PENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL

Transkripsi

1 PENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL Vania Mutiarani 1, Adi Setiawan, Hanna Arini Parhusip 3 1 Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW, 3 Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW S [email protected], [email protected], 3 [email protected] Abstrak Dalam penelitian statistik, sering diselidiki hubungan antara dua atau lebih variabel, apakah ada hubungan sebab-akibat atau tidak. Pada paper ini, data yang diambil adalah data SUSENAS tahun 011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel n = 30 sehingga akan diselidiki hubungan antara pendapatan sebagai variabel Y dengan pengeluaran sebagai variabel X. Hubungan sebab-akibat tersebut dapat membentuk garis regresi berbentuk linier yang tidak dapat ditentukan secara tepat, sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier. Untuk mengestimasi parameter tersebut digunakan model regresi linier Bayesian yaitu dengan distribusi prior konjugat p β, ς = p ς p β ς dengan p ς ~Inv Gamma(a 0, b 0 ) dan p β ς ~N(μ 0, ς Λ 0 1 ) dan distribusi posterior p(β, ς y, X) p ς y, X p(β ς, y, X) dengan p ς y, X ~Inv Gamma(a n, b n ) dan p(β ς, y, X)~N(μ n, ς X T X + Λ 0 1 ). Kemudian dirancang rantai Markov dari distribusi posterior dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi dan diperoleh taksiran parameter yang merupakan rata-rata dari nilai Gibbs sampler yaitu ς = , β 0 =.101 dan β 1 = Dari nilai-nilai Gibbs sampler yang telah didapatkan, dihasilkan fungsi densitas untuk masing-masing parameter sehingga interval kepercayaan Bayesian (interval kredibel) 95% untuk taksiran parameter ς adalah ( , ), untuk β 0 yaitu (1.607,.601) dan (0.68, ) untuk parameter β 1. Kata kunci: model regresi linier Bayesian, estimasi parameter, interval kredibel I. PENDAHULUAN I.1. Latar Belakang Dalam penelitian statistik, sering diselidiki hubungan antara dua atau lebih variabel, apakah ada hubungan sebab-akibat atau tidak. Analisis regresi linier adalah salah satu bagian dari statistik yang merupakan suatu analisis terhadap persamaan regresi dimana hubungan variabel independen dan dependen berbentuk garis lurus (Sembiring, 003). Garis lurus tersebut disebut juga garis regresi yang tidak dapat ditentukan secara tepat, sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier. Metode yang biasa digunakan untuk mengestimasi parameter adalah metode kuadrat terkecil. Namun ada cara lain, yaitu menggunakan model regresi linier Bayesian. Dalam statistik, regresi linier Bayesian merupakan pendekatan untuk regresi linier dimana analisis statistik yang dilakukan dalam konteks inferensi Bayesian (Web 1). Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema Kontribusi Pendidikan Matematika dan Matematika dalam Membangun Karakter Guru dan Siswa" pada tanggal 10 November 01 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

