PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA PEMANENAN KONSTAN HASANNUDIN

Transkripsi

1 PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA PEMANENAN KONSTAN HASANNUDIN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2015 Hasannudin NIM G

4 ABSTRAK HASANNUDIN. Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan JAHARUDDIN. Terdapat beberapa model matematis untuk memodelkan peristiwa mangsapemangsa. Salah satu model yang cukup banyak penerapannya adalah model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum dengan mempertimbangkan waktu tunda dan sebuah parameter pemanenan konstan. Analisis kestabilan dilakukan terhadap model tanpa dan dengan waktu tunda. Untuk model tanpa waktu tunda diperoleh titik tetap yang salah satunya bersifat spiral stabil, sedangkan titik tetap pada model dengan waktu tunda terdapat titik tetap yang bersifat spiral stabil/tidak stabil. Untuk model dengan waktu tunda, semakin besar nilai waktu tunda mengakibatkan munculnya limit cycle, dan terjadi bifurkasi Hopf superkritis saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil. Kata kunci: bifurkasi Hopf superkritis, mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum, waktu tunda ABSTRACT HASANNUDIN. Dynamic Behavior of Generalized Gause Type Prey-Predator Model with a Constant Time Delay Harvesting. Supervised by ALI KUSNANTO and JAHARUDDIN. There are several mathematical models to describe prey-predator events. One model that has many applications is the generalized Gause type prey-predator model by considering a time delay and a constant harvesting parameter in both prey-predator populations. We performed stability analysis to both models without time delay and with time delay. For the model without time delay, we obtained three equilibrium points with one is spiral stable, while model with time delay possesses equilibrium points which can be either spiral stable or spiral unstable. In addition to the model with time delay, when the value of time delay increases, this causes the appearance of a limit-cycle and supercritical Hopf bifurcation occurs when the equilibrium stability change from spiral stable to spiral unstable. Keywords: generalized Gause type prey-predator model, supercritical Hopf bifurcation, time delay

5 PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA PEMANENAN KONSTAN HASANNUDIN Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

6

7 Judul Skripsi : Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan Nama : Hasannudin NIM : G Disetujui oleh Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing I Dr Jaharuddin, MS Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada: 1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya, 2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman, 3 keluarga tercinta: Ibunda Riesa Pri Handayani dan Ayahanda Cecep Supriyanto yang selalu memberikan doa, motivasi dan kasih sayang tiada henti, 4 keluarga besar Bapak A Soehartoyo dan keluarga besar Bapak Djoko (alm), 5 Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi, dan Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku dosen pembimbing, terima kasih atas segala kesabaran, ilmu, saran dan motivasinya selama membimbing menulis, serta Bapak Dr Paian Sianturi selaku dosen penguji, 6 staf tata usaha Departemen Matematika IPB, 7 Widyawati atas kasih sayang, doa, semangat dan kebersamaanya selama ini, 8 keluarga Wisma Hijau tercinta: Ahmad, Ibrahim, Noorul Amin, Prahditya, Yoppy, Firman, Arman, dan keluarga C1 Lorong 1 yang telah memberikan motivasi, bantuan, keceriaan, dan arti sahabat juga keluarga bagi penulis, 9 sahabat-sahabat penulis: Parara, Ikhwan A, Adam, Deva, Dedi H, Dedy S, Dwinanda, Rachman, Arli, Firi, Arpi, Fakhri, Dinar, Rizky, Hendar, Imam, Ariyanto P, dan Fiki terimakasih atas semangat, motivasi, dan doanya, 10 teman-teman satu bimbingan: Mutammimul Ula dan Anif Lailil A yang senantiasa saling mengingatkan dan memberikan motivasi dalam penyusunan karya ilmiah ini, 11 teman-teman satu perwalian: Intan Fitria dan Vina A yang senantiasa saling mengingatkan, 12 teman-teman seperjuangan: Alfi, Sabila, Putri, Dinita, Riefdah, Sifa, Riski, Rika, Andini, Lidya, Dyah Ayu, Siti, Dini, Deby, Henny, Disti, Giovanni dan Intan Mugi terima kasih atas motivasi dan keceriaannya selama ini, 13 teman-teman asisten praktikum: Resty, Ariyanto H, Atikah, dan Restu A terima kasih atas bantuannya dan kebersamaannya, 14 teman-teman mahasiswa Matematika 48, Matematika 49, BPH Gumatika 2012/2013 dan Kestari Gumatika 2013/2014 terimakasih atas doa, semangat, serta kebersamaannya selama ini, 15 teman-teman satu lulusan: M Reza, Ichsan Rayyan, Nurul M, Annisa N, Ria N, dan Lingga Detia terima kasih atas kebersamaannya, 16 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini, terima kasih. Bogor, Mei 2015 Hasannudin

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 2 LANDASAN TEORI 2 HASIL DAN PEMBAHASAN 6 Pemodelan 6 Pembahasan 7 Model 1 7 Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda 7 Pelinearan Model dengan Waktu Tunda 8 Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis 10 Bifurkasi Hopf 12 Model 2 13 Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda 13 Pelinearan Model dengan Waktu Tunda 14 Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis 16 Bifurkasi Hopf 17 Simulasi Numerik 18 SIMPULAN DAN SARAN 26 Simpulan 26 Saran 26 DAFTAR PUSTAKA 26 LAMPIRAN 28 RIWAYAT HIDUP 50

