Pengantar Proses Stokastik
|
|
- Widyawati Hermanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Bab 3: Rantai Markov Diskrit Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
2 Rantai Markov Rantai Markov Rantai Markov Misalkan sebuah proses stokastik {X t } dengan t = 0, 1, 2,.... Nilai yang mungkin dari X t adalah hingga atau terhitung Memiliki peluang transisi atau peluang berpindahnya keadaan i (pada waktu t) ke keadaan j (pada waktu t + 1) adalah P ij yaitu P(X t+1 = j X t = i, X t 1 = i t 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ij Distribusi bersyarat X t+1 diberikan keadaan-keadaan lampau X 0, X 1,..., X t 1 dan keadaan sekarang X t, hanya bergantung pada keadaan sekarang (Sifat Markov) Maka proses stokastik demikian dikenal dengan nama Rantai Markov.
3 Rantai Markov Matriks Peluang Transisi Matriks Peluang Transisi P ij adalah peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaan i P ij 0, i, j 0; P ij = 1, i = 0, 1,... j=0 Perhatikan P(X t+1 = j X t = i, X t 1 = i t 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P(X t+1 = j X t = i) = P ij disebut peluang transisi satu langkah.
4 Rantai Markov Matriks Peluang Transisi Misalkan P menyatakan matriks peluang transisi satu langkah P ij, maka P 00 P 01 P P 10 P 11 P P =... P i0 P i1 P i
5 Rantai Markov Matriks Peluang Transisi Atau dapat pula digambarkan sebagai berikut
6 Contoh 1 Rantai Markov Matriks Peluang Transisi Jika hari ini hujan, peluang besok hujan adalah α. Jika hari ini tidak hujan, peluang besok hujan adalah β. Misal: 0 : hujan 1 : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah ( ) α 1 α P = β 1 β
7 Contoh 2 Rantai Markov Matriks Peluang Transisi Dalam suatu hari, Gary bisa ceria (C), biasa saja (B), atau murung (M). Jika hari ini ceria, maka dia akan C, B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.5, 0.4, 0.1. Jika dia merasa biasa saja hari ini, maka dia akan C, B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.3, 0.4, 0.3. Jika dia merasa murung hari ini, maka dia akan C, B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.2, 0.3, 0.5.
8 Rantai Markov Matriks Peluang Transisi Misalkan keadaan 0 = C, keadaan 1 = B, dan keadaan 2 = M, maka matriks peluang transisinya adalah P =
9 Contoh 3 Rantai Markov Matriks Peluang Transisi Keadaan pada suatu hari: Jika dua hari terakhir hujan, peluang besok hujan 0.7 Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan, peluang besok hujan 0.5 Jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan, peluang besok hujan 0.4 Jika hari ini dan kemarin tidak hujan, peluang besok hujan 0.2
10 Rantai Markov Matriks Peluang Transisi Misal: 0 : hujan 1 : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah P =
11 Matriks Stokastik Rantai Markov Matriks Stokastik Perhatikan matriks-matriks berikut: P = , P =
12 Rantai Markov Matriks Stokastik Matriks-matriks tersebut memiliki sifat-sifat berikut: Memiliki jumlah baris dan kolom sama, atau matriks bujursangkar Jumlah unsur-unsur di setiap baris adalah satu Tidak selalu memiliki jumlah unsur-unsur di setiap kolom sama dengan satu Nilai setiap unsurnya diantara nol dan satu Matriks dengan sifat-sifat tersebut dikatakan sebagai matriks stokastik.
13 Contoh 4 Rantai Markov Matriks Stokastik Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 mempunyai matriks peluang transisi P = dan P(X 0 = 0) = 0.3, P(X 0 = 1) = 0.4, P(X 0 = 2) = 0.3. Hitung P(X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2).
14 Rantai Markov Matriks Stokastik Penyelesaian: P(X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2) = P(X 2 = 2 X 1 = 1, X 0 = 0)P(X 1 = 1, X 0 = 0) = P(X 2 = 2 X 1 = 1, X 0 = 0)P(X 1 = 1 X 0 = 0)P(X 0 = 0) = P(X 2 = 2 X 1 = 1)P(X 1 = 1 X 0 = 0)P(X 0 = 0) = 0(0.2)(0.3) = 0
15 Contoh 5 Rantai Markov Matriks Stokastik Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, P = Hitung P(X 2 = 1, X 3 = 1 X 1 = 0) dan P(X 1 = 1, X 2 = 1 X 0 = 0).
16 Rantai Markov Matriks Stokastik Penyelesaian: a. P(X 2 = 1, X 3 = 1 X 1 = 0) = P(X 3 = 1 X 2 = 1)P(X 2 = 1 X 1 = 0) = 0.6(0.2) = 0.12 b. P(X 1 = 1, X 2 = 1 X 0 = 0) = P(X 2 = 1 X 1 = 1)P(X 1 = 1 X 0 = 0) = 0.6(0.2) = 0.12
17 Contoh 6 Rantai Markov Matriks Stokastik Suatu matriks stokastik dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 Hitung E(X 2 X 1 = 2) P =
18 Rantai Markov Matriks Stokastik Penyelesaian: 2 E(X 2 X 1 = 2) = x 2 P(X 2 = x 2 X 1 = 2) x 2 =0 = 0 + (1) P(X 2 = 1 X 1 = 2) + (2) P(X 2 = 2 X 1 = 2) = 0
19 Rantai Markov Matriks Stokastik n-langkah Matriks Stokastik Pandang matriks stokastik satu-langkah: ( ) P = Selanjutnya, kita dapat menentukan matriks stokastik dua-langkah yaitu matriks yang didefinisikan pada ruang keadaan yang sama namun ruang waktu dua-langkah atau {t, t + 2}.
