TUGAS FILSAFAT ILMU, ETIKA, SEJARAH MATEMATIKA PARADOKS ZENO
|
|
- Ida Hartanto
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 TUGAS FILSAFAT ILMU, ETIKA, SEJARAH MATEMATIKA PARADOKS ZENO Disusun oleh : Anisa Rahmawati 12/331118/PA/14455 Zainab Mursyidah 12/331194/PA/14492 Vivien Tiara Dewi 12/331291/PA/14568 Kholida Khoirunnisa 12/331359/PA/14622 Dia Primasari 12/331378/PA/14636 Sintya Sucofiana 12/334604/PA/14837 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA 2015
2 A. BIOGRAFI ZENO DARI ELEA Zeno adalah seorang filsuf Yunani yang diperkirakan lahir pada tahun 490 SM. Zeno merupakan anak dari Teleutogoras dan tinggal di Magna Graecia (Elea), Italy. Semasa mudanya Zeno merupakan murid sekaligus teman dari Parmenides dan tergabung dalam Eleatic School. Menurut catatan Plato, yang merupakan temannya pada masa itu, guna melindungi Parmenides dari para pengkritiknya, Zeno melalui ide-idenya membuat banyak sekali paradoks yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka di Yunani saat itu. Melalui paradoks tersebut, Zeno berusaha menyatakan bahwa semua gerak dan perubahan di dunia ini bersifat semu. Baik Zeno maupun Parmenides berpendapat bahwa alam semesta sebenarnya tunggal, diam dan seragam. Hanya tampak luarnya saja yang mengesankan perbedaan atau perubahan. Meskipun begitu, di masa kini hampir tidak ada karya asli Zeno dan Parmenides yang bertahan. Buku yang berisi 40 buah paradoks hilang dicuri orang. Hanya beberapa kutipan dari filsuf sepantaran mereka yang memberi petunjuk. Salah satu pendapatnya tertuang dalam buku Physic yang dicatat oleh Aristoteles. Melalui catatan tersebut, orang dapat membaca pemikiran Zeno. Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-teki yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka Yunani saat itu. Paradoks yang dilontarkan Zeno membingungkan semua filsuf Yunani, namun tidak seorang pun dapat menemukan kesalahan pada logika Zeno. Paradoks ini menjadi sangat termasyhur karena terus mengganggu pemikiran para matematikawan dan baru dapat dipecahkan hampir 2000 tahun kemudian. Dari enam paradoksnya, yang paling terkenal, adalah paradoks lomba lari Achilles dan kura-kura.
3 Di penghujung hayatnya, Zeno menghadapi permasalahan yang serius. Sekitar tahun 430 SM, Zeno bersekongkol untuk menggullingkan tirani Elea saat itu, yaitu Nearchus. Zeno membantu penyelundupan senjata dan mendukung pemberontakan. Namun Nearchus mengetahui skenario itu dan akhirnya Zeno ditangkap. Meskipun Zeno telah wafat, namun hasil dari pemikiran-pemikirannya membuahkan inspirasi pada konsep limit dan deret tak hingga. 1 B. PARADOKS ZENO TENTANG GERAK Pada buku Physics karya Aristoteles subbab 6.9, menyatakan bahwa Zeno mempunyai empat pendapat mengenai gerak yang sulit dipecahkan. Aristoteles mengungkapkannya dalam bentuk parafrase dan memberikan pandangannya sendiri. Pendapat-pendapat tersebut selanjutnya disebut Paradoks. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, Paradoks merupakan pernyataan yang seolah-olah bertentangan (berlawanan) dengan pendapat umum atau kebenaran tetapi kenyataannya mengandung kebenaran. 2 Berikut adalah keempat paradoks yang termuat dalam buku Physics 1. Paradoks Dikotomi (Dichotomy Paradox) There is no motion because that which is moved must arrive at the middle of its course before it arrives at the end. Physics, Aristoteles Sebuah benda yang bergerak tidak akan pernah mencapai tujuan. Pertamatama benda harus menempuh segmen setengah perjalanan. Lalu sesudah itu dia masih harus melewati banyak segmen: seperempat, seperdelapan, seperenambelas, sepertigapuluhdua dan seterusnya sedemikian hingga jumlah perjalanannya menjadi tak-hingga
4 Karena mustahil melakukan perjalanan sebanyak tak-hingga, maka benda takkan pernah sampai tujuan. 2. Paradoks Anak Panah (Paradox of Arrow) If, says Zeno, everything is either at rest or moving when it occupies a space equal to itself, while the object moved is in the instant, the moving arrow is unmoved. Physics, Aristoteles Misalnya kita membagi waktu sebagai deretan masa-kini. Kemudian kita lepaskan anak panah. Di setiap masa-kini anak panah menduduki posisi tertentu di udara. Oleh karena itu anak panah dapat dikatakan diam sepanjang waktu. 3. Paradoks Stadion (Stadium Paradox) concerning the two rows of bodies, each row being composed of an equal number of bodies of equal size, passing each other on a race-course as they proceed with equal velocity in opposite directions, the one row originally occupying the space between the goal and the middle point of the course and the other that between the middle point and the starting-post. This...involves the conclusion that half a given time is equal to double that time. Physics, Aristoteles
5 B dan C bergerak saling mendekati dengan kecepatan yang sama (hendak bersejajar dengan barisan A). Antara Sebelum dan Sesudah, titik C paling kiri melewati dua buah B, tetapi cuma satu buah A. Berarti waktu C untuk melewati B = setengah waktu untuk melewati A. Padahal A dan B adalah unit yang identik! Mungkinkah setengah waktu = satu waktu? 4. Paradoks Lomba Lari Achilles dan Kura-kura... the slower when running will never be overtaken by the quicker; for that which is pursuing must first reach the point from which that which is fleeing started, so that the slower must necessarily always be some distance ahead. Paradoks Zeno dalam buku Physics karya Aristoteles Achilles (Pahlawan Yunani dalam Perang Troja/Trojan War) dan kurakura akan berlomba lari. Achilles dapat berlari dengan kecepatan 10 meter per detik, sedangkan kura-kura hanya mampu berlari 1 meter per detik.