10 DAFTAR TABEL 1 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat 19 2 Pemilihan nilai waktu tunda model pertama 20 3 Pemilihan nilai waktu tunda model kedua 21 DAFTAR GAMBAR 1 Bidang fase saat 19 2 Bidang solusi mangsa saat 20 3 Bidang solusi pemangsa saat 20 4 Bidang fase model pertama saat 21 5 Bidang solusi mangsa model pertama saat 21 6 Bidang solusi pemangsa model pertama saat 21 7 Bidang fase model kedua saat 22 8 Bidang solusi mangsa model kedua saat 22 9 Bidang solusi pemangsa model kedua saat Bidang fase model pertama saat Bidang solusi mangsa model pertama saat Bidang solusi pemangsa model pertama saat Bidang fase model pertama saat Bidang solusi mangsa model pertama saat Bidang solusi pemangsa model pertama saat Bidang fase model kedua saat Bidang solusi mangsa model kedua saat Bidang solusi pemangsa model kedua saat Bidang fase model kedua saat Bidang solusi mangsa model kedua saat Bidang solusi pemangsa model kedua saat 25 DAFTAR LAMPIRAN 1 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model pertama 28 2 Penyederhanaan model pertama dengan metode linearisasi 29 3 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model pertama 32 4 Penentuan tundaan waktu kritis model pertama 34 5 Penjabaran fungsi sign model pertama 35 6 Penjabaran kondisi transversal model pertama 37 7 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model kedua 38 8 Penyederhanaan model kedua dengan metode linearisasi 39 9 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model kedua Penentuan tundaan waktu kritis model kedua Penjabaran fungsi sign model kedua 45

11 12 Penjabaran kondisi transversal model kedua Program plot bidang fase kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 1) Program plot bidang solusi mangsa kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 2) Program plot bidang solusi pemangsa kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 3) 49

12

13 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Pada kehidupan nyata, setiap makhluk hidup melakukan proses interaksi dengan makhluk hidup lainnya. Dalam konteks memenuhi kebutuhan makanan, proses interaksi tersebut memunculkan proses rantai makanan yaitu peristiwa makan dan dimakan untuk mempertahankan jumlah populasi. Interaksi yang dilakukan oleh spesies pemangsa (predator) memengaruhi jumlah dari spesies mangsa (prey). Peristiwa rantai makanan atau makan dan dimakan menjadi latar belakang bidang pemodelan matematika untuk meniru perilaku dinamika sistem mangsa-pemangsa tersebut agar diperoleh jumlah mangsa-pemangsa dipertahankan seimbang. Alfred Lotka pada tahun 1925 dan Vito Volterra pada tahun 1927 mengembangkan sepasang persamaan diferensial yang menggambarkan fenomena mangsa-pemangsa untuk pertama kali dikenal sebagai model Lotka-Volterra (Bacaer 2011). Kemudian Holling pada tahun 1959 memperkenalkan fungsi respons. Dalam hal ini fungsi respons dibagi atas tiga macam, yaitu fungsi respons tipe I, tipe II, dan tipe III. Fungsi respons tipe I terjadi pada pemangsa yang memiliki karakteristik pasif atau lebih suka menunggu mangsanya, sebagai contoh pemangsanya adalah hewan penyaring yaitu sponge (Garrott et al. 2009). Fungsi respons tipe II terjadi pada pemangsa yang berkarakteristik aktif dalam mencari mangsa sebagai contoh pemangsanya adalah serigala (Skalski 2001). Fungsi respons tipe III terjadi pada pemangsa yang mencari populasi mangsa yang lain ketika populasi mangsa yang dimakan mulai berkurang atau pemangsa beralih mencari mangsa lain. Sebagai contoh pada tikus yang bertindak sebagai pemangsa dengan kepompong ngengat gipsi sebagai mangsa. Pada suatu sistem, perubahan populasi tidak selalu monoton. Hal ini disebabkan makhluk hidup tidak dapat melahirkan terus menerus dan ada beberapa makhluk hidup belum mampu berkembang biak. Penyebabnya yaitu karena fasilitas yang terbatas. Gejala ini merupakan suatu fenomena dimana suatu makhluk hidup memerlukan tenggang atau tundaan waktu (time delay). Salah satu bentuk model mangsa-pemangsa yaitu model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum (generalized Gause-type). Kemudian Beretta dan Kuang (1996) serta Ruan (2009) menambahkan komponen perlambatan agar model mangsa-pemangsa lebih realistis. Asumsi dasar dari model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum yaitu terdapat pengaruh interaksi antara mangsa dengan pemangsa dan terdapat komponen perlambatan yang didefinisikan bahwa jumlah populasi makhluk hidup saat ini bergantung pada jumlah populasi makhluk hidup pada waktu terdahulu atau waktu yang dibutuhkan makhluk hidup untuk mempersiapkan tahap tertentu. Pada karya ilmiah ini akan dibahas tentang perilaku dinamis terhadap model mangsa pemangsa dengan perlambatan. Model yang dibahas adalah model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum. Dalam setiap model akan ditambahkan pemanenan yang konstan.

14 2 Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk: 1. membangun model mangsa-pemangsa tanpa dan dengan waktu tunda serta pemanenan konstan yang dituliskan oleh Martin dan Ruan (2001), 2. menganalisis kestabilan model mangsa-pemangsa tanpa dan dengan waktu tunda serta pemanenan konstan, 3. memelajari pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan sistem, dan 4. memelajari keberadaan bifurkasi Hopf pada model mangsapemangsa. LANDASAN TEORI Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai: (1) dengan [ ] dan [ ]. Jika fungsi tak linear terhadap, maka sistem persamaan diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial tak linear dan jika fungsi linear, maka sistem persamaan diferensial (1) disebut persamaan diferensial linear (Braun 1983). Jika sistem persamaan diferensial (1) tidak memuat variabel waktu secara eksplisit, maka disebut sebagai persamaan diferensial mandiri yang dapat ditulis:. Titik disebut titik tetap atau titik kritis atau titik keseimbangan, jika. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial dengan dua persamaan dan dua peubah seperti berikut: (2) Andai adalah titik tetap dari persamaan (2), maka dan.

