PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL NURUL NUR INDAH SARI

Transkripsi

1 PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL NURUL NUR INDAH SARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

2 ABSTRAK NURUL NUR INDAH SARI. Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel. Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS OED dan FARIDA HANUM. Karya ilmiah ini membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic. Pelabelan super edge magic pada suatu graf adalah pelabelan yang memiliki pelabelan edge magic dan himpunan simpulnya dipetakan ke {,,, p} serta himpunan sisinya dipetakan ke {p +, p +,, p + q}, dengan p adalah banyaknya simpul dan q adalah banyaknya sisi pada suatu graf. Terdapat satu lema dan dua teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Lema ini digunakan untuk membuktikan kedua teorema. Teorema pertama membuktikan bahwa graf cycle C n adalah super edge magic jika dan hanya jika n ganjil. Teorema kedua membuktikan bahwa graf wheel W n dengan order n bukan graf super edge magic, bahkan W n dengan n 0 mod bukan graf edge magic. Kata kunci: pelabelan edge magic, pelabelan super edge magic, graf cycle, graf wheel.

3 ABSTRACT NURUL NUR INDAH SARI. Super Edge Magic Labeling on Cycle Graph and Wheel Graph. Supervised by TEDUH WULANDARI MAS OED and FARIDA HANUM. This manuscript proves that cycle graph and wheel graph have a super edge magic labeling. Super edge magic labeling on a graph is labeling that has an edge magic labeling with a set of vertices were mapped in to {,,, p} and a set of edges were mapped in to {p +, p +,, p + q}, in which p is order and q is size on the graph. There are one lemma and two theorems to be discussed. The lemma is used to prove the two theorems. The first theorem proves that cycle graph C n is super edge magic if and only if n is odd. The second theorem proves that wheel graph W n of order n is not super edge magic. Moreover W n is not edge magic if n 0 mod. Keywords: edge magic labeling, super edge magic labeling, cycle graph, wheel graph.

4 PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL NURUL NUR INDAH SARI Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

5 Judul Skripsi : Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel Nama : Nurul Nur Indah Sari NIM : G07009 Menyetujui, Pembimbing I, Pembimbing II, Teduh Wulandari Mas oed, M.Si. NIP Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP Mengetahui: Ketua Departemen Matematika, Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP Tanggal Lulus :

6 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:. keluarga tercinta: Ibu dan Bapak (terima kasih atas doa, dukungan secara moril maupun materiil, motivasi, dan kasih sayangnya), adik-adikku (terima kasih atas doa dan dukungannya), serta keluarga besar dari Ibu dan Bapak (terima kasih atas doanya),. Teduh Wulandari Mas oed, M.Si. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, motivasi, kesabaran, dukungan, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini),. Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya),. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya),. segenap dosen Departemen Matematika terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan,. staf Departemen Matematika terima kasih atas bantuannya, 7. teman-teman Matematika angkatan : Selvie, Resha, Fany, Anis, Sari, Ipul, Dora, Tanty, Yuyun, Titi, Wewe, Deva, Ndep, Ima, Lingga, Ruhyat, Ayung, Melon, Rachma, Sri, Denda, Fajar, Rofi, Dian, Tyas, Della, Pandi, Lili, Ririh, Yuli, Nunuy, Iam, Lilis, Ayum, Wahyu, Fikri, Atik, Cita, Arina, Masay, Diana, Yogie, Aswin, Imam, Lugina, Yanti, Pepi, Aqil, Eka, Aze, Ali, Vianey, Nadiroh, Na im, Dhika, Nurus, Phunny, Ab, Siska, Indin, Olih, Tita, Lina, Lukman, Endro, Tendy, Ikhsan, Puying, Zae, dan Copa (terima kasih atas doa, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya),. kakak-kakak Matematika angkatan dan (terima kasih atas semua ilmu dan bantuannya), 9. adik-adik Matematika angkatan ( terima kasih atas bantuan dan dukungannya), 0. teman-teman B ( terima kasih atas dukungan dan kebersamaannya),. sahabat-sahabat terdekat: Fina, Nia, Echa, Tika, Lujeng, Rinal, Ayu, Lely, Anis, Agus, dan lainnya ( terima kasih atas doa, dukungan, dan kebersamaannya),. teman- teman FOSMA IPB, FOSMA Bogor, SHOT Bogor, GEMA Bogor, dan FKA Bogor (terima kasih atas doa, dukungan, dan kebersamaannya),. teman-teman Pondok Malea Atas (terima kasih atas dukungan dan kebersamaannya),. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya dalam bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Februari 0 Nurul Nur Indah Sari

7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Minahasa pada tanggal Juli 99 dari pasangan bapak Oyo Suhyono dan ibu Teti Rosmiati. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara. Tahun 007 penulis lulus dari SMA Negeri Pangandaran dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswi IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan, yaitu sebagai pengurus Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) periode 009, Organisasi Mahasiswa Daerah Ciamis (OMDA PMGC) dan FOSMA IPB. Selain itu, penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan, di antaranya panitia Masa Perkenalan Departemen, try out Pengantar Matematika, dan training ESQ mahasiswa baru.