6 Achilles selain manusia perkasa juga sportif berbaik hati memberikan keuntungan start bagi sang kura-kura 10 meter di depannya. Tidak masalah, mungkin begitu pikir Achilles. Jadi, siapa yang menang? Kura-kura memulai start 10 meter di depan Achilles. Keduanya lalu mulai berlari. - Setelah satu detik, Achilles telah mencapai tempat di mana kura-kura memulai start-nya. Sedangkan sang kura-kura sudah berlari 1 meter di depan. - Achilles berlari lagi dan berhasil mencapai tempat kura-kura berada tadi. Sedangkan sang kura-kura telah berlari 0.1 meter di depan. - Achilles masih dengan semangat berlari lagi untuk meraih selisih 0.1 meter ini. Di saat yang bersamaan, sang kura-kura telah berlari 0.01 meter di depan. Hal ini berlangsung terus-menerus. Setiap kali Achilles berhasil mencapai tempat di mana kura-kura berada beberapa saat yang lalu, sang kura-kura lagi-lagi telah menempuh sedikit jarak dan tetap berada di depan Achilles. Pada makalah ini, paradoks lomba lari akan dibahas lebih lanjut. Sedangkan ketiga paradoks lainnya secara analog memiliki penyelesaian seperti paradoks lomba lari. Selanjutnya dalam makalah ini, paradoks lomba lari ini disebut Paradoks Zeno. C. PENYELESAIAN PARADOKS ZENO Berikut adalah beberapa variasi penyelesaian paradox Zeno. Semua penyelesaian di bawah ini ditemukan setelah Zeno wafat. Dasar penyelesaian ini adalah penyelesaian dengan deret tak hingga oleh Augustin-Loius Cauchy (dibahas pada poin ketiga). Sedangkan dua penyelesaian lainnya yang akan dibahas, merupakan variasi penyelesaian. 1. Penyelesaian dengan Mempertimbangkan Finish Dahulu, Zeno memiliki kesulitan tentang notasi dan simbol matematika karena pada jamannya notasi dan simbol matematika belum berkembang dan hanya tersedia bahasa saja. Berbeda dengan sekarang yang
7 notasi dan simbol matematika sudah sangat berkembang. Maka, untuk menyelesaikan paradoks Zeno ini, kita akan memanfaatkan notasi aljabar sederhana. Perhatikan gambar berikut. Finish 10 meter Karena titik start kura-kura berada pada 10 meter didepan achilles, maka jika finish di 10 meter, kura-kura langsung menang bahkan sebelum kurakura bergerak. Finish 11 meter Achilles berlari dengan kecepatan 10 m/s dan kura-kura bergerak dengan kecepatan 1 m/s, maka pada detik pertama, Achilles menempuh jarak 10
8 meter, sedangkan kura-kura telah menempuh jarak 11 meter. Jadi, kurakura menang karena mencapai finish terlebih dahulu dengan waktu 1 detik. Finish 12 meter Dengan kecepatan 1 m/s, untuk mencapai finish 12 meter, kura-kura membutuhkan waktu 2 detik, padahal dengan waktu 2 detik, Achilles telah menempuh 20 meter. Jadi sebelum kura-kura menempuh jarak 12 meter, Achilles telah menyalip kura-kura. Finish lebih dari 12 meter Untuk finish yang lebih dari 12 meter, Achilles akan terus menang karena selalu dapat mencapai finish terlebih dahulu.
9 Lalu, bagaimana proses Achilles menyalip kura-kura? Achilles akan menyusul kura-kura saat Achilles menempuh jarak yang sama dengan jarak yang ditempuh kura-kura. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut. Jarak tempuh Achilles = jarak tempuh kura kura 10. t = t 9. t = 10 t = 10 9 (detik) Jadi pada saat t = 10 9 detik Achilles berhasil menyusul kura-kura. Jarak tempuh Achilles = = Jarak tempuh kura-kura = = ,111 meter. meter = 11,111 meter. meter = Jadi, Achilles mulai menyalip kura-kura pada jarak 11,111 meter. Dengan demikian, untuk jarak finish yang kurang dari 11,111 meter, maka kura-kura akan menang. Akan tetapi, untuk jarak finish yang lebih dari 11,111 meter, maka Achilles lah yang akan selalu menang. 2. Penyelesaian dengan Konsep Himpunan Didefinisikan himpunan (interval waktu) : A = {t 0 t < 10 9 } B = {t t = 10 9 } C = {t t > 10 9 } Jelas bahwa ketiga interval waktu di atas saling asing. Selanjutnya, dengan hitungan aljabar sederhana, dapat dihitung jarak tempuh kura-kura dan Achilles, yaitu Jarak tempuh kura-kura : 10 + t
10 Jarak tempuh Achilles : 10t Selisih jarak tempuh (s(t)) : (10 + t) 10t = 10 9t Perhatikan bahwa interval waktu di atas menunjukkan selisih jarak tempuh yang berbeda. a. Untuk t A, 0 t < t < t > 0 s(t) > 0 Selisih jarak tempuh bernilai positif. Artinya, jarak yang ditempuh kurakura lebih jauh daripada jarak yang ditempuh Achilles, sehingga kura-kura menang. b. Untuk t B, t = 10 9 s(t) = 10 9t = 10 (9 10 ) = = 0 9 Selisih jarak tempuh bernilai nol. Artinya, keduanya seri. c. Untuk t C, t > t > t < 0 s(t) < 0 Selisih jarak tempuh bernilai negatif. Artinya, jarak yang ditempuh kurakura lebih pendek daripada jarak yang ditempuh Achilles, sehingga Achilles menang. Zeno mengatakan bahwa setiap Achilles mendekati kura-kura, maka kura-kura telah melangkah sedikit ke depan, sehingga kura-kura menang. Hal ini bernilai benar untuk interval waktu A. Sedangkan dalam intuisi kita, mengatakan bahwa Achilles pada akhirnya akan menang. Hal ini benar untuk interval waktu C. Kedua kondisi pada interval waktu A maupun pada
