5. Aplikasi Sederhana Mekanika Statistik

Transkripsi

1 Pngtahuan tntang sistm mikroskoik 5. Alikasi Sdrhana Mkanika Statistik mngtahui sifat-sifat makroskoik sistm dalam ksimbangan. 5.. Fungsi Partisi Prosdur untuk mngtahui sifat-sifat makroskoik dngan mkanika statistik tidaklah bgitu sukar. Yang harus dilakukan hanyalah mnghitung fungsi artisi Z. E,, S dan (ΔE) daat dihitung scara langsung dngan drivatif ln Z. Prumusan fungsi artisi adalah sbagai brikut: Z= - E β (5.) Jumlah ini dibuat untuk smua kadaan. r Scara rinsi tidak ada ksulitan untuk mmformulasikan roblm, bagaimana un komlksnya. Ksulitan yang muncul ada ada nylsaian matmatik untuk roblm yang tlah diformulasikan. Sangat mudah untuk mncari kadaan kuantum dan fungsi artisi gas idal tidak brintraksi, ttai mruakan tugas yang sangat brat untuk mlakukan hal yang sama ada suatu liquid yang dalam hal ini smua molkul saling brintraksi kuat satu sama lain. Pada ndkatan klassik: Enrgi sistm E(q,q,...q f,,,... f ) Ruang fas daat dibagi kcil-kcil olh sl dngan volum h f, fungsi artisi dalam rsamaan (5.) daat dihitung rtama-tama dngan sumasi jumlah (dq dq...dq f d d...d f )/h f ada titik (q,q,...q f,,,... f ) Dalam ndkatan klassik daat dirolh: dq... d - E( f... β q,... q f ) (5.) f ho Tinjau skarang nrgi sistm digsr dngan ε o, maka fungsi artisi mnjadi β( E ) * r+ εo βεo β E Z r βε = = = oz (5.) r r ln Z* = ln Z βε o Jadi fungsi artisi juga brubah. Enrgi rata-rata yang baru mnjadi: M. Hikam, Fisika Statistik, Alikasi Sdrhana Mkanika Statistik 48

2 * * ln Z ln Z E = = + ε = E+ ε β β disini nrgi rata-rata digsr sbsar ε o (ssuai dngan yang kita harakan), namun ntroi tidak brubah: * ln * * S =k( Z +β E )= k( ln Z+βE)=S Hal yang sama, smua gaya dirumum (dalam rsamaan kadaan) tidak brubah, karna bsaran-bsaran hanya trgantung dari drivatif ln Z trhada suatu aramtr kstrnal. Hal kdua, ada dkomosisi fungsi artisi sistm A yang trdiri dari A' dan A" yang brintraksi lmah satu sama lain. Aabila kadaan A' dan A" masing-masing dibri labl r dan s, maka nrgi E rs (ada sistm A) mruakan jumlah masing-masing nrgi: Ers = Er ' + E s" (5.4) hal yang cuku nting disini, fungsi artisi sistm total A mruakan adisi smua kadaan dngan labl rs. Z= - β( Er+ Er") = -βer - βer" = -β Er - βer" r,s r,s r r jadi Z =ZZ" (5.5) dan ln Z = ln Z + ln Z" (5.6) dngan Z' dan Z" masing-masing mruakan fungsi artisi A' dan A". Fungsi artisi total mruakan hasil rkalian sdrhana masing-masing fungsi artisi komonnnya. 5.. Prhitungan Bsaran Trmodinamika ada Gas Idal Monatomik Kita tinjau suatu gas trdiri dari N molkul monatomik idntik dngan massa m brada ada volum V. Enrgi total gas ini: N i P E = +U ( r, r, K, rn) (5.7) i= m Bila U mndkati, kita tmui kondisi gas idal. d rkd rn d x Kd Z = -β ( N + K+ N )+U( r, K, rn ) m (5.8) N h Z = -( β/ m) -( / m) N - U( r,, rn ) N d K β d N β K d rk d rn (5.9) h Karna nrgi kintik mruakan suatu jumlah dari suku-suku, satu untuk tia-tia molkul, maka fungsi artisinya mruakan rkalian N intgral: M. Hikam, Fisika Statistik, Alikasi Sdrhana Mkanika Statistik 49

