HIPOTESIS KONTINUUM SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Transkripsi

1 HIPOTESIS KONTINUUM SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: R. Pudji Tursana NIM: NIRM: PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 00

2 ii

3 iii

4 ... dipersembahkan untuk para pengungsi yang terlupakan, yang hingga saat ini masih di tanah asing, dan mengenali kata rumah, sebagai sebuah mimpi, citacita, dan harapan... iv

5 Pernyataan Keaslian Karya Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam Daftar Pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta, 1 April 00 Penulis R. Pudji Tursana v

6 vi

7 vii

8 ABSTRAK Himpunan A dikatakan mempunyai kardinalitas (bilangan kardinal) yang sama dengan himpunan B, yaitu A = B, jika A berkorespondensi satu-satu dengan B. Kardinalitas himpunan hingga adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. Kardinalitas himpunan takhingga didasarkan pada sifat tercacah atau taktercacahnya himpunan tersebut. Pada himpunan tercacah B, B = R = c. Kardinalitas himpunan taktercacah disebut kardinalitas ℵ kontinuum. Suatu hubungan antara c dan ℵ 0 adalah c = 0. Timbul suatu dugaan bahwa tidak ada bilangan kardinal x sedemikian hingga ℵ 0 < x < c. Dugaan ini pertama kali dicetuskan oleh George Cantor dan kemudian diberi nama Hipotesis Kontinuum. Hipotesis Kontinuum Umum menyatakan bahwa ℵ ℵ = 0 n+1, yaitu selalu dapat ditemukan bilangan kardinal yang lebih besar dari bilangan kardinal yang diberikan. viii

9 ABSTRACT Two sets A and B are said to have the same cardinality (cardinal number), which is written A = B, if there exists a one-to-one correspondence between A and B. Cardinality of a finite set is the number of elements of the set. Cardinality of an infinite set is depending on the denumerable or non-denumerable property of the set. A denumerable set B has B = R = c. The cardinality of a nondenumerable set is called continuum cardinality. The relation between c and ℵ is ℵ c = 0. There is a conjecture that there is no cardinal x such that ℵ 0 < x < c. George Cantor is the first person who proposed the conjecture which is later called Continuum Hypothesis. The Generalized Continuum Hypothesis notes that ℵ ℵ = 0, i.e. there is always a greater cardinal number than a given one. n+1 0 ix

10 KATA PENGANTAR Saya mengucapkan syukur yang sebesar-besarnya kepada Tuhan Yang Maha Rahim untuk segala keajaiban yang diberikan kepada saya dalam usaha menyelesaikan skripsi ini. Topik yang saya pilih untuk skripsi ini pun tidak terlepas dari campur tangan dan persetujuannya. Tujuan saya menulis skripsi ini selain untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar akademis, adalah untuk belajar bagaiamana menulis ilmiah dengan baik dan benar. Saya juga bersyukur untuk setiap orang yang dikirimnya kepada saya sebagai orang tua, guru, saudara, sahabat, teman seperjalanan, dan teman sekerja. Penghargaan dan rasa terima kasih yang sangat besar saya berikan kepada mereka. 1. Papa Mama Boni Tatang yang telah menghadirkan saya ke dunia ini dengan segala talenta yang saya miliki sampai saat ini.. Bapak Drs. Y. Eka Priyatma, M. Sc. sebagai Dekan Fakultas MIPA. 3. Romo Dr. F. Susilo, SJ sebagai Dosen Wali dan Dosen Pembimbing Skripsi yang telah membimbing penulisan skripsi ini dengan sabar. 4. Ibu M. V. Ani Herawati, M. Si. sebagai Dosen Pembimbing Skripsi yang telah membimbing penulisan skripsi ini dalam proses penyelesaian dengan sabar. 5. Ibu Dra. Maria Agustiani, M.Si. yang telah bertindak sebagai Guru, Ibu, dan Sahabat, yang menemani saya dalam saat-saat sulit. x

11 6. Ibu P. H. Prima Rosa, M. Sc. yang telah meletakkan dasar keteguhan hati bagi saya sebagai pembelajar pada masa awal perkuliahan saya. 7. Bapak Ir. Ign. Aris Dwiatmaka, M. Sc. yang telah bertindak sebagai Guru, pemberi energi positif, dan Sahabat yang selalu memberi semangat. 8. Bapak Prof. R. Soemantri yang dengan sangat sabar membantu kelancaran kuliah saya. 9. Hongky Julie yang telah membantu saya dalam proses belajar menjelang ujian dengan rendah hati dan sabar. 10. Sr. Benedict, CB sebagai Ibu dan Sahabat yang telah menunggu dengan sabar proses pendidikan saya. 11. Komunitas FCJ yang telah menemani saya dalam suka duka pengenalan diri. 1. Komunitas Syantikara dan PSP Pingit sebagai tempat saya belajar tentang hidup dan menjadi dewasa. 13. Para sahabat: Ike, Ika, Dian, Eva, Bulan, Sekar, Sukma, dan Fajar yang telah menemani saya dalam suka dan duka dan selalu memberikan energi positif. 14. Tia untuk selalu menjadi adik yang baik dan sabar dalam suka dan duka. 15. Ari yang selalu menjadi semangat, menemani, dan menerima setiap perubahan saya. xi

12 16. Agus Supriyadi yang menjadi teman Emausan dan membantu saya kembali kepada rantai komitmen yang lebih tepat. 17. Komunitas Jesuit Refugee Service (JRS) Indonesia yang telah memberi kesempatan dan ruang bagi saya untuk belajar lebih dalam tentang hidup dan sejarah manusia. 18. Staff dan karyawan kesekretariatan MIPA dan Perpustakaan Universitas Sanata Dharma, yang telah memberi bantuan peminjaman pustaka dalam suasana yang bersahabat. 19. Semua saja yang telah membantu saya dalam proses pendidikan saya. Saya menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini masih belum sempurna. Untuk itu kritik dan saran yang membangun saya harapkan demi perbaikan skripsi ini. Harapan saya, skripsi ini dapat memberi manfaat khususnya bagi para pemerhati matematika. Penulis xii

13 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN PERSEMBAHAN... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA...v HAK CIPTA... vi ABSTRAK... vii ABSTRACT... viii KATA PENGANTAR... ix DAFTAR ISI... xii BAB I. PENDAHULUAN Latar Belakang...1. Rumusan Masalah Tujuan Penulisan Manfaat Penulisan Metode Penulisan... BAB II. HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI Konsep Dasar Teori Himpunan...3. Produk Kartesius, Relasi, dan Fungsi Sistem Aljabar dan Homomorfisma...7 BAB III. HIMPUNAN TERCACAH Himpunan Hingga dan Himpunan Takhingga...31 xiii

14 . Himpunan Tercacah dan Himpunan Terbilang Himpunan Kuasa...48 BAB IV. HIPOTESIS KONTINUUM Bilangan Kardinal Hipotesis Kontinuum...6 BAB V. PENUTUP...65 DAFTAR PUSTAKA...67 xiv

15 BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Himpunan adalah kumpulan obyek-obyek yang berbeda. Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan semua himpunan bagian dari A, dan ditulis [A]. Selanjutnya, dapat dibentuk himpunan kuasa dari [A], himpunan kuasa dari [ [A]],... Pada himpunan hingga, jumlah elemen dari [A] hingga dan pada himpunan takhingga jumlah elemen dari [A] takhingga. Bilangan kardinal dari himpunan hingga A menyatakan jumlah elemen A. Secara umum bilangan kardinal dari himpunan A sebarang adalah sama dengan bilangan kardinal dari himpunan yang berkorespondensi satu-satu dengannya. Bilangan kardinal dari [A] selalu lebih besar dari bilangan kardinal A. Jika diberikan N = {1,,3,4,5,...}, maka bilangan kardinal dari [N] sama dengan bilangan kardinal dari himpunan semua bilangan real atau semua titik pada sebuah garis lurus. Oleh karena itu [N] disebut bilangan kardinal dari dari kontinuum. Hipotesis kontinuum mengatakan bahwa tidak ada bilangan kardinal x sedemikian hingga N < x < R. Dalam skripsi pembahasan hipotesis kontinumm dibatasi hanya sampai pada proses pemunculan ide hipotesis kontinuum tersebut. 1