11 interval waktu C sama sama bernilai benar, namun bertentangan sehingga memunculkan paradoks Zeno. Mengingat interval waktu A dan interval waktu C saling asing, maka A C =. Tidak mungkin ada kejadian yang terjadi pada interval waktu yang berupa himpunan kosong. Artinya, tidak mungkin kura-kura dan Achilles sekaligus kedua-duanya menang. Jadi, paradoks Zeno ini muncul karena menganggap ada kejadian yang dapat terjadi pada interval waktu yang berupa himpunan kosong. Dengan demikian, solusinya adalah kura-kura menang pada interval waktu A dan Achilles menang pada interval waktu C. 3. Penyelesaian dengan Limit Tak Hingga Pandangan Zeno terhadap cerita di atas adalah bahwa setiap kali Achilles mencapai tempat siput, maka siput sudah maju sedikit lebih di depan Achilles. Menurut Zeno pula hal tersebut akan berlaku untuk waktu yang tak terhingga, karena 1 + 0,1 + 0,001 + akan menuju tak hingga. Hal tersebut terjadi karena pada zaman tersebut belum mengenal adanya konsep deret tak hingga. Paradoks tersebut masih meresahkan para matematikawan sampai 2000 tahun. Hingga akhirnya pada abad ke-19 ahli matematika dunia bernama Augustin-Louis Cauchy dapat menyelesaikan paradoks Zeno dengan sangat memuaskan. Cauchy menemukan solusi dengan deret tak hingga. adalah, Dihitung dari titik awal, maka jarak yang ditempuh oleh kura-kura ,1 + 0,01 + 0,001 + = S k (1) Kalikan kedua ruas dengan 0,1 maka diperoleh 0,1( ,1 + 0, ) = 0,1 S k 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + = 0,1 S k (2) Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1), sehingga hasilnya menjadi 10 = S k 0,1 S k = 0,9 S k atau S k = 10 0,9 = meter
12 Sementara itu, jarak yang ditempuh oleh Achilles adalah ,1 + 0,01 + 0,001 + = S A Dengan cara yang sama diperoleh jarak yang ditempuh Achilles adalah, S A = meter Karena jarak Achilles pada akhirnya sama dengan jarak yang ditempuh oleh kura-kura maka Achilles berhasil menyamai kura-kura pada jarak S k = S A = meter Permasalahan selanjutnya adalah apakah Achilles memiliki cukup waktu untuk berada di depan kura-kura. Perhatikan kembali bahwa Achilles membutuhkan waktu 1 detik untuk mencapai 10 meter, 0,1 detik untuk 1 meter, 0,001 detik untuk 0,1 meter, dan seterusnya. Menurut anggapan Zeno, karena perubahan waktu tersebut akan memberikan perubahan posisi pada kura-kura untuk tetap berada depan Achilles. Hal tersebut akan terjadi untuk waktu yang tak hingga. Akan tetapi perhatikan deret berikut: t A = 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + (3) Kalikan kedua ruas dengan 0,1 maka diperoleh, 0,1 t A = 0,1 + 0,01 + 0,001 + (4) Dengan mengurangi persamaan (3) dengan persamaan (4) diperoleh: t A 0,1 t A = 1 0,9 t A = 1 t A = 1 0,9 = 10 9 Artinya bahwa Achilles mampu menyamai kedudukan kura-kura dalam waktu yang singkat, yaitu 10 detik atau 1,111 detik (merupakan bilangan yang berhingga). 9 Dari pembuktian dengan menggukan deret tak hingga tersebut, terlihat bahwa Achilles mampu menyamai kedudukan kura-kura pada jarak meter dari garis start, dan akan berada di depan kura-kura pada jarak selanjutnya. Waktu yang dibutuhkan Achilles pun tidak banyak, yaitu sekurang-kurangnya 1,111 detik untuk berada di depan kura-kura.
13 D. PENGARUH PARADOKS ZENO TERHADAP MATEMATIKA Keberadaan paradoks Zeno yang meresahkan para filsuf dan matematikawan membuat mereka bertanya-tanya bagaimana cara membuktikan kebenarannya. Selama berabad-abad mereka berusahan melakukan berbagai pendekatan hingga terbentuknya deret menuju tak hingga. Perkembangan tentang matematika yang cukup pesat menjadikan paradoks Zeno ini sebagai cikal bakal konsep limit menuju tak hingga. E. KESIMPULAN Paradoks Zeno terpecahkan karena dua nilai yang saling bertentangan akhirnya dapat dibuktikan bahwa masing-masing nilai tersebut benar dengan syarat tertentu. Dan melalui paradoksnya, Zeno mampu merangsang otak-otak kreatif matematikawan setelah zamannya sehingga memberi warna pada sejarah perkembangan matematika. F. DAFTAR PUSTAKA diakses pada 3 Maret 2015 pukul WIB diakses pada 23 Februari diakses pada 4 Maret 2015 pukul WIB diakses pada 22 Maret 2015 pukul WIB
Oleh: Anggun Rizki Samsunar *)
KAJIAN TOKOH FILSAFAT ABAD YUNANI KUNO Filsafat Zeno Oleh: Anggun Rizki Samsunar *) Filsafat Yunani kuno mempunyai cirri yang menonjol yaitu ditujukannya perhatian terutama pada pengamatan gejala kosmik
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 17, 2011 Zeno, seorang filsuf dan matematikawan Yunani Kuno (490-435 SM), mengemukakan sebuah paradoks tentang suatu
Lebih terperinciMATEMATIKA LIMIT FUNGSI ALJABAR BAHAN AJAR DAN LKS TATI MASRIYATI. WAKTU 8 x 45 MENIT (4 KALI PERTEMUAN) KELAS X SEMESTER II Kelompok :.