3 - -( β / m) Sdangkan bagian U tidak mruakan njumlahan sdrhana. Disinilah nybab rhitungan gas non-idal sangat susah. Ttai aabila gas cuku rnggang, kondisi idal daat dinuhi, U=, intgral mnjadi: N d rd rkd rn= d r d rk d rn= V Shingga Z mruakan multilikasi sdrhana: N Z = ξ ln Z = N ln ξ (5.) dngan V ξ -( β / m) d (fungsi artisi sbuah molkul). Evaluasi intgral ini h - πm mnghasilkan ξ = V hβ, shingga: πm ln Z = N ln V - ln β + ln h d (5.) Dari fungsi artisi ini, bsaran-bsaran fisika yang lain daat dihitung. Tkanan gas dibrikan olh rsamaan: ln Z N = = β V β V shingga V = NkT (5.) yang mruakan rsamaan kadaan gas idal yang sudah kita knal. Enrgi rata-rata gas: N E = ln Z = = Nε (5.) β β dngan ε = kt mruakan nrgi rata-rata r molkul. Panas jnis gas ada volum konstant daat dihitung: E CV = = Nk = R (5.4) T V Entroi juga daat dihitung: πm S = k( ln Z + βe ) = Nk ln V - ln β + ln + h M. Hikam, Fisika Statistik, Alikasi Sdrhana Mkanika Statistik 5

4 π mk dngan σ = ln + h S = Nk ( ln V + ln T + σ ) (5.5) mruakan konstanta yang tidak trgantung T, V N. 5.. Paradoks Gibbs Prsamaan ntroi (5.5) tidak snuhnya bnar karna trlihat ntroi tidak brrilaku srti bsaran kstnsif. dngan S' dan S" mruakan ntroi bagian. S = S' + S" (5.6) Prsamaan (5.5) tidak mnunjukkan njumlahan sdrhana yang dirlukan olh (5.6). Bukti untuk kasus nykat mmbagi sama. Paradoks smacam ini rtama-tama diamati olh Gibbs, shingga sring disbut "aradoks Gibbs". Paradoks ini muncul karna dalam nurunan rumus (5.5) kita mngangga bahwa artikl-artikl smuanya daat dibdakan. fungsi artisi harus mngandung faktor N! rmutasi antar molkul. N Z ξ Z = = (5.7) N! N! Korksi ini akan mnghasilkan ntroi yang brsifat srti bsaran kstnsif: S = kn( ln V + ln T + σ) + k( -N ln N + N ) V S = kn (ln + ln T + σ o) (5.8) N πmk 5 dngan σ = σ + = ln + h 5.4. Torma Equiartisi Dalam mkanika klassik kita knal torma quiartisi yang sangat brguna untuk brbagai nydrhanaan rhitungan. Enrgi suatu sistm: E = E ( q, q, K, q,, K, ) (5.9) f Situasi brikut ini sring dijumai: a) Enrgi total daat diisah scara aditif: E = ε i ( i ) + E (q, q,..., f ) (5.) f M. Hikam, Fisika Statistik, Alikasi Sdrhana Mkanika Statistik 5

5 b) Fungsi ε i mruakan fungsi kuadrat dari i, dalam bntuk: ε i( i) = bi (5.) dngan b mruakan konstanta Dari asumsi a) dan b), rata-rata k-i adalah: ε i = kt (5.) Hal ini yang disbut dngan torma quiartisi yang brarti bahwa ada nrgi, harga rata-rata stia bagian suku kuadrat adalah ½ kt. Torma ini daat digunakan ada gas idal. Enrgi kintik sbuah molkul: ( Ek = x + y+ z ) m scara cat daat kita ktahui nrgi kintik rata-rata: (5.) E k = kt (5.4) Kalau ada N a molkul r-mol, nrgi mnjadi: E = N a ( kt) = RT dari sini anas jnis molar daat dihitung: E cv= = R T v (5.5) Dari hal ini kcatan kuadrat rata-rata molkul daat dihitung: kt mv x= kt vx= m Torma yang sama juga daat digunakan untuk mmbahas grak osilator harmonis satu dimnsi: E = + kx (5.6) m Harga rata-rata nrgi kintik = = k B T m Harga rata-rata nrgi otnsial = k x = k B T Jadi harga rata-rata nrgi total: E = kt (5.7) Skarang kita tinjau scara mkanika kuantum ada kasus yang sama untuk mlihat batas validitas mkanika klassik. Lvl-lvl nrgi ssuai dngan osilator harmonik: E = ( n + )hω n (5.8) M. Hikam, Fisika Statistik, Alikasi Sdrhana Mkanika Statistik 5