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... viii I PENDAHULUAN.... Latar Belakang.... Tujuan... II LANDASAN TEORI.... Teori Graf.... Pelabelan Graf... III PEMBAHASAN... IV SIMPULAN DAN SARAN.... Simpulan.... Saran... DAFTAR PUSTAKA... LAMPIRAN... vii

9 DAFTAR GAMBAR Halaman Graf G = (V, E)... Cycle... Graf G nontrivial... Graf cycle ber-order... Graf lengkap ber-order... Union dari graf... 7 Join dari graf... Graf wheel ber-order Graf cycle ber-order... 0 Pelabelan edge magic pada graf C... Pelabelan super edge magic pada graf C... Graf cycle ber-order 9... Pelabelan super edge magic pada graf C 9... Graf cycle ber-order... 7 Pelabelan edge magic pada graf C... 7 Pelabelan edge magic pada graf C... 7 Pelabelan super edge magic pada graf C... Graf cycle ber-order... 9 Pelabelan edge magic pada graf C... 0 Graf cycle ber-order 7... Pelabelan edge magic pada graf C Pelabelan super edge magic pada graf C Graf wheel ber-order... 9 Pelabelan edge magic pada graf W... 0 Graf wheel ber-order... Graf wheel ber-order... 7 Pelabelan edge magic pada graf W... Graf wheel ber-order... 9 Graf wheel ber-order Pelabelan edge magic pada graf W 9... Graf wheel ber-order... Pelabelan edge magic pada graf W... Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, dan f ab =. 7 Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, dan f ab =. 7 Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, dan f ab = 7. 7 Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab = 7, dan f ad =... 7 Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, dan f ab =. Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab =, dan f ad = Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, dan f ab =. 9 0 Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab =, f bc =, dan f ad =... 9 Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab =, dan f bc =... 9 Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab =, f bc =, dan f ad = Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab =, dan f ad =... 0 Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab =, f bc = 7, dan f ad =... 0 viii

10 I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali diselesaikan menggunakan graf. Masalah ini pertama kali dipecahkan pada tahun 7 oleh Leonhard Euler seorang ahli matematika asal Swiss yang menemukan salah satu cabang dari matematika yang saat ini dikenal sebagai Teori Graf. Teori graf merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak terapan sampai saat ini, di antaranya dalam model jaringan transportasi, teknik elektro, kimia, sistem komunikasi, administrasi bisnis, sosiologi, marketing, desain arsitektur, dan masih banyak lagi terapan yang lainnya. Banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan graf. Sebagai contoh, permasalahan untuk merencanakan tempat pembuangan sampah pada suatu perumahan penduduk, diagnosa dalam jaringan komputer, dan masih banyak lagi permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan graf. Pelabelan graf merupakan salah satu topik dalam graf. Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan bijektif dari himpunan simpul dan himpunan sisi ke himpunan bilangan asli. Terdapat beberapa jenis pelabelan pada graf, antara lain pelabelan graceful, pelabelan ajaib (magic), pelabelan anti ajaib, dan pelabelan yang lainnya. Dalam pengembangan pelabelan ajaib (magic), dikenal pula pelabelan vertex magic, pelabelan super vertex magic, pelabelan edge magic, dan pelabelan super edge magic. Pelabelan super edge magic pada suatu graf G yang memiliki p simpul dan q sisi adalah jika G memiliki pelabelan edge magic dan memenuhi syarat-syarat lain. Karya ilmiah ini akan membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel merupakan graf yang memiliki pelabelan graf yang super edge magic. Ada satu lema dan dua teorema yang digunakan untuk membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel merupakan pelabelan graf yang super edge magic. Sumber utama karya ilmiah ini adalah artikel yang ditulis Enomoto et al. pada tahun 99.. Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan graf yang super edge magic. II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini.. Teori Graf Definisi (Graf) Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan G = (V, E). Elemen V disebut simpul (vertex) sedangkan elemen E disebut sisi (edge). Himpunan dari simpul-simpul pada graf G dinotasikan dengan V(G), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf G dinotasikan dengan E(G). (Foulds 99) Graf yang dimaksud pada definisi tersebut adalah graf tak berarah artinya graf yang sisinya tidak mempunyai arah. Contoh graf tak berarah dapat dilihat pada Gambar. G: b d a Gambar Graf G = (V, E). Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar adalah V(G) = {a, b, c, d, e} E G = { a, b, b, c, a, c, b, d, c, e }. e c ix

11 Definisi (Order dan Size) Misalkan diberikan graf G. Banyaknya simpul pada graf G disebut order dan banyaknya sisi pada graf G disebut size. Order dari graf G dinotasikan dengan V G dan size dari graf G dinotasikan dengan E G. (Chartrand & Oellermann 99) Pada Gambar, nilai dari V G = dan E G =. Definisi (Incident dan Adjacent) Misalkan diberikan graf G. Jika e = {u, v} E(G) dengan u, v V(G) maka u dan v dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan u dan v. (Chartrand & Oellermann 99) Pada Gambar, misalkan e = {a, b} E(G) maka a dan b dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan a dan b. Definisi (Degree) Derajat (degree) dari suatu simpul v pada graf G adalah banyaknya sisi yang incident dengan v dan dinotasikan dengan deg v. (Chartrand & Oellermann 99) Pada Gambar, derajat setiap simpulnya ialah deg a =, deg b =, deg c =, deg d =, dan deg e =. Definisi (Walk) Suatu walk pada graf G adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G dengan bentuk {v, v, v, v, v, v, v,, v n, v n, v n } dan dapat dituliskan sebagai {v, v,, v n } atau v, v,, v n. Suatu walk yang menghubungkan v dengan v n dikatakan tertutup jika v = v n. Jika v v n maka walk tersebut dikatakan terbuka. (Foulds 99) Pada Gambar, terdapat walk terbuka yaitu walk {a, a, b, b, {b, c}, c, {c, e}, e}. Definisi (Cycle) Cycle pada suatu graf G adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda. (Foulds 99) Pada Gambar terdapat cycle pada graf G yang terdiri atas tiga simpul, yaitu b a Gambar Cycle. Definisi 7 (Graf Nontrivial) Suatu graf G disebut graf nontrivial jika suatu graf G memiliki order paling sedikit dua. (Chartrand & Oellermann 99) Berikut ini diberikan contoh graf nontrivial ber-order. G: Gambar Graf G nontrivial. Definisi (Graf Cycle) Suatu graf ber-order n dengan n yang membentuk sebuah cycle disebut graf cycle dan dinotasikan dengan C n. (Chartrand & Oellermann 99) Berikut ini diberikan contoh graf cycle berorder. C : b c a Gambar Graf cycle ber-order. Definisi 9 (Graf Lengkap) Graf ber-order p yang setiap dua simpulnya adjacent disebut graf lengkap (complete graph) dan dinotasikan dengan K p. (Chartrand & Oellermann 99) Berikut diberikan contoh graf lengkap berorder seperti pada Gambar. d e c

