PROSES MARKOV KONTINYU (CONTINOUS MARKOV PROCESSES)

Transkripsi

1 #11 PROSES MARKOV KONTINYU (CONTINOUS MARKOV PROCESSES) Pendahuluan Masalah keandalan yang berhubungan dengan sistem secara normal adalah space memiliki sifat diskrit yaitu sistem tersebut dapat eksis pada salah satu keadaan diskrit dengan state yang dapat diidentifikasi dan sistem tersebut eksis secara kontinyu pada salah satu state sampai terjadi sebuah transisi yang membawa sistem tersebut secara diskrit dari satu state ke state yang lain. Teknik evaluasi yang ditulis pada seksi ini akan menyinggung sistem yang dapat didiskripsikan sebagai stationary Markov proces, yaitu probabilitas kegagalan kondisional atau reparasi selama interval waktu yang tertentu adalah konstan. Hal ini mengimplikasikan bahwa karakteristik kegagalan dan reparasi dari komponen berhubungan dengan distribusi eksponensial. Jika kondisi yang disyaratkan seperti di atas terpenuhi, maka pendekatan Markov dapat dipakai untuk berbagai permasalahan reliabiity, termasuk sistem yang repairaple atau non-repairable, juga termasuk sistem yang terhubung secara seri, paralel atau standby Konsep Umum Pemodelan Konsep Laju Perpindahan (Transition Rate) Sebagai contoh awal pemodelan, pertimbangkan sebuah komponen tunggal yang mampu-reparasi (repairable) dimana failure rate dan repair rate nya adalah konstan, yaitu keduanya dikarakteristikkan oleh distribusi eksponensial. Gambar 11.1 menunjukkan state-space diagram dari sebuah komponen tunggal. Gambar State-Space Diagram Untuk Komponen Tunggal Definisi-definisi berikut ini juga akan dipergunakan untuk menjelaskan diagram state-space pada gambar P0(t) = Probabilitas komponen dapat beroperasi pada saat t. P1(t) = Probabilitas komponen tidak dapat beroperasi pada saat t. λ μ = Laju kegagalan (failure rate). = Laju perbaikan (repair rate). Hal. 1 / 15

2 Failure density function bagi sebuah komponen yang memiliki laju kegagalan yang konstan, λ, dapat ditulis sebagai: (11.1) Dengan memanfaatkan persamaan (11.1), maka density function diagram statespace pada gambar 11.1, density function yang mewakili keadaan sistem pada saat beroperasi dan pada saat dalam keadaan gagal masing-masing dapat dituliskan sebagai: dan (11.2) (11.3) Parameter-parameter λ dan μ menunjukkan laju transisi (transition rate) karena masing-masing menyatakan dimana sistem berpindah dari satu keadaan ke keadaan yang lain Pengevaluasian Probabilitas yang Tergantung Waktu State space diagram untuk komponen tunggal telah ditunjukkan pada gambar Pada discrete Markov chain, perpindahan dari satu keadaan ke keadaan lain ditunjukkan oleh probabilitas transitional. Untuk kasus continuous Markov process perpindahan dari satu keadaan ke keadaan lain dinyatakan oleh laju perpindahan (transition rate), yaitu dengan parameter λ dan μ yang masing-masing mewakili laju perubahan dari keadaan beroperasi dan perubahan dari keadaan gagal. Misalkan sebuah pertambahan interval waktu dt yang sangat kecil yang mewakili interval waktu pindah dari satu keadaan ke keadaan lain sehingga tidak memungkinkan terjadinya lebih dari satu kegagalan pada interval waktu tersebut. Probabilitas bahwa komponen tersebut tetap berada dalam keadaan beroperasi (state 0) pada saat dapat dinyatakan sebagai: [Probabilitas untuk tetap beroperasi pada saat t DAN tidak mengalami kegagalan pada saat dt] + [Probabilitas untuk mengalami kegagalan pada saat t DAN akan dapat direparasi pada saat dt] Secara matematis, uraian di atas dapat ditulis sebagai berikut: atau (11.4) (11.5) untuk, maka (11.6) Hal. 2 / 15

