BAB 2 LANDASAN TEORI. Musik dan matematika berkaitan satu sama lain secara kompleks. Matematika

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Kaitan Matematika Dengan Musik Musik dan matematika berkaitan satu sama lain secara kompleks. Matematika memiliki beberapa persamaan dengan musik, Sedikit orang yang berbakat untuk membuat musik, tapi banyak yang dapat memahami, menyanyikan atau semata menikmatinya Matematika dan musik memang sudah bersaudara sejak zaman Yunani kuno. Sebagaimana dikemukan oleh Aristoteles ( SM), Pythagoras dan para muridnya mempercayai bahwa alam semesta ini dipenuhi oleh interval musik dan sehubungan dengan itu mereka juga mempercayai bahwa semua adalah angka. Bagi mereka, perbandingan dasar dalam musik yang terdiri atas bilangan 1, 2, 3, 4, yang berjumlah 10 (basis sistem bilangan yang dipakai sekarang) adalah murni dan musik serta teorinya merupakan salah satu dari empat kategori dalam sains adalah aritmatika, geometri, musik, dan astronomi. Pada masa Plato (guru Aristoteles), matematika dan musik tidak hanya menjadi kriteria bagi orang cerdas tetapi juga bagi orang terdidik. (Clough. 1998).

2 2.2 Transposisi dan Inversi Beberapa dari bagian matematis yang pertama dipelajari musik adalah transposisi dan inversi. Dalam bagian ini mempelajari tentang perlunya konsep-konsep matematis untuk merumuskan bagian-bagian musik. Konsep ini termasuk himpunan, fungsi dan aritmatika modulo. Musisi selalu bersentuhan dengan transposisi dan inversi dalam konteks nada. (Rahn. 1980) untuk menghubungkan celah antara bunyi dan angka, kemudian selanjutnya menyusun model bilangan bulat dari nada seperti yang biasanya dilakukan oleh musisi. 2.3 Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang terdefinisi dengan jelas. Objek-objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut unsur atau anggota himpunan. Beberapa himpunan yang sering ditemui adalah sebagai berikut: 1. Bilangan Asli, N (Abdussakir. 2006: 2) himpunan bilangan asli atau bilangan bulat positif dinotasikan dengan N. Berikut adalah himpunan bilangan asli: {1, 2, 3,...} 2. Bilangan Bulat, Z (Anton, Howard. 1981) bilangan bulat termasuk bilangan real,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,

3 Bilangan bulat dinotasikan dengan Z, dapat dituliskan sebagai berikut: Z = {.,-2, -1, 0, 1, 2,.}. Himpunan dinotasikan dengan huruf-huruf besar seperti A, B, C. Obyek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan, yang disimbolkan dengan huruf kecil seperti a, b, x, y. (Abdussakir. 2007) secara lebih umum, himpunan dapat didefinisikan sebagai kumpulan semua x yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan yang dinotasikan sebagai berikut: A = {x P(x)} Notasi tersebut dibaca A adalah himpunan semua x sedemikian hingga P(x). 2.4 Fungsi Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B didefinisikan sebagai aturan yang memasangkan masing-masing anggota A dengan tepat 1 anggota B. Jika a A oleh f dipasangkan dengan b B, maka ditulis: f (a) = b Misalkan A dan B himpunan. Fungsi f dari A ke B adalah subset dari AxB yang memenuhi sifat berikut: 1. Untuk masing-masing a A ada b B sehingga (a,b) f 2. Jika (a, b), (a, c) f, maka b = c