2 Untuk mendapatkan taksiran parameter, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior dengan bantuan Gibbs sampling. Interval kepercayaan adalah suatu kisaran nilai yang dianggap mengandung nilai parameter populasi yang sebenarnya (Fauzy, 008). Interval kepercayaan dapat digunakan sebagai taksiran suatu parameter dan dapat pula dipandang sebagai pengujian hipotesis, yaitu apakah suatu parameter sama dengan suatu nilai tertentu (Sembiring, 003). Dalam statistik Bayesian, interval kepercayaan Bayesian (interval kredibel) merupakan interval di dalam domain dari distribusi probabilitas posterior yang digunakan untuk penaksiran interval (Web ). Dalam penelitian ini akan dijelaskan bagaimana penerapan model regresi linier Bayesian untuk mengestimasi parameter dan interval kepercayaan Bayesian (interval kredibel) dengan mengambil data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun 011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel n = 30. II. DASAR TEORI II.1. Regresi Linier Bayesian Dalam statistik, regresi linier Bayesian merupakan pendekatan untuk regresi linier dimana analisis statistik yang dilakukan dalam konteks inferensi Bayesian (Web 1). Saat model regresi memiliki error yang berdistribusi normal, dan jika bentuk khusus dari distribusi prior diasumsikan, hasil eksplisit tersedia untuk distribusi probabilitas posterior dari parameter model. II.. Model Dalam konteks model regresi linier, y disebut sebagai variabel dependen, dan X variabel independen. Dalam notasi matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai (Lancaster, 003) y = Xβ + ε (1) dengan y adalah vektor kolom, untuk pengamatan i = 1,, n dipunyai nilai y; X adalah matriks n k, untuk j = 0,, k; β adalah vektor kolom dari turunan parsial k yaitu β j, dan vektor kolom ε berisi sebanyak n error sehingga y = y i = y 1 y y n, X = β = β j = 1 x 11 x 1 x 1k 1 x 1 x x k, 1 x n1 x n x nk β 0 β 1 β k, ε = ε i = ε 1 ε ε n. Berdasar pada persamaan (1), model regresi linier dengan intersep dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai y = x i T β + ε i () Yogyakarta, 10 November 01 MS - 54

3 dengan vektor x T i merupakan tiap baris dari matriks X yang berdimensi n k. Pada 1 x 1 paper ini, k = 1 karena X hanya 1 variabel. Oleh karena itu, x T 1 x i = 1 x i = 1 x n untuk i = 1,, n dan vektor β = β 0 β 1 dan ε i saling bebas dan berdistribusi identik, yaitu normal dengan mean nol dan variansi ς, dinotasikan dengan ε i ~N 0, ς. Persamaan () dapat ditulis ulang menjadi : y i = 1 x i β 0 β 1 + ε i y i = β 0 + β 1 x i + ε i. (3) Persamaan (3) merupakan model regresi linier dengan intersep. Untuk memudahkan dalam penulisan, x T i selanjutnya ditulis sebagai X. Galat (error) ε i berdistribusi normal, sehingga y i X, β, ς juga berdistribusi normal (Puspaningrum, 008) dengan E y i = β 0 + β 1 x i dan V y i = ς. Jadi y i X, β, ς ~N β 0 + β 1 x i, ς dengan fungsi kepadatan probabilitas : p y i X, β, ς = 1 πς exp 1 y Xβ ς Kemudian fungsi likelihood didefinisikan sebagai : p y X, β, ς = p y i X, β, ς = n i=1 n i=1 1 πς exp 1 ς y Xβ T y Xβ = ς n/ exp 1 ς y Xβ T y Xβ Jadi, fungsi likelihood : p y X, β, ς ς n/ exp 1 ς y Xβ T y Xβ. (4) II.3. Distribusi Prior Konjugat Prior konjugat adalah suatu prior yang jika dikombinasikan dengan fungsi likelihood akan menghasilkan suatu posterior dengan distribusi yang sama dengan distribusi prior (Gelman, 006). Karena log-likelihood kuadratik dalam β, log-likelihood ditulis ulang sedemikian rupa sehingga likelihood menjadi normal dalam (β β) dengan β = X T X 1 X T y. Ditulis y Χβ T y Χβ = y Χβ T y Χβ + β β T X T X (β β). Likelihood ditulis ulang menjadi p y X, β, ς ς v/ exp vs ς ς (n v)/ exp 1 ς β β T X T X β β (5) Yogyakarta, 10 November 01 MS - 55

