DISTRIBUSI PROBABILITAS TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM

Transkripsi

1 DISTRIBUSI PROBABILITAS TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM Taryo, Suyono, Dian Handayani JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA 2 Agustus 27 Abstraksi Misalkan Xij Yij, j =, 2,..., menyatakan waktu bekerja waktu perbaikan dari komponen ke-i, i =, 2,..., n suatu sistem. Diasumsikan bahwa barisan (Xij) (Yij) saling independen. Misalkan U (t) menyatakan total waktu bekerja sistem pada interval [, t]. Untuk n =, Xj Yj keduanya berdistribusi eksponensial, maka dapat diperoleh rumus eksplisit untuk nilai harapan variansi dari U (t). Untuk n 2, Xij Yij semuanya berdistribusi eksponensial, dapat diperoleh rumus eksplisit untuk nilai harapan variansi dari U (t) dengan kondisi distribusi awal distribusi stasioner. Kata kunci : rantai Markov waktu kontinu, total waktu bekerja sistem, availabilitas sistem. PENDAHULUAN. Latar Belakang Big statistika berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan, penyajian, analisisnya serta penarikan kesimpulan berdasarkan data analisis yang telah dilakukan. Kesimpulan yang dihasilkan diharapkan merupakan gambaran tentang populasi sifat-sifatnya. Salah satu cara pengumpulan data yaitu dengan melakukan percobaan. Dari percobaan yang dilakukan akan diperoleh hasil yang berkemungkinan, yang memiliki nilai probabilitas. Seluruh hasil yang mungkin dari suatu percobaan dinamakan ruang sampel (sample space). Hasil-hasil yang diperoleh dari percobaan tersebut dapat dimodelkan dalam suatu persamaan matematika. Tujuan dalam pengembangan model matematika adalah untuk menggambarkan probabilitas kejadian yang akan terjadi. Model matematika dapat didefinisikan sebagai suatu variabel acak yang merupakan suatu fungsi yang menghubungkan setiap unsur dalam ruang sampel dengan bilangan real. Misalkan dengan memodelkan suatu sistem yang tidak selamanya beroperasi, ada kalanya sistem tersebut mengalami kerusakan sehingga memerlukan waktu untuk direparasi. Sebagai ilustrasi adalah sebuah mesin produksi pada suatu perusahaan. Mesin ini tidak terus-menerus beroperasi, ada kalanya rusak, sehingga memerlukan waktu untuk direparasi. Keefektifan suatu sistem sangat mempengaruhi performance sistem itu sendiri dapat mengoptimalkan produksi. Ada beberapa ukuran keefektifan dari suatu sistem, diantaranya adalah total waktu bekerja, total waktu perbaikan, availabilitas (availability), sebagainya. Matematika UNJ

2 Total waktu bekerja menyatakan total waktu sistem beroperasi dalam suatu interval waktu tertentu. Apabila proporsi total waktu bekerja dalam suatu interval waktu adalah besar maka sistem dikatakan efektif atau baik. Total waktu bekerja memiliki sifat acak. Total waktu perbaikan menyatakan total waktu sistem direparasi atau berhenti bekerja dalam suatu interval waktu tertentu. Apabila proporsi total waktu perbaikan dalam suatu interval waktu adalah kecil maka sistem dikatakan efektif atau baik. Total waktu perbaikan juga memiliki sifat acak. Availabilitas adalah probabilitas sistem bekerja pada suatu waktu tertentu. Semakin besar availabilitas suatu sistem maka sistem tersebut semakin baik. Sebuah ekspresi tentang total waktu bekerja suatu sistem yang dapat direparasi, telah diturunkan oleh beberapa penulis dengan metode yang berbeda di bawah asumsi waktu bekerja waktu perbaikan merupakan variabel acak yang saling independen. Sebuah metode (yaitu dengan menggunakan proses stokastik) digunakan untuk menentukan distribusi probabilitas total waktu bekerja suatu sistem. Dalam karya ilmiah ini, topik yang dibahas merupakan pemodelan suatu sistem yang berguna untuk menggambarkan mengevaluasi total waktu bekerja sistem itu sendiri pada interval waktu [, t]..2 Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk menentukan distribusi probabilitas total waktu bekerja suatu sistem. 2 LANDASAN TEORI 2. Probabiitas Variabel Acak Definisi 2.. Ruang sampel Ω adalah himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel Ω. Untuk mengukur ketidakpastian suatu kejadian digunakan ukuran probabilitas yang merupakan fungsi himpunan dengan sifst-sifat tertentu. Definisi 2.2. Ukuran probabilitas P pada (F, Ω) merupakan fungsi P : F [, ], dimana F adalah sekumpulan himpunan bagian dari Ω, yang memenuhi. P ( ) =, P (Ω) =. 2. P bersifat aditif tak hingga (aditif lengkap), yaitu jika A, A 2,... F dengan A j A k =, j k, maka P ( i= A i) = i= P (A i). Pasangan (Ω, F, P ) disebut suatu ruang probabilitas. Dua kejadian A B disebut saling bebas (independen) jika P (A B) = P (A) P (B). Secara umum, ( himpunan ) kejadian A i, i I, dengan I adalah suatu himpunan indeks, disebut independen jika P A i = P (A i ), untuk semua himpunan bagian berhingga J I. i J i=j Ada kalanya peluang terjadinya suatu kejadian dipengaruhi oleh kejadian lain (conditional probability). Definisi 2.3. Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi, dinotasikan dengan P (B A), didefinisikan sebagai berikut: P (A B) P (B A) = () P (A) asalkan P (A) >. Selain konsep probabilitas, untuk memodelkan fenomena-fenomena yang mengandung ketidakpastian diperlukan konsep variabel acak. 2

