BAB III PEMBAHASAN. anuitas dengan suku bunga stokastik, dan penghitungan ukuran galat. A. Konsep Anuitas dengan Suku Bunga Sesaat

Transkripsi

1 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai penerapan suku bunga stokastik ke dalam penghitungan nilai sekarang dan nilai masa depan anuitas akhir, kemudian akan dilakukan simulasi pembangunan pohon suku bunga sesaat, penghitungan anuitas dengan suku bunga stokastik, dan penghitungan ukuran galat. A. Konsep Anuitas dengan Suku Bunga Sesaat Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai anuitas serta rumus yang menyertainya, secara lebih spesifik yaitu pada persamaan (2.36) dan (2.37) yang mendefinisikan nilai sekarang (present value), dan nilai masa depan (future value) dari sebuah anuitas dengan jangka waktu t dan tingkat suku bunga i. Persamaan (2.36) dan (2.37) menggunakan tingkat suku bunga yang sama tiap tahunnya atau dapat dikatakan bahwa penghitungan nilai anuitas sesuai kedua persamaan tersebut menganut model suku bunga deterministik. Apabila tingkat suku bunga yang dipakai berubah-ubah maka dapat dikatakan bahwa anuitas mengikuti model suku bunga stokastik. Subbab ini akan memperkenalkan konsep anuitas yang mengikuti model suku bunga stokastik. Menurut Definisi 22, anuitas adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan pada selang waktu yang sama. Jika dilakukan suatu pembayaran sebesar 1 di akhir setiap periode selama n periode, maka nilai sekarang anuitas adalah jumlahan setiap pembayaran di tiap periode yang nilainya telah disesuaikan di titik waktu awal. Penyesuaian nilai pembayaran ke waktu awal (titik waktu ke-0) dari 45

2 pembayaran di periode ke-n dilakukan dengan mengalikan 1 ke faktor diskon yang berlaku dari titik waktu ke-0 hingga titik waktu ke-n. Apabila suku bunga yang berlaku di tiap-tiap selang periode merupakan suku bunga sesaat r(t) dengan t = 0,1,2,3,..., n 1, di mana r(t) adalah suku bunga sesaat yang berlaku di antara waktu ke-t dan t + 1, maka faktor diskon yang berlaku dari waktu ke-t hingga waktu ke-t + 1 didefinisikan sebagai berikut: υ t = (1 + r(t)) 1. (3.1) Nilai sekarang anuitas yang dihitung dengan menggunakan suku bunga sesaat (a n ) kemudian dapat dirumuskan dengan logika berpikir yang sama dengan perumusan nilai sekarang anuitas dengan suku bunga deterministik sebagai berikut: a n = υ 0 + υ 0 υ υ 0 υ 1 υ 2 υ n 1 = r(0) + 1 (1 + r(0))(1 + r(1)) (1 + r(0))(1 + r(1)) (1 + r(n 1)) = (1 + r(0)) 1 + ((1 + r(0))(1 + r(1))) ((1 + r(0))(1 + r(1)) (1 + r(n 1))) 1 n 1 j = (1 + r(i)) 1. j=0 i=0 (3.2) Sedangkan nilai masa depan dari anuitas adalah jumlahan dari setiap pembayaran di tiap periode yang nilainya telah disesuaikan dengan titik waktu terakhir. 46

3 Penyesuaian nilai pembayaran pada waktu ke-t ke titik waktu terakhir (titik waktu ke-n) dengan t < n dilakukan dengan mengalikan nilai pembayaran di waktu ke-t dengan faktor akumulasi yang berlaku antara waktu ke-t dan waktu ke-n. Untuk suku bunga sesaat r(t), faktor akumulasi yang berlaku di waktu ke-t hingga waktu ke-t + 1 didefinisikan sebagai berikut: α t = 1 υ t = (1 + r(t)). (3.3) Nilai masa depan anuitas yang dihitung menggunakan suku bunga sesaat (s n ) kemudian dirumuskan dengan teori yang diperkenalkan Kellison (1991) yaitu bahwa nilai masa depan anuitas diperoleh dari perkalian nilai sekarang anuitas dengan faktor akumulasi dari waktu ke-0 hingga waktu ke-n: s n = a n α 0 α 1 α 2 α n = [(1 + r(0)) 1 + ((1 + r(0))(1 + r(1))) ((1 + r(0))(1 + r(1)) (1 + r(n 1))) 1 ] (1 + r(0))(1 + r(1))(1 + r(2)) (1 + r(n)) = 1 + (1 + r(n 1)) + (1 + r(n 1))(1 + r(n 2)) + + (1 + r(n 1))(1 + r(n 2)) (1 + r(1)) n 1 n 1 = 1 + (1 + r(i)). j=1 i=j (3.4) 47