20 Rantai Markov Matriks Stokastik Ingat kembali matriks stokastik satu-langkah P ij = P(X t+1 = j X t = i) Kita dapat menentukan matriks stokastik dua-langkah yaitu Pij 2 = P(X t+2 = j X t = i) Dalam kasus ini ( P 2 P 2 = 00 P01 2 ) P10 2 P11 2
21 Rantai Markov Matriks Stokastik Kita bisa menggunakan law of total probability yaitu P00 2 = P(X t+2 = 0 X t = 0) = P(X t+2 = 0, X t+1 = 0 X t = 0) + P(X t+2 = 0, X t+1 = 1 X t = 0) = P(X t+2 = 0 X t+1 = 0, X t = 0)P(X t+1 = 0 X t = 0) + P(X t+2 = 0 X t+1 = 1, X t = 0)P(X t+1 = 1 X t = 0) = P(X t+2 = 0 X t+1 = 0)P(X t+1 = 0 X t = 0) + P(X t+2 = 0 X t+1 = 1)P(X t+1 = 1 X t = 0) = P 00 P 00 + P 10 P 01 = P 00 P 00 + P 01 P 10
22 Rantai Markov Matriks Stokastik Penyelesaian tersebut berlaku pula untuk P01 2, P2 10 dan P2 11. Atau sama saja dengan mengalikan dua matriks P yaitu P 2 = P.P ( ) ( ) P00 P = 01 P00 P. 01 P 10 P 11 P 10 P 11 ( ) P00 P = 00 + P 01 P 10 P 00 P 01 + P 01 P 11 P 10 P 00 + P 11 P 10 P 10 P 01 + P 11 P 11
23 Rantai Markov Matriks Stokastik Jadi, untuk contoh di atas P 2 00 = P 00 P 00 + P 01 P 10 = 0.3(0.3) + 0.7(0.5) = 0.44 atau, matriks stokastik dua-langkahnya adalah ( ) ( ) P = ( ) =
24 Rantai Markov Chapman-Komogorov Equations Chapman-Komogorov Equations Misalkan P n ij menyatakan peluang bahwa proses pada keadaan i akan berada pada keadaan j setelah n-transisi, P n ij = P (X t+n = j X t = i), n 0, i, j 0
25 Rantai Markov Chapman-Komogorov Equations Persamaan Chapman-Kolmogorov memberikan metode untuk menghitung peluang transisi n + m-langkah, yaitu P n+m ij = k=0 P n ik Pm kj untuk semua n, m 0, semua i, j P n ik Pm kj menyatakan peluang bahwa proses bermula pada keadaan i akan berpindah ke keadaan j dalam n + m transisi melalui keadaan k pada transisi ke-n.
26 Rantai Markov Chapman-Komogorov Equations P n+m ij = P(X n+m = j X 0 = i) = P(X n+m = j, X n = k X 0 = i) = = k=0 P(X n+m = j X n = k, X 0 = i)p(x n = k X 0 = i) k=0 Pkj m Pn ik = k=0 k=0 P n ik Pm kj
27 Contoh 7 Rantai Markov Chapman-Komogorov Equations Misalkan pada Contoh 1 diketahui α = 0.7 dan β = 0.4, maka tentukan peluang bahwa akan hujan pada empat hari dari hari ini diberikan bahwa hari ini hujan!
28 Rantai Markov Chapman-Komogorov Equations [ ] [ ] [ ] P 2 = = [ ] [ ] [ ] P 4 = = Jadi, P00 4 =
29 Contoh 8 Rantai Markov Chapman-Komogorov Equations Perhatikan Contoh 3, diberikan pada hari Senin dan Selasa hujan, berapa peluang bahwa pada hari Kamis akan hujan?
30 Rantai Markov Chapman-Komogorov Equations P 2 = = Senin Selasa Rabu Kamis atau 1 0
31 Rantai Markov Chapman-Komogorov Equations Peluang bahwa Kamis hujan adalah: P P P P = P P = = 0.61
32 Rantai Markov Peluang Transisi Tak Bersyarat Peluang Transisi Tak Bersyarat Peluang transisi P n ij yang sudah kita hitung di atas merupakan peluang bersyarat. Jika kita ingin menghitung peluang transisi tak bersyaratnya yaitu P(X n = j), maka kita bisa menggunakan law of total probability yaitu P(X n = j) = = P(X n = j X 0 = i) P(X 0 = i) i=0 Pij n α i i=0 dengan α i = P(X 0 = i), i 0 adalah peluang tak bersyarat pada keadaan awal atau t = 0, dan α i = 1 i=0
33 Rantai Markov Peluang Transisi Tak Bersyarat Sebagai contoh, berdasarkan Contoh 7, jika α 0 = 0.4, α 1 = 0.6, maka peluang (tak bersyarat) bahwa akan hujan empat hari setelah kita mempunyai data perubahan cuaca adalah P(X 4 = 0) = P(X 4 = 0 X 0 = 0)P(X 0 = 0) + P(X 4 = 0 X 0 = 1)P(X 0 = 1) = P 4 00 α 0 + P 4 10 α 1 = 0.4P P 4 10 = (0.4)(0.5749) + (0.6)(0.5668) = 0.57
34 Rantai Markov Kebebasan dalam Matriks Stokastik Peluang Transisi Tak Bersyarat Misalkan Maka, P = ( 0.4 ) P(X t = 0 X t 1 = 0) = P(X t = 0 X t 1 = 1) = 0.4 Kemudian, dengan law of total probability P(X t = 0) = P(X t = 0 X t 1 = 0)P(X t 1 = 0) + P(X t = 0 X t 1 = 1)P(X t 1 = 1) α = 0.4 α (1 α) Jadi, α = 0.4
35 Rantai Markov Peluang Transisi Tak Bersyarat Dengan kata lain P(X t = 0 X t 1 = 0) = 0.4 = P(X t = 0) Ini berarti bahwa peubah acak X t saling bebas.