3 Definisi 2.4. Variabel acak X adalah suatu fungsi yang mengaitkan setiap elemen dalam ruang sampel S dengan suatu bilangan real, yakni X (c) = x, dimana c S x adalah suatu bilangan real. Variabel acak X, X2,..., X n dikatakan independen jika untuk setiap a i < bi, i =, 2,..., n berlaku P (a X b,..., a n Xn bn) = n P (a i Xi bi). Suatu variabel acak X dikatakan diskret jika nilainya merupakan bagian dari himpunan yang terbilang (countable). Suatu variabel acak X dikatakan kontinu jika nilainya merupakan bagian dari himpunan yang tak terbilang (uncountable). Fungsi distribusi kumulatif untuk variabel acak X kontinu dapat dinyatakan sebagai: F X (x) = x i= f (u) du ; x R, untuk suatu fungsi f : R [, ) yang dapat diintegralkan. Fungsi distribusi kumulatif untuk variabel acak X diskret dapat dinyatakan sebagai: x F X (x) = f (u). Selanjutnya fungsi f disebut fungsi kepadatan peluang (probability density function) dari X. Misalkan X Y adalah variabel acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersama F X,Y dari X Y didefinisikan sebagai F X,Y (x, y) = P (X x, Y y). Dari fungsi distribusi bersama F X,Y dapat diperoleh fungsi marjinal F X F Y melalui hubungan: 2.2 Rantai Markov Kontinu F X (x) = lim y F X,Y (x, y) F Y (y) = lim x F X,Y (x, y). Misalkan X = {X (t) ; t } adalah suatu koleksi (himpunan) dari variabel acak dengan nilai-nilai di suatu ruang state S yang terbilang (countable) t [, ). Selanjutnya akan diasumsikan bahwa S Z, dimana Z adalah himpunan bilangan bulat. Proses X disebut rantai Markov kontinu jika kondisi berikut ini terpenuhi: P (X (t n ) = j X (t n ) = in,..., X (t ) = i) = P (X (t n ) = j X (t n ) = in ) untuk semua j, i,..., i n S sebarang barisan waktu t < t 2 <... < t n. Dalam rantai Markov kontinu tidak ada matriks transisi n langkah sebagaimana pada rantai Markov diskret karena tidak ada kepastian waktu transisi dari satu state ke state lainnya. Sebagai gantinya akan digunakan matriks generator. Sebelum menjelaskan matriks generator akan dibahas beberapa pengertian pendahuluan. Definisi 2.5. Probabilitas transisi p ij (s, t) dari rantai Markov kontinu X didefinisikan sebagai Rantai Markov disebut homogen jika p ij (s, t) = P (X (t) = j X (s) = i) untuk s t. (2) p ij (s, t) = p ij (, t s), untuk setiap i, j, s, t, (3) ditulis sebagai p ij (t s) untuk p ij (s, t). Untuk selanjutnya rantai Markov X dalam skripsi ini akan dianggap sebagai rantai Markov yang homogen. Matriks dengan ukuran S S dengan elemen-elemen p ij (t) akan dinotasikan dengan P t. 3