16 . Rumusan Masalah Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan sebagai berikut: - Apakah yang dimaksud dengan hipotesis kontinuum? - Bagaimana proses terjadinya (munculnya) hipotesis kontinuum? - Bagaimana keberadaan hipotesis kontinuum sampai saat ini? 3. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk memahami bagaimana proses terjadinya suatu hipotesis, yang dalam hal ini adalah hipotesis kontinuum, dan untuk memahami konsep teori himpunan dan himpunan tercacah lebih mendalam. 4. Manfaat Penulisan Dengan mempelajari proses terjadinya hipotesis kontinuum lalu menuliskannya diperoleh manfaat sebagai berikut: - Penulis semakin memahami konsep teori himpunan dan himpunan tercacah. - Penulis menjadi paham dengan proses bagaimana sebuah hipotesis terjadi. - Penulis menjadi paham bagaimana menulis suatu tulisan ilmiah. 5. Metode Penulisan Untuk menulis skripsi ini digunakan metode studi pustaka, yaitu mempelajari materi-materi terkait yang terdapat pada beberapa buku acuan.

17 BAB II HIMPUNAN, RELASI, DAN FUNGSI Pada Bab II ini dibahas materi dasar teori himpunan. Pembahasan dimulai dari konsep-konsep dasar teori himpunan dan operasi-operasinya. Lalu ditinjau Produk Kartesius, relasi, dan fungsi, dan akhirnya sistem aljabar dan homomorfisma. 1. Konsep Dasar Teori Himpunan Sekotak kapur, sekaleng permen, dan sekeranjang buah-buahan adalah contoh himpunan. Pada matematika suatu himpunan didefinisikan dengan menyatakan syarat keanggotaannya. Anggota suatu himpunan disebut unsur atau elemen. Terdapat beberapa cara untuk mendefinisikan suatu himpunan: 1. Dengan menuliskan anggota-anggotanya. Contoh: A = {1,,3,4}.. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Contoh: A = {x 1 x 4}. 3. Dengan menggunakan ungkapan deskriptif verbal. Contoh: A = {bilangan asli dari satu sampai empat}. Untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan digunakan notasi, sedangkan notasi digunakan untuk menyatakan bahwa suatu obyek bukan elemen suatu himpunan. 3

18 Selain hubungan keanggotaan di atas, ada prinsip mendasar lain yaitu prinsip kesamaan dua himpunan. Jika himpunan A sama dengan himpunan B ditulis A = B. Jika tidak sama ditulis A B. Jika A = B maka setiap elemen dari A adalah elemen dari B dan sebaliknya. Demikian pula jika himpunan A dan himpunan B memiliki elemen yang sama maka A = B. Prinsip ini dirumuskan dalam sebuah definisi sebagai berikut: Definisi.1.1: Aksioma Perluasan A = B bila dan hanya bila ( x) [x A x B] Perlu diketahui pula bahwa suatu himpunan dapat menjadi himpunan bagian dari himpunan lain. Definisi.1.: Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B, ditulis A B, bila dan hanya bila setiap anggota A adalah anggota B. A B ( x) [x A x B] Dari definisi tersebut diperoleh beberapa sifat, yaitu : Teorema.1.1: Jika A, B, dan C adalah himpunan-himpunan, maka 1. ( A) [A A ] (Refleksif). ( A,B) [ A B dan B A A = B ] (Antisimetris) 3. ( A,B,C) [ A B dan B C A = C ] (Transitif) 4

19 Bukti: 1. Akan dibuktikan: ( A) [A A]. Andaikan A A, maka ada paling sedikit satu x A dan x A. Terjadi kontradiksi, maka pengandaian salah, sehingga benar bahwa ( A) [A A]. Jadi terbukti bahwa A A.. Akan dibuktikan: ( A,B) [A B dan B A A = B] Untuk setiap himpunan A dan B berlaku A B dan B A bila dan hanya bila ( x) [x A x B] dan ( x) [x B x A] bila dan hanya bila ( x) [x A x B] bila dan hanya bila A = B. Jadi terbukti bahwa A B dan B A A = B. 3. Akan dibuktikan: ( A,B,C) [A B dan B C A = C] Diketahui A B dan B C. Ambil sebarang x A, maka x B. Karena diketahui bahwa B C dan x B, maka x C, sehingga x A x C. Jadi benar bahwa A = C. Jadi terbukti bahwa A B dan B C A = C Definisi.1.3: Himpunan A disebut himpunan bagian sejati dari himpunan B, ditulis A B, bila dan hanya bila A B dan A B. 5

20 Pada umumnya himpunan didefinisikan dengan menyatakan sifatnya. Misalkan Φ adalah suatu sifat obyek-obyek. Prinsip himpunan mengatakan bahwa: I. Ada paling sedikit satu himpunan yang elemen-elemennya adalah obyek-obyek dengan sifat Φ. Andaikan ada dua himpunan yang elemen-elemennya adalah sebarang obyekobyek dengan sifat Φ, maka kedua himpunan tersebut mempunyai elemen-elemen yang sama, sehingga dengan aksioma perluasan mereka adalah sama. Jadi II. Ada paling banyak satu himpunan yang elemen-elemennya adalah obyekobyek dengan sifat Φ. Dengan menggabungkan I dan II: Ada tepat satu himpunan yang elemenelemennya adalah obyek-obyek dengan sifat Φ, dilambangkan dengan { x Φ (x) } dengan Φ (x) berarti x mempunyai sifat Φ. Jadi jika Φ suatu sifat, maka: ( i ) { x Φ (x) } adalah sebuah himpunan, dan ( ii ) ( y) [ y { x Φ (x) } Φ (y) ] Andaikan A = { x Φ (x) } dan B = { x Ψ (x) }, maka berlaku: A = B x [ Φ (x) Ψ (x) ] 6

21 A B x [ Φ (x) Ψ (x) ] Andaikan Φ (x) adalah x x sedemikian hingga dapat dibentuk suatu himpunan {x x x}. Himpunan ini tidak mempunyai elemen sebab tidak ada himpunan yang elemennya tidak sama dengan elemen itu sendiri. Jadi ada tepat satu himpunan yang tidak mempunyai elemen yang disebut himpunan kosong dan dilambangkan dengan φ. Teorema.1.: Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari sebarang himpunan yaitu ( A) [φ A]. Bukti: Diberikan himpunan A. Andaikan φ A, maka ada elemen dalam φ tetapi tidak dalam A. Padahal φ tidak mempunyai elemen, sehingga terjadi kontradiksi. Pengandaian salah, sehingga φ A. Jadi terbukti A [ φ A ]. Diberikan himpunan A dan himpunan B, maka gabungan dari himpunan A dan himpunan B, ditulis A B, didefinisikan sebagai himpunan yang elemenelemennya terdiri dari elemen-elemen himpunan A atau himpunan B. Dengan kata lain: A B = { x x A x B } 7

22 Sedangkan irisan dari himpunan A dan himpunan B, ditulis A B, didefinisikan sebagai himpunan yang elemen-elemennya terdiri dari elemen-elemen himpunan A dan himpunan B. Dengan kata lain: A B = { x x A x B } Sifat-sifat yang berlaku pada operasi gabungan dan irisan himpunan adalah sebagai berikut: 1. A φ = A ; A φ = φ. A B = B A ; A B = B A (Komutatif) 3. (A B) C = A (B C) ; (A B) C = A (B C) (Asosiatif) 4. A A = A ; A A = A (Idempotan) 5. A B bila dan hanya bila A B = B bila dan hanya bila A B = A. 6. A (B C) = (A B) (A C) ; A (B C) = (A B) (A C) (Distributif) Jika A B = φ maka dikatakan bahwa himpunan A dan himpunan B saling asing. Selisih antara himpunan A dengan himpunan B, ditulis A B, didefinisikan sebagai berikut: Definisi.1.4: A B = {x x A x B} 8