3 sehingga persamaan (11.5) akan berubah menjadi: (11.7) Dengan pendekatan yang sama, probabilitas bahwa komponen tersebut tetap berada dalam keadaan gagal (state 1) pada saat dapat dinyatakan sebagai: (11.8) dimana untuk persamaan (11.8) dapat ditulis sebagai: (11.9) Persamaan (11.7) dan (11.9) dapat ditulis dalam sebuah bentuk persamaan matrik di bawah ini. [ ] [ ] [ ] (11.10) Matrik koefisien pada persamaan (11.10) bukan merupakan matrik STP karena penjumlahan semua koefisien pada satu baris menghasilkan nilai 0, sedangkan pada matrik STP akan menghasilkan 1. Persamaan (11.7) dan (11.9) merupakan persamaan diferensial linier dengan koefisien-koefisen yang konstan. Kedua persamaan di atas dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Salah satu cara yang paling mudah dan banyak digunakan adalah dengan menggunakan transformasi La Place. Secara umum transformasi La Place didefinisikan oleh: (11.11) sedangkan tabel 11.1 menunjukkan beberapa transformasi La Place untuk beberapa fungsi. Tabel Transformasi La Place Hal. 3 / 15

4 Transformasi La Place dari persamaan (11.7) (11.12) dengan: Pi(s) = transformasi La Place dari Pi(t). P0(0) = nilai awal dari P0(t). Persamaan (11.12) dapat ditulis kembali menjadi (11.13) demikian juga untuk persamaan (11.9), transformasi La Place dari persamaan ini dapat disederhanakan menjadi: (11.14) dengan: P1(0) = nilai awal dari P1(t). Persamaan (11.13) dan (11.14) dapat digunakan secara serentak untuk mendapatkan nilai dari P0(s) dan P1(s), dengan menggunakan metode substitusi kita akan memperoleh [ ] [ ] (11.15) [ ] [ ] (11.16) Persamaan (11.15) dan (11.16) harus ditransformasi kembali ke fungsi waktu. Untuk itu, persamaan-persamaan di atas harus ditransformasi kembali dengan menggunakan inverse transformasi La Place. Inverse transformasi La Place untuk persamaan (11.15) dan (11.16) masing-masing ditunjukkan oleh persamaan: [ ] [ ] (11.17) [ ] [ ] (11.18) Hal. 4 / 15

5 Untuk semua kondisi akan berlaku, oleh karena itu persamaan (11.17) dan (11.18) akan berubah menjadi: [ ] (11.19) [ ] (11.20) Secara praktek pada umumnya sistem berawal dari state 0, yaitu sistem berada pada kondisi yang dapat dioperasikan pada saat t=0. Untuk kasus ini P0(0)=1 dan P1(0)=0, dan persamaan (11.19) dan (11.20) dapat ditulis menjadi: (11.21) (11.22) Persamaan (11.21) dan (11.22) masing-masing menyatakan probabilitas dari sistem untuk berada pada keadaan beroperasi dan gagal sebagai fungsi dari waktu dimana sistem mulai beroperasi pada saat t=0 pada saat sistem dalam keadaan beroperasi Pengevaluasian Probabilitas Untuk Kondisi Batas Probabilitas batas keadaan (limiting state probability) atau probabilitas untuk kondisi mantap (steady-state probability) tidak akan sama dengan nol untuk sebuah continuous Markov process dimana sistemnya adalah ergodic. Untuk kasus komponen tunggal yang repairable seperti yang ditunjukkan pada gambar 11.1, probabilitas batas keadaan dapat dihitung dari persamaan (11.21) dan (11.22) dengan membiarkan. Jika nilai dari probabilitas kondisi batas didefinisikan oleh P0 dan P1 masing-masing untuk keadaan beroperasi dan keadaan gagal, maka persamaan (11.21) dan (11.22) dapat ditulis menjadi: (11.23) (11.24) Ekspresi probabilitas batas keadaan dapat diterapkan tanpa memandang apakah sistem berawal dari keadaan beroperasi atau berawal dari keadaan gagal. Hal. 5 / 15

