BAB III PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO DUA

Transkripsi

1 BAB III PERSAMAAN IFFERENSIAL ORO UA Tuju Pbljr Pbljr lbih ljut gi P lh lsi P oro u oro tiggi. Mskiu bbr P oro u g t islsik g gguk to lsi oro stu, tti P oro u iliki to khusus l lsi. Trut P Liir g hoog. Olh kr itu ihrk hsisw t gthui hi krktristik ri P Liir oro u, gr i iliki ku utuk grjk sol-sol g isik sti sub bhs bb. ii. Plsi t gguk to vrisi rtr, to itgrl lgsug, to uliksi vribl f(), utuk jwb itgrl khusus, iki jug utuk P Kofisi Vribl tu P uh Eulr. A. Prs iffrsil Oro u g Mto Plsi Oro Stu Prs iffrsil oro u t itk l btuk,,, f...() Bbr jis rs iffrsil oro u t i ubh ji rs oro stu g kt, substitusi vribl li (isl).. Mrubh Vribl Trikt Bil iliisik ri rs, k rs oro u ji:,, f...() Prs ii t iubh ji oro stu g substitusik.

2 Shigg ji f,,...() Yg ruk P oro stu g vribl trikt vribl bbs. Bil = h (, ) ruk jwb uu ri () tu str g = h (, ) hsil itgrl lh: h (,)...(4) ruk jwb uu ri rs (). otoh : Slsik Jwb Abil, rs ji :. Hsil itgrl. subsitusik.. 4 (orostuliir)... (fktoritgrsi) Hsil ii ruk jwb P oro u g ibrik i ts.. T Vribl Bbs Bil vribl bbs itik ri (), P oro u ji:,, f...(5)

3 substitusik:. rs (5) ji: f,,...(6) Ii lh rs oro stu g sbgi vribl trikt sbgi vribl bbs. Bil jwb uu lh = h (, ) k t itulis: h(,) bil h (, ), k hsil itgrl lh sbgi h(, ) jwb utuk rs (5). otoh : Ttuk jwb Jwb Abil Prs ji:. Eliisi ri rs slsik + = g ruk P g vribl trish isusik: l + l = l. = Sljut substitusik it rs: =

4 Sljut it jwb uu Bil ibil =, k jwb uu lh Jwb ii k s g jwb its bil = = : = lh solusi g iri.. Ji otoh rktis : Btuk lgkug kbl g bb rt, trgtug u tig g susi btuk kurv g lgkug srti gbr. Ttuklh rs lgkug. A F L F si θ B F F osθ W.g - - Gbr :. Kurv Lgkug kbl Ntklh L sbgi titik trh ri lgkug bil titik sbrg kbl. Gbrk subu vrtikl llui titik L, utuk ggbrk osisi titik gkl k L. Prhtik otog LP ri kbl g gug tig jis g, itu F L, g ruk titik siggug kurv (rh tr). G F titik g tgk lurus g kurv i titik g k bwh W.S, sbgi kibt ri brt kbl sjg LP. i W lh brt rt ti stu jg ri kbl S jg ri otog LP

5 G F F ghsilk tgg kbl. F kost F ruk fugsi ri utuk P sbgi titik sbrg kbl. Kr otog LP sibg, huku kik tk bhw julh g horizotl s g ol () julh g vrtikl jug ol (). Sljut bil θ tk suut tjk i F, k brlku F W.S F.osθ...(9) F si θ...() ri ku rs it : t θ W.S F bil rs lgkug itk olh = f() k t θ =, rs ji : S i = F W kost iffrsil ri rs krh ghsilk tti s. s, jg lgkug shigg Prs ii ruk P oro u, t vribl trikt, ji t iubh k btuk P oro stu g gbil rs ji:

6 Hsil itgrl: sih substitusi sih sih sih.osh Bil ibil titik gkl stu i bwh titik L, k = bil = it =. kr osh =. g iki rs lgkug kbl lh:.osh B. Sol s. g t.. g 4. g g 7. ' ' s. g t