15 3 Misalkan dan, maka didapatkan:. Dengan uraian deret Taylor dua peubah terhadap fungsi, maka didapatkan sistem sebagai berikut: memiliki nilai yang cukup kecil dibandingkan suku- dengan suku sebelumnya. Dengan cara yang sama diperoleh: Dengan uraian deret Taylor dua peubah terhadap fungsi, maka didapatkan sistem sebagai berikut: Dalam bentuk matriks dapat dituliskan: Matriks A yaitu: * + [ ] * + [ ] disebut sebagai matriks Jacobi yang dievaluasi di titik tetap, maka didapatkan persamaan linear:. Karena * + [ ] * + (3) Bentuk (3) disebut pelinearan dari sistem persamaan (2) (Strogatz 1994).

16 4 Beberapa tundaan dapat digabungkan dengan menggunakan persamaan diferensial tundaan sebagai berikut dengan sebagai parameter waktu tunda (Murray 2002). Persamaan diferensial tundaan atau delayed differential equation adalah suatu persamaan diferensial dengan turunan dari fungsi yang tidak diketahui untuk beberapa waktu tunda yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan nilai fungsi pada waktu sebelumnya. Misal A adalah sebuah matriks berukuran n x n, maka sebuah vektor tak nol di dinamakan vektor eigen dari A, jika adalah kelipatan skalar dari yaitu: untuk suatu skalar. Skalar ini dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan. Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka dituliskan kembali sebagai: atau (4) dengan merupakan matriks identitas. Persamaan (4) akan memunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika: Persamaan (5) dinamakan persamaan karakteristik (Anton 1987). Misalkan suatu sistem persamaan diferensial memiliki bentuk seperti berikut: sehingga matriks koefisien dari sistem persamaan diferensial di atas ialah: (5) * + Berdasarkan persamaan (5), maka persamaan karakteristiknya menjadi:

17 5 atau dengan: dan Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari A adalah: Nilai eigen akan memenuhi kondisi: 1. Jika, maka nilai eigen adalah bilangan real dan berbeda tanda sehingga titik tetap merupakan titik sadel. 2. Jika, maka nilai eigen dapat berupa bilangan real dengan tanda yang sama (titik tetap berupa simpul) atau bilangan kompleks conjugate (titik tetap berupa spiral atau center). Jika, maka berupa simpul dan jika, maka berupa spiral. Persamaan parabola adalah garis batas antara simpul dan spiral; star nodes dan degenerate nodes berada pada parabola ini. 3. Ketika, kedua nilai eigen memiliki tanda yang negatif, sehingga titik tetap stabil. Spiral dan simpul tak stabil memiliki. Titik stabil netral atau center berada pada garis, dimana nilai eigen adalah imajiner murni. 4. Jika, setidaknya ada satu nilai eigen yang sama dengan nol, maka titik tetap merupakan titik tak terisolasi (Strogatz 1994). Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari suatu sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter sistem dinamika tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi. Bifurkasi adalah perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap (titik kestabilan) dalam suatu sistem dinamik. Nilai parameter ketika terjadinya bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Salah satu jenis bifurkasi yaitu Bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dalam suatu sistem dinamis. Limit cycle sendiri merupakan orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit. Hal ini terjadi pada saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil atau sebaliknya. Titik bifurkasi terjadi pada saat sistem melalui sepasang nilai eigen murni imajiner. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil. Bifurkasi Hopf bersifat superkritis saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil, sedangkan bifurkasi Hopf bersifat subkritis saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral tak stabil menjadi spiral stabil (Strogatz 1994).

18 6 HASIL DAN PEMBAHASAN Pemodelan Dalam karya ilmiah ini akan dibangun dua model mangsa-pemangsa, yaitu model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 (model pertama) yang merupakan model mangsa-pemangsa dengan pemanenan mangsa dan waktu tunda pada mangsa, dan model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 2 (model kedua) yang merupakan model mangsapemangsa dengan pemanenan mangsa dan waktu tunda pada pemangsa (Martin dan Ruan 2001). Berikut ini adalah uraian dari kedua model mangsa-pemangsa tersebut. Model 1 : Model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 Model ini menggambarkan interaksi antara mangsa dengan pemangsa, pemanenan konstan pada mangsa, dan komponen perlambatan pada tingkat pertumbuhan mangsa yang berpengaruh pada laju perubahan mangsa terhadap waktu. Berikut adalah model tipe Gause yang diperumum 1: [ ] [ ] (6) di mana, dan konstanta, dengan : banyaknya populasi mangsa pada waktu t (populasi), : banyaknya populasi pemangsa pada waktu t (populasi), : faktor pengali (tanpa dimensi), : banyaknya populasi mangsa minimum yang dibutuhkan pemangsa agar stabil (populasi), : tingkat pertumbuhan spesifik mangsa berupa suatu fungsi sembarang (1/waktu), : koefisien interaksi antara mangsa dengan pemangsa berupa suatu fungsi sembarang (1/(populasi.waktu)), : respons fungsional dengan berupa suatu fungsi sembarang (1/waktu), : waktu tunda atau perlambatan (waktu), dan : upaya pemanenan populasi mangsa (populasi/waktu).