4 Himpunan A disebut domain dari f, dan ditulis dengan Df. Range dari f, ditulis Rf, didefinisikan dengan: Rf = {b B a,b) f, untuk suatu a A} fungsi f dari A ke B tidak sekedar subset AxB. Masing-masing a A menjadi komponen pertama dari tepat 1 pasangan berurutan (a,b) f. Jika f fungsi dari A ke B dan (a,b) f. Maka b disebut nilai dari fungsi f di a dan akan ditulis b = f (a). Dalam hal ini juga digunakan notasi f : A B untuk menyatakan bahwa f fungsi dari A ke B. Notasi f : A B dapat diartikan dengan f memetakan A ke B atau f pemetaan dari A ke B. Jika f : A R, maka f disebut fungsi bernilai real pada A. Contoh: 1. Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2}. Misalkan f subset AxB dengan: f = {(1,2), (2,-1), (3,0), (4,2)} Maka f adalah fungsi dari A ke B dan Rf = {-1, 0, 2}. Masing-masing a A berada pada tepat 1 pasangan berurutan (a,b) f. Meskipun 2 B berada pada 2 pasangan berurutan berbeda (1,2) dan (4,2), hal ini tidak bertentangan dengan definisi fungsi. 2. Misalkan A dan B sama seperti pada nomor 1, dan g didefinisikan dengan: g ={(1,2), (2,1), (3,3), (4,0)}, Maka g bukan fungsi dari A ke B karena g bukan subset AxB. Ada (3,3 ) g tetapi (3,3) AxB. (Abdussakir. 2006: 7-10).

5 2.5 Kongruensi (Aritmetika Modulo) Definisi: Jika m suatu bilangan bulat positif, maka a kongruen dengan b modulo m (ditulis a b (mod m)) bila dan hanya bila m membagi (a - b). Jika m tidak membagi (a - b) maka dikatakan bahwa a tidak kongruen dengan b modulo m (ditulis a b (mod m)). Definisi tersebut dapat ditulis bahwa hanya jika m > 0 maka m (a - b) bila dan hanya bila a b (mod m). Teorema: a b (mod m) bila dan hanya bila ada bilangan bulat k sehingga a =mk+b. (Sukirman. 2005: 20 ). Bukti: Jika a dan m bilangan-bilangan bulat positif dan m > 0, menurut algoritma pembagian, maka a dapat dinyatakan sebagai berikut: a = mq + r dengan 0 r < m. Ini berarti bahwa a - r = mq, yaitu a r (mod m). Karena 0 r < m, maka ada m buah pilihan untuk r, yaitu 0, 1, 2, 3,..., (m-1). Jadi setiap bilangan bulat akan kongruen modulo m dengan tepat 1 di antara 0, 1, 2, 3,...,(m-1). Contoh: 26 4(mod 11) sama artinya dengan 26 = (mod 5) sama artinya dengan 38 =

6 Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif adalah suatu relasi antara bilangan-bilangan bulat. Dapat ditunjukkan bahwa relasi kekongruenan itu merupakan relasi ekuivalensi. Dapat diingat bahwa suatu relasi disebut relasi equivalensi jika relasi itu memiliki sifat refleksi, sifat simetris dan sifat transitif. Sukirman (2005: 21) mengungkapkan bahwa jika m, a, b dan c adalah bilangan-bilangan bulat dengan m positif, maka: 1. a a (mod m), sifat refleksi. 2. Jika a b (mod m) maka b a (mod m), sifat simetris. 3. Jika a b (mod m) dan b c (mod m) maka a c (mod m) sifat transitif. 4. Karena a - a = 0 = 0m,maka a a (mod m). 5. Karena a b (mod m) maka b - a = km untuk suatu bilangan bulat k, sehingga a - b = - km yang berarti bahwa b a (mod m). 6. a b (mod m) berarti a - b = km untuk suatu bilangan bulat k. b c (mod m) berarti b - c = hm untuk suatu bilangan bulat h. Ruas-ruas pada ke-2 persamaan dijumlahkan, sehingga diperoleh a - c = (k - h) m yang berarti bahwa a c (mod m). Karena relasi (kekongruenan) pada himpunan bilangan bulat memenuhi tiga sifat tersebut, maka relasi kekongruenan pada himpunan tersebut merupakan relasi ekuivalen.