7 . Prs Liir Oro Li P oro k itk liir bil btuk olo brrjt stu utuk vribl trikt turu. Btuk lh... f(). i, uu ruk fugsi ri sbgi otoh, rs; ( 6) si lh liir, tti rs 7 buk liir, kr rjt ri btuk l vribl lh (julh ri kso ). Pbhs h rs liir kofisi i sbgi kostt. Abil f() = g rs i ts, k rs itu itk PL hoog (l,, ). Bil f() itk sbgi PL tik hoog., rs liir. PL Brkofisi Kostt btuk: Prs liir hoog g kofisi kostt itulis l i i sbgi kostt () Bil ruk jwb khusus ri (), k + jug ruk jwb ri (), g sbgi kostt sbrg utuk:

8 g itk l kr tlh iiisilk sbgi jwb () sljut:... jug itk l. Btuk ii t itulis:... kr lh jwb (). Abil sbgi ortor iffrsil krh kui ruk... rt utuk = ( ) = sr uu: ruk otsi utuk turu k, g bilg bult ositif. Polo l btuk ortor iffrsil lh: '... g tk ortor iffrsil liir, g rti:... otoh : si t itulis: si Abil A = B = + b b Mruk ortor liir.

9 irolh julh ri ortor liir A B lh: (A+B) = A + B hsil kli ri A B lh (AB) = A(B) Trliht bhw ortor liir s rsis g huku-huku julh, rkli, ktor l ljbr iki jug l oro olo. Arti, orsi ortor, gikuti kih ljbr. Sbgi otoh: g iki t itulis, - ruk ortor rs iffrsil l btuk olo g itk l btuk fktor-fktor. Sljut to ii k iguk utuk ri jwb ri PL oro ku oro-oro li g kofisi kost. E. Ortor iffrsil Itgrl tu sbgi. Sr uu ulis turu sutu fugsi lh f (). Misl ( ) = - tu, (si ) = os l hl ii, sibol, buk ruk vribl jug tik iliki hrg urik tik t briri siri. Sibol trsbut skr tk sutu ross tu orsi tu ili turu sutu fugsi g iross olh sibol trsbut. Kr itu sibol trsbut t itk sbgi

10 ortor. iki jug g utuk tk turu ku sutu fugsi. Sljut utuk g bis itulis l btuk sbgi turu k sutu fugsi. Utuk ruh ulis ortor trsbut iguk sibol sbgi orsi turu, ggti. Ji t itulis, sbgi orsi turu rt ri sutu fugsi. Turu ku sutu fugsi t itulis, iki strus,.,. Sljut t itulis (si ) = os ( ) = (X ) = + 6. (si ) + (os ) = si Kutug ggu sbgi ortor iffrsil lh t iolh ssui g kih-kih ljbr, srti sift ssositif, istributif, koultif, julh, rkli, ktor. otoh :. {si } {si } si os si. {si } ( 4 4){si }. {si } {os } si 4{si } 4os 4os si 4os. ) ( )( ) 4si 4si 4si Bil tk ortor turu sutu fugsi, k sbgi ivrs(itgrl sutu fugsi) iguk otsi sbgi ortor itgrsi.

11 Ortor ivrs tu - tk ross itgrsi trh vribl bbs g ghilgk kostt itgrsi. Sbgi otoh : si } {os tu si } {os l } { 6 } { 6 5 Sljut tk itgrl lit ri sutu fugsi. Ji )} ( { f tk hsil itgrl fugsi f() trh. sbk u kli, t gguk kostt itgrsi. Sbgi otoh : } { l gguk ortor, rlu ihi tig jis tor g t ruh lsi slh itgrsi rs iffrsil. Tor I: F () { } = F() l } { 6 } { 6 5

12 g sbgi kostt : { } { } ( ){ } ( ) otoh ii brik bhw rt igti olh. rti utuk sti F () g iorsik trh k ghsilk F () = otoh :. ( ){ } ( ). ( 4){ } ( 4) 5. ( 5 ){ } (.4 5. ) 6 Fugsi g iorsik k ghsilk ikli g F(). Atur trsbut jug, brlku ortor ivrs fugsi g iorsik otoh :. ( ) ( ) 4. ( ) (9 ) 6. ( 4 ) (4 8 ) 4. ( )( 4) ( )( 4) 6 Tor II : F(){.V} =. F( + ) {V} i sbgi kostt v sbgi figsi. Jik sutu fugsi iorsik {.V}, g V sbgi fugsi, k fugsi brubh ji fugsi ( + ) g s bkrj V sj ikli g. Bukti : {.V} =. {V} + igt btuk = u.v = [{V} +.V]. = F( + ) {V}.