4 Teorema 2.. Koleksi {Pt : t } merupakan semigrup stokastik, jika memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:. P = I, matriks identitas. 2. Pt adalah matriks stokastik, yakni Pt mempunyai elemen-elemen yang non negatif jumlah elemen-elemen pada setiap baris sama dengan. 3. Matriks Pt memenuhi persamaan Chapman-Kolmogorov, yakni Ps+t = Ps Pt jika s, t. j. Untuk selanjutnya probabilitas transisi p ij (t) rantai Markov selalu dianggap kontinu untuk setiap i Definisi 2.6. Semigrup {Pt} dikatakan standar jika Pt I untuk t, yaitu p ii (t) p ij (t) untuk i j jika t. Andaikan X (t) = i adalah rantai Markov di state i pada waktu t. Berbagai hal yang dapat terjadi di interval (t, t + h) untuk h yang kecil adalah (a) Tidak akan terjadi transisi dengan probabilitas p ii (h)+o (h), dimana p ii (h) menyatakan probabilitas proses berpindah dari state i kemudian kembali lagi ke state i untuk h yang kecil. (b) Rantai dapat menuju ke state baru dengan probabilitas p ij (h) + o (h). Diasumsikan di sini bahwa probabilitas dari dua atau lebih transisi pada interval (t, t + h) adalah o (h) untuk h kecil akan diaproksimasi sebagai fungsi linier dari h (Grimmett Stirzaker, 992). Dengan demikian, ada {g ij ; i, j S} sedemikian hingga p ij (h) g ij h jika i j, p ii (h) + g ii h. (4) Jelas bahwa g ij untuk i j g ii untuk setiap i. Matriks G = (g ij ) disebut generator dari rantai Markov kontinu mengambil alih peran dari matriks transisi P untuk rantai Markov diskret. Dengan asumsi X (t) = i, kombinasi persamaan (2.5) dengan (a) (b) diperoleh. Tidak terjadi transisi di (t, t + h) dengan probabilitas + g ii h + o (h). 2. Rantai Markov berpindah ke state j ( i) dengan probabilitas g ij h + o (h). Karena diharuskan j p ij (t) = maka = j p ij (h) + h j g ij yang mengakibatkan j g ij = untuk setiap i, atau G = (5) dimana adalah vektor baris yang semua elemennya vektor baris yang semua elemennya. Teorema 2.2. (Persamaan Forward-Kolmogorov) dimana P t adalah matriks dengan elemen-elemen p ij (t). p ij (t) = k p ik (t) g kj, atau P t = Pt G, (6) Dengan mengkondisikan X (t + h) pada X (h) diperoleh teorema sebagai berikut: Teorema 2.3. (Persamaan Backward-Kolmogorov) p ij (t) = k g ik p kj (t), atau P t = GP t. (7) 4

5 Dengan menganggap P = I. Hubungan antara G Pt adalah: {Pt} dapat ditulis sebagai Pt = n= Pt = e tg atau Pt = exp {tg} t n n! Gn (8) dengan G = I. Misalkan X adalah rantai Markov kontinu yang memiliki generator G X (t) = i adalah rantai Markov di state i pada waktu t. Misalkan waktu sampai rantai Markov mengubah statenya (holding time) diberikan oleh: T = inf {s, X (t + s) i}. Proposisi 2.. Holding time T berdistribusi eksponensial dengan parameter g ii. Proposisi 2.2. Probabilitas rantai Markov yang masuk ke state j ( i) adalah g ij / g ii. Definisi 2.7. Vektor π adalah distribusi stasioner dari suatu rantai Markov kontinu jika π j, j π j =, π =πpt untuk setiap t. Proposisi 2.3. π = π Pt untuk setiap t πg = 3 PEMBAHASAN 3. Total waktu Bekerja Sistem yang Dipang Sebagai Sebuah Komponen Anggap sebuah komponen pada setiap waktu dapat dikategorikan dalam keadaan bekerja (up) atau seg diperbaiki (down). Anggap komponen mulai bekerja pada waktu t =. Setelah bekerja selama X satuan waktu, komponen tersebut gagal segera diperbaiki selama Y satuan waktu sehingga komponen tersebut dapat bekerja kembali seperti komponen yang baru. Setelah bekerja lagi selama waktu X 2 komponen gagal lagi diperbaiki kembali selama waktu Y 2. Proses ini berlangsung terus menerus setiap kali selesai dilakukan perbaikan komponen dianggap seperti baru lagi. Barisan (X i, Y i, i ) akan dianggap sebagai barisan vektor acak positif berdistribusi independen identik. Untuk menunjukkan apakah komponen bekerja atau tidak, didefinisikan variabel indikator Z, sebagai berikut {, jika pada waktu s komponen bekerja Z (s) =, jika pada waktu s komponen diperbaiki. Jika Z (t) menyatakan komponen bekerja atau gagal pada waktu t, maka total waktu bekerja sistem pada interval waktu [, t] diberikan U (t) = Total waktu perbaikan D (t) didefinisikan sebagai berikut: t Z (s) ds. (9) U (t) = t D (t). () Dalam skripsi ini akan digunakan notasi untuk fungsi-fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut: F (x) = P (X x), G (y) = P (Y y), H (x, y) = P (X x, Y y), K (ω) = P (X + Y ω). 5