6 Salah satu karakteristik distribusi eksponensial adalah MTTF dari distribusi ini dapat diitung langsung dari, dengan demikian. Dengan mensubstitusikan kedua persamaan ini ke dalam persamaan (11.23) dan (11.24), maka akan diperoleh (11.25) (11.26) Nilai dari P0 dan P1 umumnya masing-masing dirujuk sebagai ketersediaan sistem pada keadaan mantap (steady state availability) A, dan ketaktersediaan sistem pada keadaan mantap (steady state availability) U. Sedangkan ketersediaan sistem yang tergantung waktu (time dependent availability) diberikan oleh persamaan (11.21). Persamaan ini menyatakan probabilitas untuk mendapatkan sistem dalam keadaan beroperasi pada saat t dimana sistem berada dalam keadaan beroperasi pada saat t=0. Hal ini tentunnya sangat berbeda dengan keandalan R(t) yang diberikan oleh persamaan Keandalan ini menyatakan probabilitas dari suatu sistem untuk tetap berada pada keadaan beroperasi sebagai fungsi dari waktu dimana sistem juga berada dalam keadaan beroperasi pada saat t=0. Gambar 11.2 menunjukkan hubungan antara A(t) dan R(t). Gambar Hubungan Antara A(t) dan R(t) Probabilitas keadaan batas dapat dievaluasi secara langsung dari persamaan diferensial yang ditunjukkan pada persamaan (11.8) dan (11.9) tanpa secara aktual menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut. Pendekatan yang dipakai adalah dengan mengevaluasi probabilitas keadaan untuk. Untuk kondisi seperti ini, P0 (t) dan P1 (t) keduanya akan cenderung bernilai 0, dan persamaan (11.8) dan (11.9) masing-masing dapat direduksi menjadi: (11.27) (11.28) Hal. 6 / 15

7 Kedua persamaan ini merupakan persamaan yang identik, sehingga diperlukan satu persamaan lain agar nilai dari P0 dan P1 dapat diselesaikan. Persamaan lain yang dipakai adalah: Dengan menggunakan kedua persamaan ini maka akan diperoleh: State Space Diagram (Diagram Ruang Keadaan) Untuk memfasilitasi penyelesaian continuous Markov process dan discrete Markov chain, perlu kiranya untuk mengkonstruksi state space diagram yang layak dan memasukkan berbagai laju perubahan (transition rate) yang relevan. Semua state yang relevan dimana sistem dapat berada harus disertakan pada diagram dan semua cara yang diketahui dimana perubahan dari satu state ke state yang lain juga harusl disertakan. Pengkostruksian state space diagram merupakan salah satu bagian terpenting dari seluruh rangkaian penyelesaian masalah dengan menggunakan metode Markov. Pengkonstruksian diagram ini merupakan perwujudan dari pengetahuan seorang analis terhadap pengoperasian sistem dalam bentuk pemodelan matematis yang nantinya akan diselesaikan dengan menggunakan teknik Markov. Gambar State Space Diagram Untuk Komponen Tunggal Yang Mampu-Rawat Pemodelan Komponen Tunggal yang Mampu-Rawat Sebuah komponen yang mampu rawat dapat memiliki lebih dari satu state space diagram yang menggambarkan pemodelan keadaan komponen tersebut beroperasi. Sebagai contoh, sebuah komponen dapat dimodelkan ke dalam sebuah state space Hal. 7 / 15

8 diagram hanya dengan dua keadaan saja yaitu keadaan beroperasi dan keadaan gagal. Sebuah komponen mungkin juga dapat dimodelkan ke dalam sebuah state space diagram dengan tiga keadaan yaitu keadaan beroperasi penuh, beroperasi secara parsial dan keadaan gagal. Gambar 11.3 menunjukkan sebuah state space diagram untuk sebuah komponen yang mampu rawat (repairable component). Contoh aktual dari komponen ini dapat berupa pompa, diesel engine, dan lain-lain. Pada contoh ini komponen didefinisikan memiliki tiga state yang berlainan yaitu state 0, state 1, dan state 2 yang masing-masing mewakili keadaan beroperasi penuh, beroperasi secara parsial dan keadaan gagal berikut semua kemungkinan laju perpindahannya dari satu keadaan ke keadaan lain Pemodelan Dua Komponen yang Mampu-Rawat Sebuah sistem yang terdiri dari dua buah komponen berbeda yang mampu-rawat akan memiliki minimal empat buah kemungkinan keadaan. Keempat keadaan yang mungkin itu adalah: Kedua komponen dapat beroperasi. Komponen 1 beroperasi dan komponen 2 gagal. Komponen 1 gagal dan komponen 2 beroperasi. Kedua komponen mengalami kegagalan. Gambar State Space Diagram Untuk Dua Komponen Berbeda Yang Mampu-Rawat Gambar 11.4 mengilustrasikan state space diagram dari sebuah sistem yang terdiri dari dua komponen yang berbeda dengan laju kegagalan dan laju perbaikan untuk masingmasing komponen dinyatakan oleh λ1 dan μ1 serta λ2 dan μ2. State space diagram yang ditunjukkan pada gambar 11.4 merupakan state diagram universal yang mewakili sebuah sistem yang memiliki dua buah komponen tanpa memandang apakah konfigurasi sistem tersebut seri, paralel, atau standby. Tabel 11.2 menunjukkan ketersediaan (availability) dan ketaktersediaan (unavailability) dari sebuah sistem yang terdiri dari dua komponen dengan berbagai konfigurasi. Notasi Pi Hal. 8 / 15