BAHAN AJAR DAN LKS TATI MASRIYATI MATEMATIKA LIMIT FUNGSI ALJABAR WAKTU 8 x 45 MENIT (4 KALI PERTEMUAN) Nama :. NIS :. Kelas :. KELAS X SEMESTER II Kelompok :. SEKOLAH MENENGAH ATAS PENGANTAR Puji Syukur
Lebih terperinciZENO; Tokoh Yunani Kuno Wina Ayu Prasanti
ZENO; Tokoh Yunani Kuno Wina Ayu Prasanti Perkembangan ilmu dan filsafat diawali dari rasa ingin tahu, yang kemudian rasa ingin tahu meningkat menjadi tahu. Dan dalam menghadapi seluruh kenyataan dalam
Lebih terperinciBAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret
BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan
Lebih terperinciDaftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 29, 2011 Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai
Lebih terperinciRussel Paradox dan The Barber Puzzle
Russel Paradox dan The Barber Puzzle Lucky Cahyadi Kurniawan / 13513061 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciPENALARAN PADA PARADOKS KEBOHONGAN
PENALARAN PADA PARADOKS KEBOHONGAN Nikolaus Indra - 13508039 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesa 10, Bandung e-mail: if18039@students.if.itb.ac.id
Lebih terperinciBAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif
Lebih terperinci2. Untuk interval 0 < x < 360, nilai x yang nantinya akan memenuhi persamaan trigonometri cos x 2 sin x = 2 3 cos adalah
Soal Babak Semifinal OMITS 007. Hubungan antara a dan b agar fungsi f x = a sin x + b cos x mempunyai nilai stasioner di x = π adalah a. a = b b. a = b d. a = b e. a = b a = b. Untuk interval 0 < x < 60,
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN IRASIONAL. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum Kelas matematika PEMINATAN PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi dan bentuk umum pertidaksamaan
Lebih terperinciNama Soal Pembagian Ring Road Batas Waktu 1 detik Nama Berkas Ringroad[1..10].out Batas Memori 32 MB Tipe [output only] Sumber Brian Marshal
Nama Soal Pembagian Ring Road Batas Waktu 1 detik Nama Berkas Ringroad[1..10].out Batas Memori 32 MB Tipe [output only] Sumber Brian Marshal Deskripsi Soal Dalam rangka mensukseskan program Visit Indonesia,
Lebih terperinciBahan ajar PERTIDAKSAMAAN Mk : kalkulus 1 Dosen : yayat suyatna
Bahan ajar PERTIDAKSAMAAN Mk : kalkulus 1 Dosen : yayat suyatna STANDAR KOMPETENSI: Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat. KOMPETENSI
Lebih terperinciDefinisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
DERET TAK HINGGA Definisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk: u k = u 1 + u 2 + u 3 + + u k + Bilangan-bilangan u 1, u 2, u 3, disebut suku-suku dalam deret tersebut.
Lebih terperinciPembelajaran Jarak, Waktu, dan Kecepatan Dengan Menggunakan Pendekatan PMRI
Pembelajaran Jarak, Waktu, dan Kecepatan Dengan Menggunakan Pendekatan PMRI Navel Oktaviandy Mangelep 1, Hermina Disnawati 2 Email : navelmangelep@gmail.com 1. Introduction Materi jarak, waktu, dan kecepatan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Musik dan matematika berkaitan satu sama lain secara kompleks. Matematika
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Kaitan Matematika Dengan Musik Musik dan matematika berkaitan satu sama lain secara kompleks. Matematika memiliki beberapa persamaan dengan musik, Sedikit orang yang berbakat untuk
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan
Lebih terperinciPenerapan Algoritma Brute Force pada Teka-teki Magic Square 3 x 3
Penerapan Algoritma Brute Force pada Teka-teki Magic Square 3 x 3 Dzar Bela Hanifa 13515007 Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Bandung, Indonesia 13515007@std.stei.itb.ac.id Abstract Teka-teki
Lebih terperinciOSK Matematika SMP (Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMP)
Pembahasan Soal OSK SMP 2017 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMP 2017 OSK Matematika SMP (Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMP) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 20 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA
Lebih terperinciMenggunakan Pengukuran Waktu, Sudut, Jarak, dan Kecepatan dalam Pemecahan Masalah
Bab Menggunakan Pengukuran Waktu, Sudut, Jarak, dan Kecepatan dalam Pemecahan Masalah Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan siswa dapat: 1. menuliskan tanda waktu dengan notasi 1
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Lebih terperinciABSTRACT. Keyword: Algorithm, Depth First Search, Breadth First Search, backtracking, Maze, Rat Race, Web Peta. Universitas Kristen Maranatha
ABSTRACT In a Rat Race game, there is only one way in and one way out. The objective of this game is to find the shortest way to reach the finish. We use a rat character in this game, so the rat must walk
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dewasa ini pemodelan matematika telah berkembang seiring perkembangan matematika sebagai alat analisis berbagai masalah nyata. Dalam pengajaran mata kuliah pemodelan
Lebih terperinciAnalisis Kesalahan Mahasiswa Pendidikan Matematika Dalam Menyelesaikan Soal Pertidaksamaan Pada Mata Kuliah Kalkulus I
Analisis Kesalahan Mahasiswa Pendidikan Matematika Dalam Menyelesaikan Soal Pertidaksamaan Pada Mata Kuliah Kalkulus I Ana Rahmawati Unipdu Jombang : anarahmawati@mipa.unipdu.ac.id Submitted : 08-05-2017,
Lebih terperinciLEMBAR SOAL ISIAN SINGKAT
LEMBAR SOAL ISIAN SINGKAT Nama :... Petunjuk : Jawablah setiap pertanyaan yang diajukan pada lembar jawaban yang telah disediakan 1. Andi mempunyai enam bilangan, yaitu 15, 16, 18, 19, 20 dan 31. Dia memberi
Lebih terperinciAPLIKASI GAME TIC TAC TOE 6X6 BERBASIS ANDROID MENGGUNAKAN ALGORITMA MINIMAX DAN HEURISTIC EVALUATION
APLIKASI GAME TIC TAC TOE 6X6 BERBASIS ANDROID MENGGUNAKAN ALGORITMA MINIMAX DAN HEURISTIC EVALUATION Ever Jayadi1), Muhammad Aziz Fatchur Rachman2), Muhammad Yuliansyah3) 1), 2), 3) Teknik Informatika
Lebih terperinciBIDANG STUDI : MATEMATIKA
BERKAS SOAL BIDANG STUDI : MADRASAH IBTIDAIYAH SELEKSI TINGKAT PROVINSI KOMPETISI SAINS MADRASAH NASIONAL 2013 Petunjuk Umum 1. Tuliskan identitas Anda (Nama, Asal Sekolah dan Kabupaten/Kota Sekolah) secara
Lebih terperinciTRAINING CENTER OLIMPIADE INTERNASIONAL
TRAINING CENTER OLIMPIADE INTERNASIONAL 7 th International Junior Science Olympiad (IJSO) 11 th Initational World Youth Mathematics Intercity Competition (IWYMIC) MODUL FISIKA GERAK (Sumber: College Physics,
Lebih terperinciPerpindahan dan Jarak Perpindahan (Displacement) dapat didefenisikan sebagai perubahan posisi, secara matematis dituliskan.