4 B. Sumber dan Karakteristik Data Data yang akan digunakan untuk membangun pohon suku bunga sesaat model BDT adalah data United States Treasury Zero Coupon Yield Curve yang diperoleh dari periode 1 Januari Desember 2010 untuk waktu jatuh tempo 1, 2, 3, 4, dan 5 tahun seperti tercantum pada Lampiran 1. Data kemudian diolah dengan menghitung rerata tingkat imbal hasil tahunan dan volatilitas imbal hasil untuk setiap waktu jatuh tempo. Hasil olahan data seperti pada lampiran 1 disajikan pada Tabel 4 sebagai berikut: Tabel 5. Tabel data olahan United States Treasury Zero Coupon Yield Curve Waktu jatuh tempo (t) Tingkat imbal hasil (y(0,0, t)) Volatilitas imbal hasil (σ y (t)) 0.356% 0.688% 1.109% 1.550% 1.974% 20,02% 36,25% 33,96% 29,53% 25,65% Adapun data suku bunga aktual yang digunakan adalah suku bunga aktual tahun untuk negara Amerika Serikat yang diperoleh dari data.worldbank.org. Tabel 6. Tabel suku bunga aktual negara Amerika Serikat tahun % % % % % C. Model BDT untuk Data US Treasury Zero Coupon Yield Curve Pada subbab ini akan dibahas mengenai proses membangun pohon suku bunga sesaat model BDT untuk data United States Treasury Zero Coupon Yield 48

5 Curve yang disajikan pada Tabel 4. Pohon suku bunga sesaat akan dibangun berdasarkan langkah-langkah yang telah dijelaskan di bab sebelumnya. 1. Ditetapkan y(0,0,1) sebagai r(0,0) sehingga nilai r(0,0) = y(0,0,1) = 0,356%. Kemudian akan dihitung nilai A(0,0,1,0) dan A(0,0,1,1). 1 A(0,0,1,0) = A(0,0,1,1) = 2(1 + r(0,0)) = 1 2(1 + 0,356%) = 0,4982. (3.5) 2. Diketahui y(0,0,2) = 0,688% dan σ y (2) = 36,25%. Dengan menggunakan persamaan (2.50) diperoleh hubungan antara r(1,0) dan r(1,1) sebagai berikut: r(1,1) = e 2(36,25%) r(1,0) = 2,065r(1,0). (3.6) Kemudian akan ditentukan persamaan untuk memecahkan r(1,0) yaitu menggunakan Persamaan (2.51) sehingga diperoleh: 2 1 ( 1 + y(0,0,2) ) 2 1 ( 1 + 0,688% ) = A(0,0,1,0) 1 + r(1,0) + A(0,0,1,1) 1 + e 2σ y (2) r(1,0) = 0, r(1,0) + 0, ,065r(1,0) 0,9864 = 0, r(1,0) + 0, ,065r(1,0). (3.7) Dengan metode numerik, r(1,0) dapat diselesaikan dan menghasilkan nilai r(1,0) sebesar 0,769%. Nilai r(1,1) dapat ditemukan dengan hubungan pada persamaan (3.6) yaitu sebesar 1,588%. 49

6 Setelah nilai r(1,0) dan r(1,1) ditemukan selanjutnya akan digunakan program R untuk membantu penghitungan suku bunga sesaat untuk periode selanjutnya hingga t = 4. Script dari program R dapat dilihat di Lampiran 2. Hasil output dari program R untuk pohon suku bunga sesaat model BDT sesuai dengan informasi pada Tabel 5 seperti pada Lampiran 3 disajikan dalam Tabel 7. Tabel 7. Pohon suku bunga sesaat dari data aktual. t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = % % % % % % % % % % % % % % % Pohon suku bunga sesaat model BDT yang dihasilkan oleh output program R pada Tabel 7 ternyata memuat suatu penyimpangan. Suku bunga sesaat yang dihasilkan tidak memenuhi sifat r(t, l) > r(t + 1, l). Hal ini mengakibatkan suku bunga sesaat yang seharusnya memiliki satu kemungkinan naik dan satu kemungkinan turun malah menghasilkan dua kemungkinan naik. Terjadinya kasus semacam ini dapat disebabkan oleh fluktuasi tingkat imbal hasil dan volatilitas imbal hasil (Qoyyimi: 2008, 72). Pohon suku bunga sesaat yang telah dibangkitkan dari data aktual pada Tabel 7 kurang baik untuk dipakai dalam perhitungan anuitas karena ketiadaan pergerakan turun dari suku bunga sesaat dapat memberikan ilustrasi yang kurang lengkap terhadap berbagai kemungkinan fluktuasi nilai anuitas. 50

