MATEMATIKA 3: 1: PENDAHULUAN. Lecturers : Ir. Bachtiar Kurniawan Course : Aeronautical Engineering

Transkripsi

1 1 MATEMATIKA 3: 1: PENDAHULUAN Lecturers : Ir. Bachtiar Kurniawan Curse : Aernautical Engineering

2 Reference(s) 2 Kreizig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, 9 th Editin, Jn Wiley and Sns, Inc. Purcell, E., Calculus and Gemetric Analysis, Mc Graw Hill Leithld, L., Calculus and Gemetric Analysis, Harper Rw

3 Rules 3 Hanya 2 kali ijin tidak masuk (misal: sakit harus ada surat keterangan dkter) Nilai berasal dari: 20% Tugas, keaktifan di kelas 30% UTS 50% UAS Attitude: kejujuran (tidak mencntek waktu ujian), sikap

4 Silabus (0) {skip fr ext. S1} 4 Silabus AMTO (Basic Math) perasi matematika dasar: tambah, kurang, kali, bagi perasi perpangkatan menghitung luas (area) bangun datar dan vlume benda membaca chart dan grafik mengknversi satuan-satuan fisik

5 Silabus (1) 5 Aljabar Linear : Matriks, Vektr, Determinan, Sistem Linear Matriks, Vektr: penjumlahan dan perkalian skalar. Perkalian Matriks Sistem Persamaan Linear: Eliminasi Gauss Determinan Rank Matriks Inverse Matriks Masalah Nilai Eigen Matriks Kalkulus Vektr: Differential Vektr Vektr dalam 2-D dan 3-D Inner Prduct (dt prduct) Vectr Prduct (crss prduct) Fungsi Skalar dan Vektr, Medan (fields). Turunan (derivatives)

6 Silabus (2) 6 Turunan Berarah (directinal derivative). Gradient Medan Skalar. Divergence Medan Vektr Curl Medan Vektr Integral Vektr: Integral Tunggal (Line integral) Integral Duble Therema Green Integral Permukaan (Surface Integral) Interal Triple. Divergence Therema Gauss. Therema Stkes + Fungsi Kmpleks

7 Refresh: Basic Math (1) {skip fr ext. S1} 7 perasi matematika dasar: tambah, kurang, kali, bagi k perasi perpangkatan k menghitung luas (area) bangun datar dan vlume benda Rectangler, square, triangle, circle, trapesium Case: hitung luas (area) sayap rectangle, sayap taper, sayap swept-back, sayap delta, irisan fuselage berbentuk linkaran.

8 Refresh: Basic Math (2) {skip fr ext. S1} 8 membaca chart dan grafik mengknversi satuan-satuan fisik

9 Matriks dan Vektr (1) 9 Matriks Definisi: Susunan bilangan atau fungsi dalam baris dan klm berbentuk persegi panjang dalam kurung []. Bilangan-bilangan (atau fungsi-fungsi) tersebut disebut elemen-elemen dari matriks.

10 Matriks dan Vektr (2) 10 Cnth : 2 baris 3 baris 3 klm 3 klm Matriks Persegi Matriks Baris = Vektr Baris Matriks Klm = Vektr Klm

11 Matriks dan Vektr (3) 11 Cnth Pemakaian Matriks Sistem Linear (Persamaan Simultan): 4x 1 + 6x 2 + 9x 3 = 6 6x 1-2x 3 = 20 5x 1 8x 2 + x 3 = 10 Kefisien-kefisien variabel-variabel adalah elemen matriks, katakanlah A,

12 Matriks dan Vektr (4) 12 Penjualan Suatu Tk M T W Th F S A = I II III Jika ada 10 tk, maka dapat dibuat 10 matriks serupa. Dengan menjumlahkan 10 matriks tersebut kita akan mendapatkan hasil penjualan untuk sepuluh tk dalam satu minggu. Bisakah anda menyebutkan cnth lainnya?