4 dengan vs = y Χβ T y Χβ, dan v = n k, k merupakan jumlah koefisien regresi. Dilihat dari persamaan (5), hal ini menunjukkan suatu bentuk untuk prior : p β, ς = p ς p β ς (6) dengan ς berdistribusi Inv Gamma(a 0, b 0 ) dengan a 0 = v 0 / dan b 0 = v 0 s 0 dengan v 0 dan s 0 diperoleh dari informasi awal atau ditentukan secara subyektif. Kepadatan prior ditulis sebagai p ς ς v 0/+1 exp v 0s 0 ς. Lebih lanjut, prior bersyarat β ς berdistribusi normal yang dinotasikan sebagai N(μ 0, ς Λ 0 1 ) dengan μ 0 ditentukan secara subyektif, dan memiliki kepadatan prior bersyarat : p(β ς ) ς k/ exp 1 ς β μ 0 T Λ 0 β μ 0. II.4. Distribusi Posterior Untuk menyatakan distribusi posterior, digunakan teorema Bayes yaitu dapat dinyatakan sebagai berikut (Lancaster, 003) Posterior Likelihood Prior sehingga dengan likelihood (persamaan (4)) dan prior yang telah ditentukan pada persamaan (6), distribusi posterior dapat dinyatakan sebagai p(β, ς y, X) p y X, β, ς p ς p(β ς ) (7) ς n/ exp 1 ς y Χβ T y Χβ ς a 0+1 exp b 0 ς ς k/ exp 1 β μ ς 0 T Λ 0 β μ 0. Dengan beberapa pengaturan ulang, posterior pada persamaan (7) dapat ditulis ulang sehingga mean posterior μ n dari vektor parameter β dapat dinyatakan dalam estimator kuadrat terkecil β dan mean prior μ 0 dengan kekuatan dari prior ditunjukkan oleh matriks prior presisi Λ 0 = 1/ς μ n = X T X + Λ 1 0 (X T Xβ + Λ 0 μ 0 ). (8) Untuk membenarkan bahwa μ n memang mean posterior, istilah kuadrat dalam eksponensial dapat diatur kembali sebagai bentuk kuadrat dalam β μ n y Χβ T y Χβ + β μ T 0 Λ 0 β μ 0 = β μ T n X T X + Λ 0 β μ n + y T T y μ n X T X + Λ 0 μ n + μ T 0 Λ 0 μ 0. Selanjutnya, posterior dapat dinyatakan sebagai distribusi normal dikalikan dengan distribusi invers-gamma : p(β, ς y, X) ς k/ exp 1 ς β μ n T X T X + Λ 0 β μ n ς (n+v 0)/ 1 exp b 0 + y T y μ n T X T X + Λ 0 μ n + μ 0 T Λ 0 μ 0 ς Oleh karena itu, distribusi posterior dapat diparameterisasi sebagai berikut : p(β, ς y, X) p(β ς, y, X)p ς y, X (9) dengan kedua faktor sesuai dengan kepadatan dari distribusi N μ n, ς X T X + Λ 0 1 dan Inv Gamma(a n, b n ) dengan parameternya diberikan oleh Yogyakarta, 10 November 01 MS - 56