19 7 Model 2 : Model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 2 Model ini menggambarkan interaksi antara mangsa dengan pemangsa, pemanenan konstan pada mangsa, dan komponen perlambatan pada respons fungsional yang berpengaruh pada laju perubahan pemangsa terhadap waktu. Berikut adalah model tipe Gause yang diperumum 2: [ ] [ ] (7) di mana, dan konstanta, dengan : banyaknya populasi mangsa pada waktu t (populasi), : banyaknya populasi pemangsa pada waktu t (populasi), : laju mengonsumsi mangsa oleh pemangsa (tanpa dimensi), : laju kematian pemangsa (1/waktu), : tingkat pertumbuhan spesifik mangsa (1/waktu), : koefisien interaksi antara mangsa dengan pemangsa berupa suatu fungsi sembarang (1/(populasi.waktu)), : respons fungsional dengan berupa suatu fungsi sembarang (1/waktu), : waktu tunda atau perlambatan (waktu), dan : upaya pemanenan populasi mangsa (populasi/waktu). Pada saat, persamaan (6) ekivalen dengan persamaan (7) di mana nilai parameter sama dengan dan sama dengan. Model 1 Pembahasan Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda Titik tetap didapat dari dan, sehingga dari persamaan (6) diperoleh [ ] [ ] Karena dan, maka hanya terdapat dua titik tetap yang mungkin, yaitu dan dengan dan nilai diperoleh dari penyelesaian persamaan

20 8 Agar titik tetap memiliki komponen-komponen yang bernilai positif, batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar Kemudian, agar titik tetap memiliki komponen-komponen yang bernilai positif, maka batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar Pelinearan Model dengan Waktu Tunda (bukti lampiran 1) Model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda yang diberikan pada persamaan (6) dianalisis dengan menggunakan pendekatan model linear di titik tetap. Untuk itu dimisalkan dan Jika pemisalan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (6) dan disederhanakan, maka [ ] (8) (bukti lampiran 2) Analisis kestabilan di titik tetap pada model (8) ekivalen dengan analisis kestabilan dari titik tetap pada model persamaan (6) setelah dilinearisasi. Berikut ini akan ditentukan persamaan karakteristik untuk model persamaan (8). Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (8) diturunkan terhadap dan, maka diperoleh [ ]

21 9 Jika penyelesaian titik tetap berbentuk digunakan, maka diperoleh matriks Jacobi di Penyelesaian persamaan karakteristik, menghasilkan dengan (9) (10) (bukti lampiran 3) Analisis kestabilan dilakukan dengan mencari nilai eigen pada masing-masing titik tetap. Dengan diperoleh persamaan (9), kita dapat menganalisis kestabilan dalam bentuk umum. Jika nilai maka diperoleh sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu 1. Jika titik tetap disubstitusikan ke dalam persamaan (10), maka diperoleh dengan sehingga diperoleh nilai eigen berikut atau dan Karena ada salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap bersifat tak terisolasi.

22 10 2. Jika titik tetap disubstitusikan ke dalam persamaan (10), maka diperoleh dengan sehingga diperoleh nilai eigen (11) Berdasarkan nilai eigen pada persamaan (11) dengan terdapat 3 kemungkinan, yaitu: i. sehingga. Dalam hal ini titik tetap bersifat simpul stabil jika. ii. sehingga. Dalam hal ini titik tetap bersifat spiral stabil jika. iii. sehingga. Dalam hal ini titik tetap bersifat spiral tidak stabil jika. Agar titik tetap stabil, maka nilai eigen harus negatif, sehingga atau. Jadi diperoleh nilai eigen yang negatif, maka titik tetap stabil. Jenis kestabilan titik tetap didasarkan pada kemungkinan di atas. Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis Model mangsa-pemangsa untuk waktu tunda pada persamaan (6) titik tetapnya bersifat spiral (stabil atau tidak stabil), sehingga nilai eigen dari matriks Jacobi dimisalkan dengan dan Untuk memeroleh nilai maka nilai eigen disubstitusikan ke dalam persamaan (9) sehingga didapatkan persamaan karakteristik atau (12) dengan.

23 11 Kemudian dengan memisahkan bagian real dan imajiner, pada persamaan (12) diperoleh atau ekivalen dengan (13) Kuadratkan persamaan (13), diperoleh Selanjutnya kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan sesuai pangkat dengan maka diperoleh polinomial berderajat empat (14) Dari persamaan (14) dapat dilihat dua hal, yang pertama bahwa suku yang memuat fungsi trigonometri tereliminasi dan waktu tunda juga tidak muncul. Kemudian yang kedua, persamaan (14) merupakan polinomial berderajat genap, bila didefinisikan sebagai akar dari persamaan (14) maka diperoleh ( ) (15) Menurut aturan tanda Descartes, persamaan (14) akan memiliki paling tidak satu akar real positif jika variasi perubahan tanda koefisien polinomnya lebih dari satu atau sama dengan satu. Dari persamaan (15) dapat diketahui jika menyebabkan persamaan polinom (14) tidak memiliki variasi perubahan tanda koefisien sehingga persamaan (15) tidak memiliki akar real positif. Dalam hal ini akan ditinjau jika dan

24 12 akan ada satu solusi positif dari persamaan (15). Dengan demikian persamaan (14) memiliki akar imajiner murni Sehingga dengan mensubstitusikan ke persamaan (13) diperoleh nilai tundaan kritis Bifurkasi Hopf Teorema Kar (2003) (bukti lampiran 4) Misalkan ada sebuah bilangan bulat positif sedemikian sehingga berubah kestabilan dari stabil ke tidak stabil atau sebaliknya. Jika [ ) titik tetap bersifat stabil dan [ titik tetap bersifat tidak stabil, maka sistem akan terjadi bifurkasi Hopf terhadap titik tetap untuk Berdasarkan persamaan (6), titik tetap stabil untuk. Untuk membuktikan Teorema Kar (2003) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi transversal, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah dan Langkah pertama untuk memenuhi Teorema Kar (2003), persamaan (9) diturunkan terhadap atau (16) Dari persamaan karakteristik (9), didapat lalu disubstitusikan pada persamaan (16) didapat Oleh karena itu, ( )

25 13 ( ) Untuk nilai diperoleh (bukti lampiran 5) ( ) sehingga terpenuhi bahwa Untuk nilai diperoleh ( ) sehingga terpenuhi bahwa Oleh karena itu, kondisi transversal terpenuhi. Jadi, merupakan perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (8) sehingga terjadi bifurkasi Hopf. (bukti lampiran 6) Model 2 Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda Dari persamaan (7) diperoleh [ ] [ ]