6 dngan n =,,,,4,... dan k ω = mruakan frkunsi angular klassik. m Enrgi rata-rata osilator: disini Z = n= βe n = n= E = β ( n+ ) hω n= βen En ln Z = (5.9) βe β n n= = βhω nβhω n= βhω βhω βhω βhω βhω h = ( ) = β ω shingga: ln Z ln( β h = βh ω ω ) (5.) strusnya: w ln Z β h hω E = = h ω β β hω E = h ω + β ω (5.) h Skarang kita lihat ada kondisi-kondisi kstrim: hω Kalau βh ω = <<< kt (yakni kalau suhu sangat tinggi, shingga nrgi trmal jauh lbih tinggi dariada sarasi h ω antar lvl) Didaat: E = hω + hω + hω ( + β hω+...) βhω βhω E = = kt jadi ssuai dngan hasil klassik. β Sbaliknya ada suhu rndah: M. Hikam, Fisika Statistik, Alikasi Sdrhana Mkanika Statistik 5

7 hω βh ω = >>> kt didaat karna β hω sangat bsar: ( E β h = h ω + ω ) trlihat bahwa hasil ini SANGAT BERBEDA dngan torma quiartisi. Nilai E akan mndkati hω (ground stat) ktika T. Plajari sndiri mngnai: - Kaasitas anas zat adat (Rif 5) - Paramagntism 5.5. Distribusi Kcatan Maxwll Suatu molkul m brada brsama-sama molkul-molkul yang lain mmbntuk gas. Bila gaya luar tidak ada (srti gravitasi), nrgi molkul mnjadi: ε strusnya: (int) βε s = + m ε (intrmol) (int) β m+ ε [ / ] P (, ) s s r d rd d rd adalah konstanta, shingga: β /m P (, r ) d rd d rd s (int) s β /m βε d rd Arti fisis rsamaan trakhir: kmungkinan mnmukan molkul dngan usat massa dalam jangkauan (r ; dr) dan ( ; d). Aabila rsamaan ini dikalikan dngan N (jumlah ksluruhan molkul) maka hasilnya mnunjukkan nilai rata-rata jumlah molkul ada jangkauan osisi dan momntum trsbut. Prsamaan trakhir ini kalau ditrjmahkan dalam bahasa kcatan, mngingat v = /m akan mnjadi: f (r, v) d r d v yang brarti jumlah molkul yang mmiliki usat massa antara r dan r+ dr dngan kcatan antara v dan v+ dv β mv / f (, r v) d rd v = C d rd v N βm Stlah dinormalisasi mnghasilkan C = V π, tulis N n =, maka: V M. Hikam, Fisika Statistik, Alikasi Sdrhana Mkanika Statistik 54

8 βm mv / β f (, rv) d rd v= n d rd v π r dan v saling indndn β m mv / β f ( v) d v = n d v π Skarang kalau kita lihat bsar kcatan saja (tana mlihat arah). Jumlah artikl (dn v ) yang mmiliki bsar kcatan antara v dan v + Δv. : F v dv = 4πv f (v) dv / 4n m mv dnv = Fvdv = v x dv π kt kt F V ara = ΔN =F v Δv Δv Gbr.: Distribusi kcatan laju,v Dari rsamaan ini daat dicari jumlah artikl yang mmiliki darah kcatan trtntu. Juga daat dicari: vdn kcatan artikl rata-rata v = dn v v kcatan artikl yang aling banyak dimiliki olh molkul, yaitu kondisi = v F v M. Hikam, Fisika Statistik, Alikasi Sdrhana Mkanika Statistik 55

9 v dnv kcatan rms: vrms = v, dngan v = dnv Dngan mnggunakan fungsi Gamma: t z Γ ( z) = t dt; Γ ( ) = π dan Γ(n) = (n-)γ(n-) didaat: kt vm = m 8 kt kt v =,55 π m = m v rms = kt m Jadi vm : v : v rms = :,8:, 4 Diantara ktiga jnis kcatan trsbut, mana yang mmunyai arti fisis? Fatur lain: T F V T T < T < T T laju, v Dskrisikan grafik ini! M. Hikam, Fisika Statistik, Alikasi Sdrhana Mkanika Statistik 56

10 Soal-soal Latihan:. Prkirakan nilai numris kcatan rms untuk udara! Udara daat diangga sbagian bsar trdiri gas nitrogn (N ), massa satu atom nitrogn:,4x -6 kg. Konstanta lain k =,8x - SI N A = 6,x. (Rif 7.9) A gas of molculs, ach of mass m, is in thrmal quilibrium at th absolut tmratur T. Dnot th vlocity of a molcul by v, its thr Cartsian comonnts by v x, v y, and v z and its sd. What ar th following man valus: (a) v x (d) vxv x (b) (c) v x v vx () ( v x + bv y ) (f) v xv y M. Hikam, Fisika Statistik, Alikasi Sdrhana Mkanika Statistik 57