12 K : C + K : Gambar Graf lengkap ber-order. Definisi 0 (Union dari Graf) Misalkan G dan G adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka union dari G dan G, dituliskan G G, adalah graf yang memiliki V G G = V(G ) V(G ) dan E G G = E(G ) E(G ). (Chartrand & Oellermann 99) Berikut diberikan contoh union dari graf. K K : Gambar 7 Join dari graf. Definisi (Graf Wheel) Untuk n, graf wheel W n dengan order n adalah join dari graf cycle C n ber-order n dan graf lengkap (complete graph) K ber-order. (Fukuchi 00) Berikut diberikan contoh graf wheel ber-order 7. W 7 : v v Gambar Union dari graf. v v0 v Definisi (Join dari Graf) Misalkan G dan G adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka join dari G dan G, dituliskan G +G, adalah graf G G dimana setiap simpul di G adjacent dengan setiap simpul di G ditambah semua sisi bertipe v v dengan v V(G ) dan v V(G ). (Chartrand & Oellermann 99) Berikut diberikan contoh join dari graf. C : K : v v Gambar Graf wheel ber-order 7.. Pelabelan Graf Karya ilmiah ini membahas pelabelan super edge magic pada graf cycle dan graf wheel. Berikut dijelaskan beberapa definisi tentang pelabelan graf. Definisi (Pelabelan Edge Magic) Misalkan G graf dengan p simpul dan q sisi. Suatu pemetaan bijektif f dari himpunan simpul gabung himpunan sisi ke himpunan {,,, p + q) disebut sebagai pelabelan edge magic pada G jika ada konstanta s N (disebut magic number f) f(u) + f(v) + f(uv) = s untuk setiap uv E(G). (Enomoto et al. 99) Berikut ini diberikan contoh pelabelan edge magic. Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 9. Banyaknya simpul ialah dan banyaknya sisi juga, maka masing-masing berlabel,,,,, dan.

13 C : b a c Dari dua pelabelan tersebut, dapat dilihat bahwa pelabelan edge magic tidak tunggal. Nilai s dapat berubah-ubah dengan memperhatikan label simpulnya. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada. Gambar 9 Graf cycle ber-order. Misalkan simpul-simpul pada graf C dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f a = f b = f c = Dipilih s =, maka diperoleh label sisi, f a + f b + f ab = + + = f a + f c + f ac = + + = f b + f c + f bc = + + = dan dapat digambarkan seperti Gambar 0 (a). Sedangkan untuk s = dan misalkan simpul-simpulnya dipadankan dengan suatu nilai f a = f b = f c = diperoleh f a + f b + f ab = + + = f a + f c + f ac = + + = f b + f c + f bc = + + = dan dapat digambarkan seperti Gambar 0 (b). (a) (b) Gambar 0 Pelabelan edge magic pada graf C. Definisi (Pelabelan Super Edge Magic) Misalkan G graf dengan p simpul dan q sisi, dan G memiliki pelabelan edge magic f. Jika f: V G {,,, p} dan f: E G {p +, p +,, p + q} maka f disebut pelabelan super edge magic. (Enomoto et al. 99) Berikut ini diberikan contoh pelabelan super edge magic. Diberikan graf seperti pada Gambar 9. Berdasarkan definisi pelabelan super edge magic, maka f: V C {,, } dan f: E C {,, }. Misalkan simpulsimpul pada graf C dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f a = f b = f c = Dipilih s = 9, maka diperoleh label sisi, f a + f b + f ab = + + = 9 f a + f c + f ac = + + = 9 f b + f c + f bc = + + = 9 dan dapat digambarkan sebagai berikut Gambar Pelabelan super edge magic pada graf C. Definisi (Graf Super Edge Magic) Suatu graf G disebut super edge magic jika terdapat sebuah pelabelan super edge magic dari G. (Enomoto et al. 99) Gambar merupakan contoh graf super edge magic karena memiliki pelabelan super edge magic.

14 III PEMBAHASAN Karya ilmiah ini membahas lema dan teorema-teorema yang membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic. Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 9. Banyaknya simpul dan sisi ialah. Graf tersebut dilabeli dengan f: V C {,, } dan f: E C {,, }, diperoleh graf seperti pada Gambar. Berikut ini diberikan lema yang akan digunakan untuk membuktikan teorema selanjutnya. Lema. Jika G graf nontrivial yang super edge magic, maka E G V G. (Enomoto et al. 99) Bukti : Misalkan G graf nontrivial yang super edge magic. Akan dibuktikan bahwa E G V G. Misalkan G memiliki p simpul dan q sisi. Karena G graf yang super edge magic artinya ada konstanta s f(u) + f(v) + f(uv) = s dan f: V(G) {,,, p}, f: E(G) {p +, p +,, p + q}. Maka akan dilihat nilai s yang maksimum dan minimum, karena untuk melabeli suatu graf harus dilihat kemungkinan s yang maksimum dan minimumnya. (i) Akan dilihat nilai s yang maksimum. Pilih u, v V(G) maka magic number yang maksimum yaitu f u = p, karena magic number yang maksimum p maka kemungkinan yang maksimum untuk f(v) ialah p, diperoleh f u + f v = p + p = V G + ( V G ) Karena simpul yang maksimumnya p maka f uv = p + = V G + Ini berarti s = f u + f v + f uv = V G + V G +( V G + ) (ii) Akan dilihat nilai s yang minimum. Untuk melakukan pelabelan, pilih magic number yang minimum yaitu f u = dan untuk f uv pilih magic number yang maksimum yaitu f uv = p + q. Karena f u = maka paling tidak sisi yang minimumnya yaitu f v = + =, diperoleh s = f u + f v + f uv = + + (p + q) = + + ( V G + E G ) Dari (i) dan (ii) dapat diperoleh + + V G + E G s V G + V G + ( V G + ) + V G + E G V G E G V G V G E G V G Berikut ini diberikan ilustrasi Lema.. Ilustrasi pertama, akan ditunjukkan graf yang super edge magic dan memenuhi E G V G. Misalkan diberikan graf C seperti pada Gambar 9, banyaknya simpul dan sisi ialah. Jadi E G = V G = dan E G = V G = =. Graf C merupakan graf super edge magic dan pertaksamaan pada Lema. dipenuhi. Ilustrasi kedua, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan memenuhi E G V G. Misalkan diberikan graf C seperti pada Gambar, banyaknya simpul dan sisi pada graf C adalah. Jadi E G = V G = dan E G = V G = = Graf C bukan graf super edge magic (bukti dapat dilihat dilampiran) dan pertaksamaan pada Lema. dipenuhi. Ilustrasi ketiga, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan tidak memenuhi E G V G. Misalkan diberikan graf W seperti pada Gambar, banyaknya simpul adalah dan banyaknya sisi adalah. Jadi E G =, V G =, dan E G = V G = = 7 Graf W bukan graf super edge magic karena pertaksamaan pada Lema. tidak dipenuhi Lema. tidak dipenuhi. Lema. akan digunakan untuk menunjukkan graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic. Sebelum membuktikan Teorema. akan diperlihatkan contoh cara pelabelan super edge magic pada suatu graf cycle. Misalkan diberikan graf cycle ber-order 9 dengan bentuk seperti pada Gambar.