26 14 Terdapat dua titik tetap yang mungkin, yaitu dengan dan dan nilai diperoleh dari penyelesaian persamaan Batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar Kemudian, batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar (bukti lampiran 7) Pelinearan Model dengan Waktu Tunda Model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda yang diberikan pada persamaan (7) dianalisis dengan menggunakan pendekatan model linear di titik tetap. Untuk itu dimisalkan dan. Jika pemisalan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (7), maka [ ] (17) (bukti lampiran 8) Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (17) diturunkan terhadap dan, maka diperoleh [ ]

27 15 Jika penyelesaian digunakan, maka diperoleh matriks Jacobi Penyelesaian persamaan karakteristik, menghasilkan dengan (18) (19) (bukti lampiran 9) Jika nilai pada persamaan (18), maka diperoleh sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu 1. Jika titik tetap disubstitusikan ke dalam persamaan (19), maka diperoleh dengan sehingga diperoleh nilai eigen berikut atau dan Karena ada salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap bersifat tak terisolasi. 2. Jika titik tetap disubstitusikan ke dalam persamaan (19), maka diperoleh dengan

28 16 sehingga diperoleh nilai eigen (20) Berdasarkan nilai eigen pada persamaan (20) dengan terdapat 3 kemungkinan, yaitu: i. sehingga. Dalam hal ini titik tetap bersifat simpul stabil jika. ii. sehingga. Dalam hal ini titik tetap bersifat spiral stabil jika. iii. sehingga. Dalam hal ini titik tetap bersifat spiral tidak stabil jika. Agar titik tetap stabil, maka nilai eigen harus negatif, sehingga atau Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis Untuk memeroleh nilai, maka nilai eigen disubstitusikan ke dalam persamaan (18) sehingga didapatkan persamaan karakteristik atau (21) dengan. Kemudian dengan memisahkan bagian real dan imajiner, pada persamaan (21) diperoleh atau ekivalen dengan (22) Kuadratkan persamaan (22), diperoleh Selanjutnya kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan sesuai pangkat dengan maka diperoleh (23)

29 17 Bila didefinisikan diperoleh sebagai akar dari persamaan (23) maka ( ) (24) Karena maka akan ada satu solusi positif dari persamaan (24). Sehingga dengan mensubstitusikan ke persamaan (22) diperoleh nilai tundaan kritis Bifurkasi Hopf (bukti lampiran 10) Berdasarkan persamaan (7), titik tetap stabil untuk. Untuk membuktikan Teorema Kar (2003) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi transversal, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah dan Langkah pertama untuk memenuhi Teorema Kar (2003), persamaan (18) diturunkan terhadap atau (25) Dari persamaan karakteristik (18), didapat lalu disubstitusikan pada persamaan (25) didapat Oleh karena itu, ( ) ( ) (bukti lampiran 11)

30 18 Untuk nilai diperoleh ( ) sehingga terpenuhi bahwa Untuk nilai diperoleh ( ) sehingga terpenuhi bahwa Oleh karena itu, kondisi transversal terpenuhi. Jadi, merupakan perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (17) sehingga terjadi bifurkasi Hopf. (bukti lampiran 12) Simulasi Numerik Dinamika populasi mangsa pemangsa digambarkan oleh kurva dalam bidang fase dan bidang solusi untuk menentukan kestabilan populasi mangsa pemangsa pada waktu. Simulasi numerik dilakukan dengan cara mensubstitusikan nilai parameter yang telah ditentukan ke dalam persamaan model matematika mangsa-pemangsa dengan tundaan waktu dan pemanenan konstan. Pada simulasi ini, didefinisikan dan di mana konstanta, dengan : laju intrinsik dari populasi mangsa (1/waktu), : daya dukung lingkungan, yang ditentukan oleh sumber daya yang tersedia (populasi), dan : tingkat kejenuhan pemangsaan (populasi).

31 19 Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa Tanpa dan dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan Untuk model tipe Gause yang diperumum 1 dan 2, diambil sembarang beberapa parameter tetap yaitu: dengan nilai awal. Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat Pada saat model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 ekivalen dengan model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 2. Dengan menggunakan parameter-parameter yang diberikan, diperlukan titik tetap, nilai eigen dan kestabilan pada saat dan diberikan dalam Tabel 1 Tabel 1 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat Titik Tetap Luaran Batas nilai Jenis kestabilan Tak Terisolasi Tak Terisolasi Spiral Stabil Titik tetap yang diperoleh ada tiga untuk model pertama dan kedua, terdapat pada Tabel 1. Gambar 1 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap atau. Gambar 1 Bidang fase saat

32 x 16.0 y 20.0 x 15.5 y t t Gambar 2 Bidang solusi mangsa saat Gambar 3 Bidang solusi pemangsa saat Gambar 2 memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama dan kedua, mengalami penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju. Gambar 3 memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju. Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat Model 1 Titik tetap yang diperoleh ada tiga, terdapat pada Tabel 1. Untuk memenuhi teorema, maka dilakukan pemilihan nilai waktu tunda sebagai berikut Tabel 2 Pemilihan nilai waktu tunda model pertama Menurut Teorema Kar (2003), titik tetap stabil ketika dikatakan

33 21 Gambar 4 Bidang fase model pertama saat x y x y t t Gambar 5 Bidang solusi mangsa model pertama saat Gambar 6 Bidang solusi pemangsa model pertama saat Gambar 4 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi titik tetap. Gambar 5 dan 6 menunjukkan kedua populasi terjadi osilasi terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap pertumbuhan. Model 2 Titik tetap yang diperoleh ada tiga, terdapat pada Tabel 1. Untuk memenuhi teorema, maka dilakukan pemilihan nilai waktu tunda sebagai berikut Tabel 3 Pemilihan nilai waktu tunda model kedua