9 yang digunakan pada tabel 11.2 menunjukkan probabilitas dari sistem tersebut untuk berada pada state i. Tabel Ketersediaan Dan Ketaktersediaan Dari Sistem Yang Terdiri Dari Dua Komponen Mampu Rawat Yang Berbeda Seri Paralel Konfigurasi Availability (A) Unavailability (U) Untuk konfigurasi seri, dua komponen harus dalam keadaan beroperasi agar sistem dapat menjalankan misinya. Satu saja komponen mengalami kegagalan maka sistem akan mengalami kegagalan. Oleh karena itu ketersediaan dari sistem, A, diwakili oleh state 1, atau secara matematis ditulis sebagai: Sedangkan ketaktersediaan sistem diwakili oleh state 2, 3, dan 4, atau secara matematis ditulis sebagai: Seperti telah diulas pada seksi , mungkin saja sebuah komponen dapat beroperasi secara parsial selain beroperasi secara penuh. Apabila hal ini dikehendaki dalam analisa, maka keadaan ini dapat ditambahkan dalam pengkonstruksian diagram state space. Perlu dicatat pula bahwa untuk transisi tertentu di dalam model state space mungkin secara fisik tidak mungkin dan harus dihilangkan dan transisi lain mungkin harus ditambahkan. Sebagai contoh jika kedua komponen di dalam sistem mengalami kegagalan, perbaikan komponen 2 mungkin tidak akan dilakukan sebelum komponen 1 selesai diperbaiki sehingga transisi dari state μ2 dari state 4 ke state 2 tidak ada. Selain itu, mungkin saja kedua komponen akan mengalami kegagalan secara serentak sehingga transisi dari state 1 ke state 4 menjadi ada. Untuk situasi praktis tertentu, state space diagram pada gambar 11.4 dapat disederhanakan dan direduksi. Sebagai contoh, jika salah satu komponen mengalami kegagalan untuk sistem dengan konfigurasi seri, maka komponen lain tidak lagi beroperasi dan laju perubahannya untuk situasi ini menjadi nol. Sehingga untuk kasus ini state 4 menjadi tidak ada. Jika kedua komponen adalah identik, maka state 2 dan state 3 juga akan identik sehingga kedua state ini dapt dikombinasikan yang pada akhirnya akan mengurangi jumlah model state space dari 4 state menjadi 3 state seperti yang ditunjukkan pada gambar Laju kegagalan 2λ dan 2μ pada gambar 11.4 menunjukkan bahwa masingmasing ada dua komponen yang tersedia untuk mengalami kegagalan atau untuk diperbaiki pada pertambahan waktu berikutnya dan hanya ada satu dari dua komponen yang dapat mengalami kegagalan atau direparasi, tetapi tidak kedua-duanya pada interval waktu tersebut. Hal. 9 / 15

10 Gambar State Space Diagram Untuk Dua Komponen Identik Yang Mampu-Rawat Pemodelan Tiga Komponen yang Mampu-Rawat Jika sebuah komponen memiliki dua kemungkinan keadaan, yaitu keadan beroperasi dan gagal, maka untuk sistem yang memiliki tiga komponen ada 23 atau 8 state yang ada dalam sebuah model state space. Gambar 11.6 melukiskan sebuah diagram state space dari sebuah sistem yang terdiri dari 3 komponen. Laju kegagalan dan laju perbaikan untuk masing-masing komponen ditunjukkan oleh λi dan μi. Gambar State Space Diagram Untuk Tiga Komponen Hal. 10 / 15

