BAB III PEMBAHASAN. penggunaan metode benefit prorate constant dollar dengan suku bunga model

Transkripsi

1 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai estimasi parameter model Vasicek, penggunaan metode benefit prorate constant dollar dengan suku bunga model Vasicek, kemudian diterapkan dalam perhitungan aktuaria untuk nilai iuran normal dan kewajiban aktuaria. A. Model Vasicek Model Vasicek pertama kali diperkenalkan oleh Oldrich Vasicek pada tahun 1977 (Vasicek, 1977). Model Vasicek merupakan model suku bunga stokastik equilibrium satu faktor. Tingkat suku bunga model Vasicek disebut suku bunga sesaat. Model Vasicek dapat menggambarkan bunga yang fluktuatif, selain dapat memodelkan fluktuasi tingkat bunga, model Vasicek juga dapat memprediksi tingkat bunga di masa yang akan datang dengan melihat pergerakan tingkat bunga sebelumnya. Model Vasicek mengikuti proses Ornstein-Uhlenbeck. Proses Ornstein-Unlenbeck. Proses Ornstein-Unlenbeck merupakan proses stokastik yang digunakan untuk memodelkan data finansial yang bersifat mean reversion (bersifat kembali ke nilai rataan). Proses Ornstein-Unlenbeck juga disebut dengan proses Wiener (gerak Brown). Model Vasicek mempunyai bentuk sebagai berikut: ( ) 47

2 dengan: : kecepatan tingkat bunga menuju titik keseimbangan : titik keseimbangan dari tingkat bunga : tingkat bunga vasicek : volatilitas tingkat bunga : gerak Brown/ proses Wiener Model Vasicek menunjukkan adanya mean reversion yaitu kecenderungan nilai berada disekitar rata-rata titik keseimbangan, atau dapat dikatakan nilai menuju pada nilai tertentu. Jika tingkat bunga berada di atas rata-rata titik keseimbangan, maka faktor drift(nilai ekspektasi) akan bernilai negatif, sehingga tingkat bunga akan ditekan samapai nilai rata-rata. Sebaliknya jika maka faktor drift akan bernilai negatif, sehingga tingkat bunga juga harus ditekan samapai, karena faktor drift yang bernilai positif dapat menaikkan suku bunga. Kenaikan suku bunga dapat mengakibatkan terhambatnya pertumbuhan ekonomi sehingga suku bunga memiliki kecenderungan untuk kembali pada nilai. Untuk menghitung ekspektasi model Vasicek dimisalkan. Menggunakan persamaan diferensial diperoleh turunan dari Substitusi ke persamaan diperoleh, 48

3 ( ( ) ) dengan mengintegralkan ruas kiri dan kanan diperoleh: diketahui, maka diperoleh 49

4 Tingkat suku bunga berdistribusi normal dengan mean dan variansi sebagai berikut, Diketahui dimana, maka diperoleh ekspektasi dan variansi : ( ) ( ) ( ) ( ) Nilai ekspektasi dapat diperoleh menggunakan persamaan ( berikut: ) sebagai ( ) ( ) ( ) ( ) 50

5 ( ) maka dengan persamaan ( ) diperoleh hasil, Variansi dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan dan sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) Dari persamaan dan, diperoleh bahwa berdistribusi normal dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut: ( ) ( ) *. / + dengan diketahui. 51

6 B. Metode Maksimum Likelihood untuk Estimasi Parameter dan Solusi untuk mencari nilai estimator pada persamaan ( ) dapat diselesaikan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Metode MLE merupakan metode statistik yang sering digunakan untuk mendapatkan taksiran nilai parameter distribusi data. Fungsi kepadatan peluang pada persamaan ( ) kemudia dibentuk fungsi likelihood sebagai berikut, ( ). / ( ) * + Kemudian membentuk fungsi logaritma dari fungsi likelihood persamaan : ( ). / Untuk memperoleh nilai parameter dari dan, dilakukan dengan cara menentukan turunan dari persamaan terhadap dan yang nilainya sama dengan nol. Mencari nilai dengan persamaan, diturunkan terhadap, misalkan: Untuk mencari estimasi parameter dan, terlebih dahulu akan dicari, 52

7 . ( ) ( ) / ( ) ( ) [ ] [ ] Jadi, 53

8 Substitusi persamaan ke persamaan Kedua ruas dikalikan dengan fungsi logaritma, maka diperoleh ( ) ( ) ( ( )( ) ) ( ) Menggunakan langkah yang sama dicari estimasi parameter, sehingga diperoleh, ( ( ). / ) 54

