Misalkan, diberikan. Perhatikan. Dengan mengkruadratkan kedua ruas pada persamaan (1b), maka diperoleh:

Transkripsi

1 L A M P I R A N

2 17 Lampiran 1 Bukti Lema Itô: Dengan Misalkan, diberikan. Perhatikan,,, (1a),, (1b) Dengan mengkruadratkan kedua ruas pada persamaan (1b), maka diperoleh:, 2,,, 00, (1c) Dengan 0 dan. Selanjutnya dengan menyubsitusikan dan ke persamaan (1a) diperoleh: Dari definisi proses Wiener, bentuk differensial stokastik pada persamaan (1d) juga dapat dituliskan dalam bentuk integral stokastik sebagai berikut: (1d), 0,0,, 1 2, (1e) Kemudian akan dibuktikan bahwa persamaan (1e) berlaku. Untuk memperlihatkan bahwa persamaan (1e) berlaku, cukup dilihat untuk kasus dimana a dan b merupakan fungsi konstan terhadap t yaitu, dan,

3 18 Sedangkan untuk it yang lebih luas dapat didekati dengan menggunakan limit. Dengan menggunakan Deret Tayor diperoleh:, 0, (1f) Dengan,,, untuk semua j Perhatikan bahwa: 1. lim lim,, 2. lim lim,, 3. Dari persamaan (1b) diperoleh. Maka, lim lim 2 diperoleh, lim 2 lim lim lim.

4 19 Karena lim 0 Maka dapat disimpulkan untuk 0 berlaku 0 dan 0 sehinnga 0. Juga diperoleh: Dan berlaku lim lim 0, Maka dapat disimpulkan untuk 0 berlaku 0, 0 dan 0 sehinnga 0. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa: Misalkan,, Perhatikan. lim., Untuk,,, adalah saling bebas. Akibatnya nilai ekspektasi perkaliannya adalah nol. Begitu pula untuk. Untuk diperoleh:

5 20 Untuk 0 diperoleh: lim 2 0. Karena 0 0 Maka Jadi, dapat disimpulkan bahwa: lim. Dari hal di atas juga dapat disimpulkan bahwa untuk 0 maka 0. Dengan menyubsitusikan hasil yang diperoleh ke persamaan (1f), dapat disimpulkan bahwa persamaan (1e) berlaku. Dengan demikian, Lema 1 Terbukti. Lampiran 2 Penurunan persamaan (11) Diberikan model Vasicek (2a) Misalkan 0, akan dicari solusi deterministik dari persamaan (2a) dengan menggunakan metode pemisahan variabel Integralkan kedua ruas ln

6 21 ln (2b) Persamaan (2b) merupakan solusi umum dari persamaan (2a). selanjutnya akan dicari solusi khusus dengan memberikan nilai awal 0 0, sehingga 0 0 Substitusikan ke persamaan (2a), sehingga didapakatkan solusi khusus dari persamaan (2b) Dengan menggunakan persamaan (2c) akan dicari solusi persamaan (2a). (2c) Dengan menyubsitusikan persamaan (2a) ke (2c), diperoleh Integralkan kedua ruas

7 22 Lampiran 3 Penurunan persamaan (13) (17) Dengan asumsi bahwa harga pasar risiko suku bunga memiliki bentuk fungsional, dan dibatasi pada interval waktu 0,. Dengan menggunakan lema Itô untuk menurunkan persamaan diferensial parsial umum yang harus dipenuhi oleh setiap tingkat bunga contingent claim, f: (3a) Harga pasar merupakan risiko yang diperlukan kembali kelebihan atas risk-free rate. Hubungan ini dilambangkan dengan: (3b) Substitusikan persamaan (3a) ke (3b) dimana 0 (3c) Misalkan bahwa harga dari contingent claim f, sebagai berikut:,,,, (3d) Dengan kondisi batas,, 1. Selanjutnya turunkan persamaan (3d), sehingga didapatkan (3e)

8 23 Subtitusikan persamaan (3d) dan (3e) ke persamaan (3c) dengan, 1 dengan, 0 Lampiran 4 Bukti Bahwa Persamaan (22) dan (23) memenuhi kondisi batas yang diberikan. Akan dibuktikan persamaan (22) dan (23) memenuhi kondisi batas yang diberikan. Akan dibuktikan persamaan (22) memenuhi kondisi batas, 0 Diketahui persamaan (22) 0, 0,, 0, / Sehingga, 0, 0, 0, / 0 0, /, 0 (4a) Akan dibuktikan persamaan (23) memenuhi kondisi batas, 1 Diketahui persamaan (23), 0, 0,, 0, 1 0,, 2 0, / Dengan, log,, maka, exp,, exp 0, 0,, 0, 1 0,, 2 0, / Subtitusi persamaan (4a)

