ANALISIS KESTABILAN EPIDEMIK HIV/AIDS DENGAN KELOMPOK UMUR DAN KEPADATAN PENDUDUK

Transkripsi

1 JEEST E-ISS : OVEMBE-4 VOLUME O AALISIS ESTABILA EPIDEMI HIV/AIDS DEGA ELOMPO UMU DA EPADATA PEDUDU Mrsui n wriniy Jurusn Mtemtik Universits Brwijy Mlng e-mil: mrsui6@ubci ABSTA Mklh ini mengkji n mengimplementsikn sutu moel mtemtik eterministik seerhn SI (susceptibleinfecte) untuk mengnlisis kestbiln moel epiemik HIV/AIDS engn kelompok umur n keptn penuuk Populsi ibgi menji u subpopulsi, yitu subpopulsi nk-nk n subpopulsi ews Subpopulsi ews isumsikn ktif seksul n subpopulsi infecte ews melhirkn byi susceptible n byi infecte Secr nlitik, kestbiln lokl n globl ri titik kesetimbngn moel (bebs penykit n kepunhn susceptible) inlisis menggunkn kombinsi nlisis persmn krkteristik ri mtriks Jcobi n prinsip invrinsi Lypunov-LSlle tu menggunkn konisi nili-nili mbng rsio reprouksi susceptible ( ), rsio reprouksi infecte ( ) n lju kontk infectious ( ) Untuk ksus t HIV/AIDS i Inonesi engn populsi wl thun 9, nili-nili mbng 9936, 69 n 9878 Moel epiemik HIV/AIDS mempunyi stu titik kesetimbngn bebs penykit E (559, 45,, ) Titik kesetimbngn bebs penykit lh stbil simtotik globl, rtiny jik nili-nili prmeter tik berubh mk tik iniviu yng terinfeksi n subpopulsi susceptible nk n ews menuju nili positif yng konstn t unci : moel HIV/AIDS, moel SI, rsio reprouksi, kestbiln globl ABSTACT This pper exmines n implementtion eterministic mthemticl moel of simple SI (susceptible-infecte) moel to nlyze the stbility of the HIV/AIDS by ge group n popultion ensity The popultion is ivie into two subpopultions, nmely subpopultion of juvenile n ults Subpopultion of ults who re sexully ctive is ssume prouce both susceptible newborns n infecte newborns The locl n globl stbility for the equilibrium point of the moel were nlyze using combintion of nlysis of eigenvlues of Jcobin mtrix n the Lypunov-LSlle s invrint principle or using threshol vlues of the susceptible reprouce rtio ( ), the infecte reprouce rtio ( ), n the infection contct rte ( ) For the cse of t of HIV/AIDS in Inonesi with initil popultion of 9, the threshol vlues of the susceptible reprouction rtio, 9936, the infecte reprouction rtio, 69 n the infection contct rte, 9878 The moel of the HIV/AIDS hs unique isesefree equilibrium point, E (559, 45,, ) The isese-free equilibrium point is globlly symptoticlly stble, nmely if prmeter vlues not chnge then there no infecte iniviul n subpopultion of juvenile n ults susceptible ten to constnt positive vlue ey wors: HIV/AIDS moel, SI moel, the reprouction rtio, the equilibrium point, Globl stbility 74