9 ( ) Untuk memudahkan dalam perhitungan nilai dan dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana, sehingga digunakan notasi-notasi sebagai berikut: Substitusi notasi-notasi tersebut ke persamaan ( ), diperoleh: ( ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) Substitusi persamaan ke persamaan, diperoleh: ( ( ( ( ( )) )) ) 55

10 ( ( ( ) ) ). /. / ( ) ( ) ( ) 56

11 C. Fungsi Tingkat Suku Bunga Model Vasicek Fungsi tingkat bunga model Vasicek dapat dicari menggunakan persamaan,, dan, diperoleh: ( ). / ( ) ( ( )) ( ( )) Dari persamaan dan diperoleh fungsi diskonto persamaan untuk tingkat bunga model Vasicek yaitu:. ( )/ (. ( )/) dengan, dan pada persamaan dan. D. Tabel Pelayanan (Service Table) Tabel pelayanan merupakan aplikasi dari tabel penyusutan jamak. Tabel pelayanan menunjukkan situasi penyusutan karyawan yang dsebabkan oleh faktor kematian, cacat, pengunduran diri, dan pensiun normal. Jika: : jumlah orang yang aktif bekerja saat usia. 57

12 : banyak orang yang masih aktif bekerja yang meninggal antara usia dan. : banyak peserta yang keluar antara usia dan. : banyak peserta yang aktif bekerja yang menjadi cacat antara usia dan. : banyak peserta yang pensiun antara usia dan. Berdasarkan persamaan, peluang orang berusia akan keluar dari sekelompok orang-orang berusia dalam satu tahun yang diakibatkan oleh faktor penyusutan sebanding dengan banyaknya orang yang keluar dikarenakan oleh sebab faktor yang terjadi antara usia dan, dan berbanding terbalik dengan banyak peserta aktif pada usia. Dimana merupakan faktor penyusutan yang dikarenakan meninggal, cacat, pengunduran diri, dan pensiun normal, maka peluang orang berusia akan keluar dari sekumpulan orang berusia dalam satu tahun masing-masing dinyatakan sebagai berikut: 58

13 Berdasarkan persamaan ( ) didapatkan, jumlah orang aktif yang keluar dari sekelompok orang-orang dalam satu tahun pada usia sebanding dengan jumlah orang aktif bekerja akan mengalami penyusutan karena keempat penyebab dan peluang orang berusia keluar dari sekelompok orang-orang berusia dalam satu tahun diakibatkan oleh keempat penyebab adalah: dengan dan dengan : jumlah peserta aktif yang keluar dari sekelompok orang-orang dalam satu tahun pada usia. : jumlah orang yang aktif bekerja pada usia. : peluang peserta aktif akan keluar dari sekelompok orang-orang dalam satu tahun pada usia. 59

14 : peluang orang berusia x akan meninggal dalam satu tahun. : peluang orang berusia x akan cacat dalam satu tahun. : peluang orang berusia x akan mengundurkan diri dalam satu tahun. : peluang orang berusia x akan pensiun normal dalam satu tahun. Sedangkan peserta yang masih aktif bekerja pada usia berdasarkan persamaan ( ) adalah Dari persamaan ( ) dapat dicari peluang bertahan yaitu: 0. /1. / Diperoleh peluang bertahan dari semua penyebab penyusutan, yaitu dengan 60

15 E. Metode Benefit Prorate Constant Dollar 1. Manfaat Pensiun Berdasarkan Metode Benefit Prorate Constant Dollar Manfaat pensiun dibayarkan secara berkala kepada peserta pada saat peserta telah memasuki usia pensiun. Manfaat pensiun pada metode benefit prorate constant dollar diasumsikan bahwa pensiun terjadi awal usia. adalah manfaat pensiun yang dibayarkan saat usia. adalah total manfaat pensiun yang terhimpun dari peserta mulia masuk program pensiun tahun sampai usia pensiun normal tahun. Metode benefit prorate constant dollar mendefinisikan fungsi manfaat sebagai pembagian rata manfaat pensiun pada saat peserta memasuki usia pensiun normal selama masa kerja, yaitu tahun sampai tahun. Dirumuskan sebagai berikut: dengan setiap nilai bernilai konstan. Berdasarkan persamaan dan diperoleh fungsi manfaat terhimpun peserta program pensiun saat peserta mencapai usia, yaitu dengan 61