7 Strategi yang dipakai penulis untuk mengatasi hal ini adalah dengan menggunakan satu tingkat imbal hasil dan satu volatilitas imbal hasil. Tingkat imbal hasil yang akan digunakan adalah rerata dari tingkat imbal hasil periode 1-5 yaitu sebesar 1,13562% dan volatilitas yang digunakan adalah rerata dari volatilitas imbal hasil periode 1-5 yaitu 29,0818%. Kemudian digunakan program R untuk membangun pohon suku bunga sesaat dengan nilai tingkat imbal hasil dan volatilitas imbal hasil yang baru. Hasil output seperti pada Lampiran 4 dapat dilihat pada Tabel 8 berikut. Tabel 8. Pohon suku bunga sesaat dari data baru. t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = % % % % % % % % % % % % % % % Tabel 8 memperlihatkan pohon suku bunga sesaat yang konsisten dengan semua suku bunga sesaat memiliki kemungkinan naik dan turun yang tepat. Pohon suku bunga sesaat pada Tabel 8 nantinya akan digunakan untuk menghitung anuitas dengan pendekatan suku bunga stokastik pada subbab selanjutnya. D. Penghitungan Anuitas Pohon suku bunga sesaat yang ditampilkan oleh Tabel 6 merupakan pohon suku bunga yang akan dipakai untuk penghitungan anuitas pada subbab ini. Terlebih dahulu dibuat lintasan-lintasan suku bunga sesaat berdasarkan Tabel 6. Lintasan-lintasan suku bunga sesaat tersebut menggambarkan kemungkinan- 51

8 kemungkinan pergerakan nilai anuitas. Diagram lintasan tersebut disajikan pada Tabel 9. Tabel 9. Tabel lintasan suku bunga sesaat. t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t(0) t(0,0) t(0,1) t(0,0,0) t(0,0,1) t(0,1,1) t(0,1,2) t(0,0,0,0) t(0,0,0,1) t(0,0,1,1) t(0,0,1,2) t(0,1,1,1) t(0,1,1,2) t(0,1,2,2) t(0,1,2,3) t(0,0,0,0,0) t(0,0,0,0,1) t(0,0,0,1,1) t(0,0,0,1,2) t(0,0,1,1,1) t(0,0,1,1,2) t(0,0,1,2,2) t(0,0,1,2,3) t(0,1,1,1,1) t(0,1,1,1,2) t(0,1,1,2,2) t(0,1,1,2,3) t(0,1,2,2,2) t(0,1,2,2,3) t(0,1,2,3,3) t(0,1,2,3,4) Sebagai contoh, jalan lintasan t(0,1,2,2,3) dapat dilihat di gambar 2. Gambar 2. Lintasan suku bunga t(0,1,2,2,3) 52

9 Kemungkinan lintasan untuk suku bunga sesaat sampai tahun ke-5 banyaknya ada 16 lintasan. Ke-16 lintasan ini nantinya akan dibandingkan nilai anuitasnya dengan nilai anuitas yang menggunakan suku bunga aktual. Suku bunga aktual pada Tabel 6 kemudian digunakan untuk mencari nilai sekarang anuitas dengan suku bunga aktual menggunakan persamaan (3.2). Tabel 10. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga aktual Diperoleh nilai sekarang anuitas untuk tahun yang berkisar antara hingga Adapun nilai sekarang dari anuitas dengan suku bunga stokastik yang menggunakan lintasan suku bunga pada Tabel 9 dan persamaan (3.2) disajikan pada Tabel 11 sebagai berikut: 53

10 Tabel 11. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga stokastik Kemudian dilakukan perbandingan antara nilai sekarang anuitas dengan suku bunga aktual dan nilai sekarang anuitas dengan suku bunga stokastik dengan menghitung selisih di antara keduanya. Diperoleh selisihnya pada Tabel 12 berikut. 54

11 Tabel 12. Selisih nilai sekarang anuitas suku bunga aktual dan stokastik Selisih yang didapat pada Tabel 12, khususnya untuk tahun 2014, kemudian digunakan untuk mencari MAPE (Mean Absolute Percentage Error) dan MSE (Mean Square Error). Dengan penghitungan yang dilakukan di Microsoft Excel, diperoleh nilai MAPE dan MSE untuk nilai sekarang anuitas masing-masing adalah 1,2147% dan 0, Perbandingan antara nilai anuitas dengan suku bunga aktual dan suku bunga stokastik tidak hanya berpatokan pada nilai sekarang. Nilai masa depan juga merupakan salah satu faktor perbandingan yang akan dilakukan antara nilai anuitas suku bunga aktual dengan suku bunga stokastik. Nilai masa depan untuk anuitas dengan suku bunga aktual dihitung dengan persamaan (3.4) dan menghasilkan nilai yang disajikan di Tabel 13 berikut. 55

12 Tabel 13. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga aktual Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga stokastik dapat diperoleh dengan persamaan (3.4) dan menggunakan lintasan tingkat suku bunga pada tabel 9. Hasil penghitungan nilai anuitas tersebut dapat dilihat di Tabel 14. Selisih nilai masa depan anuitas dengan suku bunga aktual dan suku bunga stokastik disajikan pada tabel 15. Tabel 14. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga stokastik

13 Tabel 15. Selisih nilai masa depan anuitas suku bunga aktual dan stokastik Selisih nilai masa depan anuitas suku bunga aktual dan suku bunga stokastik pada tahun 2014 kemudian digunakan untuk menghitung MAPE dan MSE. Hasilnya diperoleh MAPE sebesar 1,3655%dan MSE sebesar