36 Contoh-contoh Lain Rantai Markov Peluang Transisi Tak Bersyarat 1. Jika pada waktu t, Vanes mengajukan klaim asuransi, maka Vanes akan mengajukan klaim pada waktu t + 1 dengan peluang α; jika Vanes tidak mengajukan klaim asuransi saat ini maka di masa depan Vanes akan mengajukan klaim asuransi dengan peluang β. Matriks peluang transisinya adalah Keadaan: 0 : tidak mengajukan klaim 1 : mengajukan klaim P = ( 1 β ) β 1 α α
37 Rantai Markov Peluang Transisi Tak Bersyarat 2. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES, maka peluang GAGAL pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang GAGAL adalah 0.4.
38 Rantai Markov Peluang Transisi Tak Bersyarat Keadaan-keadaan: 0 (SS) : kemarin S, sekarang S 1 (SG) : kemarin S, sekarang G 2 (GS) : kemarin G, sekarang S 3 (GG) : kemarin G, sekarang G P =
39 Rantai Markov Peluang Transisi Tak Bersyarat 3. Tim sepakbola IKS UII akan memainkan tujuh rangkaian pertandingan. Hasil setiap pertandingan saling bebas. Setiap pertandingan akan dimenangkan oleh tim A dengan peluang α dan oleh tim B dengan peluang 1 α. Misalkan keadaan suatu sistem direpresentasikan oleh pasangan (a, b) di mana a menyatakan banyak pertandingan yang dimenangkan oleh A dan b adalah banyak pertandingan yang dimenangkan B. Bentuklah Rantai Markov untuk masalah tersebut. Catatan: a + b 7 dan rangkaian pertandingan akan berakhir jika a = 4 atau b = 4.
40 Rantai Markov Peluang Transisi Tak Bersyarat
41 Latihan 1 Rantai Markov Latihan 1. Laila adalah mahasiswa tingkat akhir di Farmasi UII. Dia tinggal tidak jauh dari kampus, cukup berjalan kaki saja dari tempat kos ke kampus dan sebaliknya. Akhir-akhir ini hujan datang hampir setiap hari. Mau tidak mau, Laila menggunakan payung dalam perjalanan kos-kampus atau kampus-kos. Jika hari hujan dan payung ada di tempat Laila berada, maka Laila akan menggunakan payung tersebut. Jika hari tidak hujan, Laila selalu lupa untuk membawa payung. Misalkan θ adalah peluang hujan setiap kali Laila akan menuju kampus atau kos. Jika Laila memiliki 3 buah payung, bentuklah suatu rantai Markov dari proses di atas!
42 Rantai Markov Latihan 2. Tiga bola putih dan tiga bola hitam diletakkan ke dalam dua kotak sedemikian rupa sehingga masing-masing kotak terdiri atas tiga bola. Kita katakan bahwa sistem berada pada keadaan i, i = 0, 1, 2, 3, jika kotak pertama terdiri atas i bola putih. Pada masing-masing langkah, kita ambil sebuah bola dari masing-masing kotak dan meletakkan bola dari kotak kedua ke kotak pertama dan sebaliknya. Buatlah matriks peluang transisi dari kejadian tersebut!
43 Rantai Markov Latihan 3. Menurut George, Christ, dan John, tanah Australia diberkahi dengan banyak hal kecuali cuaca yang baik. Mereka tidak pernah memiliki dua hari bercuaca baik secara berturut-turut. Jika mereka mendapatkan hari bercuaca baik, maka esok hari akan bersalju atau hujan dengan peluang sama. Jika hari ini mereka mengalami salju atau hujan maka besok akan bercuaca sama dengan peluang separuhnya. Jika terdapat perubahan cuaca dari salju atau hujan, hanya separuh dari waktu besok akan menjadi hari bercuaca baik. Tentukan matriks peluang transisi dari Rantai Markov yang dibentuk dari keadaan-keadaan di atas.
44 Rantai Markov Latihan 4. Sebuah Rantai Markov {X n, n 0} dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 mempunyai matriks peluang transisi sebagai berikut: P = Jika P(X 0 = 0) = P(X 0 = 1) = 1 4, tentukan E(X 2).