15 C 9 : b a i Teorema. Cycle C n adalah super edge magic jika dan hanya jika n ganjil. (Enomoto et al. 99) c d e Gambar Graf cycle ber-order 9. Graf C 9 tersebut akan dilabeli dengan f: V C 9 {,,,,,, 7,, 9} dan f: E C 9 {0,,,,,,, 7, } menjadi graf super edge magic. Misalkan simpul-simpul pada graf C 9 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f a = f f = f b = f g = f c = f = 9 f d = 7 f i = f e = Dipilih s =, maka diperoleh label sisi, f a + f b + f ab = = f b + f c + f bc = + + = f c + f d + f cd = = f d + f e + f de = = f e + f f + f ef = + + = f f + f g + f fg = + + = f g + f + f g = = f + f i + f i = = f a + f i + f ai = + + = dan dapat digambarkan sebagai berikut 7 7 Gambar Pelabelan super edge magic pada graf C 9. Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh cara pelabelan super edge magic pada suatu graf cycle. Cara ini juga digunakan untuk membuktikan Teorema.. Berikut akan dibuktikan Teorema. yang menyatakan bahwa graf C n memiliki pelabelan super edge magic. f g 0 h 9 Bukti : ( ) Misalkan cycle C n adalah graf super edge magic. Akan dibuktikan n bilangan ganjil. Bukti : Misalkan C n adalah graf super edge magic artinya ada pelabelan super edge magic f dengan s sebagai magic number. Artinya ada konstanta s f(u) + f(v) + f(uv) = s dan f V C n {,,, n}, f E C n {n +, n +,, n + n}. Karena setiap uv E(C n ) berlaku s = f(u) + f(v) + f(uv) akibatnya sn = f u + f v + f uv uv E C n = f(v) + f(uv) v V(C n ) uv E(C n ) = n + ( n + +(n + ) + + (n + n)) n = i + i i= n n i=n+ n = i + i i= i= n i= n n + = n(n + ) n(n + ) + n n + = + n + n n n = n(n + ) = n(n + ) + Ini berarti i + n + n n(n + ) n(n + ) n(n + ) = sn n(n + ) = n s n + n + = s n + n + = s n Karena s dan n adalah bilangan bulat bilangan bulat, maka n+

16 7 n + haruslah genap. Akibatnya n ganjil, maka n bilangan ganjil. ( ) Misalkan n adalah bilangan ganjil. Akan dibuktikan cycle C n adalah graf super edge magic. Bukti : Misalkan n = m + adalah bilangan ganjil dan diberikan graf cycle C n. Dimisalkan juga V C n = {v 0, v,, v n } E C n = {v 0 v, v v,, v n v n, v n v 0 }. Didefinisikan i + ; i genap f(v i ) = m + i + ; i ganjil f(v n v 0 ) = n f(v i v i+ ) = n i dengan 0 i n. Ambil sembarang v i v i+ dengan 0 i n dan i ganjil maka s = f v i + f v i+ + f v i v i+ = m + i + (i + ) + + +(n i) = m + i + + i + + n i = m + i + + n i = m + n + = n + n + = n + n + = n + dan untuk v n v 0 s = f(v n ) + f(v 0 ) + f(v n v 0 ) = (n ) + = n + + n n + + n = n = n + Karena n ganjil maka n ganjil, n + haruslah genap. Akibatnya n+ bilangan bulat, maka s bilangan bulat. Jadi, f adalah pelabelan super edge magic dengan magic number s = n+. Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema.. Ada beberapa ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic dan pelabelan super edge magic pada graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada. Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf C dengan banyaknya simpul dan banyaknya sisi, dengan bentuk graf seperti pada Gambar. C : b a c Gambar Graf cycle ber-order. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel,,,,,, 7,. Misalkan simpul-simpul pada graf C dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f a = f c = f b = 7 f d = Dipilih s =, maka diperoleh label sisi, f a + f b + f ab = = f b + f c + f bc = = f c + f d + f cd = + + = f a + f d + f ad = + + = dan dapat digambarkan sebagai berikut 7 Gambar Pelabelan edge magic pada graf C. Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf C dengan banyaknya simpul dan banyaknya sisi, dengan bentuk graf seperti pada Gambar. Untuk memperoleh pelabelan graf edge magic maka simpul dan sisi berlabel,,,,,, 7,, 9, 0. Misalkan simpulsimpul pada graf C dipadankan dengan suatu nilai, yaitu d