16 : manfaat terhimpun peserta saat mencapai usia. : manfaat terhimpun peserta yang akan diperoleh saat mencapai usia pensiun normal tahun. : usia peserta program pensiun saat masuk kerja. : usia peserta program pensiun saat ini. : usia peserta program pensiun saat pensiun normal. 2. Iuran Normal Berdasarkan Metode Benefit Prorate Constant Dollar Iuran normal merupakan pembayaran yang dilakukan oleh peserta program pensiun untuk memenuhi nilai manfaat yang akan diterima saat memasuki usia pensiun. Setelah menghitung besar manfaat pensiun, kemudian dapat menghitung besar iuran normal yang harus dibayarkan peserta setiap tahunnya. Iuran normal dibayarkan ketika peserta dapat bertahan dari keempat penyebab penyusutan, yaitu kematian, cacat, pengunduran diri, dan pensiun normal. Sehingga besar iuran normal tergantung pada peluang bertahan peserta dari semua penyebab penyusutan dinotasikan dengan. Berdasarkan persamaan, maka Nilai dan dapat dilihar pada service table yang disajikan pada lampiran 3. 62

17 Anuitas yang biasa digunakan dalam program pesiun adalah anuitas hidup awal seumur hidup yang dinotasikan dengan. Dari persamaan ( ) didapat nilai sekarang anuitas hidup awal seumur hidup, yaitu: dengan persamaan ( ), diperoleh Nilai dan dapat dilihat pada tabel mortalita yang disajikan pada lampiran 1 dan 2. Iuran normal menggunakan metode benefit prorate constant dollar merupakan perhitungan besar iuran normal dengan nilai sekarang manfaat yang akan datang meyebar secara merata untuk setiap masa kerja, dengan kata lain nilai manfaat yang akan datang dibagi total masa kerja. Iuran normal menggunakan metode benefit prorate constant dollar dinotasikan dengan. Berdasarkan persamaan dan besar iuran normal metode benefit prorate constant dollar dirumuskan sebagai berikut: 63

18 Berdasarkan persamaan dan simbol komputasi dapat juga dinyatakan dengan Persamaan dan merupakan rumus iuran normal dengan menggunakan metode benefit prorate constant dollar. 3. Kewajiban Aktuaria Berdasarkan Metode Benefit Prorate Constant Dollar Kewajiban aktuaria merupakan besar dana yang dibutuhkan pihak Dana Pensiun untuk memenuhi besar kewajiban yang harus dibayarkan kepada peserta. Kewajiban aktuaria dipengaruhi oleh tingkat bunga, jika tingkat bunga kecil, maka semakin besar kewajiban aktuaria yang harus dibayarkan. Begitupun sebaliknya. Perhitungan kewajiban aktuaria diperoleh dari selisih nilai sekarang manfaat pensiun yang akan datang dari usia sampai tahun dan nilai sekarang iuran normal dari usia sampai tahun. Hubungan tersebut dapat ditulis: 64

19 ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] dengan, : kewajiban aktuaria untuk peserta program pensiun pada usia dengan pensiun normal tahun. : nilai sekarang manfaat pensiun yang akan datang saat peserta berusia tahun. 65

20 : besar manfaat pensiun yang diterima peserta pada saat pensiun normal tahun. : peluang peserta berusia akan tetap bekerja sampai usia pensiun normal tahun. : faktor diskonto dari usia sampai usia pensiun normal tahun. : nilai tunai anuitas awal seumur hidup yang pembayarannya dimulai saat usia pensiun normal tahun. : usia peserta program pensiun pada saat masuk kerja. : usia peserta program pensiun saat ini. : usia peserta program pensiun pada saat pensiun normal. F. Metode Benefit Prorate Constant Dollar Suku Bunga Model Vasicek 1. Iuran Normal Berdasarkan Metode Benefit Prorate Constant Dollar Suku Bunga Model Vasicek Iuran normal metode benefit prorate constant dolllar dengan suku bunga model Vasicek dinotasikan dengan. Menggunakan persamaan dan fungsi diskonto persamaan diperoleh rumus iuran normal metode benefit prorate constant dollar dengan suku bunga Vasicek sebagai berikut: 66