5 Λ n = X T X + Λ 0, a n = 1 (n + v 0), b n = b (yt y + μ 0 T Λ 0 μ 0 μ n T Λ n μ n ). Berdasarkan parameter di atas, persamaan (8) diperbarui sesuai konteks Bayesian menjadi μ n = Λ n 1 X T Xβ + Λ 0 μ 0 = X T X + Λ 0 1 X T y + Λ 0 μ 0. (10) II.5. MCMC (Markov Chain Monte Carlo) Salah satu cara untuk merancang rantai Markov yaitu dari distribusi posterior dengan p ς y, X ~Inv Gamma(a n, b n ) dan p β ς, y, X ~N μ n, ς X T X + Λ 0 1 yaitu dengan Gibbs Sampling yang menghasilkan rantai Markov oleh sampling dari distribusi bersyarat. Sebelumnya, disusun distribusi prior konjugat dengan p ς ~Inv Gamma(a 0, b 0 ) dengan a 0 = v 0 / dan b 0 = v 0 s 0 dengan v 0 dan s 0 ditentukan secara subyektif dan p β ς ~N(μ 0, ς Λ 0 1 ) dengan μ 0 ditentukan secara subyektif dan prior presisi Λ 0 = 1/ς dengan memilih nilai ς. Jika ς ~Inv Gamma(a n, b n ), maka : ς y, X~Inv Gamma 1 n + v 0, b yt y + μ 0 T Λ 0 μ 0 μ n T Λ n μ n (*) Jika β 0, β 1 ~BVN(μ 1, μ, ς 1, ς, ρ), (Bain et al., 1991) maka : 1. Distribusi dari β 0 bersyarat pada β 1 = β 1 0 β 0 β 1 0 ~N μ 1 + ρ ς 1 ς β 1 0 μ, ς 1 1 ρ. (**). Distribusi dari β 1 bersyarat pada β 0 = β 0 0 β 1 β 0 0 ~N μ + ρ ς ς 1 β 0 0 μ1, ς 1 ρ, (***) Diberikan ς dan vektor β yang tidak diketahui : β = (β 0, β 1 ) 1. Dipilih nilai awal ς (0), β 0 0, β1 0. Sampel ς (1) dari p ς (1) y, X sehingga ς (1) y, X memenuhi (*) Sampel β 0 1 dari p β0 1 ς (1), β 1 0, y, X sehingga β0 1 ς (1), β 1 0 memenuhi (**) Sampel β 1 1 dari p β1 1 ς (1), β 0 1, y, X sehingga β1 1 ς (1), β 0 1 memenuhi (***) 3. Langkah diulangi sebanyak 1000 kali (untuk mendapat hasil yang lebih akurat, dilakukan iterasi sebanyak lebih dari 1000 kali) 4. Akhirnya didapatkan sampel dari p ς y, X dan p(β ς, y, X) dalam bentuk rantai Markov. II.6. Interval Kredibel (Interval Kepercayaan Bayesian) Dalam statistik Bayesian, interval kredibel 1 α 100% merupakan interval di dalam domain dari distribusi probabilitas posterior yang digunakan untuk penaksiran interval (Web ). Salah satu metode untuk mengestimasi interval kredibel yang paling mudah digunakan adalah interval kredibel dua ekor (Johnson, 009). Interval kredibel dua ekor disusun dengan menemukan kuantil α/ dan 1 α/ dengan tingkat signifikansi α. Yogyakarta, 10 November 01 MS - 57

6 III. METODE PENELITIAN Data yang diambil dalam penelitian adalah data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun 011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel n = 30. Dalam melakukan perhitungan, digunakan alat bantu program WinBUGS Langkah-langkah penyelesaian untuk mengestimasi parameter dan interval kredibel menggunakan model regresi linier Bayesian sebagai berikut : 1. Merancang rantai Markov dari distribusi posterior p(β, ς y, X) p ς y, X p(β ς, y, X) dengan p ς y, X ~Inv Gamma(a n, b n ) dan p(β ς, y, X)~N(μ n, ς X T X + Λ 1 0 ) yaitu dengan Gibbs Sampling yang menghasilkan 3 rantai Markov dengan iterasi sebanyak 5000 yaitu untuk taksiran parameter ς, β 0 dan β 1.. Taksiran parameter ς, β 0 dan β 1 diperoleh dengan mencari rata-rata dari nilai Gibbs sampler. 3. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut, dihasilkan fungsi densitas untuk ς berdistribusi invers-gamma dan β 0, β 1 berdistribusi normal. 4. Mencari interval kredibel 95% untuk masing-masing taksiran parameter dengan tingkat signifikansi α = 0.05 berdasar pada fungsi densitas. IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Data yang digunakan dalam penelitian merupakan nilai logaritma dari data asli dengan pendapatan sebagai variabel dependen y terhadap pengeluaran sebagai variabel independen X dengan pengamatan n = 30 dinyatakan pada Tabel 1. Tabel 1. Data Pendapatan dan Pengeluaran Y X log(y) log(x) ,6667 6,43 5, , ,569 6, ,667 6,7810 6, ,667 6,554 6, , ,154 5, ,8845 6, , ,667 6,7984 6, ,667 6,7745 6, ,333 6,7597 6, , ,3333 6,117 5, , ,6667 6,176 5, ,3333 6,018 5, , ,333 6,8936 6, , ,3333 6,1663 5, ,5441 6, ,5378 6, , ,333 6,8039 6, , ,333 6,6685 6, , ,6969 6,539 Yogyakarta, 10 November 01 MS - 58