13 Matriks dan Vektr (5) 13 Knsep Umum dan Ntasi Matriks ditulis dalam huruf kapital cetak tebal, misal A, B, C, dan elemen-elemennya dalam kurung seperti A = [a ij ] diagnal utama, a nn Matriks m x n Matriks persegi n x n

14 Matriks dan Vektr (6) 14 Penjumlahan Matriks dan Perkalian Skalar Matriks dan vektr sangat sesuai untuk kmputasi salah satu hal yang utama adalah karena matriks dan vektr dapat diperlakukan seperti bilangan biasa. (meaning: semua perasi pada bilangan berlaku juga pada matriks dan vektr)

15 Matriks dan Vektr (6) 15 Kesamaan Matriks Definisi: Dua matriks A = [a jk ] dan B = [b jk ] dikatakan sama, atau A = B jika dan hanya jika keduanya mempunyai ukuran sama dan elemen yang bersesuaian (kedudukannya) sama, artinya a 11 = b 11, a 12 = b 12, dst. Cnth.

16 Matriks dan Vektr (7) 16 Penjumlahan Matriks Definisi: Jumlah dua matriks A = [a jk ] dan B = [b jk ] yang ukurannya sama, ditulis A + B, dan mempunyai elemen a jk + b jk yang dihasilkan dari elemen-elemen yang bersesuaian dari A dan B. Matriks-matriks yang berukuran berbeda tidak dapat dijumlahkan!! Cnth.

17 Matriks dan Vektr (8) 17 Perkalian Skalar (perkalian matriks dengan bilangan) Definisi: Prduk (hasil kali) matriks ukuran mxn A = [a jk ] dengan skalar c ditulis ca adalah matriks ukuran mxn ca = [ca jk ] yang diperleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan c. Cnth.

18 Matriks dan Vektr (9) 18 Aturan Penjumlahan Matriks a. A + B = B + A b. (A + B) + C = A + (B + C) c. A + 0 = A d. A + (-A) = 0 (matriks nl) Aturan Perkalian Skalar a. c(a + B) = ca + cb b. (c + k)a = ca + ka c. c(ka) = (ck)a d. 1A = A.

19 Exercise (make perfect) (1) 19 Diketahui A = B = Tentukan: a. A + B = b. C + 2 D = c. 3A ½ B = d. A + B 2C = e. B (1/4) A =

20 Exercise (make perfect) (2) 20 Matrices in mdelling netwrks. (e.g. jaringan listrik, jaringan transprtasi,dll) a jk Ketentuan : +1 jika cabang k keluar nde j -1 jika cabang k menuju nde j Hasil : grund 4 0 jika cabang k tidak menyentuh nde j cabang Nde Nde Nde Nde

21 Exercise (make perfect) (3) 21 Try by yur self Take yur time!!!

22 Exercise (make perfect) (4) 22 Sekarang gambarlah netwrknya jika diketahui matriksnya sbb: Petunjuk: perhatikan jumlah cabang dan jumlah ndenya, serta terapkan ketentuan tentang keluar dan menuju nde

23 Matriks dan Vektr (10) 23 Perkalian Matriks: perkalian matriks dengan matriks Definisi: A B = C [mxn] [nxr] [mxr] j=1,2,,m k=1,2,,p INGAT: Perkalian Matriks bersifat tidak kmutatif Cnth.

24 Matriks dan Vektr (11) 24 Aturan Perkalian Matriks: (ka)b = k(ab) = A(kB) A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC

25 Matriks dan Vektr (12) 25 Transpse Matriks Definisi: Transpse [mxn] matriks A= [a jk ] adalah [nxm] matriks A T dengan A T = [a kj ] Cnth. PRINSIP transpse matriks: baris jadi klm, klm jadi baris

26 Matriks dan Vektr (12) 26 Aturan transpsisi matriks a. (A T ) T = A b. (A + B) T = A T + B T c. (ca) T = ca T d. (AB) T = B T A T

27 Matriks dan Vektr (13) 27 Cnth: PC108 PC109 Kwartal Raw cmpnent Labr Lain-lain PC108 PC109 A adalah matriks yang menggambarkan biaya per kmputer ( dalam ribuan dllar) dan gambaran prduksi untuk tahun 2005 (dikalikan 1000 unit). Tentukan matriks C yang menunjukkan pembagian biaya per kwartal (dalam jutaan dllar) untuk raw material, labr dan lain-lain. Jawab.

28 28 Merci bien ありがとう Matur Nuwun Hatur Nuhun Obrigad Dank Thanks Matr Sakalangkng Syukrn Kheili Mamnun ευχαριστίες Danke Grazias 谢谢 Terima Kasih