BAB II GERAK LURUS Pendahuluan Gerak tidak selalu mengakibatkan perpindahan. Sesuatu benda dikatakan berpindah apabila terjadi perubahan posisi. Sedangkan posisi adalah titik yang menunjukkan letak sebuah
Lebih terperinciLiar Paradox Serta Contoh Persoalannya
Liar Paradox Serta Contoh Persoalannya Aloysius Adrian (13506031) Program Studi Teknik Informatika, Fakultas Sekolah Teknik Elektro Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesha 10 Bandung, email
Lebih terperinciBAB III GERAK LURUS. Gambar 3.1 Sistem koordinat kartesius
BAB III GERAK LURUS Pada bab ini kita akan mempelajari tentang kinematika. Kinematika merupakan ilmu yang mempelajari tentang gerak tanpa memperhatikan penyebab timbulnya gerak. Sedangkan ilmu yang mempelajari
Lebih terperinciUniversitas Jenderal Soedirman Purwokerto FISIKA DASAR. Pertemuan ke-3. Mukhtar Effendi
FISIKA DASAR Pertemuan ke-3 GBPP Konsep dasar mekanika dan termodinamika Besaran dan satuan Vektor Kinematika dan dinamika pertikel Kerja dan Energi Gerak Rotasi Mekanika Fluida Termodinamika Getaran Gelombang
Lebih terperinciBAB I PERKEMBANGAN LOGIKA FUZZY
BAB I PERKEMBANGAN LOGIKA FUZZY 1.1. Apakah Logika Fuzzy? Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai suatu kondisi yang tidak dapat ditentukan batas-batasnya secara tepat. Pemberian batasan secara
Lebih terperinciKODE SOAL A (NO ABSEN GANJIL) SOAL ULANGAN FORMATIF II Nama : MATA PELAJARAN : FISIKA Kelas / No Absen :.../...
KODE SOL (NO SEN GNJIL) SOL ULNGN FORMTIF II Nama : MT PELJRN : FISIK Kelas / No bsen :.../... KELS : X Pilihlah Jawaban yang benar dengan memberi tanda silang pada pilihan jawaban yang tersedia!!! (Cara
Lebih terperinciSuku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor
Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
Lebih terperinciTIPS & TRIK SOAL TES MATEMATIKA CPNS
LATIHAN SOAL TES CPNS TIPS & TRIK SOAL TES MATEMATIKA CPNS PERHATIAN Bagi sebagian Anda dengan hanya melihat sekilas soal-soal di bawah, mungkin akan merasa mudah dan enteng untuk dikerjakan. Tapi Ingat,
Lebih terperinciSEJARAH PERKEMBANGAN ILMU PADA MASA YUNANI KUNO
SEJARAH PERKEMBANGAN ILMU PADA MASA YUNANI KUNO Zaman Yunani Kuno merupakan awal kebangkitan filsafat secara umum, karena menjawab persoalan disekitarnya dengan rasio dan meninggalkan kepercayaan terhadap
Lebih terperinciHomepage : ekopujiyanto.wordpress.com HP :
Kuliah ke-2: Sistem Bilangan Real Homepage : ekopujiyanto.wordpress.com E-mail : ekop2003@yahoo.com eko@uns.ac.id HP : 081 2278 3991 Materi Kuliah ke-2 Sistem Bilangan Real Sifat-sifat Relasi Urutan Garis
Lebih terperinciMAKALAH BARISAN DAN DERET TAK HINGGA. Diajukan Untuk Memenuhi Tugas. Mata Kuliah Kapita Selekta Matematika SMA DOSEN PENGAMPU :
MAKALAH BARISAN DAN DERET TAK HINGGA Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kapita Selekta Matematika SMA DOSEN PENGAMPU : AMALIA ITSNA YUNITA, S.Si, M.Pd. Disusun Oleh:. Siti Khumaidatuz Zahro (7046309).
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciSatuan Ukuran (Waktu, Sudut, Jarak, dan Kecepatan)
Bab 5 Satuan Ukuran (Waktu, Sudut, Jarak, dan Kecepatan) Banyak sekali satuan ukuran yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Coba siapa yang tahu contoh-contoh alat ukur yang sering digunakan? Pernahkah
Lebih terperinciUSMSTAN 2013 TPA 03 - Pola Barisan
USMSTAN 20 TPA 0 - Pola Barisan Doc. Name: USMSTAN20TPA997 Version : 208-05 halaman 6. Dari suatu sekolah lulusannya diterima di 4 jurusan bisnis, lulusannya diterima di jurusan hukum dan lulusannya diterima
Lebih terperinciKODE SOAL B (NO ABSEN GENAP) SOAL ULANGAN FORMATIF II Nama : MATA PELAJARAN : FISIKA Kelas / No Absen :.../...