2 JOUAL OF EVIOMETAL EGIEEIG & SUSTAIABLE TECHOLOGY P-ISS : OVEMBE-4 VOLUME O PEDAHULUA St ini, infeksi HIV (humn immunoeficiency virus) yng pt menyebbkn AIDS (cquire immunoeficiency synrome) menunjukkn tingkt prevlensi yng tinggi lm populsi hmpir i semu negr Di wl b, moel mtemtik iperkenlkn ke lm epiemiologi oleh ermck n Mcenrick (97) Moel mtemtik telh bnyk terbukti lm membntu pemhmn fenomen penyebrn penykit infeksius Mislny, Murry (993) menggunkn moel SI untuk moel epiemik penykit infeksius P wlny, moel mtemtik untuk epiemik HIV hny bersift spekultif engn memsukkn spek-spek biologi n perilku lm moel, mislny Bruer n Cstillo-Chvez () n o (993) St ini bnyk penelitin tentng nlisis mtemtik ri moel inmik yng isebrkn mellui kontk seksul n ikombinsikn engn t sehingg menji populer (Anerson, ) Moel mtemtik telh ikembngkn n igunkn untuk penykit yng itulrkn mellui hubungn seksul Penykit yng isebrkn mellui kontk seksul (sexully trnsmitte iseses=std) lh penulrn yng itrnsfer ri stu orng ke stu orng lin mellui kontk seksul i lm populsi Lopez et l (7), Mrsui n wriniy () menggunkn moel mtemtik untuk STD yng berkitn engn inmik HIV engn struktur usi i mn subpopulsi imoelkn mellui proses epiemik SI yng sesui untuk STD tnp recovery Moel epiemik HIV/AIDS yng igunkn lm penelitin ini merujuk p moel yng iperkenlkn oleh Lopez et l (7) yng ieskripsikn menggunkn moel komprtemen Secr emogrfi, populsi totl =(t) ibgi menji u subpopulsi, yitu subpopulsi nk-nk (berusi -4 thun) n subpopulsi ews (berusi 5 thun ke ts) Secr epiemiologi, subpopulsi n-nk teriri ri kels susceptible nk-nk (S ) n infecte nknk (I ) Subpopulsi ews teriri ri kels susceptible ews (S ) n infecte ews (I ) Jik jumlh populsi terus meningkt n sementr ken emogrfi tu lingkungnny mempunyi jumlh sumber yng terbts, mk kn terji keptn penuuk kren kompetisi internl n mempengruhi keberlngsungn hiup bhkn pt menyebbkn kemtin iniviu lm populsi tersebut Bersrkn permslhn i ts, p penelitin ini ikji untuk menptkn moel epiemik HIV/AIDS engn pengruh kelompok umur n keptn penuuk menggunkn t HIV/AIDS i Inonesi METODE PEELITIA Sumber Dt Dt yng kn igunkn lm penelitin ini lh t sekuner berup t emogrfik n t empirik penykit HIV/AIDS i Inonesi Dt empirik penykit HIV/AIDS i Inonesi imbil ri Dirjen Pennggulngn Penykit Menulr n Penyehtn Lingkungn (PPM & PLP) Deprtemen esehtn I tu omisi Pennggulngn AIDS n t emogrfik imbil ri Biro Pust Sttistik Selin itu, prmeter moel kn iestimsi tu imbil ri litertur-litertur yng relevn ncngn Moel Moel epiemik HIV/AIDS ieskripsikn menggunkn moel komprtemen yng secr skemtis trnsisi ntr keu subpopulsi pt isjikn lm igrm berikut (Lopez et l, 7) Gmbr Digrm komprtemen moelhiv/aids engn u kelompok umur 75