7 ,8493 6, , ,7075 6, ,0881 5, , ,507 6, , ,387 6, ,6667 6,504 5, , ,6187 6, , ,4854 6, ,333 6,4699 6, , ,6667 6,078 5, , ,559 6,1113 Diagram pencar data asli pada Tabel 1 ditampilkan oleh Gambar 1. 8 x Gambar 1. Diagram Pencar Data Asli Sedangkan diagram pencar untuk data logaritma dari data asli ditunjukkan oleh Gambar x Gambar. Diagram Pencar Data Logaritma Dari Data Asli Yogyakarta, 10 November 01 MS - 59

8 Dari Gambar terlihat sebaran data cenderung berada di sekitar garis lurus maka dapat dikatakan hubungan antara kedua peubah tersebut membentuk pola linier. Karena data-data tersebut menunjukkan hubungan linier maka selanjutnya dapat ditentukan persamaan regresi dugaannya. Untuk mendapatkan taksiran β = (β 0, β 1 ) berdasarkan metode kuadrat terkecil, nilai-nilai log (X) dan log (Y) dimasukkan ke dalam persamaan β = X T X 1 X T y dengan X = [1; log X ] dan y = log (Y) sehingga diperoleh nilai β 0 = dan β 1 = Jadi persamaan garis regresi dugaan adalah y i = x i. Diagram pencar data dan persamaan garis regresi y i ditampilkan pada Gambar Gambar 3. Garis Regresi dengan Metode Kuadrat Terkecil Selanjutnya untuk mendapatkan estimasi parameter ς dan β = (β 0, β 1 ) dengan model regresi linier Bayesian, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior p(β, ς y, X) p ς y, X p(β ς, y, X) dengan p ς y, X ~Inv Gamma(a n, b n ) dan p(β ς, y, X)~N(μ n, ς X T X + Λ 0 1 ) yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi. 1. Taksiran Parameter ς dan Interval Kredibel ς Dilakukan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi untuk mendapatkan taksiran parameter ς yang berdistribusi Inv Gamma(a n, b n ) dengan memilih nilai awal ς 0 = 1. Kemudian dengan memotong 500 iterasi pertama, diperoleh hasil: node mean sd MC error.5% median 97.5% start sample sigma E Rantai Markov untuk taksiran parameter ς sebagai berikut: Yogyakarta, 10 November 01 MS - 60

9 Gambar 9. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter ς Gambar 9 menunjukkan nilai-nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 nilai yang membentuk rantai Markov. Dengan mencari rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler tersebut, maka diperoleh hasil taksiran parameter ς = berdasarkan nilai-nilai Gibbs sampler tersebut, dihasilkan fungsi densitas pada Gambar 10 sehingga interval kredibel 95% untuk taksiran ς adalah ( , ). Gambar 10. Fungsi Densitas Parameter ς. Taksiran Parameter β 0 dan Interval Kredibel β 0 Dipilih nilai awal β 0 0 = 0. Dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi dan memotong 500 iterasi pertama untuk taksiran β 0 yang berdistribusi normal, didapatkan hasil: node mean sd MC error.5% median 97.5% start sample beta Rantai Markov untuk taksiran β 0 ditunjukkan pada gambar di bawah ini : Yogyakarta, 10 November 01 MS - 61