6 Fungsi distribusi kumulatif dari n i= X i n i= Y i dinotasikan dengan F n G n. Transformasi Laplace-Stieltjes dari fungsi distribusi kumulatif F fungsi distribusi bersama H dinotasikan dengan F H yaitu F (β) = H (α, β) = e βx df (x) e (αx+βy) dh (x, y). Transformasi Laplace dari suatu distribusi kumulatif F dinotasikan F, yaitu F (β) = e βx F (x) dx. Jika transformasi Laplace F (β) dari suatu fungsi F (x) diketahui, maka F (x) dapat diperoleh kembali dengan menginversi transformasi Laplace F (β) sebagai berikut: F (x) = 2πi = eαx 2π α+i α i e βx F (β) dβ e ixu F (α + iu) du. Misalkan f (x, y) adalah fungsi bernilai real non-negatif dari x y. Transformasi Laplace ganda dari f (x, y) adalah f (x, y) = f (x, y) e (αx+βy) dxdy dengan α β adalah bilangan real atau komplek, dimana fungsi tersebut dapat diintegralkan. Distribusi dari total waktu perbaikan sistem diformulasikan melalui transformasi Laplace ganda menurut teorema berikut (Suyono, 22) Teorema 3.. Untuk β > [ E e αd(t)] e βt dt = α [ F (β)] + β [ H (β, α + β)] β (α + β) [ H. () (β, α + β)] Sebagai akibat dari teorema ini diperoleh: Proposisi 3.. Untuk β > E [D (t)] e βt dt = F (β) H (β, β) β 2 [ H (β, β)]. (2) 6

7 E [ D 2 (t) ] e βt dt = 2 β 3 [ F (β) H (β, β) H (β, β) β [ F (β)] ye β(x+y) dh (x, y) [ H (β, β)] 2. (3) 3.. Waktu Bekerja Waktu Perbaikan Sistem Berdistribusi Eksponensial Misalkan Xj Yj, j =, 2,..., menyatakan urutan waktu dari waktu bekerja waktu perbaikan dari sebuah komponen. Diasumsikan bahwa barisan (Xj) (Yj) saling independen. Diasumsikan juga variabel acak Xj, j =, 2,..., berdistribusi eksponensial dengan parameter λ, variabel acak Yj, j =, 2,..., berdistribusi eksponensial dengan parameter µ. Fungsi kepadatan peluang dari X j Y j adalah f X (x) = λe λx, x > f Y (y) = µe µy, y >. Karena lama komponen di state berdistribusi eksponensial maka proses (Z (t), t ) menyatakan rantai Markov kontinu dengan state. Generator dari rantai Markov ini adalah (Grimmett Stirzaker, 992) ( ) µ µ G =, λ, µ, λ µ. λ λ Jika π = (π, π ) adalah distribusi stasioner dari rantai Markov, maka berdasarkan Proposisi 2.3 berlaku πg = berdasarkan Definisi 2.7 berlaku π j = π + π =. (4) j Oleh karena itu ( µ µ = (π π ) λ λ ) { µ π +λ π atau = µ π λ π =. Jadi distribusi stasioner π dari rantai Markov ini adalah ( ) λ π = (µ + λ), µ. (6) (µ + λ) Berdasarkan persamaan (8), matriks transisi P (t) untuk rantai Markov ini adalah (5) P (t) = t n n! Gn ( n= ) ( ) ( ) = + (λ+µ) e (λ+µ)t µ µ λ λ ) = λ + µ e (λ+µ)t µ ( e (λ+µ)t ) (λ+µ).3..2 λ ( e (λ+µ)t µ + λ e (λ+µ)t AvailabilitasSistem Misalkan Xj Yj, j =, 2,..., menyatakan urutan waktu dari waktu bekerja waktu perbaikan dari suatu komponen. Diasumsikan bahwa barisan (Xj) (Yj) saling independen. Diasumsikan juga untuk 7