17 f a = 0 f d = f b = f e = f c = Dipilih s = 7, maka diperoleh label sisi, f a + f b + f ab = = 7 f b + f c + f bc = = 7 f c + f d + f cd = = 7 f d + f e + f de = + + = 7 f a + f e + f ae = = 7 dan dapat digambarkan sebagai berikut Gambar Pelabelan edge magic pada graf C. Sedangkan untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka dilabeli dengan f: V C {,,,, } dan f: E C {, 7,, 9, 0}. Misalkan simpul-simpul pada graf C dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f a = f d = f b = f e = f c = Karena graf C ber-order dan merupakan bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema. diperoleh graf C super edge magic maka berlaku s = n+ = dan diperoleh label sisi, f a + f b + f ab = = f b + f c + f bc = + + = f c + f d + f cd = = f d + f e + f de = + + = f a + f e + f ae = = dan dapat digambarkan sebagai berikut 0 7 Gambar 7 Pelabelan super edge magic pada graf C. Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf C dengan banyaknya simpul dan banyaknya sisi, dengan bentuk graf seperti pada Gambar. 9 C : b a c Gambar Graf cycle ber-order. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel,,,,,, 7,, 9, 0,,. Misalkan simpul-simpul pada graf C dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f a = 7 f d = f b = f e = f c = 0 f f = Dipilih s = 0, maka diperoleh label sisi, f a + f b + f ab = = 0 f b + f c + f bc = = 0 f c + f d + f cd = = 0 f d + f e + f de = = 0 f e + f f + f ef = + + = 0 f a + f f + f af = = 0 dan dapat digambarkan sebagai berikut 7 d 0 f Gambar 9 Pelabelan edge magic pada graf C. Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf C 7 dengan banyaknya simpul 7 dan banyaknya sisi 7, dengan bentuk graf sebagai berikut C 7 : c b d Gambar 0 Graf cycle ber-order 7. a 9 e g e f

18 9 Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel,,,,,, 7,, 9, 0,,,,. Misalkan simpulsimpul pada graf C 7 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f a = f e = 0 f b = f f = f c = f g = 7 f d = Dipilih s =, maka diperoleh label sisi, f a + f b + f ab = + + = f b + f c + f bc = + + = f c + f d + f cd = + + = f d + f e + f de = = f e + f f + f ef = = f f + f g + f fg = = f a + f g + f ag = = dan dapat digambarkan sebagai berikut Gambar Pelabelan super edge magic pada graf C 7. Dari keempat ilustrasi dapat dilihat bahwa C n dengan order n genap yaitu C dan C merupakan graf edge magic, dan C bukan graf super edge magic (bukti dapat dilihat dilampiran). Sedangkan C n dengan order n ganjil yaitu C dan C 7 merupakan graf edge magic dan graf super edge magic. Pada teorema selanjutnya, yaitu Teorema., akan ditunjukkan bahwa graf wheel bukan graf super edge magic. Sebelum membuktikan Teorema. akan diperlihatkan contoh cara pelabelan edge magic pada suatu graf wheel. Misalkan diberikan graf wheel ber-order dengan bentuk seperti pada Gambar. 9 7 Gambar Pelabelan edge magic pada graf C 7. 0 W : v Sedangkan untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka graf C 7 dilabeli dengan f: V C 7 {,,,,,, 7} dan f: E C 7 {, 9, 0,,,, }. Misalkan simpul-simpul pada graf C 7 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f a = f e = f b = f f = 7 f c = f g = f d = Karena graf C 7 dengan order 7 dan 7 merupakan bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema. diperoleh graf C 7 super edge magic maka berlaku s = n+ = 9 dan diperoleh label sisi, f a + f b + f ab = + + = 9 f b + f c + f bc = + + = 9 f c + f d + f cd = + + = 9 f d + f e + f de = = 9 f e + f f + f ef = = 9 f f + f g + f fg = = 9 f a + f g + f ag = + + = 9 dan dapat digambarkan seperti pada Gambar. v v Gambar Graf wheel ber-order. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel,,,,,, 7,, 9, 0,,,. Misalkan simpulsimpul pada graf W dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f v 0 = 7 f v = f v = f v = f v = Dipilih s =, maka diperoleh label sisi, f v + f v + f v v = + + = f v + f v + f v v = = f v + f v + f v v = + + = v0 v

19 0 f v + f v + f v v = + + = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = dan dapat digambarkan seperti berikut 0 7 Gambar Pelabelan edge magic pada graf W. Berikut diberikan beberapa contoh cara untuk memperoleh nilai s. Untuk W seperti pada Gambar, karena W memiliki 0 sisi maka 0s = f v + f v + f(v v ) +f v + f v + f(v v ) +f v + f v + f(v v ) +f v + f v + f(v v ) +f v + f v + f(v v ) +f v 0 + f v + f(v 0 v ) +f v 0 + f v + f(v 0 v ) +f v 0 + f v + f(v 0 v ) +f v 0 + f v + f(v 0 v ) +f v 0 + f v + f(v 0 v ) = f v + f v + f v + f v +f v + f v + f v + f v +f v + f(v ) + f(v ) + f(v ) +f v + f v + f v + f v 0 +f v 0 + f v 0 + f v 0 + f v 0 +f v v + f v v + f v v +f v v + f v v + f v 0 v +f v 0 v + f v 0 v + f v 0 v +f(v 0 v ) = f v + f v + f v + f(v ) +f v + f v 0 + f v 0 + f v +f v + f v + f(v ) + f v +f v v + f v v + f v v +f v v + f v v + f v 0 v +f v 0 v + f v 0 v + f v 0 v +f(v 0 v ) = f v j j = 9 + f(v 0 ) + i i= Untuk W 7 seperti pada Gambar, karena W 7 memiliki sisi maka s = f v + f v + f(v v ) +f v + f v + f(v v ) +f v + f v + f(v v ) +f v + f v + f(v v ) +f v + f v + f(v v ) +f v + f v + f(v v ) +f v 0 + f v + f(v 0 v ) +f v 0 + f v + f(v 0 v ) +f v 0 + f v + f(v 0 v ) +f v 0 + f v + f(v 0 v ) +f v 0 + f v + f(v 0 v ) +f v 0 + f v + f(v 0 v ) = f v + f v + f v + f v +f v + f v + f v + f v +f v + f(v ) + f(v ) + f(v ) +f v + f v + f v + f v +f v + f v + f v 0 + f v 0 +f v 0 + f v 0 + f v 0 + f v 0 +f v v + f v v + f v v +f v v + f v v + f(v v ) +f v 0 v + f v 0 v + f v 0 v +f v 0 v + f(v 0 v ) + f(v 0 v ) = f v + f v + f v + f(v ) +f v + f v + f v 0 + f v 0 +f v + f v + f v + f v +f v + f v + f v v + f v v +f v v + f v v + f v v +f(v v ) + f v 0 v + f v 0 v +f v 0 v + f v 0 v + f(v 0 v ) +f(v 0 v ) = f v j j = 9 + f(v 0 ) + i i= Dilihat dari beberapa contoh di atas maka bentuk umum untuk setiap graf W n adalah sebagai berikut (n )s = f v + f v + f v v +f v + f v + f(v v ) +f v n + f v n + f v n v n +f v n + f v + f v n v +f v 0 + f v + f v 0 v +f v 0 + f v + f v 0 v +f v 0 + f v n + f v 0 v n n s = f v + f v + +f v n + n f v 0 + f v 0 +f v + + f(v n ) + f v v +f v v + + f v n v n +f v n v + f v 0 v + f v 0 v + + f v 0 v n n n s = f v j j = n + i i= + n f(v 0 ) ()