34 22 x Gambar 7 Bidang fase model kedua saat 20 y 18 x y t 8 Gambar 8 Bidang solusi mangsa model kedua saat t Gambar 9 Bidang solusi pemangsa model kedua saat Gambar 7 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi titik tetap. Gambar 8 dan 9 menunjukkan kedua populasi terjadi osilasi terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap pertumbuhan. Perbandingan dan Pengaruh Waktu Tunda Kedua Model Model 1 Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat Gambar 10 Bidang fase model pertama saat

35 x 16.0 y 20.5 x y t t Gambar 11 Bidang solusi mangsa model pertama saat Gambar 12 Bidang solusi pemangsa model pertama saat Gambar 10 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap. Gambar 11 memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju. Gambar 12 memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju. Terlihat pula pada Gambar 10 kerapatan spiral kecil, menandakan bahwa terjadi sedikit osilasi tetapi cepat menuju kestabilan pada populasi mangsa dan pemangsa. Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat 21.5 x Gambar 13 Bidang fase model pertama saat 16.0 y x y t Gambar 14 Bidang solusi mangsa model pertama saat t Gambar 15 Bidang solusi pemangsa model pertama saat

36 24 Gambar 13 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap. Gambar 14 memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju. Gambar 15 memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju. Terlihat pula pada Gambar 13 kerapatan spiral sedang, menandakan bahwa terjadi banyak osilasi dan dibutuhkan waktu lama untuk menuju kestabilan pada populasi mangsa dan pemangsa. Kemunculan limit cycle pada Gambar 4 menunjukkan bahwa terjadi bifurkasi Hopf superkritis, disebabkan karena perubahan kestabilan dari keadaan stabil saat menjadi tidak stabil saat. Model 2 Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat 21.0 x Gambar 16 Bidang fase model kedua saat 16.0 y 20.5 x y Gambar 17 Bidang solusi mangsa model kedua saat t t Gambar 18 Bidang solusi pemangsa model kedua saat Gambar 16 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap. Gambar 17 memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan

37 25 mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju. Gambar 18 memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju. Terlihat pula pada Gambar 16 kerapatan spiral tinggi, menandakan bahwa terjadi banyak osilasi dan dibutuhkan waktu lama untuk menuju kestabilan pada populasi mangsa dan pemangsa. Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat 26 x Gambar 19 Bidang fase model kedua saat 18 y 24 x y t t Gambar 20 Bidang solusi mangsa model kedua saat Gambar 21 Bidang solusi pemangsa model kedua saat Gambar 19 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi titik tetap. Gambar 20 dan 21 menunjukkan kedua populasi terjadi osilasi terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap pertumbuhan. Kemunculan limit cycle pada Gambar 19 menunjukkan bahwa terjadi bifurkasi Hopf superkritis, disebabkan karena perubahan kestabilan dari keadaan stabil saat menjadi tidak stabil saat.

38 26 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Dari model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan tanpa waktu tunda diperoleh tiga titik tetap positif di setiap model. Pada model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 dan 2, kestabilan titik tetap pertama dan kedua bersifat tak terisolasi, sedangkan titik tetap ketiga bersifat spiral stabil. Dinamika populasi mangsa-pemangsa pada model juga dipengaruhi oleh waktu tunda dalam masa kelahiran untuk kestabilan titik tetap. Waktu tunda yang didapat pada model mangsa pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 lebih besar dibandingkan dengan model mangsa pemangsa tipe Gause yang diperumum 2. Perubahan parameter waktu tunda dari kecil ke besar menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap dari stabil menjadi tidak stabil. Hal ini menandakan bahwa pada model mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan waktu tunda menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf superkritis. Saran Pada karya ilmiah ini, dipilih fungsi adalah fungsi pertumbuhan logistik dan fungsi adalah fungsi respons Holling-Tanner tipe II. Untuk penelitian selanjutnya, dapat digunakan fungsi lainnya, pengaruh waktu tunda dapat diperluas, dan pemanenan dapat berupa fungsi tidak konstan. DAFTAR PUSTAKA Anton H Aljabar Linear Elementer. Jakarta (ID): Erlangga. Bacaer N A Short History of Mathematical Population Dynamics. New York (US): Springer-Verlag. Beretta E, Kuang Y Convergence Results in a Well-Known Delayed Predator-Prey System. J. Math. Anal. Appl. 204: doi: /jmaa Braun M Differential Equations and Their Applications. New York (US): Springer-Verlag. Garrott RA, White PJ, Watson FGR The Ecology of Large Mammals in Central Yellowstone Sixteen Years of Integrated Field Studies. San Diego (US): Elsevier. Kar TK Selective Harvesting in a Prey-Predator Fishery with Time Delay. Mathematical and Computer Modelling. 38: doi: /s (03) Martin A, Ruan S Predator-Prey Models with Delay and Prey Harvesting. J. Math. Biol. 43: doi: /s Murray JD Mathematical Biology. I. An Introduction Third Edition. New York (US): Springer-Verlag.