8 setiap j, variabel acak Xj berdistribusi eksponensial dengan parameter λ, variabel acak Yj berdistribusi eksponensial dengan parameter µ. Availabilitas sistem A (t) pada waktu t didefinisikan sebagai A (t) = P (Z (t) = ). Hubungan antara availabilitas sistem A (t) total waktu perbaikan diberikan menurut persamaan: t E [D (t)] = t A (s) ds. (7) Teorema 3.2. Jika suatu sistem memiliki waktu bekerja berdistribusi eksponensial dengan parameter λ waktu perbaikan berdistribusi eksponensial dengan parameter µ, maka availabilitas sistem untuk suatu komponen A (t) diberikan sebagai berikut A (t) = µ µ + λ + λ µ + λ e (µ+λ)t. (8) 3..3 Distribusi Probabilitas Total Waktu Bekerja Sistem Sebuah Komponen Misalkan Xj Yj, j =, 2,..., menyatakan urutan waktu dari waktu bekerja waktu perbaikan suatu sistem. Diasumsikan bahwa barisan (Xj) (Yj) saling independen. Diasumsikan juga variabel acak Xj, j =, 2,..., berdistribusi eksponensial dengan parameter λ, variabel acak Yj, j =, 2,..., berdistribusi eksponensial dengan parameter µ. Dengan menggunakan persamaan (2), persamaan (3), persamaan () diperoleh proposisi sebagai berikut: Proposisi 3.2. E [D (t)] e βt dt = E [ D 2 (t) ] e βt dt = 2 β 3 Invers transformasi Laplace dari persamaan (9) persamaan (2), yaitu E [D (t)] = λ β 2 [β + λ + µ], (9) [ ] λ (λ + β) (β + λ + µ) 2. (2) λt λ + µ λ ( (λ + µ) 2 e (λ+µ)t) (2) E [ D 2 (t) ] = λ2 t 2 + 2λ(µ λ)t + 2λ(λ 2µ)+2λ[2µ λ+µ(λ+µ)t]e (λ+µ)t. (22) (λ+µ) 2 (λ+µ) 3 (λ+µ) 4 Dengan menggunakan persamaan (2) persamaan (22) diperoleh variansi dari total waktu perbaikan sistem Var [D (t)], yaitu Var [D (t)] = E [ D 2 (t) ] {E [D (t)]} 2 = 2λµt + λ(λ 4µ)+2λ[2µ+(µ+λ)(µ λ)t]e (λ+µ)t λ 2 e 2(λ+µ)t. (λ+µ) 3 (λ+µ) 4 (23) Karena U (t) = t D (t), maka E [U (t)] = t E [U (t)] = µt λ+µ + ( ) λ (λ+µ) e (λ+µ)t (24) 2 8

9 E [ U 2 (t) ] = t 2 2tE [D (t)] + E [ D 2 (t) ] = µ2 t 2 + 4λµt + 2λ(λ 2µ)+2λ[2µ λ λ(λ+µ)t]e (λ+µ)t. (λ+µ) 2 (λ+µ) 3 (λ+µ) 4 Berdasarkan persamaan (24) persamaan (25) variansi dari total waktu bekerja sistem Var [U (t)] adalah (25) Var [U (t)] = E [ U 2 (t) ] {E [U (t)]} 2 = 2λµt + λ(λ 4µ)+2λ[2µ+(µ+λ)(µ λ)t]e (λ+µ)t λ 2 e 2(λ+µ)t. (λ+µ) 3 (λ+µ) 4 (26) 3.2 DISTRIBUSI PROBABILITAS TOTAL WAKTU BEKERJA SISTEM YANG TERDIRI DARI n 2 KOMPONEN YANG INDEPENDEN Di dalam bab ini akan dibahas distribusi probabilitas total waktu bekerja sistem yang terdiri dari n 2 komponen yang saling independen secara stokastik. Pertama akan dibahas kasus dimana waktu-waktu bekerja waktu-waktu perbaikan dari komponen-komponen berdistribusi eksponensial. Selanjutnya akan dibahas kasus dimana waktu-waktu bekerja waktu-waktu perbaikan dari komponen-komponen berdistribusi sebarang. Anggap suatu sistem terdiri dari n 2 komponen yang saling independen, dimana komponen-komponennya terdiri dari dua state, yaitu (jika komponen dalam perbaikan) (jika komponen seg bekerja). Anggap komponen-komponen mulai bekerja pada waktu t =. Komponen ke-i, i =, 2,..., n, bekerja selama Xi satuan waktu. Apabila komponen tersebut gagal maka segera diperbaiki selama Yi satuan waktu. Setelah bekerja lagi selama Xi2 komponen gagal lagi diperbaiki lagi selama Yi2. Proses ini berlangsung terus menerus setiap selesai dilakukan perbaikan komponen-komponen tersebut dianggap seperti baru lagi. Misalkan Zi (t), i =, 2,..., n, menyatakan state dari komponen ke-i. Maka total waktu bekerja sistem pada interval waktu [, t] adalah U (t) = t I n (Z (s),..., Zn (s)) ds (27) dimana n merupakan vektor dengan elemen semuanya satu sebanyak n I A menyatakan fungsi indikator Sistem yang Terdiri dari n Komponen dengan Waktu Bekerja Waktu Perbaikan Berdistribusi Eksponensial Misalkan Xij Yij, i =, 2,..., n; j =, 2,..., menyatakan waktu-waktu bekerja waktu-waktu perbaikan dari komponen-komponen. Diasumsikan bahwa barisan (Xij) (Yij) saling independen. Diasumsikan juga untuk setiap i, variabel acak Xij, j =, 2,..., berdistribusi eksponensial dengan parameter λ i variabel acak Yij, j =, 2,..., berdistribusi eksponensial dengan parameter µ i. Maka proses (Z i (t), t ), i =, 2,..., n, merupakan rantai Markov kontinu dengan state. Generator-generator untuk rantai Markov ini adalah ( ) µi µ G i = i, λ λ i λ i, µ i, λ i µ i. i Misalkan Yn (t) = (Z (t), Z2 (t),..., Zn (t)). Maka Yn (t) = (Yn (t), t ) merupakan rantai Markov dengan waktu kontinu di I = {, } n, 9