21 (. ( )/) dengan, : iuran normal yang dibayarkan saat peserta berusia tahun dengan menggunakan metode benefit prorate constant dollar suku bunga model Vasicek. : besar manfaat pensiunyang diterima peserta pada saat pensiun normal tahun. : peluang peserta berusia akan tetap bekerja sampai usia pensiun normal tahun. : faktor diskonto dari usia sampai usia pensiun normal tahun. : nilai tunai anuitas awal seumur hidup yang pembayarannya dimulai saat usia pensiun normal tahun. : usia peserta program pensiun pada saat masuk kerja. : usia peserta program pensiun saat ini. : usia peserta program pensiun pada saat pensiun normal. : suku bunga awal yang digunakan saat peserta mulai mengikuti program pensiun. 67

22 2. Kewajiban Aktuaria Berdasarkan Metode Benefit Prorate Constant Dollar Suku Bunga Model Vasicek Kewajiban aktuaria menggunakan metode benefit prorate constant dollar suku bunga model Vasicek dinotasiakan dengan. Berdasarkan persamaan dan faktor diskonto pada persamaan didapat kewajiban aktuaria yang harus dibayarkan dengan metode benefit prorate consant dollar suku bunga model Vasicek sebagai berikut: (. ( )/) dengan, : kewajiban aktuaria yang dibayarkan saat peserta berusia tahun dengan menggunakan metode benefit prorate constant dollar suku bunga model Vasicek. : besar manfaat pensiun yang diterima peserta pada saat pensiun normal tahun. : peluang peserta berusia akan tetap bekerja sampai usia pensiun normal tahun. : faktor diskonto dari usia sampai usia pensiun normal tahun. : nilai tunai anuitas awal seumur hidup yang pembayarannya dimulai saat usia pensiun normal tahun. 68

23 : usia peserta program pensiun pada saat masuk kerja. : usia peserta program pensiun saat ini. : usia peserta program pensiun pada saat pensiun normal. : suku bunga awal yang digunakan saat peserta mulai mengikuti program pensiun. G. Contoh Penerapan Metode Benefit Prorate Constant Dollar Suku Bunga Model Vasicek Untuk contoh penerapan perhitungan manfaat pensiun, iuran normal dan kewajiban aktuaria dengan metode benefit prorate constant dollar suku bunga model Vasicek, diasumsikan seorang karyawan mulai bekerja pada usia 24 tahun ( 24) dan sekarang berusia 44 tahun ( 44). Pegawai mulai terhitung pensiun pada usia 60 tahun ( 60). Dengan menggunakan asumsi penyusutan dan asumsi tingkat bunga Vasicek dengan bunga awal 0, ( ) akan dihitung besar manfaat pensiun yang akan diterima karyawan saat ini, iuran normal saat ini, dan kewajiban aktuaria saat ini. Karyawan menginginkan jumlah manfaat pensiun sebesar Rp ,00 pada saat pensiun normal. 1. Penentuan Estimasi Parameter Model Vasicek Estimasi parameter dan dicari dengan menggunakan data BI rate. Berikut disajikan estimasi parameter dan menggunakan persamaan dan. 69

24 Tabel 3.1 Estimasi Parameter dan Parameter Estimasi 0, , Pemodelan suku bunga Vasicek dapat memprediksi tingkat bunga di masa yang akan datang. Dengan 0, dan diketahui nilai dan. Sehingga diperoleh hasil prediksi sebagai berikut: Tabel 3.2 Hasil Pemodelan Suku Bunga Vasicek Periode Suku Bunga Vasicek 1 0, , , , , , , , , , , Untuk hasil pemodelan selengkapnya dapat dilihat pada lampiran 4. Selanjutnya, setelah diperoleh pemodelan bunga Vasicek, dibandingan dengan BI rate dan bunga konstan, kemudian dicari nilai mean absoluteerror menggunakan persamaan ( ) sebagai berikut: 70

25 Tabel 3.3 Perbandingan Suku Bunga Vasicek dan Konstan terhadap BI rate BI rate Vasicek Konstan 0, , ,065 0, , , , ,065 0, , , , ,065 0, , , , ,065 0, , , , ,065 0, , Mean Absolute Error 0, , adalah nilai absolute error BI rate dengan suku bunga Vasicek dan adalah nilai absolute error BI rate dengan suku bunga konstan. Untuk selengkapnya perbandingan BI rate dan suku bunga Vasicek dapat dilihat pada lampiran 5. Berdasarkan Tabel 3.3 didapat mean absoluteerror dari BI rate dengan bunga Vasicek yaitu sebesar 0, dan mean absolute error BI rate dengan suku bunga konstan yaitu sebesar 0, Penentuan manfaat pensiun, iuran normal, dan kewajiban aktuaria metode benefit prorate constant dollar Diketahui,,,,. Besar manfaat pensiun yang diterima karyawan saat ini : Menggunakan persamaan ( ) diperoleh: 71