KODE SOL (NO SEN GENP) SOL ULNGN FORMIF II Nama : M PELJRN : FISIK Kelas / No bsen :.../... KELS : X Pilihlah Jawaban yang benar dengan memberi tanda silang pada pilihan jawaban yang tersedia!!! (Cara
Lebih terperinciNama : SUDARMAN. Nim : Kelas : FISIKA D
LAPORAN EKSPERIMEN FISIKA DASAR I PETUNJUK EKSPERIMEN KESEIMBANGAN GAYA BERDASARKAN HASIL BROWSING INTERNET Disusun untuk memenuhi tugas membuat petunjuk eksperimen dari hasil browsing internet dengan
Lebih terperinciLine VS Bezier Curve. Kurva Bezier. Other Curves. Drawing the Curve (1) Pertemuan: 06. Dosen Pembina Danang Junaedi Sriyani Violina IF-UTAMA 2
Line VS Bezier Curve Kurva Bezier Pertemuan: 06 Dosen Pembina Danang Junaedi Sriyani Violina IF-UTAMA 1 IF-UTAMA 2 Other Curves Drawing the Curve (1) IF-UTAMA 3 IF-UTAMA 4 1 Drawing the Curve (2) Algoritma
Lebih terperinciKarena hanya mempelajari gerak saja dan pergerakannya hanya dalam satu koordinat (sumbu x saja atau sumbu y saja), maka disebut sebagai gerak
BAB I. GERAK Benda dikatakan melakukan gerak lurus jika lintasan yang ditempuhnya membentuk garis lurus. Ilmu Fisika yang mempelajari tentang gerak tanpa mempelajari penyebab gerak tersebut adalah KINEMATIKA.
Lebih terperinciBAB IV DESKRIPSI DAN ANALISIS DATA PENELITIAN
BAB IV DESKRIPSI DAN ANALISIS DATA PENELITIAN A. Deskripsi Data Penelitian 1. Deskripsi Data Subjek A a. Soal Nomor 1 Hasil jawaban subjek A dalam menyelesaikan soal nomor 1 dapat dilihat di halaman lampiran.
Lebih terperinciADLN Perpustakaan Universitas Airlangga SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH
SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI Sebagai
Lebih terperinciTeorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif
Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Nana Fitria 2, Puguh Wahyu Prasetyo 3, Vika Yugi Kurniawan 4 Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia
Lebih terperinciINTEGRAL. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Integral tak tentu Fungsi aljabar Derivatif Antiderivatif A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab INTEGRAL A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran integral siswa mampu:. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah,
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan Matematika & Analisis Real Matematika berurusan dengan gagasan, yang mungkin merupakan abstraksi atau sari dari sesuatu yang terdapat
Lebih terperinciImplementasi Pemrograman Dinamis dalam Pencarian Solusi Permainan Menara Hanoi
Implementasi Pemrograman Dinamis dalam Pencarian Solusi Permainan Menara Hanoi Jonathan Ery Pradana / 13508007 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Lebih terperinciMATEMATIKA SEKOLAH 2
MATEMATIKA SEKOLAH 2 Menentukan pola barisan bilangan sederhana Menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri Disusun oleh : Novi Diah Wahyuni 1001060083 Riswoto 1001060085 PROGRAM STUDI
Lebih terperinciMEMAHAMI MATEMATIKA MELALUI RESOLUSI PARADOKS
MEMAHAMI MATEMATIKA MELALUI RESOLUSI PARADOKS 1) Kadek Adi Wibawa, 2) Herna 1) Universitas Mahasaraswati Denpasar, 2) Universitas Sulawesi Barat adi_math@yahoo.co.id, hernausb@rocketmail.com Abstrak: Teka-teki
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 1 Sifat Kelengkapan Bilangan Real 2 1.1 Paradoks Zeno ACHILLES TORTOISE 0 1 1½ Sumber: skeptic.com 1 1 1... 1 2 4 8?
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciOLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN 2008 MATEMATIKA NON-TEKNOLOGI SESI 1 (PILIHAN GANDA DAN ISIAN SINGKAT) WAKTU : 120 MENIT
OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN 2008 MATEMATIKA NON-TEKNOLOGI SESI (PILIHAN GANDA DAN ISIAN SINGKAT) WAKTU : 20 MENIT I. Soal Pilihan Ganda, ada 0 soal dalam test ini. Petunjuk
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI A.
BAB II KAJIAN TEORI A. Simbol-simbol Matematika 1. Definisi Matematika Matematika merupakan salah satu ilmu pasti yang wajib dipelajari oleh siswa. Matematika berasal dari bahasa Yunani: mathêmatiká yang
Lebih terperinci13 Segi-Tak-Terhingga dan Fraktal
13 Segi-Tak-Terhingga dan Fraktal Kalau lingkaran hanya mempunyai satu sisi, bukan segi-tak-terhingga, apakah ada bangun datar yang mempunyai tak terhingga sisi? Jawabannya ya, memang ada. Kita akan mempelajari
Lebih terperinciFUNGSI COMPUTABLE. Abstrak
FUNGSI COMPUTABLE Ahmad Maimun 1, Suarsih Utama. 1, Sri Mardiyati 1 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 ahmad.maimun90@gmail.com, suarsih.utama@sci.ui.ac.id, sri_math@sci.ui.ac.id
Lebih terperinciPercepatan rata-rata didefinisikan sebagai perubahan kecepatan dibagi waktu yang diperlukan untuk perubahan tersebut.
PERCEPATAN Sebuah benda yang kecepatannya berubah tiap satuan waktu dikatakan mengalami percepatan. Sebuah mobil yang kecepatannya diperbesar dari nol sampai 90 km/jam berarti dipercepat. Apabila sebuah
Lebih terperinciKARTU SOAL URAIAN. KOMPETENSI DASAR (KD): 4.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmatika dan geometri
. Siswa dapat menentukan suku pertama, beda/rasio, rumus suku ke-n dan suku ke-n, jika diberikan barisan bilangannya NO. SOAL: 31 Tentukan suku pertama, beda atau rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-10
Lebih terperinciHUMOR TENTANG PI. Sumardyono, M.Pd.
HUMOR TENTANG PI Sumardyono, M.Pd. PENDAHULUAN Siapa yang tidak mengenal π? Bahkan walaupun-seperti yang penulis temukan di dalam kediklatan-banyak yang tidak dapat menulis huruf π dalam Bahasa Indonesia.
Lebih terperinciBAB V BILANGAN BULAT
BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan
Lebih terperinciPEMANTAPAN MATERI UAN SMP/MTs. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si. Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung
PEMANTAPAN MATERI UAN SMP/MTs Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si. Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung rizky@upi.edu SKL 1: Contoh Spesifikasi Ujian Nasional STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 1.