10 yaitu himpunan dari vektor-vektor baris dengan panjang n yang mempunyai elemen-elemen atau. Misalkan a I adalah state dari rantai Markov Yn. Maka dimana ε j (a) {, }, j =, 2,..., n. Generator a = (ɛ (a), ɛ 2 (a),..., ɛ n (a)), G = (g ab ) a,b I dari rantai Markov Yn mempunyai sifat-sifat sebagai berikut. Anggap b = (ɛ (b), ɛ 2 (b),..., ɛ n (b)). Jika a b mempunyai dua atau lebih elemen yang berbeda, maka g ab = g ba =. Jika a b hanya memiliki satu elemen yang berbeda, maka ada indeks j sedemikian hingga ɛ i (a) = ɛ i (b) untuk semua i j Misalkan Maka ɛ j (a) = ɛ j (b). v i, = λi v i, = µ i. g ab = v j,ɛj (b) g ba = v j,ɛj (a). Lemma 3.. Vektor π = (π a ) a I dengan π a = v,ɛ (a) v 2,ɛ2 (a)... v n,ɛn (a) merupakan distribusi stasioner dari rantai Markov Yn. n i= λi + µ i Sebagai akibat dari Lemma 4.. diperoleh proposisi berikut (Suyono, 22) Proposisi 3.3. Misalkan U (t) adalah total waktu bekerja dari suatu sistem dengan n komponen yang independen secara stokastik. Misalkan bahwa komponen ke- i, i =, 2,...n mempunyai total waktu bekerja total waktu perbaikan yang saling independen masing-masing berdistribusi eksponensial dengan parameter λi µ i. Maka (a) n E π µ i [U (t)] = t, λi + µ i dimana E π menyatakan nilai harapan dengan π distribusi stasioner dari rantai Markov. (b) Dengan probabilitas, U (t) n µ i untuk t. t λi + µ i i= 3.3 Sistem dengan Dua Komponen Misalkan Xij Yij, i =, 2; j =, 2..., menyatakan waktu-waktu bekerja waktu-waktu perbaikan dari komponen-komponen. Diasumsikan bahwa barisan (Xij) (Yij) saling independen. Diasumsikan juga variabel acak Xij, j =, 2..., berdistribusi eksponensial dengan parameter λ i, variabel acak Yij, j =, 2..., berdistribusi eksponensial dengan parameter µ i. Karena lama komponen-komponen i=

11 di state berdistribusi eksponensial maka proses (Z i (t), t ), i =, 2, merupakan rantai-rantai Markov kontinu dengan ruang state I = {,,, }. Generator dari rantai Markov ini adalah (µ + µ 2 ) µ 2 µ G = λ 2 (µ + λ 2 ) µ λ (µ 2 + λ ) µ 2. λ λ 2 (λ + λ 2 ) 3.3. Probabilitas Transisi Misalkan π = (π, π, π, π ) adalah distribusi stasioner dari rantai Markov. Maka menurut Proposisi 2.3 berlaku πg = (28) menurut Definisi 2.7 berlaku π a = π + π + π + π =. (29) a I Jadi distribusi stasioner π dari rantai Markov ini adalah π = (µ + λ ) (µ 2 + λ 2 ) (λ λ 2, µ 2 λ, µ λ 2, µ µ 2 ). (3) Menurut persamaan (8), matriks transisi P (t) untuk rantai Markov ini adalah P (t) = P + P 2 e (λ+µ)t +P 3 e (λ2+µ2)t +P 4 e (λ+µ+λ2+µ2)t (λ + µ ) (λ 2 + µ 2 ) (3) dengan P 2 = P 3 = P 4 = P = π, µ λ 2 µ µ 2 µ λ 2 µ µ 2 µ λ 2 µ µ 2 µ λ 2 µ µ 2 λ λ 2 λ µ 2 λ λ 2 λ µ 2 λ λ 2 λ µ 2 λ λ 2 λ µ 2 µ 2 λ µ 2 λ µ µ 2 µ µ 2 λ λ 2 λ λ 2 µ λ 2 µ λ 2 µ 2 λ µ 2 λ µ µ 2 µ µ 2 λ λ 2 λ λ 2 µ λ 2 µ λ 2 µ µ 2 µ µ 2 µ µ 2 µ µ 2 µ λ 2 µ λ 2 µ λ 2 µ λ 2 µ 2 λ µ 2 λ µ 2 λ µ 2 λ λ λ 2 λ λ 2 λ λ 2 λ λ 2 Probabilitas transisi dari state pada waktu ke state pada waktu t adalah P, (t) = (λ +µ )(λ 2 +µ 2 ) [µ µ 2 + µ 2 λ e (λ +µ )t + µ λ 2 e (λ 2+µ 2 )t +λ λ 2 e (λ +λ 2 +µ +µ 2 )t ] (32) Perhatikan juga bahwa P, (t) merupakan availabilitas suatu sistem yang terdiri dari dua komponen pada waktu t.,,.