45 Rantai Markov Latihan 5. Seorang SPG berjuang untuk menjual suatu produk sebanyak i = 0, 1, 2 buah. Proses jumlah produk yang terjual {X n } membentuk Rantai Markov dengan matriks peluang transisi sebagai berikut: 0 1/2 1/2 P = 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 a. Hitung P(X n = 0 X 0 = 0) untuk n = 0, 1, 2 b. Hitung P(X 3 = 1 X 1 = 0)
46 Penyelesaian Rantai Markov Latihan 1. Keadaan-keadaan: Matriks peluang transisi: 0 : 0 payung di tempat Laila berada 1 : 1 payung di tempat Laila berada 2 : 2 payung di tempat Laila berada 3 : 3 payung di tempat Laila berada P = θ θ 0 1 θ θ 0 1 θ θ 0 0
47 Rantai Markov Latihan 2. Keadaan-keadaan: 0 : terdapat 0 bola putih di kotak pertama 1 : terdapat 1 bola putih di kotak pertama 2 : terdapat 2 bola putih di kotak pertama 3 : terdapat 3 bola putih di kotak pertama
48 Rantai Markov Latihan P 10 = P(X n = 0 X n 1 = 1) = P(P 12 H 21 ) = = 1 9 P 11 = P(P 12 P 21 ) + P(H 12 H 21 ) = = 4 9 P 12 = P(H 12 P 21 ) = = 4 9
49 Rantai Markov Latihan Jadi matriks peluang transisinya adalah: P =
50 Rantai Markov Latihan 3. Keadaan-keadaan: P = 0 : hujan 1 : baik 2 : salju
51 Rantai Markov Latihan 4. Matriks peluang transisi 2-langkah nya adalah: P 2 = = Untuk menghitung E(X 2 ) maka 2 E(X 2 ) = x 2 P(X 2 = x 2 ) x 2 =0 = 0.P(X 2 = 0) + 1.P(X 2 = 1) + 2.P(X 2 = 2)
52 Rantai Markov Latihan P(X 2 = 1) = P(X 2 = 1 X 0 = 0)P(X 0 = 0) + P(X 2 = 1 X 0 = 1)P(X 0 = 1) + P(X 2 = 1 X 2 = 2)P(X 2 = 2) = = 13 72
53 Rantai Markov Latihan P(X 2 = 2) = P(X 2 = 2 X 0 = 0)P(X 0 = 0) + P(X 2 = 2 X 0 = 1)P(X 0 = 1) + P(X 2 = 2 X 2 = 2)P(X 2 = 2) Jadi, = = E(X 2 ) = 2 x 2 P(X 2 = x 2 ) = 1.P(X 2 = 1) + 2.P(X 2 = 2) x 2 =0 = = 71 72
54 Rantai Markov Latihan 5. Solusi a. Matriks peluang transisi 2-langkahnya adalah 0 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 1/4 1/4 P 2 = 1/2 0 1/2 1/2 0 1/2 = 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2 0 1/2 1/2 0 1/4 1/4 1/2 P(X 0 = 0 X 0 = 0) = P(X 0 = 0) P(X 1 = 0 X 0 = 0) = 0 P(X 2 = 0 X 0 = 0) = 1/2 b. P(X 3 = 1 X 1 = 0) = P01 2 = 1/4
55 Kelas Keadaan Kelas Keadaan dan Limit Peluang Kelas Keadaan Keadaan j dikatakan dapat diakses dari keadaan i jika P n ij > 0 untuk suatu n 0. i j Perhatikan bahwa hal ini mengakibatkan keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika dan hanya jika, dimulai pada keadaan i, proses akan pernah masuk ke keadaan j. Dua keadaan i dan j yang dapat diakses satu sama lain dikatakan dapat berkomunikasi. i j
56 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Kelas Keadaan Contoh: P = ( ) Apakah keadaan 1 bisa berkomunikasi dengan dirinya sendiri? Solusi: Jadi, 1 1 P 11 = 0 P 2 11 = P 10 P 01 + P 11 P 11 = 1(0.3) + 0 = 0.3 > 0
57 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Kelas Keadaan Jenis keadaan: 1 Keadaan i berkomunikasi dengan keadaan i untuk semua i 0 2 Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j, maka keadaan j berkomunikasi dengan keadaan i 3 Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j dan keadaan j berkomunikasi dengan keadaan k, maka keadaan i berkomunikasi dengan keadaan k. Dua keadaan yang saling berkomunikasi dikatakan berada dalam kelas yang sama. Rantai Markov dikatakan tidak dapat direduksi jika hanya terdapat satu kelas keadaan, yaitu jika semua keadaan saling berkomunikasi satu sama lain. Sebuah keadaan yang tidak bisa berpindah ke keadaan yang lain dikatakan sebagai keadaan absorbing.
58 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Kelas Keadaan Tentukan kelas keadaan dari Rantai Markov dengan peluang transisi P =
59 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Kelas Keadaan a. 0 1 P 01 = 0 P 2 01 = P 00 P 01 + P 01 P 11 + P 02 P 21 = (0.4) = 0.12 > P 10 = 0.5 > Jadi, 0 1
60 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Kelas Keadaan b. 1 2 P 12 = 0.5 > 0 P 21 = 0.4 > 0 Jadi, 1 2 c. 2 3 P 23 = 0.6 > 0 P 32 = 0 P 2 32 = P 30 P 02 + P 31 P 12 + P 32 P 22 + P 33 P 32 = (0.5) = 0.1 > 0 Jadi, 2 3
61 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Kelas Keadaan Karena 0 1, 1 2, dan 2 3, maka masing-masing keadaan saling berkomunikasi sehingga kelas keadaannya adalah {0, 1, 2, 3} dan Rantai Markov tersebut tidak dapat direduksi.
62 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Kelas Keadaan Tentukan kelas keadaan dari matriks peluang transisi berikut P = 1/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2
63 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Kelas Keadaan Solusi: Kelas keadaannya: {0} dan {1, 2}. Keadaan {0} bersifat absorbing.
64 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Sifat Keadaan Keadaan Recurrent dan Transient Untuk setiap keadaan i, misalkan f i peluang bahwa dimulai dari keadaan i proses akan pernah kembali ke keadaan i. Keadaan i dikatakan recurrent jika f i = 1 dan dikatakan transient jika f i < 1. Jika keadaan i recurrent, maka proses akan terus kembali ke keadaan i dengan peluang satu. Dengan definisi Rantai Markov, proses akan dimulai lagi ketika kembali ke keadaan i, dan seterusnya, sehingga keadaan i akan dikunjungi lagi. Jika keadaan i recurrent maka dimulai dari keadaan i maka proses akan kembali ke keadaan i terus dan terus sebanyak tak hingga kali.