9 24, exp 0 0 0, 1 0, 0 2 0, / exp0 00, exp0 1 Lampiran 5 Penurunan Persamaan (24) dan (25) Diketahui persamaan (15) dan (16) 0 (5a) 10 (5b) Turunkan persamaan (5a) terhadap T, maka didapat 0 Turunkan persamaan (5b) terhadap T, maka didapat (5c) 0 Eliminasi dari persamaan (5b) dan (5d), menghasilkan 0 (5d) (5e) Eliminasi dari persamaan (5c) dan (5e), menghasilkan 0 (5f) Kondisi batas untuk (5e) dan (5f) adalah nilai-nilai diketahui 0, dan 0,,, 1, dan, 0. Solusi untuk (5e) dan (5f) yang memenuhi kondisi batas, adalah sebagai berikut,,,,/ (5g), 0, 0,,,,,,/ (5h) Di mana, log,. Substitusikan ke persamaan (5g) ke (5b), sehingga diperoleh 1, 1,

10 25 0, 0, 0, 0, 0, 0, / 1 0, 0, 0, / 1 0, 0, 0, 0, / 1 0, 0, 0, / 0, / 0, / Maka persamaan (24) terbukti Karena, log,, maka, exp,. Sehingga, exp0, 0,, 0, 1 0,, 2 0, / Turunkan, terhadap t, maka, Akan dicari,, exp,, exp,,,, 0, 0,, 0, 1 0,, 2 0, / 0,, 0,, 0, 1 0,, 2 0, / 0,, 0,,, 0, 0, / 0,, 0,, 0, 1 2, 0,, 0,,, 0, 0, /

11 26 Substitusikan ke persamaan (5h) ke (5a), 1 2,, 1 2,,,,, 1 2,,, 1 2,, 1, 0,, 1,,, 0, 0,, 0, 1 2,, 0,, 0, 0, / 1 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, / 0, 0, 0, / 0, 0, / 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, / 0, 0, 0, 0, / 0, 0, 0, 0, / maka persamaan (25) terbukti

12 27 Lampiran 6 Bukti volatilitas harga zero coupon bond Misalkan,, adalah harga pada saat dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat. Maka persamaan harga obligasi dapat ditulis sebagai berikut, Menggunakan lema Itô, diperoleh 1 2,,,, dan,, σ, Maka terbukti bahwa volatilitas,, adalah σ, Lampiran 7 Penurunan persamaan (28) Diketahui persamaan (27) 2 Karena menggunakan model satu-faktor, 1. dengan,,,,. sehingga,,,. Subtitusikan persamaan (24),,,,/,,

13 28 0, 0, 0, / 0, 0, 0, / 0, 0, 0, 0, 0, / 0, 0, 0, / maka persamaan (28) terbukti Lampiran 8 Program Simulasi menggunakan Mathematica 7.0 Diketahui Fungsi Distribusi Kumulatif Normal,. In[1]:= a1 = ; a2 = ; a3 = ; a4 = ; a5 = ; In[2]:= norcum@p_d := π p2 2 Ia1 1 êh pl + a2 H1 êh pll 2 + a3 H1 êh pll 3 + a4 H1 êh pll 4 + a5 H1 êh pll 5 M 1 norcum@ pd p < 0 p 0 In[3]:= Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) Diketahui persamaan (31) 2 1, 1 2 Bcir@t_, T_D := 2 J g HT-tL 1N í JHγ +ψlj g HT-tL 1N + 2 γn Diketahui persamaan (32) 2, 1 2 Hg+yLHT-tL In[4]:= Acir@t_, T_D := 2 γ 2 ì JHγ +ψlj g HT-tL 1N + 2 γn 2 φ σcir 2 Persamaan harga obligasi,,, In[5]:= Pcir@r_, t_, T_D := Acir@t, T D D r Persamaan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan model CIR, persamaan (33) 2 1

14 29 In[6]:= T_D := 2 γ σcir 2 I g HT-tL 1M In[7]:= η= Hγ+ψL σcir 2 ;, log /, In[8]:= rstar@t_, s_, L_, X_D := LogB X êl Bcir@T, sd F, 2, ; 4, 2,, 2 ; 4, 2 ξ In[9]:= opsicir@r_, t_, T_, s_, L_, X_D := L Pcir@r, t, sd NBCDFBNoncentralChiSquareDistributionB 4 φ σcir 2, 2 HXi@t, T DL2 r g HT-tL Xi@t, T D +η+bcir@t, sd F, 2 rstar@t, s, L, XDHXi@t, T D +η+bcir@t, sdlff X Pcir@r, t, T D NBCDFBNoncentralChiSquareDistributionB 4 φ σcir 2, 2 HXi@t, T DL2 r g HT-tL F, 2 rstar@t, s, L, XDHXi@t, TD +ηlff Xi@t, TD +η Perluasan Model Vasicek Subtitusikan persamaan (35) ke persamaan (22) Bcir@0, TD Bcir@0, td In[10]:= SimplifyB F D@Bcir@0, td, td Out[10]= t γ I t γ T γ MII1 + t γ M γ+i 1 + t γ M ψm γ II1 + T γ M γ+i 1 + T γ M ψm selanjutnya In[11]:= Bev@t_, T_D := t γ I t γ T γ MII1 + t γ M γ+i 1 + t γ M ψm γ II1 + T γ M γ+i 1 + T γ M ψm Diketahui Persamaan (23), 0, 0,, 0, 1 0,, 2 0, / Karena, log,, substitusikan persamaan (22) sehingga menjadi 0, log0, log, log, 0, 1 2 0, 0, 0, / Untuk memudahkan, persamaan tersebut akan dibagi menjadi beberapa bagian.