Lebih terperinci48. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas Luar Biasa Tunalaras (SMALB E) A. Latar Belakang
48. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas Luar Biasa Tunalaras (SMALB E) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Atletik merupakan salah satu cabang olahraga yang tertua didunia, karena
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Atletik merupakan salah satu cabang olahraga yang tertua didunia, karena gerak dasar yang terdapat didalamnya sudah dilakukan sejak zaman peradaban manusia
Lebih terperinciMakalah. Penerapan Kombinatorial pada Penentuan Komposisi Pemain yang akan Bermain dalam Sebuah Pertandingan American Football
Matematika Diskrit Makalah Penerapan Kombinatorial pada Penentuan Komposisi Pemain yang akan Bermain dalam Sebuah Pertandingan American Football Nama : Moses Audi NIM : 1413001 Departemen Teknologi Informasi
Lebih terperinciSIMULASI PENGENDALIAN KECEPATAN MOBIL OTOMATIS MENGGUNAKAN LOGIKA FUZZY DAN ALGORITMA GENETIKA
SIMULASI PENGENDALIAN KECEPATAN MOBIL OTOMATIS MENGGUNAKAN LOGIKA FUZZY DAN ALGORITMA GENETIKA Helmy Thendean, M.Kom 1) Albert, S.Kom 2) Dra.Chairisni Lubis, M.Kom 3) 1) Program Studi Teknik Informatika,Universitas
Lebih terperinciMATEMATIKA SEKOLAH 2. MENENTUKAN POLA BARISAN BILANGAN & SUKU KE-n. Oleh : Novi Diah Wayuni ( ) Riswoto ( )
MATEMATIKA SEKOLAH 2 MENENTUKAN POLA BARISAN BILANGAN & SUKU KE-n Oleh : Novi Diah Wayuni ( 1001060083) Riswoto ( 1001060085 ) A. Menentukan Pola barisan bilangan Sederhana B. Menentukan suku ke-n barisan
Lebih terperinciSELEKSI PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL SD/MI TINGKAT KABUPATEN/KOTA PROPINSI NUSA TENGGARA BARAT TAHUN 2014
Page1 SELEKSI PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL SD/MI TINGKAT KABUPATEN/KOTA PROPINSI NUSA TENGGARA BARAT TAHUN 2014 PETUNJUK : MATA PELAJARAN MATEMATIKA (WAKTU 90 MENIT) 1. Tuliskan nama, kelas, sekolah,
Lebih terperinciBarisan dan Deret. Matematika dapat dikatakan sebagai bahasa simbol. Hal ini. A. Barisan dan Deret Aritmetika B. Barisan dan Deret Geometri
Bab 3 Sumber: www.jakarta.go.id Barisan dan Deret Matematika dapat dikatakan sebagai bahasa simbol. Hal ini dikarenakan matematika banyak menggunakan simbol-simbol. Dengan menggunakan simbol-simbol tersebut,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. besar dan mampu membantu pemerintah dalam mengurangi tingkat pengangguran.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Dalam menghadapi globalisasi dunia saat ini mendorong persaingan diantara para pelaku bisnis yang semakin ketat. Di Indonesia sebagai negara berkembang, pembangunan
Lebih terperinciPERANGKAT LUNAK SIMULASI DEADLOCK MENGGUNAKAN ILUSTRASI DINING PHILOSOPHERS PROBLEM
PERANGKAT LUNAK SIMULASI DEADLOCK MENGGUNAKAN ILUSTRASI DINING PHILOSOPHERS PROBLEM Arfiani Nur Khusna 1), Nur Rochmah Dyah PA 2) 1,2) Teknik Informatika, Universitas Ahmad Dahlan Yogyakarta 1,2) Jl. Prof.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Di antara jenjang pendidikan, pendidikan di sekolah dasar merupakan jenjang yang mempunyai peranan yang sangat penting dalam upaya meningkatkan kualitas sumber
Lebih terperinciPANDUAN LOMBA TUNJUKKAN KARYAMU
PANDUAN LOMBA OLIMPIADE EDUKASI ROBOTIKA TIRTATAMANSARI 2017 TROPHY GUBERNUR DIY TINGKAT SEKOLAH DASAR TUNJUKKAN KARYAMU COOPERATION PARTNER Sekretariat : I. LATAR BELAKANG Pendidikan adalah media pembelajaran
Lebih terperinciMatematika. Sri Retnaningsih Dewi Retno Sari S Sumadi. Untuk Sekolah Menengah Atas dan Madrasah Aliyah. Matematika XII Bahasa Untuk SMA & MA
Sri Retnaningsih - Dewi Retno Sari S - Sumadi Sri Retnaningsih Dewi Retno Sari S Sumadi Matematika XII Bahasa Matematika XII Bahasa Untuk SMA & MA Untuk Sekolah Menengah Atas dan Madrasah Aliyah Hak Cipta
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. olahraga tidak akan datang dengan sendirinya, melainkan prestasi tertinggi hanya
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Prestasi olahraga merupakan tindakan dilakukan secara menyeluruh yang bergantung kepada faktor, kondisi,dan pengaruh-pengaruh dalam menuju sebuah keberhasilan.
Lebih terperinci2. 7,5 : 2,5 (2/4 x ¾) = : 25 = 3. ½ x ¾ = 3/8. 3 3/8 adalah 3 kurang atau mendekati 3. Jadi jawabannya adalah 2,625. [d]
TES HITUNGAN BIASA (ARITMATIKA) Bagian I 1. 2,20 x 0,75 + 3/5 : 1/8 =... Pikir yang mudah, jangan yang sulit-sulit! Ingat, anda tidak harus menyelesaikan dengan hasil yang teliti! Cari nilai pendekatan,
Lebih terperinciSOAL SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2007 BIDANG MATEMATIKA SMP. 3 dari yang terkecil sampai yang terbesar.