65 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Sifat Keadaan Misalkan keadaan i transient. Setiap kali proses kembali ke keadaan i terdapat kemungkinan (peluang yang positif) sebesar 1 f i bahwa proses tidak pernah kembali ke keadaan i. Dengan demikian, dimulai dari keadaan i, peluang bahwa proses berada di i sebanyak tepat n periode/kali adalah f n 1 i (1 f i ), n 1. Jika keadaan i transient maka, dimulai dari keadaan i, banyak periode/kali bahwa proses akan berada di keadaan i adalah peubah acak geometri dengan parameter 1 f i
66 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Sifat Keadaan Keadaan i recurrent jika dan hanya jika, dimulai dari keadaan i, maka banyak periode/kali yang diharapkan (expected number of time periods) bahwa proses akan berada di keadaan i adalah tak hingga.
67 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Sifat Keadaan Misalkan I n = { 1, X n = i 0, X n i Misalkan I n menyatakan banyak periode/kali bahwa proses berada n=0 dalam keadaan i, dan [ ] E I n X 0 = i = n=0 = = E[I n X 0 = i] n=0 P(X n = i X 0 = i) n=0 n=0 P n ii
68 Proposisi Kelas Keadaan dan Limit Peluang Sifat Keadaan Keadaan i adalah Recurrent jika Pii n = n=1 Transient jika Pii n < n=1
69 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Sifat Keadaan Misalkan Rantai Markov yang terdiri atas keadaan-keadaan 0, 1, 2, 3 mempunyai matriks peluang transisi 0 0 1/2 1/2 P = Tentukan keadaan mana yang transient dan mana yang recurrent.
70 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Sifat Keadaan Solusi: Semua keadaan saling berkomunikasi dan semua keadaan bersifat recurrent
71 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Sifat Keadaan Matriks peluang transisi 1/2 1/ /2 1/ P = 0 0 1/2 1/ /2 1/2 0 1/4 1/ /2 Tentukan kelas keadaan dan sifat-sifatnya
72 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Sifat Keadaan Solusi: Rantai Markov tersebut terdiri atas tiga kelas yaitu {0, 1}, {2, 3}, dan {4}. Sifat-sifatnya: Kelas {0, 1} dan {2, 3} bersifat recurrent Kelas {4} bersifat transient
73 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Limit Peluang Transisi Limit Peluang Transisi Misalkan matriks peluang transisi pada Rantai Markov adalah ( ) P = Maka matriks peluang transisi 4 dan 8 langkahnya adalah ( ) P = P 8 = ( )
74 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Limit Peluang Transisi Perhatikan bahwa matriks P 8 hampir identik dengan matriks P 4. Selain itu, setiap baris dari P 8 memiliki unsur yang identik. Pada kenyataannya, sepertinya P n ij konvergen ke suatu nilai, untuk n, yang sama untuk semua i. Dengan kata lain, terdapat limit peluang bahwa proses akan berada di keadaan j setelah sekian langkah (transisi). Nilai limit ini saling bebas dengan nilai pada keadaan awal.
75 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Limit Peluang Transisi Jika waktu kembali yang pertama dari keadaan i hanya dapat berupa kelipatan dari integer d > 1, keadaan tersebut disebut periodik. Keadaan yang memiliki periode 1 disebut aperiodik.
76 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Limit Peluang Transisi Jika keadaan i recurrent, maka keadaan tersebut akan dikatakan positive recurrent jika, dimulai dari keadaan i, waktu harapan hingga proses kembali ke i adalah hingga. Pada Rantai Markov yang memiliki keadaan hingga, semua keadaan recurrent adalah positive recurrent. Suatu keadaan yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik.
77 Teorema Kelas Keadaan dan Limit Peluang Limit Peluang Transisi Untuk Rantai Markov yang ergodik dan tidak dapat direduksi, lim n Pn ij ada dan saling bebas dari i. Misalkan π j = lim n Pn ij, j 0, maka π j adalah solusi nonnegatif tunggal dari dengan π j = 1. j=0 π j = π i Pij n, j 0, i=0
78 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Limit Peluang Transisi Catatan: Perhatikan bahwa P(X n+1 = j) = = P(X n+1 = j X n = i) P(X n = i) i=0 P ij P(X n = i) i=0 Misalkan n dan asumsikan kita bisa menambahkan limit di dalam persamaan, maka π j = P ij π i i=0
79 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Limit Peluang Transisi Limit peluang π j adalah peluang jangka panjang (long-run proportion of time) bahwa suatu proses akan berada di keadaan j. Jika Rantai Markov tidak dapat direduksi, maka terdapat solusi untuk π j = lim n Pn ij, j 0,, dengan π j = 1, jika dan hanya jika Rantai j Markov bersifat positive recurrent. Jika solusinya ada, maka solusi tersebut tunggal dan π j adalah proporsi jangka panjang bahwa Rantai Markov berada dalam keadaan j. Jika Rantai Markov aperiodik, maka π j adalah limit peluang bahwa rantai akan berada di keadaan j.
80 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Limit Peluang Transisi Jika hari ini hujan, peluang besok hujan adalah α. Jika hari ini tidak hujan, peluang besok hujan adalah β. Misal: 0 : hujan 1 : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah ( ) α 1 α P = β 1 β dan kita mempunyai persamaan-persamaan π 0 = απ 0 + βπ 1 π 1 = (1 α)π 0 + (1 β)π 1 π 0 + π 1 = 1
81 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Limit Peluang Transisi Maka diperoleh peluang hujan dan tidak hujan dalam jangka panjang adalah β π 0 = 1 + β α dan π 1 = 1 α 1 + β α
82 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Limit Peluang Transisi Misalkan keadaan mood Gary disajikan dalam matriks peluang transisi P = Berapa peluang jangka panjang untuk masing-masing keadaan?