13 otoh :. ( + + 5) {.V} = [( + ) + ( + )] {V}.. ( 4) {. } = [( + ) 4] {X }. = ( ) { }. = [ ( ) ]. = ( ).. ( + ) {.si } = [( + ) + ( + ) ] {si }. = ( ) {si }. = (4 si + 6 os ). 4. ( + 5) { 5.os } = [( + 5) + 5] {os }. 5 = ( + + 5) {os }. 5 = ( 4 os si + os ). 5 = (6 os si ) ( +4) { -.os } = [( ) ( ) + 4] {os }. - = ( ) {os }. - = ( 5 +8) {os }. - = ( 9 os + 5 si + 8 os ). - = (5 si os ). - Atur trsbut jug brlku utuk ortor ivrs fugsi g brorsi. otoh :. 4 4(.. 5 ( ) ) 5. _

14 ( ). Murut tor rt Bioil. ( ) Shigg : ( ) { }. ( ){ }. ( 6...). ( 6).. { } { } { } { } 7 Tor III : Fugsi g iorsik si, tu os (tu kuu), tik rubh ili ku fugsi trsbut, tti ili brubh ji (- ). Ji : F( ) si os F( ) si os otoh :. 5 si 4 5 si 9si. os os os

15 . {si os4} si os4 9 6 si os4 9 Ksiul : Tor I. F () { } = F() II. F () {.V} =. F ( + ) {V} III. F( ) si os F( ) si os * Pggu ortor l lsi P oro u lh tk hsil itgrl khusus, sgk fugsi koltr it ri rs krktristik P trsbut. otoh : 4. FK : = ( +) ( + ) =. IK, g but btuk ortor sbgi brikut : ( 4 ) = { } 4 = =. ji : = + =

16 Ortor, t jug iguk utuk lsik P oro u sr utuh ; otoh sbgi brikut. Slsik P brikut g itgrl lgsug 4 Jwb : Btuk ortor ri rs lh ( 4 ) ( )( ) Mislk ( + ) = u Prs ji ( u ) u u u u (fktor itgrsi) ( u. ) 5 u. 5 5 u. 5 u 5 ( ) (fktor itgrsi) (. ) 5. = 5 +

17 . = 5 = 5 Hsil ii s g hsil otoh sblu. F. Jwb PL Oro u Hoog g Kofisi Kostt Abil slh stu rs liir oro u hoog g kofisi kostt l btuk:...() bil ruk jwb g sbgi kostt, k jwb uu lh: = +..() i, ruk jwb bbs. l hl ii buk kost g ikli g. otoh bil = k, k = + = h + = i, = ( h + ). Ji () h gug kostt rl g ssifik. Bil = + ruk jwb uu () k:...() tri ii (itk wroski ri ), tk bhw rt ii tik br bil () sbgi jwb uu sljut, bil = k = k, tri ri () ji ol, kr k k ' ' ' k. kr itu (), ku hl its ruk srt uku utuk ji bbs btuk + ji jwb uu ri (), i ruk kostt sbrg.

18 Btuk jwb PL Oro u Bil isubstitusik = k l rs () i sbgi kostt, k it: Y = = ( + + ) = ( + + ) = kr, g ruk itits ri jik bilg, shigg + + =..(4) rs kurt ii ruk rs krktristik ri (). Tlh itk bhw = sbgi solusi utuk PL hoog ri ( + + ) = jik h jik ruk kr-kr ri rs krktristik (rs btu) g btuk: + + = kr rs (4) lh rs kurt k kr-kr u itu, shigg utuk tk jwb uu ri (), trt tig ksus g brhubug g ili utuk rs (4), itu rl, brb, kbr bilg kolks. Ksus : ri kr-kr. = 4 Bil ( 4 ) >, k rl brb kr ruk hrg kr-kr rs (4) it u jwb P () itu. Wroski ri tik ol shigg slig bbs it: i, kostt sbrg. (jwb uu). A. Plsi P u t lgsug jug islsik g gguk itgrl lgsug ri ortor, sbgi brikut. Btuk ( + + ) =, bil kr-kr k t ifktork ji ( ) ( ) =.

