,1), B=(1,2) dan C=[2,3) A dan B terpisah karena A = [0,1] dan B = [1,2] dan juga A B = dan A B = Tetapi B dan C tidak terpisah karena 2 C adalah titik kumpul dari B sehingga B C = [1,2] [2,3) = {2}. 2. Perhatikan subset-subet pada bidang R 2 berikut: A = {(0, y): 1 y 1} B = {(x, y): y = sin 1, 0 < x 1} 2 x Tiap-tiap titik dalam A adalah titik kumpul dari B sehingga A dan B bukan set-set terpisah SET TERHUBUNG Subset A dari ruang topologi X disebut tidak terhubung (disconnected) bila ada subset-subset buka G dan H dari X sedemikian hingga A G dan A H merupakan set-set tidak kosong yang saling lepas dan gabungannya sama dengan A. Dalam hal ini, G H disebut tak terhubung dari A. suatu set disebut terhubung (connected) bila set tersebut tidak tak terhubung. Perhatikan bahwa: A = (A G) (A H) bila dan hanya bila A G H = (A G) (A H) bila dan hanya bila G H A c Oleh karena itu G H tak terhubung bila dan hanya bila: A G =, A H =, A G H dan G H A c Catatan: Set kosong dan set singleton {p} selalu terhubung. Perhatikan topologi pada X = {a, b, c, d, e} dengan τ = {X,, {a, b, c}, {c, d, e}, {c}} Set A = {a, d, e} adalah tak terhubung karena untuk G = {a, b, c} dan H = {c, d, e} maka A G = {a} dan A H = {d, e} merupakan set-set lepas yang tidak kosong dan gabungannya =A (G dan H tidak lepas). Hubungan dasar antara keterhubungan dan keterpisahan dengan teorema; 1. Suatu set disebut terhubung bila dan hanya bila set tersebut buka merupakan gabungan dari set-set terpisah yang tidak kosong. 2. Bila A dan B set-set terhubung yang tidak terpisah maka A B adalah terhubung.

45 8.3. RUANG TERHUBUNG Keterhubungan adalah sifat mutlak dari suatu set dengan teorema: 1. Bila A subset dari ruang topologi (X, τ) maka A terhubung terhadap τ bila dan hanya bila A terhubung terhadap topologi relative τ A pada A. 2. Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila: a. X bukan gabungan dari dua set buka tidak kosong yang lepas; atau b. Hanya X dan merupakan subset-subset dari X yang keduanya set buka dan tutup. 3. Bayangan kontinu dari set terhubung adalah terhubung 1. Bila X ruang topologi yang tidak terhubung dan G H tak terhubung dari X maka X = (X G) (X H) dan (X G) (X H) = tetapi X G = G dan X H = H, sehingga X tidak terhubung bila dan hanya bila ada set-set buka tidak kosong G dan H sedemikian hingga X = G H dan G H =. 2. Perhatikan topologi pada X = {a, b, c, d, e} dengan τ = {X,, {a}, {c. d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} X adalah tak terhubung karena untuk {a} dan {b, c, d, e} yang saling komplemen dan keduanya buka dan tutup, dengan kata lain X = {a} {b, c, d, e} adalah tak terhubung dari X. 3. Perhatikan ruang topologi pada no.2 bahwa topologi relatif dari subset A = {b, d, e} adalah {A,, {d}}, sesuai dengan hal tersebut maka A adalah terhubung karena hanya A dan yang merupakan subset dari A yang keduanya tuup dan buka dalam topologi relatif tersebut. 4. Garis real R dengan topologi biasa adalah ruang terhubung karena hanya R dan yang merupakan subset-subset buka tutup dari R. 5. Misal f adalah fungsi kontinu dari ruang terhubung X ke dalam ruang topologi Y sehingga f: X f[x] adalah kontinu (dengan f[x] mempunyai topologi relatif). f[x] adalah terhubung dapat ditunjukkan dengan dimisalkan f[x] tak terhubung, katakan G dan H tak terhubung dari f[x] maka: f[x] = G H dan G H = X = f 1 [G] f 1 [H] dan f 1 [G] f 1 [H] = Karena f kontinu maka f -1 [G] dan f -1 [H] adalah subset-subset dari X dan karenanya tak terhubung dari X dan hal ini tak mungkin sehingga bila X terhubung maka f[x] terhubung. 6. Misal X adalah ruang tak terhubung dan misal G dan H adalah tak terhubung dari X maka fungsi: 0, bila x G f(x) = 1, bila x H adalah fungsi kontinu dari X kepada ruang diskrit Y = {0,1} Sebaliknya, bayangan kontinu dari ruang terhubung X tidak dapat tak terhubung dengan ruang diskrit Y = {0,1}. Dengan kata lain dapat dinyatakan oleh lemma berikut:

46 Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila fungsi kontinu dari X ke dalam Y = {0,1} hanyalah fungsi-fungsi konstan f(x) = 0 atau f(x) = KOMPONEN Komponen E dari ruang topologi X adalah subset terhubung maksimal dari X sehingga E terhubung dan E bukan subset murni dari suatu subset terhubung dari X. Jelaslah E tidak kosong. Teorema: 1. Komponen-komponen dari ruang topologi X membentuk suatu partisi dari X sehingga komponen-komponen tersebut saling lepas dan gabungannya adalah X. Setiap subset terhubung dari X termasuk ke dalam sebarang komponen. 2. Produk (perkalian) dari ruang terhubung adalah terhubung. 1. Bila X terhubung maka X mempunyai tepat satu komponen yaitu X itu sendiri. 2. Perhatikan topologi pada X = {a, b, c, d, e} dengan τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} Komponen dari X adalah {a} dan {b, c, d, e}. Subset terhubung dari X, seperti {b, d, e} adalah satu subset dari komponen-komponen RUANG TERHUBUNG LOKAL Ruang topologi X disebut terhubung lokal di p X bila dan hanya bila setiap set buka yang memuat p termasuk dalam set buka terhubung yang memuat p yaitu bila set-set terhubung buka yang memuat p membentuk basis lokal di p. X disebut terhubung lokal bila X terhubung lokal di setiap titik atau bila subset-subset terhubung dari X membentuk basis untuk X. 1. Setiap ruang diskrit X adalah terhubung lokal karena bila p X maka {p} adalah set terhubung buka yang memuat p, yang termasuk ke dalam setiap set buka yang memuat p. Catatan: X tak terhubung bila X memuat lebih dari satu titik. 2. Perhatikan subset-subet pada bidang R 2 berikut A = {(0, y): 1 y 1} 2 B = {(x, y): y = sin 1, 0 < x 1} x A B adalah set-set terhubung, tetapi A B bukan terhubung lokal di p = (0,1).

47 BAB IX KEKOMPAKAN (COMPACTNESS) 9.1. SAMPUL (COVER) Misalkan A = {Gi} adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga A UiGi untuk sebarang A X. Ingat kembali bahwa A disebut sampul (cover) dari A dan A disebut sampul buka bila tiap G i adalah buka. Selanjutnya, bila suatu kelas bagian terhingga dari A merupakan sampul juga dari A yaitu ada Gi 1,, Gi m A sedemikian hingga A Gi 1 Gi 2 Gi m, maka A disebut tereduksi ke sampul terhingga atau memuat sampul bagian terhingga. Teorema Heine-Borel: Setiap sampul buka dari interval tutup terbatas A=[a,b] adalah tereduksi ke sampul terhingga. Misal kelas A = {D p : p BxB}, B set bilangan-bilangan bulat, Dp: daerah buka pada bidang R 2 dengan jari-jari 1 dan pusatnya p = (m,n), dimana m, n B maka A adalah sampul dari R 2 yaitu setiap titik dalam R 2 termasuk ke paling sedikit anggota dari A tetapi kelas dari daerah-daerah buka B = {D p : p BxB}, dengan Dp mempunyai pusat p dan jari-jari ½ bukan sampul dari R 2. Diambil contoh, titik ( 1, 1 ) 2 2 R2 tidak termasuk ke suatu anggota dari B SET KOMPAK Definisi: Subset A dari ruang topologi X disebut kompak bila setiap sampul (cover) buka dari A tereduksi ke sampul terhingga. Dengan kata lain, bila A kompak dan A UiGi dengan Gi set-set buka maka dapat terpilih terhingga banyaknya set-set buka misalkan Gi 1,, Gi m, sehingga A Gi 1 Gi m. Teorema: 1. Bayangan-bayangan kontinu dari set-set kompak adalah kompak. 2. Bila A subset dari ruang topologi (X, τ) maka A adalah kompak terhadap τ bila dan hanya bila A kompak terhadap toplogi relatif τ A pada A. 1. Dengan teorema Heine-Borel, setiap interval tutup terhingga [a,b] pada garis real R adalah kompak. 2. Misal A subset terhingga dari ruang topologi X dengan A = {a 1, a 2,., a m } maka A adalah kompak karena hal ini dapat ditunjukkan bahwa bila G = {G i } sampul buka dari A maka tiaptiap titik dalam A termasuk ke dalam salah satu anggota dari G, yaitu a 1 Gi 1,, a m Gi m sehingga A Gi 1 Gi 2 Gi m. 3. Peta (bayangan) kontinu dari set kompak adalah kompak, yaitu bila f: X Y kontinu dan A subset kompak dari X maka f[a] adalah subset kompak dari Y, dapat ditujukkan dengan dimisalkan G = {Gi} adalah sampul buka dari f[a], yaitu f[a] UiGi maka: A f 1 [f[a]] f 1 [UiGi] = Uif 1 [Gi].