83 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Limit Peluang Transisi Kita mempunyai persamaan: π 0 + π 1 + π 2 = 1 dan diperoleh solusinya yaitu π 0 = 0.5π π π 2 π 1 = 0.4π π π 2 π 2 = 0.1π π π 2 π 0 = 21 62, π 1 = 23 62, π 2 = 18 62
84 Latihan 2 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Latihan 6. Tentukan kelas keadaan dan sifat-sifat dari matriks-matriks peluang transisi berikut a P = b P = 1/9 4/9 4/ /9 4/9 1/
85 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Latihan 7. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES, maka peluang SUKSES pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang SUKSES adalah 0.5. Hitung peluang percobaan sukses untuk jangka panjang.
86 Penyelesaian Kelas Keadaan dan Limit Peluang Latihan 6. a. Kelas keadaan: {0, 1}, {2}, dan {3} Sifat keadaan: keadaan 0, 1, 3 recurrent dan keadaan 2 transient. b. Kelas keadaan: {0, 1, 2, 3}, Rantai Markov tidak dapat direduksi. Kelas keadaan: semua keadaan bersifat recurrent
87 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Latihan 7. Keadaan-keadaan: 0 (SS) : kemarin S sekarang S 1 (SG) : kemarin S sekarang G 2 (GS) : kemarin G sekarang S 3 (GG) : kemarin G sekarang G P =
88 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Latihan Kita peroleh persamaan-persamaan: π 0 = π 0 P 00 + π 1 P 10 + π 2 P 20 + π 3 P 30 = 0.8π π 2 π 1 = π 0 P 01 + π 1 P 11 + π 2 P 21 + π 3 P 31 = 0.2π π 2 π 2 = π 0 P 02 + π 1 P 12 + π 2 P 22 + π 3 P 32 = 0.5π π 3 π 3 = π 0 P 03 + π 1 P 13 + π 2 P 23 + π 3 P 33 = 0.5π π 3 dan π 0 + π 1 + π 2 + π 3 = 1
89 Kelas Keadaan dan Limit Peluang Latihan Diperoleh: π 0 = π 1 = π 2 = π 3 = Jadi, peluang SUKSES jangka panjang adalah π 0 + π 1 = 32 50
90 Pustaka Pustaka Pustaka Ross, Sheldon M Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J Queueing Theory/ Probability Theory.
BAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI
BAB 1 Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas.
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
: Dasar-dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Diskusi 1. Misalkan sebuah koin yang mempunyai peluang muncul muka sebesar.7, dilantunkan tiga kali. Misalkan X menyatakan banyaknya
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 4: Distribusi Eksponensial Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Distribusi Eksponensial Pendahuluan Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 4: Distribusi Eksponensial Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Distribusi Eksponensial Pendahuluan Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Rantai Markov Waktu Kontinu Pendahuluan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai
Lebih terperinciMA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK
Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012 Tentang
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 5: Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Waktu Antar Kedatangan Waktu Antar Kedatangan Misalkan T 1 menyatakan waktu dari kejadian/kedatangan pertama. Misalkan
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang
Lebih terperinciBAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI
BAB 1 Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas.
Lebih terperinciBAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI
BAB 1 Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas.
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Diskusi 1: Dasar-dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 215 Latihan 1 Dasar-dasar Probabilitas Latihan 1 1. Diketahui Tentukan: a. P ( ) X > 1 4 b. Tentukan F (x) 2. Diketahui
Lebih terperinciCATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK
CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si PROGRAM STUDI STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 2016 Daftar Isi Daftar Isi iv
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinciPenelitian Operasional II Rantai Markov RANTAI MARKOV
Penelitian Operasional II Rantai Markov 49 4. RANTAI MARKOV 4. PENDAHULUAN Dalam masalah pengambilan suatu keputusan, seringkali kita diperhadapkan dengan suatu ketidakpastian. Permasalahan ini dapat dimodelkan
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 1. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang
Lebih terperinciMA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK
Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012 Tentang
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
: Dasar-dasar Probabilitas, Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia April 13, 2017 1. Misalkan sebuah koin yang mempunyai peluang muncul muka sebesar 0.7, dilantunkan
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciDISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstrak
DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Dalam proses stokhastik yang mana kejadian dapat muncul kembali membentuk proses pembahauruan. Proses pembaharuan
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciMA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK
Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012 Tentang
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciMA5181 PROSES STOKASTIK
Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah:
Lebih terperinciBAB III METODE PENELITIAN
18 BAB III METODE PENELITIAN Pada bab ini akan dikemukakan metode-metode yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Metode-metode pada bab ini yaitu metode Value at Risk dengan pendekatan distribusi normal
Lebih terperinciPENENTUAN KLASIFIKASI STATE PADA RANTAI MARKOV DENGAN MENGGUNAKAN NILAI EIGEN DARI MATRIKS PELUANG TRANSISI
PENENTUAN KLASIFIKASI STATE PADA RANTAI MARKOV DENGAN MENGGUNAKAN NILAI EIGEN DARI MATRIKS PELUANG TRANSISI Yohanes A.R. Langi 1) 1) Program Studi Matematika FMIPA Universitas Sam Ratulangi, Manado 95115
Lebih terperinci/ /16 =
Kuis Selamat Datang MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Tanggal 22 Agustus 2017, Waktu: suka-suka menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. 1. Widya (akan) memenangkan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. real. T dinamakan himpunan indeks dari proses atau ruang parameter yang