11 Tabel 10.3 menunjukkan ketersediaan (availability) dan ketaktersediaan (unavailability) dari sebuah sistem yang terdiri dari tiga komponen dengan berbagai konfigurasi. Notasi Pi yang digunakan pada tabel 11.3 menunjukkan probabilitas dari sistem tersebut untuk berada pada state i. Tabel Ketersediaan Dan Ketaktersediaan Dari Sistem Yang Terdiri Dari Tiga Komponen Konfigurasi Availability (A) Unavailability (U) Seri Paralel 2 dari Stochastic Transitional Probability (STP) Matrix Untuk kasus discrete Markov chain, sebuah matrik didefinisikan sebagai matrik STP telah diulas (lihat seksi 10.3) yang menyatakan probabilitas untuk melakukan perpindahan dari satu state sistem ke state yang lain. Hal ini relatif lebih mudah untuk kasus discrete Markov chain, karena masing-masing step pada rantai (chain) menyatakan interval waktu yang sama dan probabilitas perpindahan masing-masing interval adalah konstan. Sebuah matrik STP yang serupa dapat juga diturunkan untuk continuous Markov process. Perbedaan dasar pada kasus ini adalah, pada continuous Markov process interval waktu yang diskrit bukan merupakan bagian spesifikasi permasalahan, sebagai gantinya maka akan dipakai pertamabahan waktu Δt, yang intervalnya cukup pendek sehingga probabilitas untuk terjadinya lebih dari satu kegagalan pada interval waktu itu dapat dihindarkan.matrik STP bagi continuous process dapat diturunkan dengan menggunakan terminologi yang sudah didiskritkan karena probabilitas terjadinya dari sebuah transisi pada interval waktu ini sama dengan laju perpindahan dikali dengan interval waktu. Jika laju kegagalan dari ebuah komponen adalah λ maka probabilitas dari sebuah kegagalan pada waktu Δt adalah λδt dan probabilitas untuk tidak mengalami kegagalan pada interval Δt ini adalah 1 λδt. Untuk kasus sebuah komponen yang mampu rawat seperti yang ditunjukkan pada gambar 11.1, maka matrik STP-nya adalah: [ ] (11.29) Pengevaluasian Probabilitas Untuk Kondisi Batas Komponen Tunggal yang Mampu-Rawat Pada seksi 10.5 telah ditunjukkan bahwa matrik STP memang secara ideal diperuntukkan untuk mengevaluasi probabilitas kondisi batas (limiting state probability). Pendekatan yang dilakukan adalah dengan mendefinisikan matrik A sebagai vektor probabilitas kondisi batas yang tidak akan berubah jika dikalikan dengna matrik STP, yaitu: (11.30) Hal. 11 / 15

12 Jika A adalah [ ] untuk komponen tunggal yang mampu rawat, maka dari persamaan (11.29) dan persamaan (11.30) [ ] [ ] [ ] (11.31) yang dapat ditulis dalam bentuk eksplisit (11.32) (11.33) dan dapat disederhanakan menjadi: (11.34) (11.35) Pada persamaan (11.34) dan (11.35) nilai dari Δt adalah tidak nol, sehingga kedua persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi: (11.36) (11.37) yang identik dengan persamaan (11.27) dan (11.28) yang juga memiliki solusi dan Suku Δt yang muncul pada persamaan (11.34) dan (11.35) dapat dihilangkan, oleh karena itu akan lebih mudah bila menghapuskan seluruh Δt pada saat memformulasikan matrik awal dan mengekspresikan probabilitas perubahan dalam bentuk laju perubahan. Untuk kasus ini matrik STP yang diberikan pada persamaan (11.29) akan berubah menjadi: [ ] (11.38) Perlu ditekankan bahwa persamaan (11.38) merupakan bentuk tak lengkap dari matrik STP karena λ dan μ bukanlah secara khusus menyatakan probabilitas Dua Komponen yang Mampu-Rawat Untuk kasus ini, state space diagram dari dua komponen ditunjukkan oleh gambar Matrik STP untuk state space diagram ini adalah: Hal. 12 / 15

13 [ ] (11.39) Oleh karena itu, jika vektor probabilitas kondisi batasnya adalah [ persamaan (11.30) dapat ditulis menjadi: ], maka [ ] [ ] [ ] (11.40) yang dapat ditulis dalam bentuk eksplisit. (11.41) (11.42) (11.43) Dengan menyusun ulang ketiga persamaan di atas menjadi: (11.44) (11.45) (11.46) Probabilitas keadaan batas untuk masing-masing keadaan dapat dihitung secara langsung dengan menyelesaikan tiga buah persamaan serentak, dimana dua diantaranya dipilih dari persamaan (11.44) sampai (11.46) sedangkan satu persamaan lainnya adalah persamaan. Solusi dari ketiga persamaan serentak itu adalah: (11.47) Tabel 11.4 menunjukkan ketersediaan (availability) dan ketaktersediaan (unavailability) dari sebuah sistem yang terdiri dari dua komponen dengan berbagai konfigurasi. Notasi Pi yang digunakan pada tabel 11.4 menunjukkan probabilitas dari sistem tersebut untuk berada pada state i. Tabel Ketersediaan Dan Ketaktersediaan Dari Sistem Yang Terdiri Dari Dua Komponen Mampu Rawat Yang Berbeda Konfigurasi Availability (A) Unavailability (U) Seri Hal. 13 / 15