23 c Selisih antara himpunan semesta pembicaraan S dengan himpunan A, ditulis A, disebut komplemen dari A, didefinisikan sebagai berikut: Definisi.1.5: A c = S A = { x x S x A } = { x x A } Sifat-sifat yang berlaku pada operasi komplemen adalah: c c 1. (A ) = A c c. a. φ = S ; S = φ c b. A A = φ ; A A c = S di mana S adalah himpunan semesta. c c 3. A B bila dan hanya bila B A c 4. (A B) = A c c B ; (A B) c = A c c B (Hukum De Morgan) Keluarga himpunan adalah himpunan yang elemen-elemennya adalah himpunan-himpunan. Digunakan himpunan indeks I = {1,,3,..., n} untuk n menunjukkan setiap elemennya. Misalkan A 1, A, A 3,..., A adalah himpunanhimpunan terindeks dengan I = {1,,3,...,n} adalah himpunan indeks. Gabungan dan irisan dari himpunan-himpunan ini didefinisikan sebagai berikut: Definisi.1.6: Diberikan keluarga himpunan A = { A 1, A, A 3,..., A }, dengan n A 1, A, A,..., A masing-masing adalah himpunan, maka: 3 n n 1. U A i = { x ( i I) x A i } I = {1,,3,...,n} i= 1 9

24 n. I A i = { x ( i I) x A i } I = {1,,3,...,n} i= 1. Produk Kartesius, Relasi, dan Fungsi Produk Kartesius A B dari himpunan A dan himpunan B didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a A dan b B. Definisi..1: A B = { (a,b) a A b B } Teorema..1: Produk Kartesius bersifat distributif terhadap operasi gabungan dan irisan: A ( B C) = ( A B) ( A C) A ( B C) = ( A B) ( A C) Bukti: 1. Akan ditunjukkan: A ( B C) = ( A B) ( A C) ( ) Ambil sebarang (a,b) A ( B C), maka a A dan b (B C). Karena b (B C), maka b B atau b C. Jika b B, maka a A dan b B, sehingga (a,b) ( A B). Jika b C, maka a A dan b C, sehingga (a,b) ( A C). Jadi (a,b) ( A B) atau (a,b) ( A C), sehingga (a,b) [ ( A B) ( A C) ]. Jadi A ( B C) ( A B) ( A C)... (1) 10

25 ( ) Ambil sebarang (a,b) ( A B) ( A C), maka (a,b) ( A B) atau (a,b) ( A C), sehingga (a A dan b B) atau (a A dan b C). Oleh karena itu a A dan (b B atau b C), sehingga a A dan b (B C). Berdasarkan Definisi..1, maka (a,b) A ( B C). Jadi ( A B) ( A C) A ( B C).... () Dari (1) dan () terbukti: A ( B C) = ( A B) ( A C).. Akan ditunjukkan: A ( B C) = ( A B) ( A C) ( ) Ambil sebarang (a,b) A ( B C), maka a A dan b (B C). Karena b (B C), maka b B dan b C, sehingga a A dan b B. Oleh karena itu (a,b) ( A B), dan a A dan b C, sehingga (a,b) ( A C), maka (a,b) ( A B) dan (a,b) ( A C), sehingga (a,b) ( A B) ( A C). Jadi A ( B C) ( A B) ( A C)....(1) ( ) Ambil sebarang (a,b) ( A B) ( A C), maka (a,b) ( A B) dan (a,b) ( A C), sehingga (a A dan b B) dan (a A dan b C). Oleh karena itu a A dan (b B dan b C), sehingga a A 11

26 dan b (B C). Berdasarkan Definisi..1, maka (a,b) A ( B C). Jadi ( A B) ( A C) A ( B C)...() Dari (1) dan () terbukti: A ( B C) = ( A B) ( A C) Kesamaan pasangan terurut didefinisikan sebagai berikut: Definisi..: (a,b) = (c,d) bila dan hanya bila a = c dan b = d. Jika diberikan himpunan X dan himpunan Y, maka relasi biner R antara elemenelemen himpunan X dan elemen-elemen himpunan Y adalah suatu himpunan bagian dari X Y. Definisi..3: R adalah relasi biner antara elemen-elemen X dan elemen-elemen Y bila dan hanya bila R X Y. Kalimat (x,y) R seringkali ditulis dengan notasi xry atau R(x,y) dan dibaca x berelasi dengan y. Relasi biner pada himpunan X adalah himpunan bagian dari X X. Definisi..4: Untuk R X Y didefinisikan: Dom R = { x X ( y Y) xry} (domain / daerah asal dari R) Ran R = { y Y ( x X) xry} (range / daerah hasil dari R) Andaikan R adalah relasi pada himpunan H, maka: 1

27 R dikatakan bersifat refleksif bila dan hanya bila ( x H) xrx R dikatakan bersifat simetris bila dan hanya bila ( x, y H) xry yrx R dikatakan bersifat transitif bila dan hanya bila ( x, y, z H) xry yrz xrz Definisi..5: Suatu relasi R pada himpunan H yang tidak kosong disebut relasi ekivalensi bila dan hanya bila R bersifat refleksif, simetris, dan transitif. Relasi kongruensi modulo n pada Z adalah salah satu contoh relasi ekivalensi. Dua bilangan bulat berelasi kongruensi modulo n (di mana n adalah suatu bilangan bulat positif) bila dan hanya bila keduanya menghasilkan sisa yang sama bila dibagi n. Relasi ini dilambangkan dengan x y (mod n), dibaca x kongruen terhadap y modulo n. Jika H suatu himpunan yang tidak kosong dan R adalah suatu relasi ekivalensi pada H maka: 1. Dua eleman x, y H dikatakan ekivalen terhadap relasi R bila dan hanya bila xry.. Untuk setiap x H pasti terdapat paling tidak satu elemen dalam H yang ekivalen dengan x terhadap R, yaitu x itu sendiri (karena R refleksif). Himpunan 13

28 semua elemen dalam H yang ekivalen dengan x disebut klas ekivalensi dengan wakil x, ditulis sebagai x. ( x H) x = {y H xry} 3. Keluarga dari semua klas ekivalensi dari suatu himpunan H terhadap relasi ekivalensi R dinyatakan dengan H = { x x H}, dan disebut H modulo R R atau H mod R. Sifat-sifat klas-klas ekivalensi dijelaskan dalam teorema berikut: Teorema..: Jika R adalah suatu relasi ekivalensi pada himpunan H, maka ( x, y H) x = y bila dan hanya bila xry. Bukti: ( ) Diketahui bahwa R adalah relasi ekivalensi pada himpunan H dan x, y H. Andaikan x = y. Akan ditunjukkan xry. Karena R refleksif, maka berlaku yry, sehingga y y. Karena x = y, maka y x. Jadi xry. ( ) Andaikan xry. Akan ditunjukkan x = y. Ambil sebarang z y, maka yrz, sehingga diperoleh xry dan yrz. Karena R transitif, maka berlaku xrz. Jadi z x, sehingga z y z x, maka y x....(1) 14

29 Sekarang andaikan z x, maka xrz. Karena xry dan R simetris, maka berlaku yrx, sehingga diperoleh yrx dan xrz. Karena R transitif, maka berlaku yrz. Jadi z y, sehingga z x z y, maka x y....() Dari (1) dan () terbukti bahwa x = y Jadi terbukti ( x, y H) x = y bila dan hanya bila xry. Teorema..3: Klas-klas ekivalensi yang terbentuk dari suatu relasi ekivalensi R pada himpunan tidak kosong H bersifat sebagai berikut: 1. ( x H) x φ. ( x, y H) x y φ x = y Bukti: 1. Ambil sebarang x H. Karena R relasi ekivalensi, maka R refleksif sehingga xrx. Jadi x x. Terbukti x φ.. Akan ditunjukkan: x y φ x = y. Ambil sebarang z (x y ) φ, maka z x dan z y, sehingga berlaku xrz dan yrz. R bersifat simetris, maka zry. R bersifat transitif dan xrz dan zry, maka xry. Dengan Teorema.. diperoleh x = y. Terbukti ( x, y H) x y φ x = y 15