48 Jika H = {f 1 [Gi]} adalah sampul dari A karena f kontinu dan tap-tiap Gi adalah set buka juga tiap-tiap f -1 [Gi] adalah buka. Dengan kata lain, H adalah sampul buka dari A tetapi A adalah kompak dan H tereduksi ke sampul terhingga yaiu A f 1 [Gi 1 ] f 1 [Gi m ] dan ini bersesuaian dengan f[a] f 1 [Gi 1 ] f 1 [Gi m ] Gi 1 Gi 2 Gi m sehingga f[a] adalah kompak SUBSET DARI RUANG KOMPAK Subset dari ruang kompak tidak perlu kompak, misalnya, interval unit tutup [0,1] adalah kompak menurut teorema Heine-Borel, tetapi interval buka (0,1) subset dari [0,1] tidak kompak. Teorema: Bila F subset tutup dari ruang kompakx maka F juga kompak 9.4. KEKOMPAKAN DAN RUANG HAUSDORFF Berikut ini relasi konsep kekompakan dengan sifat pemisah dari ruang hausdorff dengan teorema: 1. Setiap subset kompak dari ruang Hausdorff adalah tutup (tidak berlaku umum misalkan untuk ruang topologi seperti set-set terhingga selalu kompak tetapi ada ruang topologi yang terdiri dari subset-subset terhingga yang tidak semuanya tutup). 2. Bila A dan B saling lepas dan merupakan subset-subset kompak dari ruang Hausdorff maka ada set-set buka yang lepas G dan H sedemikian hingga A G dan B H. 3. Bila f fungsi satu-satu yang kontinu dari ruang kompak X ke dalam ruang Hausdorff Y maka X dan f[x] adalah Homoemorphik (sangat penting dalam geometri tetapi tak berlaku umum). Dalam keadaan khusus, bila X ruang Hausdorff dan kompak, dan F1 dan F2 subset-subset tutup saling lepas dari X maka F1 dan F2 adalah kompak sehingga F1 dan F2 adalah subset-subset dari dua set buka yang saling lepas dengan dinyatakan dalam Corollary: Setiap ruang Hausdorff kompak adalah normal. Ruang metrik dan ruang Hausdorff kompak, keduanya termasuk ke dalam kelas dari ruang T4 yaitu ruang T1-normal, dengan diagram sebagai berikut: Ruang Hausdorff kompak Ruang Metrik Ruang T4 (Ruang T4 Normal) 9.5. KONTABILITAS SET KOMPAK Subset A dari ruang topologi X disebut kontabel kompak bila dan hanya bila setiap subset tak hingga B dari A mempunyai titik kumpul dalam A.

49 Teorema Bolzano Weierstrass : Setiap set tak hingga yang terbatas dari bilangan-bilangan real mempunyai titik kumpul. 1. Setiap interval tutup yang terbatas A = [a, b] adalah kontabel kompak, dengan ditunjukkan apabila B subset tak hingga dari A maka B juga terbatas, menurut teorema Bolzano Weierstrass maka B mempunyai titik kumpul p dan selanjutnya karena A tutup dan titik kumpul p dari B termasuk di dalam A sehingga A kontabel kompak. 2. Interval buka A = (0,1) bukan kontabel kompak dengan memperhatikan subset tak hingga B = { 1, 1, 1, } dari A = (0,1). B mempunyai satu titik kumpul yaitu 0 dan 0 tidak termasuk dalam A sehingga A bukan kontabel kompak. Hubungan antara kompak, barisan kompak dan kontabel kompak ditunjukkan dengan diagram: Kompak Kontabel Kompak Barisan Kompak Teorema; Misal A subset dari ruang topologi X. Bila A kompak atau barisan kompak maka A kontabel kompak. Misal τ adalah topologi pada N = {1,2,3, } yang terdiri dari set-set {1,2}, {3,4}, {5,6}, Misal A adalah subset tak kosong dari N dan n 0 A dan bila n 0 ganjil maka n adalah titik kumpul dari A dan bila bila n 0 genap maka n 0 1 adalah titik kumpul dari A. Dalam kedua hal ini, A mempunyai titik kumpul sehingga (N, τ) adalah kontabel kompak. Tetapi (N, τ) tidak kompak karena A = {set {1,2}, {3,4}, {5,6}, } adalah sampul buka dari N yang bukan sampul bagian terhingga dan selanjutnya (N, τ) bukan barisan kompak karena barisan {1,2,3, } tidak memuat barisan bagian yang konvergen RUANG KOMPAK LOKAL Ruang topologi X disebut ruang kompak local bila dan hanya bila setiap titik dalam X mempunyai lingkungan kompak. Perhatikan garis real R pada topologi biasa dan perhatikan bahwa tiap-tiap titik p R merupakan titik interior dari interval tutup [p δ, p + δ] dan interval tutup tersebut kompak menurut teorema Heine Borel. Jadi R adalah ruang kompak local tetapi R bukan ruang kompak karena untuk kelas A = {, ( 3, 1), ( 2,0), ( 1,1), (0,2), (1,3), } adalah sampul buka dari R tetapi tidak memuat sampul bagian terhingga.

50 Dengan demikian terlihat bahwa ruang kompak lokal tak perlu merupakan ruang kompak, tetapi katena suatu ruang topologi adalah lingkungan dari tiap-tiap titik maka konvers dari definisi diatas benar dengan proposisi sebagai berikut: Setiap ruang kompak adalah kompak lokal. Soal-soal: 1. Tunjukkan bahwa bila A dan B set-set terpisah yang tidak kosong maka A B tak terhubung! 2. Tunjukkan teorema berikut: bila A dan B set-set tehubung yang tak terpisah maka A B terhubung!