3 JEEST E-ISS : OVEMBE-4 VOLUME O Bersrkn p sumsi-sumsi n igrm komprtemen, moel pt ieskripsikn engn empt persmn iferensil nonliner {Mrsui n wriniy, ) S S ( ) I S S ms t S S I S S ms S I t I I I I I mi t I S I () I I I mi S I t i mn ( ) lh lju kelhirn per kpit ri rt-rt susceptible (infecte) ews, ( ) lh lju mtursi per kpit ri susceptible (infecte) nk-nk, ( ) lh lju kemtin lmi ri subpopulsi nk-nk (ews), lh lju kemtin kren HIV per kpit n lh lju kontk per kpit ntr iniviu susceptible n iniviu infecte ews Disumsikn bhw semu prmeter ri sistem () lh positif Disumsikn jug bhw koefisien keptn penuuk m lh positif n ( ) menjelskn porsi byi lhir ri kelompok infecte ews lh infecte Selnjutny isumsikn tik migrsi, iinterpretsikn keewsn sebgi emigrsi ri tingkt nk-nk n imigrsi ke lm tingkt ews, iniviu tik kebl, hny iniviu ews yng pt melhirkn, lju kemtin keu subpopulsi nk-nk ientik terhp lju kemtin, ( j, ) n tik infeksi kren kontk seksul lm subpopulsi nk-nk Metoe Anlisis Penelitin ini inlisis menggunkn lngkhlngkh sebgi berikut: (i) mengestimsi prmeter-prmeter moel (Moel SI) inmik epiemik HIV/AIDS engn pengruh kelompok umur (ii) mengkji kestbiln moel bersrkn moel persmn iferensil nonliner () (iii) menghitung nilinili mbng rsio reprouksi susceptible ( ), j rsio reprouksi infecte ( ) n lju kontk infectious ( ) n (iv) mengeplot solusi numerik ri msing-msing subpopulsi (S, I, S n I ) terhp wktu menggunkn prmeter-prmeter epiemiologi n prmeter geogrfi yng iberikn menggunkn lt bntu progrm Mtlb PEMBAHASA Bersrkn t Biro Pust Sttistik (Anonim, ), jumlh penuuk (popupsi) Inonesi p Thun 9 terctt sebesr jiw engn tingkt keptn penuuk sebesr jiw/km omposisi penuuk bersrkn kelompok umur menunjukkn bhw penuuk kelompok nknk (-4 thun) sebesr 6,96% tu jiw n kelompok ews ( 5 thun) sebesr 73,4% tu jiw omposisi penuuk bersrkn jenis kelmin menunjukkn bhw nk lki-lki berjumlh 388 jiw, nk perempun berjumlh jiw, lki-lki ews berjumlh jiw n perempun ews berjumlh jiw Penykit HIV n AIDS i Inonesi senntis meningkt ri thun ke thun Bersrkn t ri Ditjen PP n PL Depkes I (Anonim, b), ksus AIDS kumultif yng ilporkn ri Jnuri 987 smpi engn 3 Desember 9 berjumlh 9973 jiw teriri ri 4765 lki-lki n 58 perempun omposisi bersrkn kelompok umur teriri ri 58 nk-nk n 9445 ews Jumlh ksus AIDS yng ilporkn ri Jnuri smpi engn 3 Desember 9 berjumlh 3863 engn komposisi 665 lki-lki n 98 perempun Menurut UGASS Country eport, Populsi i Inonesi yng hiup engn HIV/AIDS p khir Thun 7 iestimsi sebesr 7 jiw Setip iniviu terinfeksi HIV engn rt-rt ursi 86-9 thun Menurut Anonim (), usi hrpn hiup p Thun 9 sekitr 7 thun Angk kemtin nk-nk p Thun -5 sebesr 35 (per ) n p Thun 6- sebesr 34 (per ) t-rt jumlh nk yng ilhirkn seorng perempun ri kelompok ews (ngk kelhirn totl) p Thun 9 sekitr 76

4 JOUAL OF EVIOMETAL EGIEEIG & SUSTAIABLE TECHOLOGY P-ISS : OVEMBE-4 VOLUME O Angk mtursi nk-nk isumsikn sm engn ngk mtursi ews, yitu sekitr 6 thun Estimsi jumlh penuuk Inonesi (lm ribun) selm 8 thun (4-) ikelompokkn lm intervl stu thun isjikn lm Tbel n grfik itunjukkn lm Gmbr Tbel Estimsi jumlh penuuk Inonesi (lm ribun) Thun Jumlh Penu uk Jumlh Penuuk (lm ribun) x Thun Gmbr Dt Penuuk Inonesi selm 8thun Grfik jumlh penuuk terhp thun lm Gmbr tmpk berbentuk logistik engn persmn iferensil ( ) t i mn lh jumlh penuuk Inonesi p wktu t, lh nili khir (crrying cpcity) n r lh prmeter kinetik (lju kenikn intrinsik) ili n itentukn engn proksimsi persmn iferensil, yitu engn persmn iferensi ( ) t Estimsi ili Prmeter Moel ili ri prmeter-prmeter moel () pt iestimsi menggunkn t i ts n menggunkn rumus-rumus yng telh igunkn oleh Lopez et l (7) () Lju kelhirn per kpit ri rt-rt susceptible ews ( ) ihitung engn rumus totlpopulsiperempun susceptible totllju kelhirn (5387)(7) totlpopulsiperempun (b) Lju kelhirn per kpit ri rt-rt,6979 infecte ews ( ) ihitung engn rumus totlpopulsiperempun infecte totllju kelhirn totlpopulsiperempun (58)(,7) 53879,5 (c) Lju kemtin nk-nk per kpit tu JD ( ) ihitung menggunkn rt-rt lju kemtin nk-nk ri u thun berbe, JD( 5) JD(6 ) (35/) (34/),345 () Lju kemtin per kpit ( ) iefinisikn sm engn keblikn ri rt-rt hrpn hiup wktu lhir (ALE) ihitung engn rumus ALE,49 7 (e) Lju kemtin kren HIV per kpit ( )Setip iniviu terinfeksi engn HIV, rt-rt ursi infeksi 86-9 thun t-rt sis hiup ri iniviu infecte ews sm engn keblikn perioe infeksi rt-rt (MIP), isumsikn MIP=7 thun,588 MIP 7 (f) Lju kontk ( ) ihitung engn rumus totlinfecte bru ews (lm thun) totlpopulsi totlpopulsiinfecte totlpopulsisusceptible totlews infecte bru (lmthun) totlpopulsiinfecte 77