30 Relasi ekivalensi pada suatu himpunan H berkaitan erat dengan partisi dari himpunan H. Partisi dari H adalah keluarga himpunan bagian dari H yang tidak kosong dan saling asing yang gabungannya adalah H. Himpunan bagian dari H yang elemennya dari partisi disebut sel dari partisi. Hubungan erat ini ditunjukkan lewat teorema di bawah ini. Teorema..4: Relasi Ekivalensi dan Partisi 1. Setiap relasi ekivalensi R yang didefinisikan pada himpunan takkosong H membangkitkan satu partisi P pada H.. Untuk setiap partisi P pada H ada suatu relasi ekivalensi R yang didefinisikan pada H. Bukti: 1. Andaikan H suatu himpunan yang tidak kosong dan R adalah suatu relasi ekivalensi yang didefinisikan pada H. Akan diperlihatkan bahwa H, R yaitu himpunan klas-klas ekivalensi dari H yang diakibatkan oleh R, adalah suatu partisi dari H. H = { x x H} dengan x = {y y H xry} R Akan ditunjukkan: a. Setiap klas tidak kosong. b. Klas-klas yang berbeda saling asing. 16

31 c. Gabungan dari semua klas adalah himpunan H. a. Dalam Teorema..3 no. 1, telah dibuktikan bahwa setiap klas ekivalensi tidak kosong. b. Telah dibuktikan dalam Teorema..3 no. bahwa ( x, y H) x y φ x = y, sehingga ( x, y H) x y x y = φ (kontraposisi). Jadi klas-klas yang berbeda saling asing. c. Ambil sebarang z H. Karena z z, maka z adalah elemen dari gabungan semua klas ekivalensi. Jadi H adalah himpunan bagian dari gebungan semua klas ekivalensi. Jelas bahwa gabungan dari semua klas ekivalensi adalah himpunan bagian dari H. Jadi gabungan semua klas ekivalensi dari H adalah himpunan H.. Andaikan P suatu partisi dari H, di mana P = { δ Δ, untuk suatu himpunan indeks Δ}. Akan ditunjukkan bahwa ada suatu relasi ekivalensi pada H yang berkaitan dengan P. Didefinisikan suatu relasi R pada H sebagai berikut ( x, y H) xry bila dan hanya bila ( δ Δ) (x H y H ). Artinya x berelasi dengan y bila dan hanya bila x δ dan y berada dalam sel yang sama. δ H δ Akan ditunjukkan bahwa R bersifat refleksif, simetris, dan transitif. i. Setiap x H berada pada suatu sel, sehingga ( δ Δ) ( x H δ x H δ ). Jadi xrx, yaitu R bersifat refleksif. 17

32 ii. Andaikan xry, maka ( δ Δ) (x H y H ), sehingga ( δ Δ) (y H x H ), yaitu yrx. Jadi R bersifat simetris. δ δ δ δ iii. Andaikan xry dan yrz, maka sel H P, sehingga x, y H, dan ada sel H P, sehingga y, z H. Jadi y H dan y H, yaitu H H φ. Karena P adalah partisi dari H, maka r δ r r r δ δ δ H δ = H. Jadi x, y, dan z berada dalam sel yang sama, r sehingga xrz. Jadi R bersifat transitif. Dari i, ii, dan iii terbukti bahwa R adalah relasi ekivalensi pada H. Terbukti untuk setiap partisi P pada H ada suatu relasi ekivalensi R yang didefinisikan pada H. Salah satu relasi biner yang khusus adalah relasi urutan. Ada dua macam relasi urutan yang dapat didefinisikan pada himpunan: 1. Relasi urutan Parsial Andaikan S adalah suatu himpunan dan R adalah suatu relasi biner pada S. Relasi R disebut relasi urutan parsial pada S bila dan hanya bila 1. R refleksif: ( a S) ara. R antisimetris: ( a, b S) arb bra a = b 18

33 3. R transitif: ( a, b, c S) arb brc arc Jika S adalah himpunan yang tidak kosong dan S mempunyai relasi urutan parsial R yang didefinisikan padanya, maka pasangan terurut (S,R) disebut himpunan terurut parsial (poset). Jika (S,R) adalah suatu poset maka dua elemen a dan b dikatakan terbanding bila dan hanya bilsa arb atau bra (atau keduanya, yang berarti a = b). Perlu diperhatikan tidak semua elemen dalam poset itu terbanding.. Relasi Urutan Total Andaikan S adalah suatu himpunan dan R adalah suatu relasi biner pada S. Relasi R disebut relasi urutan total pada S bila dan hanya bila R adalah suatu relasi urutan parsial yang mempunyai sifat ( a, b S) arb bra. Perbedaan utama dari relasi urutan parsial dan relasi urutan total pada himpunan S adalah pada keterbandingan dari elemen-elemen pada S. Pada relasi urutan total setiap pasang elemen pasti terbanding, sedangkan pada relasi urutan parsial tidak setiap pasang elemen terbanding. Selain relasi-relasi yang disebutkan di atas, ada sebuah relasi khusus yang penting yaitu fungsi. Relasi ini didefinisikan dari himpunan A ke himpunan B. Definisi..6: Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, ditulis f : A B, adalah suatu relasi biner dari A ke B (yang berarti suatu himpunan bagian dari A B ) yang memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: 19

34 1. Eksistensi: ( x A) ( y B) (x,y) f. Artinya: setiap elemen dalam A berelasi dengan satu elemen dalam B.. Keunikan: ( ( x, y ), ( x, y 1 1 ) f ) x1= x y1 = y. Artinya: setiap satu elemen dalam A hanya berelasi dengan satu elemen dalam B. Domain (daerah asal) dari fungsi f adalah himpunan semua komponen pertama dari pasangan terurut (x,y) f. Elemen-elemen dalam domain disebut prabayangan. Daerah asal suatu fungsi f dilambangkan dengan Dom f. Range (daerah hasil) dari fungsi f adalah himpunan semua komponen kedua dari pasangan terurut (x,y) f. Elemen-elemen dalam daerah hasil disebut bayangan. Daerah hasil suatu fungsi f dilambangkan dengan Ran f. Pada pembahasan fungsi, penulisan (x,y) f dapat diganti dengan f(x) = y, di mana x adalah prabayangan dan y adalah bayangannya. Dengan menggunakan lambang ini fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut: Definisi..7: Suatu fungsi dari A ke B, ditulis f : A B, adalah suatu relasi biner dari A ke B yang memenuhi syarat sebagai berikut: 1. Eksistensi: ( x A) ( y B) f(x) = y. Keunikan: ( x,y A) x = y f(x) = f(y) 0

35 Definisi..8: Dua fungsi f dan fungsi g dikatakan sama bila dan hanya bila: 1. Dom f = Dom g. ( x Dom f) f(x) = g(x) Fungsi disebut juga pemetaan. Beberapa pemetaan khusus: Definisi..9: Pemetaan Onto (Surjektif) Suatu pemetaan f : A B disebut pemetaan onto (surjektif) bila dan hanya bila ( y B) ( x A) f(x) = y. Definisi..10: Pemetaan Satu-satu (Injektif) Suatu pemetaan f : A B disebut pemetaan satu-satu (injektif) bila dan hanya bila ( x, x A) f( x ) = f( x ) x = x Definisi..11: Pemetaan Bijektif Suatu pemetaan f : A B disebut pemetaan bijektif bila dan hanya bila pemetaan ini adalah satu-satu dan onto sekaligus. Definisi..1: Suatu pemetaan f : A A yang didefinisikan dengan f(x) = x disebut pemetaan identitas pada A. Definisi..13: Andaikan R adalah relasi ekivalensi pada X dan X = { x x X} R 1