39 Ruan S On Nonlinear Dynamics of Predator-Prey Models with Discrete Delay. Math. Model. Nat. Phenom. 4: doi: /mmnp/ Skalski GT, Gilliam JF Functional Response with Predator Interference: Viable Alternatives to the Holling Type II Model. Ecology. 82: doi: / Strogatz SH Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US): Addison-Wesley Publishing Company. 27

40 28 LAMPIRAN Lampiran 1 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model pertama Titik tetap didapat dari dan, sehingga dari persamaan (6) diperoleh [ ] dan [ ] [ ] Jadi, diperoleh titik tetap Nilai diperoleh dari persamaan [ ] dan [ ] [ ] [ ] Jadi, diperoleh titik tetap dengan didefinisikan Agar titik tetap memiliki komponen-komponen yang bernilai positif, maka dari titik tetap diperoleh sehingga batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar

41 29 Lampiran 2 Penyederhanaan model pertama dengan metode linearisasi Tinjau persamaan (6) berikut [ ] [ ] Persamaan (6) akan dilinearisasikan dengan memisalkan variabel berikut: dan. Dengan dan, adalah parameter perturbasi. Tinjau persamaan pertama dari persamaan (6) berikut [ ] Jika variabel dan disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, maka diperoleh [ ][ [ ] ] Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan persamaan sebagai berikut: dengan dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi

42 30 Persamaan pertama sebelumnya menjadi [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] asumsikan Karena fungsi tak linear dan karena maka berimplikasi pada sehingga persamaan pertama tersebut menjadi Karena dan maka [ ] [ ] Dengan dan, adalah parameter perturbasi. Tinjau persamaan kedua dari persamaan (6) berikut [ ] Jika variabel dan disubstitusikan ke dalam persamaan kedua, maka diperoleh [ ][[ ] ] [ ][ ]

43 31 Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan persamaan sebagai berikut: dengan dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi Persamaan kedua sebelumnya menjadi [ ] [ ] ] [ ] [ asumsikan Karena fungsi tak linear dan karena maka berimplikasi pada sehingga persamaan kedua tersebut menjadi Karena dan maka

44 32 Lampiran 3 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model pertama Tinjau persamaan (8) berikut [ ] Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (8) diturunkan terhadap dan, maka diperoleh [ ] Jika penyelesaian sehingga digunakan, maka diperoleh dan Dengan disubstitusikan di atas, diperoleh ke dalam persamaan turunan kedua [ ]

45 33 sehingga didapat matriks Jacobi Penyelesaian persamaan karakteristik, menghasilkan [ ] [ ] [ ] jika dimisalkan maka diperoleh

46 34 Lampiran 4 Penentuan tundaan waktu kritis model pertama Dari persamaan (13) diperoleh Untuk persamaan pertama pada persamaan (13), ubah ke dalam bentuk Untuk persamaan kedua pada persamaan (13), ubah ke dalam bentuk Eliminasi kedua ruas menjadi diperoleh

47 35 Lampiran 5 Penjabaran fungsi sign model pertama ( ) ( ) ( ) Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar mendapatkan bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign Bagian karena bagian maka Bagian Bagian karena bagian maka hasilnya nol.

48 36 Sehingga Dari persamaan (14) diketahui bahwa maka diperoleh Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji pembilangnya saja karena penyebut dalam bentuk kuadratik berderajat genap yang akan selalu bernilai positif, sehingga

49 37 Lampiran 6 Penjabaran kondisi transversal model pertama Dari persamaan (16) diketahui ( ) sehingga Untuk nilai diperoleh sehingga terpenuhi bahwa Untuk nilai diperoleh sehingga terpenuhi bahwa

50 38 Lampiran 7 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model kedua Titik tetap didapat dari dan, sehingga dari persamaan (7) diperoleh [ ] [ ] dan [ ] Jadi, diperoleh titik tetap Nilai diperoleh dari persamaan dan [ ] [ ] Jadi, diperoleh titik tetap Nilai dan diperoleh dari persamaan Agar titik tetap positif, maka dari titik tetap memiliki komponen-komponen yang bernilai dengan diperoleh sehingga batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar

51 39 Lampiran 8 Penyederhanaan model kedua dengan metode linearisasi Tinjau persamaan (7) berikut [ ] [ ] Persamaan (7) akan dilinearisasikan dengan memisalkan variabel berikut: dan. Dengan dan, adalah parameter perturbasi. Tinjau persamaan pertama dari persamaan (7) berikut [ ] Jika variabel dan disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, maka diperoleh [ ][ [ ] ] Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan persamaan sebagai berikut: dengan dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi

52 40 Persamaan pertama sebelumnya menjadi [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] asumsikan Karena fungsi tak linear dan maka berimplikasi pada sehingga persamaan pertama tersebut menjadi Karena dan maka [ ] [ ] Dengan dan, adalah parameter perturbasi. Tinjau persamaan kedua dari persamaan (7) berikut [ ] Jika variabel dan disubstitusikan ke dalam persamaan kedua, maka diperoleh [ ][ [ ] ]

53 41 Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan persamaan sebagai berikut: dengan dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi Persamaan kedua sebelumnya menjadi [ ] [ ] [ ] [ ] asumsikan Karena fungsi tak linear dan karena maka berimplikasi pada sehingga persamaan kedua tersebut menjadi karena dan maka

54 42 Lampiran 9 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model kedua Tinjau persamaan (17) berikut [ ] Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (18) diturunkan terhadap dan, maka diperoleh [ ] Jika penyelesaian sehingga digunakan, maka diperoleh dan Dengan disubstitusikan di atas, diperoleh ke dalam persamaan turunan kedua [ ]

55 43 sehingga didapat matriks Jacobi Penyelesaian persamaan karakteristik, menghasilkan [ ] jika dimisalkan [ ] maka diperoleh

56 44 Lampiran 10 Penentuan tundaan waktu kritis model kedua Dari persamaan (22) diperoleh Untuk persamaan pertama pada persamaan (22), ubah ke dalam bentuk Untuk persamaan kedua pada persamaan (22), ubah ke dalam bentuk Eliminasi kedua ruas menjadi diperoleh

57 45 Lampiran 11 Penjabaran fungsi sign model kedua ( ) ( ) ( ) Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar mendapatkan bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign Bagian karena bagian maka Bagian karena bagian maka hasilnya nol. Sehingga Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji pembilangnya saja karena penyebut dalam bentuk kuadratik berderajat genap yang akan selalu bernilai positif, sehingga

58 46 Lampiran 12 Penjabaran kondisi transversal model kedua Dari persamaan (24) diketahui ( ) sehingga Untuk nilai diperoleh ( ) sehingga terpenuhi bahwa ( ) Untuk nilai diperoleh ( ) sehingga terpenuhi bahwa ( )