20 Cara tersebut akan digunakan untuk mempermudah pembuktian Teorema.. Berikut akan dibuktikan Teorema.. Teorema. Graf wheel W n dengan order n bukan graf super edge magic. Bahkan W n dengan n 0 mod bukan graf edge magic. (Enomoto et al. 99) Akan dibuktikan: (i) Graf wheel W n dengan order n bukan graf super edge magic. (ii) Graf wheel W n dengan n 0 mod bukan graf edge magic. Bukti : (i) Misalkan diberikan graf wheel W n dengan order n. Dengan Lema. akan dibuktikan W n bukan graf super edge magic. Bukti : Misalkan W n memiliki n simpul dan m sisi, maka f V W n {,,, n} dan f E W n {n +, n +,, n + m}. Andaikan W n merupakan graf super edge magic. Berdasarkan Lema. diperoleh E W n V W n Sedangkan diketahui bahwa V W n = n dan E W n = n, akibatnya E W n V W n n n terjadi kontradiksi. Akibatnya pengandaian salah, maka W n bukan graf super edge magic. (ii) Misalkan diberikan graf wheel W n dengan order n dan n 0 mod. Akan dibuktikan W n bukan graf edge magic. Bukti : Andaikan W n adalah graf edge magic artinya ada pelabelan edge magic f dengan s sebagai magic number, s = f(u) + f(v) + f(uv). Misalkan V W n = {v 0, v,, v n } dan E W n = v i v i+ i n v n v {v 0 v i i n } dengan deg v 0 = n. Karena untuk setiap uv E(W n ) berlaku s = f(u) + f(v) + f(uv) dan untuk setiap W n berlaku n n s = f v j j = + n f(v 0 ) n + i i= Dari persamaan tersebut diperoleh n n i = n s f v j i= j = n f(v 0 ) Misalkan n 0 mod maka n dapat ditulis n = l dengan l Z n i= n i= l i = i i i= l = i = i= l (l ) = l l = l (l ) = 7l l + = l 9l + = t + dengan t bilangan bulat. Jadi merupakan bilangan ganjil. Sedangkan n n s f v j j = n f(v 0 ) n i= i () Karena n 0 mod, yang berarti n = l untuk suatu bilangan bulat l, maka n f v o = l f(v 0 ) = l f(v 0 ) merupakan bilangan genap. Akibatnya persamaan () merupakan bilangan genap, terjadi kontradiksi. Akibatnya pengandaian salah, maka W n bukan merupakan graf edge magic. Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema.. Ada beberapa ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada graf wheel diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada. W : v v v0 v Gambar Graf wheel ber-order.

21 Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf wheel ber-order dengan bentuk seperti pada Gambar. Misalkan simpul-simpul pada graf W dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f v 0 = f v v = 0 f v 0 v = f v = f v v = f v 0 v = 7 f v = f v v = f v 0 v = 9 f v = diperoleh f v + f v + f v v = = f v + f v + f v v = + + = f v + f v + f v v = + + = f v 0 + f v + f v 0 v = + + = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = Terdapat nilai s yang berbeda, graf W bukan graf edge magic. Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf wheel ber-order dengan bentuk seperti pada Gambar. W : v f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = dan dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 7 Pelabelan edge magic pada graf W. Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf wheel ber-order dengan bentuk seperti pada Gambar. W : v v v0 v v7 v v v0 v v v Gambar Graf wheel ber-order. v v Graf tersebut akan dilabeli memiliki graf edge magic. Simpul-simpul pada graf W dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f v 0 = 7 f v = f v = f v = f v = f v = Dipilih s =, maka diperoleh label sisi, f v + f v + f v v = + + = f v + f v + f v v = + + = f v + f v + f v v = + + = f v + f v + f v v = + + = f v + f v + f v v = + + = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = Gambar Graf wheel ber-order. Misalkan simpul-simpul pada graf W dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f v 0 = 0 f v v = f v 0 v = f v = f v v = f v 0 v = 7 f v = f v v = f v 0 v = f v = 9 f v v = 9 f v 0 v = f v = f v v = f v 0 v = f v = f v v 7 = f v 0 v = 7 f v = f v 7 v = 0 f v 0 v 7 = f v 7 = diperoleh f v + f v + f v v = + + = f v + f v + f v v = = f v + f v + f v v = = f v + f v + f v v = = f v + f v + f v v = + + =