36 dengan x adalah klas ekivalensi dengan wakil x. Suatu pemetaan f : X kanonis dari X ke X. R X dengan f(x) = x disebut pemetaan R Definisi..14: Suatu pemetaan f : A B disebut pemetaan konstan bila dan hanya bila ( y B) ( x A) f(x) = y. Definisi..15: Suatu pemetaan f : B {0,1} yang didefinisikan dengan f(x) = 0 1 untuk untuk x B x B disebut fungsi karakteristik dari B. Jika fungsi f : A B bijektif, maka untuk setiap y B ada paling sedikit satu x A sedemikian hingga y = f(x) dan ada paling banyak satu x A sedemikian hingga y = f(x). Oleh karena itu, jika f : A B bijektif, maka ( y B) (!x A) y = f(x). Dikatakan bahwa ada korespondensi satu-satu antara elemenelemen dari A dan elemen-elemen dari B. Dalam hal ini A dan B dikatakan ekipoten dan dilambangkan dengan A ~ B. Dari gambaran di atas dapatlah didefinisikan fungsi invers yaitu:

37 Definisi..16: Diberikan fungsi f : A B yang bijektif. Fungsi f : B A dengan f (y) = x, di mana x adalah elemen tunggal dalam A sedemikian hingga y = f(x), disebut fungsi invers dari f. Teorema..5: Diberikan fungsi bijektif f : A B. Fungsi invers dari suatu fungsi bijektif adalah fungsi bijektif. Bukti: Diketahui f : A B adalah fungsi bijektif. Akan ditunjukkan bahwa f : B A adalah fungsi bijektif. Ambil sebarang x A. Harus ditemukan y B sedemikian hingga f (y) = x. Dipilih y = f(x) B. Menurut Definisi..16 berarti 1 f (y) = x, maka ( x A) ( y B) f 1 (y) = x, sehingga f y1 : B A adalah fungsi surjektif. Ambil sebarang, y B, sedemikian hingga 1 ( ) = 1 f y1 f ( y ). Andaikan f ( y1 ) = x1 dan f y x x1 x x1 ( ) =, maka =, sehingga f( ) = f( x ), karena f adalah fungsi. Diketahui (y) = x f(x) = y, sehingga f( ) = y dan f x1 1 f( ) =, maka =. Jadi berlaku (, B) 1 x ( ) = 1 y y1 y y1 y f y1 f ( y ) =, sehingga 1 y f : B A adalah fungsi bijektif. Jadi f 1 : B A y1 adalah fungsi bijektif. 3

38 Definisi..17: Diberikan fungsi f : A B dan A 0 A. Fungsi f A 0 : A 0 B didefinisikan dengan f A 0 (x) = f(x) disebut fungsi f yang terbatas pada A 0. Teorema..6: Andaikan f : B C dan g : A B adalah fungsi-fungsi, maka i. f o g dengan (f o g) (x) = f (g(x)) untuk setiap x A adalah suatu fungsi dari A ke C. ii. Ran (f o g) = { f(y) y Ran g} Bukti: i. Akan ditunjukkan bahwa f o g memenuhi kondisi eksistensi dan keunikan. a. Eksistensi Akan ditunjukkan ( x A) ( z C) (f o g)(x) = z. Ambil sebarang x A. Karena g adalah fungsi dari A ke B, maka ada suatu y B sedemikian hingga g(x) = y. Karena f adalah fungsi dari B ke C, maka ada suatu z C sedemikian hingga f(y) = z, sehingga f(g(x)) = z, maka (f o g) (x) = z. b. Keunikan 4

39 x1 x x1 Akan ditunjukkan (, A) = x (f o g) ( x ) = (f 1 og) x x1 ( ). Andaikan dan x sebarang elemen dalam A dengan x1 x x1 =. Karena g dan f adalah suatu fungsi, maka g( ) = g( x ) dan f(g( )) = f(g( x )), sehingga (f o g) ( x ) = (f o g) ( ). x1 1 x Dari a dan b terbukti bahwa f o g memenuhi kondisi eksistensi dan keunikan. ii. Akan ditunjukkan Ran (f o g) = { f(y) y Ran g} ( ) Ambil sebarang z Ran (f o g), maka ada x Dom (f o g), sehingga (f o g) (x) = z, maka z = (f o g) (x) = f(g(x)) = f(y), di mana y = g(x) Ran g, maka z {f(y) y Ran g}. Jadi Ran (f og) {f(y) y Ran g}....(1) ( ) Ambil sebarang z {f(y) y Ran g}, sehingga z = f(y), dengan y Ran g. Dengan demikian ada x Dom g, sehingga g(x) = y, sehingga z = f(y) = f(g(x)) = (f o g) (x), maka z Ran (f o g). Jadi {f(y) y Ran g} Ran (f o g)...() Dari (1) dan () terbukti Ran (f o g) = { f(y) y Ran g} 5

40 Definisi..18: Diberikan fungsi f : A B dan g : B C. Fungsi g o f : A C dengan (g o f )(x) = g(f(x)) untuk setiap x A disebut fungsi komposit dari g dengan f. Teorema..7: Komposisi fungsi bersifat asosiatif. Andaikan f, g, dan h adalah fungsi-fungsi sedemikian hingga f o( g oh) dan ( f og) oh terdefinisi, maka ( f o g) oh = f o( g oh) Bukti: Andaikan sebarang x Dom [ ( f o g) oh ], maka [ ( f o g) oh ] (x) = ( f og) (h(x)) = f(g(h(x))) = f [ ( g oh) (x)] = [ f o( g oh) ] (x) Terbukti ( x Dom [ ( f o g) oh ]) [ ( f o g) oh ] (x) = [ f o( g oh) ] (x). Terbukti bahwa komposisi fungsi bersifat asosiatif. 6

41 Teorema..8: Diberikan fungsi bijektif f : A B. Fungsi komposit f o f, adalah fungsi identitas pada himpunan B, dan fungsi komposit f o f, adalah fungsi identitas pada himpunan A. Bukti: Andaikan I dan I adalah fungsi-sungsi identitas dari berturut-turut A B himpunan A dan himpunan B, sehingga ( x A) (x) = x dan ( y B) I (y) = y. Akan ditunjukkan bahwa f o f =. Untuk setiap y B ada B I B I A tunggal x A sedemikian sehingga (y) = x, maka (f f o f ) (y) = f( (y)) = f(x) = y. Jadi f I B f o f =. Akan ditunjukkan bahwa f o f = I A. Untuk setiap x A ada tunggal y B sedemikian sehingga f(x) = y, sehingga ( f o f ) (x) = f ( f(x)) = I A 1 f (y) = x. Jadi f o f =. 3. Sistem Aljabar dan Homomorfisma Telah diketahui bahwa fungsi adalah suatu relasi khusus antara dua himpunan. Sekarang akan dibahas tentang suatu fungsi yang memetakan suatu sistem tertentu ke sistem tertentu yang lain. Pembahasan ini diawali dengan definisi operasi biner pada suatu himpunan dan definisi suatu sistem dalam matematika sebagai berikut. 7

42 Definisi.3.1: Suatu pemetaan dari S S ke S disebut operasi biner pada himpunan S. Operasi biner seringkali dilambangkan dengan, dan ditulis ( (a,b) S) (a,b) = a b. Definisi.3.: Pasangan terurut (S, ), yang terdiri dari himpunan S yang tidak kosong dan suatu operasi biner yang didefinisikan pada S, disebut sistem aljabar. Homomorfisma adalah suatu fungsi yang memetakan suatu sistem aljabar ke sistem aljabar yang lain, dan mengawetkan operasinya. Hal ini didefinisikan sebagai berikut: Definisi.3.3: Andaikan (S, ) dan (T, o) adalah sistem-sistem aljabar. Pemetaan f : S T disebut homomorfisma dari S ke T jika dan hanya jika ( s1, s S) f ( s1 s ) = f ( s1 ) o f ( s ). Definisi.3.4: Suatu homomorfisma yang surjektif disebut epimorfisma. Suatu homomorfisma yang injektif disebut monomorfisma. Suatu homomorfisma bijektif disebut isomorfisma. Suatu isomorfisma dari suatu himpunan ke himpunan itu sendiri disebut automorfisma. 8