12 3.3.2 Distribusi Probabilitas Total Waktu Bekerja Sistem dengan Dua Komponen Di bawah distribusi stasioner menurut Proposisi 3.3 (a) berlaku E π [U (t)] = π t = Momen kedua dari U (t) di bawah distribusi stasioner adalah E π [ U 2 (t) ] = E π t = 2 t s µ µ 2 (λ + µ ) (λ 2 + µ 2 ) t. {} Y 2 (s) ds 2 P π (Y (r) =, Y (s) = ) drds µ µ 2 = 2 (λ + µ ) (λ 2 + µ 2 ) Dengan menggunakan persamaan (32) diperoleh dengan t s E π [ U 2 (t) ] = (π t) 2 + σ 2 t + r (t) P, (s r) drds. [ σ 2 µ µ 2 λ λ 2 = 2 ((λ + µ ) (λ 2 + µ 2 )) 2 (λ + λ 2 + µ + µ 2 ) + λ µ 2 (λ + µ ) + µ ] λ 2 (λ 2 + µ 2 ) r (t) = λ ( λ 2 e (λ +λ 2 +µ +µ 2 )t ) (λ + λ 2 + µ + µ 2 ) 2 + λ ( µ 2 e (λ +µ )t ) (λ + µ ) 2 + µ ( λ 2 e (λ 2 +µ 2 )t ) (λ 2 + µ 2 ) 2. Variansi dari U (t) di bawah distribusi stasioner diperoleh Var π [U (t)] = σ 2 t + r (t). (33) Dari persamaan (33) diperoleh Var π [U (t)] lim = σ 2. (34) t t 3.4 Sistem yang Terdiri dari n Komponen dengan Waktu Bekerja Waktu Perbaikan Berdistribusi Sebarang Secara umum sulit untuk memperoleh ekspresi yang tepat untuk distribusi total waktu bekerja sistem yang terdiri dari n 2 komponen dimana waktu-waktu bekerja waktu-waktu perbaikan dari komponen berdistribusi sebarang. Dalam beberapa kasus mungkin untuk memperoleh ekspresi dari nilai harapan dari total waktu bekerja suatu sistem. Diasumsikan bahwa untuk setiap i, variabel acak Xij, j =, 2,..., mempunyai fungsi distribusi Fi, variabel acak Yij, j =, 2,..., mempunyai fungsi distribusi Gi. Notasikan dengan Fi Gi transformasi Laplace-Stieltjes dari Fi Gi. A (i) (t) adalah availabilitas sistem dari komponen ke-i pada waktu t. Dari persamaan (27), nilai harapan dari total waktu bekerja sistem, E [U (t)], adalah E [U (t)] = t n i= 2 A (i) (s) ds. (35)