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Stokastik Stokastik proses = { ( ), } adalah kumpulan dari variabel acak yang didefinisikan pada ruang peluang (Ω, ς, P) yang nilai-nilainya pada bilangan real. T dinamakan
Lebih terperinciMA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK
Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012 Tentang
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang
Lebih terperinciStochastic process. Stochastic process. Stochastic process. Stochastic process 08/05/2015 STOCHASTIC PROCESS OPERATIONAL RESEARCH II
OPERATIONAL RESEARCH II Agustina Eunike, ST., MT., MBA. Industrial Engineering University of Brawijaya STOCHASTIC PROCESS Sample space (ruang sample): all possible outcome Random variable: Fungsi nilai
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Disusun oleh: Sri Suryani P, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI ILMU KOMPUTASI FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY 2015 LEMBAR PENGESAHAN Rencana
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Model Markov Dalam teori probabilitas, model Markov adalah model stokastik yang digunakan untuk memodelkan sistem yang berubah-ubah secara random di mana diasumsikan bahwa kondisi
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) PROGRAM STUDI STATISTIKA
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) PROGRAM STUDI STATISTIKA A. MATA KULIAH Nama Mata Kuliah : Proses Stokastik Kode/sks : MAS 4113 /3 Semester : III Status (Wajib/Pilihan) : Pilihan (P) Prasyarat : MAS
Lebih terperinciP (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB)
Diskusi 1 Tanggal 29 Januari 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang suatu kejadian; sifat-sifat peluang (termasuk kejadian-kejadian saling asing dan saling bebas); peluang bersyarat; peluang total; 1. Buktikan
Lebih terperinciRantai Markov Diskrit (Discrete Markov Chain)
#10 Rantai Markov Diskrit (Discrete Markov Chain) 10.1. Pendahuluan Berbagai teknik analitis untuk mengevaluasi reliability dari suatu sistem telah diuraikan pada bab terdahulu. Teknik analitis ini mengasumsikan
Lebih terperinciSilabus. Proses Stokastik (MMM 5403) Proses Stokastik. Contoh
Silabus Proses Stokastik (MMM 5403) Status: Wajib Minat Statistika Rantai Markov, klasifikasi rantai Markov. Limit rantai Markov dan aplikasinya. Rantai Markov kontinu, contoh-contoh klasik. Proses renewal,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci
Lebih terperinciReliabilitas Suatu Mesin Menggunakan Rantai Markov (Studi Kasus: Mesin Proofer Di Pabrik Roti Super Jam Banten)
Jurnal Matematika Integratif ISSN 42-684 Volume 3 No, April 27, pp 4-47 Reliabilitas Suatu Mesin Menggunakan Rantai Markov (Studi Kasus: Mesin Proofer Di Pabrik Roti Super Jam Banten) Mega Novia Andriani,
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang
Lebih terperinciCatatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciCatatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciPENGANTAR MODEL PROBABILITAS
PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 8-14) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Mean dan Variansi Fungsi Pembangkit Momen (MGF) 2 Minggu
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Pengantar Proses Stokastik
Bab 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan penjelasan singkat mengenai pengantar proses stokastik dan rantai Markov, yang akan digunakan untuk analisis pada bab-bab selanjutnya. 2.1 Pengantar Proses
Lebih terperinciCatatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko
Lebih terperinciANALISIS ESTIMASI PERUBAHAN MINAT MAHASISWA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA TERHADAP TUJUH OPERATOR GSM
Saintia Matematika Vol., No. 2 (2), pp. 9 9. ANALISIS ESTIMASI PERUBAHAN MINAT MAHASISWA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA TERHADAP TUJUH OPERATOR GSM Hasoloan M Nababan, Open Darnius Sembiring, Ujian Sinulingga
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan nyata, hampir seluruh fenomena alam mengandung ketidakpastian atau bersifat probabilistik, misalnya pergerakan lempengan bumi yang menyebabkan gempa,
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematik(a)
Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Lebih terperinciPREDIKSI JUMLAH LULUSAN DAN PREDIKAT KELULUSAN MAHASISWA FMIPA UNTAN TAHUN ANGKATAN 2013/2014 DENGAN METODE RANTAI MARKOV
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3(2015), hal 347-352. PREDIKSI JUMLAH LULUSAN DAN PREDIKAT KELULUSAN MAHASISWA FMIPA UNTAN TAHUN ANGKATAN 2013/2014 DENGAN METODE RANTAI
Lebih terperinciMA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 4 Proses Po
MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 4 Proses Poisson: Suatu Pengantar Orang Pintar Belajar Stokastik Tentang Kuliah Proses Stokastik Bab 1 : Tentang Peluang Bab 2 : Peluang dan Ekspektasi Bersyarat*
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko
Lebih terperinciMA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik
Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4081 (Pengantar)
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik
Lebih terperinciPENENTUAN PROBABILITAS ABSORPSI DAN EKSPEKTASI DURASI PADA MASALAH KEBANGKRUTAN PENJUDI
PENENTUAN PROBABILITAS ABSORPSI DAN EKSPEKTASI DURASI PADA MASALAH KEBANGKRUTAN PENJUDI Aditya Candra Laksmana, Respatiwulan, dan Ririn Setiyowati Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183
Lebih terperinciMA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi
MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi
Lebih terperinciP (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB)
Diskusi 1 Tanggal 29 Januari 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang suatu kejadian; sifat-sifat peluang (termasuk kejadian-kejadian saling asing dan saling bebas); peluang bersyarat; peluang total; 1. Buktikan
Lebih terperinciMA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided
Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Peluang Peluang mempunyai banyak persamaan arti, seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Peluang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang bersifat acak.