43 Definisi.3.5: Sistem (S, ) dikatakan isomorfis dengan sistem (T, o) bila dan hanya bila ada suatu isomorfisma f : S T, dilambangkan dengan S T. Teorema.3.1: Jika f adalah suatu isomorfisma dari (S, ) ke (T, o), maka f adalah suatu isomorfisma dari (T, o) ke (S, ). Bukti: Andaikan f : S T suatu isomorfisma, maka f adalah suatu fungsi bijektif. Telah dibuktikan dalam Teorema..5 bahwa f : T S adalah fungsi bijektif. Sekarang tinggal membuktikan bahwa ( t o ) = ( t ) f 1 ( t ). Ambil sebarang t 1 dan t T, maka f ( t 1 ) = s1 dan f ( t ) = 1 f s s1 s s t 1 1 s, dengan dan S, dan f( ) = dan f( ) = t. Diketahui f adalah suatu isomorfisma, maka f ( s1 s ) = f ( s1 ) o f ( s ), t f 1 sehingga f ( t o 1 t ) = f [ (f ( s1 ) o f ( s )] = [ f ( s )] f s1 = ( f o f ) ( s1 s ) = ( s ) (Teo...8) I s s1 = s (Def...1) s1 9

44 = ( t ) ( t ). f 1 f Terbukti bahwa invers dari suatu isomorfisma adalah suatu isomorfisma. 30

45 BAB III HIMPUNAN TERCACAH Pada Bab III ini dibahas himpunan tercacah dan sifat-sifat yang menyertainya. Pembahasan ini dimulai dari himpunan hingga dan himpunan takhingga. Kemudian ditinjau sifat-sifat himpunan tercacah dan beberapa contoh himpunan tercacah. Akhirnya dibahas himpunan kuasa dan sifat-sifatnya, serta keadaannya bila himpunan asalnya adalah himpunan tercacah. 1. Himpunan Hingga dan Himpunan Tak Hingga Telah diketahui bahwa suatu himpunan dapat didefinisikan dengan beberapa cara antara lain dengan menuliskan anggota-anggotanya dan dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Cara yang pertama biasa digunakan apabila jumlah elemen dari himpunan dapat dibilang sampai elemen yang terakhir secara jelas. Himpunan dengan elemen demikian disebut himpunan hingga yang didefinisikan sebagai berikut: Definisi 3.1.1: Suatu himpunan H dikatakan hingga bila dan hanya bila H adalah himpunan kosong atau himpunan yang berkorespondensi satu-satu dengan himpunan {1,,3,...,k} untuk suatu k N, dengan N himpunan semua bilangan asli. Jika himpunan A = φ, maka A mempunyai 0 elemen dan dilambangkan oleh n(a) = 0. Jika A berkorespondensi satu-satu dengan {1,,3,...,k} maka A mempunyai k elemen dan dilambangkan dengan n(a) = k. 31

46 Cara yang kedua digunakan pada himpunan yang jumlah elemennya tidak dapat dibilang sampai habis. Himpunan ini disebut himpunan takhingga yang didefinisikan sebagai berikut: Definisi 3.1.: Himpunan H dikatakan takhingga bila dan hanya bila H merupakan himpunan tidak kosong, yang tidak berkorespondensi satu-satu dengan himpunan {1,,3,...,k} untuk setiap k N. Ada dua jenis himpunan takhingga yang berbeda dan konsep korespondensi satu-satu kembali digunakan untuk menjelaskan perbedaan tersebut.. Himpunan Tercacah dan Himpunan Terbilang Definisi 3..1: Suatu himpunan takhingga yang berkorespondensi satu-satu dengan N disebut himpunan tercacah. Definisi 3..: Himpunan hingga atau himpunan tercacah disebut himpunan terbilang. Definisi 3..3: Himpunan takhingga yang tidak berkorespondensi satu-satu dengan N disebut himpunan taktercacah. Untuk selanjutnya pembicaraan akan lebih pada himpunan tercacah dan himpunan taktercacah. Definisi 3..4: Diberikan sebarang himpunan A, dan R adalah relasi terurut parsial pada A. Elemen a A adalah elemen terkecil bila dan hanya bila ( x A) arx. Elemen a A adalah elemen terbesar bila dan hanya bila ( x A) xra. 3

47 Definisi 3..5: Diberikan sebarang himpunan A, dan R adalah relasi terurut total pada A. Himpunan A dikatakan terurut wajar bila dan hanya bila setiap himpunan bagian dari A memuat elemen terkecil. Contoh himpunan tercacah adalah himpunan semua bilangan bulat Z dan himpunan semua bilangan rasional Q, dan contoh himpunan taktercacah adalah interval (0,1). Hal ini akan dibuktikan sesudah membahas beberapa sifat himpunan tercacah sebagai berikut. Teorema 3..1: Himpunan semua bilangan asli N terurut wajar oleh relasi. Bukti: Akan ditunjukkan bahwa relasi adalah relasi urutan total pada N dengan menunjukkan bahwa relasi memenuhi sifat relasi urutan total. a. Refleksif Ambil sebarang x N. Jelas bahwa x x, maka ( x N) x x. Jadi relasi memenuhi sifat refleksif. b. Antisimetris Ambil sebarang x,y N dengan x y dan y x, maka jelas bahwa x = y, sehingga ( x,y N) x y y x x = y. Jadi relasi memenuhi sifat antisimetris. c. Transitif Ambil sebarang x,y,z N dengan x y dan y z, maka jelas bahwa x z, sehingga ( x,y,z N) x y y z x = z. Jadi relasi memenuhi sifat transitif. 33

48 d. Ambil sebarang x,y N, maka haruslah x y atau y x. Karena jika x y dan y x, maka x = y, dan sifat ini sudah dipenuhi sebelumnya. Dengan demikian relasi memenuhi sifat ( x,y N) x y y x. Berdasarkan a, b, c, dan d di atas, maka relasi adalah relasi urutan total, sehingga setiap pasang elemen dalam N pasti terbanding. Dibentuk sebarang himpunan P N dan P φ, dengan P = {a}. Jelas bahwa a a, sehingga a P adalah elemen terkecil. Andaikan dibentuk sebarang himpuan T N dan T φ, dengan T = {a,d}, maka ( x T) jika a x, maka a T adalah elemen terkecil atau jika d x, maka d T adalah elemen terkecil. Dengan demikian himpunan P dan T memuat elemen terkecil. Kembali dibentuk sebarang himpunan D N dan D φ, dengan D = {e,g,h,k,m,p,...}. Dengan cara yang sama ditemukan bahwa himpunan D memuat elemen terkecil, misalnya e, karena ( x D) e x. Terlihat bahwa setiap himpunan bagian tidak kosong dari N memuat elemen terkecil. Jadi himpunan semua bilangan asli N terurut wajar oleh relasi. Teorema 3..: Jika himpunan S adalah himpunan bilangan asli sedemikian sehingga: 1. 1 S. ( n S) (n S n + 1 S), maka S = N. 34

49 Bukti: S adalah himpunan bilangan asli sedemikian sehingga 1 S dan ( n S) (n S n + 1 S). Andaikan A = N S adalah himpunan yang tidak kosong. Karena (N, ) terurut wajar, maka A memuat suatu elemen terkecil, misalnya a. Jelas a 1, karena 1 S dan A = N S, maka a 1 N, dan a 1 a. Karena a adalah elemen terkecil dari A, maka a 1 A, sehingga a 1 S. Karena a 1 S, maka (a 1) + 1 S, sehingga a S. Padahal a A dan S = N A, sehingga a S. Terjadi kontradiksi. Pengandaian salah, maka A = φ. Jadi S = N A = N φ = N. Teorema 3..3: Andaikan A adalah himpunan tercacah dan x A, maka A {x} adalah himpunan tercacah. Bukti: A adalah himpunan tercacah dan x A, maka ada fungsi bijektif f : A n. Didefinisikan fungsi g : A {x} N, dengan g(y) = 1 f ( y) + 1 untuk untuk y = x y A Harus ditunjukkan bahwa fungsi g bijektif. Andaikan n N. Jika n = 1, maka n = g(x). Jika n 1, maka n = k + 1 untuk suatu k N. Tetapi k = f(y) untuk suatu y A, sehingga n = k + 1 = f(y) + 1 = g(y) untuk suatu y A. Karena untuk setiap n N dapat ditemukan y A {x} sedemikian hingga n = g(y), maka fungsi g surjektif. Andaikan g(y) = g(z). Jika g(y) = 1, maka y = z = x. Jika g(y) 1, maka f(y) + 1 = f(z) + 1. Karena fungsi f adalah 35