22 f v + f v 7 + f v v 7 = + + = f v 7 + f v + f v 7 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v 7 + f v 0 v 7 = = Terdapat nilai s yang berbeda, graf W bukan graf edge magic. Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf wheel ber-order 9 seperti pada Gambar 9. W 9 : v v7 v v v0 Gambar 9 Graf wheel ber-order 9. Graf tersebut akan dilabeli memiliki graf edge magic. Misalkan simpulsimpul pada graf W 9 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f v 0 = f v = f v = 7 f v = f v = 0 f v 7 = f v = f v = f v = Dipilih s = 9, maka diperoleh label sisi, f v + f v + f v v = = 9 f v + f v + f v v = = 9 f v + f v + f v v = = 9 f v + f v + f v v = = 9 v v v v f v + f v + f v v = + + = 9 f v + f v 7 + f v v 7 = + + = 9 f v 7 + f v + f v 7 v = + + = 9 f v + f v + f v v = = 9 f v 0 + f v + f v 0 v = = 9 f v 0 + f v + f v 0 v = = 9 f v 0 + f v + f v 0 v = + + = 9 f v 0 + f v + f v 0 v = + + = 9 f v 0 + f v + f v 0 v = + + = 9 f v 0 + f v + f v 0 v = + + = 9 f v 0 + f v 7 + f v 0 v 7 = + + = 9 f v 0 + f v + f v 0 v = + + = 9 dan dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 0 Pelabelan edge magic pada graf W 9. Ilustrasi kelima, misalkan diberikan graf wheel ber-order dengan bentuk seperti pada Gambar. W : v9 v v0 v7 v v0 v Gambar Graf wheel ber-order. v v v v

23 Graf tersebut akan dilabeli memiliki graf edge magic. Misalkan simpulsimpul pada graf W dipadankan dengan suatu nilai, yaitu f v 0 = f v = f v = f v 7 = f v = f v = f v = f v 9 = f v = f v 0 = f v = Dipilih s =, maka diperoleh label sisi, f v + f v + f v v = + + = f v + f v + f v v = + + = f v + f v + f v v = = f v + f v + f v v = + + = f v + f v + f v v = + + = f v + f v 7 + f v v 7 = = f v 7 + f v + f v 7 v = = f v + f v 9 + f v v 9 = + + = f v 9 + f v 0 + f v 9 v 0 = + + = f v 0 + f v + f v 0 v = + + = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = + + = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v + f v 0 v = + + = f v 0 + f v + f v 0 v = + + = f v 0 + f v 7 + f v 0 v 7 = = f v 0 + f v + f v 0 v = = f v 0 + f v 9 + f v 0 v 9 = = f v 0 + f v 0 + f v 0 v 0 = + + = dan dapat digambarkan sebagai berikut Gambar Pelabelan edge magic pada graf W. Dari beberapa ilustrasi tersebut dapat dilihat bahwa W n dengan order n dan n 0 mod yaitu W dan W bukan graf edge magic. Sedangkan W n dengan order n dan n 0 mod yaitu W, W 9, dan W merupakan graf edge magic. IV SIMPULAN DAN SARAN. Simpulan Dalam karya ilmiah ini telah dibuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan graf yang super edge magic. Selain itu ditunjukkan pula bahwa graf cycle C n adalah graf super edge magic jika dan hanya jika n bilangan ganjil. Graf C n dengan order n bilangan genap tidak dapat ditunjukkan mempunyai pelabelan super edge magic hanya dapat ditunjukkan pelabelan edge magic-nya. Dalam karya ilmiah ini juga ditunjukkan bahwa graf wheel W n dengan order n bukan graf super edge magic, bahkan W n dengan n 0 mod bukan graf edge magic. Graf wheel W n hanya memiliki pelabelan edge magic pada saat n 0 mod, sedangkan graf W n dengan order n dan n 0 mod bukan graf edge magic. Suatu graf G memiliki pelabelan super edge magic jika graf tersebut memiliki pelabelan edge magic. Tetapi tidak berlaku untuk sebaliknya, yaitu suatu graf G yang memiliki pelabelan edge magic belum tentu memiliki pelabelan super edge magic.

24 . Saran Karya ilmiah ini membahas pelabelan super edge magic pada graf cycle dan graf wheel. Bagi yang berminat membuat karya ilmiah yang berhubungan dengan pelabelan super edge magic dapat mencari pada graf selain dari graf cycle dan graf wheel, misalnya pada graf complete, graf complete bipartite, graf Petersen yang diperumum, atau pada graf yang lainnya. DAFTAR PUSTAKA Chartrand G, Oellermann OR. 99. Applied and Algorithmic Graph Theory. New York: McGraw-Hill. Enomoto H, Llado AS, Nakamigawa T, Ringel G. 99. Super edge-magic graphs. SUT Journal of Mathematics : Foulds LR. 99. Graph Theory Applications. New York: Springer-Verlag. Fukuchi Y. 00. Edge-magic labelings of wheel graphs. Tokyo J. Math : - 7.