59 47 Lampiran 13 Program plot bidang fase kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 1) f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10; Manipulate[Module[{plt1,plt2,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol =NDSolve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t- ]]-y[t]*h[x[t]])- H,y'[t] *y[t]*(x[t]*h[x[t]]- j*h[j]),x[t/;t 0]==x0,y[t/;t 0]==y0},{x[t],y[t]},{t,0,50}]; plt1=parametricplot[{x[t],y[t]}/.sol,{t,0,50},plotr ange All, AspectRatio 0.6, PlotStyle {RGBColor[1,0,1], Thick}, AxesLabel {x, y}]; start = Graphics[Locator[Dynamic[{xx0, yy0}], Background Yellow, LocatorRegion Automatic], PlotRange All]; plt2={plt1, start}; Show[plt2,ImageSize {450,400}]], Style["Persamaan differensial :",Bold], Style[" x = x(f[x]-yh[x])-h ",Bold], Style[" y = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold], Delimiter, Style["parameters",Bold,10], {{,3," "},0,50,.01,ImageSize Small,Appearance "La beled"}, {{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSize Small,Appearance " Labeled"}, {{j,20,"j"},0,50,.01,imagesize Small,Appearance " Labeled"}, {{,0," "},0,50,.01,ImageSize Small,Appearance "La beled"}, Delimiter, Style["initial conditions",bold,10],{{xx0,20,"x 0 "},0,50,.01,ImageS ize Small,Appearance "Labeled"},{{yy0,16,"y 0 "},0,5 0,.01,ImageSize Small,Appearance "Labeled"}, ControlPlacement Left,SynchronousUpdating False]

60 48 Lampiran 14 Program plot bidang solusi mangsa kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 2) f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10; Manipulate[Module[{plt1,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol=NDSo lve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t- ]]-y[t]*h[x[t]])- H,y'[t] *y[t]*(x[t]*h[x[t]]- j*h[j]),x[t/;t 0]==x0,y[t/;t 0]==y0},{x[t],y[t]},{t,0,80}]; plt1=parametricplot[{t,x[t]}/.sol,{t,0,80},plotrang e All, AspectRatio 0.6, PlotStyle {RGBColor[1,0,0], Thick}, AxesLabel { t, x }]; Show[plt1,ImageSize {450,400}]], Style["Persamaan differensial :",Bold], Style[" x = x(f[x]-yh[x])-h ",Bold], Style[" y = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold], Delimiter, Style["parameters",Bold,10], {{,3," "},0,50,.01,ImageSize Small,Appearance "La beled"}, {{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSize Small,Appearance " Labeled"}, {{j,20,"j"},0,50,.01,imagesize Small,Appearance " Labeled"}, {{,0," "},0,50,.01,ImageSize Small,Appearance "La beled"}, Delimiter, Style["initial conditions",bold,10],{{xx0,20,"x 0 "},0,50,.01,ImageS ize Small,Appearance "Labeled"},{{yy0,16,"y 0 "},0,5 0,.01,ImageSize Small,Appearance "Labeled"}, ControlPlacement Left,SynchronousUpdating False]

61 49 Lampiran 15 Program plot bidang solusi pemangsa kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 3) f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10; Manipulate[Module[{plt1,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol=NDSo lve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t- ]]-y[t]*h[x[t]])- H,y'[t] *y[t]*(x[t]*h[x[t]]- j*h[j]),x[t/;t 0]==x0,y[t/;t 0]==y0},{x[t],y[t]},{t,0,80}]; plt1=parametricplot[{t,y[t]}/.sol,{t,0,80},plotrang e All, AspectRatio 0.6, PlotStyle {RGBColor[0,1,0], Thick}, AxesLabel { t, y }]; Show[plt1,ImageSize {450,400}]], Style["Persamaan differensial :",Bold], Style[" x = x(f[x]-yh[x])-h ",Bold], Style[" y = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold], Delimiter, Style["parameters",Bold,10], {{,3," "},0,50,.01,ImageSize Small,Appearance "La beled"}, {{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSize Small,Appearance " Labeled"}, {{j,20,"j"},0,50,.01,imagesize Small,Appearance " Labeled"}, {{,0," "},0,50,.01,ImageSize Small,Appearance "La beled"}, Delimiter, Style["initial conditions",bold,10],{{xx0,20,"x 0 "},0,50,.01,ImageS ize Small,Appearance "Labeled"},{{yy0,16,"y 0 "},0,5 0,.01,ImageSize Small,Appearance "Labeled"}, ControlPlacement Left,SynchronousUpdating False]

62 50 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 2 April 1993 dari ibunda Riesa Pri Handayani dan ayahanda Cecep Supriyanto. Pada tahun 2011 penulis lulus dari SMA Negeri 3 Bekasi dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menjadi mahasiswa IPB penulis aktif menjadi pengurus Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) sebagai Sekretaris II Badan Pengurus Harian (BPH) 2012/2013, sebagai Ketua Biro Kesekretariatan 2013/2014 dan pernah menjadi panitia di berbagai acara yang diselenggarakan oleh Gumatika. Penulis pernah mengikuti dan mendapatkan juara I Gumatika Calculus Cup pada tahun Penulis juga pernah menjadi asisten praktikum mata kuliah Kalkulus II (MAT 211) semester genap 2012/2013, Persamaan Diferensial Biasa (MAT 252) semester ganjil 2013/2014, Pengantar Teori Peluang (MAT 352) semester genap 2013/2014, Pemrograman Tak Linear (MAT 331) semester ganjil 2014/2015, Sistem Dinamika Dasar (MAT 451) semester genap 2014/2015, serta menjadi pengajar tutor matakuliah Statistika Matematika (MAT 354) untuk angkatan 48 dan 49.