13 Dalam beberapa kasus didapat ekspresi analitik untuk availabilitas sistem, yang dapat diperoleh dengan menginversikan transformasi Laplace yang diberikan oleh persamaan (7) sebagai berikut A (i) (t) e βt Fi (β) dt = β [ Fi (β) Gi (β)], (36) Sebagai contoh ambil n = 2. Misalkan Xj berdistribusi eksponensial dengan parameter 2 Yj berdistribusi eksponensial dengan parameter 3. Misalkan juga bahwa X2j berdistribusi Gamma (2,2) yang mempunyai fungsi kepadatan peluang f (x) = 4xe 2x, x Y2j berdistribusi Gamma (3,2). Dengan menggunakan persamaan (36), diperoleh A () (t) = e 5t A (2) (t) = e 5t + 69 e 5 2 t [23 cos Dengan menggunakan persamaan (35) diperoleh 4 PENUTUP 4. kesimpulan E [U (t)] = [ 43 [ ( ) 23 t sin 2 23 t ) t 7 25 e 5t ] 375 e t e 5 2 t e 5 2 t cos ( 2 23 e 5 2 t e 5 2 t ] 23 sin ( 2 23 t ). ( )] 23 t. 2 Setelah mengetahui distribusi probabilitas dari total waktu bekerja suatu sistem yang telah dibahas pada bab sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa:. Misalkan Xj Yj, j =, 2,..., menyatakan waktu-waktu bekerja waktu-waktu perbaikan dari sebuah komponen. Diasumsikan bahwa barisan (Xj) (Yj) saling independen. Diasumsikan juga variabel acak Xj, j =, 2,..., berdistribusi eksponensial dengan parameter λ, variabel acak Yj, j =, 2,..., berdistribusi eksponensial dengan parameter µ. Maka (Z (t), t ) menyatakan rantai Markov kontinu dengan state (komponen dalam perbaikan) (komponen seg bekerja). Nilai harapan variansi total waktu bekerja suatu sistem adalah Var [U (t)] = E [U (t)] = µt λ+µ + ( ) λ (λ+µ) e (λ+µ)t 2 2λµt + λ(λ 4µ)+2λ[2µ+(µ+λ)(µ λ)t]e (λ+µ)t λ 2 e 2(λ+µ)t. (λ+µ) 3 (λ+µ) 4 2. Misalkan Xij Yij, i =, 2,..., n; j =, 2,..., menyatakan waktu-waktu bekerja waktuwaktu perbaikan dari komponen-komponen. Diasumsikan bahwa barisan (Xij) (Yij) saling independen. Diasumsikan juga variabel acak Xij, j =, 2,..., berdistribusi eksponensial dengan parameter λ i variabel acak Yij, j =, 2,..., berdistribusi eksponensial dengan parameter µ i. Maka (Z (t), t ), i =, 2,..., n, adalah rantai Markov kontinu dengan ruang state I = {, } n, yaitu himpunan dari vektor-vektor baris sebanyak n yang mempunyai elemen-elemen atau. Nilai harapan dari total waktu bekerja sistem dengan π distribusi stasioner dari rantai Markov adalah E π [U (t)] = n i= µ i λi + µ i t. 3

14 4.2 Saran Berdasarkan hasil dari penulisan karya ilmiah ini, pembaca dapat melanjutkan pembahasan untuk mencari. Distribusi dari total waktu bekerja suatu sistem dengan n komponen berdistribusi sebarang, terutama dalam mencari variansi dari total waktu bekerja suatu sistem. 2. Penerapan distribusi dari total waktu bekerja suatu sistem dalam big industri, penerbangan, transportasi, lain-lain. DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard., Corres, Chris., 22, Aljabar Linier Elementer Versi Aplikasi, Penerbit Erlangga, Jakarta. Barlow, E. Richard., Prochan, Frank., 975, Statistical Theory of Reliability and Life Testing, Hold, Rinehart, and Winston, New York. Billingsley, P., 995, Probability and Measure, Edisi ketiga, John Wiley and Sons, New York. Chung, K. L., 983, Elementary Probability Theory with Stochastic Processes, Springer, New Delhi. Grimmett, G. R., Stirzaker, D. R., 997, Probability and Random Processes, Clarendon Pres, Oxford. Iosifescu, M., 98, Finite Markov Processes and Their Applications, John Wiley and Sons, Newyork. Kent Nagle, R., Saff, B. Edward., 992, Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems, Adison-Wesley Publishing Company, Newyork. Kreyszig, E., 993, Matematika Teknik Lanjutan, Edisi Keenam, Buku, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. Lawrence, S. AFT., 998, Fundamentals of Industrial Quality Control, Edisi Ketiga, St Lucie Press, Newyork. Ross, S. M., 996, Stochastic Processes, John Wiley and Sons, New York. Spiegel, M. R., 999, Seri Buku Schaum Teori Soal-Soal Transformasi Laplace, Penerbit Erlangga, Jakarta. Suyono, 23, Diktat Kuliah Proses Stokastik, Universitas Negeri Jakarta, Jakarta. Suyono, 22, Renewal Processes and Repairable Systems, DUP Science, Netherlands. Trindade, D. C., Tobias, P. C., 995, Applied Reliability, Edisi kedua, Chapman and Hall, Newyork. Markov process. transform. ziyu/ctc. 4