14 Konfigurasi Availability (A) Unavailability (U) Paralel Pengevaluasian Dengan Menggunakan Persamaan Diferensial Konsep dasar pengevaluasian probabilitas yang tergantung waktu dari Markov process dengan menggunakan persamaan diferensial didiskripsikan pada seksi yang mengilustrasikan evaluasi untuk komponen tunggal. Untuk sistem yang kompleks, adalah sangat sulit untuk mendapatkan ekspresi probabilitas general yang tergantung waktu. Untuk kasus ini adalah lebih baik untuk menggunakan teknik numerik yang konvensional untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang berhubungan dengan sistem daripada menurunkan ekspresi general. Berikut ini akan diberikan ilustrasi tentang aplikasi persamaan diferensial untuk mendapatkan ekspresi umum probabilitas yang tergantung waktu dari sistem yang terdiri dari dua komponen. State space diagram untuk sistem ini ditunjukkan oleh gambar Proses penurunan ekspresi ini diserahkan kepada para pembaca sebagai latihan. Misalkan: P1(t) = probabilitas kedua komponen dalam keadaan beroperasi pada saat t. P1(t) = probabilitas satu komponen dalam keadaan beroperasi dan satu komponen gagal pada saat t. P1(t) = probabilitas kedua komponen gagal pada saat t. Dengan menggunakan prinsip yang sama untuk menurunkan persamaan (11.7), (11.9), dan (11.10), persamaan diferensial untuk sistem ini adalah: [ ] [ ] [ ] (11.48) Dengan mengasumsikan sistem berawal dari state 1, maka P1(0)=1, P2(0)=0, dan P3(0)=0. Solusi dari persamaan (11.48) adalah: (11.49) Hal. 14 / 15

15 11.7. Mean Time to Failure (MTTF) Secara umum MTTF dari sistem dapat dihitung dengan mengintegralkan langsung fungsi reliability seperti yang ditunjukkan pada persamaan (7.28). Untuk sistem yang kompleks akan sangat sulit untuk mendapatkan persamaan keandalan sebagai fungsi dari waktu. Metode alternatif untuk mendapatkan MTTF dari sistem dapat dilakukan dengan menggunakan metode truncated probability matrix seperti yang dijelaskan pada seksi 10.6 dimana baris dan kolom dari matrik STP yang berhubungan dengan absorbing state akan dihapus. Sebagai ilustrasi pemakaian metode ini, akan ditentukan MTTF dari sebuah sistem yang terdiri dari dua komponen. Matrik STP dari sistem ini dapat dilihat pada persamaan (11.39). Jika kedua komponen kita asumsikan bekerja secara paralel, maka state 3 akan menjadi absorbing state, sehingga truncated matrix Q untuk sistem ini adalah: [ ] (11.50) Pada bab 9, matrik Q dipakai untuk deduksi rata-rata jumlah langkah yang harus dilalui sebelum sistem memasuki absorbing state. Pada kasus Markov process, teknik yang sama juga dapat digunakan untuk deduksi waktu rata-rata, dalam hal ini MTTF, yang akan dilalui sebelum sistem memasuki absorbing state. Interval waktu rata-rata dapat untuk tiap state dapat dideduksi dari: [ ] [[ ] [ ]] [ ] (11.51) dimana komponen nij pada N adalah waktu rata-rata yang dihabiskan pada state j dengan catatan bahwa proses berawal dari state i sebelum sistem tersebut memasuki absorbing state. Jika sistem memulai proses dari state 1, maka MTTF dari sistem adalah: (11.52) Referensi dan Bibliografi Priyanta. Dwi, [2000], Keandalan dan Perawatan, Institut Teknologi Sepuluh Nopemeber, Surabaya Billinton, R. and Ronald N. Allan, [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2nd edition, Plenum Press, New York and London Henley, E.J. and Hiromitsu Kumamoto, [1992], Probabilistic Risk Assessment: reliability Engineering, Design, and Analysis, IEEE Press, New York Hoyland, Arnljot and Marvin Rausand, [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods, John Willey & Sons, Inc. Ramakumar, R, [1993]., Engineering Reliability: Fundamentals and Applications, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey Hal. 15 / 15