19 Mislk ( ) = u Prs ji ; sbgi brikut. ( + + ) = ( ) ( ) = ( ) u = u u = u - u. (fktor itgrsi) ( u. ) u. u = ( ) =. ( (. ) ) g : A = otoh : ( ) (. ) = Slsik Jwb : A. B. sbgi kostt B =, jug kostt. l btuk ortor t itulis ( + ) = Prs krktristik: ( 5)( )

20 hrg kr-kr : 5 it: 5 ruk jwb uu ri P. Ksus : 4 ; ghsilk Slh stu jwb ri () lh = jwb li lh = sljut:. Bil ksus ii isubsitusik k l rs sul k it l btuk Kr itu = lh jwb ri (5). Jwb uu utuk (5) lh: i sbrg. ob turuk ruus g itgrl lgsug. otoh : Slsik 4 49 Jwb l btuk ortor P itulis 4 49 Prs krktristik: Ji jwb uu utuk P lh: = ( + ) 7 7

21 Ksus : 4, ghsilk l btuk bilg kolks α βi Shigg jwb uu P ji: kr urut rt Mluri: α α β i β i α β i - β i β i -β i osβ osβ isiβ isiβ Mk: α α α osβ i si β osβ osβ i si β i osβ isi β si β i = ( + ) = (i + i ) Prs ii ruk jwb uu ri rs iffrsil oro u l btuk. otoh : Slsik " 4 Jwb Prs krktristik: i 5 α β os si Mruk jwb uu utuk P g ibrik

22 Sol Ttuk jwb uu ri rs iffrsil brikut:. '' 5' 6. Tujuk bhw jwb uu. '' 6' 7 ri 6. '' 5' 6 4. '' 6' 9 g b bilg rl 5. 6 '' t itulis 7,osh b sih 6. '' 4 7. '' 9 t : osh = 8. " ' Sih = 9. '' ' b b

23 G. Ksiul Utuk P oro u hoog l btuk g kostt, iliki rs krktristik kofisi ilki kr-kr k iliki jwb uu. g () g ruk kostt sbrg g brb kofisi kostt. () Bil =, jwb uu lh () Bil α βi i α β bilg rl, k jwb uu ri P r lh α osβ siβ H. Prs Liir Oro u Tk Hoog Prs liir oro u tk hoog g kofisi kostt itulis l btuk: f()...( ) i i kofisi kostt g uu isusik sbgi bilg rl. Btuk hoog ri () lh...() g jwb uu:.u.u...() i U U ruk fugsi Prs () itk fugsi koltr ri rs liir tk hoog (). Bil btuk ut ri jwb () t ikthui, k jwb uu t iri g tor brikut. Bil P f() iliki itgrl khusus fugsi koltr, k jwb uu lh: U U

24 g u kostt sbrg. Bil isubstitusik k () k ghsilk f() tu f() g rus rt brhrg ol, kr ruk slh stu jwb() rus k ruk rs l btuk kr jug ruk jwb ri (). otoh Ttuk jwb uu ri rs iffrsil liir tk hoog ( ) = - Plsi g ob-ob it slh stu jwb = sbgi jwb ut. Fugsi koltr lh = P otoh ii jwb uu ri PL o hoog itrk (tbk), Sljut k ibhs r utuk tk jwb ut (itgrl khusus) ri PL o hoog g kofisi kostt, bil fugsi koltr tlh ikthui. Mto iosbut sbgi to vrisi rtr. Utuk tk jwb itgrl khusus utuk (), iuli ri ggti g fugsi koltr () g sbrg fugsi, itu, v () v (). g U U sbgi jwb g slig bbs ri () sljut rhitug v () v (), shigg t itulis, rs sbgi brikut. sbgi itgrl khusus ri (). = V (). U + V (). U..(4) Kr (4) sbgi jwb itgrl khusus ri (), k turu rt ku t isuk k l () l btuk. Hsil iffrsil (4) trh lh ' v u' v u ' v' u v ' u...(5)