10 Gambar 4.Rantai Markov untuk Taksiran Parameter β 0 Berdasarkan Gambar 4, taksiran parameter β 0 didapat dengan mencari rata-rata dari nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 dan menghasilkan nilai taksiran β 0 =.101. Dari nilai-nilai Gibbs sampler yang telah dihitung, menghasilkan fungsi densitas pada Gambar 5, sehingga diperoleh interval kredibel 95% yaitu (1.607,.601). Gambar 5. Fungsi Densitas Parameter β 0 3. Taksiran Parameter β 1 dan Interval Kredibel β 1 Untuk memperoleh taksiran parameter β 1 yang berdistribusi normal, dipilih nilai awal β 1 0 = 0 kemudian dengan melakukan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi dan memotong 500 iterasi pertama didapatkan hasil : node mean sd MC error.5% median 97.5% start sample beta E Rantai Markov untuk taksiran β 1 sebagai berikut: Yogyakarta, 10 November 01 MS - 6

11 Gambar 6. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter β 1 Dengan mencari rata-rata dari nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 iterasi yang ditunjukkan pada Gambar 6, didapat nilai taksiran β 1 = dan menghasilkan fungsi densitas pada Gambar 7. Jadi, interval kredibel 95% untuk parameter β 1 yaitu (0.68, ). Gambar 7. Fungsi Densitas Parameter β 1 Selanjutnya, dengan estimasi parameter β = (.101, 0.708) dibentuk persamaan garis regresi dugaan: y i = x i. Diagram pencar data dan persamaan garis regresi ditampilkan pada Gambar Gambar 8. Garis Regresi dengan Metode Bayesian Yogyakarta, 10 November 01 MS - 63

12 V. KESIMPULAN Dari hasil penelitian tentang data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun 011 dari BPS Salatiga yaitu data logaritma dari data pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel n = 30 yang telah diperoleh pada pembahasan, dapat disimpulkan bahwa : - Untuk mendapatkan estimasi parameter ς, β 0, dan β 1 dirancang rantai Markov dari distribusi posterior p(β, ς y, X) p ς y, X p(β ς, y, X) dengan p ς y, X ~Inv Gamma(a n, b n ) dan p(β ς, y, X)~N(μ n, ς X T X + Λ 0 1 ) yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi. Diperoleh nilai-nilai Gibbs sampler sebanyak 5000 (untuk masing-masing parameter), dan setelah dirata-rata, didapat nilai taksiran ς = , β 0 =.101, dan β 1 = Dengan tingkat signifikansi α = 0.05, interval kredibel 95% untuk masing-masing taksiran ς, β 0, dan β 1 merupakan interval dimana terdapat taksiran parameternya. Dari nilai-nilai Gibbs sampler yang ada, dihasilkan fungsi densitas untuk ς yang berdistribusi invers-gamma, sehingga diperoleh interval kredibel 95% yaitu ( , ). Sedangkan fungsi densitas untuk β 0 dan β 1 yang berdistribusi normal, diperoleh interval kredibel 95% yaitu (1.607,.601) untuk β 0 dan (0.68, ) untuk β 1. VI. DAFTAR PUSTAKA Bain, Lee J. dan Engelhardt, Max Introduction To Probability and Mathematical Statistics Second Edition. USA : Duxbury. Fall, Roger Levy Lecture 6: Bayesian Parameter Estimation; Confidence Intervals (Bayesian and Frequentistic). Fauzy, Akhmad Statistik Industri. Jakarta : Erlangga. Gelman, Andrew Bayesian Analysis. Department of Statistics and Department of Political Science : Columbia University. Johnson, Matthew S Introduction to Bayesian Statistics with WinBUGS. New York : Columbia University. Lancaster, Tony An Introduction to Modern Bayesian Econometrics. Puspaningrum, Dessy Penerapan Metode Bayesian Untuk Mengestimasi Parameter Pada Model Regresi Linier Sederhana. UKSW : FSM. Sembiring, R. K Analisis Regresi Edisi Kedua. Bandung : ITB. Web 1 : Bayesian Linear Regression Diunduh pada 8 Agustus 01 Web : Credible Interval Diunduh pada 5 September 01 Yogyakarta, 10 November 01 MS - 64