15 30 log0, In[12]:= Out[12]= In[13]:= tdd, tdd I 1 + t γ M φ Iγ 2 ψ 2 M σcir 2 II1 + t γ M γ+i 1 + t γ M ψm I 1 + t γ M φ Iγ 2 ψ 2 M tur1@t_d := σcir 2 II1 + t γ M γ+i 1 + t γ M ψm 0, / In[14]:= Out[14]= IntegrateAH1 ê D@Bcir@0, τd, τdl 2, 8τ, 0,t<E 2tγ Hγ ψl 4 8 t γ Hγ ψl 3 Hγ+ψL + 8 t γ Hγ ψlhγ+ψl 3 + 2tγ Hγ+ψL γ I 10 γ 2 ψ+6 ψ 3 + 3tIγ 2 ψ 2 M 2 M 32 γ 5 1 In[15]:= int1@t_d := 32 γ 5 J 2 t γ Hγ ψl 4 8 t γ Hγ ψl 3 Hγ+ψL + 8 t γ Hγ ψlhγ+ψl t γ Hγ+ψL γ J 10 γ 2 ψ+6 ψ t Iγ 2 ψ 2 M 2 NN maka In[16]:= 0, log0, log, log, 0, 1 2 0, 0, 0, / Abar@t_, T_D := LogB Acir@0, T D Acir@0, td F Bev@t, T D tur1@td 1 2 HBcir@0, TD Bcir@0, tdl2 Hint1@tDL; dengan, log,. In[17]:= Aev@t_, T_D := D Persamaan harga obligasi,,,. In[18]:= Pev@r_, t_, T_D := Aev@t, TD D r Persamaan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan perluasan model Vasicek Diketahui persamaan (28) 0, 0, 0, / 0, /

16 31 In[19]:= Out[19]= IntegrateAH1 ê τd, τdl 2, 8τ, t, T<E 1 32 γ 5 J 2 tγ JHγ ψl t γ Hγ ψl 3 Hγ+ψL 8 3tγ Hγ ψlhγ+ψl 3 4tγ Hγ+ψL tγ t γ Iγ 2 ψ 2 M 2 N + 2Tγ J Hγ ψl 4 8 T γ Hγ ψl 3 Hγ+ψL + 8 3Tγ Hγ ψlhγ+ψl 3 + 4Tγ Hγ+ψL Tγ T γ Iγ 2 ψ 2 M 2 NN In[20]:= int2@t_, T_D := 1 32 γ 5 J 2 t γ JHγ ψl t γ Hγ ψl 3 Hγ+ψL 8 3 t γ Hγ ψlhγ+ψl 3 4 t γ Hγ+ψL t γ t γ Iγ 2 ψ 2 M 2 N + 2 T γ J Hγ ψl 4 8 T γ Hγ ψl 3 Hγ+ψL T γ Hγ ψlhγ+ψl T γ Hγ+ψL T γ T γ Iγ 2 ψ 2 M 2 NN sehingga, In[21]:= sigmapv@t_, T_, s_d := σhbcir@0, sd Bcir@0, T DL int2@t, T D Persamaan (26) 1,, log,, 2 1 In[22]:= ha@r_, t_, T_, s_, L_, X_D := sigmapv@t, T, sd,,,, L Pev@r, t, sd sigmapv@t, T, sd LogB F + Pev@r, t, T D X 2 In[23]:= opsiev@r_, t_, T_, s_, L_, X_D := L Pev@r, t, sd norcum@ha@r, t, T, s, L, XDD X Pev@r, t, T D norcum@ha@r, t, T, s, L, XD sigmapv@t, T, sdd Parameter yang digunakan In[24]:= φ=0.02; σ= ; σcir = 0.06; ψ=0.2; γ= ψ σcir 2 ; In[29]:= opsiev@0.1, 0, 1, 3, 100, 85D Out[29]= In[30]:= opsicir@0.1, 0, 1, 3, 100, 85D Out[30]=