26 Jadi, besar manfaat yang diterima karyawan saat ini adalah Rp ,33. Jumlah manfaat pensiun sampai saat ini (usia 44 tahun) menggunakan persamaan diperoleh: Jadi, besar manfaat pensiun yang telah dikumpulkan karyawan sampai usia 44 tahun adalah Rp ,67. Besar iuran normal saat ini (usia 44 tahun) menggunakan persamaan : (. ( )/) (. ( )/) 72

27 (. ( )/) Jadi, besar iuran yang dibayarkan peserta saat ini menggunakan metode benefit prorate constant dollar dan suku bunga model Vasicek adalah Rp ,69. Nilai sekarang manfaat yang akan datang yang dihitung pada saat ini usia 44 tahun: (. ( )/) (. ( )/) (. ( )/) Jadi nilai sekarang manfaat pensiun yang diperoleh karyawan saat ini (usia 44 tahun) adalah Rp ,80. Kewajiban aktuaria saat ini usia 44 tahun menggunakan persamaan :. ( )/ 73

28 (. ( )/) (. ( )/) Jadi, kewajiban aktuaria yang haru dimiliki dana pensiun peserta saat ini (usia 44 tahun) adalah Rp ,32. Untuk perhitungan selengkapnya dari usia masuk karyawan (24 tahun) sampai usia pensiun dapat dilihat pada lampiran Perbandingan mean absoluteerror iuran normal dan kewajiban aktuaria metode benefit prorate constant dollar dengan suku bunga Vasicek, dan konstan terhadap BI rate Bunga konstan yang diambil dalam penulisan ini adalah 0,065. Hal ini dikarenakan bunga 0,065 lebih mendekati pada hasil perhitungan terhadap BI rate. Tabel 3.4 Perbandingan Mean AbsoluteError Iuran Normal Menggunakan Bunga Vasicek dan Konstan terhadap BI rate , , , , , , Mean Absolute Error , ,

29 adalah nilai absolute error iuran normal menggunakan BI rate dan suku bunga Vasicek dan adalah nilai absolute error iuran normal menggunkan BI rate dan suku bunga konstan. Berdasarkan Tabel 3.4 dapat dilihat bahwa nilai mean absoluteerror iuran normal menggunakan suku bunga Vasicek lebih besar dibandingkan dengan menggunakan suku bunga konstan. Mean absoluteerror iuran normal dengan perhitungan suku bunga konstan sebesar ,1282, sedangkan mean absoluteerror untuk suku bunga Vasicek sebesar ,621. Hasil selengkapnya untuk perbandingan mean absoluteerror iuran normal suku bunga Vasicek dan konstan, terhadap BI rate dapat dilihat pada lampiran 10. Tabel 3.5 Perbandingan Mean AbsoluteError Kewajiban Aktuaria Menggunakan Bunga Vasicek dan Konstan terhadap BI rate , , , , Mean Absolute Error , ,571 adalah nilai absolute error kewajiiban aktuaria menggunakan BI rate dan suku bunga Vasicek dan adalah nilai absolute error kewajiban aktuaria menggunkan BI rate dan suku bunga konstan. Berdasarkan Tabel 3.4 dapat dilihat bahwa nilai mean absoluteerror iuran normal menggunakan suku bunga Vasicek lebih tinggi dibandingkan dengan menggunakan suku bunga konstan.berdasarkan Tabel 3.5 dapat dilihat bahwa 75

30 besar mean absoluteerror kewajiban aktuaria menggunakan suku bunga Vasicek lebih besar dibandingkan dengan menggunakan suku bunga konstan yaitu sebesar ,26 dengan menggunakan bunga Vasicek, dansebesar ,571 untuk bunga konstan. Berdasarkan hal tersebut diperoleh kesimpulan bahwa tingkat bunga konstan lebih baik dari tingkat bunga Vasicek.Hasil selengkapnya untuk perbandingan mean absoluteerror kewajiban aktuaria suku bunga Vasicek dan konstan terhadap BI rate dapat dilihat pada lampiran