5 JEEST E-ISS : OVEMBE-4 VOLUME O Dlm penelitin ini, totl populsi infecte iestimsi 7 jiw sehingg (g) Lju mtursi nk-nk ( ) isumsikn sm engn lju mtursi ews ( ) iestimsi engn rumus 65 6 (h) Prmeter m yng meneskripsikn kompetisi internl ihitung engn rumus: m engn lh crrying cpcity Inonesi kren keptn penuuk yng isebbkn oleh kompetisi internl Crrying cpcity kren kompetisi internl iestimsi menggunkn t Inonesi selm 8 thun (4-9) ili n pt iturunkn engn memeriks nili mksimum ri fungsi y( ) ( ) t y Dri, iperoleh ( ) n mks Tbel menyjikn estimsi ri y A ) ri t lm Tbel ( mks Tbel Estimsi y A ) ( mks yi Ai A ili mksimum i y y( A mks ) y( ) Untuk menentukn hubungn ntr n, igunkn rumus untuk y(a) engn mengmbil A 397, yitu nili rt-rt i mn nili mksimum itemukn, yitu (397)( 397) 345, Menggunkn rumus ri y untuk menptkn nili engn rumus y( A mks ) y( ), iperoleh 4(345)( 397), , , n 4387 Jik nili imbil rt-rt ri n, iperoleh 4485 Ji, estimsi crrying cpcity kren keptn penuuk lh 4485 sehingg,6979,49 m, Dengn emikin, estimsi nili-nili prmeter moel epiemik HIV/AIDS untuk Inonesi isjikn lm Tbel 3 berikut Tbel 3 Estimsi ili Prmeter Moel Prmeter Lju kelhirn per kpit subpopulsi susceptible ews Lju kelhirn per kpit subpopulsi infecte ews 3 Lju kemtin lmi subpopulsi nknk 4 Lju kemtin per kpit ri iniviu ews 5 Lju kemtin per kpit ri penykit 6 Pelung kontk ntr iniviu ews 7 Lju mtursi per kpit subpopulsi susceptible nk-nk 8 Lju mtursi per kpit subpopulsi infecte nknk Simb ol ili (per thun),6979,5 µ,345 α,49 γ,588 ν,7,65,65 9 ompetisi internl m 4,