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciMA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik
Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4081 (Pengantar)
Lebih terperinciBAB III LANDASAN TEORI
BAB III LANDASAN TEORI 3.1 PT Jogja Tugu Trans 3.1.1 Sejarah Singkat PT Jogja Tugu Trans PT Jogja Tugu Trans adalah perusahaan konsorsium dari 5 (lima) koperasi angkutan perkotaan DIY, yaitu KOPATA, ASPADA,
Lebih terperinciCatatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciMA5181 PROSES STOKASTIK
Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciMA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided
Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Insure and Invest! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang AK5161 MatKeu
Lebih terperinciPemodelan Sistem Antrian Satu Server Dengan Vacation Queueing Model Pada Pola Kedatangan Berkelompok
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Pemodelan Sistem Antrian Satu Server Dengan Vacation Queueing Model Pada Pola Kedatangan Berkelompok Sucia Mentari, Retno Subekti, Nikenasih
Lebih terperinci2-RP. rate, 10).Model Antrian. Deskripsi. sistem finansial, sistem komunikasi. Semester : V Hal: 1 dari 7. Dosen : SPW, NI, HY No.
RP S1 SP 06 A. CAPAIAN PEMAN : 1. CP 1.1 : Mampu menerapkan Metode Statistika dalam manajemen. 2. CP 2.2 : Mampu memodelkan & menginterpretasikan fenomena ekonomi 3. CP 8.1 : Mampu memformulasikan masalah
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang MA4183 Model Risiko
Lebih terperinciMODEL STOKASTIK PERTUMBUHAN POPULASI (PURE BIRTH PROCESS)
Jurnal Euclid, Vol. 4, No. 1, p.675 MODEL STOKASTIK PERTUMBUHAN POPULASI (PURE BIRTH PROCESS) Surya Amami Pramuditya 1, Tonah 2 1,2 Pendidikan Matematika FKIP Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon amamisurya@fkip-unswagati.ac.id
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. komoditas, model pergerakan harga komoditas, rantai Markov, simulasi Standard
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas beberapa tinjauan mengenai teori yang diperlukan dalam pembahasan bab-bab selanjutnya antara lain tentang kontrak berjangka komoditas, model pergerakan
Lebih terperinci6.6 Rantai Markov Kontinu pada State Berhingga
6.6 Rantai Markov Kontinu pada State Berhingga Markov chain kontinu 0 adalah proses markov pada state 0, 1, 2,.... Diasumsikan bahwa probabilitas transisi adalah stasioner, pada persamaan, (6.53) Pada
Lebih terperinciMA5181 PROSES STOKASTIK
Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciCatatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 017 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciPERAMALAN PANGSA PASAR KARTU GSM DENGAN PENDEKATAN RANTAI MARKOV
PERAMALAN PANGSA PASAR KARTU GSM DENGAN PENDEKATAN RANTAI MARKOV Surya Amami Pramuditya, Rini Marwati, Entit Puspita Pendidikan Matematika FKIP Unswagati,Pendidikan Matematika FPMIPA UPI amamisurya@gmail.com
Lebih terperinciPenentuan Probabilitas Absorpsi dan Ekspektasi Durasi pada Masalah Kebangkrutan Penjudi
Penentuan Probabilitas Absorpsi dan Ekspektasi Durasi pada Masalah Kebangkrutan Penjudi Aditya Candra Laksmana 1*, Respatiwulan 2, dan Ririn Setiyowati 3 1, 3 Program Studi Matematika Fakultas MIPA, Universitas
Lebih terperinciMA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided
Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko
Lebih terperinciTEKNIK MEMBILANG. b T U V W
TEKNIK MEMBILANG Berikut ini teknik-teknik (cara-cara) membilang atau menghitung banyaknya anggota ruang sampel dari suatu eksperimen tanpa harus mendaftar seluruh anggota ruang sampel tersebut. A. Prinsip
Lebih terperinciMA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!
Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal
Lebih terperinciPEMODELAN KELAHIRAN MURNI DAN KEMATIAN MURNI DENGAN DUA JENIS KELAMIN DENGAN PROSES STOKASTIK
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 2 Hal. 72 79 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PEMODELAN KELAHIRAN MURNI DAN KEMATIAN MURNI DENGAN DUA JENIS KELAMIN DENGAN PROSES STOKASTIK FEBI OKTORA
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Bidang statistika berhubungan dengan cara atau metode pengumpulan data, pengolahan, penyajian, dan analisisnya serta pengambilan kesimpulan berdasarkan data dan analisis
Lebih terperinci1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q.
Diskusi Kelompok (I) Waktu: 100 menit Selasa, 23 September 2008 Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto 1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q. (a) Mahasiswa perlu membawakan
Lebih terperinciANALISA SIFAT-SIFAT ANTRIAN M/M/1 DENGAN WORKING VACATION
ANALISA SIFAT-SIFAT ANTRIAN M/M/1 DENGAN WORKING VACATION Oleh: Desi Nur Faizah 1209 1000 17 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA
Lebih terperinciKuis 1 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 24 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kuis Selamat Datang MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 23 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit 1. Mahasiswa yang datang ke ruang kuliah mengikuti suatu proses dengan laju kedatangan
Lebih terperinciCatatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciMA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson
MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson SMART AND STOCHASTIC MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson SMART AND STOCHASTIC Pengantar Seperti sudah disampaikan sebelumnya, analog
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Percobaan Bernoulli merupakan suatu percobaan yang memiliki dua nilai outcome (kemunculan) yang mungkin yakni sukses dan gagal yang masing-masing dinotasikan dengan
Lebih terperinci