25 Kr v v ruk fugsi sbrg ri, k k it u kugki l btuk v v. Sljut bil (5) ituruk lgi k btuk rt l v v lh: v ' u v ' u...(6) shigg (5) ji: ' v u' v u ' Turu ri (7) trh lh: ' v u '' v u '' v ' u ' v ' u '...(8) ' g subsitusik (4), (7), (8) k (), k it btuk khusus l v v ssui g gbg rs l btuk. Hsil ri subsitusi lh: v u'' vu'' v' u' v' u' v u' vu' v u vu f() tu, v u' ' u' ' u v ' u '' u '' u v' u' v ' u ' f() Kr v v ruk jwb ri () k rs ii ji: v '.u' v '.u ' f()...( 9) u k g brisik u rt sbrg l v () v (), itu btuk (6) (9) lh: v v '.u '.u ' v v '.u '.u '... () f() ku rs ii liir l btuk v ' v ' g srt; u u brbtuk liir g slig bbs Shigg u u u u Sljut sist () l v ' v ' ruk jwb g uik stlh tk jwb utuk v '() v '(), t iri v () () v g itgrl. Ii lh jwb itgrl khusus ri () itu: v().u v ().u ri (4) Ksiul ri to vrisi rtr. Itgrl khusus ri PL o hoog oro u g kofisi kostt. f()

26 lh v().u() v ().u ()

27 v v sbgi fugsi g btuk sist rs v ' u v ' u ' v ' u v ' u ' f() otoh Slsik PL o hoog brikut. ( + ) = s..() Jwb : jwb uu btuk hoog lh ( + ) = Prs krktristik: + =, = i ji α β it os si...() Mruk fugsi koltr ri rs (). Utuk tk itgrl khusus ri (), gti l () k btuk fugsi sbrg, itu v () v (), shigg it: v () os v () si...() Utuk tk v v, k () ruk itgrl khusus ri (). Fugsi v v it g lsik rs. v ' os v ' si v ' sljut it : btuk trik v si ' os s...(4) os si si os v v ' ' = s () v o s os si si os os si.s t t l os () v os si os si s si os os.s

28 Kr rhitug h rluk jwb itgrl khusus, k jwb tik rluk kostt v () v (). g iki it: v ( ). u v( ). u, os.l os si Sljut, jwb uu utuk () lh: os os si os l os l os si si I. Sol Slsik g to vrisi vribl. ' ' 5 6. ' ' os. ' ' ' 5. ' '' os.ot 4. ' ' 4 5. ' ' t 7. ' ' 5' 6 8. ' ' ot 9. ' '' '. '' s J. Plsi g Itgrl lgsug PL o hoog l btuk f() g iliki kr-kr fktor, t itulis l btuk: ( ) ( ) = f() lsi t gguk g islk u = ( ), shigg rs ji: ( ) u = f() g ruk btuk PLoro stu g t itulis:.u.u = f()

29 (u. u ).u f(). f() (fktoritgrl) u. f(). u f().. substitusik u = ( ) it : f().. tu. f(). f()... ( ) (fktoritgrl). f(). f(). (). hsil itgrl lh jwb uu utuk PL o hoog oro u. K. Plsi g uliksi f(), Utuk Mrolh Jwb Itgrl Khusus. Utuk tk jwb itgrl khusus = ( +. + ) = f() t iguk uliksi btuk uu ri f() turu rt srt turu ku. Kostt-kostt iri g substitusik k l btuk rs k kofisi-kofisi g slrs. Btuk uu utuk uliksi g srig iguk lh: Jik. f() =, islk = A, = ; =. f() =, islk = A + B ; = A ; =. f() =, islk = A + B + ; =A + B ; = A 4. f() = si, islk = A os + B si = os = - A si + B os = - A os B si