SOAL SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN OLIMPIADE SAINS NASIONAL 007 BIDANG MATEMATIKA SMP SOAL PILIHAN GANDA. Urutan bilangan bilangan adalah.. a. b. c. d. e., 5,, 5,,, dan, dan, dan 5, dari yang terkecil
Lebih terperinciKAPITA SELEKTA PEMBELAJARAN BILANGAN DI KELAS VII DAN IX SMP
Modul Matematika SMP Program BERMUTU KAPITA SELEKTA PEMBELAJARAN BILANGAN DI KELAS VII DAN IX SMP Penulis: Adi Wijaya Wiworo Penilai: Moch Chotim Muh. Isnaeni Editor: Agus Dwi Wibawa Lay out: Victor Deddy
Lebih terperinciPlotinus KAJIAN TOKOH FILSAFAT ABAD PERTENGAHAN. Endah Kusumawardani
KAJIAN TOKOH FILSAFAT ABAD PERTENGAHAN Plotinus Endah Kusumawardani Kehidupan sebagai proses makhluk Tuhan untuk menjalani waktu di dunia ini tidak dapat terlepas dari yang namanya masalah. Bahkan terdapat
Lebih terperinciKEKONVERGENAN NET DAN SUBNET PADA RUANG TOPOLOGIS. Oleh : FATKHAN YUDI RIANSA J2A Skripsi
KEKONVERGENAN NET DAN SUBNET PADA RUANG TOPOLOGIS Oleh : FATKHAN YUDI RIANSA J2A 006 019 Skripsi Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciANTIREMED KELAS 10 FISIKA
ANTIREMED KELAS 10 FISIKA Bab 2 Gerak Lurus - Latihan Soal no 01 30 Doc. Name: AR10FIS0299 Doc. Version: 2012-09 halaman 1 01. Perhatikan gambar di bawah ini. Besar perpindahan OAC adalah. (A) 2 satuan
Lebih terperinciDASAR-DASAR LOGIKA 1
DASAR-DASAR LOGIKA 1 PENGERTIAN UMUM LOGIKA Filsafat dan matematika adalah bidang pengetahuan rasional yang ada sejak dahulu. Jauh sebelum matematika berkembang seperti sekarang ini dan penerapannya menyentuh
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciRuang Norm-n Berdimensi Hingga
Jurnal Matematika Integratif. Vol. 3, No. 2 (207), pp. 95 04. p-issn:42-684, e-issn:2549-903 doi:0.2498/jmi.v3.n2.986.95-04 Ruang Norm-n Berdimensi Hingga Moh. Januar Ismail Burhan Jurusan Matematika dan
Lebih terperinciAPA ITU LIMIT? Arti kata: batas, membatasi, mempersempit, mendekatkan.
LIMIT FUNGSI APA ITU LIMIT? Arti kata: batas, membatasi, mempersempit, mendekatkan. LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI Dalam kehidupan sehari-hari, orang sering dihadapkan pada masalah-masalah pendekatan suatu
Lebih terperinciPenerapan Turunan Fungsi Dalam Bidang Kimia
Penerapan Turunan Fungsi Dalam Bidang Kimia Kelompok 2 Asmiladita Pridilla Athiya Salma Avira Yunita Besafina Hanan Dicky Syahreza Dwi Bhakti Kusuma PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN APLIKASINYA DALAM KIMIA A.
Lebih terperinciPERTEMUAN KE-6 LIMIT FUNGSI
MATA KULIAH BERSAMA FMIPA UGM MATEMATIKA KONTEKSTUAL PERTEMUAN KE-6 LIMIT FUNGSI Oleh : KBK ANALISIS APA ITU LIMIT? Arti kata: batas, membatasi, mempersempit, mendekatkan. Dalam kehidupan sehari-hari,
Lebih terperinci15 Polihedron Reguler dan Rumus Euler
15 Polihedron Reguler dan Rumus Euler Di antara pembaca mungkin ada yang bertanya-tanya, mengapa Archimedes tidak menggunakan polihedron reguler (beraturan) untuk menaksir volume dan luas permukaan bola,
Lebih terperincisurvive. Motif dari teknologi selama ini hanya agar manusia tetap eksis di alam
55 BAB 4 KESIMPULAN Teknologi di abad ke-21, tidak dapat dipungkiri merupakan realitas yang terjadi di dalam kehidupan manusia. Teknologi telah banyak membantu untuk survive. Motif dari teknologi selama
Lebih terperinci2.2 kinematika Translasi
II KINEMATIKA PARTIKEL Kompetensi yang akan diperoleh setelah mempelajari bab ini adalah pemahaman dan kemampuan menganalisis serta mengaplikasikan konsep kinematika partikel pada kehidupan sehari-hari
Lebih terperinciABSTRAK. Universitas Kristen Maranatha
ABSTRAK Teknologi semakin hari semakin berkembang. Teknologi membantu orang untuk mengerjakan kegiatan sehari-hari menjadi mudah dan efesien. Mikrokontroler salah satunya yaitu sebuah chip yang dipasangkan
Lebih terperinciMAKALAH KALKULUS Integral Turunan Limit
MAKALAH KALKULUS Integral Turunan Limit KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas rahmat dan karunianya penulis dapat menyelesaiakan makalah ini tepat waktu
Lebih terperinciRule OlyQ - Line Tracer - Versi Inggris Indonesia
Rule OlyQ - Line Tracer - Versi Inggris Indonesia 1. Game description line tracer is a robot following black line on white floor (or white line on black floor) using sensor to end point. 2. Robot rule
Lebih terperinciFILSAFAT ILMU DAN METODE FILSAFAT. H. SyahrialSyarbaini, MA. Modul ke: 04Fakultas PSIKOLOGI. Program Studi Psikologi
FILSAFAT ILMU DAN LOGIKA Modul ke: 04Fakultas Dr. PSIKOLOGI METODE FILSAFAT H. SyahrialSyarbaini, MA. Program Studi Psikologi www.mercubuana.ac.id Metode Filsafat Metode Zeno: reduction ad absurdum Metode
Lebih terperinciBAB IV DESKRIPSI DAN ANALISA DATA
BAB IV DESKRIPSI DAN ANALISA DATA A. Deskripsi Data 1. Deskripsi Data Pra Siklus Tahap pra siklus adalah tahap dimana belum diterapkannya model pembelajaran yang baru. Tahap pra siklus ini bertujuan untuk
Lebih terperinci