6 JOUAL OF EVIOMETAL EGIEEIG & SUSTAIABLE TECHOLOGY P-ISS : OVEMBE-4 VOLUME O ili Ambng sio eprouksi Menggunkn rumus-rumus yng telh igunkn oleh Lopez et l (7) n menggunkn nili-nili prmeter moel lm Tbel 3, nili-nili mbng rsio reprouksi susceptible ( ), rsio reprouksi infecte ( ) n lju kontk infectious ( ) lh sebgi berikut () ili Ambng sio eprouksi Susceptible ili mbng rsio reprouksi susceptible ( ) lh rt-rt jumlh byi susceptible yng ilhirkn oleh iniviu susceptible selm hiupny Menggunkn nili-nili prmeter moel lm Tbel 3, 99,36 Ji, nili rsio reprouksi susceptible lebih besr stu Gmbr merepresentsikn grfik ri pengruh lju kelhirn per kpit ri rt-rt susceptible ews ( ) terhp nili mbng rsio reprouksi susceptible ( ) Tmpk bhw jik nili lju kelhirn per kpit ri rt-rt susceptible ews meningkt, mk nili rsio reprouksi susceptible jug meningkt ili jik nili lju kelhirn per kpit ri rt-rt susceptible ews lebih besr ri, sio eprouksi Suceptible () Lju elhirn per kpit rt-rt Susceptible Dews Gmbr Plot p sio eprouksi Infecte (o) Lju elhirn per kpit rt-rt Infecte Dews Gmbr 3 Plot p (b) ili Ambng sio eprouksi Infecte ili mbng rsio reprouksi infecte ( ) lh rt-rt jumlh susceptible bru yng ihsilkn oleh iniviu susceptible Menggunkn nili-nili prmeter moel lm Tbel 3,,69 Ji, nili rsio reprouksi susceptible lebih kecil stu Gmbr 3 merepresentsikn grfik ri pengruh lju kelhirn per kpit ri rt-rt infecte ews ( ) terhp nili mbng rsio reprouksi infecte ( ) Tmpk bhw jik nili lju kelhirn per kpit ri rt-rt infecte ews ( ) meningkt, mk nili rsio reprouksi infecte ews ( ) jug meningkt ili lebih kecil jik nili,8 (c) ili Ambng Lju ontk Infectious ili mbng lju kontk infectious ( ) lh rt-rt jumlh kontk ri iniviu infecte ews selm hiupny Menggunkn nili-nili prmeter moel lm Tbel 3,,9878 Ji, nili mbng lju kontk infectious lebih kecil stu Gmbr 4 merepresentsikn grfik ri pengruh lju kontk ( ) terhp nili mbng lju kontk infectious ( ), menunjukkn bhw jik nili rt-rt jumlh kontk infecte ews ( ) meningkt, mk nili lju kontk infectious ( ) jug meningkt 79

7 JEEST E-ISS : OVEMBE-4 VOLUME O Gmbr 4 Plot ri terhp 3 Anlisis estbiln Moel Sistem () mempunyi titik kesetimbngn bebs penykit E (,,, ), i ( m ) S S m m n () mn ( ) ( ) 4[ ( )( )] m jik n titik kesetimbngn kepunhn susceptible E (,, I, I ), Di ( m ) I I m m n (3) mn ( ) ( ) 4[( )( )( ] m jik n Menurut Lopez et l (7), titik kesetimbngn bebs penykit E ( S, S,, ) stbil simtotik lokl jik n n stbil globl jik ( )( ) n Titik kesetimbngn kepunhn susceptible E lh stbil simtotik lokl jik n ( ) n stbil globl jik, n Menggunkn nili-nili prmeter lm Tbel 3 n kren 99,36,,69, n,9878,999883, mk moel HIV/AIDS engn pengruh kelompok umur n keptn penuuk i Inonesi hny mempunyi titik kesetimbngn bebs penykit E (559, 45,, ) yng stbil simtotik lokl Hl ini pt jug iliht ri mtriks Jcobi p E (559, 45,, ), yitu -,6768,95 -,648 -,646, -,3794 -,53 -,3 J ( E ) -,479,5,65 -,359 i mn semu nili eigen ri J( E ) lh negtif,74,,35,,479 n, Selnjutny, kren,9879 n 99,36,493, mk titik kesetimbngn bebs penykit E (559, 45,, ) stbil simtotik globl estbiln globl ri titik kesetimbngn bebs penykit ini pt iliht p grfik solusi numerik moel epiemik HIV/AIDS menggunkn metoe unge- utt orer empt berikut (Gmbr 5) () 8