30 5. f() = si os si, islk = A osh + B si = A sih + B osh = A osh B sih 6. f() =, islk = A ; = A ; = A strus. otoh : Slsik ' ' 5 6 si 4 Jwb : ) Fugsi koltr g rs krktristik 5 6 ( )( ) ) Itgrl khusus i ri g islk ' '' A os 4 Bsi 4 4A si 4 4B os 4 6 A os 4 6B si 4 substitusik k l rs, kui sk kofisi-kofisi g slrs, utuk tk ili A B. it. 6 A os4 A. A ji B 5 6B si 4 (os4 () 5( () si 4) 4A si 4 (A A 5 A B 5B B A 4B os4) 5 ) si 4 5 6(A os4 (A Bsi 4) B) os4 si 4 si 4

31 ) Jwb uu rsol lh A B ( os 4 5 si 4) L. Sol. Krjk g r itgrl lgsug!.. ' ' 7' ' ' 6' ' ' 5' 6 si 4. ' ' ' os 5. ' ' 6' 6. ' ' 4' 7. ' ' 6' ' ' 56' 8 os si 9. ' ' -8 os si =sih b. Krjk g uliksi!. ' ' '- 8. ' ' 4. ' ' ' 4si 4. ' ' 4' 4os 5. '' 6' ' '- ' - 7. ' '- 4' - 8. ''- 7' ' ' ' os. '' 6 7' 9

32 M. Prs iffrsil hoog uh-eulr Prs iffrsil uh-eulr ilki btuk liir : ( b) ( b) f()...(...) g, b, kostt (bilg rl. Prs ji hoog bil f() =. Utuk tuk jwb uu () t iguk isl ( +b) = t, shigg t. b t, = ( b), g k gubh kofisi vribl b ji kofisi kostt. r li lh g gguk ish ( +b) =, shigg = ( + b) - = (-) ( + b) -, g k gubh vribl rs ji rs l btuk krktristik r : t. r isl ( + b) = t b t ( b b) g ish ii it t = l ( + b) isl ii k gubh P ri btuk ji btuk t t kofisi kostt l t. otoh : t t ( b). r ji btuk shigg irolh PL hoog oro u Ttuk jwb uu ri P ; 4 4 Misl = t t t t Turu ku fugsi trh t lh : l, shigg t. t. t t. t.

33 t t t substitusik k l rs, it P l fugsi trh t sbgi brikut: t t t 4 t t (*). Fugsi koltr g rs krktrstik ( 4)( b. Itgrl khusus g islk 4 ) 4 A ; ' ' ' substitusik k l rs, it : ji 4A A 4t t jwb utuk P (*) lh: (t) kr t = l k jwb utuk fugsi trh lh:. r ish ( +b) () () l 4 Pish ii k gubh btuk P k btuk rs krktristik l g r iffrsilk = ( +b) l btuk turu rt ku, kui substitusik k l rs wl: 4 4t l t

34 ( b) - ( ) ( b) otoh : Slsik 4 4 Jwb Mislk: ( b) ' ( b) '' ( ) ( b) substitusik k l rs it utuk = b = k: 4 4 bgi rs g it: ( 4)( 4 ) 4 it: 4 Guh s qustio Fi olt solutio of th iffrtil qustio ur th trsfortio = z or z = l w hv b stright forwr litio of th h rul: u. z z. z. z. z. z z. z.

35 . z z. z z z z subsitutig ths ito th giv iffrsil qustio, w hv z z z 4 z z 5 z 5 or, silifig oltigtrs z z 7 z 5 th rtristi qustio of th lst qustio is, 75 i ( )( z z ( 4 5) osz siz) fill, rlig z b l, w hv: l l osl os(l ) si l si (l ) th grl solutio of th giv iffrtil followig qustio N. Sol A. Slsik rs brikut:. '' '. '' '. ' ' 6 4 ' 4 4. ( ) '' ( ) ' 5. ( ) '' ( ) ' 7. ( ) '' 7( )' 7 8. '' 4' 4 9. '' 4' 4. '' 7' 5-6. ( ) '' 7( - ) ' 7

36 B. Eriss: fi olt solutio of h of th followig qustio =. - 6 = + l. - + = = = +

37