50 fungsi injektif, maka y = z. Karena untuk semua y, z A {x} berlaku jika g(y) = g(z), maka y = z, sehingga fungsi g injektif. Terbukti bahwa fungsi g bijektif. Jadi A {x} adalah himpunan tercacah. Teorema 3..4: Gabungan himpunan tercacah dan himpunan hingga yang saling asing adalah himpunan tercacah. Bukti: Diberikan himpunan tercacah A dan himpunan hingga B yang tidak kosong, dengan A B = φ. Akan dibuktikan bahwa A B adalah himpunan tercacah. Karena A himpunan tercacah, maka ada fungsi bijektif f : A N dan karena B adalah himpunan hingga, maka ada fungsi bijektif g : B {1,,3,...,n} untuk suatu n N. Didefinisikan fungsi h : A B N dengan h(y) = g( y) n + k, k Ν untuk untuk y B y A Harus ditunjukkan bahwa fungsi h adalah fungsi bijektif. Ambil sebarang t N. Jika t = k untuk suatu k {1,,3,...,n}, maka dapat ditemukan y B sedemikian hingga g(y) = k, karena fungsi g surjektif. Dengan demikian h(y) = g(y) = k. Jika t = n + k, untuk suatu k n, maka dapat ditemukan y A sedemikian hingga f(y) = t, karena fungsi f surjektif. Dengan demikian h(y) = n + k = t. Oleh karena itu untuk semua t N dapat ditemukan y A B sedemikian hingga t = h(y), maka fungsi h surjektif. Ambil sebarang y, z A B sedemikian hingga h(y) = h(z). Tidak mungkin terjadi h(y) = g(y) dan h(z) = n + k, k n, atau h(y) = n + k, k n, dan h(z) 36

51 = g(z). Jika h(y) = g(y) dan h(z) = g(z), maka jelas g(y) = g(z), sehingga y = z, karena fungsi g injektif. Jika h(y) = n + k, k n, dan h(z) = n + k, k n, maka untuk t = n + k, k n ada y A sedemikian hingga f(y) = t dan untuk p = n + k, k n ada z A sedemikian hingga f(z) = p, karena fungsi f surjektif, sehingga t = p = n + k, k n, maka f(y) = f(z). Karena fungsi f injektif, maka y = z. Dengan demikian untuk semua y,z A B berlaku jika h(y) = h(z), maka y = z. Jadi fungsi h injektif. Terbukti fungsi h bijektif. Jadi A B adalah himpunan tercacah. Teorema 3..5: Gabungan dua himpunan tercacah yang saling asing adalah himpunan tercacah. Bukti: Diberikan himpunan tercacah A dan B, dengan A B = φ. Harus dibuktikan bahwa A B himpunan tercacah. Himpunan A dan B masing-masing berkorespondensi satu-satu dengan N, sehingga ada fungsi-fungsi bijektif f : A N dan g: B N. Didefinisikan fungsi h : A B N dengan h(x) = f ( x) g( x) untuk untuk x A x B Harus ditunjukkan bahwa h fungsi bijektif. Ambil sebarang t N. Jika t genap, maka t = n untuk suatu n N. Diketahui bahwa fungsi f surjektif, sehingga x A sedemikian hingga f(x) = n, maka h(x) = f(x) = n = t. Jika t ganjil, maka t = n 1 untuk suatu n N. Diketahui bahwa fungsi g surjektif, sehingga x B sedemikian hingga g(x) = n, sehingga h(x) = g(x) 1 = n 1 = t. Dengan demikian 37

52 ( t N) ( x A B) h(x) = t, sehingga h adalah fungsi surjektif. Ambil sebarang t, p A B sedemikian hingga h(t) = h(p). Tidak mungkin terjadi h(t) = f(t) dan h(p) = g(p) 1 atau h(t) = g(t) 1 dan h(p) = f(p), karena f(t) dan f(p) adalah bilangan genap, sedangkan g(t) 1 dan g(p) 1 adalah bilangan ganjil. Dengan demikian haruslah h(t) = f(t) dan h(p) = f(p) atau h(t) = g(t) 1 dan h(p) = g(p) 1, sehingga f(t) = f(p) f(t) = f(p) t = p karena fungsi f injektif atau g(t) 1 = g(p) 1 g(t) = g(p) g(t) = g(p) t = p karena fungsi g injektif Dengan demikian berlaku ( t, p A B) h(t) = h(p) t = p, maka fungsi h : A B N adalah fungsi bijektif. Jadi A B himpunan tercacah. Teorema 3..6: Himpunan A dengan A N adalah himpunan terbilang. Bukti: Diberikan himpunan A dengan A N. Harus ditunjukkan bahwa himpunan A hingga atau tercacah. Jika himpunan A hingga, maka jelas bahwa himpunan A terbilang. Andaikan himpunan A takhingga. Harus ditunjukkan bahwa himpunan A tercacah, dengan membangun suatu fungsi f : N A, dan harus ditunjukkan bahwa fungsi f : N A adalah fungsi bijektif. Telah 38

53 diketahui bahwa (N, ) terurut wajar, maka A mempunyai elemen terkecil. Andaikan f(1) A adalah bayangan dari 1 N, dan merupakan elemen terkecil dari A. Dibentuk himpunan A 1 = A - { f(1)}, maka A 1 = { f(), f(3), f(4),...} dan N, maka A memuat elemen terkecil, yaitu f(), dengan A1 1 f() adalah bayangan dari N. Demikian seterusnya n N dapat dibentuk A = A - { f(1), f(), f(3),..., f(n)}, maka A = { f(n+1), f(n+), n f(n+3),...} dan A N, sehingga A memuat elemen terkecil yaitu f(n+1), n n dengan f(n+1) adalah bayangan dari n+1 N. Dengan demikian dapat dibentuk suatu fungsi f : N A dengan f(x) = y dan y berada di urutan ke-x dalam daftar. Harus ditunjukkan bahwa fungsi f : N A adalah fungsi bijektif. Ambil sebarang y A dan y Ran f. Jika y 1 = f(j) untuk suatu n j N, maka y = f (j+1), karena y adalah elemen terkecil dari A j. Padahal y Ran f, sehingga terjadi kontradiksi, maka y 1 Ran f, sehingga y Ran f, dan seterusnya sedemikian hingga f(1) Ran f. Padahal f(1) adalah elemen terkecil dari A. Kembali terjadi kontradiksi, sehingga y Ran f, maka A Ran f. Dengan demikian dapat ditemukan x N sedemikian hingga y = f(x). Jadi fungsi f surjektif. Untuk setiap n N, f(1), f(), f(3),..., f(n) adalah daftar elemen pertama dari A yang juga terurut berdasarkan urutan wajar (N, ). Ambil sebarang m,n N. Jika f(m) = f(n), maka dalam daftar bilangan ke-m sama dengan bilangan ke-n, sehingga m = n. Jadi fungsi f injektif, sehingga fungsi f bijektif, maka A himpunan tercacah. Jadi terbukti A himpunan terbilang. 39

54 Teorema 3..7: Diberikan himpunan tercacah A dan himpunan B dengan B A, maka himpunan B terbilang. Bukti: Diberikan himpunan tercacah A, maka ada fungsi bijektif f : A N. Diketahui himpunan B, dengan B A. Karena B A dan A ~ N, maka B ~ f(b) N, sehingga B dapat dipandang sebagai subset dari N. Jadi berdasarkan Teorema 3..6 himpunan B terbilang. Teorema 3..8: Produk Kartesius N N adalah himpunan tercacah. Bukti: Didefinisikan fungsi f : N N N dengan f((a,b)) = a 1 (b ). Akan ditunjukkan bahwa fungsi f bijektif. Ambil sebarang n N. Jika n ganjil, dipilih a = 1 dan b = n +1, sehingga f((1, n +1 0 )) = ((n+1) 1) = n. Jika n genap, dipilih a = dan b = n +, sehingga f((, 4 n + )) = ( 4 n + - 1) = ( n + 1 1) = n. Dapat ditemukan (a,b) N N sedemikian hingga f((a,b)) = n, sehingga ( n N) ( (a,b) N N) f((a,b)) = n, maka fungsi f surjektif. Ambil sebarang (a,b), (p,q) N N dengan f((a,b)) = f((p,q)). Harus ditunjukkan (a,b) = (p,q), maka f((a,b)) = f((p,q)) a 1 (b ) = p 1 (q ) a (b ) p = (q ) tiap ruas dikali 40