8 JOUAL OF EVIOMETAL EGIEEIG & SUSTAIABLE TECHOLOGY P-ISS : OVEMBE-4 VOLUME O () () x 8 x Suceptible Ank (S) Infecte Dews (I) t (Thun) (b) t (Thun) x 8 Suceptible Dews (S) Infecte Ank (I) (c) t (Thun) Gmbr 5 estbiln globl titik kesetimbngn bebs penykit ri moel epiemik HIV-AIDS engn pengruh kelompok umur i Inonesi: S , S , I 58 n I 9445 Gmbr 5 () menunjukkn bhw subpopulsi susceptible nk ( S ) cenerung bertmbh p stu thun pertm kemuin turun terus hingg 6 thun pertm n tmpk S konvergen menuju S 559 Gmbr 5 (b) menunjukkn bhw sejk wl thun hingg 7 thun pertm subpopulsi susceptible ews ( S ) berkurng terus jumlhny n S konvergen menuju S t (Thun) 8

9 JEEST E-ISS : OVEMBE-4 VOLUME O ecenerungn subpopulsi infecte nk ( I ) hmpir sm seperti subpopulsi susceptible ews Dri wl thun hingg 6 thun pertm tmpk jumlhny turun terus ( Gmbr 5 (c)) n I konvergen menuju I Gmbr 55 () menunjukkn bhw sejk wl thun hingg 8 thun cenerung turun terus jumlhny n I konvergen menuju I Ji, jik prmeter tik berubh mk tik iniviu yng terinfeksi n subpopulsi susceptible nk n ews menuju nili positif yng konstn ESIMPULA Untuk ksus t HIV/AIDS i Inonesi engn t wl thun 9, nili-nili mbng rsio reprouksi susceptible 9936, rsio reprouksi infecte 69 n lju kontk infeksi 9878 Moel epiemik HIV/AIDS engn u kelompok umur n keptn penuuk mempunyi stu titik kesetimbngn bebs penykit E (559, 45,, ) yng stbil simtotik globl Ji, jik prmeter tik berubh mk tik iniviu yng terinfeksi n subpopulsi susceptible nk n ews menuju nili positif yng konstn UCAPA TEIMAASIH P kesemptn ini, kmi Tim Peneliti menympikn ucpn terim ksih kep Direktort Jenerl Penelitin n Pengbin ep Msyrkt, Direktort Jenerl Peniikn Tinggi, ementerin Peniikn sionl ts pembiyn pelksnn Penelitin Funmentl Thun ini DAFTA PUSTAA Anerson, M, () The ole of Mthemticl Moels in The Stuy of HIV Trnsmission n The Epiemiology of AIDS, J AIDS ;4-56 Anonim (7) Profil esehtn Inonesi, Deprtemen esehtn I Tnggl Akses Agustus Anonim, () Profil esehtn Inonesi Depkes I Tnggl Akses Agustus Anonim, (b) epublic of Inonesi Country eport of the Follow up to The Declrtion of Commitment on HIV/AIDS: eporting Perio 8-9, tionl AIDS Commision epublic of Inonesi Anonim, (c) Unite tions Generl Assembly Specil Sesion (UGASS) Country eport Depkes I Bruer, F n Cstillo-Chvez, C () Mthemticl Moels in Popultion Biology n Epiemiology, Text in Applie Mthemtics Vol 4, Springer Verlg ermck, WO sn Mcenrick, AG (97) A Contribution to the Mthemticl of Epiemics, Proceeings of the oyl Society of Lonon 997; 5;7-7 Lopez,, ung, Y n Trine, A (7) A Simple SI with Two ge groups n Its Appliction to US HIV epiemics: To Tret or ot to Tret, Journl of Biologicl Systems 7; 5;

10 JOUAL OF EVIOMETAL EGIEEIG & SUSTAIABLE TECHOLOGY P-ISS : OVEMBE-4 VOLUME O Mrsui n Trisilowti (4) Moel Penyebrn Epiemik n Penyebrn Sptil (Geogrfi) Epiemik Demm Berrh, Jurnl Ilmu-Ilmu Hyti (Live Science), Vol 6 omor, Lemlit Unibrw Mlng Mrsui n wriniy () Anlisis estbiln Moel HIV/AIDS engn Pengruh elompok Umur n eptn Penuuk, Lporn Hsil Penelitin Funmentl DPM Dikti, Universits Brwijy Murry, J D ( 993) Mthemticl Biology, Springer-Verlg Berlin Heielberg, ewyork o, ASS (993) Mthemticl moeling of AIDS Epiemic in Ini, Current Science, Vol 84 o 9 83