25 LAMPIRAN

26 7 Lampiran bukti graf C bukan graf super edge magic. Misalkan diberikan graf C dengan banyaknya simpul dan banyaknya sisi, dengan bentuk graf seperti pada Gambar. Untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka simpul dan sisinya dilabeli dengan f: V C {,,, } dan f: E C {,, 7, }. Ada beberapa kemungkinan untuk melabeli graf C, di antaranya: (i) Misalkan f a = dan f b =, maka f ab yang mungkin adalah f ab = dan s = f a + f b + f(ab) = + + = Untuk f c = dan f d = tidak ada nilai yang mungkin, f b + f c + f bc = + + f(bc) = f(bc) = 0 f c + f d + f cd = + + f(cd) = f(cd) = f a + f d + f ad = + + f(ad) = f(ad) = 0 f(bc) = f(ad) = 0 dan f(cd) = tidak mungkin karena f: V C {,,, } dan f: E C {,, 7, }, dan dapat digambarkan sebagai berikut Gambar Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, dan f ab =. Sedangkan untuk f c = dan f d = tidak ada nilai yang mungkin, f b + f c + f bc = + + f(bc) = f(bc) = f c + f d + f cd = + + f(cd) = f(cd) = f a + f d + f ad = + + f(ad) = f(ad) = 9 f(bc) =, f(cd) =, dan f(ad) = 9 tidak mungkin karena f: V C {,,, } dan f: E C {,, 7, }, dan dapat digambarkan sebagai berikut Gambar Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, dan f ab =. (ii) Misalkan f a = dan f b =, maka f ab yang mungkin adalah f ab = 7 dan s = f a + f b + f(ab) = = Untuk f c = dan f d = tidak ada nilai yang mungkin, f b + f c + f bc = + + f(bc) = f(bc) = 9 f c + f d + f cd = + + f(cd) = f(cd) = f a + f d + f ad = + + f(ad) = f(ad) = 9 f(bc) = f(ad) = 9 dan f(cd) = tidak mungkin karena f: V C {,,, } dan f: E C {,, 7, }, dan dapat digambarkan sebagai berikut 7 Gambar Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, dan f ab = 7.

27 Sedangkan untuk f c = dan f d = ada nilai yang mungkin, yaitu f a + f d + f ad = + + f(ad) = f(ad) = Ada dua kemungkinan untuk f(bc) yaitu dan. Jika f(bc) = maka s = f b + f c + f(bc) = + + = 9 Jika f(bc) = maka s = f b + f c + f(bc) = + + = 0 Karena untuk f bc = yaitu s = 9 dan f bc = yaitu s = 0, maka s = tidak dipenuhi. Dengan cara yang sama untuk f(cd) yaitu dan maka s = tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut 7 Gambar Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab = 7, dan f ad =. (iii) Misalkan f a = dan f b =, maka f ab yang mungkin adalah f ab = dan s = f a + f b + f(ab) = + + = Untuk f c = dan f d = ada nilai yang mungkin, yaitu f a + f d + f ad = + + f(ad) = f(ad) = f b + f c + f bc = + + f(bc) = f(bc) = Karena ada nilai yang sama yaitu f(ad) = f(bc) = maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak mungkin juga, yaitu f c + f d + f cd = + + f(cd) = f(cd) = 0 Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 7 Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, dan f ab =. Sedangkan untuk f c = dan f d = ada nilai yang mungkin, yaitu f a + f d + f ad = + + f(ad) = f(ad) = 7 Ada dua kemungkinan untuk f(bc) yaitu dan. Jika f(bc) = maka s = f b + f c + f(bc) = + + = 9 Jika f(bc) = maka s = f b + f c + f(bc) = + + = Karena untuk f bc = yaitu s = 9 dan f bc = yaitu s =, maka s = tidak dipenuhi. Dengan cara yang sama untuk f(cd) yaitu dan maka s = tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut 7 Gambar Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab =, dan f ad = 7. (iv) Misalkan f a = dan f b =, maka f ab yang mungkin adalah f ab = dan s = f a + f b + f(ab) = + + =

28 9 Untuk f c = dan f d = ada nilai yang mungkin, yaitu f a + f d + f ad = + + f(ad) = f(ad) = 7 f b + f c + f bc = + + f(bc) = f(bc) = 7 Karena ada nilai yang sama yaitu f(ad) = f(bc) = 7 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak mungkin juga, yaitu f c + f d + f cd = + + f(cd) = f(cd) = 9 Dan dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 9 Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, dan f ab =. Sedangkan untuk f c = dan f d = ada nilai yang mungkin, f b + f c + f bc = + + f(bc) = f bc = f a + f d + f ad = + + f(ad) = f(ad) = Gambar 0 Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab =, f bc =, dan f ad =. Kemungkinan untuk f cd yaitu 7, s = f c + f d + f cd = = 0 Karena untuk f cd = 7 yaitu s = 0 maka s = tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 0. (v) Misalkan f a = dan f b =, maka f ab yang mungkin adalah f ab = dan s = f a + f b + f(ab) = + + = Untuk f c = dan f d = ada nilai yang mungkin, f b + f c + f bc = + + f(bc) = f(bc) = f c + f d + f cd = + + f(cd) = f(cd) = f a + f d + f ad = + + f(ad) = f(ad) = Karena ada nilai yang sama yaitu f(bc) = f(ad) = dan f(cd) = f d = maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut Gambar Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab =, dan f bc =. Sedangkan untuk f c = dan f d = ada nilai yang mungkin, f b + f c + f bc = + + f(bc) = f bc = f a + f d + f ad = + + f(ad) = f(ad) = 7 Kemungkinan untuk f cd yaitu, s = f c + f d + f cd = + + =

29 0 Karena untuk f cd = yaitu s = maka s = tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut 7 Gambar Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab =, f bc =, dan f ad = 7. (vi) Misalkan f a = dan f b =, maka f ab yang mungkin adalah f ab = dan s = f a + f b + f(ab) = + + = Gambar Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab =, dan f ad =. Untuk f c = dan f d = ada nilai yang mungkin, f b + f c + f bc = + + f(bc) = f(bc) = f c + f d + f cd = + + f(cd) = f(cd) = f a + f d + f ad = + + f(ad) = f(ad) = Karena ada nilai yang sama yaitu f(ab) = f(cd) = dan f(bc) = f c = maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan seperti pada Gambar. Sedangkan untuk f c = dan f d = ada nilai yang mungkin, f b + f c + f bc = + + f(bc) = f bc = 7 f a + f d + f ad = + + f(ad) = f(ad) = Kemungkinan untuk f cd yaitu, s = f c + f d + f cd = + + = Karena untuk f cd = yaitu s = maka s = tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut 7 Gambar Graf C yang dilabeli dengan f a =, f b =, f(c) =, f d =, f ab =, f bc = 7, dan f ad =. Dilihat dari beberapa kemungkinan untuk melabeli graf C tersebut maka graf C bukan graf super edge magic.