55 a Tidak mungkin terjadi = ( q ) dan p = ( ) a b, karena dan p adalah bilangan genap, sedangkan ( b ) dan ( q ) adalah bilangan a p ganjil. Haruslah terjadi = dan b = q, sehingga a = p dan b = q, maka (a,b) = (p,q). Dengan demikian berlaku f((a,b)) = f((p,q)) (a,b) = (p,q), sehingga ( (a,b), (p,q) N N) f((a,b)) = f((p,q)) (a,b) = (p,q). Terlihat bahwa fungsi f injektif, sehingga fungsi f bijektif. Jadi N N tercacah. Teorema 3..9: Produk Kartesius dari dua himpunan tercacah adalah himpunan Bukti: tercacah. Diberikan himpunan tercacah A dan B, maka himpunan A dan B masingmasing berkorespondensi satu-satu dengan N, sehingga ada fungsi bijektif f : A N dan g : B N. Akan ditunjukkan A B adalah himpunan tercacah. Diketahui A B = {(a,b) a A dan b B}. Didefinisikan fungsi f ( a) F : A B N dengan F((a,b)) = (g(b) 1). Akan ditunjukkan bahwa fungsi F : A B N adalah fungsi bijektif. Ambil sebarang n N. n +1 Jika n ganjil, maka dipilih a = f (1) dan b = g ( ), sehingga n +1 F(( f (1), g ( f ( f (1)) ))) = (g( g ( n +1 )) 1) ( f f )(1) = ( (g o g ) ( n +1 ) 1) 0 = (n + 1 1) = n 41

56 n + Jika n genap, maka dipilih a = f () dan b = g ( ), sehingga 4 n + F(( f (), g ( 4 f ( f ()) ))) = (g( g ( n + ) 1) 4 1 ( f f )() = ( (g o g ) ( n + ) 1) 4 = ( n + 1 1) = n Dapat ditemukan (a,b) A B sedemikian hingga F((a,b)) = n, sehingga ( n N) ( (a,b) A B) F((a,b)) = n. Terlihat bahwa fungsi F adalah fungsi surjektif. Sekarang ambil sebarang (a,b), (p,q) A B dengan F((a,b)) = F((p,q)). Harus ditunjukkan bahwa (a,b) = (p,q), sehingga F((a,b)) = F((p,q)) f ( a) ( ) a f ( p) (g(b) 1) = (g(q) 1) f ( ) (g(b) 1) = f p (g(q) 1) tiap ruas dikali ( ) Tidak mungkin terjadi f a = (g(q) 1) dan f ( p) = (g(b) 1), karena ( ) f a p) dan f ( adalah bilangan genap, sedangkan g(b) 1 dan g(q) 1 adalah bilangan ganjil. Dengan demikian haruslah f ( ) = f ( ) dan g(b) 1 = g(q) 1, sehingga f(a) = f(p) dan g(b) = g(q). Karena f : A N dan g : B N adalah fungsi-fungsi injektif maka a = p dan b = q, sehingga (a,b) = (p,q). Dengan demikian berlaku F((a,b)) = F((p,q)) (a,b) = (p,q) a p sedemikian hingga ( (a,b), (p,q) A B) F((a,b)) = F((p,q)) (a,b) = (p,q). Terlihat bahwa fungsi F adalah fungsi injektif. Jadi fungsi 4

57 F : A B N adalah fungsi bijektif. Jadi Produk Kartesius dari dua himpunan tercacah adalah himpunan tercacah. Teorema 3..10: Himpunan semua bilangan bulat Z adalah himpunan tercacah. Bukti: Didefinisikan fungsi f : N Z dengan f(x) = x 1 x bila bila x = ganjil. x = genap Akan ditunjukkan bahwa fungsi f : N Z bijektif. Dengan diagram ditunjukkan sebagai berikut: N Z Akan ditunjukkan bahwa fungsi f surjektif. Ambil sebarang n Z. a. Jika n < 0, maka x = - n N, dan f(x) = f(-n) = - 1 (- n) = n b. Jika n 0, maka x = n + 1 N, dan f(x) = f(n + 1) = 1 (n + 1) - 1 = n. Berlaku ( n Z) ( x N) f(x) = n. Jadi fungsi f surjektif. Sekarang akan ditunjukkan bahwa fungsi f injektif. Ambil sebarang x,y N dengan f(x) = f(y). Jika x ganjil dan y genap, maka f(x) = 1 x - 1 dan f(y) = - 1 y, sehingga f(x) f(y). Jika x genap dan y ganjil, maka 43

58 f(x) = - 1 x dan f(y) = 1 y - 1, sehingga f(x) f(y). Padahal diketahui f(x) = f(y). Terjadi kontradiksi. Oleh karena itu tidak mungkin terjadi x ganjil dan y genap atau x genap dan y ganjil. Haruslah x dan y genap atau x dan y ganjil. a. Jika x dan y ganjil, maka 1 x - 1 = 1 y - 1, sehingga x = y. b. Jika x dan y genap, maka - 1 x = - 1 y, sehingga x = y. Berlaku ( x,y N) f(x) = f(y) x = y. Jadi fungsi f injektif. Terlihat bahwa fungsi f : N Z bijektif. Jadi himpunan semua bilangan bulat Z adalah himpunan tercacah. Sebelum menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan rasional Q tercacah, terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa himpunan semua bilangan rasional positif + Q tercacah. Hal ini dibuktikan dalam teorema sebagai berikut. Teorema 3..11: Himpunan semua bilangan rasional positif + Q tercacah. Bukti: Telah dibuktikan dalam Teorema 3..8 bahwa himpunan N N tercacah. Padahal setiap bilangan rasional positif berbentuk pecahan q p, dengan + p, q N. Dapat dikatakan bahwa elemen-elemen dari Q adalah pasangan terurut (p,q) dengan p N dan q N, sehingga (p,q) N N, maka kita dapat memandang bahwa + + Q N N. Himpunan Q tak hingga, sehingga dengan Teorema 3..7 terbukti himpunan + Q tercacah. 44

59 Teorema 3..1: Himpunan semua bilangan rasional Q tercacah. Bukti: Telah dibuktikan dalam Teorema bahwa himpunan + Q tercacah dan dalam Teorema bahwa himpunan semua bilangan bulat Z adalah himpunan tercacah. Karena berdasarkan Teorema 3..7, Z Z dan himpunan Z takhingga, maka Z himpunan tercacah. Berdasarkan Teorema 3..9, maka Z N adalah himpunan tercacah. Setiap bilangan rasional negatif berbentuk pecahan a dengan a b Z dan b N, sehingga dapat dikatakan bahwa elemen-elemen dari Q adalah pasangan terurut (a,b), dengan a Z dan b N, maka kita dapat memandang Q Z N dan himpunan Q takhingga. Kembali menggunakan Teorema 3..7 maka + himpunan Q adalah himpunan tercacah. Dengan demikian Q = Q Q, + dengan Q Q = φ dan berdasarkan Teorema 3..5 adalah himpunan tercacah. Telah dibuktikan dalam Teorema 3..4 bahwa gabungan himpunan tercacah dan himpunan hingga yang saling asing adalah himpunan tercacah. {0} adalah himpunan hingga dan Q {0} = φ, sehingga Q = Q {0} adalah himpunan tercacah. Jadi terbukti himpunan semua bilangan rasional Q tercacah. Teorema 3..13: Interval (0,1) adalah himpunan taktercacah. Bukti: 45